Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом

Ануфриева, Мария Вячеславовна

Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Ануфриева, Мария Вячеславовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом»

Автореферат диссертации на тему "Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом"

На правах рукописи

ИГ

АНУФРИЕВА Мария Вячеславовна

ПОРОГ СИНХРОНИЗАЦИИ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В СИСТЕМАХ С НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ

ХАОСОМ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2006

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Анищенко Вадим Семёнович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мельников Леонид Аркадьевич, кандидат физико-математических наук, Смирнов Дмитрий Алексеевич

Ведущая организация:

Саратовский государственный технический университет

Защита состоится 22 июня 2006 г. в 10 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус СГУ, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ХСС&Рг

-з-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы определяется важностью проблемы определения свойств и характеристик систем с негиперболическим хаосом. Из-за невозможности строгого математического описания такие системы можно исследовать только с помощью физического или численного эксперимента. В представленной работе с использованием второго из указанных методов были исследованы некоторые закономерности, присущие негиперболическим системам.

В работе показано, что закономерности, выявленные в численном эксперименте для систем с квазигиперболическим аттрактором, не справедливы для систем, демонстрирующих негиперболические режимы, хотя иногда такие экстраполяции исследователями производятся.

Строгое математическое описание негиперболических систем не представляется возможным, следовательно, приходится обходиться экспериментальными методами. Поэтому любые исследования, проводимые в этом направлении, имеют большое значение, принимая во внимание тот факт, что реальные физические системы относятся к классу негиперболических.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании ряда характеристик и свойств негиперболического хаоса, в частности:

1. Порог синхронизации внешним периодическим сигналом и его взаимосвязь со степенью хаотичности режима автоколебаний.

2. Возможности реализации режима хаотических автоколебаний в автономных трехмерных системах, близких по свойствам к известным странным нехаотическим аттракторам неавтономных систем.

3. Закономерность прохождения хаотического сигнала, отвечающего режиму спирального (фазокогерентного) хаоса, через бистабильную систему в режиме стохастического резонанса.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые установлено, что степенная зависимость порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним гармоническим воздействием, от старшего показателя Ляпунова выполняется лишь для систем с квазигиперболическим аттрактором, и принципиально нарушается для негиперболических систем.

РОС. НАЦИОНАЛЫ!\Я БИБЛИОТЕК\ С.-Петербург ОЭ 200^акт

2. Впервые выявлена возможность генерации автономной дифференциальной динамической системой режима, по свойствам очень близкого к странному нехаотическому аттрактору.

3. Проведен детальный анализ поведения бистабильной системы, находящейся под воздействием сигнала, соответствующего спиральному хаотическому аттрактору.

Научно-практическое значение результатов работы заключается в том, что ее результаты расширяют представления о структуре и свойствах хаотической динамики маломерных диссипативных систем, не удовлетворяющих условиям гиперболичности. Так как практически все известные хаотические системы не являются гиперболическими, результаты настоящей работы могут быть использованы для понимания многих экспериментальных результатов исследования хаоса.

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием некоторых результатов, полученных при выполнении диссертационной работы, с результатами и гипотезами, высказанными в ряде известных опубликованных работ. При численном моделировании применялись известные и широко используемые алгоритмы и программы, исключающие ошибки программирования. Расчеты проводились с высокой степенью точности, все результаты характеризовались устойчивостью к малым изменениям параметров численной схемы и воспроизводимостью.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Для негиперболических хаотических аттракторов не существует универсальной зависимости порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним периодическим воздействием, от степени ее хаотичности, характеризуемой старшим ляпуновским показателем.

2. В автономных трехмерных диссипативных системах, обладающих негиперболическими свойствами, возможна реализация нового типа аттрактора, который по совокупности характеристик близок к странным нехаотическим аттракторам, возникающим при двухча-стотном квазипериодическом возбуждении.

эффициента усиления системы уменьшается с ростом коэффициента диффузии, определяющего ширину базовой спектральной линии хаотического сигнала.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях: "Отчетная конференция по НОЦ" (Саратов, май 2003); International Conference "Physics and Control" (Saint Petersburg, 2003); V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков (С.-Петербург,2001). По теме диссертации опубликовано 3 работы (2 статьи в журналах и 1 статья в материалах конференции). Результаты работы использованы при выполнении грантов CRDF (REC-006), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (Е02-3.2-345).

Личный вклад автора. Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем и соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. В ней содержится 76 страниц текста, 27 рисунков и список использованной литературы из 94 наименований на И страницах. Общий объем диссертации 103 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы рассматривается влияние негиперболичности на закономерность в зависимости амплитудного порога синхронизации от такой характеристики режима автоколебаний динамической системы, как старший показатель Ляпунова.

Синхронизация хаоса рассматривается как смена хаотического режима регулярным при изменении параметров внешней гармонической силы. При этом синхронизация возникает при конечной амплитуде внеш-

него воздействия, то есть имеет место амплитудный порог синхронизации. Проверяется гипотеза об универсальности степенной зависимости (работа Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда. М.: Наука, 1987), связывающей амплитудный порог синхронизации хаотической системы с энтропией Колмогорова:

Ар = СКХ. (1)

При этом в указанной работе энтропия Колмогорова отождествлялась со старшим ляпуновским показателем системы.

В диссертационной работе выполнение соотношения (1) проверялось на системе Лоренца (2) в режиме квазигиперболического и негиперболического хаоса, а также на системе Ресслера (3) в режиме спирального и винтового хаоса.

х = —ах + сгу у = -у + гх — хг (2)

г = —Ьг + ху + Асов2тг/Ь .

х = — у — г

у = х + ау + Асоз2тг/£ (3) г — Ь — тг + хг .

В результате численных расчетов была получена зависимость амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя системы, показанная на рис. 1.

