Фрикционные автоколебания и вибрационное перемещение в системах с одной и двумя степенями свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

I . Ч

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

1 3 ШОН Ш5

Па правах рукописи

Платхтсхих Михаил Юрьевич

ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ И

ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В СИСТЕМАХ С ОДйОЙ И ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Специальность: 01.02.06 - " Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре " Теоретическая механика" Садкт-Пстсрбургското Государственного Горного института (Технического университета)

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Михаш Михайлович Вгтюкоа

Научный консультант

доктор физике- математических наук, профессор Роберт Фаритоеич Лагам

Офидиатыше оппоненты

Ведущая организация

доктор техЕшческнх паук, профессор

Геннадий Т&.юфссеич Алдзи&н-, кандидат технических наук, доцент,

Юрий 1]ригсрьш1Ч Нспалса НПО « Мехаиобр"

Защита состошся " 2?" с^/д^я 1995г. и ¿2 ~чдсоз на заседании диссертационного Совета Д.200.17.01 при Инстшуге про&тсм машиноведения РАН но адресу: 199178, С.-Петербург, В.О., Большой пр. 61.

С диссертацией ноша ознакомиться в ОНТИ ИГШаш РАН. Автореферат разослал «¿б-» иг&я 1995 г.

Ученый сскрс-тарь диссертационного Совета,

кандидат химических наук

<3?

С*! О"

В.Л. Тлииил

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы.

Для целого ряда современных машин н механизмов характерна работа в условиях нестабильного трети при относительно малых скоростях скольжения. Важным следствием этого является возшгкновение вибрации на фрикционном контакте - .фрикционных аягоколебашш (ФА). Ош1 присутствуют, например, в тормозных устройствах н механизмах фрикционного сцепления, при работе бурильных установок н в подшшпшках скольжения судовых валоггротодов ("туманный горн"). Пртвдшиалько важное значение ФА имеют в станкостроении, где определяют два важных критерия эксплуатационного качества работы станков: равномерность медленных дюскешш и точность установочных перемещений.

Все это определяет необходимость всестороннего изучения ФА, создания теоретических и эксперт, (ишлышх методов их исследования и в результате выбора путей устранения или снижения амплитуд колебшпш.

Другой важной проблемой динамики систем с сухим трением

»

является изучение различных типов движений тел при их вибрационном неремещешш и создание эффективных методов расчета соагЕетствующюс устройств. Такие методы хорошо разработаны для одномерного вкброперемещения, однако вопросы вибрационного персмещгапи на плоскости изучены еще далеко не достаточно. Последнее объясняется особенностью нелинейности сил сухого трезпет на плоскости. Изучение двумерного виброперемещения становится все более актуальным в вибротехнике в связи с разработкой самоходных вибрационных аппаратов для движения на плоскости, в частности самоходных виброуплеггшггелей.

Цель работы состоит в

- исследовании разлзгшыя -потов встречающихся на практике, но недостаточно еще нзучешшх фрикционных автоколебаний в системах с одной л двумя степенями свободы и способов их умсньшеши варьировашгем параметров системы;

опредслсшпг влияния ФЛ на процесс торможения вращательного движения в тормозных устройствах; .

- создании методики расчета плоского шброиеремсщепия при дсйстыш быстронсременной внешней силы с медленно меняющимся направлением.

Методы исследования базируются на нспользованш! методов теория исязпкйных колебаний (метол осреднения л метод многих масштабов, метод пргагасотпзашга) н теории устойчивости. Вес основные результаты подтосрздазспся "шгаишым решением (метод Рунгс- Купа и др.).

