Стохастические автоколебания в физических системах с инерционным самовозбуждением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧНОСТИ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

§ I Обзор основных идеи теории динамической стохастичности.

§ 2 Автоколебательные системы третьего порядка.

§ 3 Постановка задачи.

Глава П. АЛГОРИТШ И МЕТОДИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

§ I Методика поиска стохастических режимов.

Качественною и численные методы.

§ 2 Методика изучения стохастических режимов.

Критерии стохастичности.

§ 3 Изучение статистических характеристик стохастических автоколебании

§ 4 Особенности вычислительного эксперимента.

Глава Ш. СИСТЕМ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕХАНИЗМОМ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СТОХАСТИЧНОСТИ.

§ I Механизм возникновения стохастичности.

§ 2 Качественный анализ и бифуркационные диаграммы.

§ 3 Численный анализ стохастических автоколебаний.

Глава 1У. СИСТЕМА. С СИЛОВЫМ МЕХАНИЗМОМ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

СТОХАСТИЧНОСТИ.

§ I Механизм возникновения стохастичности.

§ 2 Качественный анализ и бифуркационные диаграммы.

§ 3 Численный анализ стохастических автоколебаний.

Глава У. ВНЕШНЕЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ИНЕРЦИОННЫМ САМ0В03ШЩШИЕМ.

§ I Внешнее периодическое воздействие на систему: с параметрическим механизмом возникновения стохастичности.

§ 2 Внешнее периодическое воздействие на систему с силовым механизмом возникновения стохастич ности.

В последнее время в теории динамических систем был получен ряд результатов, которые привели к формированию новой точки зрения на природу случайности. Оказалось, что в динамических системах с размерностью фазового пространства не меньшей трех при определенных значениях параметров может возник -нуть так называемая "динамическая стохастичность". Фазовые траектории при этом оказываются сложными, явно нерегулярными и предсказуемыми, причем такой характер их определяется исключительно внутренней динамикой системы, а не наличием внутрен -них или внешних флуктуаций.

Все возрастающий интерес к изучению динамической стохас -тичности обусловлен, во-первых, тем, что она сильнее, чем стохастичность, вызванная внутренними или внешними малыми шумами, которые качественно не влияют на стохастическое поведение динамической системы [l-б]. Во-вторых, динамические системы со стохастическим поведением не являются исключением: они типичны, если размерность фазового пространства не меньше трех [3,4].

Свойства динамических систем, демонстрирующих стохасти -ческое поведение, дают надежду на решение ряда проблем физики, техники и других наук, для которых необходима развитая теория стохастичности, включающая механизмы возникновения хаоса и возможность управления им. Динамическую стохастичность стали связывать (не всегда справедливо) с самым широким спектром задач физики и связанных с ней дисциплин:

- проблема турбулентности жидкостей, газов, плазмы и нелинейное взаимодействие волн в плазме [7-22] ;

- динамика квантовых, генераторов [23-29] ;

- особенности глобального поведения магнитного поля Земли [30] ;

- поведение колебательных химических реакции [31,32] ;

- генерация динамического шума радиотехническими системами [33-53] ;

- случайная динамика популяции некоторых экологических, биологических и генетических систем [54-59] ;

- ритмы мозга и организация его функций [60-62] ;

- структура вакуума в связи с уравнениями Янга-Миллса [63,64] ;

- проблемы физики твердого тела [б5] ;

- потери заряженных частиц в ускорителях [бб], радиационных поясах Земли [66] , в плазменных ловушках [67];

- организация стохастического метода ускорения частиц [68, 69] .

С другой стороны, идея динамической стохастичности по -зволяет по новому понять ту нетривиальную связь, которая су -шествует между динамическими и статистическими законами природы ро].

Главная особенность динамической стохастичности заключается в том, что она появляется и проявляется по разному в га-мильтоновых (недиссипативных) и в диссипативных системах. До недавнего времени считалось, что включение диссипации упрощает динамику системы, поскольку казалось, что все траектории при этом асимптотически приближаются либо к устойчивому состоянию равновесия, либо к устойчивому предельному циклу (тривиальные аттракторы). Первый пример нетривиального аттрактора был исследован Э.Лоренцем [9] и степень изумления, возникшего при открытии маломерных стохастических систем нашла свое отражение в терминологии: вслед за странными частицами в физике высоких энергий появились странные аттракторы в физике колебаний и волн.

