Качественная теория стохастических автоколебаний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. Н. Г. Чернышевского

На правах рукописи АФРАИМОВИЧ Валентин Сендерович УДК 534.014.5

КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ АВТОКОЛЕБАНИИ

01.04.03—Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Саратов—1990

Работа выполнена в Горьковском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Официальные оппоненты:

академик АН СССР А. В. Гапонов-Грехов,

профессор, доктор физико-математических наук В. И. Елеонский, профессор, доктор физико-математических наук Д. И. Трубецков.

Ведущая организация—Институт радиоэлектроники АН СССР.

заседании специализированного совета Д. 063.74.01 но специальности 01.04.03 (радиофизика) в Саратовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н. Г. Чериышечского (410601, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ.

Диссертация в форме научного доклада разослана

Защита диссертации состоится '13 1990 г. в__часов на

1С __ 19 УЗ г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

иа

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЬЕЯТИ ТЕОРИИ. .

1.1. Аттракторы - простые и странные.

1.2. Кривисн и внутренние бифуркации аттракторов.

1.3. Фрактальная и хаусдорфова размерности. Топологическая энтропия.

1.4. Детерпинированно порожденные и случайные наблюдаемые.

1.5. Понятия, связанные с эргодическоИ теорией.

ПЛАВА П. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ.

Пути рождения квазипериодических и стохастических колебаний.

2.1. Кризисы положений равновесия и предельных циклов.

2.2. Сценария Феягенбаума.

2.3. Разрушение двухчастотных квазипериодических автоколебаний.

2 Л. "Перерождение" непритягивасщего стохастического множества в СА.

2.5. Возникновение стохастических автоколебания в дисси-

пативных системах, близких к гамильтоновым. Разрушение стохастических автоколебания. 2»б. Способы изменения стохастического режима. 2.7.Кризисы двумерных торов. 2«8« о бифуркационной картине в целом. Размерностные характеристики фрактальных инвариантных множеств в системах с трехмерным фазовым пространством.

2.9. Хаусдорфова размерность гомоклинической структуры.

2.10. Оценка хаусдорфовой размерности странного аттрактора, возникающего при касательно!! бифуркации.

ПЛАВА Ш. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-ШРНЫХ СИСТЕМАХ.

Сценарии возникновения и эволюции многомерных аттракторов.

ЭЛ. Два способа возникновения многомерных аттракторов.

3.2. О внутренних бифуркациях странных аттракторов.

3.3. Ляпуновские векторы.

Устойчивость стохастических автоколебаний в цепочечных моделях неравновесных сред.

3.4. Устойчивость пространственно однородного состояния в цепочке одномерных отображении.

3.5. Общие сносовые системы.

3.6. Стохастическая синхронизация.^Стохастические автоколебания в системах, моделируемых разрывными отображениями.

3.7. О размерности аттракторов в цепочке релаксационных генераторов.

3.8. Аттракторы лоренцевского типа.

3.9. Движения в цепочках импульсных систем фазовой синхронизации.

вывода.Й РЕЗУЛЬТАТЫ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность темы. Многие явления в природе и технике связаны со стохастическими автоколебаниями - генерацией хаоса динамическими системами. Среди природных феноменов наиболее важный пример - турбулентность, среди приложений - разнообразные радиотехнические устройства. Сейчас уже сформировалось и своеобразное направление компьютерной физики, специально интересующееся исследованием стохастических автоколебаний.. Накоплен обшфный опыт компьютерного анализа моделей реальных систем, в которых обнару-яивается сложное поведение. Появились и математические работы, посвященные строгому исследовании динамических систем с хаосом.

Актуальность предлагаемой работы определяется тем, что она представляет собой первую попытку построения качественной теории стохастических автоколебаний (в том числе, я для систем с большим и даке бесконечным числом степеней свободы). Суть этой качественной теории замечается в выработке адекватных математических образов- ключевых явлений динамического хаоса и создании на этой основе базовых моделей, удобных для компьютерного и лабораторного экспериментов. Качественная теория стохастических автоколебаний призвана не только описать, объяснить и предсказать возможные "хаотические феномены", но и помочь в выработке правильной стратегии при анализе конкретных физических систем со сложной динамикой, которые сейчас являются предметом пристального внимания специалистов- из самых различных областей физики и не только физики.

Цели и задачи исг.ляттвяния. Попытка' построения качественной теории стохастических автоколебаний (в некотором смысле продол-лсшщея классическую качественную теории регулярных движений, в ос-

иове которой лежат понятия фазового пространства и динамической системы) непосредственно связана с реализацией программы Мандельштама-Андронова по развитию теории нелинейных колебаний. Эта программа, как известно, базируется на трех пунктах: I). "эмбриологическом" или эволюционном исследовании колебательных (сейчас естественно говорить - и волновых) систем, т.е. исследовании эволюции динамики нелинейных систем от простого к сложному при изменении управляющих (бифуркационных) параметров системы; 2). на выделении и изучении, в первую очередь, общих ситуаций, т.е. исследовании систем (и явлений) грубых, структурно устойчивых; и, наконец, 3). исследовании динамики системы (модели) в целом. Кроме того, основополагающей остается цементирующая всю теорию колебаний мысль об универсальности колебательных явлений в системах различной физической природы. Такой подход позволяет на сравнительно небольшом числе базовых моделей понять основные эффекты и качественные закономерности рождения, функционирования и смерти стохастических автоколебаний и, тем самым, в какой-то степени выявить механизмы установления "динамического равновесия" между вносимой в систему энергией и ее диссипацией в процессе эволюции.

Именно эти идеи оказались наиболее конструктивными при построении излагаемой ниже качественной теории стохастических автоколебаний.

Общие идеи развития теории нелинейных колебаний при их детальном рассмотрении с физической точки зрения оказываются родственными ключевым идеям многих нелинейных физических теорий, в частности, теории критических явлений. Например, естественная гипотеза об универсальности фазовых переходов, позволяющая единообразно описывать критическйе явления в самых различных физических средах, может быть, по-видимому, обоснована выделением и

рассмотрением наиболее типичных бифуркация в соответствущеЯ динамической модели при изменении параметра вблизи критической точки.

Взаимопроникновение идея нелинейной динамики в теоретическую физику и наоборот оказалось особенно глубоким и продуктивным в связи с исследованием таких явлений как турбулентность и самоорганизация. Обратим здесь внимание на то обстоятельство, что если прежде эти явления часто противопоставлялись друг другу, то сейчас ясно, что и самоорганизация и турбулентность есть результаты развития разного рода неустойчивостей в неравновесных диссипатив-ных средах. И в большинстве ситуация наблюдается не полностью развитая турбулентность и не абсолютная самоорганизация, а в той или иной степени хаотизированное или организованное движение, которое можно описать такими, например, характеристиками как размерность и энтропия. Образами этих частично упорядоченных или частично хаотиэированных движений в соответствующих фазовых пространствах служат странные аттракторы. Поэтому и турбулентность и самоорганизация есть предмет (во всяком случае объект интереса) качественной теории стохастических автоколебаний.

Исторические замечания. Конечно, в кратком докладе невозможно более или менее полно отразить предысторию современного состояния области физики, связанной со стохастическими автоколебаниями, или, хотя бы, ее части, относящейся к нелинейной динамике. Ограничимся историей "идей" и основными вехами их появления и развития.

Великие основатели качественной теории дифференциальных уравнения А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов создали базовые понятия, разработали методы, получили первоначальные фундаментальные результаты и сформулировали направления по которым эта теория развивается до сегодняшнего дня. Хаотическая динамика обязана А.Пуанкаре,

в частности, открытием гомоклинических структур в фазовом пространстве (наличие которых он воспринимал как геометрическое свидетельство неинтегрируемости задач небесной механики), а А.М.Ляпунову - понятием характеристических показателей, без которых она сейчас немыслима.

В 20-е - 30-е годы оформилось понятие динамической системы (Дж.Биркгоф, А.А.Марков, Т.Черри и др.), была создана и глубоко продвинута топологическая динамика - часть общей теории динамических систем, использующая лишь непрерывность группы отображен ний фазового пространства. В рамках этой теории были расклассифицированы виды траекторий динамической системы (неблуждающие, рекуррентные, центральные и др.).

А.А.Андронов приспособил качественную теорию дифференциальных уравнении для нужд теории нелинейных колебаний. На огромном числе физических примеров (в частности, из радиотехники) »было • убедительно показано, что предельные циклы Пуанкаре являются адекватными образами периодических автоколебаний, а бифуркации предельных циклов описывают и объясняют многие 'нелинейные эффекты, связанные с возникновением сложных автоколебаний (биений, квазипериодической модуляции и пр.). Это вдохновляло его, уже в рамках топологической динамики, на поиски адекватных математических образов непериодических и не квазипериодических автоколебаний. (В их существовании сомнений у А.А.Андронова не было, несмотря на отсутствие или, скорее, невольное игнорирование экспериментальных данных - эксперименты Ван-дер-Поля, например, по исследованию движений в автогенераторе, возмущаемом внешней периодической силой, достаточно полно объяснены сховсем недавно.) В качестве претендентов на образы сложных колебаний были проэкзаменованы, в частности, рекуррентные траектории. Несмотря на "неудачу"

в достижении конкретной цели, эта деятельность оказалась исключительно плодотворной для понимания общего геометрического устройства траекторий динамической системы.

Современные представления о математических образах автоколебаний, в том числе - стохастических, возникли в результате слияния двух направлений нелинейной динамики, С одной стороны - развития качественной теории гладких динамических систем: работа МД.КартраИ и Лд.Е.Литлвуда о существовании счетного множества седловых предельных циклов в периодически возмущённом уравнении Ван-дер-Поля с малым параметром при старшей производной, индуцированный ею пример подковы Смейла, и'создание В.М.Алексеевым, Д.В.Аносовым, В.И.Арнольдом, Я.Г.Синаем, С.Смейлом, Л.П.Шильнико-вым и др. теории систем со сложно устроенными, в частности гиперболическими предельными множествами, а также - теории нелокальных бифуркаций (Л.П.Шильников и др.) и теории универсальности (М.Фейгенбаум и др.). С другой же - численного Си аналитического) исследования моделей реальных физических систем: стандартное отображение Чирикова, модель Лоренца, аттрактор Эно| отображение Заславского, система Рабиновича-Фабриканта и т.д., и осмысления полученных результатов на основе теории гладких динамических систем. Появившееся понимание, в достижении которого сыграли большую роль, в первую очередь, работа Д.рюэля и Ф.Такенса, а также последующие обзоры Р.М.Мэя, М.И.Рабиновича, Дж.П.Эккмана, позволило ввести в обиход математический образ стохастических автоколебаний ("странный аттрактор") и вложить в него конкретное математическое содержание (см. ниже) и ясный физический смысл.

Стимулированные успехами теории и компьютерного моделирования, экспериментаторы почти без запаздывания включились в бурно

развевающуюся область нелинейной физики; в результате не замедлили появиться в их руках убедительные доказательства того, что многие хаотические сигналы в лаборатории и природе есть реализации стохастических автоколебаний. Ключевые эксперименты с различными гидродинамическими течениями (Дж.Голлаб, С.Бенсон; Д.В.Любимов, Г.Ф.Путин, В.И.Чернотынский; А.Либшабер, Дж.Маурер и др.), автогенераторами хаоса (С.В.Кияшко, А.С.Пиковский, М.И.Рабинович; Дж.Голлаб, Т.Враннер, Б.Данли^работы Саратовской школы радиофизики и др.) и т.д. окончательно утвердили в сознании исследователей убеждение в адекватности понятий нелинейной динамики феноменам возникновения, изменения и исчезновения стохастических автоколебаний. Причем, как это обычно бывает, эксперимент поставил множество проблем перед теорией, среди которых, возможно, наиболее яркая - связь степени развития хаоса (числа независимых возбуждений или степеней свободы) со степенью неравновесности системы - над критичностью. Сейчас - это уже отдельное направление теории, связанное с размерностныыи характеристиками стохастических автоколебаний.

Хотя все уже привыкли к мысли о том, что всякое развитие идет по спирали, каждая новая констатация этого факта вызывает потребность нового обсуждения. Действительно, после осознания роли предельных циклов как образов периодических автоколебаний, они (по выражению А.А.Андронова) "начали попадаться на каждом шагу". Именно это происходит сейчас со странными аттракторами. Их обнаружение в самых разнообразных ситуациях (средах, системах и пр.)

