О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений

Гонченко, Александр Сергеевич

О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Гонченко, Александр Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений»

Автореферат диссертации на тему "О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений"

На правах рукописи

Гонченко Александр Сергеевич

О хаотической динамике двумерных и трехмерных

отображений

(Специальность: дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление - 01.01.02)

автореферат диссертации на соискание ученой степени 0/

кандидата физико-математических наук

005541954

Владимир - 2013

005541954

Работа выполнена на кафедре численного и функционального анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Научный руководитель:

Лукьянов Валерий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры Численного и Функционального Анализа (ЧиФА) ф-та ВМК ННГУ.

Официальные оппоненты:

Сатаев Евгений Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Обнинского института атомной энергетики Национального исследовательского ядерного университета МИФИ (Россия)

Украинский Борис Семенович кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики Волжской государственной академии водного транспорта, г. Нижний Новгород.

Ведущая организация: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Защита диссертации состоится 24 декабря 2013 года в 12 часов 00 минут на заседании Совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.025.08 во Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600024, г. Владимир, пр. Строителей, д. 11, корпус 7 ВлГУ, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Автореферат разослан Я о ноября 2013 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.025.08,

кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность исследования Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории многомерных систем со сложным поведением траекторий.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-го и начале 20-го века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Ее важнейший раздел, теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина, оформилась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Л.С. Понт-рягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность которых не меньше трех для потоков и не меньше двух для отображений). Прежде всего была создана теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теории. Ее фундамент был заложен в работах В.М. Алексеева, Д.В. Аносова, Р. Боуэна, Р. Манэ, К. Пью, К. Робинсона, Я.Г. Синая, С. Смейла, Д. Френкса, Л.П. Шильникова, М. Шуба и др. Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П. Шильникова. В дальнейшем бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.И. Арнольда, B.C. Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, Х.Брура, В.В. Быкова, М. Вианы, Н.К. Гаврилова, C.B. Гонченко, B.C. Гонченко, Л. Диаса, Ю.С. Ильяшенко, Л.М. Лермана, В.И. Лукьянова, А.Д. Морозова, А.И. Нейштадта, Ш. Ньюхауса, Дж. Пэ-лиса, К. Симо, Ф. Такенса, Д.В. Тураева, А.Я. Хомбурга, А.Л. Шильникова и др.

Развитие гиперболической теории и теории бифуркаций привело, в свою очередь, к открытию, в 60-70-х годы, динамического хаоса, что по праву считается одним из самых замечательных достижений современной науки. К настоящему времени имеется масса замечательных математических, прикладных и экспериментальных работ, посвященных странным аттракторам. Тем не менее, в отличие, например, от гиперболической теории, теория странных аттракторов далека от своего завершения, здесь еще есть много актуальных и нерешенных проблем.

Следует заметить, что классическая гиперболическая теория имеет дело в основном с потоками и диффеоморфизмами. Однако в качественной теории динамических систем гладкие необратимые отображения, или эндо-

морфизмы, также хорошо известны, и их исследованию посвящено большое число работ. Здесь следует отметить исследования JT. Гардини, И. Гумов-скн, М.Ю. Майстренко, М.И. Малкина, Ж.Р. Маротто, К. Мира, А.Н. Шар-ковского и др. Интерес к этим объектам хорошо понятен, так как необратимыми отображениями описываются многие модели в экономике, динамике популяций, нейронных сетях и т.п. Теория таких отображений составляет к настоящему времени вполне самостоятельную часть качественной теории, и во многом ее методы, терминология и результаты отличаются от теории диффеоморфизмов. Совсем недавно, например, выяснилось, что и гиперболическая теория здесь может быть весьма необычной (этим вопросам посвящена первая глава диссертации).

Что касается теории странных аттракторов, то одной из основных ее проблем является задача описания сценариев перехода к ним от простых притягивающих режимов - устойчивых состояний равновесия и периодических траекторий. В случае двумерных отображений и трехмерных потоков в этом направлении, как хорошо известно, получено большое число фундаментальных результатов. Здесь достаточно отметить такие из них, как описание сценариев переходов к спиральному СА (Л.П. Шильников), исследование бифуркаций, приводящих к возникновению аттракторов Лоренца (B.C. Афраймович, В.В Быков, Л.П. Шильников, А.Л. Шильников), странных аттракторов в отображении Эно (М.Эно, М.Бенедикс, Л.Карлесон), в цепях Чуа (В.Н. Белых, Л.Чуа) и т.п. Естественно, эти результаты могут быть использованы и при исследовании хаотической динамики многомерных систем Однако, как недавно выяснилось, такие многомерные системы могут обладать СА новых типов, т.н. дикими гиперболическими аттракторами (Д.В. Тураев, Л.П. Шильников). Главной особенность этих аттракторов является то, что они допускают гомоклинические касания, но не содержат устойчивых периодических траекторий, которые не появляются также и при возмущениях (Д.В. Тураев, Л.П. Шильников, В.Н. Белых, Л.Чуа, Е.А. Сатаев).

Одним из важнейших направлений в теории динамического хаоса яв-

ляется применение полученных математических результатов к прикладным задачам. Одна из таких задач - исследование хаотической динамики в неголономной механической модели кельтского камня - рассматривается в главе 4 диссертации.

Объект исследования В диссертации рассматриваются

1) Двумерные кусочно-линейные отображения и двумерные обобщенные

квадратичные отображения Эно.

2) Однопараметрические семейства трехмерных диффеоморфизмов, допускающие бифуркации перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору.

