Экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

.тб о;

2 7 ОКТ 1938

На правах рукописи СТРЕЛКОВА Галина Ивановна

Экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1998

Работа выполнена в Лаборатории нелинейной динамики кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

член-корр. РАЕН,

доктор физико-математических наук, профессор Аншценко B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор СГУ Безручко Б.П., доктор физико-математических наук, профессор СГУ Мельников JI.A.

Ведущая организация: Институт космических исследований Российской Академии Наук

Защита состоится 5 ноября 1998 г. в 18 час. на заседании специализированного совета Д.063.74.01 при Саратовском государственном университете (410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослан " 1 " октября 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Аникин В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из фундаментальных результатов последних десятилетий, оказавших принципиальное влияние на формирование новых взглядов на закономерности эволюционных процессов в естествознании, явилось открытие эффекта детерминированного хаоса.

Математическим образом хаотических автоколебаний является странный (хаотический) аттрактор - предельное множество фазовых траекторий в фазовом пространстве динамической системы (или в пространстве состояний системы). Термин "странный аттрактор" был введен в науку Рюэлем и Такенсом в 1971 году в работе " О природе турбулентности", в которой было дано строгое доказательство возможности существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной динамической системе с конечным числом степеней свободы. Эта работа внесла окончательную ясность в проблему существования нового класса решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображений и сразу была воспринята широким кругом исследователей, в особенности физиками.

Фундаментальные исследования структуры и свойств детерминированного хаоса проводятся в двух основных направлениях. Первое связано с получением строгих математических результатов на основе качественной теории динамических систем и эрго-дической теории. Это наиболее важное направление, так как невозможно себе представить конструктивное развитие нелинейной динамики без опоры на строгие результаты по целому ряду вопросов фундаментального характера. Второе направление включает численное моделирование и эксперименты по исследованию режимов хаотических колебаний в динамических системах, моделирующих реальные процессы в естествознании. Важность второго направления также высока, поскольку эксперименты служат критерием оценки общности строгих результатов и дают реальные материалы для постановки новых теоретических проблем.

Необходимо отметить ряд теоретических результатов, благодаря которым сегодня достигнут достаточно высокий уровень понимания феномена детерминированного хаоса. Прежде всего это результаты Горьковской школы по теории нелинейных колебаний (Л.П. Шильников, Ю.И. Неймарк, В.Н. Белых, B.C. Афраймович,

B.B. Быков и др.), Московской школы математиков (В.И. Арнольд, Д.В. Аносов, Я.Г. Синай, JI.A. Бунимович, Я.Б. Песин,

A.Н. Колмогоров, Ю.И. Кифер, P.JI. Стратонович и др.), группы математиков Ленинградского университета (Г. А. Леонов, Д.В. По-номаренко, В.Б. Смирнова и др.), группы украинских математиков (А.Н. Шарковский, Ю.Л. Майстренко и др.), а также представителей ряда зарубежных школ (D. Ruelle, F. Takens, S.E. New-house, L. Arnold, H. Haien, I. Prigogin и др.)

В области экспериментальных исследований детерминированного хаоса наибольший вклад внесли радиофизики. Отметим результаты Горьковской школы (М.И. Рабинович, A.C. Пиковский,

B.Д. Шалфеев, Н.И. Веричев, В.И. Некоркин и др.), Московской школы (В.Я. Кислов, A.C. Дмитриев, П.С. Ланда, Ю.А. Кузнецов, Минакова И.И., Ю.Л. Климонтович, Ю.А. Кравцов, Г.Г. Мали-нецкий, Д.М. Сонечкин и др.), Саратовской школы (B.C. Ани-щенко, Д.И. Трубецков, С.П. Кузнецов, А.П. Кузнецов, Б.П. Без-ручко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман и др.), а также зарубежных исследователей (С. Grebogi, Е. Ott, J.A. Yorke, J. Kurths, M. Rosenblum, M. Zaks и др.).

В результате экспериментальных исследований пришло понимание, что хаотические автоколебания и их образы - хаотические аттракторы, могут иметь отличающуюся структуру и характеристики. Эти отличия иногда носят несущественный характер, а могут быть принципиальны. Настал момент, когда требуется провести четкую классификацию типов аттракторов, определить различия в их характеристиках с целью введения более детальных разграничений типов хаотических автоколебаний при описании и трактовке экспериментальных результатов. Подход к решению этой задачи также включает два направления исследований: теоретический и экспериментальный. В рамках настоящей работы внимание в основном будет уделено экспериментальным исследованиям, которые будут базироваться на строгих математических результатах.

Исследования последних лет показали, что отождествлять термин "странный аттрактор" с образом экспериментально наблюдаемого режима хаотических автоколебаний ошибочно. В настоящей диссертации детальному исследованию подвергаются два типа хаотических аттракторов: квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы. Грубые гиперболические (странные) аттракторы в экспериментальных исследованиях не встречаются.

Странные нехаотические аттракторы представляют собой достаточно специфический тип аттракторов, реализуемые, как правило, при квазипериодическом воздействии. Хаотические нестранные аттракторы в теоретическом плане недостаточно исследованы и на практике встречаются довольно редко. Наиболее типичными в экспериментах являются квазигиперболические аттракторы и особенно - квазиаттракторы. Большинство экспериментальных результатов касается именно указанных типов хаотических автоколебаний, однако, за редким исключением, различия в их характеристиках и структуре обсуждению и объяснению не подвергаются.