»

стало уже столь обыденным, что работы, где нет новых физических или математических идей, а присутствуют лишь сведения о наличии странного аттрактора (что еще пять лет назад считалось некоторым результатом) уже практически не публикуются. Этот феномен имеет

совершенно естественное объяснение с позиций качественной теории стохастических автоколебания. Хотя странный аттрактор представляет собой множество траекторий, которое при изменении параметров может менять свою топологическую структуру (внутренние бифуркации аттрактора - см. ниже) и деформироваться, тем не менее, сам факт его существования является "грубым" свойством, характеризующим систему. Именно поэтому странный аттрактор, существующий в конечной области параметров, не "патология", а ситуация общего положения, и именно поэтому он распространен ничуть не менее широко, чем "обычные" аттракторы - положения равновесия, предельные циклы и торы.

В заключение можно добавить, что сейчас наступило время более углубленного и естественно, более трудного исследования стохастических автоколебаний, в том числе и с позиций качественной теории.

Научная новизна. Новизна проведенных исследований заключается в следующем:

1. Сформулированы основные идеи и направления развития качественной теории стохастических автоколебаний, включающей в себя: определение основных объектов теории; выделение основных феноменов; создание универсальных моделей й разработку методов качественного анализа этих моделей; получение строгих результатов (в том числе и с помощью ЭВМ).

2. получены конкретные результаты при исследовании автоколебательных систем со стохастическими режимами, представляющих интерес для различных областей ^нзики (и радиофизики): цепочек автогенераторов, параметрически возбуждаемых осцилляторов, систем '¡азовой синхронизации и т.д.

Положения, выносимые на защиту.

I. Выработаны строгие понятия теории: размерность наблюдаемой, кризисы и внутренние бифуркации аттракторов, стохастическая синхронизация и пр.

■"2.* Обнаружены 'И исследованы сценарии рождения стохастических автоколебания, в том числе: через кризисы положений равновесия и предельных циклов - в частности, касательной бифуркации, приводящей к перемежаемости; через разрушение даухчастотных квазипериодических автоколебании - механизмы потери гладкости, разрушения тора и возникновения странного аттрактора; на база непритягиваицего стохастического множества; механизм возникновения стохастических автоколебаний в близких к гамильтоновым системах с 1,5 степенями свободы. Исследованы сценарии разрушена стохастических автоколебаний.

3. Разработаны методы исследования систем со стохастическими автоколебаниями , в том числе: а). методы расчета и оценки хаус, дорфоЕоИ и ляпуновской размерностей стохастических множеств;

б), методы установления услови.Ч существования стохастичесшос автоколебании в цепочках; в), методы доказательства существования многомерных и бесконечномерных торов.

4. Определены возможность существования и условия устойчивости регулярных и хаотических автоколебаний в цепочечных сносовых моделях.

X ) Следует отметить, что интуитивные, не определённые точно

представления существовали и ранее. Заслуга соискателя именно в строгом определении приводимых понятии.

Аппробаиия работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях по нелинейным колебаниям в Киеве (1969, 1981), Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1964), на 3-й Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд, 1973), на школах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1983, 1986), на Всесоюзной школе по математическому моделирование (Пермь, 19Б6), на 3-й Уральской конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Пермь, 1988), на 7-я и 8-й Всесоюзных школах по нелинейным волнам (1985, 1987), а также на семинарах в ИГУ, ИДИ АН СССР, НПФ АН СССР, ГГУ.

Личный вклад соискателя. В цикле работ, составляющих диссертацию, автору принадлежит решающая роль в выборе направления исследования, создании методов и обобщении полученных результатов. В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора заключается в непосредственном участии в постановке задач, выборе (или создании) методов исследования и обсуждении результатов.

ПГАВА I. ОБЬЗКТЫ ТЕОРИИ.

1Л. Аттракторы - простые и странные. Математической моделью детерминированной физической системы служит динамическая система (ДС): предполагается, что существует множество М начальных состояний с заданный на нем расстоянием - фазовое пространство ЛС, - что для любого (положительного) значения £ непрерывного или дискретного времени имеется непрерывное или дифференцируемое. отобраление (сдвига) f ' , ставяцее в соответствие каждой начальной точке из другую (или иногда ту же самую) точку j х

из М . При этом выполнено групповое условие 7 (■/ х)'7

Закон, по которому начальной точке X ставится в соответствие точка /*Х в случае непрерывного времени определяется обычно с помощью системы дифференциальных уравнений X =Х (х) ; при этом (гдеУ^г)- решение этой системы с на-

чальным условием^. Полутраектория ^ X j или траектория

£/ ¿¿¡Л, ~ здесь правая в фазовом пространстве.

Движению реальной системы соответствует движение изображающей точки по полутраектории; установившемуся движению отвечает движение изображающей точки по некоторой предельной траектории, а переходному процессу - движение изображающей точки по полутраектории стремящейся к предельной. Поскольку начальное состояние обычно известно лишь приближенно (пусть и со сколь угодно высокой степенью точности), то с необходимостью приходится считать математическим образом движения системы возможно не одну, а целое множество траекторий в фазовом пространстве, предельных для полутраекторий, выпущенных из этого шарика начальных условий; это множество будем естественно называть аттрактором.

Таким образом, физическая интуиция предъявляет к понятию аттрактора два требования: I). повторяемость движения для всех траектории в аттракторе (ибо речь идет о математическом образе установившегося движения); 2) свойство быть предельным для всех или почти всех полутраекторий в некоторой конечной области начальных условий. Существует несколько математических определений аттрактора, в которых сделаны попытки в той или иной степени удовлетворить этим требованиям, и, в то же время, выделить предельно широкий класс инвариантных множеств; работа над этим понятием

продолжается и теперь; мы остановимся на, наиболее удобном с точки зрения теории бифуркаций, следующем определении Г?г'/?7 . Замкнутое множество А траектория в фазовом пространстве системы называется аттрактором, если существует область I/ Э А . такая что все полутраектории, начинающиеся в ЬС , стремятся к при £ 00 (другими словами, А - ¿Д 1 Ы Обычно

за Ь{ выбирают поглощающую область: ^ ¿^ С при ¿.70.

Статическому, периодическому, двухчастотному квазипериодическому режимам колебаний отвечают устойчивое положение равновесия, устойчивый предельный цикл (ПЦ) и притягивающий двумерный тор II 1 соответственно, являющиеся простыми аттракторами, Непериодическому режиму колебании со сплошным спектром мощности отвечает странный аттрактор (СА). Будем называть аттрактор странным, если его топологическая размерность не совпадает с фрактальной (см. ниже). Отсюда сразу вытекает, что СА нельзя представить в виде объединения конечного числе;-кусков гладких поверхностей в фазовом пространстве; кроме того, отсюда следует, что неравенство нулю дробной части фрактальной размерности аттрактора свидетельствует о его странности.

1.2. Кризисы и внутренние бифуркации 'аттракторов. Достоинство принятого определения аттрактора проявляется в том, что если в фазовом пространстве гладкой динамической системе, непрерывно зависящей от параметра, скажем 6 , имеется поглощающая область^ при в » 6а (тем самым, - аттрактор ), то при всех зна-

чениях £ , близких к 8а , также имеются поглощающие области IX£ , "близкие" к Ц . Поэтому монно говорить о семействе аттракторов, в некотором смысле непрерывно зависящих от £ , и -

корректно определить понятия внутренних бифуркаций и кризисов такого семейства [22-

Пусть А6 , £ € С а I & 3 . - семейство аттракторов в системе } • зависящей от параметра 6 , и £ * £ - бифуркационное значение параметра. Положим Аб (т.е. А( - . множество предельных точек семейства ). Если А 6 - не аттрактор, то значение £ • 6 назовем кризисным; если же А( - аттрактор, и бифуркация при £ = 8 происходит с траекториями из

Аь (другими. словами [ ] , носитель бифуркации пересекается с Ае ), то 6 8 назовем внутренним бифуркационным значением. Соответствующую бифуркации назовем кризисом или, соответственно, внутренней бифуркацией семейства аттракторов (или, просто, кризисом, или внутренней бифуркацией аттрактора).

Заметим, что для положений равновесия и предельных циклов эти понятия тесно связаны с понятиями опасной и безопасной 1ра-ниц: во всех случаях бифуркаций коразмерности один опасным границам- областей устойчивости соответствуют кризисы, безопасным -внутренние бифуркации. Заметим также, что для предсказания кризисов аттракторов необходимо следить за изменением границ их областей притяжения (область притяжения аттрактора А - это множество всех начальных точек, через которые проходят полутраектории, стремящиеся к А при I —* + ^^ ).

1.3. Фрактальная и хаусдорфова размерности. Топологическая энтропия. Странному аттрактору присущи самые разнообразные признаки и свойства, каждому из. которых .можно сопоставить какую-либо характеристику реального процесса. Эти свойства могут быть количественно описаны соответствуюцей математической величиной - числом, функцией и т.д. Нам представляется, что наиболее важные (и

употребимые сейчас) характеристики странного аттрактора (помимо уже привычного спектра Фурье реализации от траектории в нем) -это его размерность и энтропия динамической системы, ограниченной на СА.

Хауодорфова размерность. Пусть А - аттрактор динамической системы с фазовым пространством М , снабженном функцией расстояния £ между либыми точка™ X, Ц М . Зафиксируем покрытие Г множества А открытыми множествами КI диаметра £ £ . Выражение (сЦ.ат (¿¿^ можно понимать как

и^г

приближенное значение оС - мерного объема множества А , за который естественно принять

{ £ [скат. ¿¿1 и (Л,■ => А , окат. (Ас 4 £ [ Г 1 и,€Г >

При уменьшении £ "количество" всевозможных покрытий в Г уменьшается, инфимум увеличивается, следовательно, должен существовать предел

тИ йпи ¿п/ I У (¿лат. ¿¿¿)* 1

е+о Г I ¿~ег \/

(который, в частности, может равняться и сх= ). Этот предел (называемый - мерой Хаусдорфа) обладает следующим свойством: существует такое значение оС- , что тИ •

при < ¿-н , и ГПн = О при / У </~н . Величина

называется хаусдорфовой размерностью множества А . Известно, что о(ст. н (А) >/ с1хт А , где 6&/П- А обычная (топологическая) размерность множества А

фрактальная размерность. Заменим в определении меры Хаусдор-фа класс покрытий - будем покрывать А не произвольными открытыми множествами диаметра ^ , а лишь шарами диаметра £ То есть - мерный объем теперь будем приближать выражением

■т, МЛ*»/ {£ (Шал и эА,Ыиипи1 = £ } -

Г I

г

где /V (- число алементов в покрытии Г . Теперь величина

с-^ с.

■ ¿Ю-<>}-&,§&>

называется верхней предельной емкостью или фрактальной размерностью аттрактора А . Из определения следует, A)>cttm-H (А)

И хаусдорфова размерность, и предельная емкость обладают следующим важным свойством: если А - конечное объединение гладких многообразий, то С(А) «* dim-H (А) « dim А Поэтому неравенство одной из этих характеристик целому числу свидетельствует о сложном геометрическом устройстве множества А

( п-, е) , раз деланность. В приведенных определениях не учи-* тывалось то обстоятельство, что А - аттрактор динамической системы. С помощью боуэновского понятия (Ж £) - разделен-ности им можно придать "динамическое содержание. Пусть, для простоты, время в рассматриваемой'динамической системе дискретно, т.е, она порождается отображением £ фазового пространства в себя. Тогда отрезок траектории временной длины л- - это множество точек | j- X | . Два отрезка Г, и PL траекторий

временной длины К- называются (и, £) - разделенными, если

г.-[/•«}::

существует , О й. ^ п -1 , такое что

[ , Ц) Ъ 6 • Обозначим через А к, г множество (ансамбль) отрезков траекторий временной длины н, , удовлетворяющий следующим условиям: I). любые два отрезка из этого ансамбля ( - разделены; 2). в аттракторе А не существует отрезка траекторий временной длины Л- , который был бы (Я, £) - разделен о любым отрезком из А . Эти свойства означают, что если отрезки траекторий различать с точностью не превышающей £ , то Ап,е - это как раз множество всех отличных друг от друга отрезков траекторий временной длины Л- в аттракторе А .

Пусть С с - количество элементов в множестве .

Ясно, что и при уменьшении £ и при увеличении Ь- число £».1 должно возрастать. Уменьшение £ означает повышение чувствительности (точности) и возможность разрешения все более тонкой геометрической структуры. Ф.Такенсом установлено, что С (А) - ¿¿т. Сп,с } л .

