Спектрально-корреляционный анализ хаотических автоколебаний в системах с аттракторами спирального и переключательного типов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На праваХ/рукописи

ОКРОКВЕРЦХОВ Георгий Александрович

Спектрально-корреляционный анализ хаотических автоколебаний в системах с аттракторами спирального и переключательного типов.

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации ка соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

академик РАЕН,

доктор физико-математических наук, профессор Анищенко B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мельников Л.А.

доктор физико-математических наук, доцент Осипов Г.В.

Ведущая организация: Саратовский филиал ИРЭ РАН

Защита состоится 1 июля 2005 г. в 10 час. 00 мин. на заседании специализированного совета Д.212.243.01 но специальности "радиофизика" при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан "20» мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин В.М.

Актуальность задачи Хаотические автоколебания можно обнаружить в системах любой природы: в биологии, физиологии, физике, химии и т.д. Математическим прообразом хаотических колебаний является гиперболическое множество, при движении по которому близкие траектории экспоненциально разбегаются. Для динамических систем с диссипацией (divV < 0) комбинация экспоненциального раз-бегания траекторий и сжатия объема фазового пространства приводит к появлению специфического хаотического множества, имеющего нулевой объем и ненулевую нецелую размерность. Такое множество носит название "странный "аттрактор, которое было введено Рюэлем и Такенсом в 1971г. в работе "О природе турбулентности". В этой работе было дано строгое доказательство существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной системе с конечным числом степеней свободы. Как правило, хаотическая динамическая система (ДС) описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или нелинейным уравнением в частных производных или нелинейным дискретным отображением. Их решение в аналитическом виде практически невозможно, и во многих практических задачах исследуются численно. Помимо этого во многих случаях нет необходимости знать точное решение ДС, а нужно лишь иметь представление о ее свойствах. К таким свойствам можно отнести статистические и спектрально-корреляционные свойства системы. При этом, в силу того, что хаотические колебания во многом напоминают случайный процесс, отождествление их с конкретным случайным процессом, описывающим в какой-то мере их свойства, является весьма актуальной задачей. Аппарат эргодической теории динамических систем все еще слабо развит для систем с непрерывным временем - потоков. Даже в случае гиперболических систем вопрос о статистических свойствах и закономерностях остается открытым. 1,2 В 1975 году Рюэль и Боуэн поставили вопрос касательно спада корреляции для потоков Аносова: "Спадает ли корреляция для перемешивающих потоков Аносова с инвариантной мерой Гиббса для гладких функций f,g экспоненциально во времени?"В общем случае ответ оказался отрицательным. Контрпримеры были приведены в работах Рюэля Зи Полликотта 4, где были показаны примеры потоков Аносова со спадом корреляции существенно более медленным но сравнению с эксионентой. Для определенных гиперболических потоковых систем, в основном для геодезических потоков на многообразиях с постоянной отрицательной кривизной было показано, что

| Young, L. S. Ergodic Theory of Chaotic Dynamical Systems. // Xlllth International Congress of Mathe-

'Ruelle D.//C. R. Acad. Sei. Paris. 1983. Vol. 296. P.191-193

сиад корреляции экспоненциальный Однако эти результаты не могут быть распространены на потоки Аносова в общем случае 2.

Слабо развитая корреляционная теория для потоков резко контрастирует с хорошо изученными корреляциями в отображениях. Скорость спада корреляции в гиперболических отображениях определяется энтропией Колмогорова-Синая, которая в свою очередь определяется суммой положительных ляиу-новских показателей8.Причина того, что найти корреляцию для потоковых систем существенно сложнее, чем для отображений, связана с наличием нулевого Ляпуновского показателя в направлении потока. Непрерывное отображение ф' в данном случае относится к частично гиперболическим системам для любого Другими словами, отсутствие экспоненциального разбе-

гания в направлении потока приводит к тому, что механизм перемешивания существенно отличается от перемешивания в дискретных отображениях10. В работах А. Коиейкина исследовалось влияние шума на скорость установления вероятностной меры в аттраткорах спирального тина. Было показано, что скорость процесса перемешивания на негииерболических аттракторах определяется не только положительным лянуновским показателем, но и также особенностями динамики мгновенной фазы хаотических колебаний. В режиме спирального хаоса шумовое воздействие, приводящее к возникновению сбоев фазы, может существенно ускорить процесс перемешивания. При этом шум не оказывает существенного влияния на значение старшего лянуновского показателя11. Таким образом было показано, что динамика мгновенной фазы хаотических колебаний оказывает существенное влияние на процесс перемешивания. Однако конкретного механизма возникновения перемешивания за счет динамики фазы показано не было.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании спектрально-корреляционных свойств хаотических аттракторов спирального и переключательного типов и сопоставлении им классических моделей случайных процессов. Так, для аттракторов спирального типа прежде всего исследовалась возможность использования формализма амплитудных и фазовых флуктуации. Исследовался процесс фазовых "флуктуации", его связь со структурой аттрактора. Детально исследовались статистические характеристики ди-

БМооге С. Exponential decay of correlation coefficients for geodesic flows. In Group Representations Ergodic

Theory, Operator Algebra and Mathematical Physics. Berlin: Springer, 1987

«Ratner M. //Ergod. Th. Dyn. Sys. 1987. Vol.7. P.267-288

7Collet P., Epstein H., Gallavotti G. //Comm. Math. Phys. 1984. Vol.95. P.l-112

8Pesin Ya. Lyapunov characteristics exponents and smooth ergodic theory // Russian Math. Surveys.-1977-, V.32.-p.55

Ruelle D. An Inequality of the entropy of differentiable maps. // Bol. Sc. Bra. Mat.- 1978 - V. 9.-p.83 "Брин M., Песин Я. //УМН.- 1974.- Т. 8.- С.177-218

10Chernov N.I.// Ann. Math - 1998- V.147.-p.269-324

иКопейкин A.C. Статистические характеристики хаотических колебаний в нелинейных системах в присутствии шума. // Автореферат па соискание ученой степени кандидата наук, Саратов.-2001г.

намики фазы с целью сопоставления его с классическим Винеровским процессом. Исследовалась возможность описания спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний с помощью модели узкоиолосного случайного процесса. Для систем с аттаркторами переключательного типов исследовалась возможность описания спектрально-корреляционных свойств хаотических колебаний с использованием модели телеграфного сигнала. В работе решены следующие задачи:

- исследовано влияние различных способов введения мгновенной фазы и амплитуды на особенности статистики мгновенной фазы;

- проведено сравнение статистических характеристик классической модели узкополосного случайного сигнала (квазигармонический автогенератор под действием флуктуации) и статистических характеристик мгновенных амплитуды и фазы колебаний системы со спиральным аттрактором;

- найден параметр, непосредственно определяющий скорость перемешивания в системах с аттрактором спирального тина;

- найдена классическая модель случайного телеграфного сигнала, описывающая основные особенности спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний в системах с аттрактором переключательного типа;

- найден параметр позволяющий определить времена корреляции в системах с аттракторами переключательного типа.

Научная новизна работы

- В численном и физическом экспериментах впервые детально проанализирована возможность статистического описания свойств спиральных (фа-зокогерентных) хаотических аттракторов с помощью классической модели узконолосного случайного процесса.

- Показано, что закономерности спада автокорреляционной функции на больших временах и ширина спектральной линии базовой частоты колебаний определяются коэффициентом эффективной диффузии мгновенной фазы. Резкий спад АКФ на малых временах и форма "шумового ньедестала"в спектре определяются экспоненциальным разбеганием траекторий.

- Показано, что воздействие на систему внешнего белого дельта-коррелированного шума не изменяет характера статистических свойств спирального аттрактора, приводя лишь к увеличению эффективного коэффициента диффузии фазы.

- Показана связь между структурой многообразий и статистикой переключений в системах с аттрактором переключательного тина.

- Для аттракторов переключательного тина показана возможность описания спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний с помощью классической модели квазислучайного телеграфного сигнала.

Достоверность научных результатов основывается на использовании при численных расчетах отработанных численных методов и стандартных программ, а также соответствием результатов численных расчетов теоретическим предпосылкам и хорошим совпадением прямых физических экспериментов на радиотехнических системах с данными теории и расчетов.

Положение, выносимое на защиту Спектрально-корреляционные характеристики хаотических автоколебаний в системах со спиральным типом аттрактора и с аттрактором переключательного типа могут быть описаны с помощью классических моделей случайных процессов:

1. Системам со спиральным типом аттрактора можно поставить в соответствие классическую модель узконолосного случайного процесса.

2. Системам с аттрактором переключательного типа соответствует классическая модель случайного телеграфного сигнала.

Научно-практическое значение результатов работы. Полученные результаты предоставляют специалистам в области экспериментальных исследований хаоса достоверные характеристики, определяющие процесс перемешивания и позволяющие получить аналитическое описание спектрально-корреляционных свойств систем с аттракторами спирального и переключательного типов.

Апробация работы и публикации Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: Нелинейные дни в Саратове для молодых, (Саратов, 2000г.,2003г.); "2nd European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for Systems and Signal AnalysisEUROATTRACTOR-2001"(BapmaBa, Польша, 2001г.); "6th Internation School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS -2001",(Саратов, 2001r);"V Всероссийская конференция студентов - радиофизиков", (С.-Петербург,2002); "Int. Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics",(H. Новгород,2003г.); "Experimental Chaos Conference ЕСС-8",(Флоренция, Италия, 2004г.); "Int. Conference Nonlinear Dynamics of Electronic Circuits NDES-2004",(3Bopa, Португалия, 2004г); Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах: международного института нелинейной динамики Саратовского госуниверситета (иод руководством проф. B.C. Анищенко),рабочей группы нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия) (под руководством проф. Ю. Куртса), кафедры прикладных стохастических процессов Гумбольтского университета(Германия) (иод руководством проф. Л. Шимански-Гайера).