3) Трехмерные обобщенные отображения Эно различного вида.

4) Неголономные модели, описывающие движения кельтского камня на плоскости.

Цели и задачи исследования Основная задача диссертации состоит в исследовании хаотической динамики двумерных эндоморфизмов и трехмерных диффеоморфизмов. В случае двумерных эндоморфизмов задача состоит в исследовании их гиперболической динамики, и выяснении ее новых свойств по сравнению со случаем диффеоморфизмов. В случае трехмерных диффеоморфизмов основная задача состоит в установлении и описании новых универсальных сценариев развития хаоса от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору и в качественном и численном исследовании этих сценариев в конкретных отображениях -трехмерных обобщенных отображениях Эно. В качестве приложения полученных результатов рассматривается задача исследования хаотической динамики неголономных моделей кельтского камня.

Теоретическая ценность и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены как в теории динамических систем, так и при исследовании конкретных моделей.

Методологическая и теоретическая основа исследования. В диссертации использованы методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, а также численные методы, включающие как стандартные алгоритмы, так и специально разработанные.

Результаты работы и научная новизна исследования Все сформулированные в работе результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим их:

1) В случае двумерных эндоморфизмов открыты подковы Смейла нового типа, так называемые полуориентируемые поДковы, указаны их топологические инварианты. Показано, что у таких подков (в случае обобщенных квадратичных отображений Эно) граничные периодические точки могут быть любых периодов.

2) В случае трехмерных ориентируемых диффеоморфизмов предложены и исследованы два новых универсальных бифуркационных сценария перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническо-му аттрактору либо шильниковского (спирального или седлового) типа, либо лоренцевского или восьмерочного типа.

3) Построены новые критерии существования аттракторов лоренцевского типа у трехмерных обобщенных отображений Эно. Качественно и численно исследованы бифуркации, приводящие к таким аттракторам у ряда конкретных отображений.

4) Исследована хаотическая динамика некоторых неголономных моделей кельтского камня. Показано, что здесь могут существовать CA спирального типа, смешанная динамика, а также, у некоторых типов камней, CA лоренцевского типа. Насколько нам известно, это первая модель из приложений, в которой такие аттракторы были обнаружены.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Результаты работы докладывались на конференциях: Итоговая научная конф. учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства", ИНГУ, 2007; V Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008; IX Всероссийской конф. "Нелинейные колебания механических систем", Н.Новгород, 2012; ГОТАМ Symposium "From mechanical to biological systems- an integrated approach", 2012; VI Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2012; Мини-конференция "Shilnikov's Workshop посвященная памяти Л.П. Шильнико-ва, Н.Новгород, 2012; IV Int. Conf. GDIS, Izhevsk, 2013; Int. Conf. "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors", N. Novgorod, 2013.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре

отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК ИНГУ (руководитель -Л.П.Шильников); на Нижегородском научном семинаре им. Л.П.Шильни-кова "Нелинейная динамика: теория и приложения" (руководитель - C.B. Гонченко); на научном семинаре кафедры ЧиФА ННГУ (2013, руководитель Д.В.Баландин); на семинаре по динамическим системам ННГУ (2011, 2012, руководитель А.Д. Морозов); на семинаре по механике МГУ и ИМАШ РАН (2012, руководитель - Д.В. Трещев); на семинаре по неголономной механике в УдГУ, Ижевск (2011, 2012, руководители - A.B. Борисоа, И.С. Мамаев).

Результаты диссертации явились составной частью работ, выполнявшихся при финансовой поддержке РФФИ (гранты 07-01-00566,10-01-00429, 13-01-00589 и 13-01-97028-povoljie), ФЦП "Кадры" No.14.B37.21.0361 и No.14.В37.21.0863, а также гранта Правительства РФ No. 11.G34.31.0039.

Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 15 работ, из них 7 работ - в журналах из списка ВАК. Основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [1]-[15]. В работах, выполненных совместно, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, вошедших в диссертацию.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации: 129 стр., 58 рис., 101 наименований литературы.

Содержание диссертации.

В первой главе рассматривается задача классификации подков Смейла с точки зрения локальной топологической сопряженности порождающих их двумерных отображений. Показывается, что существует 10 различных типов линейных подков. Устанавливается, что в случае нелинейных подков различных типов может быть бесконечно много. Однако этот результат относится к подковам нового типа, так называемым полуориентируемым подковам, которые могут существовать у эндоморфизмов (необратимых отображений) диска, а также у диффеоморфизмов, заданных на неориен-тируемых двумерных многообразиях.

Во второй главе изучаются вопросы хаотической динамики трехмерных гладких отображений (диффеоморфизмов). Показывается, что здесь существуют два универсальных сценария развития хаоса от устойчивой непо-

движной точки либо к СА шильниковского типа (спиральному или седло-вому), либо к СА лореицевского или "восьмерочного" типа. Дается качественное описание этих аттракторов, приводятся условия, при которых эти аттракторы могут быть "настоящими" (псевдогиперболическими странными аттракторами). Особое внимание в главе уделяется аттракторам лорен-цевского типа для диффеоморфизмов, для которых вводятся определения (основанные на понятиях е-траекторий, цепной транзитивности и псевдогиперболичности) и описывается стратегия их идентификации в конкретных моделях.