л. -»©о 0 /-сп.&

С другой стороны, увеличение при фиксированном значении £ может добавлять элементы в А к, б из-за различного временного поведения траекторий в А , что связано, во-первых, с их неустойчивостью, и во-вторых, с неодинаковостью их поведения в А , то есть со сложностью разбиения А на траектории. Эти свойства характеризует специальная величина {ъ (А) , называемая

топологической энтропией (см., например, [КХ] ). Р.Боуэном показано, что

1.4. Детерминипованно порожденные и случайные наблюдаемые. Наблюдаемая (сигнал, реализация и т.д.) - это функция от времени

ОС-* ^(-Ь) (если время дискретно, то наблюдаемая - это последовательность { }■ )» по которой мы судим о процессе в исследуемой физической системе. Если рассматриваемая система является детерминированной, то наблюдаемая - функция от точки на траектории в фазовом пространстве ее математической модели. Используя результаты Ф.Такенса и Р.Нанье, по наблюдаемой в принципа можно отличить динамический процесс от "случайного" недетерминированного Приведем строгие определения.

Наблюдаемая ^ ^ называется детерминированно порожденной, если: I). существуют: динамическая система (М, , где М - конечномерное (в обычном "топологическом" понимании или в смысле конечности фрактальной размерности) фазовое пространство, а / - порождающее динамическую систему отображение Ц в себя, начальная точка €. М. и функция М ~~* , такие что «-у ) , ; 2). траектории этой

динамической системы не могут разбегаться быстрее, чем экспоненциально, т.е. для некоторых С, \>0

сии 4 • Л си*1 (*,#)•>

3). функция I/ липшицируема, то есть

(- С/ (у) I <г • оси (X, у; для любых точек "X. , и в ¡^1 .

Введем пространство наблюдаемых В как множество всевозможных последовательностей ] Ч- - (а0, а,, ... ) } , каждая из кото' оо

рых удовлетворяет неравенству у~ с ^ <>«=> • Легк0

ьо 'г

даться, что: I). если сложение наблюдаемых и умножение на скаляр определить покоординатно, то В - линейное пространство;

оо

2)к' число ^ | й.; |у ; , ставящееся в соответствие каждой

наблюдаемой Л. , удовлетворяет всем свойствам нормы; Э). пространство Е> , снабженное так введенной нормой, является полным. Следовательно, Ё> - банохово пространство. Определим в 3 динамическую систему, задав отображение сдвига а.'-*/•"(«.)■• ^ где Л. =(«.„, Сс4,.. ) . Это универсальная динамическая система, порождающая любую ограниченную (или возрастающую медленнее экспоненты) наблюдаемую, с помощью проекции на первую координату: ¿/(а.) = Сс0 (любому элементу из В ставится в соответствие <Х.0 ). Очевидно, <-/ липшицируемаа^с константой Липшица, равной единице.

Определим ] размерность наблюдаемой СС- , как фрактальную размерность предельного мкокества траектории универсальной динамической системы, проходяиэй через . Именно, выпустим

г г К 1 &<>

из О- полутраекторию £ Г а. Д , обозначим через Д

(компактное) множество ее предельных точек в

и число С (/4 л ) назовем размерностью наблюдаемой.

Предположим, что размерность наблюдаемой конечна и зафиксируем произвольное натуральное число n-'tZ С (А <&) + 4 Пусть М°{(а-о, - a*-r)J - И ~ мерное подпространство

пространства В ; //п - естественная проекция из 8 на /Ч (то есть - отобрамение, ставящее в соответствие каждой наблюдаемой

Си оо

вектор из ее первых Ц координат). По теореме Р.Манье, в типичной ситуации отстранение З^п. взаимно-однозначно на множестве

, и поэтому, в предположении о типичности ЗГп, (которое, на физическом уровне строгости, можно считать выполненным) на подмножестве (Л й-) Л- - мерного пространства /Ч определена динамическая система, порожденная отображениемР' ЭГ^ ! другими словами, ¿(сц,--, «-^л-у(а.с,,, ) .(Способ восстановления этой динамической системы по наблюдаемой получил название алгоритма .Такеяса^ Таким образом, для наблюдаемой с конечной размерностьв существует конечномерная динамическая система, ее продуцирующая с помощью Липшиц - непрерывной функции . Для детерминированной порожденности необходимо еще проверить свойство 2, что возможно, используя понятие максимального ляпуновско-го характеристического показателя (см. ниже) и какой-либо алгоритм его нахождения из наблюдаемой. Если максимальный показатель конечен, то наблюдаемая детерминированно порождена; топологическая энтропия Р (равная энтропии / / А ) в этом случае также конечна. Отметим, что поскольку топологическая энтропия мажорирует энтропию Колмогорова-Синая, то ее конечность для многих физически важных случаев уже означает выполнение свойства 2 и - детерминированную яорожденность наблюдаемой.

Нетрудно понять, что если значения для фиксированного порождаются своим случайным процессом, никак не скоррелированным с процессами, порождающими Лу , j ^ I , то наблюдаемая ¿2- не может быть детерминированно порожденной. Ф.Такенсом показано, что "большинство" наблюдаемых не являются детерминированно порожденными; в частности, им установлено, что в пространстве наблюдаемых существует такое множество полной меры В (мера в В вводится

как прямое произведение обычных мер Лебега на прямой), что для каждой наблюдаемой Я-60 величина С^ ( (Ле) ~ (2.6)' ; следовательно, и размерность Дл. и топологачеекая энтропия бесконечны.

Отсюда следует, что если удалось приближенно установить де-теротированную порондешость дагшод конкрогноЛ наблюдаемом, то этот (¿акт можно считать физически достоверным.

Основные выводы этого пункта: I). конечность размерности наблюдаемо;; и максимального ляпуновского характеристического показателя (либо топологической энтропии) впекут ее детерминированную норояденность; бесконечность размерности и (пли) энтропии говорит о "случайности" наблюдаемой (и процесса); 2). физические процессы (с диссипацией и, возможно, накачкой энергии), продуцирующее детершшированно порожденные наблюдаемые, относятся к предмету качественно:! теории стохастических автоколебании, в не заьи-'сшлости от того, имеются лдя этих процессов или не имеются математические модели в к-;де дилере нитальных (и др.) уравнения. Последнее вакио для применимости•понятий и результатов это Л теории непосредственно в лабораторном или натурном эксперименте.

1.5. Понятия, связанные с эргоднческол теориел. Эргодическая теория даша.'.ш'19С13!х систем работает с объектами, с помощью которых перебрасывается пост от детерминированного к вероятностному описанию процесса. Поэтому .идя систем с хаотическим поведением нельзя обойтись без неютор^х понятии и образов ото:'; теории, даяе оставаясь к рамках качественной теории стохастических автоколебаний. Для краткости излозонпя представим их в виде Таб. I.

Таб. I.

Паз вание

Онродедзние

1. Инвариантная для динамич. ■ системы М} мера у

2. Носитель меры. ^ :

3. Мера ^ : сосредоточена на аттракторе А вероятностная, эргодаческая

4. Поточечная размерность

относительно мери £

5. Корреляционный интеграл

наблюдаемой й-

Корреляционная размерность

6. Ляпуновская размерность, если - ^ а- ~

- ляпуновсгаю характеристические показатели {относительно меры $ )

Наименьшее замкнутое множество, такое что §(Е) = 0 при

?(А)

если О <<?(£) < 1

инвариантно

, то £ - не

7 , > /Г .

верхняя: - £ ■>

нижняя: —>

9(&<г СкбГ

СГ-0

*1 число пар[%(£), хф^}

т-£>р

при А1 ^ О , а при А,? О

т

- целая часть $ .

Замечания: I. Верхняя и нижняя поточечная размерности били введены Лай-Санг-Янг, и ею было показано, что если сС^ (х) "

« с1р для у - почти всех гС- , -то и фрактальная раз-

мерность множества полной меры в А также равна <£р .

2. Корреляционная размерность, введённая П.Грассбергером и И.Прокаччия, совпадает с поточечной, если мера обладает хорошими зргодическими свойствами. 3. Набор ляпуновских характеристических показателей - основная величина характеризующая неустойчивость траекторий в С.А ; ляпуновокая размерность, введённая Ф.Фредериксоном, Дж. Капланом, Е.Йорке и Дя.Йорке, по весьма правдоподобной гипотезе этих авторов для широкого класса физических систем совпадает с фрактальной размерностью множества полной меры в аттракторе; а поскольку вычислять сйт.^ на

ЭВМ проще и надёжное чем другие размерности (в тех конечно случаях, когда моделью исследуемого процесса служит система дифференциальных уравнений но очень высотою порядка), то она сейчас является одгам из основных рабочих параметров стохастического автоколебания. ■

ИАВА П. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ.

Пу^и рождения квазипетшодических и стохастических автоколебаний, Возникновение сложных автоколебаний при изменении управлявшего параметра системы есть на что иное как осуществление од-иой или нескольких последовательных бифуркаций (т.н. сценарий), в результате которых аттракторы меняются от простого к сложному. Бифуркации неустранимый образом встречающиеся в однопараметричес-ких семействах динамических систем (бифуркации коразмерности один), в значительной степени известны. Это дает возможность перечислить и основные сценарии возникновения странных аттракторов (СА).

2.1.Кризисы положений равновесия и предельных циклов. Самые простые сценарии состоят всего из одной бифуркации - кризиса положения равновесия или предельного цикла. Такие кризисы могут происходить двумя различныш способами. При осуществлении первого из.них после кризиса изображающая точка может уйти в совершенно другую часть фазового пространства и никогда не возвращаться в окрестность старого аттрактора, добифуркационное поведение полностью забывается. Этот случая в некотором смысле тривиален -старый аттрактор гибнет, и система "уходит" к новому аттрактору, ранее возникшему в другой части фазового пространства.

Второй способ отличается тем, что послебифуркационное поведение содержит в себе некоторые черты добифуркационного - вновь возникающий аттрактор своей частью заходит в окрестность "сторого". Зтой информации, в принципе, бывает Достаточно, чтобы по наблюдаемой определить вид кризиса (используя классификацию подобных кризисов). Здесь такая (конечно, не исчерпывающая) классификация сведена в табл. 2, в которой через 0 обозначено положение равновесия

Таблица 2. Возникновение II и CA в результате -кризисов устойчивых ПР и ПЦ.

Вид бифуркации

Дополнительные условия в мо-:Тип рождающе-:

мент бифуркации. :гося аттрак- : Ссылки

: тора.

бифуркация О Ь (О)+ Ф

Андронова-

Хопфа UP.

2. Касательная а). Wf "гладкий" Vf* Г}Г*,И~]

бифуркация случай, L J

ПЦ (переые- . „ Ä

щаемость). б). ^ с ;неглад-_ .

чай, ^ J

в\\fi(\w+<f>x=>v/£ [г.з j

L - седловой ПЦ.

г). WLUC\ ПЦ либо CA У? J

Ci - седло или седло-фокус.

(ПР) через £ - предельный цикл, через Т % двумерный тор;

- неустойчивая (устойчивая) сепаратриса, Е (о) £ - окрестность точки 0.

Краткие пояснения. I). Бифуркация, указанная в первой строке таб-/лцы, описывает переход от статического режима к квазипериодическому или стохастическому автоколебанию сразу большой амплитуды. При этом в спектре возникших, скажем, квазипериодических автоколебания одна из базовых частот близка к частоте затухающих к ПР (до бифуркации) колебаний. Она же выделяется и в спектре наблюдаемой стохастического автоколебания. 2). СЛ возникающий в результате касательной бифуркации (строка 2), обладает более "сильными" пли "слабыми" стохастическими свойствами в зависимости от того, содер-

жит неустойчивая сепаратриса седло-узлового ПЦ другие ПЦ

.или ПР, либо не содержит (разные случаи во 2-м столбце). Это проявляется (в частности) в хаусдорфовой размерности аттрактора (см. ниже). 3). Для возникновения СА после аннигиляции устойчивого и седлового циклов необходимо существование в момент бифуркации поглощающей области, содержащей все траектории в замыкании неустойчивой сепаратрисы седло-узлового цикла L , и такой, что стоком в этой области является L .4). Перечисленные в таблице бифуркации могут осуществляться уже в системах с трехмерным фазовым пространством (конечно, они реализуется и в многомерном случае). 5). Если добавить к указанным в таблице пока малоизученные

кризисы ПЦ, связанные с переходом его мультипликатора через (-1)

л ¿4

или xi , то получится достаточно полный список кризисов, определяемых бифуркациями ПР и Щ коразмерности один и приводящих к возникновению СА.