-0.5

-0-2 Ы X* 0.5 -1.8 1„ X* 10

Рис. 1. Зависимость амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя дня систем Лоренца (а) и Ресслера (Ъ) в двойном логарифмическом масштабе

Точки соответствуют результатам, полученным путем численного интегрирования, а линии - аппроксимации согласно соотношению (1). Из рис.1 (а) видно, что при малых значениях А+, которые соответствуют режиму аттрактора Лоренца и самому началу области существования квазиаттрактора, результаты численного интегрирования хорошо совпаг дают с аппроксимационным выражением (1). При дальнейшем росте А+ закономерность, описываемая формулой (1), нарушается. Это связано с

тем, что мы переходим в область значений А+, которым соответствует режим негиперболического аттрактора.

На рис.1 (Ь) показана зависимость амплитудного порога синхронизаг ции от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера. Как видно из рисунка, при малых значениях старшего ляпуновского показателя результаты, полученные путем численного моделирования, приблизительно совпадают с аппроксимирующим выражением (1) при х = 0-46. Эти значения А+ соответствуют области управляющего параметра, которая отвечает малому значению надкритйчности. В данной области тоже существуют окна устойчивости, однако если посмотреть на зависимость управляющего параметра т от старшего ляпуновского показателя А+, то увидим, что огибающая гладкая и подчиняется степенному закону. Поэтому, выбирая управляющий параметр т вне окон устойчивости, получаем неплохое совпадение с формулой (1). Но, как следует из рис.1 (Ь), ни для спирального, ни для винтового хаоса такого соответствия между численными и аналитическими результатами не наблюдается. То есть соотношение (1) не выполняется для негиперболического хаоса.

Следовательно, соотношение (1) нельзя считать некой универсальной зависимостью для всех хаотических режимов. Можно лишь сказать, что она выполняется для некоторых конкретных систем, не претендуя на общность. Возможно, будет справедливым утверждать, что эта закономерность выполняется для систем с квазигиперболическим хаосом и наг рушается для негиперболических режимов.

Во второй главе проводится исследование автономной хаотической системы (генератора с инерционной нелинейностью (ГИН) Аншценко-Астахова (4)). В результате проведенной работы было показано, что в данной системе существует новый тип аттрактора.

х = тх + у — хг — <кг3 ■у = -х + 7 г = -дг + д1(х) х2,

(4)

где

х < 0 х > 0

(5)

В рамках диссертационной работы путем численного моделирования было проведено исследование свойств нового режима. Было установлено,

что одним из характерных свойств режима является отсутствие гладкого максимума в отображении последования, которое строилось для различных сечений Пуанкаре (рис. 2).

X Ь

Рис. 2. Отображения последования для разных значений управляющего параметра: (а) - для аттрактора, типичного для ГИН; (Ь) - для нового режима

Отображение последования для типичного режима имеет максимум в виде квадратичной параболы (рис. 2(а)). Наличие гладкого максимума свидетельствует о том, что в системе существует касание устойчивых и неустойчивых многообразий, результатом чего является возникновение устойчивых циклов, следовательно, мы имеем дело с режимом негиперболического хаоса. Отображение последования для нового режима (рис. 2(Ь)) принципиально отличается от предыдущего случая - квадратичный максимум уже отсутствует, вид отображения не является параболой. Это дает нам право предположить существование какого-то другого типа хаотического аттрактора.

Новый режим характеризуется малым положительным (но не нулевым) значением старшего ляпунОвского показателя, который на порядок меньше показателя, рассчитанного для хаотического режима, отображение которого есть парабола (рис. 2 (а)).

Этот режим не является циклом большого периода, находящимся где-то на границе перехода к хаотическому режиму, что можно было бы предположить, учитывая тот факт, что переход к хаосу в системе осуществляется через каскад бифуркаций удвоения периода.

Кроме того, были построены автокорреляционная функция (АКФ) и спектр мощности для исследуемого режима, которые имеют вид, представленный на рис. 3 (Ь,с1).

со

На рис. 3 (а,с) показаны соответствующие характеристики для хаотического негиперболического режима, характерного для генератора с инерционной нелинейностью. Из рис. 3 (а) видно, что для этого случая автокорреляционная функция имеет вид, характерный для негиперболических режимов, то есть относительно быстро спадает при росте т. Совсем по-другому обстоит дело для второго аттрактора рис. 3 (Ь). Автокорреляционная функция в этом случае не спадает до нуля даже на достаточно больших временах. Более того, из рисунка видно, что АКФ при больших г выходит на некоторый постоянный уровень, что характерно для странных нехаотических аттракторов (СНА)!

Анализ спектров мощности аттракторов свидетельствует, что для случая типичного хаотического режима (рис. 3 (с)) спектр является сплошным, с выбросами на базовой частоте, ее гармониках и субгармониках. Это обычный вид спектра негиперболических аттракторов, возникающих через каскад удвоения периода. Совершенно другой вид спектра для нового режима (рис. 3 (d)). Он гораздо более сильно "изрезан", и его максимум смещен в сторону более низких частот, а структура напоминает сингулярно-непрерывный спектр. Это снова наводит на мысль о

-0.2

1(1=2.105

S^dB 0.0

m=2.105

-25.0

-50.0

0.0

0.1

0.0 2000.0 4000.0 6000.0

Рис. 3 Автокорреляционная функция (а,Ь) и спектр мощности (с,<1) для ГИН в режиме негиперболического хаоса (а,с) и в новом режиме (Ъ,с1)

странном нехаотическом аттракторе.

Кроме того исследовалось поведение старшего ляпуновского показателя А1 вдоль траектории рассматриваемого хаотического аттрактора. Результат представлен на рис. 4 (а).

Риг 4 Изменение локального старшего ляпуновского показателя А1 вдоль траектории системы: (а) - для нового режима; (Ъ) - для хаотического аттрактора, типичного д ля данной системы

Из рисунка видно, что локальный ляпуновский показатель А1 вдоль траектории изменяет свой знак, но в среднем остается близким к нулю. Такое поведение характерно для странных нехаотических аттракторов. Но следует заметить, что такое же поведение локального ляпуновского показателя может наблюдаться и для квазипериодических режимов. Таким образом, следует делать вывод о типе рассматриваемого аттрактора не по одному свойству, а по их совокупности.