Третья глава посвящена качественному и численному исследованию аттракторов лореицевского типа в трехмерных отображениях Эно разного вида. Здесь предпочтение отдается тем отображениям, квадратичным и кубическим, которые имеют гомоклиническое происхождение, т.е. возникают как нормальные формы соответствующих отображений первого возвращения вблизи гомоклинических касаний. При численных исследованиях используется специально разработанный автором комплекс программ для поиска аттракторов в трехмерных отображениях, для найденных странных аттракторов вычисляются их основные характеристики в соответствии со стратегией идентификации из главы 2.

В четвертой главе рассматривается неголономная модель движения кельтского камня на плоскости. Как хорошо известно, такая модель позволяет ответить на основной вопрос в динамике кельтских камней: о природе реверса - вращательной асимметрии, кельтского камня. Однако, в целом, движение кельтского камня на плоскости рассматривается в механике по-прежнему как один из самых сложных и до сих пор весьма слабо исследованных типов движения твердого тела вообще. Более того, это один из немногих таких видов движения твердого тела, в которых возможна хаотическая динамика. Изучению последней, включая исследование бифуркационных механизмов возникновения хаоса, различных видов хаоса и их характеристик посвящена большая часть главы. В главе показано, в частности, что у некоторых моделей кельтского камня существуют аттракторы лореицевского типа.

Содержание главы 1. В главе рассматривается задача классификации подков Смейла с точки зрения локальной топологической сопряженности порождающих их двумерных отображений. Показывается, что существует 10 различных типов линейных подков: три типа ориентируемых, три типа неориентируемых и четыре типа полуориентируемых подков. Устанавли-

вается, что в случае нелинейных подков их может быть бесконечно много различных топологических типов. Причем ориентируемых и неориентируе-мых подков будет по-прежнему по три типа, тогда как полуориентируемых подков разных типов может быть счетное множество. Такие подковы могут существовать у эндоморфизмов (необратимых отображений) диска, а также у диффеоморфизмов на неориентируемых двумерных многообразиях.

В § 1.1 рассматриваются линейные подковы Смейла. Однако здесь вводится ряд классических определений, которые используются также во всей главе. Это собственно определение подковы Смейла как замкнутого инвариантного множества отображения диска на себя, обладающего определенными геометрическими свойствами - Определение 1.1; определение локальной топологической сопряженности отображений, имеющих замкнутые инвариантные множества - Определение 1.2, которое означает, что отображения сопряжены не только на траекториях, лежащих в указанных инвариантных множествах (П-сопряжены), но и на траекториях из их достаточно малых окрестностей; определение граничных точек гиперболических множеств - Определение 1.3. Заметим, что понятие граничной периодической точки гиперболического базисного множества Л двумерного диффеоморфизма было введено В.З.Гринесом (1978), и оно может быть сформулировано следующим образом.

• Седловая периодическая точка Р Е А называется й-граничной, если отрезок Щвос(р) её устойчивого многообразия делит любую достаточно малую окрестность У(Р) точки Р на два открытых диска Ух и У2 таких, что VI П Л = 0 и У2 П Л ф 0. Аналогично, точку будем называть и-граничной, если такое разделение имеет место для Точку, которая является одновременно 5-граничной и и-граничной, будем называть (5,и)-граничной.

Основные результаты § 1.1 связаны с (локальной) топологической классификацией линейных подков Смейла: для ориентируемых и неориентируемых подков Смейла - Теорема 1.1, для полуориентируемых линейных подков - Теорема 1.2. В этих теоремах устанавливается, что тип соответствующей подковы полностью определяется характером их граничных периодических точек (которые здесь являются либо неподвижными, либо

точками периода 2).

В § 1.2 напоминаются некоторые известные результаты о существовании подков в динамических системах: вблизи грубой гомоклинической траектории, в системах с гомоклиническими петлями к состоянию равновесия

типа седло-фокус, в системах с гомоклиническими касаниями, в геометрической модели аттрактора Лоренца, а также у квадратичного двумерного отображения Эно.

Основным параграфом первой главы является § 1.3, в котором изучается гиперболическая динамика обобщенного отображения Эно

х = у, У = 72/(1 -у)-Ьх + аху. (х, у) £ М2, (1)

Отметим, что отображение (1) было введено в работах С.В.Гонченко и В.С.Гонченко (2000, 2004) при изучении бифуркаций диффеоморфизмов с квадратичным гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точки с седловой величиной, равной 1.

В диссертации предполагается, что параметры b и а достаточно малы, а 7 фиксировано и не мало.

Далее будем обозначать отображение (1) через Т. Заметим, что Т не является диффеоморфизмом на R2. Его якобиан J(T) равен J = Ь - ау и, следовательно, обращается в нуль на линии 10 : у = Ь/а. Образом этой линии относительно Т является единственная точка

\а \ а

которую мы называем точкой коллапса.

В работе С.В.Гонченко, М.Ч.Ли и М.И.Малкина (2008) (см. также [1]) показано, что в любой достаточно малой окрестности V начала координат плоскости (а, Ь) существует конусообразная область D (примыкающая к точке (0,0))

0<^<1 + р(а,6), (2)

где р(а, Ь) ->■ 0 при а, b 0, такая что

1) Л(Т) при (a, b) € V\D является подковой Смейла - ориентируемой при b > 0 и неориентируемой при b < 0;

2) область D содержит бесконечно много открытых областей, примыкающих к точке (0,0), при значениях параметров из которых А(Т) является полуориентируемой подковой.

Следующая лемма - это усиленный вариант утверждения 2).

Лемма 1.2. Пусть отображения Т и Т' имеют полу ориентируемые подковы А и А' соответственно такие, что Р* е 673 и Р*' е Если РФ Р или /3 = р, но Р* е Р*' 6 (либо Р* е Р*' е <3^, то системы Т|Л и Т'\ А' не являются локально топологически сопряженными.