Экспериментаторы уже давно используют некоторые из типичных свойств, присущих хаотическим системам с квазиаттрактором. Свойства квазиаттракторов привели, в частности, к открытию так называемого "детерминированного стохастического резонанса" в хаотических системах в отсутствие внешнего шума. Другой пример - проблема управления хаосом. Именно сосуществование счетного множества неустойчивых и притягивающих режимов колебаний в системах с квазиаттракторами расширило возможности постановки широкого спектра задач по стабилизации различных режимов с использованием специальных методов.

Цель диссертационной работы заключается в детальном экспериментальном исследовании структуры, динамических и статистических характеристик хаотических автоколебаний, образом которых являются квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы, направленном на выявление типичных отличительных характеристик и свойств, которые могут быть рекомендованы для использования их в качестве критериев диагностики.

Для достижения поставленной цели в диссертации необходимо решить несколько основных задач:

1. Выбрать наиболее простые и в то же время типичные модели динамических систем, реализующие режимы квазигиперболического аттрактора и квазиаттрактора.

2. Ввести перечень наиболее информативных характеристик указанных типов аттракторов и разработать при необходимости специальные алгоритмы и программы их численного расчета.

3. Провести детальные численные эксперименты по исследованию структуры и свойств указанных типов хаотических аттракторов и выявить наиболее типичные особенности характеристик, позволяющие достоверно их различать.

4. Сформулировать совокупность требований к динамическим и статистическим характеристикам хаотических аттракторов, позволяющих достоверно классифицировать квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы в численном эксперименте;_

Методы исследований. Основным методом исследований в диссертации является метод численного моделирования хаотических систем с использованием как общепринятых в нелинейной динамике алгоритмов и программ, так и специально для достижения целей диссертации созданных. Для получения достоверных результатов исследования первоначально проводились на классических хаотических системах, для которых задача о структуре и свойствах соответствующих типов аттрактора решена теоретически. В результате детального анализа характеристик тестовых динамических систем формулировались их типичные свойства и особенности характеристик, которые в дальнейшем применялись к исследованию динамических систем, тип аттрактора в которых теоретически не обоснован.

Достоверность научных результатов. Использование вышеуказанного метода при получении научных результатов дает достоверные результаты в том смысле, в котором можно говорить о достоверности данных численного эксперимента. С этой точки зрения использование стандартных общепринятых алгоритмов и программ, проверенных многими исследователями, а также специальных программ (расчет бассейнов притяжения и угла между многообразиями), тестирование которых также было осуществлено на теоретически исследованных моделях, гарантирует достоверность результатов работы. Все полученные результаты воспроизводимы, согласуются с теоретическими данными и не противоречат результатам, полученным другими авторами.

Научная новизна результатов работы. В результате проведенных исследований впервые систематизирован материал но полной классификации типов нерегулярных аттракторов динамических систем как математических образов непериодических колебаний.

1. Проведено детальное исследование структуры и свойств квазигиперболических аттракторов как наиболее близких к "истинно странным" грубым гиперболическим аттракторам. Сформулирована совокупность экспериментальных критериев их диагностики.

2. Проведено детальное исследование структуры и свойств квазиаттракторов, наиболее часто наблюдаемых в экспериментах. Установлено, что в силу негрубости квазиаттракторы характеризуются чрезвычайной чувствительностью к изменениям начального состояния, управляющих параметров и внешним шумовым возмущениям. Сформулирована совокупность экспериментальных критериев диагностики квазиаттрактороз.

3. Разработаны эффективные алгоритмы и соответствующие программы расчета бассейнов притяжения аттракторов трехмерных дифференциальных динамических систем и расчета углов между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями хаотической траектории аттракторов в двумерных обратимых отображениях.

Научно-практическое значение результатов работы.

Совокупность полученных результатов предоставляет специалистам в области экспериментальных исследований хаоса достоверные критерии для диагностики тхшов аттракторов в дискретных и дифференциальных системах, а также дополняет стандартный набор программ для проведения численных экспериментов при решении задач, связанных с исследованиями хаотических режимов колебаний в динамических системах.

Апробация результатов исследований и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Krakow, Poland, 1994), на школе-семинаре "Xaoc-94" (Саратов, Россия, 1994), на международной конференции "Third Technical Conference on Nonlinear Dynamics and Full Spectrum Processes" (Mystik, USA, 1995), на международной конференции "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Саратов, Россия, 1996), на международной конференции "Applied Chaotic Systems" (Lodz, Poland, 1996), на международной конференции " Applied Nonlinear Dynamics near the Millennium" (San Diego, USA, 1997), на международной конференции "Control of Oscillations and Chaos" (С.-Петербург, Россия, 1997), на научном семинаре Института нелинейной динамики Потсдамского университета (Potsdam, Germany, рук. - Проф. Ю. Курте), а также на научном семинаре лаборатории нелинейной динамики и кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. Результаты работы использовались при выполнении грантов Госкомитета по высшему образованию (93-8.2-10 и 95-0-8.3-66), грантов RNO ООО

и RNO 300 Международного научного фонда, совместного исследовательского гранта DFG и РФФИ (436 RUS 113/334) и госбюджетной НИР "Автоколебания". По теме диссертации опубликовано и принято к публикации 12 работ (8 статей и 4 тезисов докладов) ._

Личный вклад Г.И. Стрелковой в вышеприведенные работы состоит в в осуществлении большинства численных экспериментов и обсуждении полученных результатов.