Для сравнения на рис. 4(Ь) показано поведение локального ляпуновского показателя для хаотического режима. Видно, что хотя локальный показатель во времени также изменяет свой знак, но в среднем он явно положителен.

Необходимо подчеркнуть, что все характеристики обнаруженного аттрактора соответствуют СНА, за исключением одной: старший ляпуновский показатель близок, но не равен нулю. Можно предложить следующую гипотезу: аттрактор, обнаруженный в грубых гиперболических системах с квазипериодическим возбуждением - некая идеальная модель СНА. В реальных негиперболических системах может существовать "СНА". Такие аттракторы, строго говоря, не являются СНА, но обладают практически такими же свойствами и .характеристиками, что и идеальный СНА.

В третьей главе рассматривается эффект стохастического резонан-

ca (CP) при возбуждении бистабильного осциллятора внешним хаотическим сигналом, генерируемым системой Ресслера, находящейся в режиме спирального хаоса. В частности, рассматривается влияние ширины спектральной линии базовой частоты в спектре сигнала на основные характеристики стохастического резонанса.

Классический эффект стохастического резонанса представляет собой явление, при Котором отклик бистабильной системы на слабое периодическое воздействие заметно усиливается при добавлении в систему шумового сигнала оптимальной интенсивности. При этом интегральные характеристики процесса на выходе системы, такие как коэффициент усиления и отношение сигнал/шум, имеют отчетливо выраженный максимум при некотором оптимальном уровне шума.

Это связано с наличием в системе двух временных масштабов: первый задается внешним-периодическим сигналом и определяется его частотой, второй временной масштаб характеризует среднюю частоту переключений бистабильной системы. В случае шумового воздействия на бистабильный осциллятор средняя частота Fk переключений задается формулой Крамерса:

Пк = 2 • TrFk ~ С ■ exp(-AU/D), (6)

где С - некоторая константа, определяемая формой бистабильного потенциала, AU - высота потенциального барьера, D - интенсивность воздействующего белого шума. Эффект стохастического резонанса имеет место в случае, когда характерные времена становятся близкими.

В качестве основной характеристики CP будем использовать коэффициент усиления по мощности ¡3, который определяется как отношение мощности сигнала на выходе к мощности сигнала на входе: /3 = Рта/Рт-При этом Р дается множителями при ¿-функциях на частоте сигналов выхода и входа соответственно.

На рис. 5(a) показана зависимость коэффициента усиления бистабильного осциллятора от интенсивности шума D (кривая 1). Кривая имеет ярко выраженный максимум, что и ожидалось, согласно рассуждениям, приведенным выше.

Однако нас интересует поведение бистабильного осциллятора, на который вместо периодического сигнала подается сигнал хаотической природы. Источником такого сигнала является негиперболический хаотический аттрактор спирального типа, реализуемый в системе Ресслера. Таким образом, на бистабильный осциллятор вместо гармонического пода-

Рис. 5. Зависимость коэффициента усиления /3 от интенсивности шума при воздействии гармоническим сигналом - кривая 1 (а,Ь); при воздействии хаотическим сигналом (^-координата системы Ресслера) - кривые 2,3 (а); 3 (Ь)- для сигнала вида (8)

ется хаотический сигнал, который представляет собой х—координату осциллятора Ресслера. В результате уравнения исследуемой системы принимают следующий вид:

х = ах - Ъх3 + Ао ■ XI + \/2Г) ■ £(4)

¿1 = (-У1-21)/т

Ш = (хх + г-у!)/т (7)

¿1 — (г -т - гх + хг • гх)/т,

где Ао - масштабный множитель, который рассчитывался таким образом, чтобы среднеквадратичная амплитуда х—координаты осциллятора Ресслера была равна амплитуде гармонического воздействия А = 0.05. Введение данного множителя необходимо, чтобы сравнить реакцию би-стабильного осциллятора на гармонический сигнал и сигнал хаотический, но совпадающий по мощности с периодическим. Масштабный множитель г введен с целью управления базовой частотой спирального аттрактора. Он выбирался таким образом, чтобы базовая частота была близка к частоте гармонического сигнала, рассматриваемого ранее.

Проведя расчет зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума, получим результат, представленный на рис. 5 (а) (кривая 2). Максимум кривой наблюдается при той же интенсивности шума И = 0.075, что и для воздействия гармоническим сигналом, и имеет несколько меньшую величину в сравнении с кривой 1. Точное определение максимума затруднено, поскольку кривая более пологая.

Заметим, что в рассматриваемом случае на бистабильный осциллятор подается сигнал с конечной шириной основной спектральной линии. При этом спектральный пик на средней частоте щ имеет форму лоренциа-

на, и его ширина определяется коэффициентом эффективной диффузии фазы -5е//- В зависимости от выбора параметра т будем получать различные значения коэффициента эффективной диффузии Вец и, следовательно, будем иметь дело с хаотическими сигналами с различной шириной основной спектральной линии.

Если на бистабильный осциллятор подать сигнал с большим коэффициентом диффузии, чем в первом случае (то есть с более широкой спектральной линией), то кривая зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума будет проходить ниже (рис. 5 (а), кривая 3).

Чтобы более детально проследить за изменением максимального значения коэффициента усиления при изменении ширины спектральной линии, была рассчитана зависимость коэффициента усиления от интенсивности шума для различных значений управляющего параметра т, то есть для различных значений коэффициента эффективной диффузии. В результате была построена кривая зависимости максимума коэффициента усиления от коэффициента эффективной диффузии фазы, которая представлена на рис. 6.

Рис. б. Зависимость коэффициента усиления бистабильного осциллятора, находящегося под воздействием хаотического сигнала, от коэффициента эффективной диффузии

Рассматриваемая нами модель сигнала (хаотические колебания в режиме спирального аттрактора) по спектральным свойствам близка к гармоническому шуму. Однако имеются отличия: плотность вероятности переменной х существенно иная, а в спектре, кроме узкополосной компоненты на основной частоте имеются спектральные линии на ее гармониках, а также широкополосный пьедестал, связанный с флуктуациями амплитуды колебаний. Чтобы выяснить, что больше влияет на эффект СР - конечная ширина основной спектральной линии или амплитудные флуктуации - были проведены расчеты коэффициента усиления для би-

стабильного осциллятора, на который воздействовал сигнал вида:

А-соз[фЦ)}, (8)

где 0(£) - мгновенная фаза осциллятора Ресслера, которая рассчитывав

ется по формуле ,

Ф(4) = агсЛ,ап^~ ±кк, к = 0,1,2,... (9)

В этом случае мы исключаем из рассмотрения амплитудные флуктуации сигнала генератора Ресслера.