2.2. Сценарий Фейгенбаума. Одна из наиболее распространенных возможностей возникновения СА - последовательность бифурка-•'ций удвоения периода предельных циклов Lj (&) i j6- t , ■ при, скажем, возрастании управляющего параметра £ . Каждый Lj (£) (кроме первого) возникает при £ - £у в результате бифуркации удвоения периода ( £) устойчив при 8 < и становится и остается седловым при £ У . Значения Sj по некоторому универсальному закону накапливаются к предельному , при котором система имеет т.н. полуаттрактор Фейгенбаума, который при $ У эволюционирует, оставаясь СА. Эта ситуация хорошо изучена с помощью ренорм-группового подхода в динамических системах в ряде работ, итог которым в значительной степени подводит работа Е.Б.Вул, Я.Г.Синая и К.М.Хаиина. Здесь остановимся лишь на

некоторых оставшихся не проявленными деталях общей картины, интересных с точки зрения качественной теории. При возрастании неустойчивые сепаратрисы ставших седловыми ПЦ начинают пересекаться с их устойчивыми сепаратрисами - возникают гетероклини-ческие, а, возможно, и гомоклинические траектории С**"**] • приводит к существованию сложной структуры траекторий ("метаста-бильного хаоса"), возможно, уже до, я, заведомо, после возникновения СА, в близком с ним соседстве в фазовом пространстве. Поэтому эволюция аттрактора Фейгенбаума при дальнейшем возрастании

£ может сопровождаться кризисами, вызванными поглощением аттрактором этого непритягивающего стохастического множества. Так и происходит во многих конкретных задачах (см., например, [ 7 3).

2.3. Разрушение двухчастотных квазипериодических автоколебания. С точки зрения качественной теории стохастических автоколебаний речь идет о разрушении притягивающего двумерного тора при изменении управляющих параметров. В^/^З были выяснены основные механизмы такого разрушения и приведены их иллюстрирующие базовые примеры. Было установлено, что в типичной ситуации перед тем, как перестать существовать, тор обязан потерять гладкость -либо он становится "гофрированным", либо закручивается "в рулон" около устойчивого ПЦ с комплексны® мультипликаторами. После .этого стохастическое множество траекторий может возникать гремя основными способа!®: Г), в результате последовательности бифуркаций удвоения периода, "начинасщеяся" с устойчивого цикла на торе. (Это приводит к возникновению полуаттрактора Фейгенбаума). 2). устойчивый ПЦ на торе претерпевает кризис, сливаясь с седло-вым, неустойчивая сепаратриса которого в добифуркационной ситуации образовывала (вместе с устойчивым ПЦ) негладкий тор - строка

2 б), в таб. 2; 3). неустойчивая сепаратриса седлового ПЦ на то-, ре пересекается с устойчивой, образуя гомоклиническую кривую и -непритягиваицее стохастическое множество около нее.

Возможности разрушения тора хорошо иллюстрируются на примере динамической системы с дискретным временем J

сс- £~г ( zK * a sin, Эк) ,0Kti=(6K i- t+xx -ta йн. CL y o , в кольце ae~Yf.¿-*

Qg IfL , которую можно трактовать как систему, порожденную отображением Пуанкаре в окрестности разрушающегося тора (тору отвечает инвариантная кривая этой системы). Неподвижные точки (в моменты синхронизации движений на торе) существуют внутри криволинейного сектора, ограниченного кривыми В*: ¿ На 3* эти точки сливаются, образуя точку с мультипликатором + I. При переходе через В* осуществляется касательная бифуркация, при этом САзозникает при ( £ - некоторое фиксиро-

ванное число) - случай 2 d). в Таб. 2 (при а, << осуществляется случай 2 а).). Бифуркационная кривая В" . являющаяся ветвью "гиперболи"«.2-^/*--¿^^¿-ZJ2 , лежащей внутри указанного сектора, отвечает смене устойчивости ПЦ через бифуркацию удвоения периода. Кривые не Ь<,г , уравнения которых: шш ^г^ »1 (5± ^^^

отвечают возникновению гомоклинических точек на "левом" или "правом" кусках неустойчивой сепаратрисы седловой неподвижной точки.

Заметим, что для исчерпывающего понимания перестроек в фазовом пространстве, сопровождающих разрушение двухчастотных квазипериодических автоколебания, необходим не жнее чем двухпарамет-ричеокий анализ.

Приведенная картина разрушения Т. и возникновения СА была подтверждена в ряде экспериментальных радиофизических работ, например, работы В.С.Анищенко, Т.ЕЛетчфорд, М.А.СафоновоЯ и др., в которых были также обнаружены и некоторые другие эффекты, сопровождающие разрушение тора и возникновение стохастических автоколебания .

2Л. "Перерождение" непритягиваищего стохастического множества в СА. СА могут возникать в результате нелокальных бифуркации "на месте" развитого стохастического множества", устойчивые сепаратрисы которого имеют размерность, на единицу меньшую размерности фазового пространства. В/ур, гг} указаны некоторые механизмы такого возникновения, заключающиеся, скажем, для систем с трехмерным фазовым пространством в следующем. Для развитого стохастического множества (гиперболического множества траекторий) можно указать конечное число седловых предельных циклов Не)

устойчивые (неустойчивые), сепаратрисы которых ограничивают устойчивые (соответственно, неустойчивые) сепаратрисы остальных ПЦ и при этом все устойчивые сепаратрисы всех ПЦ пересекаются со всеми неустойчивыми по гетеро- и гомоклиническим траекториям. Пусть такая картина имеет место для начального значения параметра £ £0. Если при возрастании й от £0 к ¿х все циклы Оц и /^у остаются седловыми, но при 6 ^ ~Ф, <- е {'*>•••» )

..., cJ , то существует значение , <§„ < < 6* , такое что при 6 7система имеет поглощающую область с СА (по крайней мере для £ - ^ ). Другими словам СА возника-

ет в тот момент, когда последняя из устойчивых сепаратрис "граничных" ПЦ пересекается с последней из неустойчивых.

В конкретных задачах можно определить эти граничные ПЦ и оце-

нить область существования СА. Так, например, ] <в> Щ для отображения типа Эно

х^ Ут « у к -

при & ,6 О граничные ПЦ - это неподвижные точки Р2 ^ "

, и при а=Ъ(4-£), их сепаратрисы

уже не пересекаются - существует поглошающая область с СА.

2.5. Возникновение стохастических автоколебаний в диосипатив-*ных системах, близких к гамильтоновым. Численные эксперименты со стандартным отображение и другими модельными гамильтоновыми системами позволили глубоко разобраться в структуре разбиения фазового пространства на траектории и выявить качественные и количественные закономерности колебательных процессов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы (Б.В.Чириков, Ф.М.Израилев, ДД.Шепелянский,- Г.М.Заславский и др.). Для достаточных значений адергии фазовое пространство является "разделенным" (по терминологии авторов этих работ) и представляет собой стохастическое "море" (множество положительной меры, отвечающее стохастическим колебаниям), в которое могут быть вкраплены "островки устойчивости" (множества начальных условий, отвечашцих регулярным движением). Влияние исчезающе малой диссипации ( ~ & ) на такую систему, в первую очередь, выражается в том, что нейтрально устойчивые периодические движения внутри островков устойчивости-становятся асимптотически устойчивыми и притягивают основную "массу" траекторий в фазовом пространстве, за исключением части траекторий в бывшем стохастическом море, на месте которого может возникнуть непритяги-вающее стохастическое множество (метастабильный хаос). Однако при увеличении диссипации могут возникать и СА. Опишем один из возможных механизмов такого возникновения I // ' 1 •

Пусть (б),-., устойчивые (при £О нейтраль-

но устойчивые) периодические движения, лежащие внутри островков устойчивости. Предположим, что при & = &к УО каждоеГк ) исчезает, сливаясь с седловнм периодическим движением ,

при 0< Гк асимптотически устойчиво, и неус-

тойчивая сепаратриса ¿к (5) "соединяет" Ьк с Гк (&) -

отсюда следует, что ¿,к (£) (и его устойчивая сепаратриса) принадлежит границе области притяжения Гц (6) . Пусть Тогда, если для близких к значений 6< 6* в системе существует не притягивающее стохастическое множество, то при возникает поглощающая область, содержащая СА.

Отметим также следующее наблюдение. Если упорядочить периодические движения ^Гц (&) ^ по их аннигиляции:.,. (&) , /л*-! (&)/^исчезает последним при возрастании & ), можно утверждать, что устойчивые сепаратрисы соответствующих сед-ловых ПЦ: I/ 8 {о)) 9 (о)),--- определяют границы

исходного стохастического моря с любой степенью- подробности. Другими словам, в описанной ситуации граница стохастического множества гамильтоновой системы является замыканием множества точек, лежащих на устойчивых сепаратрисах седловых периодических движений, определяемых потенциальной возможностью их аннигиляции с устойчивыми периодическими движениями внутри островков устойчивости прк введении диссипации в систему.

Из сказанного становится ясным, что характеристики хаоса в гамильтоновой и диссипативной системах могут быть близкими друг ДРУгу, а могут и существенно отличаться в зависимости от конкретной ситуации - к "моменту" % * стохастическое множество, оставшееся от стохастического моря, может уяе существенно отличаться от последнего.

Предложенный механизма возникновения СА наблюдался в численном эксперименте о описывающей параметрически возбуждаемый ангармонический осциллятор системой

tf^-èjf-i'i-fcjsni)*-*3'

при значениях ^ = 25,St ~ 2.04. В соответствующей гамильтоно-вой системе (& - О) границу стохастического множества достаточно точно Скак показал эксперимент) определяют устойчивые сепаратрисы седловых периодических движений /., (о) и Lt (#) , каждое из которых дважды пересекает секущую Пуанкаре /SI

(вследствие этого на ней видно четыре островка устойчивости). При увеличении £ от нуля лежащие при S т О внутри островков устойчивости периодические движения и /X становятся притягивающими, и неустойчивые сепаратрисы (¿>J ) соединяют Г; (О о L | (f) > i-^JL «В момент S = 0.042 сливаются

/ /' \ п

И исчезают t ^ и /](£),& при S = 0.052 это же происходит с. ¿г (¿У И

ш . В последний момент возникает СА, дробная часть ляпуновской размерности которого равна & » 0.87, что на 13% отличается от значения cL ^ d. соответствующего гамильтоново-му случаю. Спектры мощности системы при £ - О и é & 0.052 также близки (отличие в средней мощности порядка 10#) и повторяют форму друг друга.

Если у, = 9,6, -Л = 2,04, предложенный механизм возникновения СА, по-прежнему, реализуется, но уже при значении^ = = 1.32, и стохастические свойства в гамальтоновой и диссипативной системах существенно различны.

Разрушение стохастических автоколебаний. Для понимания эволюции системы при изменении управляющих параметров необходимо иметь представление не только о способах возникновения, но и о формах

разрушения стохастических автоколебаний.

2.6. Способы изменения стохастического режима. Существуют следующие возможности разрушения стохастического автоколебания: I). "регуляризация" - возникновение в СА "не странного " аттрактора (ПР, ПЦ или Т* ), к которому стекают все или почти все траектории в поглощающей области за исключением может быть содержащихся в одновременно возникавшем непритягавающеи стохастической множестве и стремящихся к последнему; 2). частичная регуляризация -возникновение в СА также странного "податтрактора'^ но с ослабленными стохастическими свойствами, при переходе к которому характеристики хаоса претерпевают резкое изменение; 3). исчезновение самой поглощающей области - кризис СА. •

Основные механизмы осуществления первой возможности - это сценарий Фейгенбаума и сценарии таб. 2, "прокрученные" в противоположном направлении. Здесь следует отметить, что аттрактор в исходной поглощающей области по-прежнему остается странным, однако, возникновение регулярного "податтрактора" в СА приводит к тому, что наблюдаемые демонстируют регулярное поведение, - исходный СА перестает быть адекватным образом стохастического автоколебания, и им становится "новый" аттрактор.

Если менять параметр в противоположном направлении, то странный податтрактор в объемлющем аттракторе будет претерпевать кризис. Поэтому механизмы реализации второй возможности полностью определяются соответствующими механизмами третьей.