Отсюда сразу вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4. Существует счетное множество локально-топологически несопряженных полу ориентируемых подков.

Те полуориентируемые подковы, которые отвечают области НО\ па- ' раметров (а, Ь) будем называть право-ориентируемыми (рис.1 а), а области Н02 - лево-ориентируемыми (рис.1 с). Очевидно, лево- и право-ориентируемые подковы не сопряжены друг другу. Однако, две подковы одного типа могут быть сопряжены. Пусть НС* ~ это множество, состоящее из счетного набора непересекающихся открытых областей б, С1, С, Ср для всевозможных /3. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.5. Для локальной топологической сопряженности полуориентируемых гиперболических подков А и А' одинакового типа, лево- или право-ориентируемых, необходимо и достаточно, чтобы Р* и Р*' принадлежали одной и той же компоненте связности множества НС*.

Очевидно теперь, что зная положение точки коллапса Р*, можно получить полную информацию о топологических свойствах соответствующей полуориентируемой подковы Л. Естественно, это не всегда просто. Мы опишем только один результат такого сорта, который иллюстрирует, однако, весьма нетривиальную динамику даже в случае гиперболических подков.

Теорема 1.6. Пусть А - право-ориентируемая подкова для значений | параметров из области Н02. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Пусть Р* £ (?д, где /? = [67—Т^]- Тогда и-граничной точкой подковы А

п+2

является точка периода (п+З) с периодической кодировкой {[0,0,?.. 1]}.

2) Если Р* е то и-граничной является точка периода три с кодировкой {[ 0,0,1]}.

3) Если Р* е С, то и-граничной является точка периода два.

ЗЬ) если |Л2| < |Лз|, то аттрактор "восьмёрочный".

Оба сценария рассматриваются в общих чертах в § 2.2.

Заметим, что сценарий возникновения спирального аттрактора у трехмерных потоков был рассмотрен еще в работе Л.П.Шильникова (1986). Фактически, в диссертации предлагается его модификация для случая трехмерных отображений. Сценарии же с лоренцевскими/восьмерочными аттракторами являются по-существу новыми: они были впервые представлены в работе [3], во всяком случае автору неизвестны какие-нибудь еще результаты на эту тему.2

В § 2.3 первый сценарий рассматривается более детально, и кроме того здесь же (в § 2.3.1) приводятся примеры его реализации в трехмерных отображениях Эно.

Во втором случае, благодаря тому, что при /л > ^ точка Ом является седлом с одномерным неустойчивым многообразием, С А может обладать

23аметим, что аттракторы лоренцевского типа для диффеоморфизмов впервые были обнаружены в работе (Э.СопсЬепко ¡Л а1, 2008) у трехмерных отображений Эно, а в моделях из приложений - совсем недавно в иеголономиой модели кельтского камня, [5.6].

псевдо-гиперболической структурой, также как и известный аттрактор Лоренца. Таким образом, аттракторы лоренцевского (и восьмерочного) типа, возникающие у трехмерных диффеоморфизмов в результате простых универсальных сценариев, можно рассматривать в качестве новых примеров странных псевдогиперболических аттракторов. Поэтому в диссертации им уделяется особое внимание. В §§ 2.4-2.5 обсуждаются, в основном, вопросы, посвященные математической теории таких, псевдогиперболических, СА, а в главе 3 изучаются, качественно и численно, аттракторы лоренцевского типа в трехмерных отображениях Эно различных видов.

Основываясь на представленных в § 2.5.1 элементах теории псевдогиперболических (лоренцевского типа) СА для диффеоморфизмов, в диссертация (§ 2.5.2) предложена поисковая стратегия идентификации аттракторов лоренцевского типа, которая состоит в следующем. Пусть мы нашли каким-то образом аттрактор А*, похожий на лоренцевский, и хотим убедиться, что это действительно так. Тогда мы поступаем следующим образом.

1) Проверяем геометрическое сходство с аттрактором Лоренца найденного аттрактора А*.

Это сходство будет состоять, в частности, в том, что (¿) аттрактор А* содержит седловую неподвижную точку О* с мультипликаторами АЬА2,7 такими, что |А2| < |А1| < 1 < |7|, Ах > 0,А2 < 0,7 < -1 и |АХ7| > 1; (и) многообразия \Уи{0*) и \У*(0*) пересекаются; (ш) фазовые портреты "похожи", см., например, рис.5.

2) Проверяем численно странность и псевдогиперболичность аттрактора А*.

На этом этапе мы исследуем спектр Аь Л2, Л3 ляпуновских показателей отображения Т на аттракторе А*, и показываем, что этот спектр, где Ах > Л2 > Л3, удовлетворяет таким условиям: (1) Лх > 0; (2) Ах + Л2 + Л3 < 0" (3) Ах + Л2 > 0. Условия (1) и (2) означают, что аттрактор А* является странным, а условие (3) - что он псевдогиперболический.

3) Строим численно график зависимости старшего ляпуновского показателя Ах от параметра на интервале, содержащем то его значение при котором существует аттрактор А*.

На этом этапе мы проверяем (но только численно!), что наш аттрактор не является квазиаттрактором, т.е. не содержит устойчивых периодических траекторий больших периодов, которые также не появляются и при возмущениях.

4) Исследуем качественно и численно основные бифуркации от устойчивой точки, приводящих к появлению аттрактора А*, а также основные этапы его разрушения.