При таком воздействии кривая зависимости проходит ближе к кривой, построенной для гармонического сигнала (см. рис. 5 (Ь): кривая 3 построена для параметра осциллятора Ресслера т = 6.5). Максимальное значение коэффициента усиления наблюдается при той же интенсивности шума, что и для предыдущих случаев. Таким образом, широкополосная компонента хаотического сигнала качественно не повлияла на эффект СР, однако при этом происходит количественное изменение максимального значения коэффициента усиления, а именно, флуктуации амплитуды уменьшают коэффициент усиления.

Таким образом, было показано, что эффект СР реализуется в биста-бильной системе не только при возбуждении ее гармоническим сигналом, но и хаотическим сигналом спирального типа. Однако, несмотря на то, что мощности хаотического и гармонического сигнала на входе выбирались равными, коэффициент усиления для гармонического сигнала оказывается больше, чем для хаотического. Это объясняется тем, что хаотический сигнал обладает спектральной линией конечной ширины. Кроме того, было показано, что с ростом ширины спектральной линии базовой частоты аттрактора Ресслера коэффициент усиления падает. Также было получено, что амплитудные шумы влияют только на величину ко- *

эффициента усиления, усиливая эффект, вызванный наличием фазовых шумов. Однако при этом не происходит смещения максимума кривой в сторону меньших интенсивностей шума Д как это можно было ожидать.

Основные результаты работы суммируются в заключении.

Основные результаты и выводы

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Было исследовано явление синхронизации хаотической системы внешним периодическим воздействием. В частности, изучалась зависимость амплитудного порога синхронизации от старшего ляпунов-ского показателя системы. В ходе исследований было получено, что для систем в режиме негиперболического хаоса закономерность (1), которая имеет вид:

Ар = СКХ,

нарушается, причем речь идет не только об изменении значения константы а о нарушении самого вида зависимости (1), более того, об отсутствии какой-либо явной зависимости между амплитудным порогом синхронизации и старшим ляпуновским показателем вообще.

Это было показано на примере двух систем - системы Лоренца в области негиперболичности и системы Ресслера в областях спирального и винтового хаоса.

2. Изучалось предположение о существовании в системе с петлей сепаратрисы седла притягивающего гиперболического подмножества, то есть аттрактора гиперболического типа. В результате было обнаружено, что смещение особой точки системы и введение дополнительной диссипативной нелинейности в обычные уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (генератора Анищенко-Астахова) привели к возникновению в системе нового типа хаотического режима. Этот режим демонстрирует некоторые свойства, близкие к свойствам странного нехаотического аттрактора (СНА). А именно:

- старший ляпуновский показатель очень мал (хотя и не равен нулю, как для СНА);

- поведение локального старшего ляпуновского показателя то же, что и для СНА. То есть вдоль траектории он меняет знак, но в среднем остается близким к нулю;

- автокорреляционная функция спадает до некоторого ненулевого уровня и далее уже не убывает;

- спектр мощности по структуре близок к сингулярно-непрерывному и демонстрирует свойства масштабной инвариантности.

Таким образом, новый режим можно назвать фактической реализацией идеального странного нехаотического аттрактора в реальных системах.

3. Было показано, что эффект стохастического резонанса реализуется в бистабильной системе не только при возбуждении ее гармоническим сигналом, но и хаотическим сигналом спирального типа. Причем коэффициент усиления для гармонического сигнала оказывается больше, чем для хаотического, что объясняется конечностью ширины спектральной линии последнего. В качестве меры ширины спектральной линии использовался коэффициент эффективной диффузии фазы, и была построена зависимость коэффициента усиления бистабильного осциллятора от коэффициента эффективной диффузии фазы. Результаты подтвердили тот факт, что с ростом ширины спектральной линии пика в спектре хаотического сигнала максимум коэффициента усиления бистабильного осциллятора уменьшается.

Кроме того, было установлено, что амплитудные шумы, присутствующие в хаотическом сигнале, подаваемом на бистабильный осциллятор, влияют только на величину коэффициента усиления, усиливая эффект, вызванный наличием фазовых шумов. Однако при этом не происходит смещения максимума кривой в сторону меньших интенсивностей шума О, как это можно было ожидать. Было бы логичным предположить, что наличие дополнительного амплитудного .шума просто увеличит величину И, что, согласно формуле (6), приведет к смещению максимума кривой зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума в сторону меньших И. Но этого не происходит, что можно объяснить тем, что амплитуда шумов хаотического сигнала ограничена, так как мы имеем дело с пусть хаотическим, но аттрактором. То есть амплитудные шумы хаотического сигнала не обладают статистикой белого шума и не оказывают влияния на среднюю частоту переключений.

Подводя общий итог, можно сказать, что в работе проведено исследование некоторых свойств негиперболических аттракторов. Результаты, полученные в ходе численных экспериментов, можно использовать в дальнейшем при изучении негиперболических систем.

Список работ по теме диссертации

1. Логинова1 М.В. О новом типе нерегулярного аттрактора в автономной системе / B.C. Анищенко, М.В. Логинова // Письма в ЖТФ. - 2003. Т. 29, вып. 13. - С. 50-56.

2. Логинова М.В. Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем / М.В. Логинова, B.C. Анищенко // Известия вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. Т. И, N2. -С. 87-95.

3. Loginova M.V. "Strange nonchaotic attractor" in 3D autonomous differential system / M.V. Loginova, V.S. Anishchenko // Proc. of the Int. Conf. "Physics and Control (PHYSCON-2003)", St.Petersburg, 2003. - P. 621-625

1До 2003 г. Ануфриева М.В. носила фамилию Логинова.