Третья возможность осуществляется в момент кризиса исходного СА. Лля аттракторов, представляющих собой замыкаиие множества точек, лежащих на неустойчивых сепаратрисах седловых ПЦ (именно такие СА встречаются в большинстве конкретных моделей), кризисы можно разбить на две большие группы: I). определяемые бифуркациями

"граничных" ПЦ, 2). связанные с касанием граничных сепаратрис. Второй тип кризисов фактически был описан в п. ЙЛ - спецарий возникновения СА из непритягивающего стохастического множества нужно просмотреть "в противоположном направлении. Для понимания же случая I). полезно сначала рассмотреть аналогичные кризисы V , в области синхронизации движений на нем.

2.7. Кризисы двумерных торов. В области синхронизации, ^ представляет собой замыкание неустойчивых сепаратрис седловых предельных циклов. Приведем примеры отображений, которые можно мыслить как отражения Пуанкаре в окрестности 1Г1 (тору при этом отвечает замкнутая кривая).

I. Динамическая система на цилиндре

где 0<М, (Л'/Г)^ < ¿< / _ ойладает сле.

дующими свойствами. I). При кс<(*~ 6) система имеет 4 неподвижных точки: Се'дла , $1 > устойчивый узел Ь/ и неустойчивый Я . 2). При 4с < £(г-6)у ¿{С<(1-6)г область

- ^ < X. < 'О-б)*^ Ъс' -«Г является поглощающей щ>и малых 5 У О . Аттрактором в ней служит, замкнутая кривая А , состоящая из неустойчивых сепаратрис седла и устойчивого узла

/V

. В границу области притяжения А входит замкнутая инвариантная кривая, состоящая из устойчивых сепаратрис 6*2 и узла £ . 3). При ^£-(*/-£) точки £д>и /V сливаются, образуя седло-узел 0 ; аттрактор переходит в неустойчивую сепаратрису вместе с О . После исчезновения О все точки (за исключением стремящихся к ), ранее остававшиеся в области притяжения А , уходят на бесконечность-кризис.

2. Динамическая система Г"J

» * xl + L cx>s , + a Sin 9ц )nocL ¿V,

где O <.cl.<.í, t} С У O , также обладает пог-

лощавшей областью, аттрактором в которой является замкнутая кривая, образованная неустойчивыми сепаратрисами седла и устойчивым узлом М при (i- ё)г . Но при * (i-сливайся не седло в границе области притяжения и устойчивый узел в аттракторе, как в примере I, а седло в аттракторе и неустойчивый узел в границе его области притяжения - поэтому большинство точек в послебифуркационный момент по-преинеиу стремится к устойчивому узлу и лишь небольшая, часть~ (-i-tcx.)~■ >0 , где ё - надкритичность, уходит на бесконечность. Как видно, при , доля точек, истекающих из области притяжения бывшего аттрактора ничтожно мала.

3. В динамической системе

- Яа + ъ UI - ос *н,вк), íin-CeK-^))mcd Z%,

¿ t f могут осуществляться как уже рассмотрен-

ные типы кризисов, так и кризис связанный с касанием сепаратрис и образованием гетероклинических траекторий¡_ 49 J: сепаратрисы седла S¿ в аттракторе и седла £ в границе области его притяжения при соответствующем изменении параметров начинают пересекаться, и часть точек уходит из области притяжения бывшего аттрактора.

Аналогичные типы кризисов имеют место и для Ck£¿2- J. Отметим лишь, что поскольку в многомерном случае в СА могут входить ПЦ с разной размерностью неустойчивых многообразий, то количество вариантов кризисов увеличивается с ростом размерности фазового

пространства. Заметим также, что в зарубежной литературе кризисы аттракторов характеризуются количественными оценками "утечки" из "почти аттрактора" - однако строгое введение соответствующих величин вызывает серьезные затруднения.

2.8. О бифуркационной картине в целом. Из сказанного следует, что для установления причины кризиса и определения его типа необходимо знат", не только аттрактор, но и границы его области притяжения. Это, в принципе, возможно, если известен сценарий возникновения СА, т.е. все бифуркации, определяющие его возникновение. Например,/" ■?■ 2 ъ системе

й- + *С и * ( 1-у, Со,? Л-Ь) и. + и3 = О

где ) изменения в поведении траек-

торий наблюдались при 7 .. ~7 О (характеристиками движения служили спектр мощности и ляпуновская размерность; кроме того, наблюдались траектории отображения Пуанкаре при различных значениях параметров.) Было установлено, что: I). при / *,

из сгущения траекторий возникают устойчивый и седловой ПЦ (касательная бифуркация); 2). при

* &з реализуется сценарий Фейгенбаума возникновения СА; 3). при £ "¿г, 6 - осуществляется кризис. СА.

Проанализируем переход через 0Л576. РодивииНся при

устойчивый ПЦ (одновременно с седловым ) при теряет

устойчивость, передавая ее ПЦ удвоенного периода - начинается цепочка бифуркаций удвоения периода, в результате которой возникает СА. Его область притяжения ограничивает устойчивая сепаратриса сед-лового цикла . При дальнейшем уменьшении диссипации ^ (вплоть до СА разбухает, последовательно поглощая седловые ПЦ, и гете-

ро- (или, может быть) гомоклинические траектории на их неустойчивых

сепаратрисах, которые возникли при осуществлении сценария Фейген-баума (см. ниже). При Ч ^ ^ У ПЦ ¿1 имеются гомоклиничес-кие траектории, т.е. граница области притяжения СА - очень сложное (фрактальное) множество. При Луу осуществляется кризис СА, в результате которого вновь возникший аттрактор поглощает непри-тягивающее стохастическое множество /3 . Происходит резкое увеличение средней мощности пульсаций и ляпуновской размерности.

Движение системы непосредственно после кризиса- весьма своеобразно - основную часть времени изображающая точка проводит в области, занятой ранее старым аттрактором, попадая лишь изредка в область, занятую ранее 3 , где ввиду сильной неустойчивости траекторий находится малое время. Таким образом, наблюдаемая выглядит, как стохастические колебания небольшой интенсивности, прерываемые "сильно стохастическими" всплесками - перемежаемость "хаос - хаос".

При противоположном изменении параметра (увеличении ^ от < ) осуществляется частичная регуляризация движения, о которой говорилось в п. 2.6.

Размерностные характеристики фрактальных инвариантных множеств в системах с трехмерным фазовым пространством. Переход к отображению Пуанкаре - удобный способ исследования поведения траекторий динамической системы - особенно плодотворен для систем с трехмерным фазовым пространством (в частности, с полутора степенями свободы). Следы фрактального множества на секущей Пуанкаре здесь имеют простейшую канторовскую структуру, во многом сходную со структурой стандартных канторовых множеств на прямой. Это позволяет получить' строгие результаты о размерностных характеристиках подобных множеств,

2.9. Хаусдорфова размерность гомоклинической структуры. Достаточным (а практически и необходимым) критерием странности СА является наличие в нем гомоклинической траектории седлового ПЦ, следовательно, континуального множества седловых траекторий ее окружающих, среди которых счетное множество седловых ПЦ, континуальное - устойчивых по Пуассону и пр. Поэтому в СА вместе с гомоклинической траекторией входят и неустойчивые сепаратрисы перечисленных движений, и хаусдорфова размерность упомянутого множества может служить оценкой снизу размерности СА.

Пусть Л и . < Л < У < /Г . мультипликаторы неподвижной точки отображения Пуанкаре, отвечающей седловому ПЦ, 1€& -6 - окрестность гомоклинической траектории этого ПЦ, и множество неустойчивых сепаратрис всех траекторий, целиком содержащих в 1С6 (гомоклинической структуры) в динамической системе с трехмерным фазовым пространством. Обозначим через ^^

хаусдорфову размерность множества . Как установлено в /Г имеет место оценка

где =■ Р * £(&) - единственные корни уравнений

где С^ , - некоторые положительные константы. (Аналогично оценивается размерность множества устойчивых сепаратрис гомоклинической структуры, лишь в приведенных формулах нужно ¡Г заменить на /\ ).

Следствием полученного результата является тот факт, что при скт.н асимптотически ведет себя как функция

Ш-{и -Д щи % ¿я г))/^

На основании приведенных формул и формулы Мельникова был разработан алгоритм установления яаусдорфовоя размерности

"стохастического слоя" в окрестности гомоюшнической траектории, в предположении справедливости гипотезы Каплана-Иорка (о совпадении хаусдорфовой и ляпуновской размерностей). Алгоритм был применен к системе, описываемой периодически возмущенным уравнением типа Релея

* - ^- сГгг'А^

при 0,4 , А'/РР . при этом были получены оценки стохастического множества не только в той (довольно широкой) области параметров р ) , где уравнение имеет СА, но и вне ее.

2.10. Оценка хаусдорфовой размерности СА, возникаетего при касательной бифуркации. Математический аппарат для нахождения хаусдорфовой размерности, основы которого были разработаны в [ & ] , был существенно развит в работах ученика автора - М.А.Шерешевского. Эти результаты позволили оценить асимптотику хаусдорфовой размерности возникающего в результате касательной бифуркации СА. Согласно таб. % здесь имеется две основные возможности возникновения СА: I). в замыкании неустойчивой сепаратрисы седло-узлового ПЦ

нет неблуждающих траекторий, кроме него самого; 2). содержит

другие седловые ПЦ или ПР.

Обратимся сначала к первой из них. Образованный У/^1 тор является негладким - гофрированным. "Степень" этой гофрированности может быть математически описана некоторым однопараметрическим семейством отображений а^^е^,^] отрезка в себя, таким, что каждому значению параметра оС отвечает последовательность

^ ^ значений параметра надкритичности, при которых отображение Пуанкаре в окрестности разрушающегося тора полностью опреде-

дяется отображением . (Подробнее см./ ¿8 J). Здесь можно лишь отметить, что отображение Пуанкаре двумерной области в себя по одной из координат сильно сжимающее, другая же координата отображается с помощью , возмущенного членами порядка . Имеет место оценка

где ho - отличный от единицы мультипликатор седло-узлового ПЦ R-U? - топологическая энтропия ¿g^ , а через ^s*

обозначен СА при значении S ц параметра надкритичности & . Перебирая различные значения o¿ , мы будем получать, вообще говоря, различные асимптотики в правой части этого неравенства. При некоторых oí неравенство перейдет в равенство - это именно те 6¿ , для которых c£¿ структурно устойчивое отображение отрезка. Отсюда, в частности, следует, что если имеется хотя бы два таких значения оС , при которых топологические энтропии различны, то размерность d¿mH Мб) не является дифференцируемой по

и

функцией в точке £» О .

Во втором случае, предположим, что число седловых ПЦ, содержащихся в замыкании W¿ , не меньше <р * i . Тогда для хаус-дорфовой размерности возникающего при 8 >0 аттрактора Ag справедлива оценка

где А» , как и выше, отличный от I мультипликатор L . Рождающийся аттрактор здесь обладает более сильными стохастическими свойствами, чем в первом случае.

дABA Ш. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ-И БЕСИОНЕЧНОЖРНИХ СИСТЕМАХ.

Сие наши возникновения и эволюции многомерных аттракторов.

3.1, Два способа возникновения многомерных аттракторов. Чтобы в зависящей от параметров системе возник СА сразу высокой размерности, необходимо "накопление" неустойчивости при докритическом изменении параметра. Многомерный СА не может сразу возникнуть в той области фазового пространства, где до этого не было бифуркаций, не существовало седловых' траекторий с неустойчивыми сепаратрисами. Отсюда ясно, что имеются две следующие логические возможности возникновения многомерных СА:

I). В докритической ситуации существует непритягивающее стохастическое множество и маломерный аттрактор - устойчивое ПР, устойчивый ПЦ или Л ; в момент бифуркации маломерный аттрактор претерпевает кризис, и бывшее непритягивающим при докритических значениях параметра высоко размерное множество входит в состав родившегося сразу многомерным СА.

Именно такой сценарий реализуется fjj Jb дискретной модели уравнения Гинзбурга-Ландау в области слабых связей

a^-aj-d* Cfi>/*.jfaj + £(<i'it)(cLj.f * a.Jtf -Z*;),

где j'4r.., У, A.J 3 GLj^ , t JZd > d ; а управляющий параметр 6. возрастает от нуля. Эта система имеет решения в виде предельных циклов, описывающих стационарные бегущие волны вида

a.j +cjejt л.*,-, ^

й>л = -р * ННр *е.) Siníe4z , MJ - sin1 , ■

устойчивость которых при О < 6. & i определяется условием - 6п.^~г(Г71С><зСур)> • По меРе Увеличения О. Эти

предельные циклы через бифуркацию Андронова-Хопфа теряют устойчивость, передавая ее рождающимся Т'2 • которые, в случае У»/ также, в свою очередь, быстро теряют устойчивость. В результате в фазовом пространстве системы будет существовать непритягивающее стохастическое множество, содераащее седловые ПЦ и Т с неустойчивыми сепаратрисами высокой размерности Сот 2-х до /К ). При €. 7* 0.125 скачком возникает СА размерности порядка № (значения остальных параметров при этом: j3 — С. - I.7I, А/ = S; 10).