По теме диссертации имеется 18 публикаций (8 статей в российских и за-

рубежных журналах, б статей в сборниках трудов научных конференций,4 тезиса докладов).

Результаты работы получены при поддержке грантов Программы БЯНЕ (грант N 8Я-006-Х1), ЮТАБ N02-867, РФФИ (грант N 04-02-16283) и МОРФ (грант N Е02-3.2-345),гранта аспирантов МОРФ А03-2.11-390Д04-2.9-527. Личный вклад автора

Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В большинстве работ, которые написаны в соавторстве, диссертанту принадлежит участие в постановке задач, проведении численных и натурных экспериментов, интерпретации результатов. При проведении физических экспериментов использовались как стандартное программное обеспечение, так и собственные программы.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Работа содержит 135 страниц текста, включая 45 рисунков, 1 таблицу, список литературы.

Краткое содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения, выносимые на защиту. Первая глава посвящена исследованию спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний систем с аттракторами спирального типа. Исследуются системы Ресслера (1) и генератор Анищенко-Астахова (2).

тх + у — хг + гх3, -х,

-дг + д/(х), (2)

Г х2, х> 0, \ О, х < 0, 1.35, д = 0.21.

Для исследуемых систем рассматривался процесс перемешивания, скорость которого определялась путем исследования процесса установления различных статистических характеристик на аттракторе. Для этого рассматривалось поведение ансамбля траекторий, изначально сосредоточенных в шаре {й— 10~3), расположенном на аттракторе. Было выявлено, что положительный Лянуновский показатель определяет поведение среднего значения амплитуды на малых временах установления Рис.1 (а), в то время как экспоненциальная скорость установления к стационарному значению существенно меньше Ляпуновского показателя Рис. 1(6). В ряде работ отмечалось, что аттрактор Ресслера напоминает зашумленный предельный цикл, и его спектр

15

8.5

0 ■»"■g-* V^.X-s't

0 10 20 30

w.

6.5

40 50 60

0 5000 10000 15000 20000

(a)

(6)

Рис. 1: Поведение среднего значения амплитуды на временах, сопоставимых со временем одного оборота траектории вокруг состояния равновесия. Жирная линия - среднее значения амплитуды, курсивные линии - аппроксимация в виде ехр(А+(< — £,)) (а). Поведение среднего значения амплитуды на больших временах (б).

имеет ярко выраженный спектральный пик на базовой частоте хаотических автоколебаний12. Однако никаких попыток сопоставления с моделью узко-нолосного шума проведено не было.

Классическая модель узкоиолосного шума, описывающая колебания в автогенераторе со средней амплитудой Л0 ИОД действием малого шума, записывается в виде:

где независимые источники белого гауссова шума. Флуктуации ам-

плитуды быстро затухают за счет диссипации, в то время как флуктуации фазы неограниченны, так как происходят в направлении нулевого Ляиунов-ского показателя. Флуктуации фазы описываются Винеровским процессом. Дисперсия фазы Винеровского процесса линейно растет во времени. Скорость роста диффузии фазы определяется коэффициентом диффузии фазы, который также определяет скорость спада автокорреляционной функции и ширину спектрального пика на базовой частоте.

Автокорреляционная функция узкоиолосного случайного процесса и спектр мощности записываются в виде:

где Ка{т) - ковариационная функция флуктуации амплитуды, В - коэффициент диффузии фазы.

"Farmer J. D. //Phys. Rev. Lett, 1981, 47 , 179-82 Пиковский, A. and Роэемблюм, M. and Кутрс, Ю. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление. М.:Техносфера, 2003

a{t) = A(t) - Л0) а + 25а = ф = ^

(3)

(4)

<•) («) <■)

Рис. 2: Распределение вероятностей флуктуаций фазы ф(1) в момент времени Т = 1000 (кривая 1) и в момент времени Т = 5000 (кривая 2) и их аппроксимации нормальным распределением, (а) Зависимость дисперсии фазы от времени.(б) Автокорреляционная функция мгновенной частоты, (в)

В работе проведено детальное исследование динамики фазы в системе Рес-слера и генераторе Анищенко-Астахова Рис.2. Показано, что при различных способах введения фазы динамика фазы может быть в той или иной степени описана Винеровским процессом. Распределения флуктуации фазы близко в Гауссовому Рис.2(а), приращения фазы хотя и коррелированны, но имеют малые времена корреляции Рис.2(в), временная зависимость дисперсии фазы имеет ярко выраженную линейную компоненту. Наличие небольших отклонений от Винеровского процесса приводит к тому, что рост дисперсии фазы может иметь помимо линейной составляющей также и небольшую осциллирующую компоненту Рис.2(б). В данном случае можно ввести понятие эффективного коэффициента диффузии фазы, который определяется линейной составляющей роста дисперсии фазы.

На Рис.3 показаны результаты для нормированной автокорреляционной функции Фх(т) в системе Ресслера без шума и в присутствии шума. АКФ спадает практически экспоненциально как в отсутствии шума Рис.З(а), так и в присутствии шума Рис. 3(6). Кроме того, как видно на Рис. 3(в), для г <20 есть интервал, на котором АКФ спадает намного быстрее. Используя уравнение (3), можно аппроксимировать огибающую рассчитанной АКФ Фх(т). С этой целью подставим рассчитанные характеристики Ка(т) и В = Век в выражение для нормированной огибающей

Результаты расчета для Фо(т) представлены на Рис. 3(а),(б) черными точками (кривые 2). Видно, что поведение огибающей АКФ Фл;(т) хорошо описывается формулой (5). Заметим, что с учетом множителя Кд(т)/Кд(0) получается хорошая аппроксимация для всех значений т > 0. Это означает, что амплитудные флуктуации играют важную роль на коротких интервалах времени в то время как медленный процесс спадания корреляции

Рис. 3: Нормированная АКФ колебаний x(t) в системе (1) для т — 6.5 (серые точки 1) и ее аппроксимация (5) (черные точки 2) для D = 0 (а) и D = 10~э (б). Огибающие АКФ в линейно-логарифмическом масштабе (в) для D = 0 (кривая а), D = 0.001 (кривая б) и D = 0.01 (кривая в).

главным образом определяется диффузией фазы. Особенно важно подчеркнуть, что результаты, представленные на Рис. 3(а), были получены в режиме чисто детерминированного хаоса (в отсутствии шумов), что еще раз доказывает сходство хаотических автоколебаний со случайным процессом. Как следует из результатов, представленных на Рис. 3, для т > тсог огибающая АКФ для хаотических колебаний аппроксимируется экспоненциальным законом ехр(—-Befflrj). Согласно теореме Винера-Хинчина, спектральный пик на средней частоте ш$ должен иметь форму Лоренциана, и его ширина определяется коэффициентом эффективной диффузии фазы .Beg. Основная спектральная линия в спектре хаотических автоколебаний системы Ресслера и ГИН аппроксимируется Лоренцианом, что подтверждается численными результатами для спектра мощности колебаний x(t). Результаты, показанные на Рис. 3 для интенсивности шума воспроизводятся для различ-

ных значений D в интервале 0 < D < 10~2, а также для диапазона значений параметра т, который соответствует режиму спирального хаоса. Отметим, что представленные результаты аппроксимации АКФ и форма основной спектральной линии спирального аттрактора в системе Ресслера полностью подтверждаются исследованиями спиральных аттракторов в других динамических системах.

Хаотические автоколебания спирального типа существуют не только в конечномерных, но и в распределенных системах. В данной работе исследования проводились на примере одномерной автоколебательной среды, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау с частотой, зависящей от пространственной координаты:

at = iw(a:)a + ^(1 - ]а|2)а + дахх, (6)

Колебания в различных точках среды при д —0 имеют разные частоты, задаваемые функцией ш(х). Рассматривался случай линейной зависимости частоты от пространственной координаты ш(х) = хАтах, Лтах в эксперименте фиксировалось на уровне Дгпах — 0-2. Вычислялись вещественная амплитуда А(х, t) = |a(a;,í)| и фаза <¡>{x,t) = arg а(х, t) колебаний. Средняя частота колебаний рассчитывалась как средняя производная фазы по времени: íl{x) = {4>i{x, t)).

При заданной расстройке Дтах в некоторой области значений коэффициента диффузии можно наблюдать формирование идеальных Рис.4(а) и неидеальных частотных Рис.4(б) кластеров. Идеальным кластерам соответствуют периодические во времени колебания. В режиме неидеальных кластеров изменение амплитуды колебаний А во времени в любой фиксированной точке среды х является довольно сложным и наноминает хаотический процесс.

В различных точках среды вычислялись временные автокорреляционные функции (АКФ) процесса Л (г, t). Рассматривалась нормированная автокорреляционная функция (коэффициент корреляции). Пример АКФ приведен на Рис.5(а). В режиме неидеальных кластеров Фх^т) в любой точке среды х убывает во времени, в пределе стремясь к нулю Рис.5(а). Это означает наличие перемешивания. В характере спада огибающей АКФ можно выделить два масштаба времени. При малых значениях г (несколько периодов колебаний) наблюдается быстрый спад корреляции.