Положение, выносимое на защиту. Совокупность теоретических и экспериментальных результатов, накопленных в процессе исследований хаоса и полученных автором настоящей работы, позволяет сформулировать основное положение, выносимое на защиту:

Принципиальные качественные и количественные различия основных характеристик квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов, таких как структура бассейнов притяжения, зависимости спектра показателей Ляпунова от начальных данных и параметра и реакция системы на воздействие внешнего шума, позволяют достоверно диагностировать тип хаотического аттрактора динамической системы в численном эксперименте.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 140 страниц текста, включая 50 иллюстраций и список литературы из 191 наименования.

Содержание работы

Результаты исследований изложены во Введении и двух главах диссертации.

Во Введении наряду с обоснованием актуальности темы диссертации, постановки задач исследований и общих характеристик работы дается систематизированный обзор основополагающих теоретических результатов в области хаотической динамики нелинейных диссипативных систем и приводится наиболее полная классификация типов аттракторов. Убедительно показывается, что сложным режимам функционирования динамических систем могут отвечать пять типов аттракторов: грубые гиперболические (странные), квазигиперболические (почти гиперболические), квазиаттракторы, странные нехаотические аттракторы и хаотические нестранные аттракторы. Если учесть, что при этом существуют так называемые регулярные аттракторы, отвечающие

состояниям равновесия, периодическим и квазипериодическим автоколебаниям, то становится ясным важность вопроса диагностики типов аттракторов в экспериментах.

Грубые гиперболические аттракторы являются идеализированным математическим образом детерминированного хаоса. Во Введении формулируются условия грубой гиперболичности и показывается, что в реальных экспериментах грубые гиперболические аттракторы не реализуются. Более реальными являются квазигиперболические аттракторы в динамических системах, когда не выполняется хотя бы одно из условий гиперболичности. Однако и таких аттракторов известно не так много (аттрактор Лози, аттрактор Лоренца и аттрактор Белыха). В силу того, что квазигиперболические аттракторы наиболее близки по своим характеристикам и свойствам к грубым гиперболическим, они могут быть приняты сейчас за эталон хаотического аттрактора динамической системы.

Наиболее типичными в экспериментах являются так называемые квазиаттракторы, обладающие рядом наиболее специфических свойств, порождаемых наличием негрубой гомоклиники. Подавляющее большинство тестовых динамических систем, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, характеризуются именно квазиаттрактором (модели Ресслера, Чуа, Белоусова-Жа-ботинского, Анищенко-Астахова и другие). В диссертации исследования ограничены изучением структуры и свойств именно квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов с целью формулировки достоверных экспериментальных критериев их диагностики.

Первая глава посвящена экспериментальному исследованию характеристик квазигиперболических аттракторов. Рассматриваются аттракторы системы Лози

хп+х = 1-а\хп\ + уп, уп+1 = Ьхп,

системы Лоренца

(1)

х = — а(х — у), у = гх — у — хг, г = ху — Ьг

и двумерного отображения на торе

жп+1 = хп + Уп + 6вш2тгуп (той 1), Уп+1 = хп + 2уп (той 1),

На основе детальных компьютерных экспериментов формулируются наиболее типичные особенности характеристик квазигиперболических аттракторов, которые могут быть использованы экспериментаторами для их диагностики. В работе используется тот факт, что для системы Лози (1) квазигиперболичность аттрактора доказана строго. Выявление наиболее характерных свойств аттрактора Лози и подтверждение их повторяемости для аттрактора Лоренца (2) и отображения на торе (3) позволяет сформулировать свойства квазигиперболических аттракторов, которые служат критериями их диагностики. В качестве примера приведем наиболее важные с этой точки зрения результаты для аттрактора Лози.

На Рис. 1 представлена зависимость старшего Ляпуновского показателя от параметра а системы (1). С момента жесткого рождения хаоса (о = 1.3) и всюду в области существования аттрактора Лози (1.3 < а < 1.8) зависимость А], (с) есть гладкая положительно определенная функция. В аттракторе Лози устой-

Рис. 1 Рис. 2

чивых периодических аттракторов (Ах = 0) с изменением параметра не рождается! Это есть следствие грубой трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий хаотической траектории аттрактора Лози. На Рис. 2 представлены результаты расчета минимального угла между многообразиями хаотической траектории аттрактора Лози, свидетельствующие об отсутствии эффекта касания многообразий (угол фгщп нигде

в нуль не обращается!). Специфические свойства квазигиперболических аттракторов проявляются в особенностях других характеристик: зависимостях показателей Ляпунова от изменения начальных данных, в характере скорости спадания автокорреляционной функции, в реакции структуры вероятностной меры на возмущение и других.