Механизмы появления стохастичности в гамильтоновых системах [69] отличаются от этих механизмов в диссипативных систе -мах, потому что в гамильтоновых системах фазовый объем сохра -няется. В этом случае неустойчивость всех или почти всех траекторий может привести к стохастичности. Действительно, если сколь угодно малые изменения начальных условий приводят к сильному расховдению начальной и возмущенной траекторий, то при компактности фазового пространства (конечность энергии, например) не -сжимаемая фазовая жидкость должна перемешиваться - траекториям просто некуда деваться и они запутываются. Но стохастичность в таких системах не притягивающая. В тех же системах, где фазовый объем не сохраняется - в автоколебательных системах -механизмы стохастичности иные. Изучению этих механизмов на частном примере и посвящена данная диссертация.

Для теории стохастических штоколебаний наибольший интерес представляют автономные системы третьего порядка, т.к. основ -ные черты стохастичности в них проявляются особенно отчетливо. Колебания в таких системах могут возбувдаться либо за счет отрицательного трения, либо за счет инерционной связи мевду пе -ременными. Эти же механизмы за счет нелинейности приводят к ограничению колебаний. Системы, в которых самовозбувдение обусловлено отрицательным трением, а ограничение колебаний - инерционным взаимодействием между переменными были описаны К.Ф.Теодор чиком [72] и названы им системами с инерционной нелинейностью. Режим стохастических автоколебаний в таких системах был обнаружен и исследован группой В.С.Анищенко [42-46] .

Целью настоящей работы является изучение стохастических автоколебаний в системах, у которых самовозбуждение обус -ловлено информационной связью между переменными, а механизм ограничения амплитуды может быть любым. -'.Такие системы описаны П.С.Лавда и В.И.Бабицким [73,74] и названы ими системами с инерционным самовозбуждением.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Были разработаны методики поиска и изучения стохастических режимов в автоколебательных системах.

2. Разработаны алгоритмы построения бифуркационных диаграмм, вычисления периодических режимов, выбрана методика измерения энтропии стохастических автоколебательных систем и методика изучения спектральных характеристик стохастических автоколебаний.

3. На основе разработанных методик были найдены стохастические режимы в системах с инерционным самовозбуждением и построены бифуркационные диаграммы в пространстве параметров изучаемого класса автоколебательных систем.

4. Показано, что в зависимости от вида нелинейностей, существуют два механизма возникновения стохастических автоколебаний, названные здесь параметрическим и силовым.

5. Изучены особенности появления и проявления стохастичности в каждом из этих случаев:

- в отличие от параметрического механизма возникновения стохастичности, при силовом механизме области стохастичности в двумерных сечениях пространства параметров относительно малы и ограничены;

- при силовом механизме стохастичность возникает мягко, путем бифуркаций удвоения периода, тогда как при параметрическом механизме обнаружено и жесткое возникновение стохас-тичности;

- хотя странный аттрактор в фазовом пространстве изучаемого класса систем не является гиперболическим, однако его точечное отображение может быть приближенно описано одномерным отображением отрезка в себя;

- эксперимент свидетельствует о соответствии последовательности бифуркаций удвоения периода закону Феыгенбаума;

- изучение статистических характеристик стохастических автоколебаний показало, что в рассматриваемом классе систем стохастические процессы можно считать стационарными, эргоди-ческими, но не гауссовыми. В отличие от параметрического ме -ханизма, при силовом механизме не существует недостижимых значений амплитуд генерируемых колебаний;

- изученные стохастические автоколебательные системы являются довольно грубыми, их динамика качественно не меняется при внесении других дополнительных нелинейностей, искажающих топологию фазового пространства.

6. Предложен приближенный метод расчета стационарного распределения плотности вероятности амплитуд генерируемых колебаний стохастических автоколебательных систем.

7. Показано, что при воздействии на стохастические автоколебательные системы с . инерционным самовозбуждением внешней периодической силы в них наблюдается явление синхронизации :

- при параметрическом механизме возникновения стохастич-ности область синхронизации была обнаружена только на основ -ной частоте, при силовом механизме стохастизации две области синхронизации - на основной частоте и на второй субгармонике;

- синхронизация всегда начинается при конечных значениях амплитуд внешнего воздействия на всех частотах, на которых она наблюдается;

- величина порога синхронизации может служить количественной характеристикой хаоса в стохастических автоколебательных системах.