Научная ношена ц практическая значимость работы состоит в следующем:

изучены колебння релаксационного (с длительными остановками) к хвазигармонического типа в одномассовых моделях с кубической к кусочно- линейной зависимостью аш трети от скорости: показана, что амплитуды колебаний уменшгалатся с ростом собственной частоты системы, и что на »врастающем участке характеристики трешш квазигармошпсскне колебания отсутствуют;

- определено значение эффективного тормозящего момента при наличии автоколебаний тормозной колодки и установлено, что эти колебания в общем случае приводят к увсличиппэ среднего значения момента;

- предложена новая двухмассовая модель ФА с. относительным скольжением тел к для нее показано, »по колебания, близкие к гармоническим, также реализуются только на спадающем участке характеристики трения; при этом возможны лишь дш случая: когда одна из масс колеблется, а другая, в первом приближении, покоится, и наоборот (т.е. возможен своеобразный эффект динамического гашения автоколебании);

впервые, по-видимому, 'рассмотрены фрикционные автоколебания на плоскости и показано, что возможны либо одномерные, либо двумерные колебания; в предельном случае преобразовашюго трения, когда одна из двух взаимно перпендикулярных жесткостей закреплешш существе] шо превышает

другую, определены критические значения углов между скоростью п лоскости и осью жесткости, свыше которых автоколебаний нет;

- в системе с виброперемещеннем на плоскости получена приближения методика расчета плоского движмшя и установлено, что движение тала при медляпюм повороте линии действия внешней силы будет происходить по разворачивающейся спирали;

- результаты работы могут использоваться при проектировании узлов трения с оптнмалышми виброакустическими характеристиками, а также при создании самоходных вибрационных аппаратов, в том »теле самоходных виброуплогшпелей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной научно- технической конференции " Повышение надежности судовых валопродов" (1988г.). конференциях молодых ученых к специалистов ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова (С.-Петербург, 1990,1992г.г.) на научно-технической конференции Госкомитета РФ по высшему образовашпо "Вибрационные машшпл и технологии" (Курск, 1993г.), на семинарах кафедр теоретической механики С.-Петербургского технического университета (1994г.) н С.-Пстсрбургсксго горного института (1995г.), а также на семинаре Института проблем маившоведмшя РАН (1995г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 60 нанмешжашй. Общий обьем работы состашяет 137 страниц.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обосновывается актуальность темы, описывается состояние вопроса, формулируется цель работы и кратко излагается содержание диссертации.

Основная часть работы посвящена исследовашпо фрикционных ЗЯТ1 ¡колебаний в системах с одной и двумя степенями свободы с точки ?рения общей механики и теории колебаний. При помощи

аналитических к численных методов изучаются различные режимы колебаний и определяются области их сухцествовашга и устойчивости. Развитие этого направления теории ФА насчитывает более 60 лет. Одна из первых ысхалп£чсских • Моделей автоколебаний, груз на дшгкутцсйся ленте- была предложена Ван-дер-Полем в 1930г. В последующие годы исследованию фрикционных алгокачебанш! в разтгчных' системах И моделях пар трения Сыло посвящено значительное число работ таких отечественных и зарубежных ученых, как А.А.Андронов, А.Ю.Иишшскнй, И.В.Крагелъсгаш, Н.В.Бугенин, НЛ. Кайдановегаш, Я.Г.Пшговко, М.З.Коловехий, К. В.Фролов, АА-Алифов, Ле Суан Ань, Р.Ф.Нагаев, М.М.Встюков, В.Ф.IIстрок, А.Тоддд п др. Однако достаточно ватою оплсашся областей существования и устойчзшрсти авхоколебазпш различных типов для наиболее раслросорансхшых ври решении практических -задач аппроксимагрш характеристики трения в виде кубической и кусочно-линейной зависимости до сих пор получено не было. Также фактически не исследованы до последнего времени вопросы о колебаниях в системе тел, гашшодействузощих с силами сухого некулонова трения, и о двумерных автоколебаниях на плоскости.

Наряду с ФА, другим важным разделом дшшмнкн систем с сухим трением йеляспся теория кибрадпошюго перемещения, в которой достаточно подробно изучены различные одномерные режимы движения (И.И.Бдехман, Г,Ю.Джанслидзе, Р.Ф Нагаев и др.). К хорошо разработанным вопросам двумерного виброперемещення можно отнести лишь задачу Н.Е.Жуксзекого о движении точхи на плоскости, совершающей круговые или алгапгшческнс колебашга. В четвертой главе настоящей работы рассматривается новая задача о Еиброперемещешп! на плоскости при действии нерзюдзиесксй медленно поворашцающейся силы. 5>га проблема возникла в связи с создшшем самоходных киброуплотшяелей.