Отметим, что если для систем (1) и (2) квазигиперболичность аттрактора была строго доказана математически, то в отношении системы (3) таких доказательств нам не было известно. Сравнение характеристик системы (3) с характеристиками систем (1) и (2) позволило констатировать, что аттрактор отображения на торе принадлежит классу квазигиперболических аттракторов.

Для иллюстрации на Рис. 3 и Рис. 4 приведены результаты расчетов старшего показателя Ляпунова А1 и минимального угла между устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории аттрактора системы (3). Нетрудно видеть полное качественное соответствие этих данных результатам, полученным для аттрактора Лози (Рис. 1 и Рис. 2).

Рис. 3 Рис. 4

Во второй главе экспериментально исследованы квазиаттрак торы и их специфические свойства. Рассмотрены аттракторы в системе Хенона

жп+1 = 1 -ах2п+Уп,

уп+] = Ьхп, (4)

в системе с кубической нелинейностью

хп+\ = {а - 1 )хп - + Уп, уп+1 = Ьхп, а > О, Ь < 1

в системе двух связанных логистических отображений

П)

хп+1 = 1 ~ ах„ + 7(уп - хп) Уп+1 = 1 - о-Уп +7 (хп - Уп),

(6)

в системе двух связанных кубических отображений

жп+1 = (а - 1)хп - ах\ + 7(у„ - агп), Уп+1 = +

(7)

и в дифференциальной системе (генераторе Анищенко-Астахова) х = тх + у — жг,

В результате проведенных детальных компьютерных расчетов совокупности характеристик хаотических аттракторов всех вышеперечисленных динамических систем, их сравнения для указанных систем и систем с квазигиперболическим аттрактором (1)-(3) выявлены типичные характеристики квазиаттракторов, которые могут достоверно использоваться в экспериментах для их диагностики.

В качестве примера приведем зависимости старшего показателя Ляпунова и вероятности попадания угла между многообразиями в малую окрестность нуля от параметра для аттрактора Хе-нона, принадлежность которого к классу квазиаттракторов доказана теоретически. Как видно из Рис. 5, старший показатель с изменением параметра а системы Хенона обращается в нуль в счетном множестве точек. Это свидетельствует о рождении устойчивых циклов отображения в силу эффектов гомоклинического касания многообразий. Подтверждением этого служат результаты, представленные на Рис. 6. Видно, что с изменением параметра угол между устойчивым и неустойчивым многообразиями может обращаться в нуль, подтверждая эффект касания многообразий.

У

х > О, х < 0.

-дг + д1{х)х2.

(8)

005

0.04

0.0

0 03

002

-0.8

1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 а

0.01

ООО

1.1

12

а

1.3

1.4

Рис. 5

Рис. 6

Сравнение данных Рис. 5 и 6 с данными Рис. 1 и 2 наглядно свидетельствует о принципиальных различиях в результатах.

Отображение Хенона является обратимым. Однако, в задачах математического моделирования часто используются необратимые отображения. В Главе 2 исследованиями динамики необратимых систем (6) и (7) убедительно показано, что свойства квазиаттракторов не зависят от того, обратима система или нет. Другими словами, отбрасывание сжимающих направлений в фазовом пространстве, при котором из обратимой системы получают необратимую, не меняет принципиальных свойств хаотических аттракторов. Примером тому может служить тот факт, что одномерное логистическое отображение, которое получается из системы (4) при Ь 0, обладает квазиаттрактором, свойства которого качественно воспроизводят свойства аттрактора Хенона.

Специфика квазиаттраторов проявляется и в типичных свойствах ряда других характеристик хаотического аттрактора, подробно проанализированных в Главе 2. Исследования позволили выбрать наиболее достоверные из них, позволяющие диагностировать квазиаттракторы как в дискретных, так и в дифференциальных динамических системах.

Основные результаты и выводы.

1. Сформулированы отличительные свойства квазигиперболических аттракторов, которые служат критериями их диагностики в численном эксперименте:

1. Вероятностная мера распределения угла ф между устойчи-

вым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории аттрактора определена на множестве положительных значений ф > 0, т.е. эффекты гомоклинического касания исключаются.

_2. Зависимость от параметра, и от начальных условий старшего ляпуновского показателя хаотической траектории аппроксимируется гладкой положительно определенной функцией, которая не содержит участков обращения показателя в нуль.

3. Область притяжения квазигиперболического аттрактора является однородной и не включает "вкраплений", соответствующих областям притяжения каких-либо иных аттракторов динамической системы.

4. Скорость спадания огибающей автокорреляционной функции во времени аппроксимируется экспоненциальным законом Ф(т) = Ф(0) ехр(—аХт), где А есть значение положительного показателя Ляпунова фазовой траектории аттрактора, а - постоянный коэффициент порядка единицы.

5. Спектральная плотность проекции фазовой траектории на одну из координатных осей фазового пространства не содержит ярко выраженных выбросов на каких-либо характерных частотах.

6. Вероятностная мера распределения траекторий на квазигиперболическом аттракторе при малых возмущениях системы меняется мало в соответствии с теоретическим результатом Кифера для грубых гиперболических аттракторов.

2. Экспериментально обосновано, что хаотический аттрактор в двумерном обратимом отображении на торе является по крайней мере квазигиперболическим.