Содержание главы 3. Эта глава посвящена в основном качественному и численному исследованию аттракторов лоренцевского типа в трехмерных обобщенных отображениях Эно разного вида. Однако предпочтение отдается тем отображениям, квадратичным и кубическим, которые имеют гомоклиническое происхождение, т.е. возникают как нормальные формы соответствующих отображений первого возвращения вблизи гомоклшшче-ских касаний.

Определение 3.1. Трехмерное квадратичное отображение Т : М3 М3 будем называть трехмерным отображением Эно, если оно удовлетворяет следующим трем условиям: (О Т имеет постоянный якобиан; (11) отображение Т~1, обратное к Т, также является квадратичным; (¡11) координаты "не отщепляются", т.е. Т не может быть представлено в виде прямого произведения (двух или трех) отображений меньшей размерности.

Как известно (Н.Е.ЬотеН, Л.Б.Ме183, 1998), любое трехмерное отображение Эно с помощью аффинных замен координат может быть приведено к такому виду (нормальной форме)

х = У, У = г,

г = Мх + М^у + М%г + Вх + ау2 + Ъух + сг2,

с семью параметрами: однако сдвигом и рескейлингом число параметров всегда можно сделать не больше пяти.

Определение 3.2. Отображение Т : {х, у, г) н- {х, у, г) вида

х = у, у = г, 2 = Вх + Цу,г), (3)

где / - некоторая гладкая функция, В ф 0 - константа, будем называть трехмерным обобщенным отображением Эно.

Предположим, что отображение (3) имеет неподвижную точку М(х0, х0, х0) с мультипликаторами (1, —1, —1), обозначим

а = о.^о), /5 = /уг(х0,х0), 7 =

Вложим отображение (3) в трехпараметрическое семейство Т£, которое при г = 0 имеет указанную точку М.

Теорема 3.1. Пусть при £ = 0 выполнено следующее условие:

(7-£*)(£*-/? +7) >0. (4)

Тогда отображение Те шгеет аттрактор лоренцевского типа при всех значениях е из некоторой открытой, примыкающей к точке е = 0, подобласти множества значений параметров е.

Доказательство теоремы 3.1 приведено в § 3.3.

Условие (4) позволяет легко определить классы отображений Эно (квадратичных и обобщенных), в которых могут наблюдаться аттракторы лоренцевского типа. В § 3.2 рассмотрены три примера таких трехпараметри-ческих семейств отображений Эно (два квадратичных и одно кубическое). Численные исследования этих отображений включали построение карт ля-пуновских показателей на плоскости двух управляющих параметров (третий параметр, якобиан В отображения, мы зафиксировали, В = 0.7), выбор подходящего пути на карте и отслеживание на нем соответствующего сценария возникновения и разрушения аттракторов лоренцевского типа. Для подходящего аттрактора был (в соответствии со стратегией идентификации из гл.2) определен спектр ляпуновских показателей и построен график старшего ляпуновского показателя в зависимости от параметра. Результаты исследований показаны на соответствующих иллюстрациях из § 3.2.

Содержание главы 4. В четвертой главе изучается неголономная модель движения кельтского камня на плоскости. Основная цель - изучение хаотической динамики, включая исследование бифуркационных механизмов возникновения хаоса и различных видов хаоса. В главе показано, что здесь могут наблюдаться как странные аттракторы, такие как спиральный (шильниковский) аттрактор, а у некоторых моделей кельтского камня могут существовать и аттракторы лоренцевского типа, а также сравнительно малоисследованный и новый вид хаоса - смешанная динамика.

Движение кельтского камня на плоскости рассматривается в механике как один из самых сложных и до сих пор весьма слабо исследованных типов движения твердого тела вообще. Более того, это один из немногих таких видов движения, в которых возможна хаотическая динамика. Впер-

вые странные аттракторы в динамике кельтских камней были обнаружены в работах А.В.Борисова и И.С.Мамаева (2002, 2003).

Глава 4 состоит из четырех параграфов. В § 4.1 содержится краткий обзор известных результатов по динамике кельтского камня, а также приводится постановка задача. В § 4.2 содержатся в основном известные, но необходимые для дальнейшего сведения о неголономной модели кельтского камня: приводятся уравнения движения, вводятся переменные Андуайе-Депри (§ 4.2.1.) и рассматриваются симметрии (§ 4.2.2), включающие также свойства обратимости, которыми указанные уравнения обладают.

Параграфы 4.3 и 4.4 содержат в основном новые результаты.

В § 4.3 рассматривается неголономная модель кельтского камня, которую изучали A.B. Борисов и И.С. Мамаев (ВМ-модель), поэтому ряд полученных в диссертации результатов пересекаются с полученными этими авторами. Однако здесь получены и новые результаты. Так исследован бифуркационный механизм возникновения странного аттрактора, который связан с жесткой потерей устойчивости т.н. большого предельного цикла (или ВМ-цикла) в результате обратной (супкритической) бифуркации удвоения периода: устойчивый цикл сливается с седловым циклом удвоенного периода. Также прослежена эволюция возникшего странного аттрактора при уменьшении значения энергии камня (один из управляющих параметров в системе): численно показано, что в некоторый момент он становится спиральным аттрактором, т.к. содержит состояние равновесия типа седло-фокус; затем на некотором интервале значений параметра наблюдается смешанная динамика (неблуждающее множество содержит оба седло-фокуса - с отрицательной и положительной дивергенцией); при дальнейшем уменьшении энергии хаос становится близким к консервативному (в динамике все большую роль начинают играть симметричные эллиптические и седловые периодические траектории); и, наконец, при значениях энергии, близких к потенциальной, динамика становится близкой к интегрируемой.