8. В приложении к диссертации изучена эволюция спектров автоколебаний за границей хаоса в зоне стохастичности. Показано, что спектры колебаний приближаются к сплошным по мере углубления в хаос и близки к линейчатым вблизи границы области стохастичности в пространстве параметров систем.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. В первом параграфе первой главы обсуждаются основные представления теории динамической стохастичности и модели возникновения стохастичности в автоколебательных системах. Во втором параграфе описаны автоколебательные системы третьего порядка. Третий параграф содержит постановку задачи.

1. Кифер Ю.И. О малых случайных возмущениях некоторых гладких динамических систем. Изв. АН СССР, сер. матем. т.38, вып.5, 1.9I-III5, 1974.

2. Nakanura К. "Numeral Experiments of Trajjektory Instabilities in Dissipative Sty-stems" Progr«Theor.Phys.,59,1 ,pp»64-75,1978

3. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность. УФН, т.125, вып.1, с.123-168, 1978.

4. Заславский Г.М. Стохастичность квантовых систем. В кн.: Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983, с.96-107.

5. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем. В кн.: Нелинейные волны. М.; Наука, 1979, с.192-211.

6. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца. В кн.:Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с.212-226.

7. Монин А.С. О природе турбулентности. УФН, т.125, вып.1., 1978, с.97-122.1.cture notes in mathematics, 565,61S, Springer-Verlag, Be r lin-Hc ido 1Ъ e r g-Ne v/-Yo rk, 1976,1977E,N,Lorenz,"Deterministic Nonperiodic Plov7,"J.Atmos«Sci. , 20,1965,pp.150-141

8. D.Hue 11c,F.TakensuOn the Nature of 9}urbulence",0oniiaun. Math.Phys.,20,pp.167-192»Springer-Verlag,19711.. McLaughlin I.B."Stochastic Behavior in Slightly Dissipative Systems" Phys.Rev,A20, p.2114, 1979

9. Mc Laughlin I.B.,Martin P.O."transition to Turbulence in Statically Stressed Fluid System",Phys.Rev.,A 12,pp.186-203 1975

10. Львов B.C., Предтеченский А.А. Поэтапный переход к турбулентности в течении Куэтта. В кн.: Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность., Горький, УШ АН COOP, 1980, 46с.

11. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Переход к стохастическому режиму в течении между вращающимися сферами. В кн.: Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький, ИПШ АН СССР, 1980, с.78-88.

12. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле,Шоу. ДАН СССР, 1977 , 235,3, с.554-556.

13. Вышкинд С.Я. 0 возникновении стохастичности при невы -ровденном взаимодействии волн в средах с усилением. Изв.Вузов. Радиофизика, т.21, с.850-856, 1978.

14. Вышкинд С.Я., Рабинович М.И. Механизм стохастизации фаз и структура волновой турбулентности. ЖЭТФ, 71, вып.2(8), с.557-571, 1976.

15. Дубровин В.И., Коган В.Р., Рабинович М.И. Распадный механизм возникновения турбулентности. Физика плазмы.,т.4, № 2, 1978, с.1174-1177.4 i t

16. Wang P.K.C."Nonperiodic Oscillations in Langincurs v/aves" J.Math.Phys. ,21 ,N2,1980,p. 398-407

17. Грасюк АзЗ., Ораевский A.H. Переходные процессы в молекулярных генераторах. Радиотехника и электроника, т.9, J& 3, 1964, с.525-532.

18. Haken Н,,"Analogy between higher instabilities in fluids and laser, Phys.Lott,, A 53t 1975»P*P.77-79

19. Ораевский A.H. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. Квантовая электроника, 8, № I, 1981, с.130-142.

20. Фомин К.Г., Гайнер А.В. Динамика свободной генерации твердотельного лазера. Новосибирск, Наука, 1979.

21. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. М.: Советское радио, 1974.

22. Ханин Я.И. Динамика нестационарных режимов излучения в твердотельных лазерах. Горький, НИШИ, I960. Докторская диссертация.

23. Леонтович A.M. Динамика излучения и возбуждения мод в рубиновом лазере. Москва, ФИАН, 1980, Докторская диссертация.