Ануфриева Мария Вячеславовна

ПОРОГ СИНХРОНИЗАЦИИ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В СИСТЕМАХ С НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ХАОСОМ

Автореферат

Корректор O.A. Панина

Лицензия ИД N 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 10.05.06 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл.печ-л. ^О Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 212 1 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77

f \

¿ooCft

Ш2128

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ануфриева, Мария Вячеславовна

Введение

1 Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем

1.1 Синхронизация хаоса

1.2 Способы определения порога синхронизации.

1.3 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца.

1.4 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера.

1.5 Выводы.

2 "Странный нехаотический аттрактор" в трехмерной автономной дифференциальной системе

2.1 Странный нехаотический аттрактор.

2.2 Основные свойства "странного нехаотического аттрактора"

2.3 Некоторые дополнительные характеристики "странного нехаотического аттрактора".

2.4 Выводы.

3 Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздей ствием хаотического сигнала

3.1 Стохастический резонанс.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием

3.4 Бистабильный осциллятор под воздействием хаотического сигнала

3.5 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом"

Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на аксиомах и строго доказанных теоремах, имеет дело только с гиперболическими системами [1]- [7]. Гиперболичность подразумевает, что все траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы дис-сипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с хаотическими свойствами. Примерами гиперболических аттракторов являются искусственными математические конструкции, такие, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла-Вильямса [8].

Доказано, что гиперболические странные аттракторы являются грубыми (структурно устойчивыми) [1]- [5]. Грубость означает нечувствительность характера движений и структуры взаимного расположения траекторий в фазовом пространстве по отношению к малым вариациям уравнений, задающих динамику системы. При этом старший показатель Ляпунова, отвечающий за степень хаотичности, а так же чувствительность динамики по отношению к возмущениям начальных условий, зависят от параметров гладким образом без провалов в область отрицательных значений, что характерно в случае негиперболического аттрактора).

Однако, математическая теория гиперболического хаоса никогда не была применена убедительно к какому-либо физическому объекту, несмотря на то, что ее концепции постоянно используются для интерпретации хаотического поведения реальных нелинейных систем.

Следует отметить, что широко исследуемые нелинейные системы со сложной динамикой, имеющие в основе конкретный физический процесс, например, хаотические автогенераторы, нелинейные осцилляторы с периодическим внешним воздействием, модель Ресслера и др., не относятся к классу гиперболических систем [7]- [11]. Как правило, наблюдаемый в них хаос связан с так называемым квазиаттрактором, который наряду с хаотическими траекториями включает также устойчивые орбиты большого периода. (Последние обычно не различимы при численном решении уравнений на компьютере из-за малости их бассейнов притяжения.) Строгое математическое описание квазиаттракторов остается нерешенной проблемой, хотя в физических системах негиперболичность эффективно маскируется в силу присутствия шума. В модели Лоренца в определенной области параметров хаотический аттрактор, как доказано, обладает основными свойствами гиперболических аттракторов (с оговорками, касающимися нарушения в некоторых деталях аксиоматических положений гиперболической теории), и динамика характеризуется как квазигиперболическая [12]- [13]. Так же известны квазигиперболические аттракторы Лози [14] и Белыха [15], [15]

Известно немного теоретических работ, в которых обсуждаются примеры гиперболического хаоса в системах, описываемых дифференциальными уравнениями [17]- [19]. Так же в работе [20] представлен пример физической неавтономной системы, обладающей странным хаотическим аттрактором, который по мнению автора относится к классу гиперболических аттракторов.

Однако, гораздо чаще в реальных физических системах регистрируются хаотические аттракторы, которые никак нельзя отнести к классу гиперболических. И, следовательно, к ним невозможно применить все те математические теоремы, которые были строго доказаны только для гиперболических систем. Но поскольку таких систем большинство, то вопрос об их свойствах и характеристиках не является праздным, и раз уж строгое математическое описание не представляется возможным, то остается использовать другие методы исследования - в частности численный эксперимент.

Таким образом, представляется необходимым выявить и систематизировать отличительные экспериментальные характеристики негиперболических аттракторов, которые можно использовать для их исследований при компьютерном моделировании.

В рамках данной диссертационной работы рассматривается ряд характеристик негиперболических систем, которые могут быть использованы для их описания. В частности проверяется наличие универсальной зависимости между порогом синхронизации хаотической системы внешним периодическим сигналом и степенью хаотичности системы, исследуется поведение бистабиль-ного осциллятора, находящегося под воздействием сигнала, представляющего собой хаотический аттрактор спирального типа. А так же проводятся исследования нового режима, обнаруженного в автономной системе, свойства которого близки с свойствам странного нехаотического аттрактора. Все эти исследования направлены на то, чтобы расширить знания о свойствах негиперболических систем.

Актуальность работы определяется важностью проблемы определения свойств и характеристик систем с негиперболическим хаосом. Из-за невозможности строго математического описания такие системы можно исследовать только с помощью физического или численного эксперимента. В представленной работе, с использованием второго из указанных методов, были исследованы некоторые закономерности, присущие негиперболическим системам.

Так же было показано, что закономерности, выявленные в численном эксперименте для систем с квазигиперболическим аттрактором, не справедливы для систем, демонстрирующих негиперболические режимы, хотя иногда такие экстраполяции исследователями производятся.

Следует отметить, что, как уже говорилось ранее, строгое математическое описание негиперболических систем не представляется возможным, следовательно приходится обходиться экспериментальными методами. Поэтому любые исследования, проводимые в этом направлении имеют большое значение, особенно если принять во внимание тот факт, что реальные физические системы относятся к классу негиперболических.

Научная новизна работы состоит в следующем:

2. Впервые выявлена возможность генерации автономной потоковой динат мической системой режима, по свойствам очень близкого к странному нехаотическому аттрактору.