3. На основе детальных расчетов динамических и статистических характеристик систем с квазиаттракторами сформулированы отличительные свойства квазиаттракторов, являющиеся экспериментальными критериями их диагностики:

1. Зависимость старшего ляпуновского показателя от начальных условий и управляющих параметров является негладкой функцией.

2. Сосуществование множества хаотических и регулярных аттракторов при фиксированных параметрах системы приводит к сложной вложенной структуре их бассейнов притяжения. С изменением параметра ввиду бифуркаций сосуществующих аттракторов бассейны притяжения также демонстрируют бифуркационную перестройку.

3. Квазиаттракторы проявляют высокую чувствительность к малым шумовым возмущениям, что диагностируется по резкой перестройке режимов при действии шума и соответствующим резким перестройкам вероятностной меры аттрактора.

4. Вероятностная мера распределения угла ф между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории системы с квазиаттрактором включает значение ф = О, свидетельствуя об эффектах гомоклиниче-ского касания многообразий.

5. Спектральная плотность мощности любой из фазовых координат системы почти всегда содержит ярко выраженные выбросы на характерных частотах, а автокорреляционная функция хотя и является в среднем спадающей, в общем случае не допускает аппроксимации законом Ф(т) = Ф(0) ехр(—аАт), где А есть старший показатель спектра ЛХП.

4. Исследованиями динамики двух связанных отображений Хенона и кубических отображений в условиях отбрасывания сжимающих направлений, приводящих к их необратимости, установлено, что все отличительные особенности и характеристики квазиаттракторов сохраняются и могут быть использованы для диагностики в экспериментах с необратимыми дискретными системами.

Важным результатом проведенных исследований является экспериментальное обоснование возможности применения совокупности используемых характеристик хаотических аттракторов для диагностики их типа в дифференциальных системах, широко распространенных в естествознании. Как известно, задача исследования нелокальных свойств многообразий в дифференциальных системах размерности N > 3 пока не подддается простому численному анализу. В связи с этим косвенные критерии негрубости системы, причиной которых безусловно является касание многообразий, достоверно могут быть использованы в эксперименталь-

ных исследованиях квазиаттракторов. Наиболее простыми и наглядными из них являются: негладкая зависимость ляпуновских показателей от начальных данных и параметра и повышенная чувствительность системы к малым шумовым возмущениям.

Публикациии по теме диссертации

1. Astakhov V.V., Anishchenko Y.S., Strelkova G.I. Controlling Chaos in the Modified Oscillator with Inertial Nonlinearity // IEEE Trans, on Circuits and Systems I, 1995. Vol. 42, no. 6. P. 366-368.

2. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Controlling Spatiotemporal Chaos in One- and Two-dimensional Coupled Logistic Map Lattices // Proc. of the Conference "Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing" (Mystic, USA), ed. by R.A. Katz, 1995. P. 104-120.

3. Анищенко B.C., Астахов В.В., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В. Стабилизация симметричных седловых циклов в связанных системах с хаотической динамикой // Изв. вузов - "Прикладная нелинейная динамика", 1995. Т. 3, N 4. С. 73-79.

4. Астахов В.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // "Радиотехника и электроника", 1996. Т. 41, N 11. С. 1323-1331.

5. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Fourier Analysis of Symmetrically Coupled Chua's Oscillators // Book of Abstracts of the Int. Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos (ICND-96, Saratov), 1996. P. 17.

6. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Silchenko A.N., Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Controlling Chaos in the System of Coupled Chua's Oscillators // Book of Abstracts of the Int. Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos (ICND-96, Saratov), 1996. P. 23.

7. Strelkova G., Silchenko A. Control and Synchronization of Chaos in a Coupled Generators System // Book of Abstracts of the Int. Conference "Applied Chaotic Systems" (Lodz, Poland), 1996. P. 24.

8. Астахов B.B., Шабунин A.B., Сильченко A.H., Стрелкова Г.И., Анищенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа // "Радиотехника и электроника", 1997. Т. 42, N 3. С. 320-327.

9. Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Attractors of Dynamical Systems // In: Proceedings of the Int. Conference on Control of Oscillations and Chaos (COC'97, St.Petersburg), 1997. Vol. 3. P. 498-503.

10. Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Structure and Properties of Quasihyperbolic Attractors//In: Proceedings of the Int. Conference on Control of Oscillations and Chaos (COC'97, St.Petersburg), 1997. Vol. 2. P. 345-346.

11. Anishchenko V.S., Strelkova G.I., Irregular Attractors // Discrete Dynamics in Nature and Society, 1998. Vol. 2, N 1. P. 53-72.

12. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic Attractors of Two-dimensional Invertible Maps // Discrete Dynamics in Nature and Society, 1998. Vol. 2, N 4.

СТРЕЛКОВА Галина Ивановна

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ И КВАЗИАТТРАКТОРОВ

Автореферат

Ответственный за выпуск - к.ф.-м.н., доцент Т.Е. Вадивасова

Заказ N 208. Подписано к печати 10.09.98. Объем 1.1 печ.л. Тираж 100 экз. Полиграфический центр "ИППОЛиТ", 410740, г. Саратов, ул. Астраханская, 77.

f J 1

Г\

J n

- U

Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского

На правах рукописи

СТРЕЛКОВА Галина Ивановна

УДК 537.86: 517.9: 621.373

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ И КВАЗИАТТРАКТОРОВ

01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАЕН, доктор физико - математических наук, профессор АНИЩЕНКО B.C.