24. Cook А.^. ,Robert3 Р.Н./'The Rikitake Twodislc dynamo-system, Proceedings of Cambridge Philosophical Society,68,1970, p.p. W-569

25. Жаботинский А.В. Концентрационные колебания. M.: Наука, 1974, с.1-178.

26. Эпстейн И.Р., Кастин К., де Коппер П., Орбан М. Колеба -тельные химические реакции. В мире науки, 5, 1983,с.72-81.

27. Капцов Л.Н. Возникновение пичкового режима в неавтономном генераторе с инерционной нелинейностью. Радиотехника и электроника, 1975, т.20, вып.12, с.2496-2499.

28. Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. Радиотехника и электроника, 1980, т.25, J& 2, с.336-343.

29. Дихтяр В.Б., Кислов В.Я. Расчет колебаний автогенерато -ров с внешней запаздывающей обратной связью временным методом. Радиотехника и электроника, 1977, т.22, № 10, с.2141-2147.

30. Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мусин Е.А. Исследование сто -хаотических автоколебательных процессов в автогенерато -pax с запаздыванием. Радиотехника и электроника, 1979, 24, Jp 6, C.III8-II30.

31. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебанийв электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием и сильной нелинейностью. Радиотехника и электроника, 1980, 25, В 8, с.1683-1690.

32. Кислов В.Я., Мусин Е.А., Залогин Н.Н. О нелинейной стохас-тизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью. Радиотехника и электроника, 1980, 25, )& 10, с.2160-2168.

33. Дихтяр В.Б., Кислов В.Я. Стохастические колебания в ре -зонансных автогенераторах с запаздыванием. В кн.: Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький, И® АН СССР, 1980, с.37-45.

34. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием. В кн.Лекции по электроника СВЧ и радиофизике., кн.5, Саратов, Госуниверситет, 1980 год, с.78-117.

35. Пиковский А.С., Рабинович М.И. Простой автогенератор со стохастическимпповедением. ДАН СССР, 1978, т.239, № 2,с. 301-304.

36. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летифорд Т.Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в генераторах с инерционной нелинейностью. Радиотехника и электроника, 1980,т.27, вып.10, с.1972-1978.

37. Анищенко B.C. К вопросу о стохастизации автоколебаний радиосистем с обратной связью. Тезисы докладов XI Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, 1981, с.35.

38. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летифорд Т.Е., Сафонова М.А. О бифуркациях в 3-х мерной двупараметрической автономной колебательной системе со странным аттрактором. Изв.Вузов, Радиофизика, т.26, й 2, 1983, с.160-176.

39. Анищенко B.C., Астахов В.В. Закономерность Фейгенбаумав техмерной системе со странным аттрактором. Тезисы доклада П Всесоюзного совещания по избранным вопросам статистической физики. М., 1982, с.107-108.

40. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. Статистические характеристики странного аттрактора в генераторе с инер -ционной нелинейностью. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания по избранным вопросам статистической физики. Москва, 1982, с.109-110.

41. Кислов В.Я., Кислов В.В. О нелинейной стохастизации в автоколебательных системах. Тезисы докладов IX Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, I98I,c.I55.

42. Меренков В.М., Геллер В.М. Наблюдение стохастических колебаний в генераторе с задержанной обратной связью. Известия Вузов, Радиофизика, 1982, т.25, вып.2, с.241-242,

43. Меренков В.М., Геллер В.М. О стохастизации колебаний в генераторе на базе усилителя с распределенным усилением с нелинейной выходной линией. Известия Вузов, Радиофизика, 1982, т.25, вып.2, с.242-244^.

44. Кияшко С.В., Рабинович М.И. Об одной модели турбулентности. ЖЭТФ, 1974, 66, с.1626-1631.

45. Мулляр Я.Н., Васильев В.Р., Геллер В.М. Экспериментальное исследование распространения радиоволн в кольцевой нели -нейной линии передачи. Известия Вузов, Радиоэлектроника, 1974, 17, № II, C.III-II2.

46. Трубецков Д.И., Кац В.А. Экспериментальная демонстрация разнообразия перехода к хаосу в распределенном генераторе с запаздыванием. Пущино-83, Синергетика, Тезисы докладов, с.56.

47. Кац В.А., Кузнецов С.II. Динамика электронных автогенераторов с запаздывающей обратной связью. Ш Всесоюзный семинарВысокочастотная релятивистская электроника, Горький,1983, с.61-65.