Научно-практическое значение результатов работы заключается в том, что ее результаты расширяют наше представление о структуре и свойствах хаотической динамики маломерных диссипативных систем, не удовлетворяющих условиям гиперболичности. Так как практически все известные хаотические системы не являются гиперболическими, результаты настоящей работы могут быть использованы для понимания многих экспериментальных результатов исследования хаоса.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту;

2. В автономных трехмерных диссипативных системах, обладающих негиперболическими свойствами, возможна реализация нового типа аттрактора, который по совокупности характеристик близок к странным нехаотическим аттракторам, возникающим при двухчастотном квазипериодическом возбуждении.

3. Бистабильный осциллятор, находящийся под воздействием хаотического сигнала, отвечающего аттрактору спирального типа, демонстрирует явление стохастического резонанса. Причем максимум коэффициента усиления системы уменьшается с ростом коэффициента диффузии, определяющего ширину базовой спектральной линии хаотического сигнала.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях:

- Отчетная конференция по НОЦ. май 2003.

- International Konference "PHYSICS AND CONTROL" (PhysCon 2003) August 20-22, 2003, Saint Petersburg, RUSSIA

- V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, С.Петербург, 11-14 декабря 2001.

По теме диссертации опубликовано 3 работы (2 статьи в журналах и 1 статья в материалах конференции), которые включены в общий список литературы под номерами [92]- [94]

Результаты работы использованы при выполнении грантов CRDF (REC-006), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (Е02-3.2-345) .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка цитируемой литературы. В ней содержится 76 страниц текста, 27 рисунков, библиография из 94 наименований на 11 страницах. Общий объем диссертации 103 страницы.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Было исследовано явление синхронизации хаотической системы внешним периодическим воздействием. В частности изучалась зависимость амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя системы. В ходе исследований было получено, что для систем в режиме негиперболического хаоса закономерность (1.1), которая имеет вид:

Ар = С К*, нарушается. Причем речь идет не об изменении значения константы х» а о нарушении самого вида зависимости (1.1), более того, об отсутствии какой-либо явной зависимости между амплитудным порогом синхронизации и старшим ляпуновским показателем вообще.

2. Изучалось предположение о существовании в системе с петлей сепаратрисы седла притягивающего гиперболического подмножества, то аттрактора гиперболического типа. В результате было обнаружено, что смещение особой очки системы и введение дополнительной диссипатив-ной нелинейности в обычные уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (генератора Анищенко-Астахова) привело к возникновению в системе нового хаотического режима. Этот режим демонстрирует некоторые свойства, близкие к свойствам странного нехаотического аттрактора (СНА). А именно:

- старший ляпуновский показатель очень мал (хотя и не равен нулю, как для СНА)

- поведение локального старшего ляпуновского показателя то же, что и для СНА. То есть вдоль траектории он меняет знак, но в среднем остается равным нулю.

- автокорреляционная функция спадает до некоторого ненулевого уровня и далее уже не убывает.

- спектр мощности по структуре близок к сингулярно-непрерывному, так как демонстрирует свойства масштабной инвариантности.

3. Было показано, что эффект стохастического резонанса реализуется в би-стабильной системе не только при возбуждении ее гармоническим сигналом, но и хаотическим сигналом спирального типа. Причем коэффициент усиления для гармонического сигнала оказывается больше, чем для хаотического, что объясняется конечностью ширины спектральной линии последнего. В качестве меры ширины спектральной линии использовался коэффициент эффективной диффузии фазы, и была построена зависимость коэффициента усиления бистабилыюго осциллятора от коэффициента эффективной диффузии фазы, которая подтверждает тот факт, что с ростом ширины спектральной линии пика в спектре хаотического сигнала максимум коэффициента усиления бистабильного осциллятора уменьшатся.

Кроме того было получено, что амплитудные шумы, присутствующие в хаотическом сигнале, подаваемом на бистабильный осциллятор, влияют только на величину коэффициента усиления, усиливая эффект, вызванный наличием фазовых шумов. Однако при этом не происходит смещения максимума кривой в сторону меньших интенсивностей шума D% как это можно было ожидать. Ведь было бы логичным предположить, что наличие дополнительного амплитудного шума просто увеличит величину D, что, согласно формуле 3.1, приведет к смещению максимума кривой зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума в сторону меньших D. Но этого не происходит, что можно объяснить тем, что амплитуда шумов хаотического сигнала ограничена, так как мы имеем дело с пусть хаотическим, но аттрактором. То есть амплитудные шумы хаотического сигнала не обладают статистикой белого шума.

Таким образом, подводя общий итог проделанной работы, можно сказать, что было проведено исследование некоторых свойств негиперболических аттракторов. Результаты, полученные в ходе численных экспериментов, можно использовать в дальнейшем при изучении негиперболических систем. Значимость результатов усиливается тем, что для негиперболических систем невозможно строгое математическое описание, поэтому их изучение приходится проводить экспериментальными методами, что всегда требует больших затрат времени.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Ануфриева, Мария Вячеславовна, Саратов

1. Я.Г. Синай, в кн. Нелинейные волны, Наука, Москва (1979), с. 192.

2. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники, т.2. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. Изд. ВИНИТИ АН СССР, Москва (1985).

3. J.-P. Есктапть and D. Ruelle, Rev. Mod. Phys., 57, 617 (1985).

4. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. Пер. с англ. Изд. "Факториал", Москва (1999).

5. V. Afraimovich and S.-B. Hsu, Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA (2003).

6. R.L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, New York (1989).

7. E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press (1993).

8. Smale S.,, Differentiable Dynamical Systems // Bull. Am. Math. Soc. 1967. V.73. P.747-817

9. С.П. Кузнецов, Динамический хаос, Физматлит, Москва (2001).

10. S.E. Newhouse, Publ. Math. IHES, 50,101 (1979); V. S. Afraimovich and L.P. Shilnikov,in book: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I. Barenblatt, G. loss, and D.D. Joseph, Pitman, Boston, London, Melbourne (1983), p. 1.

11. И. В.С.Анищенко, В.В.Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, Л. Шиманский-Гайер, Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах, Инст. Компьютерных исследований, Москва Ижевск (2003).