Первая глава посвящена исследозшшо фрикционных аьтоколебагпгй в систем; с одной степенью свободы. Сначала рассматриваются колебания в класапеской модели, когда тедо

протягивается через упруппс элемент с постоянной скоростью V по неподвижной нлоскосш; характеристика трения при этом акпрокав.шруется кубзисской зависимостью от скорости тела относительно плоскости. В большинстве работ, в которых исследуются подобшле системы, анализируются лшнь холебания без мгновенных и делительных остановок, близкие к гармоническим. При этом оказывается, что такие движения возможны в узком интервале скорости протяжки 2/\/5 V.<V<V. (V.- скорость, соответствующая мшгимуму характеристики трения). Однако экспериментальные данные свидетельствуют о том, что возникновение ФА возможно при меньших скоростях. Движения в системе описываются уравнением

где*-абсолютная координата тела, Р- сила давления на контакт, а зависимость тряагя от скорости пршеп,петел в виде

/(i)= f'signx^fs + f^.x* 0; -f </"(*)</*,* = 0.

Аналитическое решение ' этой ' задачи определяется в предположили:, что велзгчнна коэффициента трешга при движенш! меняется незначительно, в. связи с чем вводится малый пзраметр, г = //"-/.у2/',где/. = min /(Л) при i> 0. После введения безразмерных переменных и параметров

'' , ü'-i'r) |7 ¡7 v ' гг' -. ' ■

на каждом из интервалов, когда х#0 (" * для решети использусгсй метод малого параметра в форме метода многих масштабов, в соответстиш с который безразмерная координата Z, определяется как функция s, т, а также их комбинаций: + et, ...)+.... Основной член оказывается

раишм ¿f0' ~ ±у - c(i?r)sin^r + 'Г'(гг)], знак перед у здесь выбирается в

зависимости от знака скорости на данном интервале времени, а амплитуда а и фаза Ч' определяются го уравнений

^-Ца!-«*)*, —-0, а? =4а-о3). и'г 8 " йг -

Для поправки уравнение получается яшсшшм. Тазам образом строятся решения на тех интервалах, где скорость 4'+<з не меняет знак. То, какое данжешге реализуется вслед за остановкой, определяется соашошеюгем сил упругости и трешга покоя в моменты остановок. В ходе ¡»шипи показано, что при а <1/^5 в системе могут реазшзоваться следующие режимы: а) колсбазшя с зонами застоя релаксашю!п гыс колебания; б) - колебания с мгновенным изменением знака скорости; в) колебания смешанного пша, Прл 2/\'5<о<1, как сказано вшис, имеют место гашигармстпнеские колебания без остановок, а при а> 1 положение равновесия $~сотЫ. устой'-пгш, и авшколебаншт в системе нет. Области, в которых реализуются те или иные режимы, 1федставлены на рис. 1. Выше пунктирных гразпщ реализуются коисбашш пата а), между пунктирными II сплошными- смешагаюго типа, щеке сплошных кривых- типа б). Построены также графики зависимостей коордщтты и скорости от времет* для различных режимов колебаний. Эти результаты хорошо согласуются с результатами численного интегрировагаш исходной задачи.

Показало, что амплитуды колебатпв! релаксационного иша возрастают с увеличением скорости протяжки до нексггорыхмаксималышх олачмшй; размерные амплитуды уменьшаются с ростом собственной частоты системы и уменьшением цараметра V».

В §1.2 рассмотрена та же модель при аппроксимации характеристики трения кусочно- линейной зависимостью (х > 0);

Эта задача допускает точное шпегрировшше. Для опредедешш колебашас, близких к гармошгческим (без зон застоя), периодическое решений строится методом точгщпк отображений; при этом для нахохдешЕ! неподшепшх точек получается система трансцендентных

уравнении относительно безразмерных длительностей диаишя т" и на опадающем и возрастающем участках характеристики трения. Условия устойчивости этою рсшсш1Я приводятся к простому видух\г" -с,г.. <0, где л:,,«:.- безразмерные наклоны участков. Анализ условий сушествовашет и устойчивости приводи:! к следующим результатам: а) квазигармокическис колебашк реализуются при ст < 1, т.е. на падающем участке, при >к1 левее границ в области 1 на плоскости параметров а.-,,*-': (рис.2); во ессй остальной части огеи плоскости реализуются колебания с мгновенными или дшггелыщми остановками; б) при <з>1 (возрастающий участок характеристики трения) квазигармонических безостановочных ФА нет, но возможны релаксационные режимы колебании (ниже кривых в области 2, рис. 2); выше кривых автоколсбазпш не возникают.