Расчеты дают положительное значение старшего Лянуновского показателя, слабо зависящее от параметров численной схемы. При оптимальных параметрах численной схемы метод реконструкции давал значение Хтах — 0.002 ± 0.0002. Таким образом, можно с уверенностью говорить о том, что режим неидеальных частотных кластеров соответствует хаотическим колебаниям во времени.

Была исследована динамика мгновенной фазы, определяемой путем построения сопряженного но Гильберту процесса. На ансамбле отрезков достаточно длинной реализации Ф(t) производился расчет дисперсии мгновенной фазы. График зависимости дисперсии мгновенной фазы от времени приведен на Рис.5(в). В режиме неидеальных кластеров в точке х — 0.5 было получено значение В^ « 0.00032, хорошо совпадающее с декрементом спада соответ-

Рис. 4: Изменение средней частоты колебаний П вдоль среды в случае идеальной кластерной структуры при д = 1 0 (а) и невдеаль-ной структуры при д = 0 85 (б).

/

J

w

Рис. 5: (а) Нормированная автокорреляционная функция процесса А{х, t) в режиме неидеальных кластеров (д = 0.85) в точке х = 25 (центр кластера). Пунктирной линией на графике дана экспоненциальная аппроксимация огибающей АКФ: Сехр (-от), а = 0.0003, С = const, (б) Зависимость от времени нормы возмущения ||u(x,t)|| колебаний среды в режиме неидеальных частотных кластеров при д — 0.85 (кривая 1) и в режиме идеальных частотных кластеров при д = 1.00 (кривая 2). Пунктирная прямая соответствует экспоненте exp(0.0023t). (в)Дисперсия мгновенной фазы, рассчитанная для режима неидеальных кластеров (д = 0.85) в точке х — 25 (центр кластера), Bcg ss 0.00032. Пунктиром показана аппроксимирующая прямая.

ствующей автокорреляционной функции Рис.5(а).

Во второй главе рассматриваются спектрально-корреляционные свойства хаотических колебаний в системах с аттракторами переключательного тина. Аттракторы переключательного тина характеризуются особым устройством фазового пространства, при котором существуют подобласти аттрактора, разделенные многообразием седловой точки либо седлового множества. К таким аттракторам можно отнести аттрактор системы Лоренца (7) и системы Чуа.

Если ввести в рассмотрение методы символьной динамики, т.е. исключить из рассмотрения осциллирующие колебания (вращение вокруг седло-фокусов), то можно получить процесс переключательного характера, подобный телеграфному сигналу. Тогда двумя состояниями системы можно считать нахождение траектории в окрестности одного из седло-фокусов, а моменту переключения между этими двумя состояниями будет соответствовать пересечение траекторией плоскости YZ. Сравним АКФ колебаний x(t) в системе Лоренца 6(a) с АКФ, полученной для данной реализации x(t) телеграфного сигнала (рис. 6(6)). Можно утверждать, что время расщепления корреляций и поведение АКФ на этих временах определяются именно переключениями, а вращение вокруг седло-фокусов вносит лишь незначительный вклад в спад АКФ. Следует отметить тот факт, что на малых временах спад АКФ является линейным. Такой тин телеграфного сигнала (квазислучайный телеграфный сигнал) соответствует случайным переключениям между двумя состояниями x(t) = ±а, которые могут происходить только в дискретные моменты времени tn — пТо + г], п = 1,2,3,..., где Го = const, г) - некоторая случайная

Рис. б: (а) Автокорреляционные функции для координаты x(t) и для телеграфного сигнала (б)

величина, равномерно распределенная на отрезке [0,Т]. Если обозначить вероятность того, что в текущий момент времени состояние не изменится, за р, а за q обозначить вероятность того, что состояние изменится в текущий дискретный момент времени, то для частного случая, когда вероятность переключения равна р = q = 1/2, АКФ процесса задается выражением:

ф(т) = a2 (l - Ц) при |т| < Т0; ф(т) = 0 при |т| > Т0, (8)

то есть спадает во времени но линейному закону. Распределение времен пребываний для телеграфного сигнала системы Лоренца имеет структуру, близкую к эквидистантному дискретному распределению, но пики имеют конечную ширину. Распределение вероятностей переключений за времена, кратные То, где То - минимальное время пребывания в одном из состояний, показывает, что вероятность перехода близка к 1/2. Конечная ширина пиков в распределении и неточное равенство 1/2 вероятности перехода приводит к тому, что АКФ спадает не до нуля, а до некоторой конечной величины, что согласуется с теоретическими результатами13. Аналогичные исследования были проведены для системы Чуа, при параметрах соотвествующих режиму "double scroll". В фазовом пространстве системы существуют два симметрично расположенных седло-фокуса и седло, разделяющее их. Как и в системе Лоренца, фазовая траектория посещает поочередно оба седло-фокуса. В системе Лоренца наличие переключений траектории приводит к наличию линейной составляющей в автокорреляционной функции фазовой переменной x(t). Автокорреляционная функция для фазовой переменной x(t) ситемы Чуа и для телеграфного сигнала представленны на Рис.7.

Как и в системе Лоренца, автокорреляционная функция фазовой переменной x(t) имеет линейную компоненту, которая определяется именно процессом переключений. Как отмечалось ранее, линейный спад АКФ соответствует дискретному эквидистантному распределению.

13Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977

В третьей главе в физическом эксперименте исследуются спектрально-корреляционные свойства систем с аттракторами спирального и переключательного типов. Для проверки результатов численных экспериментов мы провели натурный эксперимент на радиофизических установках. Были реализованы в виде электронных схем системы Ресслера, генератор Анищенко-Астахова, система Лоренца. Система Ресслера не является моделью какой-либо реально существующей модели, т.к. была выведена как чисто математическая модель. Поэтому было проведено прямое аналоговое моделирование системы Ресслера в виде электронной модели на интеграторах. Генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова (ГИН) является реальным радиофизическим генератором. Инерционность в ГИН обеспечивается за счет задержки сигнала на инерционном элементе (ЯС -цепочке) и усилителем с управляемым коэффициентом усиления. Генератор представляет собой автогенератор на мосте Вина с линейным усилителем и усилителем с управляемым коэф-

фициентом усиления. Проведенные эксперименты подтвердили результаты, полученные в первой и второй главах.

Основные результаты и выводы

1. Детерминированные динамические системы в режиме аттрактора спирального типа можно характеризовать амплитудными и фазовыми флуктуа-циями, причинами которых являются экспоненциальное разбегание траектории и нелинейные свойства оператора эволюции динамической системы, а не внешний шум.

2. Амплитудные флуктуации определяют резкий спад автокорреляционной функции на малых временах и форму сплошного "шумового иьедестала"в спектре мощности колебаний. Свойства амплитудных флуктуации определяются экспоненциальным разбеганием траекторий на аттракторе и напрямую связаны с положительным показателем Ляпунова.

3. Фазовые флуктуации определяют характер спада корреляционной функции на больших временах и форму спектральной линии базовой частоты. Автокорреляционная функция спадает экспоненциально, скорость спада определяется эффективным коэффициентом диффузии фазы Вец (3).Спектральная линия вблизи средней частоты является Лоренцианом с шириной, определяемой Вец (4).

т

Рис. 7: Автокорреляционная функция фазовой переменной - (-) и автокорреляционная функция телеграфного сигнала (—о—).

4. Причиной возникновения фазовых флуктуации является нелинейный характер оператора эволюции, обуславливающий неизохронность индивидуальных траекторий на аттракторе. Этот эффект не связан напрямую с наличием экспоненциального разбегания, но имеет непосредственное отношение к возникновению перемешивания в системе.

5. Анализ фазовой динамики показал, что при введении фазы через последовательность моментов пересечения секущей ее статистические характеристики допускают описание флуктуации фазы в виде Винеровского случайного процесса. В частности, имеет место линейный рост дисперсии фазы во времени, распределение приращений фазы близко к Гауссовому. Корреляция приращений фазы имеет быстро спадающий характер, что позволяет говорить о независимости приращений фазы, по крайней мере, на временах, бблыиих времени корреляции.

6. Установлено, что переход к хаосу в неоднородной автоколебательной распределенной среде, моделируемой уравнениями Гинзбурга-Ландау, осуществля ется путем разрушения структуры идеальных частотных кластеров, которые соответствуют полностью синхронным колебаниям. Возникающий режим детерминированного хаоса по своим характеристикам соответствует режиму спирального хаоса и может быть описан моделью узкополосного случайного процесса типа "гармонический шум".

7. Совокупность полученных в первой главе результатов позволяет сделать вывод о том, что спектрально-корреляционные характеристики динамических систем с хаотическими аттракторами спирального типа эквивалентны характеристикам квазигармонических колебаний в присутствии шума, которые могут быть описаны на основе классической модели узкополосного случайного процесса.

8. Детерминированные хаотические колебания в аттракторах переключательного тина можно сопоставить классической модели случайного телеграфного сигнала.

9. Особенности статистики переключений, дискретный вид плотности вероятности времени переключения позволяют использовать классическую модель квазислучайного телеграфного сигнала. Использование модели квазислучайного телеграфного сигнала дает возможность теоретического описания автокорреляционной функции на временах корреляции.

10. В силу того, что вероятность переключения близка к 1/2, АКФ имеет один ярко выраженный линейный участок. Скорость спада АКФ определяется не значением положительного Ляпуновского показателя, а временем оборота вокруг седло-фокуса.

11. Анализ корреляционных свойств квазигиперболической системы Лоренца

и негшюрболической системы Чуа показывает сходство их корреляционных свойств. Этот факт объясняется тем, что скорость перемешивания в таких системах связана с вероятностными свойствами процесса переключений, а не с экспоненциальным разбеганием траекторий.