Саратов - 1998

Содержание

Введение ' 2

Глава 1. Экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов 27

1.1 Квазигиперболический аттрактор в системе Лози .... 28

1.2 Квазигиперболический аттрактор в модели Лоренца. Аттракторы типа Лоренца......................................43

1.3 Двумерное обратимое отображение на торе ..............53

1.4 Обсуждение результатов и выводы........................62

Глава 2. Квазиаттракторы и их свойства 64

2 .1 Квазиаттрактор в отображении Хенона......... . 66

2.2 Характеристики аттракторов двумерного обратимого отображения с кубической нелинейностью....................79

2.3 Квазиаттрактор в системе двух связанных логистических отображений..............................86

2.4 Система двух связанных кубических отображений ... 95

2.5 Квазиаттрактор в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью......................................101

2.6 Обсуждение результатов и выводы........................112

Заключение 114

Литература 118

Благодарности 140

Введение

Одним из фундаментальных результатов последних десятилетий, оказавших принципиальное влияние на формирование новых взглядов на закономерности эволюционных процессов в естествознании, явилось открытие эффекта детерминированного хаоса [1]-[3, 6]-[9]. Тот факт, что возникновение режима хаотических автоколебаний в динамических системах при отсутствии внешних и внутренних шумов возможно исключительно в нелинейных диссипативных системах, по сути дела привел к выделению общего и достаточно широкого круга проблем нелинейной теории колебаний в самостоятельное научное направление, получившее название нелинейной динамики [4]—[10]. Дело в том, что функционирование динамических систем в условиях принципиальной нелинейности как правило с неизбежностью приводит к возникновению хаотических автоколебаний. Поэтому исследования нелинейных закономерностей в эволюционных процессах, порождаемых диссипа-тивными системами, требуют понимания механизмов возбуждения и основных свойств хаотических автоколебаний как одного из типичных режимов работы нелинейной системы.

Как хорошо известно, математическим образом хаотических автоколебаний является странный (хаотический) аттрактор - предельное множество фазовых траекторий в фазовом пространстве динамической системы (или в пространстве состояний системы). Термин "странный аттрактор" был введен в науку Рюэлем и Такенсом в 1971 году в работе [1, 11], в которой было дано строгое доказательство возможности существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной динамической системе с конечным числом степеней свободы. Эта пионерская работа внесла окончательную ясность

в проблему существования нового класса решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображений и сразу была воспринята широким кругом исследователей, в особенности физиками.

Фундаментальные исследования структуры и свойств детерминированного хаоса проводятся в двух основных направлениях. Первое связано с получением строгих математических результатов на основе качественной теории динамических систем и эргодической теории [12]-[56]. Это наиболее важное направление, так как невозможно себе представить конструктивное развитие нелинейной динамики без опоры на строгие результаты по целому ряду вопросов фундаментального характера. Второе направление включает численное моделирование и эксперименты по исследованию режимов хаотических колебаний в динамических системах, моделирующих реальные процессы в естествознании. Важность второго направления также высока, поскольку с одной стороны, эксперименты служат критерием оценки общности строгих результатов, а с другой - дают реальные материалы для постановки новых теоретических проблем.

Необходимо отметить ряд великолепных теоретических результатов, благодаря которым сегодня достигнут достаточно высокий уровень понимания феномена детерминированного хаоса. Прежде всего это результаты Горьковской школы по теории нелинейных колебаний (Л.П. Шильников [25]—[30, 40], Ю.И. Неймарк [8, 31], В.Н. Белых [32]-[34], B.C. Афраймович [26]-[28, 35, 36, 40], В.В. Быков [26, 27, 37] и др.), Московской школы математиков (В.И. Арнольд [17, 38]—[40], Д.В. Аносов [41], Я.Г. Синай [19, 22, 42, 43], Л.А. Бунимович [22], Я.Б. Лесин [22, 23], А.Н. Колмогоров [44, 45], Ю.И. Кифер [46], Р.Л. Страто-

нович [47] и др.), группы математиков Ленинградского университета (Г.А. Леонов, Д.В. Пономаренко, В.Б. Смирнова [48, 49] и др.), группы украинских математиков (А.Н. Шарковский [50, 51], Ю.Л. Майстренко

[51] и др.), а также ряда представителей зарубежных школ (D. Ruelle

[52], F. Takens [11], S.E. Newhouse [53], L. Arnold [54], H. Haken [55], I. Prigogin [56] и др.)