В § 4.4 рассмотрена новая неголономная модель кельтского камня. Эта модель интересна тем, что в ней при определенных значениях управляющих параметров наблюдается аттрактор лоренцевского типа, который не только похож на классический аттрактор Лоренца, см. рис. 5, но и основные бифуркации, приводящие к его появлению оказались почти идентичны тем, которые наблюдаются в модели Лоренца (Л.П. Шильников, 1980). При исследовании аттрактора, в частности, были построены спектр ляпуновских

(a) (b)

Рисунок 5: (а) аттрактор лоренцевского типа при Е = Е" = 752 в модели кельтского камня (показано порядка 10000 итераций некоторой начальной точки); Ь) проекция на пл. (ж, z) аттрактора Лоренца из системы Лоренца.

показателей аттрактора и график зависимости старшего ляпуновского показателя от параметра. Это позволило (но только численно) утверждать, что найденный аттрактор является аттрактором лоренцевского типа. Насколько мы знаем, указанная модель кельтского камня является первой моделью прикладного характера, в которой такие аттракторы были обнаружены.

Основные публикации автора по теме диссертации. Публикации в изданиях из перечня ВАК

[1] Гонченко A.C., Гонченко С.В."К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла".- Нелинейная Динамика, 2007, т.З, No.4, 423443.

[2] Гонченко A.C., Гонченко C.B., Малкин М.И. "О классификации классических и полуориентируемых подков в терминах граничных точек", Нелинейная динамика, 2010, т.6, No.3, 549-566.

[3] Гонченко A.C., Гонченко C.B.., Шильников Л.П. "К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений", Нелинейная динамика, 2012 т.8,№1, 3-28.

[4] Гонченко A.C., Гонченко C.B., Казаков А.О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики "кельтского камня" // Нелинейная динамика, 2012, т.8, №3, с. 507-518.

[5] Гонченко A.C., Гонченко C.B. О существовании аттракторов лоренцевского типа в неголономной модели кельтского камня // Нелинейная динамика, 2013, т.9, № 1, с. 77-89.

Подписано в печать 11.11.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 959. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гонченко, Александр Сергеевич, Нижний Новгород

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

Факультет вычислительной математики и кибернетики

04201450189 На правах рукописи

Гонченко Александр Сергеевич

О хаотической динамике двумерных и трехмерных

отображений.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(специальность: дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление - 01.01.02)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Лукьянов В.И.

Нижний Новгород

2013

Содержание

Введение 3

1 Полуориентируемые подковы в динамике двумерных отображений 24

1.1 Линейные подковы Смейла и их различные типы....... 26

1.2 Подковы Смейла в нелинейной динамике............ 39

1.3 Полуориентируемые подковы обобщенных отображений Эно. 43

2 О сценариях возникновения хаоса у трехмерных диффеоморфизмов. 53

2.1 Введение в проблему и постановка задачи........... 53

2.2 Постановка задачи и описание основных двух универсальных сценариев возникновения хаоса у трехмерных диффеоморфизмов............................... 55

2.3 О сценарии 1 возникновения спиральных аттракторов в отображениях.............................. 61

2.3.1 Иллюстрация сценария 1 на примере трехмерных отображений Эно........................ 64

2.4 О сценарии 2 возникновения лоренцевского или "восьмероч-ного" СА.............................. 67

2.5 О псевдогиперболических С А.................. 73

2.5.1 К определению аттракторов лоренцевского типа для диффеоморфизмов.................... 74

2.5.2 Стратегия качественного и численного исследования аттракторов лоренцевского типа в конкретных трехмерных отображениях................... 79

3 Лоренцевские аттракторы в трехмерных отображениях Эно. 81

3.1 О квадратичных и обобщенных трехмерных отображениях

Эно................................. 81

3.2 Численные эксперименты с отображениями Эно..............85

3.2.1 Эксперименты с отображением (3.2)....................86

3.2.2 Численные эксперименты с отображениями Эно (3.7). 93

3.3 Доказательство Теоремы 3.1......................................98

4 О регулярной и хаотической динамике в неголономной модели "кельтского камня" 103

4.1 Введение и постановка задачи....................................103

4.2 Уравнения движения и их свойства..............................105

4.2.1 Компактификация: переменные Андуайе-Депри. . . . 107

4.2.2 Симметрии в модели кельтского камня..................108

4.3 Бифуркации и хаотическая динамика.............109

4.3.1 Бифуркации в регулярной динамике..........110

4.3.2 Возникновение хаоса......................................111

4.4 Аттракторы лоренцевского типа в динамике кельтского камня. 114

4.4.1 Характеристики СА при Е = Е* = 752..................116

4.4.2 Этапы возникновения и разрушения аттрактора лоренцевского типа в отображении Те......................117

Список литературы 121

Введение

Одной из основных задач качественной теории динамических систем является задача изучения многомерных систем со сложным, хаотическим поведением траекторий.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность которых не меньше трех для потоков и не меньше двух для отображений). Прежде всего это касалось теории грубых динамических систем, получившей наименование гиперболической теории. Основы этой теории были заложены в работах В.М. Алексеева, Д.В. Аносова, Р. Боуэна, Р. Манэ, К. Пью, К. Робинсона, Я.Г. Синая, С. Смейла, Д. Френкса, Л.П. Шильникова, М. Шуба и др. При этом, как оказалось, грубые (гиперболические) системы, в отличие от двумерных, могут допускать и счетное множество периодических траекторий. Хорошо известными примерами такого рода являются двумерный диффеоморфизм с подковой Смейла и диффеоморфизм Аносова двумерного тора. К настоящему времени гиперболическая теория представляет собой важную самостоятельную часть качественной теории, в которой практически не осталось нерешенных проблем.