¿). Другая возмокность заключается в том, что при изменении параметра происходит постепенная непрерывная перестройка постоянно существующего аттрактора, при которой его размерность монотонно увеличивается. Здесь следует различать два случая: а), при изменении параметра в аттракторе возникают траектории с большим числом положительных ляпуновских показателей, чем ранее; б), неустой-"ивость траекторий в аттракторе "усиливается", но число неустойчивых направлений (и, следовательно, число положительных ляпуновских показателей) не растет.

Случая (а).) осуществляется в той ке рассмотренной системе, но при значениях параметра £ , близких к 7*1 0.7. При уменьшении <? от больших к меньшим очередной ляпуновскиП показатель í/is) плавно переходит через нуль в области полони тельных значения, что сопровождается резким увеличением ляпуновскоЯ размерности: при в- 0.733 размерность Мпь^ ($) 4.12, а при£- 0.7 уже (§) = 4.77.

Интересно отметить, что встречаются ситуации, когда нарастает число нулевых показателей, т.е. существует многомерный или даже бесконечномерный тор. Такие случаи характерны для сносовых (пучхо-

вых) систем. Так, в системе

clj \г ctj + rclj-i¡ J= Д/ *A.txpití¿,

С clí - комплексные амплитуды взаимодействующих структур) в широкой области параметров, не зависящей от У , существует М - мерный тор/" JCt.e. в бесконечной цепочке таких уравнений существует бесконечномерный тор). Любопытно, что, тем самым, можно говорить о правомерности (в некотором смысле) гипотезы'Ландау, в которой математическим образом турбулентности предлагается считать многомерный тор с квазипериодической обмоткой. (Правда, в приведенном примере, пока не установлена структура движений на торе).

Случая (б).) - нарастанйе размерности аттрактора, не сопровождаемое возникновением в нем неустойчивых направлений - осуществляется и в маломерных системах (см. часть П), и его реализация в многомерных системах происходит по сценариям, фактически подобным рассмотренным в главе I.

3.2. О внутренних бифуркациях странных аттракторов. Любые бифуркации предельных циклов и других траекторий в СА, не сказывающиеся на факте его существования, являются его внутренними бифуркациями [ ¿¿ J. Если в результате такой бифуркации в аттракторе возникает устойчивый предельный цикл и изображающая точка попадает в его окрестность, то наблюдатель увидит переход от режима стохастических колебаний к периодическому режиму перед ним, как бы в обратную сторону, будут прокручиваться сценарии возникновения СА. Но может случиться так, что стохастический режим сменяется стохастическим же, но с другими свойствами - и в первую очередь, с другой размерностью аттрактора. Естественно ожидать, что нарастание размерности сопровождается (или даже обусловлено) появлением в странном аттракторе траекторий с большим числом неустойчивых направлений,

или что то же, с большим числом положительных ляпуновских показателей.

Можно предположить, (основываясь на наиболее часто встречающихся сценариях возникновения странного аттрактора), что основные механизмы увеличения размерности аттрактора - это бесконечная це-. почка удвоений седлового цикла в аттракторе, и рождение из седло-вого предельного цикла седлового тора и его разрушение. Точнее говоря, можно установить справедливость следующих утверждений (через в обозначен бифуркационный параметр):

1. Пусть ¿о (&) - седловой предельный цикл, содержащийся

в аттракторе А4 , В , причем: I). прия-{ 64 £с

цикл имеет к мультипликаторов, по модулю больших I; 2). при ( % + 1 )-й мультипликатор цикла становится равным (-1), и возникает предельный цикл удвоенного периода ¿^ (6) ; э). при£ = , ( к* 1 )-й мультипликатор цикла 1>{ (О становится равным (-1), и уке ¿^ (е) претерпевает бифуркацию удвоения периода; при бифуркацию удвоения периода испытывает цикл />• (£) , получившийся при ^ -ом удвоении; 4). при^*-><=«> <С ^ Тогда при £ > аттрактор Ае содержит континуальное множество седловнх траекторий, размерность неустойчивой сепаратрисы каждой из которых равна & + 2. (соответственно, число положительных ляпуновских показателей для каждой из этих траекторий равно

4 -Ц ).

2. Пусть (¿) - седловой предельны,! цикл, содержащийся э аттракторе , а-й € £ £ , причем: I). пул си с £ цикл Ьс (О имеет А мультипликаторов, по модулю больших единицы; 2). при & - <£„ ( & ■> 1 )-п мультипликатор цикла ¿„ (в) становится равным б'"' , ^/г.)^, 7 11 ПРИ 7 осуществляется бифуркация рогдения (седлового) двумерного тора Тг ;

3). при 6, ёг~], 4 ¿г < ^ осуществляется любой

из сценариев разрушения двумерного тора ¿^Я22] и возникновение на его месте континуального множества траекторий 3^ : а), возникновение на торе устойчивого (на % ) цикла, претерпевающего .затем бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода - здесь фактически имеет уже место утверждение I; либо б), после возникновения на ^ устойчивого / & и неустойчивого ¿~ предельных циклов, потеря тором гладкости, а затем слияние на негладком торе циклов ¿1 и /г в один, и его исчезновение;

ГГ7 I * / *

либо в), после возникновения на торе циклов и рож-

дение гомоклинической траектории цикла и связанного сней инвариантного предельного множества. „Тогда размерность неустойчивой сепаратрисы траекторий в будет к* 2. (соответственно, число положительных ляпуновских'показателей у этих траекторий - ).

Образование континуального множества траекторий в аттракторе с размерностями неустойчивых сепаратрис, большими, чем у других траекторий, может уже сказаться на наблюдаемых, т.е. - стать "физически ощутимым".

Анализ спектра мощности сигнала в описанной в п.^-У системе до и после прохождения А3 через нуль (в момент <£ — 0.7) показывает, что при €< 0.7 в спектре возникают диснретные линии лишь на половинных частотах относительно основных дискретных составляющих сигнала при £ У 0.7 (при £ > 0.7 наиболее заметна дискретная составляющая сигнала на сд = при £ < 0.7 появляется дискретная составляющая приблизительно той же амплитуды на частоте о) = 0.7). Это позволяет предположить, что при 6. = 0.7 осуществляется внутренняя бифуркация СА)описанная в утверждении I. И.С.Араисоном установлено, что в этой же системе осуществляются также и механизмы увеличения размерности СА, указанные в утверждении 2 (но конечно, при других значениях параметров).

В экспериментальной работе, посвященной исследованию стохастической динамики СВЧ автогенератора с ферритовым резонатором (С.Х.Арансон, Н.Ф.Рульков, 1988), также был обнаружен сце-

нарий увеличения размерности, описанный в утверждении I: при изменении параметра Н (магнитного поля) экспериментально наблюдалась цепочка удвоений седловых циклов и образование седлового множества (похожего на аттрактор Фейгенбаума) внутри уже существующего СА. Седловне циклы внутри СА удавалось наблюдать из-за того, что их больший единицы мультипликатор очень незначительно отличался от нее^и изображающая точка проводила в окрестности ПЦ большое время.

3.3. "Ляпуновские векторы". Прохождение ляпуновского показателя через нуль можно интерпретировать как возбуждение неких коллективных возбуждений - под задачи. Поясним это на примере кусочно-линейной системы с дискретным временем

= (а- (г/^/О-г-г, (н.)))1ти£

где

-f

О подобных отображениях как математических моделях радиофизических систем, речь пойдет ниже. Здесь же отметим, что при £■=<? все ляпуновские показатели совпадают с числом Сл- л- 7 О - система максимально хаотична. При é 7 О ляпуновские показатели Ag = = ~¿£ Cos Д777 ¡j /V , а приведенная ляпуновская

размерность гct с точностью до членов более высокого

порядка малости относительно £ и определяется из уравнения

Sin %tj

О при a¿.<fi-£, ¿(6) Ца - ¿е) - ПР" а ~¿ £

Отсюда вытекает, что зависимость d. от "коэффициента диффузии" носит пороговый характер - cL начинает уменьшаться при достияенин

£ значения • . Чтобы прояснить это, найдем собственные

векторы дифференциала отображения, порождающего приведенную в начале раздела ДС. Собственный вектор Vs У^ )

отвечающий определяется по формуле &L/t ***•

S>t К- ... j /У . Эти векторы (названные ТС.Канекой, ляпуновскими) можно считать иодами задачи. Уменьшение размерности при увеличении & свидетельствуют о ток, что некоторые моды (отвечающие ставшим отрицательными ) затухают, " система может быть эффективно описана меньшим числом переменных.

Устойчивость стохастических автоколебаний в цепочечных моделях неравновесных сред. Экспериментальная картина движения неравновесной среды такова, что в определенной области изменения над-критнчности (вкачиваемой в систему энергии) среда имеет тенденцию организовываться в виде локализованных пространственных образований - структур. Её движение при этом можно трактовать как взаимодействие большого количества подсистем, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы и описывает движение индивидуальной структуры. Математической моделью здесь служит решеточная система с непрерывным: X. =J(£.) + fFfo. , или с дискретным Xji/Ltfi^XjfaИзменами; здесь J - индекс, вообще говоря, векторный, нумерующий структуры, f - параметр связи. 1С такому яе виду сводятся системы описывающие целяй ряд технических (и радиотехнических сред. С точки зрения качественной теории стохастических автоколебаний большую накность имеет задача об устойчивости пространственно однородных стохастических движений в подобных системах.

3.4. Устойчивость пространственно однородного состояния в цепочке одномерных отображений. Одной из простейших Феноменологических моделей сдвиговых точений служит цепочка отображений прямой

= /(X; (41 'Г^' М, */-/ ("*)

где /г . - дискретное время, = О, I, 2, ... - номер

элемента, £ , 1/> - дифференцируемые функции, Я>(х.,х.) о • ^ - параметр связи. Относительно первого элемента (у =£>) движение предполагается заданным: -^• Очевидно, если начальные условия для всех взять одинаковыми то М - С>0 - пространственно однородное решение.

По аиду линеаризованной системы можно выделить сильно дисси-пативную связь, т.е. такую что

Простейшим примером диссипативно связанных отображения является указанная система с ) ~

С физической точки зрения интересна устойчивость двух типов -по отношению к временным возмущениям, и к пространственным - по номеру ^ ■ . Под устойчивостью 1-го типа естественно понимать одновременное затухание начальных возмущений рассматриваемого решения. Точнее, решение Оу (п.) называется однородно устойчивым[¿9,33 ], если для любого ¿> О существуют £~>0 и Т > О , не зависящие от I , такие что при выполнении неравенства | • (0,)|<<5"; /ь у 7 имеет место: (и)\ < £ для любого / ; если при этомйт-\{п)=0 то Х^ (п) называется однородно асимптотически устойчивым (здесь Ы> ^ возмущение решения Х-* (п) ).

Может однако-случиться (судя по численным экспериментам), чго хотя возмущения для каждого ^ и затухают, но время затухания су-

щественно зависит от номера ^ , возрастая вместе с ним. Такую устойчивость можно назвать устойчивостью по отношению к сносовнм возмущениям. Именно 33 ] , решение ОС.* (п.) называется устойчивым по отношению к сносовым возмущениям, если для любого

£ >0 существует &>0 такое, что при / ^ Со) ^ для лю-

бого ^ выполнено неравенство^'^ I (п-)\ $ £ ; если при этом ^'«г ^ . (*■)■=■ о , то Х*(п.) называется сносово асимптотически устойчивым.

Условия однородной и сносовой устойчивостей для пространственно однородного решения ) указанной задачи естественно оказались различными. Пусть решение Х0(Л-) отвечает гиперболической полу траектории отображения У , т.е. /{ {*+(<))

при IV ?//(£) для любого й>0 ; (в ряде случаев А просто совпадает о ляпуновским характеристическим показателем). Тогда решение £ ^ является:

а), однородно асимптотически устойчивым, если выполнено неравенство

б), сносово асимптотически устойчивым при выполнении условий:

где Ь - пир лир - Ум "(х, Ш +

7 О

Отсюда следует, что однородно устойчивое решение обладает отрицательным ляпуновским показателем. Это означает, что (ц,) стремится к устойчивой периодической точке, следовательно, возможно возмущать не только начальные и но и краевой условия. Возмущения краевого условия может приводить к тому, что пространственно однородный

периодический по времени режим может устанавливаться далеко от края, после осуществления т.н. пространственных бифуркаций.

