Статистические характеристики хаотических колебаний в нелинейных системах в присутствии шума тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

1 Структура хаоса и методы диагностики гиперболичности хаотических аттракторов.

1.1. Расчет угла пересечения ф устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории для двумерных обратимых отображений.

1.2. Статистика значений угла ф и нелокальное поведение многообразий встроенных в аттрактор седловых циклов и хаотических траекторий.

1.2.1. Квазиаттрактор в системе Хенона.

1.2.2. Квазигиперболический аттрактор в системе

Лози.~

1.2.3. Гиперболический аттрактор в диссипативном отображении на торе.

1.3. Расчет угла ф между многообразиями хаотической траектории для трехмерных потоковых систем.

1.3.1. Модификация метода расчета угла ф между устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории для случая трехмерной потоковой системы.

1.3.2. Квазигиперболический аттрактор и квазиаттрактор в системе Лоренца.

1.3.3. Квазиаттрактор в системе Ресслера.

1.4. Выводы.

2 Статистические характеристики хаоса в присутствии шума.

2.1. Влияние шума на распределение угла пересечения направлений устойчивости и неустойчивости хаотической траектории.

2.1.1. Квазиаттрактор в системе Хенона.

2.1.2. Квазигиперболический аттрактор в системе

Лози.

2.1.3. Гиперболический аттрактор в диссипативном отображении на торе.

2.2. Влияние шума на зависимости усредненных по времени характеристик хаоса от управляющих параметров системы.

2.3. Исследование стационарной плотности вероятности на негиперболических аттракторах двумерных обратимых отображений в присутствии шума. Сравнительный анализ алгоритмов расчета и построения плотности распределения вероятностей.

2.3.1. Алгоритмы и методы построения плотности распределения вероятностей.

2.3.2. Расчет установившегося распределния вероятностей. Анализ влияния характеристик источника шума на распределение вероятности.

2.4. Выводы.

Особенности процесса установления стационарного вероятностного распределения на хаотических аттракторах различной структуры в присутствии шума.

3.1. Методы исследования процесса установления стационарного вероятностного распределения и характеристики скорости перемешивания.

3.2. Процесс установления стационарного вероятностного распределения на хаотическом аттракторе в системе Лоренца. Влияние шума на различные характеристики скорости перемешивания.

3.3. Исследование процесса перемешивания в системе Рес-слера. Механизм влияния шума на характеристики скорости перемешивания.

3.4. Исследование процесса перемешивания в системе двух взаимно связанных осцилляторов Ресслера.

3.5. Выводы.

Развитие теории нелинейных колебаний привело к одному из замечательных открытий XX века - открытию динамического хаоса [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. В работах [12, 13, 14, 15, 16, 3] была создана так называемая гиперболическая теория, то есть теория структурно устойчивых систем со сложным поведением фазовых траекторий. Выделяют класс консервативных систем (потоков и каскадов), для которых условия структурно устойчивой гиперболичности выполняются во всем фазовом пространстве. Это - так называемые У-системы Аносова [16, 17], примером которых могут служить автоморфизмы тора. В диссипативных системах условия грубой гиперболичности должны выполняться не во всем фазовом пространстве, а на базовых множествах (предельных множествах). Общие условия струкурной устойчивости систем с размерностью фазового пространства N > 3 были сформулированы в работах Смейла [12, 13]. Аттракторы систем, удовлетворяющих условиям Смейла, называют грубыми гиперболическими аттракторами. Они имеют следующую структуру [18]:

1. Грубые гиперболические аттракторы состоят из континуума "неустойчивых листов" или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся.

2. В окрестности любой точки они имеют геометрию произведения канторова множества на интервал.

3. Грубые гиперболические аттракторы имеют окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.

Все траектории гиперболического аттрактора должны принадлежать к одному седловому типу, то есть каждая траектория должна иметь устойчивое и неустойчивое многообразия, и размерности этих многообразий должны быть одинаковы для всех траекторий. Для грубых гиперболических аттракторов всюду плотны как седловые периодические, так и грубые гомоклинические орбиты. Они удовлетворяют аксиоме А Смейла и являются структурно устойчивыми (грубыми). Устойчивые и неустойчивые многообразия грубого гиперболического аттрактора всюду трансверсальны.