48. Алексеев В.В., Корниловский А.Н., Фельде Э.А. Квазистохастическое поведение в простейших экосистемах. Тезисы докладов стендовых сообщений I Всесоюзного биофизического съезда, т.З, Москва, 1982г., с.22-23

49. Алексеев В.В., Коринловский А.Н. Автостохастические процессы в биофизических системах. Биофизика, 1982, т.27, вып.5, с.890-894.

50. Sohibata A»,Saito N,,"Time Delays and Chaos in -^wo Competing Spe cles",Math.Bios cience s,51,1980,p.p.199-211

51. May R#M."Stability and Complexity in Model Ecosystems ",Prinstor. V.p. 1973.58. йау R.M. "Simple Mathematical Models with $егу ComplicatedT rBynomics," Nature,261,p.p.459-467,1976

52. May R.M. "Biological Populations v/ith Nonoverlapping Generations Stable, Points,Stable Qycles and Chaos",Science,186,p.p.645-647,1974.

53. Сбитнев В.И. Стохастичность в системе двух связанных вибраторов. В кн.: Нелинейное волны. Стохастичность и турбулентность. Горький, ИШ АН СССР, 1980, с.46-56.

54. Пиковский А.С., Сбитнев В.И. Стохастичность в системе связанных осцилляторов. Препринт J& 641 Ленинградского института ядерной физики, Ленинград, 1981, с.28.

55. Осовец С.М., Гинзбург Д.А., Гурфинкель B.C., Латаш Л.П., Малкин Б.В., Мельничук П.В., Пастернак Е.Б. Ритмы мозга.-В кн.: Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький, Ш АН СССР, 1980, с.172-199.

56. Николаевский Е.С., Шур Л.И. Гомоклинические и гетерокли-нические траектории уравнений Янга-Миллса. Тезисы докладов П Всесоюзного совещания по избранным проблемам статистической физики. Москва, 1982, с.137-138.

57. Nicolaevsky E,S. ,Sheur L#HVfIntersection of Separatrices of Periodical Trajectories of the Classical Jang-^lls Equations", ITEP-3,M,1983,Препринт ИТФ им. Л.Д. Ланцау.

58. НиЪегшап В.A, ,Cruchfield I.P. "Chaotic States of Anharaionic Systems in Periodic Fields".Phys.Rev.I»ett*1979,43,N 23,p.p.1743-174?

59. Израилев Ф.М., Гириков Б.В., Шепелянский Д.Л. Динамическая стохастичность в классической механике. Новосибирск, 1980, Препринт СО АН СССР, Ш 80-209.

60. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. Поперечные потери частич в ам-биполярной плазменной ловушке. Письма в ЖЭТФ, 26, 1977,с.186-189.

61. Давыдовский В.Я. Динамические инварианты заряженных частиц в плоских волнах и их применение к исследованию взаимодействия этих подсистем. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Таганрог, ТРТИ, 1983г.

62. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчи -вость нелинейных колебаний. УВД, т.105, вып.1, 1971,с.3-96.

63. Чириков Б.В. Природа статистических законов классическоймеханики. В кн.: Методологические и философские проблемы физики. Новосибирск, Наука, 1982, с.181-196.

64. Теодорчик К.Ф. Генераторы с инерционной нелинейностью. ДАН СССР, 1945, т.50, C.I9I-I92.

65. Бабицкий В.И., Ланда П.С. Автоколебания в системах с инерционным возбувдением. ДАН СССР, 1982, т.266, I 5, с.1087-1089.

66. Бабицкий В.И., Ланда П.С. Автоколебательные системы с инерционным самовозбуждением. Динамика систем. Горький, 1983.

67. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Порог синхронизации, как характеристика фазового перехода, хаос-порядок. Препринт физического факультета МГУ,А* 9 1984, Москва, 1984, с.4.

68. Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Механизмы возбуждения стохастических автоколебаний в системах с инерционным самовозбуждением. Труды XI Научной конференции ИМАШ АН СССР, Москва, 1983, Деп.в ВИНИТИ, 4787-83-деп от 29 августа1983, с,116-119.

69. Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Механизмы возникновения стохастических автоколебаний в системах с инерционным самовозбуждением. Тезисы докладов X Международной конференции по нелинейным колебаниям, Варна, 1984, с.256.

70. Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Эволюция спектров стохастических автоколебательных систем за границей зоны стохастичности. Вестник МГУ, серия Физика,т.25,№ 3,1984, с.74-77.

71. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф. Амплитудный порог синхронизации, как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах. ДАН СССР,т.281, IS 2,c.II64-II69,I985r.

72. Ланда II.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Исследование стохастических автоколебаний в физических системах с инерционным самовозбуждением. Динамика систем, Г1У,Горький, 1984г.

73. Gallon F. "Natural Inheritance", London, 1889.84# Poincare H. "Les methodes nouvelles de la mechanique celeste", Paris, 1889, p. J21.

74. Poincare H."Sur leguilibre d*un mouvement masse fluide animee d'un mouvment de rotation" Acta Math.7»P*P*259-38,1885

75. Андронов А.А., Понтрягин JI.С. Грубые системы. ДАН СССР, т.14, Ji> 5, 1937, с.118-121.

76. Smale S.,"Morse Inequalities for a Ifrnamical System", Bulletin of the Amer.Math.Soc.66,N 1,1960,p.p,92-127

77. Smale S."On Gradient Dynamical §ystems"Ann of Math.74, 1961,p.p.199-206

78. Smale S» "Structurally Stable Are not Deus" Amer,J«Math. 88,1966,p.p.491-496

79. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды Мат.Инст. им.Стеклова, 90, 1967.

80. Аносов Д.В. Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кри -визны. ДАН СССР, 151, 1963, с.1250-1252.

81. Смолуховскии М. О понятии случайности и о происхождении законов вероятностей в физике., УФН, 1927, т.7, J6 6,с.335-354.

82. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. М., изд-во АН СССР, 1950.

83. Лалмош П. Лекции по эргодической теории. М., ИЛ, 1959.

84. Хингин А.Я. Математические основания статистических механики. М., Гостехиздат, 1943.

85. Hopf Е. "Ergoden Iheorie", Engebn d. Math. Vol, 5, No 2, Springer-Verlag,Berlin, 1937

86. Morse E. Heldlung G.A. "Symbolic Dynamics", 1,2,Amec.J.Math, 60,1938, 62,1940.

87. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями., УМН, 25, вып.2, 1970, с.141-157.

88. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика., т.2, М.:Мир, 1978, с.354-391.

89. Неймарк Ю.й. Стохастичность в динамических системах. Межвуз. сб.Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика,X изд. ПУ, Горький, 1973, с.3-11.

90. Неймарк Ю.И. 0 движениях, близких к двоякоасимптотическому движению. ДАН СССР, 4, 1967, Пятая летняя математическая школа, Ужгород, 1968,

91. Баталова З.С., Неймарк Ю.И. Об одной системе с гомоклини-ческой структурой. Межвуз.сборник "Теория колебаний, при -кладиая математика и кибернетика", вып.1, 1973, с.131-147.

92. Неймарк Ю.И. Структура движений в окрестности гомоклини-ческой кривой. 5 летняя математическая школа. Ужгород, 1967, Киев, 1968.

93. Неймарк Ю.И. Об одном классе дискретных динамических систем. Межвуз.сб."Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика, вып.1, изд-во ПУ, Горький, 1973,с.148-152.

94. Неймарк Ю.И. Динамические системы с гомоклиническими структурами. Тезисы докладов на У1 Международной конференции по нелинейным колебаниям. Варшава, 1972, с.95.

95. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нели -нейных колебаний. М.: Наука, 1972.

96. Неймарк Ю.И. Стохастические движения динамических систем. Межвуз.сб."Динамика системы", вып.4, Горький, 1974,с.3-51.

97. Плыкин Р.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверх -ностей. Математический сборник, 1974, 94(136), $ 2,с.243-264.

98. Eckman I.P. "Roada to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems"jRev.Mod.Phyo.Vol. 53,No Part 1, 1981,p.p.S45-654

99. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Метод точечных отображений и его применение к исследованию динамических систем, Успе -хи механики, т.З, вып.4, 1980, с.23-53.

100. Заславский Г.М. Стохастические волновые процессы. Препринт НИШИ, 42, Горький, 1973.

101. Чириков Б.В. Стохастические волновые процессы. Препринт НИШИ, 41, Горький, 1973.