12. Использование специальной проекции аттрактора Лоренца в виде позволяет исключить из рассмотрения переключательную динамику системы. Полученный аттрактор по своим свойствам напоминает аттрактор спирального типа, и его корреляционные свойства также могут быть определены с точки зрения флуктуации амплитуды и фазы.

13. Результаты физического эксперимента на радиотехнических моделях систем Ресслера и генератора Анищенко-Астахова показали хорошее соответствие с данными теории и численных расчетов.

14. В эксперименте установлено, что коэффициент диффузии фазы может быть определен двумя независимыми способами: путем построения и анализа диффузии фазы и путем прямого измерения ширины спектральной линии на базовой частоте в спектре мощности. В пределах ошибки измерения результаты, полученные указанными методами, практически совпадают.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvetskhov, G.I. Strelkova Correlation analysis of dynamical chaos // Physica A. - 2003. - V.325. - P. 99212

2. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvetskhov, G.I. Strelkova

Statistical properties of deterministic and noisy chaotic systems // Izv. VUZov -Applied Nonlinear Dynamics. - 2003- V.11,N3. - P. 4-20

3. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvetskhov, G.I. Strelko-va Autocorrelation function decay in chaotic systems: Experiments, theory and numerical simulation // Proceed, of the Int. Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics".- N.Novgorod, 2003- P. 87-88

4. V.S. Anishchenko, G.A. Okrokvetskhov The theoretical and experimental analysis of regularities of autocorrelation function decay of the Lorenz at-tractor //Proceed, of the Int. Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" - N.Novgorod, 2003.- P. 76-78

5. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvetskhov, G.I. Strelkova Correlation Analysis of Dynamical Chaos //Proceed, of ELSEVIER "Stochastic Systems: From randomless to complexity".-Amsterdam: Elsevier, 2003.- P. 199212

6. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova and G.A. Okrokverts-

khov Autocorrelation function and power spectrum of spiral chaos in dynamical

systems // Proceed, of the Int. Conference "Nonlinear Dynamics of Electronic Circuits".- Evora, Portugal,2004.

7. B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, Г.А. Окрокверцхов, Г.И. Стрелкова Корреляционный анализ режимов детерминированного и зашумленного хаоса // Радиотехника и Электроника.- 2003.- Т.48, N7.- С. 824-835

8. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvertskhov, G.I. Strelkova Autocorrelation function and spectral linewidth of spiral chaos in a physical experiment //Phys. Rev. E.- 2004.- V.69, 036215

9. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova and G.A. Okrokvertskhov Statistical Properties of Dynamical Chaos //Math. BioSci. and Eng.- 2004.-Vol.l, N1.- P. 161-184

10. B.C. Анищенко, А.А. Акопов, Т.Е. Вадивасова, Г.А. Окрокверцхов, В.В. Астахов Временной хаос в автоколебательной среде как следствие пространственной неоднородности. // Изв. вузов "Прикладная Нелинейная Динамика".

2004.-T.12,N4.-C. 59-72

11. B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, Г.А. Окрокверцхов, Г.И. Стрелкова Статистические свойства динамического хаоса // Успехи Физических Наук,-

2005.-Т.175, N1.-C. 1-15

12. V.S. Anishchenko, G.A. Okrokvertskhov, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova Mixing and spectral-correlation properties of chaotic and stochastic systems: numerical and physical experiments // New J. Phys.- 2005.- V.7, N76.

13. Окрокверцхов Г.А., Хованов И.А., Хованова Н.А. Влияние шума на вероятностную меру седловых циклов, встроенных в квазигиперболические и негииерболические аттракторы // Нелинейные дни для молодых-2000. Материалы школы-конференции.- Саратов, 2000.- с. 158-162

14. Окрокверцхов Г.А. Вероятностная мера седловых циклов и локальная структура аттракторов // V Всероссийская научная конференция студентов радиофизиков.- СПб: Изд. СПбГУ, 2001.- с.86-89

15. Окрокверцхов Г.А., Хованов И.А. Вероятностная мера седловых циклов и локальная структура аттракторов // Abstracts of the 6th International school on Chaotic Oscillations and Pattern Formation.- Саратов, 2001.- c.101-102

16. Окрокверцхов Г.А. Экспериментальное исследование статистических особенностей хаотических систем // Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003, Сборник материалов научной школы-конференции.- Саратов, 2003.— с. 100-105

17. G.A. Okrokvertskhov, Т.Е. Vadivasova, V.S. Anishchenko, G.I. Strelkova Autocorrelation Function Decay of the Lorenz Attractor // 8th Experimental Chaos Conference. AIP CONFERENCE PROCEEDINGS V.742- Melville, New-

York: American institute of physics, 2004.- p.51-57

18. Т.Е. Vadivasova, V.S. Anishchenko, G.A. Okrokvertskhov, G.I. Strelkova Chaos. Experiments and a Theoretical Model // 8th Experimental Chaos Conference. AIP CONFERENCE PROCEEDINGS V.742- Melville, New-York: American institute of physics, 2004.- p.75-83

ОКРОКВЕРЦХОВ Георгий Александрович

Спектрально-корреляционный анализ хаотических автоколебаний в системах с аттракторами спирального и переключательного типов.

Специальность 01.04.03 — радиофизика

Автореферат

Подписано в печать 18.05.05. Формат 60x84 1/16. Объем 1,25 и. л. Тираж 100 экз. Заказ 93.

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

кал 2öö5

Введение. Статистические свойства гиперболических и негиперболических хаотических аттракторов (Обзор теоретических результатов).

Глава 1. Спектрально-корреляционный анализ аттракторов спирального типа. (Численное моделирование)

1.1 Аттракторы спирального типа. Строение и свойства.

1.2 Модель узкополосного случайного процесса.

1.3 Введение фазы.

1.4 Исследование статистических свойств мгновенной фазы в системах Ресслера и Генераторе с инерционной нелинейностью.

1.5 Связь коэффициента диффузии фазы и ширины спектральной линии узкополосного случайного сигнала. Теорема Винера-Хинчина: связь декремента затухания АКФ и ширины спектральной линии.

1.6 Диффузия фазы в активной неоднородной среде, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау.

1.7 Выводы по первой главе.

Глава 2. Спектрально-корреляционный анализ аттракторов переключательного типа (численное моделирование)

2.1 Аттракторы переключательного типа.

2.2 Квазигиперболический аттрактор Лоренца.

2.3 Исследование свойств автокорреляционной функции в системе Чуа.

2.4 Анализ долговременных корреляций.

2.5 Выводы по второй главе.

Глава 3. Экспериментальное исследование спектрально-корреляционных свойств хаотических аттракторов.

3.1 Экспериментальные установки.

3.2 Методика проведения эксперимента.

3.3 Исследование систем Ресслера и ГИН.

3.4 Экспериментальное исследование закономерностей спада автокорреляционных функций в системах с аттракторами спирального типа.

3.5 Экспериментальное исследование аттракторов переключательного типа.

3.6 Выводы по третьей главе.

Открытие детерминированного хаоса стало одним из фундаментальных результатов последних десятилетий. Это открытие оказало принципиальное влияние на формирование новых взглядов в области динамических систем. Если раньше считалось, что сложное непериодическое поведение динамической системы связанно с внешним флуктуационным воздействием £(£), то в настоящее время известно, что во многих случаях такое сложное по ведение определяется именно детерминированной частью f(x,t).

Хаотические автоколебания можно обнаружить в системах любой природы: в биологии, физиологии, физике, химии и т.д. Был предложен ряд способов скрытой передачи, базировавшихся на применении в качестве несущего сигнала широкополосных колебаний генератора хаоса. /1,2/ Математическим прообразом хаотических колебаний является гиперболическое множество, при движении по которому близкие траектории экспоненциально разбегаются. Для динамических систем с диссипацией (divV < 0) комбинация экспоненциального разбегания траекторий и сжатия объема фазового пространства приводит к появлению специфического хаотического множества, имеющего нулевой объем и ненулевую нецелую размерность. Такое множество носит название "странный"аттрактор, которое было введено Рюэлем и Такенсом в 1971 году в работе "О природе турбулентности". /3/ В этой работе было дано строгое доказательство существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной системе с конечным числом степеней свободы.

Как правило, хаотическая ДС описывается системой нелинейных ОДУ или нелинейным уравнением в частных производных или нелинейным дискретным отображением. /4-6/ Решение ДС в аналитическом виде практически невозможно, и во многих практических задачах ОДУ исследуются численно. /7-9/ Помимо этого, в большинстве случаев нет необходимости знать точное решение, а нужно лишь иметь представление о свойствах ДС. К таким свойствам можно отнести статистические и спектрально-корреляционные свойства системы. /10-12/ При этом, в силу того, что хаотические колебания во многом напоминают случайный процесс, отождествление их с конкретным случайным процессом, описывающим в какой-то мере свойства хаотических колебаний, является весьма актуальной задачей. /13-23/

Одной из парадигм теории динамического хаоса является то, что локальная неустойчивость траекторий влияет на глобальную динамику системы и обеспечивает путь к появлению сложного, кажущегося случайным, поведения. /10-12,22-30/ С точки зрения математики, неустойчивость траекторий соответствует гиперболичности системы. Наиболее "сильная"ги-перболичность появляется в системах Аносова (У- системы). /24,25,31-38/ Системы Аносова существуют только на некоторых многообразиях, и было показано, что не все многообразия подходят для У-систем. Для изучения статистических свойств систем с локальной неустойчивостью траекторий был развит аппарат эргодической теории, которая была впервые описана в работах Аносова, Синая, Рюэля и Боуэна. /24,36,39,40/ Первые работы рассматривали в основном системы Аносова, однако впоследствии стало ясно, что системы Аносова практически не встречаются в реальных задачах, но при этом являются удобной моделью для теоретических исследований. Наиболее распространенными оказались "дикие" /41/ - негиперболические - системы. Последующие работы по эргодической теории распространили большинство результатов гиперболических систем на негиперболические, с близким к гиперболическим характеристиками. /22,26,30,42-72/ Для этого была введена определенная классификация негиперболических систем.