12. B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шилъников, ДАН СССР, 234, 336 (1977).

13. К. Mischaikow and М. Mrozek, Bull. AMS, 32, 66 (1995); Mathematics » of Computation, 67 (223), 1023 (1998); K. Mischaikow, M. Mrozek,

14. A.Szymczak, J. Diff. Equ. 169, 17 (2001).

15. Lozi R. Un Attracteur Etrange du Type Attractors // J. de Physique. 1978. V.39 (C5). P.9-10

16. Belykh V.N. Models of Discrete Systems of Phase Locking // Phase Locking Systems / Ed. by L.N. Belyustina, V.V. Shakhgil'dyan. Moscow: Radio i Svyaz, 1982. P. 161-176 (in Russian)

17. Белых B.H. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения // Мат. сб. 1985. Т. 186, N 3. С. 35.

18. T.J. Hunt and R.S. MacKay, Nonlinearity 16, 1499 (2003).

19. T.J. Hunt, PhD Thesis, Univ. of Cambridge (2000).

20. V. Belykh, I. Belykh and E. Mosekilde, Int. J. of Bifurcation and Chaos 15, No 11, 3567 (2005).

21. С. П. Кузнецов, E. П. Селезнев Хаотичсекая Динамика в Физической Системе со Странным Аттрактором Типа Смейла-Вильямса // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 129, 2006, N 2, 400-412

22. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. // Вестник Московского университета. 1983. Сер. 3. Т. 24. 4. С. 84?87.

23. Fujisaka Н., Yamada Т. // Progress of theoreticals physics. 1983. V. 69.N 1. P. 32-47.

24. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. j/ Известия ВУЗов. Радиофизика. 1986. Т. 29. ? 9. С. 1050-1060.

25. Rosenblyum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. I j Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 4193-4196.

26. Анищенко В., Вадивасова Т.Е., Постное Д. Э., Сафонова М.А. j j Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. В. 2. С. 338-351.

27. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. // Physical Review Letters. 1996. V. 76. N 11. P. 1804-1807.

28. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. // Phys. Rev. Б. 1996. V. 53.t1. P. 4528-4535.

29. Кузнецов Ю.А., JIanda П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М., Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР. 1985. т. 281, вып. 2. с. 1164-1169.

30. Dykman G., Landa P., Neimark У., Synchronized of Chaotic Oscillations by External Force // Chaos, Solitons and Fractals. 1992. v. 1, 4. p.339-353.

31. Yamada Y., Fujisaka #., Stability Theory of Synchronized Notions in Couple Oscillators // Progr. Theor. Phys. 1984. v. 69. p. 32.

32. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И., Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1989. т. 29, 9. с. 1050-1060.

33. Волковсшй А.Р., Рулъков Н.Ф., Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации // Письма в ЖТФ.1989. т. 15, вып. 7. с. 5-10.

34. Pecora L., Carroll Т., Synchronization of Chaotic Systems // Phys. Rev.Lett1990. v. 64.

35. Анищенко B.C., Постное Д.Э., Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1988.т. 14, вып. 6.

36. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А., Synchronization of Chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992. v. 2, 3. p. 633-644.

37. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Wu C.W Chua L.O., Dynamics of the Non-Autonomous Chua's Circuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. v. 5, 6. p. 1525-1540.

38. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.Chua L.O., Dynamics of Two Coupled Chua's Circuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. v. 5, 6. p. 1677-1699.

39. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel U.D.I., Generalized Synchronization of Chaos in Unidirectorally Coupled Chaotic Systems // Phys. Rev. E. 1995. v. 51. p. 980.

40. Kocarev L., Parlitz £/., Generalized Synchronisation, Predictability, and Equivalence of Unidirectionally Coupled Dynamical Systems // Phys. Rev. Lett 1996. v. 76, 11. p. 1816.

41. Ю.И.Кузнецов, П.С.Ланда, А. Ф. Ольховой, С.М.Перминов., Связь между амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР.- 1985.- Т. 281, 2.

42. Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда., Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука 1987.

43. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvertskhov, G.I. Strelkova., Correlation analysis of dynamical chaos. Physica A, 2003

44. V. N. Belykh., Smooth Dynamical System Having a Unique Saddle Equilibrium Point May Generate the Plykin Attractor // Abstracts of International Conference on Differential Equations and Dinamical Systems, Suzdal, august 21-26 2000, p. 13-15.

45. Плыкин P.В., О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // УМН. 1980. Т. 35, N 3. С. 94-104.

46. Grebogi С., Ott Е., Pelikan S., Yorke J.A., Strange attractors that are not chaotic // Physica D. 1984. V. 13. P. 261.

47. Kapitaniak Т., Wojewoda J. Attractors of Quasiperiodically Forced Systems. Singapore: World Scientific, 1993

48. V.S.Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, O.Sosnovtseva., Mechanisms of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractors // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. N 5. P.4451-4457.

49. V.S.Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, O.Sosnovtseva., Strange nonchaotic attractors in autonomous and periodically driven systems // Phys.Rev. E., V.54, N 3, 1996, pp. 1-4

50. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P., Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence / Ed. by G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Jozeph. Pitman; Boston; London; Melbourne, 1983. P. 1-34

51. Afraimovich V.S., Attractors // Nonlinear Waves 1 / Ed. by A.V.Gaponov, M.I.Rabinovich, J.Engelbrechet. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. P.6-28.

52. Арнольд В.И.Б Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильншов Л.П., Теория бифуркаций // Современные проблемы математики: Фундаментальные направления / Под. ред. В.И. Арнольда. М.: ВИНИТИ. 1986. Т. 5. С. 5-218

53. Shilnikov L.P., Strange Attractors and Dynamical Models // J. of Circuits, Systems, and Computers. 1993. V.3. N 1. P.l-10.

54. Анищенко B.C., Стохастические колебания в радиофизических системах. Издательство Саратовского университета, 1986.

55. Анищенко B.C., Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990

56. Pikovsky A.S., Feudel U. ., Correlations and Spectra of Strange Nonchaotic Attractors // J. Phys. A. 1994. V. 27. P. 5209.