Известны примеры искуственно сконструированных гиперболических аттракторов, такие как аттрактор Смейла-Вильямса [19], аттракторы Плыкина [20]. Однако в реальных динамических системах и их математических моделях структурно устойчивые (грубые) гиперболические аттракторы еще не были обнаружены.

Имеется ряд систем, обладающих аттракторами, по свойствам весьма близкими к гиперболическим. Такие аттракторы являются хаотическими, не включают устойчивых регулярных аттракторов и сохраняют эти свойства при возмущениях. С математической же точки зрения, для таких систем нарушается по крайней мере одно из трех условий гиперболичности [18]. Для них возможно локальное нарушение однородности в силу существования особых фазовых траекторий. Это могут быть седловые состояния равновесия, имеющие иную размерность многообразий, сепаратрисные петли или негрубые гомоклинические траектории. Для того чтобы аттрактор оставался квазигиперболическим, такие траектории должны иметь нулевую меру на аттракторе и их рождение и исчезновение не должно приводить к рождению устойчивых траекторий и влиять на структуру хаотического гиперболического множества. Таким является аттрактор в системе Лоренца [21, 22, 23], и подобные ему аттракторы в других потоковых системах [24, 25, 26, 27, 28], аттракторы отображений плоскости, такие как аттрактор Лози [29] и аттрактор Белыха [30] и другие. Подобные аттракторы получили название почти гиперболических, квазигиперболических или псевдогиперболических [18, 31, 32].

Большинство хаотических аттракторов, наблюдаемых в различных динамических системах, не относятся ни к грубым гиперболическим, ни к почти гиперболическим аттракторам. Это, так называемые, квазиаттракторы или негиперболические аттракторы, которые являются наиболее типичными в исследованиях и иллюстрируют экспериментально наблюдаемый хаос во многих реальных системах [18, 31, 32, 33, 2, 5, 34, 35, 11, 36, 37, 38, 39]. Такие аттракторы включают в себя гомоклинические кривые, возникающие в результате касания гладких многообразий. Это могут быть сепаратрисные петли седлофокусов или гомоклинические кривые седловых циклов в момент касания их устойчивых и неустойчивых многообразий. В окрестности таких траекторий при некоторых довольно общих условиях порождается отображение типа подковы Смейла, содержащее помимо нетривиального гиперболического подмножества траекторий, счетное множество устойчивых периодических орбит [18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47]. Аттрактор оказывается "продырявлен" совокупностью бассейнов притяжения различных периодических движений. Бассейны притяжения устойчивых циклов очень узки и перемешаны в фазовом пространстве так, что выделить их в численном эксперименте оказывается не всегда возможным. На практике уже очень малый шум может привести к объединению бассейнов притяжения регулярных и нерегулярных режимов [48]. В силу этих причин все притягивающее множество траекторий, включающее совокупность как хаотических, так и устойчивых периодических траекторий, рассматривается как единое предельное притягивающее множество, называемое квазиаттрактором или негиперболическим аттрактором.

Первый вопрос, который возникает при исследовании хаотической системы, - это вопрос о том, к какому типу аттракторов относится хаотический аттрактор данной системы. Диагностика негиперболичности или гиперболичности хаотического аттрактора может быть основана либо на исследовании поведения многообразий встроенных седловых циклов, либо на поведении многообразий, непосредственно самих хаотических траекторий. Алгоритм, основывающийся на исследовании поведения угла между многообразиями в различных точках хаотической траектории, был предложен в [49], где он использовался для исследования свойства гиперболичности хаотических седел двумерных отображений. Возникает вопрос о модификации алгоритма нахождения угла между устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории для случая потоковых систем и для систем с шумом. Необходимо также убедиться, что оба метода диагностики негиперболичности приводят к полностью совпадающим результатам.

Однородная грубая структура гиперболического хаоса определяет грубость всех его статистических и динамических характеристик по отношению к вариации параметров системы или введению слабого шума [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Измеряемые в экспериментах или вычисляемые при компьютерном моделировании характеристики хаотического поведения систем с почти гиперболическими аттракторами также устойчивы к возмущениям [57]. Совсем иначе ведут себя системы с негиперболическим хаосом. Малые изменения управляющих параметров либо воздействие на систему шума могут приводить к существенным изменениям структуры хаотического аттрактора [58] и, следовательно, влиять на вид усредненных на аттракторе характеристик.