Напротив, сносово устойчивым может быть пространственно однородное решение со сколь угодно большим положительным ляпуновскии показателем Л , лишь ( нужно выбирать достаточно малым.

Численные эксперименты с $■(%.)= О---хг убедительно подтвердили эти теоретические выводы. В частности, было установлено, что при в области, определяемой неравенствами п. б),

наблюдаются неравномерно по ^ устойчивые хаотические режимы. При этой следует отметить, что между условиями сносовой устойчивости по лине.-лому приблинению (первое неравенство в б).) и достаточными условиями (второе неравенство) существует довольно большой зазор: при у = 0.6, Л = 0.357 еще имеется сносовая устойчивость, а при = ОА её уже нет, в то время как А .

Ранее на это обстоятельство не обращалось внимания - считалось, что условием сносовой устойчивости является первое неравенство в б).

Другие типы связей в цепочке отображений могут приводить к иным результатам. Так', например, "квазиинерциальная" связь -

характерна тем, что для установления устойчивости необходимо ввести "обобщенный"ляпуновский показатель / 29 J

км-Е^ -к % г*I{'(*,(*>)-¡г\.

н-»0** кТо В предположении, что

П [ъгм)'Г\< (Мг)М)

К'ПШ

(некий аналог гиперболичности) можно показать, что пространственно однородное решение однородно устойчиво, если

А(ГХо « \(г)< .

3.5. Обпрте сносовне системы. В предыдущем пункте динамика индивидуальной подсистемы предполагалась описываемой отображением прямой, что конечно сильно сужает класс исследуемых моделей. Здесь мы рассмотрим случай, когда динамика каждой парциальной подсистемы описывается отображением р -мерного пространства /¡¡. . Будем рассматривать системы вида [ 30 J

^ (ПН) = (п)) мя к ,

¿¿. К

*

где <¿ s > ¿s = 1 • В j~ 30 ] . где такие системы наз-

ваны сносовымй, разработана подробная их теория. Кратко перечислим её основные результаты.

Пространственно-однородные решения. Пусть (п.) J - пространственно-однородное решение системы. Предположим, что равномерно гиперболическая траектория системы ¿¿(и+1) -j(^l^) с параметрами С и А , т.е. в каждой точке С1Л (л) существует разложение пространства Щ. в прямую сумму устойчивого и неустойчивого пространств ffl^-F О Ей , , , так что для любого---------0 " Г

вектора ^ £ ( 0 & Ря \ выполняется оценка I и41ч> \ (, ии,,(о> J

с|не зависящими от П-, т , константами с 7 о , 0<А< i . в частности £ (или /-а) может вырождаться в точку, и мы имеет дело не с седловой, а с полностью неустойчивой (устойчивой) траекторией Если выполнены условия:

П II</(/*,

л e

где некоторые неотрицательные величины, оценивающие нормы

вторых и третьих производных вектор-функций / и t/ и их поведение на бесконечности f 30 ] .

где С1 * тлх. [С, К] ? Л = ^^ [^/J' = Тогда:

(А). Траектория = (я-) остается гиперболической (точ-

нее, слабо гиперболической ¿"30 J ) и для бесконечно мерной системы с параметрами С1 , ^.

(Б). Траектория Kj(f-)^ <$1Щ ("■) условно устойчива по отношению к сносовым возмущениям, т.е. существуют проходящие через неё (в бесконечно мерном пространстве) локально устойчивое и локально неустойчивое многообразия. В частности, при К=0 -

сносово асимптотически устойчива.

Заметим, что условие (1>) налагает ограничение на поведение вектор-функций / и (f на бесконечности; если траектория и её возмущения содержатся в компактной части пространства, то оно излишне.

Важные частные случаи. I). Пусть У * J- . Тогда условие (а).) будет выполнено, если ( f) a- s JUi 1 , тли л* Sufi Ц ///

условие (б).), если

I111I ¡1 Л <*>' * VIIМ < -

а условие (в) - если СЬ ( '^Д-// > ^ ~ ¿4 ' *cL^

2). Пусть У-О . Тогда условие (б) тривиально выполняется, если ( >и условие(в) также выполнено, если )

достаточно малы.

3). Дискретным аналогом уравнения и"¿^и^ + ЛШ-хх *

является система

¿¿у (лч) = (*)) <Г(иу- (а-) -Ш) *(к) -2и<!^

Если « <Г£(и.)) - С? -функция, опреде-

ленная при и. О и удовлетворяющая условию ¿(о) (О) = О, ЛСи-) • сспН , то при^>пространственно-однородное статическое решение ^¿-0 будет условно устойчивым (в бесконечно мерном функциональном пространстве его неустойчивая сепаратриса одномерна, а устойчивая - бесконечномерна) по отношению к сносовым возмущениям при выполнении условий

1 ■ '/с+П

Аттракторы. Предыдущие результаты относились к индивидуальным траекториям. Аналогичные результаты справедливы и относительно континуальных инвариантных множеств - аттракторов. Именно, пусть имеет гиперболический (состоящий из седловых траектория о размерностью с1 неустойчивых сепаратрис) аттрактор. Тогда при выполнении условий, аналогичных условиям (а),(б) и О,(см. [ 30 исходная бесконечно-мерная система также имеет гиперболический аттрактор состоящий из неустойчивых слоев размерности. Более того, движение на этом конечно-мерном аттракторе такое же (с точностью до дифференцируемых замен переменных), как на аттракторе в конеч-

но-мерной системе (п. ■><) (л)), О 4у с {< . Это тем

более интересно, что при достаточно малых ф* система имеет бесконечно-мерный аттрактор (в виде бесконечного декартова произведения экземпляров аттрактора в системе и(к+1)

Нечувствительность к малой диффузии. Для системы: Ц. (ЯН) = у (ц. (к)) , Оь к, и^(^) ^-(М) -

- г С тм)- I А £

где ¿_ В = <9 ОС С £ , при достаточно малых 6 все результаты п. 3.5. остаются справедливыми.

З.б. Стохастическая синхронизация. В тех случаях, когда пространственно-однородные хаотические движения устойчивы, естественно ожидать, что и при малых отклонениях парциальных подсистем друг от друга будет существовать устойчивое движение, мало отличающееся от пространственно-однородного, т.е. близкие по параметрам парциальные системы при соединении их диссипативной связью должны синхронизоваться. Эта проблема была исследована в[<6, па примере диссипативно-связанных параметрически возбундаемых нелинейных осцилляторов. Изучалась система

где ^ - линейная диссипативная связь - могла иметь вид:

Было установлено, что если - £¿¡4 £ « ^ _ ц) ¡¿£¿<6)^ , II// ^ , то при >0 существует крити-

ческое значение £ , такое что при ^ ? ^ для проекций^^,

решения на парциальные подпространства справедливы оценки

I JC; (é) - ; Ù^ / ^ (i) - У Mi ,

Z^l jiW -};(*)! 4 X*

для любых ^ и J . (Если все парциальные подсистемы совпадают, то решения стремятся к пространственно-однородному).

Аналоговый эксперимент показал, что значение ^ не очень велико, даже когда парциальные подсистемы и аттракторы в них при отсутствии связи ( jf- О) существенно различаются. Был наблюден аффект, аналогичный явлению синхронизации периодических и квазипериодических колебаний с тем отличием, что синхронизованные автоколебания являлись стохастическим!. Для его объяснения предпа-лагается следующее понятие стохастической синхронизации, для простоты формулируемое для двух подсистем. Пусть

¿^FiCXi) , 2l = /Ï(«J

подсистемы, описывающие различные автоколебания, и пусть Ащ соответствующие аттракторы в каждой из этих подсистем. Рассмотрим систему

if = Ft Ы * г Ъ 1ч ), À*Fj*t)+Ai ( Ъ,х*>

Будем говорить, что для значений параметра оаязи в интервале fjlff'C ^ осуществляется стохастическая синхронизация, если для каждого из этих значений )f существует аттрактор А ^ , такой что: его образы (Ар) и (Af) на парциальные подпространства могут быть отображены один в другой с помощью дифференцируемого или липшицируемого взаимно однозначного отоСраже-

ния £ : , причем для каждой траектории

{^Х < х%)"} Б аттракторе выполнено условие^^//^, ?*)])-

= % (Т* • ПРИЧеМ

(или, в более общей ситуаций, ^/р ). Функцияиграет роль разности фаз в момент времени . Эксперимент показал, что непериодическая наблюдаемая со средним, по-видимому равным нулю. Другими слова™ наблюдаемые в каждой парциальной подсистеме почти одинаковы, но движение изображающей точки "по графику" для наблюдаемой совпадает лишь в среднем.

Стохастические автоколебания в системах, моделируемых разрывными отображениями. Наряду с задачами из физики и приложений (в частности, радиотехники), в которых разрывность возникает из-за принятого в ряде случаев моделирования нелинейных функций кусочно линейными, к разрывным отображениям приводит также переход к отображению Пуанкаре.

3.7. О размерности аттракторов в цепочке релаксационных генераторов. Динамика импульсов в нейронных цепях описывается [и] цепочками отображений вида

хг] (пн)-( 1-е) + ^М

г^хри) при £* при

т.е. динамика парциального генератора описывается разрывным отображением отрезка с одной точкой разрыва; О- связаны они нелинейной функцией, но последующий лишь с предыдущим, в/ /3 ^было установлено, что если /¿й \ I• т0

<&>пЛ(А,)=/г, ' л. А^и^Н >

где А п. - аттрактор в первых А- уравнениях. Был проведен численный эксперимент, показавший наличие режима линейного нарастания "хаоса" вдоль цепочки в довольно широкой области значении параметров. Однако был наблюден и режим взаимной синхронизации генераторов при значениях параметров, выбранных в области устойчивости индивидуального генератора и определенном выборе параметра связи.

3.8. Аттракторы лоренцевского типа. В I ] был введен класс отображения, для которых существуют аттракторы лоренцевско-го типа. В частности, к этому классу относятся, например, отображения вида

эу м = (Ы, уЦг)> ,

где г- С; + а!-/^' ? ^ . -/¿Л 1-1

где , ^ терпит разрыв при У = О , знак " + " относится к положительным значениям у , а " - " - к отрицательным. Например,

-А)$$П.у , где ОСЛС1

0* Ч < ^ , \ >£> +*<\

Было установлено, что для этого класса отображений система имеет устойчивое слоение, вдоль слоев которого возмущения экспоненциально затухают, и изображающая точка стремится к аттрактору лоренцев-ского типа. Движение на самом аттракторе может быть описано с помощью символической динамики (теории нидингов), откуда следует справедливость для таких аттракторов теоремы о спектральном разло-

жении Смейла. Для этого класса.аттракторов справедливы все результаты зргодическоЯ теории, имеющие место для гиперболических аттракторов, а такие может быть построена мера Бунимовича-Синая и установлена оценка

где с1 £ - поточечная размерность аттрактора, X - положительный ляпуновский показатель, а/1^ (^т) - наибольший (наименьший) отрицательный ляпуновский показатель. В частности, при М = неравенство превращается в равенство (как на двумерной поверхности в условиях теоремы Лай-Санг-Янг).

3.9. Движения в цепочках импульсных систем фазовой синхронизации. (СФС). Для импульсных СФС, каждая из которых описывается уравнением: ^ (п-и) = (я)'(^Р(^ р , где ^ - Цик-

лическая переменная, а р - кусочно линейная - периодическая функция, имеющая на интервале/-%, ) вид , при объединении их в цепочки и решетки с помощью связей различного типа может осуществляться самое разное динамическое поведение В силу физического происхождения задачи здесь наиболее интересны условия глобальной асимптотической устойчивости пространственно однородного статического решения (режим синхронизации), и режимы на границе области устойчивости. Приведем-результаты для систем СФС, объединенных в кольцо, т.е. рассмотрим систему

ф М = % (н) 'Л Р(%, (к)) -и М) -

Таблица 3. Волновые движения в периодически соединенной цепочке

систем СФС.

Волновые движения: Уравнение волны, условия существования Условие устойчивости

Пространственно однородные режимы.