• Неравномерная гиперболичность. Все точки гиперболические, но гиперболичность неравномерна. Ляпуновские показатели зависят от координат точки. /62,68,73/

• Частичная гиперболичность. Позволяет существование касательных направления с нейтральной устойчивостью, но требует гиперболичности во всех других касательных направлениях. Орбиты не обязаны быть гиперболическими, но все они имеют гиперболические части. /50/

• Доминирующее расщепление. Инвариантное множество разделено на две (или более) части. Причем максимальное разбегание в одной из них ограничено сверху наименьшим разбеганием в другой. /74/

Концепция гиперболичности в общем смысле встречается в работах Хопфа и Хедлунда (Hedlund) по анализу геодезических потоков на многообразиях с отрицательной кривизной. Строгое определение было аксиоматизировано в 1960-х Смейлом, который предложил геометрическую теорию динамических систем и сформулировал Аксиому-А /37/ . Как правило, рассматривается С2 диффеоморфизм / на Римановом многообразии М, и множество Л С М инвариантное относительно /.

Строгое математическое определение гиперболической системы дает вполне четкое представление об устройстве фазового пространства системы.

Диффеоморфизм / является равномерно гиперболическим на Л, если существует непрерывное разложение касательного подмножества к Л в виде прямой суммы двух Df инвариантных подмножеств:

ТА = Еие таких, что для любого х £ Л и п > 0 выполняется следующее: v G Еи{х) => \Df~nv\ < CXn\v\ и v е Е3{х) \Df£v\ < СА>|, где А < 1 и С > 0 - постоянные, не зависящие от х. К Аксиома-А системам относятся и диффеоморфизмы Аносова, являющиеся отображениями, гиперболическими на всем многообразии М. В то время как Аксиома-А системы - отображения, гиперболические в определенной части фазового пространства Л С М. Диффеоморфизм будет неравномерно гиперболическим, если значения Л < 1 зависят от координат х.

Важным свойством гиперболических систем является динамическая неустойчивость, означающая то, что любые две изначально близкие траектории экспоненциально расходятся в прямом и обратном направлении. Сложная динамика гиперболических систем связывается с понятием странного хаотического аттрактора. При этом для консервативных У-систем Аносова под аттрактором можно понимать все многообразие М, что позволяет обобщать результаты как на диссипативные, так и консервативные динамические системы. /75/ В силу того, что поведение траектории системы в фазовом пространстве весьма сложно и во многом напоминает случайный процесс, был предложен статистический подход к изучению основных свойств системы. Таким образом, рассматривается не поведение траекторий, а свойства скалярной функции - меры /л(Л) , сосредоточенной (определенной) на аттракторе. Для гладкой динамической системы доказано существование инвариантной относительно оператора эволюции меры //(/-1(Л)) = fi(A). /10,40,76-78/ Однако не все меры интересны для изучения. Как правило, наибольший интерес представляют меры, связанные с физически наблюдаемыми процессами. /10/ Так, для Гамильтоновых систем объектом изучения является мера Лиувилля, хотя Гамильтоновы системы имеют еще много инвариантных мер. Казалось бы, что для любой динамической системы можно ввести аналог меры Лиувилля как элементарный объем в фазовом пространстве. Однако такое определение меры для аттракторов приводит к тому, что такая мера должна быть сингулярной в силу сжатия объема фазового пространства. Для случая Аксиома-А систем, Синай /40/ Рюэль /36/ и Боуэн /27/ обнаружили специальные инвариантные меры, которые описывают поведение динамической системы и являются при этом непрерывными. Такая мера называется SRB мерой. К сожалению, построение такой меры даже для гиперболических систем является сложным, а для негиперболических - невозможным. Как правило для приближенного построения меры используется натуральная или вероятностная мера. Данная мера основана на теореме о возвращении Пуанкаре и теореме Каца /79/ , позволяющих ввести меру множества А как среднее время возврата траектории в это множество: 1

Vn{A) тА>

Для построения аппроксимации натуральной меры аттрактор динамической системы покрывают объединением элементарных множеств С{ размером е(сфер, кубов и т.п.) с центрами в точках аттрактора. Тогда натуральная мера, сосредоточенная на аттракторе, может быть описана мерой покрытия аттрактора. Вероятностная мера показывает, как часто траектория посещает различные участки аттрактора. Для гиперболических аттракторов, такое введение натуральной меры обосновано математически, в то время как для негиперболических систем построенная натуральная мера может существенно меняться при изменении покрытия аттрактора. /10/

Важность наличия инвариантной меры заключается в том, что она сохраняет все статистические свойства динамики системы. /10,76/ При этом имеется ряд основных и важных свойств инвариантных мер. Первым важным свойством является свойство эргодичности. Пусть ц есть инвариантная относительно оператора эволюции динамической системы / мера. Тогда мера /л будет эргодической, если не существуют измеримые множества А,АС = М \ А такие, что f~l(A) = Л,/~1{АС) = Ac,fi{A) е (0,1 ),fi(A°) 6 (0,1) Данное определение эргодичности означает, что мера не будет эргодичной, если существуют по крайней мере два подмножества А, А° принадлежащие М, которые не взаимодействуют друг с другом. То есть траектория из множества А никогда не попадет во множество А° и наоборот. При этом оба множества А, Ас инвариантны относительно оператора эволюции /. Таким образом, динамические свойства оператора / на множестве А полностью независимы от свойств этого оператора на множестве А°. Для эргодической меры можно говорить о статистической когерентности динамики в типичной точке, ассоциированной с эргодической мерой и общей динамикой системы. Для эргодических мер существует широко известная теорема Биркхгофа.

Теорема (Birkhoff) /68,80/ Пусть // есть эргодическая инвариантная мера динамической системы / : М —» М. Тогда для любого измеримого множества А С М и для почти любой точки х е М, за исключением, может быть, множества меры 0, выполняется следующее:

1 <1<п:Я*)еА} ^ П

Здесь #{} означает мощность множества индексов j, для которых Р(х) G А. Для систем с непрерывным временем можно аналогично записать

Um ^ -> ц(А) t-ОО t '

Где t(A) -время, проведенное системой в области А. Прямым следствием теоремы Биркгофа является эквивалентность усреднения по времени и усреднения по пространству.

J ii(dx)cp(x) = Um i jf <p(x(t))dt (0.1)

Помимо эргодичности одним из важнейших свойств меры является перемешивание. Инвариантная вероятностная мера называется перемешивающей, если для любых измеримых множеств А,ВСМип—>оо имеет место

11(АПГП(В))-»(А)1Л(В) |->0 или

KB) »{Л) 0

Таким образом, мера обладает свойством перемешивания, если для больших п число относительных к ц{В) пересечений f~n(B) с множеством А равно в точности мере множества jn(A). Свойство перемешивания является более сильным по сравнению с эргодичностью. Перемешивающая мера всегда является эргодической, но обратное не верно. Эргодическая мера может иметь свойство перемешивания, а может и не быть перемешивающей. /76,81/

Как правило, для анализа свойств динамической системы используют наблюдаемые величины. /82/ По статистическим характеристикам наблюдаемых величин можно судить об основных статистических свойствах динамической системы. При этом одной из важных характеристик для наблюдаемых величин является корреляционная функция. /14,18,22,56,66, 83-85/ Пусть имеются две вещественные функции ф,ф : М —> К, тогда корреляционная функция имеет вид:

В случае, когда мера ц является перемешивающей, корреляционная функция Сп(ф, ф) стремится к 0. При этом для определения скорости спада рая зависит только от свойств оператора эволюции /. При этом, для любых наблюдаемых величин ф, ф существует константа Сф^ = const, такая, что

Для гиперболических отображений с равномерной гиперболичностью было показано /36,38,39,78/ , что корреляционная функция спадает экспоненциально.

К сожалению, для негиперболических систем спад корреляции может существенно отличаться от экспоненциального. К примеру, для случая, коиспользуют оценочную последовательность {7n}, 7n —* 0 при п —» 0, котоп сп(ф,ф) < Сф^п,Мп

Сп(ф,ф) = 0(е~т) гда отображение имеет одну неподвижную точку с нейтральной устойчивостью, вид корреляции определяется видом отображения. В малой окрестности устойчивой точки, для простоты, отображение записывается в виде f(x) на х + x2ip(x).

Если ip(x) имеет вид ср(х) = х~а, корреляционная функция имеет вид /62, 67,85,86/

Сп{ф^) = 0{п1~1'а).

Мера такой системы является перемешивающей, однако, процесс перемешивания неоднородный. Имеется эффект замедления процесса перемешивания за счет захвата близлежащих к неподвижной точке траекторий и удержания их непропорционально большое время. С увеличением а скорость спада замедляется, так как неподвижная точка становится "менее отталкивающей". При этом скорость разбегания в окрестности неподвижной точки не экспоненциальная. В более общем случае, когда функция <р имеет вид: р(1/х) = logzlog(2) ж • • • log^"1) x(log(r)x)1+a спад корреляционной функции имеет вид /61/ :

Существует также особый класс отображений, введенных в рассмотрение Viana. /87/ Подобные негиперболические отображения имеют различный спад корреляции, например:

Сп = 0(п~7), Сп = 0(е^с).