Возникает задача детального сравнения поведения различных характеристик хаотических колебаний для разного типа хаотических аттракторов. Важно также выяснить, как влияет шум на структуру аттрактора и его характеристики.

Большинство характеристик аттракторов (среднее значение динамических переменных, их дисперсии, корреляционные функции, средние на аттракторе ляпуновские показатели и прочие) являются статистическими (усредненными). Как правило применяется усреднение по времени. Для корректного ввода таких характеристик необходимо существование инвариантной вероятностной меры и свойство эргодичности системы [59, 60, 61, 62]. Для возникновения на аттракторе вероятностной меры кроме эргодичности необходимо, чтобы система обладала свойством перемешивания, когда малый элемент фазового пространства с течением времени распределяется по всему аттрактору. Вопрос о вероятностной мере и статическом подходе к описанию динамического хаоса решен для гиперболических систем [63, 64, 65, 59]. В работе [66] введено понятие стохастического аттрактора, в соответствии с которым, стохастический аттрактор - это инвариантное замкнутое множество А в фазовом пространстве со следующими свойствами:

1. существует окрестность U, А С U, такая что если х £ [/, то dist{x{t), А) —» 0, при t —» оо, где dist(x{t), А) означает расстояние между x(t) и А в метрическом пространстве

2. для любого начального распределения вероятности Pq на А его сдвиг при t —» оо сходится к инвариантному распределению Р на А, не зависящему от Pq

3. распределение вероятности Р является перемешивающим, то есть автокорреляционная функция стремится к 0 при t —> оо.

Последнее условие исключает существование устойчивых орбит.

К стохастическим аттракторам относятся грубые гиперболические аттракторы и почти гиперболические аттракторы. Таким образом, для динамических систем с грубыми гиперболическими и квазигиперболическими аттракторами существует инвариантная вероятностная мера, не зависящая от начального распределения. Существование такой вероятностной меры для гиперболических и квазигиперболических систем было доказано теоретически [63, 66, 57]. Кроме того, было установлено, что действие на систему белого шума малой интенсивности проиводит к малым изменениям в структуре стационарного распределения. Однако негиперболические аттракторы не удовлетворяют условию (2). Таким образом, вопрос о статистическом описании негиперболического хаоса в системах без шумового воздействия остается открытым.

Введение источников нормального белого шума в любую динамическую систему приводит к тому, что для нее также существует инвариантная вероятностная мера, не зависящая от начальных условий [67], в том числе, и для негиперболических систем. Действие нормального белого шума на негиперболическую систему приводит к объединению бассейнов притяжения всех сосуществующих хаотических и регулярных режимов. В следствие этого стационарная вероятностная мера на негиперболическом аттракторе в присутствии нормального белого шума не зависит как от начальных условий, так и от времени. В общем случае, для негиперболического аттрактора в отсутствии шумового воздействия вероятностной меры, не зависящей от начальных условий, не существует. Если источник шума не является нормальным белым, то инвариантной меры, не зависящей от начальных условий, может не существовать. Таким образом, статистические свойства источника шума и его интенсивность могут оказывать существенное влияние на

- и свойства вероятностной меры аттарактора.

Существует два основных подхода к изучению стохастических систем [68, 69, 70, 71, 72]. Первый основан на решении стохастических уравнений. Каждое отдельное решение стохастических уравнений даже при одинаковых начальных условиях для динамических переменных дает новую реализацию случайного процесса. -Набор большого числа реализаций позволяет получить ^статистический ансамбль и в дальнейшем: исследовать его свойства. На практике, в предположении эргодичности процесса, усреднение по ансамблю' заменяется усреднением вдоль одной достаточно большой временной реализации случайного процесса. Второй' метод заключается в решении эволюционного уравнения для вероятностного распределения. Необходимым условием применимости данного метода является свойство марковости для случайного процесса, что накладывает определенные условия на источник шума. Для потоковых систем при воздействии нормального белого шума случайный процесс является диффузионным марковским и для него таким уравнением является уравнение Фоккера-Планка. При воздействии ограниченного источника белого шума процесс является марковским, но не является диффузионным, и для него можно записать уравнение Чепмена-Колмогорова. При условии, что источники шума являются ^-коррелированными и распределенными по нормальному закону, оба метода должны давать идентичные результаты [68, 69, 70, 73]. Возникает вопрос о существовании и свойствах стационарного вероятностного распределения на негиперболическом аттракторе в присутствии ограниченного ^-коррелированного шума или шума с конечным временем корреляции.