Л""»' "Л" 1 ' '■ Пространственно . неоднородные режимы С = 0

Стационарные волны < С - I * 2ЪСм< г*!. -¡- /. \ А/ ' Г АЛ. со}

Стационарные волнь С > 2

1( Модулированные' ВОЛНЫ „1.-77 -ц-✓

Здесь 3„& такое, что - ближайшее справа от

если V- ¿/уг -у о , и слева, если 1< О

- 62 -

с периодическими граничными условиями ¿^ ^ (п.) = ^ ¡к) . Условия синхронизации в системе выглядят следующим образом

где а. - норма дифференциала преобразования (в /V - мерном пространстве), которую можно оценить следующим образом

Отсюда следует, что при малья значениях ¡1-и/,г|, /сГ/(/

всегда найдется , при котором режим синхронизации устойчив. Его раг эушение приводит к возникновению волновых движении самого различного типа, представленных в следующей таблице Л 3.

При выходе из области локально!! устойчивости режима синхронизации, переходе через граничные кривые, отвечающие волновым движениям, возникают различные стохастические автоколебания, аттракторы которых могут иметь произвольную ляпуновскую размерность от I до /V . Изменение её при варьировании параметров сопровождается внутренними бифуркациями, описанными выше.

ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

В диссертационной работе построены основы качественной теории стохастических автоколебаний, базирующееся на следующих результатах.

I. Выработаны строгие понятия, в том числе: размерность наблюдаемой, кризисы и внутренние бифуркации аттракторов, стохастическая синхронизация. Выявлены п исследованы математические образы феноменов, связанных со стохастическими автоколебания.®: сценарии возникновения стохастических автоколебаний, в том числе: через кризисы поло;пенил равновесия предельных циклов- в частности, касательно:; бифуркации, приводящее к деремелазиости; через разрушение двухчастотных хжазЕперцодочеетасс агаоколеб&шй - мехшшзмн

потери гладкости, разрушения тора и возникновения странного аттрактора; на базе непритягавающего стохастического множества; механизм возникновения стохастических автоколебаний в близких к га-мильтоновым системах с полутора степенями свободы.

2. Исследованы сценарии разрушения стохастических автоколебаний и механизмы увеличения размерности, связанные с внутренними бифуркациями странных аттракторов - увеличение размерности СА в результате: бесконечной цепочки удвоений седдовых предельных цик-

V

лов в СА; рождения потери гладкости и разрушения седлового тора в СА.

3. Разработаны методы исследования систем со стохастическими автоколебаниями, в том числе: методы расчёта и оценки хаусдорфо-вой и ляпуновской-размерностёй стохастических множеств; методы установления условий существования стохастических автоколебаний

в цепочках л решётках - условии устойчивости соответствующих решений в множёстЕах диссипативно связанных парциальных подсистем с простой динамикой (регулярной или отвечающей малоразмерному СА); методы установления условий существования многомерных (в сносовых системах - и бесконечномерных) торов.

4. Разработанная качественная теория использована при исследовании конкретных радиофизических систем: простейшего параметра-• ческого генератора, для которого найдены основные бифуркации, при-водядае к возникновению и эволюции стохастических автоколебаний при изменении коэффициента затухания - в частности, обнаружен переход "хаос-хаос", объясныемый кризисом СА и йозникновением нового СА большей размерности; нелинейного автогенератора, описываемого уравнением типа Релея с периодической внешне;! силой, для которого установлены оценки и асимптотические формулы размерности гомоклинической структуры; неавтономных систем с полутора степе-

нями свободы (типа неавтономного генератора Бан-дер-Поля-Дюффинга), для которых наедены оценки и асимптотические формулы размерности СА, возникающего при касательной бифуркации. Исследованы стохастические автоколебания описываемые аттракторами лоренцевокого типа-ат-тракторами разрывных отображений Я -мерного куба, обобщающими на многомерный случаи отображение Пуанкаре в известной системе Лоренца.

Исследованы цепочечные модели неравновесных сред, в том числе:

5. Найдены условия устойчивости регулярных и хаотических пространственно однородных движений в сносових (пучковых) системах. Определены условия существования конечномерных аттракторов в таких системах.

Исследованы стохастические свойства движений в цепочечной модели активной (нейронной сети).

6. Обнаружено и описано явление стохастической синхронизации на примере цепочки связанных параметрических генераторов.

7. Для дискретных цепей фаэопо'й синхронизации найдены условия глобальной асимптотической устойчивости пространственно однородного статического решения. Исследованы движения на границе области устойчивости пространственно однородного решения - волны различных типов - и доказана их устойчивость.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Афраймович B.C. Некоторые свойства топологической энтропии. // Труды У Междунар. конф. по нелин. колебаниям/Киев.-Наукова думка. - 1970. - т. 2. - С. 62-67.

2. Афраймовнч B.C. О характере бифуркационных поверхностей, отде- : ляющих системы Морса-Смейла'от систем со счетным множеством периодических движений.//Тез. докл. 3-й Всесоюзной конф. по качеств. теории диф. ур-й/Самарканд. - 1973. - С, 5.

3. Афраймович B.C., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узе л.//Доклады АН СССР'. - 1974. - Т. 219, JE 3. - С. I28I-I285.

4. Афраймович B.C. Принцип кольца и квазиаттракторы.//Тез. докл. 9-й междунар. конференции по нелин. колебаниям/Киев.-1981.-С.7.

5. Афраймович B.C., Шильников 1.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность.//Методы качеств, теории диф. ур-й: Межвуз. темат. сб. н. тр./Под ред. Е.АЛеонтович-Андроно-вой. - Горьк. ун-т. - Горький. - 1983. - С. 3-26.

6. Афраймович B.C. Краткий очерк качественной теории динамических систем.//Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, кн. 2./Саратов. - 1983. - С. 75-89.

7. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и фазовые переходы в стохастическом поведении неавтономного ангармонического осциллятора.//Письма в 1ЭТФ, - 1983. Т. 23,

И 2. - С. 64-67.

8. Афраймович B.C.., Песин Я.Б. Оценка хаусдорфовой размерности базисного множества в окрестности гомоклинической траектории.//Успехи матем. наук. - 1984. - Т. 39, J 2, - 0^135-136.

9. Афраймович B.C. Принцип кольца и квазиаттракторы.//Труды 9-И междунар. конференции по нелин. колебаниям./Киев. - Наукова думка. - 1984. - Т.2. - С. 34-36.

' VckUuux Tui¿~á*t Pxeu.«t* ¿*-

H-uacfL - m. ~ К 3. ■ «**

11. Афраймович B.C., Рабинович И.И., Угодников А.Д. 0 рождении странного ьттрактора в системах, близких к гашшьтоновым.//Радиофизика. - 1984. - Т. 27. - С. 1346-1349.

12. Афраймович B.C. О ляпуновской размерности предельных множеств кусочно-липейных отображений.//Дифференциальные уравнения. -1985. - Т. 27, ЛИ. - С. 2014-2015.

13. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Сбитнев В.И. 0 размерности аттракторов^йепочке связанных генераторов.//Письма в ЕТФ. -

1985. - Т. II, £ 6. - С. 338-342.

14. Афраймович B.C. Странные аттракторы и квазиаттракторы.//Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике, Ч. 2./Под. ред. Р.З.Сагдеева. - Киев.-Hay кова думка.-1985.-С. 21-24.

15. Афраймович B.C., Еелезняк A.JI. 0 размерности аттракторов в периодически возмущенном уравнении типа Ралея.//Труды Всесоюзной школы-семинара "Матем. моделирование в науке и технике"./Пермь.-

1986. - С. 22-23.

16. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович И.и. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах.//Радиофизика.-1986. - Т. 29, JB 9. - С. 1050-1060.

17. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П, Теория бифуркаций.//Современные проблемы математики. Фундаментальные направления./ВИНИТИ АН СССР, М., - 1986. - Т. 5 - С. I-2I8.

18. Афраймович B.C. О ляпуновской размерности предельных множеств в одной модели активной среды.//Методы качеств, теории диф. ур-й: Иежвуз. темат. cd. н. тр./Под ред. Е.А.Леонтович-Андро-новой. - Горък. ун-т. - Горький, - 1986. - С. 19-29.

19. Афраймович B.C., Сенниковский Я.Н. Кризисы притягивающих инва-вариантных замкнутых кривых./Горьк. ун-т.-Горький.-1986, ДЕП. в ВИНИТИ 10.07.86. IS 5023-1386. С. I-I6.

20. Афраймович B.C. Введение в хаотическую динамику.//Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 7-я зимняя школа-семинар, кн.2/ Саратов. - 1986. С. 12-24.

21. Афраймович B.C., Келезняк А.Л. О размерности аттракторов в одной системе с полутора степенями свободы.//Лекции по электронике СВЧ и радиофизика. 7-я зимняя школа-семинар, кн.2/Саратов.-1986. - С. 25-27.

22. Афраймович B.C. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов.// Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. - М.:Наука. - 1987. -С. 189-212.

23. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович И.И. К теории явления стохастической синхронизации - Успехи мат. наук, 1987, - Т. 42. & Ч, - С. 136-137.

24. Jt-ftaLM^H-cl 1/.$., PiSi^ \л.З. с/¿»*ич bjf>C- <L.tlx&ctct1/j £ Qtr. £ci . let-. С HitA-. Pfyi ■ ' M*. -V.C-- P. M-Mf

25. Афраймович B.C., Шерешевский H.A. О хаусдорфовой размерности странного аттрактора, возникающего при касательной бифуркации./ Горьк. ун-т.-Горький.-1987.-Деп. в ВИНИМ 20.05.87, J6 Э59Э-В 87. - С. 1-Й.

26. Афраймович B.C., Рабинович М.И. Бифуркация,//Физическая энциклопедия.-М.: Советская энциклопедия.-1988.-Т.I. - С. 209-212.

27. Афраймович B.C., Рабинович И.И. Динамическая система.//Физическая энциклопедня.-М.¡Советская энциклопедия.-1988.-Т.I. -С. 625-62£

28. Афраймович B.C., Возовой Л.П. О механизме возникновения двумерного тора при потере устойчивости состояния равновесия.// ДАН СССР. - 1988. - Т. 302, I 4. - С. 832-836..

29. Арансон И.С., Афраймович B.C., Рабинович М.И. Стабилизация и рост размерности в цепочке одномерных отображений.//Тез. 3-й Уральской конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения"./Пермь. - 1988. - С. 251.

30. fij'МКьоНсL- Pe-sCh. V«.<3. of ibf*-"***-

elim*.dv-fi tyfte^ij PupttU THES

31. Арансон И.С., Афраймович B.C., Рабинович М.И. Устойчивость пространственно однородного состояния в цепочках отобракений.// Предпринт ИПФ АН СССР, Ж 203. - 1988. - С. I-I8.

32. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Шалфеев В.Д. Устойчивость и хаос в динамических системах, порождаемых отобранениями тора.// Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький. - 1988.-С. 26-31.

33. Цгсиженск- fi tan -so*. // /.

$ff. $ci. letr. e - ff/t. ~ P S-M .

34. Афраймович B.C., Возовой Л.П. О механизме жесткого возникновения режима двухчастогных колебаний при обратной бифуркации Андронова-Хопфа.//Прикладная математика и механика. - 1989. -Т. 53, Je I, - С. 32-37.

35. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Волновые движения в динамических системах, порождаемых цепочками разрывных отображений окружности.//Тез. докладов школн-сеыинара "Разрывные динамические системы"./Киев. - 1989. - С. 8-9.

36.Афраймович B.C., Рейман A.M. Размерность и энтропия в многомерных системах.//Нелинейные волны! Динамика и эволюция. - М.: Наука. - 1989. - С. 238-262,

37. Афраймович B.C. Об аттракторах.//Нелинейные волны. Динамика и эволюция. - М.:Наука. - 1989. - С. 16-29..

38. Афраймович B.C., Шерешевский М.А. Оценки хаусдорфовой размерности странного аттрактора, возникающего при касательной бифуркации./Горьк. ун-т.-Горький. - 1989. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.89, J3 6038. - С. 1-68.

39. Афраймович B.C. Бифуркации многомерных аттракторов.//Тез. докладов Всесоюзной конференции "Нелинейные явления"./М. - ИПМ -1989. - С. 3-4.

40. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. - Горький. - ИПФ АН СССР. - 1989. - С. 1-254.

41. Афраймович B.C., Еелезняк ИД. Достаточные условия существования торов в многомерных динамических системах./Горьк. ун-т. -Горький. - 1989. - Деп. в ВИНИТИ 10.05.89, £ 3000-В-89, - С. I-I9.

I В Г