Таким образом, для негиперболических систем нельзя заранее определить вид спада корреляционной функции. Экспоненциальный спад корреляции характерен для гиперболических систем или близких к ним, в то время как для негиперболических систем спад корреляции определяется во многом видом нелинейности и не может быть рассмотрен в рамках линейного анализа.

Когда хаотические системы изучаются в компьютерных или физических экспериментах, обычно рассчитываются или измеряются вероятностные характеристики, такие как стационарное распределение вероятности по аттрактору, корреляционные функции, спектры мощности и другие. Хаотические колебания, математическим образом которых являются разные типы хаотических аттракторов, характеризуются различными статистическими свойствами и различной степенью чувствительности к воздействию шума. /11-13,88-95/

С точки зрения строгой теории, гиперболический хаос часто называют "идеальным"хаосом. Он характеризуется топологически однородной и устойчивой к возмущениям структурой. /24,37,96,97/ Однако странные хаотические аттракторы динамических систем, как правило, не являются грубыми гиперболическими. /11,41,98/ Близкие к гиперболическим (квазигиперболические) аттракторы содержат неустойчивые орбиты типа петель сепаратрисы. Их рождение и исчезновение не влияют на такие характеристики хаоса, как фазовый портрет аттрактора, спектр мощности, показатели Ляпунова и другие. Динамические системы в хаотическом режиме могут характеризоваться инвариантной мерой, которая не зависит от начального распределения и полностью определяет статистические свойства аттрактора. Существование инвариантной меры теоретически доказано для грубых гиперболических и квазигиперболических систем. /10,36,76,99-101/

В большинстве своем хаотические аттракторы, которые исследуются численно и экспериментально, являются негиперболическими. /11,41, 98,102,103/ Проблема существования инвариантной меры на негиперболическом хаотическом аттракторе связана с серьезными трудностями, так как в общем случае невозможно ввести стационарное распределение вероятности, не зависящее от начального распределения. Негиперболический аттрактор является максимальным аттрактором динамической системы и включает в себя счетное множество регулярных и хаотических притягивающих подмножеств. /41,98,102,103/ Поэтому об инвариантной мере негиперболического аттрактора можно говорить лишь при условии воздействия внешнего шума. /104,105/ Негиперболические аттракторы, как правило, резко меняют свои свойства под действием шума /93,106,107/ , в то время как гиперболические и квазигиперболические аттракторы устойчивы к шумовым возмущениям. /93,106,108,109/

Статистическое описание негиперболических хаотических аттракторов с шумом является важной и до сих пор нерешенной задачей теории динамического хаоса. Одна из проблем состоит в изучении процессов установления стационарного распределения во времени. /110/ Возникает ряд фундаментальных вопросов, на которые пока нет четких ответов. Каково реальное время установления стационарного распределения? Какие факторы определяют это время? Какие характеристики могут количественно оценить время установления стационарной меры? Как отражается статистика и интенсивность шума на закономерностях процесса установления стационарного распределения? Есть ли связь между процессом установления и динамикой системы? Частично ответы на эти вопросы получены в /13,111/ методами компьютерного моделирования.

Процесс установления стационарного распределения описывается эволюционными уравнениями типа уравнений Фоккера-Планка или Фробе-ниуса-Перрона. Собственные значения и собственные функции оператора эволюции задают процесс установления и характеристики перемешивания, которые связаны с установлением инвариантной вероятностной меры. Однако, если динамическая система имеет большую размерность (N > 3), то решение уравнений Фоккера-Планка и Фробениуса-Перрона практически невозможно найти даже численно. Поэтому в исследованиях, описанных в /13,111/ , использовался метод стохастических дифференциальных уравнений, записанных в виде уравнений Ланжевена.

Хаотическая динамика по определению означает наличие перемешивания и, следовательно, положительность энтропии Колмогорова. Перемешивание ведет к спаду автокорреляционных функций во времени до нуля (расцепление корреляций). Состояния системы, отделенные достаточно большим интервалом времени, становятся статистически независимыми. /10,29,76,79,112/ Важно отметить, что любая система с перемешиванием является эргодической. Для хаотических динамических систем расцепление корреляций во времени связано с экспоненциальной неустойчивостью хаотических траекторий и со свойством системы порождать положительную энтропию Колмогорова-Синая. /10, 29, 76, 79,112/ Важно отметить, что любая система с перемешиванием является эргодической. Для хаотических динамических систем расцепление корреляций во времени связано с экспоненциальной неустойчивостью хаотических траекторий и со свойством системы порождать положительную энтропию Колмогорова-Синая. /10,29,76,79,81,112,113/ Энтропия Колмогорова, или метрическая энтропия hp(f), является мерой сложности с точки зрения подходов теории информации. Энтропия Колмогорова-Синая введена в работах. /81,113,114/ Грубо говоря, энтропия Колмогорова-Синая есть мера неопределенности при попытке предсказать будущее поведение траекторий, зная их предысторию. Ее смысл можно понять из теоремы Шенона-Брейман-МакМиллана /75/ : Пусть а есть конечное разбиение многообразия М. Для п > 0 введем разбиение ап, элементы которого образуют множество ап(х) := {у G М : /гх и ру относятся к одному элементу разбиения а для всех 0 < г < п}. В предположении, что (/,д0 эргодич-но, теорема Шенона-Брейман-МакМиллана говорит, что существует такое число h (которое может быть истрактовано как энтропия), что при больших п можно покрыть многообразие М покрытием, состоящим из N & ehn элементов ап, причем каждый элемент будет иметь меру // ^ e~hn.

Несмотря на существенную важность, свойства корреляции хаотических процессов изучены недостаточно. Часто полагают, что автокорреляционные функции хаотических систем экспоненциально спадают со скоростью, определяемой энтропией Колмогорова. /112/ При этом считается, что энтропия Колмогорова #к ограничена сверху суммой положительных ляпуновских показателей. /10,115/ К сожалению, в общем случае негиперболических систем эта оценка оказывается неверной.

Для некоторых классов дискретных отображений с перемешиванием (растягивающие отображения с непрерывной мерой и диффеоморфизм Аносова) доказано, что спадание корреляций во времени ограничено сверху экспоненциальной функцией. /36,39,88,116/ Существуют разные оценки скорости этого экспоненциального спадания, которые не всегда связаны с показателями Ляпунова. /13,66,83,117/ Что касается систем с непрерывным временем, то теоретических результатов по оценке скорости расцепления корреляций до сих пор нет. /27,77,118/

Экспериментальные исследования отдельных хаотических систем свидетельствуют о сложном поведении корреляционных функций, которое определяется не только положительными показателями Ляпунова, но и закономерностями хаотической динамики системы. /13,83,117,119/ Важно выявить конкретные характеристики хаотической динамики, отвечающие за скорость спада автокорреляций и ширину спектральной линии базовой частоты хаотического аттрактора.

Даже для простейших отображений наблюдаются отклонения от экспоненциального поведения. /83/ Для потоковых систем теоретические оценки скорости убывания корреляций вообще отсутствуют. /120/ Практически нет работ, посвященных численному исследованию корреляционных свойств хаоса в потоковых системах. В экспериментах обычно рассматривается автокорреляционная функция (АКФ) какой-либо динамической переменной системы:

4>(t,t + r) = (x(t)x(t + r)) - {x(t)){x(t + r)), (0.2) где скобки (.) означают усреднение по ансамблю реализаций процесса x(t). Хаотические автоколебания можно считать процессом стационарным и эргодическим, так, что (x(t)) = const, ip(t, t + т) = ip(r), а усреднение по ансамблю можно заменить усреднением по времени вдоль одной типичной реализации. Автокорреляционную функцию удобно нормировать на максимальное значение при г = 0: Ф(т) = ip(T)/ip(0).

Рассмотрим несколько примеров. На Рис.1 представлена нормированная АКФ Ф(т) динамической переменной х(п) двумерного отображения: где п - дискретное время, т = п — по~ разность моментов времени, mod 1 означает исключение целой части. Диффеоморфизм тора (0.3) является классическим примером У-систем Аносова /121/ , поэтому для (0.3) должна быть справедлива теорема об экспоненциальной оценке убывания корреляций. Рисунок Рис.1 наглядно свидетельствует, что АКФ Ф(т) спадает быстрее, чем ехр (—\т\Нк) (пунктир), где энтропия Колмогорова Нк строго равна положительному показателю Ляпунова А+. Однако при этом сам закон убывания корреляции не является экспоненциальным. В качестве другого примера возьмем одномерное отображение растяжения:

Одномерное необратимое отображение (0.4) при К > 1 представляет собой простейшую модель хаотической системы и для нее доказано свойство перемешивания. /122/ С помощью приближенных аналитических методов можно показать, что при целых К 1 автокорреляционная функция процесса х(п) спадает по экспоненте с декрементом, равным In К, что соответствует энтропии Колмогорова (положительному ляпуновскому показателю). /123/ Численные расчеты свидетельствуют, что экспоненциальный закон Ф(га) = ехр (—\т\ In К) справедлив уже при целых К > 2 (Рис.2(a)). При нецелых К и особенно при значениях К, близких к единице, убых(п + 1) = х{п) 4- у{п), mod 1, у(п + 1) = х(п) + 2 у(п), mod 1,

0.3) х(п + 1) = Кх{п), mod 1.