Другим важным вопросом является вопрос о процессе установления стационарного вероятностного распределения на хаотическом аттракторе и его связи с характеристиками перемешивания на аттракторе. Установление стационарного вероятностного распределения, при условии, что оно существует, описывается'уравнением эволюции. К сожалению, даже если динамическая система имеет размерность N = 3, нестационарное решение для уравнения эволюции вероятностного распределения сложно получить даже численно. Процесс установления стационарного вероятностного распределения связан с явлением-перемешивания. Известно, что для диффеоморфизмов, удовлетворяющих А-аксиоме, скорость перемешивания определяется энтропией Колмогорова-Синая Hk [74, 75, 76]. Для таких отображений корреляционная функция спадает экспоненциально, и время корреляции тсог = Н^1 [14], где Нk может быть определено черех старшие ляпуновские показатели [77, 78]. Для потоковых Систем такое соотношение не выполняется [79]. При рассмотрении негиперболических аттракторов и внесении в систему шумового воздействия проблема еще больше услосложняется. Представляется важным вопрос о характеристиках процесса установления стационарного вероятностного распределения на хаотических аттракторах квазигиперболического и негиперболического типов в потоковых системах и влиянии на них шумового воздействия.

Сформулированные выше вопросы и задачи определили цель диссертационной работы, которая заключается в исследовании свойств хаотических аттракторов гиперболического и негиперболического типов и анализе влияния флуктуаций на хаотическую динамику.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать алгоритм и создать программу расчета угла между устойчивым и неустойчивым направлениями хаотической траектории для случая трехмерной потоковой системы и систем с шуmom.

2. -Исследовать влияние шума на статичтические характеристики гиперболических и негиперболических аттракторов.

3. Изучить свойства стационарного вероятностного распределения .на негиперболических аттракторах в присутствии ограниченного ^-коррелированного- шума и шума с ^конечным временем корреляции,

4. Исследовать влияния шума на характеристики процесса установления стационарного вероятностного распределения на хаотических аттракторах дифференциальных систем различного типа.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения: и списка цитируемой литературы. В первой главе рассматривается метод диагностики гиперболичности хаотических аттракторов, основанный на расчете угла ф между устойчивым и неустойчивым направлениями хаотической траектории. Производится модификация этого метода для случая трехмерных потоковых систем. Исследуется возможность диагностирования типа хаотического аттрактора при использовании разработанного метода. Во второй главе исследуется влияние шума на статистические характеристики гиперболического и негиперболического хаоса. Анализируется его влияние на распределение угла ф между устойчивым и неустойчивым направлениями хаотической траектории и зависимости статистических характеристик от управляющих параметров. Экспериментально исследуется возможность построения стационарного распределения вероятности независящего от выбора начальных условий для негиперболических систем в присутствии шума с ограниченным распределением. В третьей главе Рассматриваются

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. Угол ф между устойчивым и неустойчивым направлениями хаотической траектории может служить критерием для диагностирования свойств гиперболичности хаотических аттракторов в двумерных обратимых отображениях.

2. Произведенная модификация метода расчета угла ф на случай трехмерных потоковых систем позволяет диагностировать тип хаотического аттрактора при использовании указанного метода.

3. Проанализированно влияние шума на распределение угла между устойчивым и неустойчивым направлениями хаотической траектории. Шум не вносит качественных изменений в распределение угла ф между направлением устойчивости и неустойчивости траектории как для гиперболических, так и для негиперболических систем. Тип хаотического аттрактора (его гиперболичность или негиперболичность), определяемый по поведению угла ф между направлением устойчивости и неустойчивости траектории, не меняется под действием шума.