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П. Шильникова. Так еще в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических траекторий к состояниям равновесия типа седло [47, 50], седло-узел [47], седло-седло с одной [49] и несколькими [51] гомоклиническими траекториями, а также бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [48, 52]. В дальнейшем бифуркации многомерных динамических систем изучались

в работах В.И. Арнольда, B.C. Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, В.В. Быкова, М. Вианы, Н.К. Гаврилова, C.B. Гонченко, B.C. Гонченко, JI. Диаса, Ю.С. Ильяшенко, J1.M. Лермана, В.И. Лукьянова, А.Д. Морозова, А.И. Нейштадта, Ш. Ньюхауса, Дж. Пэлиса, К. Симо, Ф. Такенса, Д.В. Тураева, А.Я. Хомбурга, А.Л. Шилышкова и др.

Развитие гиперболической теории и теории бифуркаций привело, в свою очередь, к открытию, в 60-70-х годы, динамического хаоса, что по праву считается одним из самых замечательных достижений современной науки. Благодаря ему стало попятно, что сложное поведение траекторий является характерным свойством нелинейных динамических систем, и, таким образом, для многих проблем естествознания и техники оказалось возможным получить адекватное математическое описание. Математическим образом динамического хаоса в диссипативных системах является странный аттрактор - нетривиальное притягивающее инвариантное множество с неустойчивым поведением траекторий на нем. Также как и для гиперболической теории, бурному развитию которой дал начало пример Смейла [96] его знаменитой подковы, в математической теории динамического хаоса эту роль сыграла работа Э.Лоренца [86], в которой была открыта и численно исследована динамическая модель, названная впоследствии "моделью Лоренца". К настоящему времени имеется масса замечательных математических, прикладных и экспериментальных работ, посвященных странным аттракторам. Отметим только, что важнейший вклад в эту теорию был сделан Л.П. Шильниковым и его учениками. Ими была построена теория спиральных аттракторов (Л.П. Шильников), теория лоренцевских аттракторов (геометрическая модель Афраймовича-Быкова-Шильникова), теория тор-хаоса (возникновение хаоса в результате разрушения двумерного тора - Афраймович-Шильников, и при исчезновении периодического движения типа седло-узел с гомоклинической траекторией - Лукьянов-Шильников), теория диких гиперболических странных аттракторов, включающая теорию псевдо-гиперболических СА - Тураев-Шильников, математические основы теории гомоклинического хаоса - Гонченко-Тураев-Шильников) и др. Тем не менее, в отличие, например, от гиперболической теории, теория странных аттракторов далека от своего завершения - здесь еще есть много актуальных и нерешенных проблем.

Следует заметить, что классическая гиперболическая теория имеет дело в основном с потоками и диффеоморфизмами - гладкими обратимыми отображениями. Однако в качественной теории динамических систем

гладкие необратимые отображения, или эндоморфизмы, также хорошо известны, и их исследованию посвящено большое число работ. Здесь следует отметить исследования К. Мира, Л. Гардини, И. Гумовски, Ж.Р. Маротто, М.И. Малкина, М.Ю. Майстренко, А.Н. Шарковского и др. Интерес к этим объектам хорошо понятен, так как необратимые отображения часто часто возникают как некоторые нормальные формы отображений Пуанкаре при упрощающих процедурах (рейскелинге, отбрасывании малых членов и т.п.), и поэтому допускают более простое исследовании динамики и бифуркаций, чем в исходной системе. Кроме того, необратимыми отображениями описываются многие модели в экономике, теории популяций, нейронных сетях и т.н. Теория таких отображений составляет к настоящему времени особую, вполне самостоятельную часть качественной теории динамических систем, и во многом ее методы, терминология и результаты отличаются от теории диффеоморфизмов. Совсем недавно, например, выяснилось, что и гиперболическая теория здесь может быть весьма необычной, и это касается того, с чего она собственно и началась - подков Смейла, но уже в случае двумерных необратимых отображений (этим вопросам посвящена первая глава диссертации).

Что касается теории странных аттракторов, то одной из основных ее проблем является задача описания сценариев перехода к странным аттракторам (СА) от простых притягивающих режимов - устойчивых состояний равновесия и периодических траекторий. В случае двумерных отображений и трехмерных потоков в этом направлении, как хорошо известно, получено большое число весьма интересных и фундаментальных результатов. Здесь достаточно отметить такие из них, как описание сценариев переходов к спиральному С А (Л. П. Шильников), исследование бифуркаций, приводящих к возникновению аттрактора Лоренца (Афраймович-Быков-Шильников, А.Л. Шильников), странных аттракторов в отображении Эно (М.Эно, М. Бенедикс, Л. Карлесон), в цепях Чуа (В.Белых, Л.Чуа), а также построение новых аттракторов таких, как сингулярно-гиперболические аттракторы (К.А. Моралес, М.Ж. Пасифико, Е.Р. Пужалс, Е.А. Сатаев), аттрактор Белых, аттрактор Лози, аттрактор Рёсслера и др. Естественно, все эти результаты могут быть использованы и при исследовании хаотической динамики многомерных систем (размерности > 3 для отображений и > 4 для потоков). Однако, как недавно выяснилось, такие многомерные системы могут обладать С А новых типов, т.н. дикими гиперболическими аттракторами (Тураев-Шильников). Главной особенность этих аттракторов

является то, что они допускают гомоклинические касания но не содержат устойчивых периодических траекторий, которые не появляются также и при возмущениях (Тураев-Шильников, Белых-Чуа, А.Е. Сатаев). Соответственно дикие гиперболические аттракторы нужно относить к "настоящим" СА, к которым, как известно, до недавнего времени можно было приписывать только лишь гиперболические и квазигиперболические (аттракторы Лоренца) С А.