0.4)

1.0 0.8 0.6 rn) 0.4 0.2 0.0 -0.2

0 2 4 6 8 10 m

Рис. 1. Нормированная АКФ динамической переменной х(п) отображения (0.3) (точки, соединенные сплошной линией) и ее экспоненциальная оценка ехр(—\т\Нк) (пунктир).

1.0

0.5

0.0

-0.5

Ч?(т)

1.0 t

0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m

Рис. 2. Нормированная АКФ хаотической последовательности ж(п), порождаемой отображением (0.4): а - при К = 2; б - при К = 1.1. Численные значения отмечены точками, а экспоненциальная оценка ехр(—\т\ ln/Q нанесена пунктиром. В случае (а) в систему добавлялся слабый шум, с целью избежать периодичности, возникающей при некоторых целых значениях К в результате ошибок округления. вание АКФ может существенно отличаться от экспоненциального закона (Рис.2(б)). Осциллирующий характер автокорреляционной функции (как, например, на Рис.2(б)) может быть связан с некоторой степенью повторяемости хаотического процесса. Частичная повторяемость проявляется в наличии перед экспонентой периодического префактора.

И, наконец, рассмотрим отображение, демонстрирующее в некоторой области значений параметра явление хаотической перемежаемости:

При а = 2.83 система имеет два хаотических аттрактора, расположенных симметрично относительно точки х = 0. Скорость убывания корреляции ограничена сверху экспонентой ехр (—|т|Л+) (Рис.З(а)). В случае а = 2.84 наблюдаются хаотические переключения между объединившимися аттракторами (перемежаемость типа "хаос-хаос". /124/ ) Среднее время пребывания на каждом из объединившихся аттракторов Т определяет второй характерный масштаб перемешивания помимо масштаба, связанного с Л+. В этом случае, как и в случае индуцированных шумом переключений, /125/ АКФ приближенно может быть представлена в виде где а и Ь - некоторые постоянные коэффициенты. Соответствующие результаты представлены на Рис.З(б).

Достаточно сложная зависимость автокорреляции от времени, наблюдаемая для большинства хаотических систем, связана со многими факторами. К ним можно отнести неоднородность свойств локальной неустойчивости в различных областях фазового пространства, приводящую, как отмечалось в /123/ , к медленной асимптотике АКФ, наличие близких к периодичности осцилляций, присутствие эффектов переключательного характера. Таким образом, очевидно, что задача определения характера спа

0.5) ip(m) = а ехр (-|т|А+) + 6 ехр (-2|т|/Г),

0.6)

1.0

0.5 0.0

0.5

0 5 10 15 20

111

1.0

0.5

0.0

0 50 100 150 200 Ш

Рис. 3. Нормированная АКФ хаотической последовательности х(п), порождаемой отображением (0.5) (сплошная линия), и ее аппроксимация в соответствии с (0.6) (пунктир): а - при а = 2.83 (Ь = 0 в (0.6)); б - при а = 2.84 (а = 3.5, 6 = 6.5 в (0.6)). да корреляции, даже для гиперболических и почти гиперболических отображений, полностью не решена.

Для потоковых хаотических систем, особенно для систем, не обладающих свойством гиперболичности, теоретических результатов для описания корреляционных свойств колебаний нет. В тоже время, именно негиперболические потоковые системы являются самыми распространенными. Для исследования негиперболических систем обычно используются численные методы. В силу того, что система является хаотической, можно использовать усреднение как по ансамблю траекторий, так и по времени. При общем статистическом исследовании системы решается несколько типичных задач. Первая задача состоит в определении типа аттрактора системы, для чего исследуют структуру аттрактора. Методы исследования структуры аттракторов были рассмотрены в диссертационных работах Г.И. Стрелковой /126/ и А.С. Копейкина. /127/ В первой работе рассматривались аттракторы дискретных отображений, для которых были сформулированы критерии гиперболичности и негиперболичности аттрактора. Был применен метод исследования распределения угла пересечения между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями на аттракторе. Показано, что при отсутствии пересечений под нулевым углом аттрактор будет квазигиперболический, а при наличии пересечения под нулевым углом - негиперболический. Во второй работе /127/ метод исследования угла пересечений многообразий был модифицирован и успешно применен для потоковых систем. В данной работе также рассматривался процесс установления вероятностной меры и процесс перемешивания. Было показано, что для квазигиперболических аттракторов различные характеристики перемешивания не зависят от интенсивности шума. В то же время, для негиперболических аттракторов спирального типа показано, что скорость перемешивания существенно зависит от интенсивности шума при неизменном положительном ляпуновском показателе. Такая чувствительность объяснялась процессом диффузии фазы и его чувствительности к шуму. Однако причины появления диффузии фазы в детерминированной системе не указывались.

Сформулированные выше вопросы и задачи определили цель диссертационной работы, которая заключается в исследовании статистических свойств хаотических аттракторов спирального и переключательного типов и сопоставления им классических моделей случайных процессов. Так, для аттракторов спирального типа прежде всего исследовалась возможность использования формализма амплитудных и фазовых флуктуаций. Исследовался процесс фазовых "флуктуаций", его связь со структурой аттрактора. Детально исследовались статистические характеристики динамики фазы с целью сопоставления его с классическим Винеровским процессом. Исследовалась возможность описания спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний с помощью модели узкополосного случайного процесса. Оба типа аттракторов широко распространены в нелинейной динамике. К системам, обладающим аттрактором спирального типа, относятся хорошо известные системы Ресслера, Генератор Анищенко-Астахова, генератор Чуа. К системам, обладающим аттрактором переключательного типа - система Лоренца, генератор Чуа, модель геодинамо, и многие другие.

Для достижения указанной цели было необходимо решить следующие основные задачи:

1. Выбрать те значимые статистические свойства, которые будут использоваться в качестве критерия выбора модели случайного процесса.

2. Найти классические модели случайных процессов, описывающих статистические свойства аттракторов спирального и переключательного типов.

3. Исследовать границы применимости найденных моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе рассматриваются системы с аттракторами спирального типа. Сопоставляются ста

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. Детерминированные динамические системы в режиме аттрактора спирального типа можно характеризовать амплитудными и фазовыми флуктуациями, причиной которых являются экспоненциальное раз-бегание траектории и нелинейные свойства оператора эволюции динамической системы, а не внешний шум.

2. Амплитудные флуктуации определяют резкий спад автокорреляционной функции на малых временах и форму сплошного шумового пьедестала в спектре мощности колебаний. Свойства амплитудных флуктуаций определяются экспоненциальным разбеганием траекторий на аттракторе и напрямую связаны с положительным показателем Ляпунова.

3. Фазовые флуктуации определяют характер спада корреляционной функции на больших временах и форму спектральной линии базовой частоты. Автокорреляционная функция спадает экспоненциально, скорость спада определяется эффективным коэффициентом диффузии фаЗЫ Bef/l

Ф(т) = Ка(т)ехр(~Ве//т).

Спектральная линия вблизи средней частоты является Лоренцианом с шириной, определяемой Bejj:

-— С = const СВ1![ + (и-ш0Г eff

4. Причиной возникновения фазовых флуктуаций является нелинейный характер оператора эволюции, обуславливающий неизохронность индивидуальных траекторий на аттракторе. Этот эффект не связан напрямую с наличием экспоненциального разбегания, но имеет непосредственное отношение к возникновению перемешивания в системе.

5. Анализ фазовой динамики показал, что при введении фазы согласно 1.41 (через последовательность моментов пересечения секущей), ее статистические характеристики допускают описание флуктуаций фазы в виде винеровского случайного процесса. В частности, имеет место линейный рост дисперсии фазы во времени, распределение приращений фазы близко к Гауссовому, корреляция приращений фазы имеет быстро спадающий характер, что позволяет говорить о независимости приращений фазы, по крайней мере, на временах, больших времени корреляции.

6. Установлено, что переход к хаосу в неоднородной автоколебательной распределенной среде, моделируемой уравнениями Гинзбурга-Ландау, осуществляется путем разрушения структуры идеальных частотных кластеров, которые соответствуют полностью синхронным колебаниям. Возникающий режим детерминированного хаоса по своим характеристикам соответствует режиму спирального хаоса и может быть описан моделью узкополосного случайного процесса типа " гармонический" шум.

7. Совокупность полученных во второй главе результатов позволяет сделать вывод о том, что спектрально-корреляционные характеристики динамических систем с хаотическими аттракторами спирального типа эквивалентны характеристикам квазигармонических колебаний в присутствии шума, которые могут быть описаны на основе классической модели узкополосного случайного процесса.

8. Детерминированные хаотические колебания в аттракторах переключательного типа можно сопоставить классической модели случайного телеграфного сигнала.

9. Особенности статистики переключений, а именно дискретный вид плотности вероятности времени переключения позволяет использовать классическую модель квазислучайного телеграфного сигнала. Использование модели квазислучайного телеграфного сигнала дает возможность теоретического описания автокорреляционной функции на временах корреляции.

10. В силу того, что вероятность переключения близка к 1/2, АКФ имеет один ярко выраженный линейный участок. Скорость спада АКФ определяется не значением положительного Ляпуновского показателя, а временем оборота вокруг седло-фокуса.

11. Процесс переключений в детерминированных системах с аттракторами переключательного типа определяется структурой многообразий системы. Статистические свойства динамики системы определяются как процессом переключений, так и динамикой внутри каждой из области переключения.