57. Pikovsky A.S., Feudel U. ., Characterizing Strange Nonchaotic Attractors // CHAOS. 1995. V.5. P. 253.

58. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и стуктура хаоса. М.: Наука, 1968.

59. Понтрягин JI.C., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамичсеких систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3, С. 165-180.

60. Ланда П.С., Заикин А.А., Шумоиндуцированные фазовые переходы в простых системах // ЖЭТФ. 1997. Т. 111, С. 358-364.

61. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987.

62. Анищенко В.С.,Нейман А.Б.,Мосс Ф., Шиманский-Гаей Л., Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка //УФИ, 1999,Т.169, N 1, стр.7-39.

63. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic Resonance // J.Phys. A: Math. Gen. 1981. V. 14. P. L453-L457.

64. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic Resonance in climatic Change // Tellus. 1982. V. 34. P. 10-16.

65. Nicolis C. Stochastic Aspects of Climatic Transitions Responce to a Periodic Forcing // Tellus. 1982. V. 34. P. 1-9.

66. Fauve S., Heslot F. Stochastic Resonance in a Bistable System // Phys. Lett. A. 1983. V.97, P. 5-9

67. McNamara ВWiesenfeld K., Roy R. Observation of Stochastic Resonance in a Ring Laser // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 2626-2629.

68. Grigorenko A.N., Nikitin P.I., Slavin A.N., Zhou P.Y. Experimental Observation of Magneto-stochastic Resonance // J. of Appl. Phys. 1994. V.76, N 10. P. 6335-6337.

69. Дыкман М.И., Великович А. Л., Голубев Г.П., Лучинский Д.Г., Цупиков С.В. Стохастичсекий резонанс в пассивной полностью оптической биста-бильной системе // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 53. С. 193-197.

70. Gammaitoni L., Martinelli М., Pardi L., Santucci S. Observation of Stochastic Resonance in Bistable Electron-paramagnetic-resonance Systems I j Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 1799-1803.

71. Simon A., Libchaber A. Escape and Synchronization of a Brownian Particle // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. N.23. P. 3375-3378.

72. Spano M.L., Wun-Fogle M., Ditto W.L. Experimental obsevation of stochastic resonance in a magneto-elastic ribbon // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. R5253- R5256.

73. Mantegna R.N., Spagnolo B. Stochastic resonance in a tunnel-diode // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. N 3. P. R1792-1295.

74. Hibbs A.D., Jacobs E.W., Bulsara A.R., Bekkedahl J.J., Moss F. Signal Enhancement in a r.f.SQUID Using Stochastic Resonance // IL Nuovo Cimento. 1995. V. 17, N 7/8, P. 811-818.

75. Perez-Madrid A., Rubi J.M. Stochastic resonance in a system of ferromagnetic particles // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4159-4165.

76. Neda Z. Stochastic resonance in 3D Ising ferromagnets // Phys. Lett. A. 1996. V. 210. P. 125-128.

77. Дубинов А.Е., Михеев К.Е., Нижегородцев И.Б., Селемир В.Д. О стоха-стичсеком резонансе в сегнетоэлектриках // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. Т. 60. С. 76-77.

78. Leonard D.S., Reichl L.E. Stochastic resonance in a chemical reaction // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. N. 2. P. 1734-1737.

79. Dykman M.I., Horita Т., Ross J. Statistical Distribution and Stochastic Resonance in a Periodically Driver Chemical System //J. Chem. Phys. 1995. V. 103. N. 3. P. 966-972.

80. Hohmann W., Muller J., Scneider F. W. Stochastic resonance in a chemistry. The minimal bromate reaction. // J. Chem. Phys. 1996. V. 100. P. 5388-5392.

81. Babinec P. Stochastic resonance in the weildich model of public opinion formation // Phys. Lett. A. 1997. V. 225. P. 179-181.

82. Анищенко B.C., Badueacoea Т.Е., Астахов В.В., Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,1999.

83. Anishchenko V.S.,Neiman A.B.,Safonova М.А., Stochastic resonance in chaotic systems // J.Stat.Phys. 1993, V.70, N 1/2, p.183-196

84. Neiman A.,Shimansky-Geier L., Stochastic resonance in bistable systems driven by harmonik noise // Phys.Rev. Lett. 1994. V.72,N 19., P. 2988-2991

85. Kramers H.A., Brownion motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Phisica. 1940, V.7, P.284-312

86. Arneodo A., Collet P., Tressev C., Possible new strange attractors with spiral structure // Commun.Math.Phys. 1981. V.79, P.573-579.

87. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е.,Окрокверцхов Г.А.,Стрелкова Г.И., Статистические свойства динамического хаоса // УФН Т.175, N 2. 2005г.

88. Anishchenko V.S.,Vadivasova Т.Е., Okrokvetskov G.A., Strelkova G.I., Correlation analysis of dynamical chaos // Physica A, 2003, V.325, P.199-212.

89. Gollins J.J., Chow C.C., Imhoff T.T. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. R3321.

90. Collins J.J., Chow C.C., Capela A.C., Imhoff T.T. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 5575.

91. Eichwald C., Wal leczek J. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. R6315.

92. B.C.Анищенко, М.В.Логинова. О новом типе нерегулярного аттрактора в автономной системе // Письма в ЖТФ, 2003, том. 29, вып. 13.

93. М.В.Логинова, В. С. Анищенко. Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем // Прикладная нелинейная динамика. Т.11, N 2, 2003. стр. 87-95.

94. Maria V. Loginova, Vadim S. Anishchenko "Strange nonchaotic attractor" in 3D autonomous differential system. // Proc. of the Int. Conf. "Physics and Control (PHYSCON-2003)", St.Peterburg, 2003.- 103-Благодарности

95. Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Ани-щенко Вадиму Семеновичу, без руководства и внимания которого эта работа была бы невозможна.

96. Хочу также выразить отдельные слова благодарности Вадивасовой Татьяне Евгеньевне, Павлову Алексею Николаевичу, Окрокверцхову Георгию Александровичу за помощь и рекомендации в ходе выполнения и подготовки диссертационной работы.