В области экспериментальных исследований детерминированного хаоса наибольший вклад внесли радиофизики. Именно в радиофизике еще до момента открытия эффекта детерминированного хаоса нелинейные динамические системы составляли практически основной предмет изучения и был уже накоплен многолетний опыт исследований, который сразу удалось использовать. Отметим результаты Горьковской школы (М.И. Рабинович [6, 7, 57, 58], A.C. Пиковский [57, 58], В.Д. Шалфеев [59], Н.И. Веричев [60], В.И. Некоркин [61] и др.), Московской школы (В.Я. Кислов [62, 63], A.C. Дмитриев [62, 63], П.С. Ланда [4, 8], Ю.А. Кузнецов [64]—[66], Минакова И.И. [64], Ю.Л. Климонтович [67, 68], Ю.А. Кравцов [69, 70], Г.Г. Малинецкий [71], Д.М. Сонечкин [72] и др.), Саратовской школы (B.C. Анищенко [9, 73, 85]—[92, 95]-[98], Д.И. Трубецков [6], С.П. Кузнецов [74]-[76], А.П. Кузнецов [77, 78], Б.П. Безручко [80]—[84], В.В. Астахов [85]—[88, 180]—[184], Т.Е. Вадива-сова [89]—[91], А.Б. Нейман [92]—[98] и др.), а также зарубежных исследователей (С. Grebogi, Е. Ott, J.A. Yorke [99]—[105], J. Kurths [106]—[111], M. Rosenblum [108]—[111], M. Zaks [107] и др.).

В результате экспериментальных исследований пришло понимание, что хаотические автоколебания и их образы - хаотические аттракторы, могут иметь отличающуюся структуру и характеристики. Эти отличия иногда носят несущественный характер, а могут быть прин-

цшшальны. Другими словами, настал момент, когда требуется провести четкую классификацию типов аттракторов, определить различия в их характеристиках с целью введения .более детальных разграничений типов хаотических автоколебаний при описании и трактовке экспериментальных результатов. Подход к решению этой задачи также включает два направления исследований: теоретический и экспериментальный. В рамках настоящей работы внимание в основном будет уделено экспериментальным исследованиям, которые по возможности будут базироваться на известных строгих математических результатах.

Классификация аттракторов динамических систем.

Отличительным свойством диссипативных динамических систем, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений х = F(x, /i), х € UN, является сжатие во времени элемента объема фазового пространства [12]:

__N Q¿.

V(t) = Vfo) exp[í(d¿vP)], divF = ¿ < 0. (1)

i=i uXi

В силу сжатия фазового объема предельное (при t —> оо) множество фазовых траекторий всегда будет иметь нулевой объем. Однако, структура предельного множества при этом может быть различной: точка, линия, поверхность или множество поверхностей, имеющее в сечении Пуанкаре структуру типа канторовой. Именно эти отличия в структуре предельного множества фазовых траекторий полагаются в основу классификации типов аттракторов динамических систем.

Долгое время с образом динамического (детерминированного) хаоса связывался так называемый странный аттрактор [2, 3, 9, 73]. Все нетривиальные режимы автоколебаний, общим свойством которых являлось отсутствие периодичности во времени, ассоциировались именно с

образом странного аттрактора. Позднее выяснилось, что хаотические автоколебания по своим свойствам могут быть существенно различными, что ведет к отличию структуры соответствующих им аттракторов. Оказалось, что странный аттрактор есть образ некоторого "идеального" хаоса, удовлетворяющего ряду строгих математических требований. Было установлено, что в реальных системах режим странного (в смысле математического определения) аттрактора не реализуется. То, что мы наблюдаем в экспериментах, чаще всего отвечает режимам так называемого квазигиперболического аттрактора или квазиаттрактора [9, 73]. Квазиаттракторы более сложно устроены и не поддаются строгому математическому описанию [28, 30, 35, 36]. Отличительной особенностью странных, квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов является экспоненциальная неустойчивость фазовых траекторий и дробная размерность. Экспоненциальная неустойчивость является критерием хаотического поведения системы. Дробная метрическая размерность свидетельствует о том, что аттрактор -сложный геометрический объект, неявляющийся многообразием. В последнее время внимание исследователей привлек тот факт, что непериодические колебания могут обладать асимптотической устойчивостью при наличии сложной геометрии аттрактора и, напротив, быть экспоненциально неустойчивыми и соответствовать аттрактору, являющемуся простым геометрическим объектом (многообразием) [112, 100]. Целесообразно ввести определение " странности" аттрактора вне связи с динамикой системы, а положив в основу его геометрическую структуру. В работе [100] такое определение дано: " Странный аттрактор - это аттрактор, который не состоит из конечного множества точек и не является кусочно-дифференцируемым. Кусочно-дифференцируемым

аттрактором мы называем кусочно-дифференцируемую кривую, поверхность или об'ем, который ограничен кусочно-дифференцируемой поверхностью." Учитывая важность проблемы анализа сложных непериодических режимов колебаний в динамических системах, целесообразно детально классифицировать типы аттракторов, сформулировать их определения и основные свойства.

Изменение во времени состояния автономной динамической системы с конечным числом степеней свободы описывается либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений, либо системой дискретных отображений:

П ( ч

= Хг = и[ХЬ . . . . . .

или (2)

^п+г = /г {хп 1 Хп1 • • • 1Хп ■> № 1) • • • ) ) г = 1,2,...,N

Здесь Жг(^) (или хгп) - переменные, однозначно описывающие состояние системы (ее фазовые координаты), щ (/ = 1,2, ...,&) - параметры системы, /¿(ж, ц) - в общем случае нелинейные функции. Решение системы (2) существует, единственно для данных начальных условий Х{(0) (или хг0) и гладко зависит от изменения начального состояния (теорема Коши).