4. Проанализированно влияние шума на усредненные характеристики хаоса при вариации управляющих параметров системы. В случае гиперболического и почти гиперболического хаоса шум не оказывает существенного влияния на зависимости статистических характеристик от параметров. В случае негиперболического хаоса шум может вызывать качественные изменения, приводя к тому, что негиперболический аттрактор, по некоторым своим свойствам, становится подобным почти гиперболическому аттрактору, что проявляется в сглаживании зависимости старшего ляпуновского показателя и других усредненных характеристик от управляющего параметра.

5. Для негиперболических систем в присутствии ограниченного шума возможно существование стационарного распределения вероятностей, независящего от выбора начальных условий. Показано, что метод, основанный на решении стохастических уравнений, применим для построения стационарного распределения вероятностей на негиперболическом аттракторе в присутствии шума. Продемонстрированно, что наличие корреляций в последовательности состояний источников шума, применяемых при вычислении распределения вероятностей, может привести к существенным ошибкам.

6. Для квазигиперболических аттракторов различные характеристики скорости перемешивания находятся в пропорциональном соотношении и практически не зависят от интенсивности шума.

7. Существует класс негиперболических аттракторов (аттракторы спирального типа), для которых шум оказывает существенное влияние на показатели скорости релаксации системы к стационарному вероятностному распределению и время корреляции и практически не изменяет значение старшего ляпуновского показателя.

8. Скорость процесса перемешивания на негиперболических аттракторах в i?3 определяется не только положительным ляпуновским показателем, но также и особенностями динамики мгновенной фазы хаотических колебаний. В режиме спирального (когерентного) хаоса шу

- 113 мовое воздействие, приводящее к возникновению сбоев фазы, может существенно ускорить процесс перемешивания. В случае аттракторов с нерегулярным поведением мгновенной фазы, к которым относятся квазигиперболические аттракторы и негиперболические аттракторы винтового типа, шум не может оказать заметного влияния на процесс перемешивания.

Заключение.

В соответствии с поставленными целями и задачами в диссертационной работе исследовались свойства хаотических аттракторов гиперболического и негиперболического типов. Изучались свойства стационарного вероятностного распределения на негиперболических аттракторах в присутствии шума с ограниченным распределением. Исследовалось влияние шума на хаотическую динамику, статистические характеристики и характеристики установления стационарного вероятностного распределения на хаотических аттракторах.

1. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981.

2. Schuster H.-G. Deterministic Chaos // Weinheim: Physik-Verlag, 1984.

3. Guckenheimer J.M., Holms Ph., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. -N.Y.: Springer-Verlag,1983.

4. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

5. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика // М.: Мир, 1984.

6. Синергетика / Под ред. Б.Б. Кадомцева. М.: Мир, 1984.

7. Berge P., Pomeau Y., Vidal С.Н. Order within Chaos (Towards Deterministic Approach to Turbulence). N.Y.: John Wiley and Sons,1984.

8. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors // Appl. Math. Sci. V. 41. Berlin: Springer, 1982.

9. Сонечкин Д.М. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

10. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

11. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука, 1987.

12. Smale S. Differentiable Dynamical Systems // Bull. Am. Math. Soc., 1967. Vol. 73. P. 747-817.

13. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points. //In Differential and Comb. Topology, ed. S. Cairus. Princenton University Press, Princenton, NJ 1963, pp. 192-212

14. R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms, Lecture Notes in Math. 470, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.

15. D. Ruelle and F. Takens, On the nature of turbulence Com-mun. Math. Phys. 20, 167 ,1971.

16. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 1967. Т. 90. С. 3-209.

17. Anosov D.V., Aronson S. Kh., Bronshtein I.U. and Grines V.Z., Smooth dynamical Systems, In dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematical Sciences, I. Springer, Berlin, 1985.

18. Afraimovich V.S., Attractors // Nonlinear Waves 1 / Ed. by A.V. Gaponov, M.I. Rabinovich, J. Engelbrechet. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. p. 6-28.

19. Williams, R., Expanding attractors // Publ. Math. IHES 43, 1974, pp. 169-152

20. Плыкин P.В. О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // УМН, 1980. Т. 35, N 3. С. 94-104.

21. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение "Странные аттракторы", под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. // М.: Мир, 1981. С. 88-116.

22. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца. ДАН СССР, т. 234, N 2, 1977, с. 336-339.

23. L.P. Shilnikov, Theory of bifurcations and the Lorenz model. In The Hopf Bifurcation and its Applications, ed J.E. Marsden and M. Mc-Cracken, Mir Moscow, 1980

24. L.P. Shilnikov, In Methods Qual. Theory of Differential Equations // Gorky State Uneversity, Gorky, 1989, p. 130.

25. Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Шимицу-Мариока. Методы и качественная теория дифференциальных уравнений // Горьковский Государственный университет, Горький, 1986, с. 180— 193.

26. A.L. Shilnikov, On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Marioka system, Physica, Vol. D62, pp. 338-342, 193.

27. C. Robinson, Homoclinic bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type, Nonlinearity, Vol. 2(4), pp. 495-518, 1981.

28. M. Rychlik, Lorenz attractor through shilnikov type bifurcation, Er-godic Theory and Dynamical Systems, Vol. 10(4), pp. 793-821, 1990.

29. Lozi R. Un Attracteur Etrange du Type Attracteur de Henon. Journal de Physique, 39(C5), 1978, p. 9-10

30. Белых B.H. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения. // Матем. сборник, 1995. Т. 186, N 3. С. 311-326.

31. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange Attractors and Quasiattrac-tors. In Nonlinear Dynamics and Turbulence (Eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss and D.D. Joseph). Pitman, Boston, London, Melbourne, 1983. P. 1-34.

32. Шильников JI.П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы // Успехи мат. наук, 1981. Т. 36. С. 240-242.

33. L. Shilnikov, Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int. J. of Bif. and Chaos , Vol. 7, N 9, 1997, pp. 1953-2001

34. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн // М.: Наука, 1984.

35. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН, 1978. Т. 125, вып. 1. С. 123-168.

36. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

37. Анищенко B.C. Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.

38. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic Attractors of Two-dimensional Invertible Maps. // Discrete Dynamics in Nature and Society, 1998. Vol. 2, N 4.

39. Анищенко B.C. Размышления о нелинейной динамике: к вопросу об учебных планах подготовки специалистов по нелинейной динамике // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5, N 4. С. 59-64.

40. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к негрубой гомоклинической кривой // 1. Матем. сб., 1972. Т. 88(130), N 8. С. 475-492; 2. Матем. сб., 1973. Т. 90(132), N 1. С. 139-156.

41. Newhouse S.E. The Abundance of Wild Hyperbolic Sets and Nons-mooth Sets for Diffeomorphism // Publ. Math. IHES, 1979. Vol. 50. P. 101-151.

42. S.V. Gonchenko, L.P Shilnikov, and D.V. Turaev, On models with non-rough Poincare homoclinik curves // Physica D, Vol. 62, 1993, pp. 1-14,

43. S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, and D.V. Turaev, On models with a structurally unstable homoclinik Poincare curve. // Soviet Mathematics, Vol. 44(2), 1992, pp. 422-426

44. S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, and D.V. Turaev, Dynamical phenomena in multidimensional systems with a structurally unstable ho-moclinic Poincare curve. // Russian Academy of Sciences, Doklady Matematicheskie, Vol. 47(3), 1993, pp. 410-415.

45. S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, and D.V. Turaev, Dynamical phenomena in systems with a structurally unstable Poincare homoclinic orbits. // Interdisciplinary Journal of Chaos, Vol. 6(1), 1996, pp. 1-17.

46. Гонченко С.В., Шильников Л.П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми // ДАН СССР. 1986. Т. 286, N 5. С. 1049-1053.

47. Кравцов Ю.А., Эткин B.C. К вопросу о роли флуктуационных сил в динамике автостохастических систем: ограниченность времени предсказуемости и разрушение слабых периодических режимов // Изв. вузов. Сер. "Радиофизика". 1981. т. 24, N 8. с. 992-999.

48. Lai Y., Ggrebogi С., and Yorke J. How often are chaotic saddles non-hyperbolic? Nonlinearity, 6, 1993, p. 779-797

49. Yu. Kifer, Attractors via random perturbations // Commun. Math. Phys. 1989, V. 121. p. 445-455.

50. Кифер Ю.И. Некоторые теоремы о малых случайных возмущениях динамических систем // УМН. 1974. Т.29, вып. 3. с. 205.