В связи с этим возникает естественный интерес к проблемам хаотической динамики многомерных систем, связанный, в частности, с нахождением сценариев возникновения С А, в том числе и нового типа - диких гиперболических. В настоящей диссертации мы имеем дело как раз с этой задачей, и предпринимаем попытку анализа хаотической динамики трехмерных гладких отображений с позиций качественной теории. Мы показываем, что, независимо от природы конкретных математических моделей, если только они допускает описание с помощью трехмерных диссипатив-ных (с якобианом меньше единицы) отображений, существуют два основных сценария развития хаоса, приводящих либо к аттрактору Шильникова, который может быть спиральным или седловым, либо к С А лоренцевско-го типа или "восьмерочного" типа. Заметим, что в случае потоков сценарий со спиральным аттрактором, содержащим состояние равновесия типа седло-фокус, был рассмотрен еще в работе Л.П.Шильникова (1986), а здесь мы предлагаем его модификацию, приспособленную именно к трехмерным отображениям.

Одним из важнейших направлений в теории динамического хаоса является применение полученных математических результатов к прикладным задачам. Одна из таких задач - исследование хаотической динамики в неголономной механической модели кельтского камня - рассматривается в диссертации.

Объект исследования В диссертации рассматриваются следующие объекты.

1) Двумерные кусочно-линейные отображения и двумерные обобщенные квадратичные отображения Эно.

2) Однопараметрическис семейства трехмерных диффеоморфизмов, допускающие бифуркации перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору.

3) Трехмерные обобщенные отображения Эно различного вида.

4) Неголоиомные модели, описывающие движения кельтского камня на плоскости.

Цели и задачи исследования Основная задача диссертации состоит в исследовании хаотической динамики двумерных эндоморфизмов и трехмерных диффеоморфизмов. В случае двумерных эндоморфизмов (двумерных обобщенных квадратичных отображения Эно) задача состоит в исследовании их гиперболической динамики, и выяснении ее новых свойств по сравнению со случаем диффеоморфизмов. В случае трехмерных диффеоморфизмов основная задача состоит в установлении и описании новых универсальных сценариев развития хаоса от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору и в качественно-численном исследовании этих сценариев в конкретных отображениях - трехмерных обобщенных отображениях Эно различного вида. В качестве приложения полученных результатов рассматривается задача исследования хаотической динамики неголоиомных моделей кельтского камня.

Научная новизна исследования

Среди новых результатов, полученных в диссертации, можно выделить следующие:

1. В случае двумерных эндоморфизмов открыты подковы Смейла нового типа, так называемые полуориентируемые подковы, найдены их топологические инварианты. Показано, что у таких подков в случае обобщенных квадратичных отображений Эно граничные периодические точки могут быть любых периодов.

2. В случае трехмерных диффеоморфизмов описаны новые универсальные бифуркационные сценарии перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору либо шильниковеко-

го (спирального или седлового) типа, либо лоренцсвского или восьмс-рочного типа.

3. Построены критерии существования у трехмерных обобщенных отображений Эно странных аттракторов лоренцевекого типа. Качественно и численно исследованы бифуркации, приводящие к таким аттракторам у ряда конкретных отображений.

4. Исследована хаотическая динамика некоторых неголономных моделей кельтского камня. Показано, что здесь могут существовать странные аттракторы спирального типа, смешанная динамика, а также, у некоторых типов камней, аттракторы лоренцсвского типа.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Результаты работы докладывались на конференциях: Итоговая научная конф. учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства", ННГУ, 2007; V Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008; IX Всероссийской конф. "Нелинейные колебания механических систем", Н.Новгород, 2012; IUTAM Symposium "From mechanical to biological systems- an integrated approach", 2012; VI Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2012; Мини-конференция "Shilnikov's Workshop посвященная памяти Л.П. Шильнико-ва, Н.Новгород, 2012; IV Int. Conf. GDIS, Izhevsk, 2013; Int. Conf. "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors", N. Novgorod, 2013.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК ННГУ (руководитель -Л.П.Шильников); на Нижегородском научном семинаре им. Л.П.Шильни-кова "Нелинейная динамика: теория и приложения" (руководитель - C.B. Гонченко); на семинаре по динамическим системам ННГУ (2011, 2012, руководитель А.Д. Морозов); на научном семинаре кафедры ЧиФА ННГУ (2013, руководитель Д.В.Баландин); на семинаре по механике МГУ и ИМАШ РАН (2012, руководитель - Д.В. Трещев); на семинаре по неголономной механике в УдГУ, Ижевск (2011, 2012, руководители - A.B. Борисов, И.С. Мамаев).

Результаты диссертации явились составной частью работ, выполнявшихся при финансовой поддержке РФФИ (гранты 07-01-00566, 10-01-00429,

13-01-00589 и 13-01-97028-роуо1ре), ФЦП "Кадры" No.14.B37.21.0361 и No.14.B37.21.0863, а также гранта Правительства РФ N0. 11.G34.31.0039.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации: 129 стр., 58 рис., 101 наименование литературы.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из 4 глав.