102. Peigenbaum M.I,"Quantitative Universality for a Glass of Nonlinear Transformation",J.Stat.Phyз.Vol.19,No 1, 1973» p.p. 25-52

103. Peixoto M,"Structural stability on tv/о dimensional manifolds" Topology, N 1,p.101-120,1962.

104. Песин P.В. Энтропийные характеристики динамических систем. УМН, 1977, т.32, № 4, с.5^-64.

105. Бесекервский В.А., Попов ЕЛ. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975, с.767.

106. Камени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970, с.271.

107. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. М.-Л., Гостех-издат, 1949, с.436.

108. Мизес Р. Вероятность и статистика. М.-Л., 1930.

109. Хинчин А.Я. Частотная теор^ия Р.Мизеса и современные идеи теории вероятностей. Вопросы философии, 1961, JS I,с. ; № 2,. с.

110. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. М,: Мир, 1972, т.2.

111. Голенко Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М.: Советское радио, 1965.

112. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия "количество информации". Проблемы передачи информации., т.1, внпД, 1965, с. 17-29.

113. Колмогоров А.Н. К логическим основам теории информации и теории вероятностей. Проблемы передачи информации, т.5, вып.З, 1969, Москва, с.6-19.

114. Агафонов В.Н. Сложность алгоритмов и вычислений. Новосибирск, Наука, 1975.

115. Звонкин Л.К., Левин Л.А. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов. УМН, 1970, т.25, № 6, с.85-126.

116. Martin-Lof P,"The Definition of Raudom Sequences",Information and Control ,1966,Vol.9,p.p.602-619

117. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.: Наука, 1977.

118. Алексеев В.М., Якобсон М.В. Символическая динамика и гиперболические динамические системы. Добавление к книге Р.Боуэна"Методы символической динамики", М.: Мир, 1979.

119. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы. УМН, 1970, т.25, вып.1, с.II3-I46.

120. Вильяме Р.Ф. Структура аттракторов Лоренца. В кн.: Странные аттракторы, с.58-72.

121. Афрайыович B.C., Бычков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца. ДАН СССР, т.234,J& 2, 1977, с.336-339.

122. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца. В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с.212-226.

123. Баталова З.С., Дубровина И.А., Неймарк Ю.И., Орлова Е.Е. О структуре фазового пространства и бифуркациях в диск -ретной модели конвективной турбулентности Лоренца. ПШ, т.45, вып.4, 1981, с.637-644.

124. Израилев Ф.М., Казатти Дж., Форд Дж., Чириков Б.В. Стохастические колебания квантового маятника под действием периодического возбуждения. Препринт ШФ 78-26. Новосибирск, 1978.

125. Израилев Ф.М., Чириков Б.В., Шепелинский Д.Л. Переходная стохастичность в квантовой механике. Препринт ШФ 80-210. Новосибирск, 1980.

126. Заславский Г.М. Статистика энергетического спектра.УФН, 1979, т.129, с.211-238.

127. Пиковский А.С., Рабинович М.И. 0 странных аттракторахв физике. В сб.:Нелинейные волны. М.:Наука,1979,с.176-192.

128. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания в радиофизике и гидродинамике. Эксперименты и модели. В кн.:Нелинейные волны. Стохастичностьии турбулентность. Горький, ИШ АН СССР, 1980, с.5-23.

129. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохасти -ческие автоколебания в системе электронной пучок -обратная волна. В кн.:Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький, ИШ АН СССР, 1980, с.29-36.

130. Стратонович Р.П. Корреляторы процессов в простейших системах со странным аттрактором. ДАН СССР, 1982, т.267, В 2, с.355-359.

131. Лавда П.С., Стратонович Р.Л. Стационарное распределение вероятностей для одного из простейших странных аттракторов. ДАН СССР, 1982, т.267, В 4, с.832-836.

132. Pilcovsljy A.S.,Rabinovich M.I. "Stochastic Oscillations in Dissipative Systems", Physica, 2D(1981) p.p.8-24

133. Бонч-Бруевич В.Л. Теория возмущений для системы со странным аттрактором. Препринт физического факультета МГУ, В 2, 1983.