51. Е. Ott, E.D. Yorke and J.A. Yorke, "A Scaling Law: How an Attrac-tor's Volume Depends on Noise Level", Phys.D. 16, 62, 1985

52. S. Hammel, C. Grebogi, and J.A. Yorke, "Do Numerical Orbits of Chaotic Dynamical Processes Represent True Orbits?", J. Complexity 3, 136 (1987)

53. S. Hammel, C. Grebogi, and J.A. Yorke, "Numerical Orbits of Chaotic Processes Represent True Orbits", Bull. Amer. Math. Soc. 19, 465 (1988)

54. Ch.G. Schroer, E. Ott, and J.A. Yorke, Effect of noise on nonhyper-bolic chaotic attractors // Phys. Rev. Lett. 81, 1397 (1989).

55. С. Grebogi, L. Poon, Т. Sauer, J. A. Yorke, and D. Auer-bach, "Shadowability of Chaotic Dynamical Systems," in Handbook Dynamical Systems III, Ed. B. Fiedler, Berlin, 1999. p. 1- 26.

56. L.A. Bunimovich and Ya.G. Sinai, Stochasticity of an attractor in the Lorenz model //in Nonlinear Waves, edited by A.V. Gaponov-Grekhov (Nauka, Moscow, 1980), p. 212-226.

57. Анищенко B.C., Сафонова M.A. Бифуркации аттракторов в присутствии флуктуаций // ЖТФ. 1988. Т. 58, вып. 4. С. 641-651.

58. J.-P. Eckmann, D. Ruelle, Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. Vol. 57, No. 3, pp. 617-656, 1985.

59. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. -М.: Наука, 1980.

60. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.

61. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН. 1971. Т. 105, вып. 1. С. 3-39.

62. Ya.G. Sinai, Dynamical systems with elastic collisions // Russian Math. Survey 25, 141, 1970.

63. Bowen R., Ruelle D., The ergodic theory of Axiom A flows. // Inventions Math. 29, 1975, p. 181-202.

64. Ruelle D., A measure associated with Axiom A attractors. // Am. J. Math. 98, 1976, p. 619.

65. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // в сб. Нелинейные волны, под ред. А.В. Гапонова- Грехова. М.: Наука. 1979. С.192-211.

66. R. Graham, A. Hamm, and T. Tel, Nonequilibrium potentials for dynamical systems with fractal attractors or repellers // Phys. Rev. Lett. 66, 3089, 1991.

67. R. L. Stratonovich, Noise in Nonlinear Dynamical Systems // Cambridge University Press, Cambridge, England, Vol. 1, 1989, p. 16.

68. Хорстхемке В., Лефевр P. Индуцированные шумом переходы // М.; Мир, 1987.

69. С. V. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry, and the Natural Sciences // Springer-Verlag, Berlin, 1983

70. H. Haken, Advanced Synergetics, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York/Tokio, 1983

71. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М: Сов. радио. 1977. - 488 с.

72. R. Graham, in Theory of Continuous Fokker-Plank Systems, edited by F. Moss and P.V.E. McClintock // Cambridge University Press, Vol.1, Cambridge, England, 1988

73. Колмогоров A.H. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега // ДАН СССР. 1958. Т.119. С.861-864.

74. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. С.754-755.

75. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т.124. С.768-771.

76. Pesin Ya. В., Invariant manifolds families which correspond to nonva-nishing characteristic exponents // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 40, No. 6, 1976, p. 1332.

77. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т. 32, N. 4, с. 55-112. 40, No. 6, 1977, р. 1332.

78. М. Pollicott, On the rate of mixing of Axiom A flows// J. Invent. Math. 81, 423, 1985.

79. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, A.S. Kopeikin, J. Kurths, and G.I. Strelkova, Effect of Noise on the Relaxation to an Invariant Probability Measure of Nonhyperbolic Chaotic Attractors // Phys. Rev. Lett. V. 87, N 5 p.4101, 2000

80. V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova, and J. Kurths. Influence of noise statistical properties of nonhyperbolic attractors, Phys. Rev. E, V. 62, N 6, 2000, pp. 301-307.

81. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, A.S. Kopeikin, J. Kurths, G.I. Strelkova. Peculiarities of the relaxation to an invariant probability measure of nonhyperbolic chaotic attractors in the presence of noise // Phys. Rev. E (принято к публикации).

82. V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, J. Kurths, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova. Studing hyperbolicity in chaotic systems, Physics Letters A, 270, 2000, pp. 301-307.

83. V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova, J. Kurths. // Peculiarities of Nonhyperbolic Chaos. In Book for L. Schimansky-Geier, Springer Verlag, 2000.

84. Копейкин А.С., Вадивасова Т.Е., Анищенко B.C., Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Ресслера с учетом флуктуаций, Изв.вузов "ПНД", т.8, N 6, 2000, с. 65-77

85. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Kopeikin A.S., Strelkova G.I. Properties of Hyperbolic and Nonhyperbolic Attractors. // Abstracts of Int. Conf. 'Stochaos". Ambleside, UK, Aug. 16-20, 1999. P. 40.

86. Копейкин А.С. Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в присутствии флуктуаций. // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2000",Саратов, 2000, стр.58-61

87. Копейкин А.С. К вопросу о стационарной вероятностной мере негиперболических аттракторов. // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых -1999",Саратов, 1999, стр.58-61

88. Копейкин А.С. Численное исследование трансверсальности многообразий хаотических траекторий обратимых отображений. // Тезисы докладов региональной научной конференции Молодежь и наука на пороге XXI века,Саратов, 1998, стр. 23-24

89. Henon М. A Two-dimensional Mapping with a Strange Attractor // Comm. Math. Phys. 1976. V. 50. P. 69

90. К. Hansen, and P. Cvitanovic, Bifurcation structures in maps of Henon type // Nonlinearity 11, 1998, p. 1233-1261.

91. M. Benedicks and L.Carleson, The dynamics of the Henon map // Annals of Mathematics, Vol. 133(1), pp. 73-169, 1991.

92. Banerjee S., Yorke J., and Grebogi C. Robust Chaos. Phys. Rev. Lett., 80(14), 1998, p. 3049-3052

93. Farmer J., Ott E., and Yorke J. The dimension of chaotic attractors. Physica D, 7, 1983, p. 153

94. Sinai Y. Gibbs Measure in Ergodic Theory. // Russ. Math. Surveys 4, 1972, pp. 21-64.

95. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. P. 167-192.

96. Быков В.В., Шильников Jl.П. О границах области существования аттрактора Лоренца. // Межвуз. тем. сб.: Методы качественной теории и теории бифуркаций. Горький, 1989, с. 151-159.

97. О.Е. Rossler, An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A, 57, 1976, p. 397

98. Arneodo A., Collet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. p. 573.

99. R. Wackerbouer, Noise-induced stabilization of one-dimensional discontinuous maps // Phys. Rev. E., 1998, 58 3, pp. 3036-3043

100. V.S. Anishchenko, Dynamical Chaos Models and Experiments // World Scientific, Singapore, 1995.

101. A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum and J. Kurths, Synchronization in a Population of Globally Coupled Chaotic Oscillators, Europhysics Letters, 34 (3), pp. 165-170, 1996.

102. G.V. Osipov, A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators //Phys. Rev. E 55, 2353, 1997.

103. M.G. Rosenblum, A. Pikovsky, and J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillations // Phys. Rev. Lett. 76, 1804, 1996.

104. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators // Europhys. Lett. 1996. Vol.34. P.165-170.

105. H. Fujisaka and Y. Yamada, Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory systems // Progr. Theor. Phys. 69, 32, 1983.

106. A.S. Pikovsky, On the interaction of strange attractors // Z. Phys. В 55, 49, 1984.

107. L. Pecora and T. Carroll, Synchronization of chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 64, 821, 1990.

108. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, D.E. Postnov, and M.A. Sa-fonova, Synchronization of chaos // Int. J. of Bif. and Chaos 2, 633, 1992.

109. Т.Е. Vadivasova, O.V. Sosnovtseva, A.G. Balanov, and V.V. As-takhov, Phase multistability of synchronous chaotic oscillations. Discrete Dyn. Nat. Soc. 4, 231, 2000.