12. Особенности распределения времен переключений в системе Лоренца и Чуа позволяют использовать модель квазислучайного телеграфного сигнала для описания статистических свойств переключений. Для квазислучайного телеграфного сигнала характерен линейный спад автокорреляционной функции, который проявляется в автокорреляционной функции системы Лоренца. Скорость спада АКФ на малых временах определяется не значением старшего Ляпуновского показателя, а значением минимального времени переключения в соответствии с (2.3) .

13. Анализ корреляционных свойств квазигиперболической системы Лоренца и негиперболической системы Чуа показывает сходство их корреляционных свойств. Этот факт объясняется тем, что скорость перемешивания в таких системах связанна с вероятностными свойствами процесса переключений, а не с экспоненциальным разбеганием траекторий.

14. Использование специальной проекции аттрактора Лоренца в виде (2.9,2.10) позволяет исключить из рассмотрения переключательную динамику системы. Полученный аттрактор по своим свойствам напоминает аттрактор спирального типа, и его корреляционные свойства также могут быть определены с точки зрения флуктуаций амплитуды и фазы.

15. Результаты физического эксперимента на радиотехнических моделях систем Ресслера и генератора Анищенко-Астахова показали хорошее соответствие с данными теории и численных расчетов. Как следует из данных физического эксперимента, распределение флуктуаций фазы как для системы Ресслера, так и для генератора Анищенко-Астахова, является Гауссовым. При этом дисперсия фазы растет во времени в среднем по линейному закону, а корреляционная функция мгновенной частоты является быстро спадающей.

16. В эксперименте установлено, что коэффициент диффузии фазы может быть определен двумя независимыми способами: путем построения и анализа диффузии фазы и путем прямого измерения ширины спектральной линии на базовой частоте в спектре мощности. В пределах ошибки измерения результаты, полученные указанными методами, практически совпадают.

Заключение

В соотвествии с поставленными целями и задачами в диссертационной работе исследовались спектрально-корреляцоныые свойства хаотических автоколебаний систем с аттракторами спирального и переключательного типов. Исследовалась возможность применения классических моделей случайных процессов для описания спектрально-корреляционных особенностей хаотических автоколебаний. Было проведено детальное сопоставление статистических характеристик хаотических автоколебаний и статистчие-ских характеристик случайных процессов.

1. Cuomo К.М. Oppenheim A.V. Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications // Phys. Rev. Lett. -1993.-V. 71.- P. 65-68.

2. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K, Chua L.O., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization // Int. J. of Bifurcation and Chaos. -1992 V. 2 - P. 709-713.

3. Рюэль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. / Синай Я.Г. Шиль-ников Л.П., Ред., Странные аттракторы -М.: Мир, 1981- С. 117-151.

4. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН. -1978.- Т. 125, No. 1- С. 123-168.

5. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах -М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.- 544 С.

6. Кузнецов С.П. Динамический хаос -М.: Физматгиз, 2001- 295 С.

7. Лихтенберг А. Либерман М. Регулярная и хаотическая динамика -М.: Мир, 1984.- 528 С.

8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы -М.: Наука, 1980 360 С.

9. Бутенин Н.В., Неймарк Ю., Фуфаев Н. Введение в теорию нелинейных колебаний -М.: Наука, 1976.- 384 С.

10. Eckmann J.P. Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. -1985.- V. 57.- P. 617.

11. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadivasova Т.Е., Schimansky-Geier L. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems -Berlin, Heidelberg: Springer, 2002.- 544 P.

12. Anishchenko V.S. Dynamical Chaos Models and Experiments -Singapore: Wold Scientific, 1995 - 368 P.

13. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Kopeikin A.S., Kurts J., Strelkova G.I. Effect of noise on the relaxation to an invariant probability measure of nonhyperbolic chaotic attractors // Phys. Rev. Lett. -2001- V. 87-P. 054101.

14. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Okrokvertskhov G.A., Strelkova G.I. Autocorrelation function and spectral linewidth of spiral chaos in a physical experiment // Phys.Rev. E. -2004 V. 69 - P. 036215.

15. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Okrokvertskhov G.A., Strelkova G.I. Correlation analysis of dynamical chaos // Physica A. -2003 V. 325.-P. 199-212.

16. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S., Kurth J. Spectral and correlation analysis of spiral chaos // Fluctuation and Noise Lett. -2003 V. 3.- P. 213.

17. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Okrokvertskhov G.A. Statistical Properties of Dynamical Chaos // Mathematical Biosciences and Engeneering. -2004 V. 1, No. 1- P. 161-184.

18. Crutchfield J. Packard N. Symbolic dynamics of noisy chaos // Physica D. -1983 V. 7 - P. 201-223.

19. Denker M. Philipp W. Approximation by Brownian motion for Gibbs measures and flows under a function // Ergod. Th. Dyn. Sys. -1984-V. 4.- P. 541-552.

20. Feingold M. S. F. Statistics of quasienergies in chaotic and random systems // Physica D. -1987 V. 25 - P. 181-195.

21. Fox R. Stochastic calculus in physics // Journal of Statistical Physics. -1987.- V. 46, No. 5/6.- P. 1145-1157.

22. Ornstein D.S. Weiss B. Statistical properties of chaotic systems // Bull. Amer. Math. Soc. -1991.- V. 24, No. 0.- P. 11-116.

23. Ornstein D.S. Weiss B. Geodesic flows are Bernoullian // Israel J. Math. -1973.- V. 14, No. 0.- P. 184-198.

24. Anosov D.V. Geodesic flows on closed Riemannian manifolds with a negative curvature // Proc. Steklov. Math. Inst. -1967 V. 90 - P. 3-209.

25. Anosov D. Sinai Y. Some smooth ergodic systems // Russ. Math. Surveys. -1967.- V. 22 P. 103-167.

26. Baldwin P. The billiard algorithm and KS-entropy //J. Phys. A. -1991-V. 24.- P. L941-L947.

27. Bowen R. Ruelle D. The ergodic theory of Axiom A flows // Inventions Math. -1975.- V. 29.- P. 181.

28. Liverani C. Wojtkowski M. Ergodicity in Hamiltonian systems // Dynamics Reported. -1995 V. 4 - P. 130-202.

29. Cornfeld L.P., Fomin S.V., Sinai Y. Ergodic theory -New York: Springer-Verlag, 1982.- 486 P.

30. Chernov N. Markarian R. Entropy of nonuniformly hyperbolic plane billiards // Bol. Soc. Brasil Math. -1992.- V. 23.- P. 121-135.

31. Anosov D. On tangent fields of transversal foliations in У-systems // Matem. Zametki. -1967.- V. 2 P. 539-548.

32. Plante J. Anosov flows // Amer. J. Math. -1972 V. 94, No. 0 - P. 729754.

33. Pollicott M. Exponential mixing for the geodesic flow on hyperbolic three-manifold // J. Stat. Phys. -1992.- V. 67.- P. 667-673.

34. Pollicott M. On the rate of mixing of Axiom A flows // Invent. Math. -1985.- V. 81, No. 0.- P. 413-426.

35. Pugh C. Ergodicity of Anosov actions // Invent. Math. -1972- V. 15, No. 0.- P. 1-23.

36. Ruelle D. A measure associated with Axiom A attractors // Am. J. Math. -1976.- V. 98.- P. 619-654.

37. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. -1967.- V. 73, No. 0.- P. 747-817.

38. Перекрест В.Т. Экспоненциальное перемешивание в У-системах. // УМН. -1974 Т. 29.- С. 181.

39. Bowen R. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov Diffeomorphisms. V. 470 of Lect. Notes in Mathematics -Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1975.-.

40. Sinai Y. Gibbs measures in ergodic theory. // Russ. Math. Surveys. -1972.- V. 27.- P. 21-69.

41. Shilnikov L.P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A Tutorial // Int. J. of Bif. and Chaos. -1997.- V. 7.- P. 1953.

42. Latz A., van Beijeren H., Dorfman J.R. Lyapunov spectrum and the conjugate pairing rule for a thermostatted random Lorentz gas: kinetic theory // Phys. Rev. Lett. -1997 V. 78 - P. 207.

43. Абрамов Л. Об энтропии в потоке // ДАН СССР. -1959 Т. 128 - С. 873-875.

44. Auerbach R. Procaccia I. Grammatical complexity of strange sets // PRA. -1990-V. 41, No. 12.- P. 6602-6614.

45. Friedman В., Oono K., Kubo I. Universal behavior of Sinai billiard systems in the small-scatterer limit // Phys. Rev. Lett. -1984- V. 52-P. 709-712.

46. Baldwin P. Soft billiard systems // Physica D. -1988 V. 29, No. 0 - P. 321-342.

47. Belghith S. Symbolic and numerical analisis for studying complex nonlinear behavior. // Numerical Algorithms. -1999 -, No. 20 P. 51-61.

48. Benettin G. Power law behavior of Lyapunov exponents in some conservative dynamical systems // Physica D. -1984 V. 13 - P. 211220.

49. Bowen R. Bernoulli maps of the interval // Israel J. Math. -1977 V. 28-P. 161-168.

50. Брин M. Песин Я. Частично гиперболичесике динамические системы // Мат. Известия. СССР. -1974.- Т. 8 С. 177-218.

51. Bromberg L. Rechester A. Gibbs-type partition in chaotic dynamics // Phys. Rev. A. -1988.- V. 37, No. 5.- P. 1708-1710.

52. Bunimovich L.A., Sinai Y.G., Chernov N.I. Markov partitions for two-dimensional billiards // Russ. Math. Surv. -1990 V. 45 - P. 105-152.

53. Bunimovich L. On the ergodic properties of nowhere dispersing billiards // Comm. Math. Phys. -1979.- V. 65.- P. 295-312.55