134. ZaslavsJsy G.lV'The Simpl&st Йазе of Strange Attractor",с ■ 'Phys.Let. V. 69 A,No 3,1978, p.p. 145-147

135. Странные аттракторы. Сборник статей. М.: Мир, 1981.- 107

136. Moudelbrot В.В. "Fractals and Turbulence;Attractors and Dispersion"Lecture "otice in Mathematics.615»Springery.Verlag, 1977, p.p. 83-93

137. Израилев Ф.М., Рабинович М.И., Угодников А.Д. 0 приближенном описании диссипативных систем со стохастическим поведением. Препринт № 17 ИЩ АН СССР,Горький, 1981.

138. Andronov A.A.,Witt A.A. "Sur la theorie mathematicues des autooscillations",O.R.Acad.sci.Paris,190,(1930)p.p. 256-258.

139. Hopf E. "Abzv/eiguug einer periodishen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systens", Ber.Math. Phys. Sachsische Academic der Wissenshaften. Leipzig, 94, (1942), 1-22.

140. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.

141. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы. УМН, 1970, т.25, вып.1, с.ПЗ-140.

142. Неймарк Ю.И. Синхронизация и стохастичность. В кн.: Фазовая синхронизация. М.: Связь, 1975, с.56-68.

143. Неймарк Ю.И. Сихронизация и стохастичность.Y11 Internationale Konferenz uber nichtlincare Schvingungen Band 1.2, Academic Verlag, 1977, 133-146

144. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые про -цессы. М.: Наука, 1982.

145. Неймарк Ю.И. Физические механизмы самогенерации стохастических колебаний. Динамика систем. Горький, 1979, с. II5-131.

146. Ланда П.С. Автоколебаний в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980, с.108-129.

147. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968, с. 57-59.

148. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976, с.12-19.

149. Ланда II.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.

150. Домбровский Ю.А., Маркман Г.С. Автоколебания в модели динамики фитопланктона, учитывающей механизм регулирования. Биофизика, 1979, т.24, вып.2, с.289-292.

151. Борн М. Физика в жизни моего поколения. М.: 1903,с.289.

152. Betettin G, Galgani L, Streleyn I.M. "Kolmogorov Entropy and Numeral Experiments", Phys.Rev. A-14, 6, 1976, p.2338-234-2

153. Йог! H. "Fractal Dimensions of Chaotic Plow of Automic Dis-sipative Systems", Prog. Theor. Phys. 1980, v.63, 3, p.1044-1047.

154. Schuster A. "On the Investigation on Hidden Periodicties with Application to a Supposed 26 Day period of the Meteo-rogical Phenomena" Terrestrial Magnetism, v.3j p.15-41, Mar. 1898.

155. Winer IT., "Generalized Harmonic Analysis", Acta Math.1930, v.55,P.117-258.

156. Khinchin A.I."Korrelationstheoric der Stationaren Stochas-tishen Prozesse", Math.Annalen, 1934,v.109, s.604-615.

157. Кем С.М., Марпл С. Л. Современные методы спектрального анализа. ТИИЭР, т.69, В II, с.5-51.

158. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике. М.: Советское радио, 1961, с.557.

159. Jenkins G.M., Watts D.G., "Spectral Analysis and Its Applications" San Francisco. C.A.Holden-Day, 1968,

160. Опенгейм А.В., Шафер P.В. Цифровая обработка сигналов. Москва, Связь, 1979.178. otnes R.K., Enochson L. "Digital Time Series Analysis" New York, Wiley, 1972.

161. Дк.Ф.Хэррис. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье. ТИИЭР, 1978, т.66, }h I, с.60-96.

162. Крюков Б.И., Седович Г.И. О "странном" поведении решений уравнения Дуффинга, ДАН СССР, т.258, JS 2, 1981,с.311-316.

163. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

164. Kawakami Н. "The Bifurcation Pattern of Periodic Solution observed in Duffing*s Equations".Тезисы докладов IX Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, ИМ АН УССР, 1981, с.145.

165. Елехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

166. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация системы Лоренца периодическим внешним воздействием. Препринт физического факультета Ш.У, № 3/ 1983.

167. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романов -ский 10. М. Синхронизация в системах со странным аттрактором. BiW, серия Физика, гё 9, 1983, с.131-134.

168. Ott Е. "Strangle Attractors and chaotic Motions of Dynamical Systems", Rev. Mod. Phys. v.55» part 1, 1981, p.655-671.