Эволюции системы во времени можно однозначно сопоставить фазовую траекторию в Л"-мерном декартовом пространстве, координатами которого служат фазовые переменные, которая стартует из заданной начальной точки жг-(0) (или х%0), г = 1,2,..., N.

Будем говорить исключительно об автоколебательных режимах движения системы (2). Это означает, что в системе существуют установившиеся колебания, характеристики которых не зависят в определен-

ных пределах от выбора начального состояния. В качестве предельного случая сюда же мы отнесем и режим устойчивого состояния равновесия.

Обратимся к фазовому пространству системы (2), зафиксировав значения всех параметров системы Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область Сх, принадлежащая Ш14, которая включает в себя подобласть Со- Области Сх и Со удовлетворяют следующим условиям [28, 30, 35, 36]:

1. Для любых начальных условий £¿(0) (или Яд) из области Сх при I оо (или п —■» оо) все фазовые траектории рано или поздно достигают области Со-

2. Область Со представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы.

3. Если фазовая траектория принадлежит области Со в момент времени £ = ¿х (п = пх), то она будет принадлежать Со всегда, т.е. для любых £ > ¿1 (п > щ) фазовая траектория будет находиться в области

С0.

Если эти условия выполняются, то область Со называется аттрактором динамической системы (2). Другими словами, аттрактор Со - это инвариантное относительно закона (1) минимальное предельное множество траекторий системы, куда стремятся и там остаются любые траектории из области Сх, охватывающей Со. Область Сх называется областью (или бассейном) притяжения аттрактора Со- В области Сх могут существовать исключительно переходные, нестационарные типы движений. Предельное множество Со отвечает установившимся (предельным) типам движения. В этом смысле можно сказать, что аттрактор Со есть изолированное предельное множество фазовых траек-

торий системы (2).

До открытия детерминированного хаоса было известно всего три типа устойчивых установившихся решений динамической системы (2): состояние равновесия, когда после переходного процесса система достигает стационарного (не меняющегося во времени) состояния, устойчивое периодическое решение и устойчивое квазипериодическое решение. Соответствующими аттракторами дифференциальной системы в этих случаях являются: точка в фазовом пространстве, предельный цикл и предельный п-мерный тор. Сигнатура спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) фазовой траектории в этих случаях будет [2, 3, 9, 73]:

"-","—",...,"—"- состояние равновесия, "0"," —"," — ",...," — " - предельный цикл,

"П" "Л" "П" " >' '» " ^ „ \ о

и, и,..., и, — ,..., — - п-мерный тор, п > I.

71

Непериодическим решениям системы (2) могут соответствовать странные хаотические аттракторы сложной геометрической структуры, которые имеют по крайней мере один положительный ляпуновский показатель и, как следствие, дробную размерность, определяемую по формуле Каплана-Иорка [113]:

(з)

где ] - наибольшее целое число, для которого сумма А1+А2+- • •+А^ > 0. Ляпуновская размерность рассчитанная по формуле (3), представляет собой одну из фрактальных размерностей множества и служит оценкой снизу для метрической размерности аттрактора. Если применить формулу (3) к указанным трем типам аттракторов, то мы получим нулевую размерность для точки, И = 1 для предельного цикла

и В = п для п-мерного тора. Во всех случаях фрактальная размерность строго совпадает с метрической размерностью аттракторов. То обстоятельство, что »указанные типы решений являются асимптотически устойчивыми, а размерность В дается целым числом и строго совпадает с метрической, позволяет, назвать указанные типы аттракторов регулярными. Нарушение одного из сформулированных условий исключает аттрактор из класса регулярных. Как стало ясным, нерегулярные (хаотические) аттракторы требуют введения специальной классификации [28, 30, 35, 36, 9, 73].

Новый тип аттрактора динамической системы (2) был впервые обнаружен Лоренцем в 1963 г. при численном исследовании знаменитой теперь модели Лоренца [114]. Строгое математическое доказательство существования непериодических решений системы (2) было дано в 1971 году Рюэлем и Такенсом, ими же было введено понятие странного аттрактора как образа детерминированного хаоса [11]. С тех пор явление детерминированного хаоса и понятие странного аттрактора во многих работах практически однозначно связывают друг с другом. Однако, при более детальном рассмотрении, это оказывается не всегда справедливым и требует пояснений.

Доказательство существования странного аттрактора было дано в жестком предположении, что динамическая система (2) является грубой гиперболической [28, 30, 35, 36]. Что это означает? Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые. Точка, как образ траектории в сечении Пуанкаре, в гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при малом возмущении правых частей (2) и вариации управляющих параметров в конечной области их значений, все траектории продолжают оставаться седло-

выми.

Гиперболические аттракторы удовлетворяют следующим условиям [36]:

1. Гиперболический аттрактор состоит из континуума "неустойчивых листов" или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся.

2. Гиперболический аттрактор в окрестности любой точки имеет геометрию произведения канторова множества на интервал.

3. Гиперболический аттрактор имеет окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.

Грубость означает, что свойства 1-3 сохраняются при возмущениях.

На Рис. 1 представлена седловая траектория Г и соответствующие точки Qi ее пересечения с секущей поверхностью Пуанкаре 5. Приведенный рисунок иллюстрирует также локальное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий седловой точки Однако, того, что локально точка пересечения Г с 5 является грубым седлом, оказывается