В случае малых наклонов линейных участков характеристики трения зга же задача исследована с помощью метода осреднения. Результирующие области существования и устойчивости колебаний, близких к гармоническим . практически совпадают с областями, полученными в общем случае. Амплитуды этих колебаний возрастают с ростом величины наклонов к^г обоих участков характеристики трешш и линезшо убывает до нуля с ростом скорости протяжки от нуля до V. (0<а<1).

Во второй главе диссертации исследуется влияние автоколебаний, возникающих в тормозных устройствах, на процесс торможення вращательного движения. Рассматривается движение массивного диска и тормозной колодки, связанных силами сухого трения, причем последняя может совершать колебания по ободу диска. Сначала для описания характеристики трения используется скачкообразная зависимость, определяемая коэффициентами трения покоя 1<-, и скольжения 1") . ^Д >1; для нее автоколебания с одной степенью свободы хорошо изучены. Предполагается также, что момент инерции диска значительно больше момента инерции колодки«, тогда в уравнениях движения координата последней будет быстрой переменной, а угловая скорость диска- медленной, и к задаче

можно пртгмсшггь метол осреднения. При 1< l<y'f¡ <3 тормозная колодка совершает релаксационные колебания. .характсрт>"ющисся чередованием зтапов проскальзывания и застоя. В работе показано, что гакие автоколебания не оказывают влияния на процесс торможения и средний тормозтщш момент остается в первом приближении постоянным. В других случаях в системе реализуются колебания белее сложной формы, приводящие к увеличению абсолютной величины тормозящего момента тем большему, чем больше отношение f0/f[ и менынс угловая скорость.

В 5 2.2 второй главы исследуется та же система, только при аппроксимации характеристики трения кубической зависимостью. Здесь метод осреднения приводит к связанным уравнениям для амплитуды холебаннй колодки н угловой скорости диска в случае безостановочных колебаний колодки. Такой случай практически реализуется, когда начальная угловая скорость значительно ( в два гш.» и более) превосходил величину V./r , где г- радиус диска. Показано, •no фрикционные автоколебания колодки здесь также приводят к некоторому увеличению тормозящего момента. Если в процессе торможения возникают релаксационные колебания, примените аналитических методов для исследования движений становится затруднительным. Численное решение исходных уравнений показало, что возникновение холебаннй с зонами застоя может привести к увеличению времени полного торможешет, т.е. к уменьшению модуля среднего тормозящего момента.

В третьей главе диссертации гоучакхгся фрикционные модели с двумя степенями свободы. В 5 3.1 исследуются автоколебания в двухмассовой системе, Ранее в работах M.'J. Коловсхого, Р.Ф. Нагаева. К.В. Фролова. A.A. Агафона. В.Ф. Петрова рассматривались ФА в системах с лвумя и более массами, с упругими или вязхоупругими связями между шгми. В дисссргдшш предложена и исследована новая днухмассовая фрикционная модель в которой самк тела нетюс^дст ценно о вязал ы силами сухого нскулонова трешш: при этом одно из гел (верхнее протягивается черс.< упругии домен i

нижнему, упруго закрепленному на горизонтальном основании:. Такая схема может служить моделью для реальных узлов трения- механизмов сцепления, фрикционных муфт, подшипников скольжения к тормозных аяжшнзмсш. Уравнения движения здесь

где х, у, ХП|, Шг, Сх» с? координаты, массы и зсесгкосш, соашгтетвуюхцкс верхнему и Iпешему телу, а /- функция трения, зависящая ах их ошосзпельной скорости. В работе рассматриваются только безостановочные колебания тел (* - у >0 ), а функция/1, как и в первой, главе ахшроксишгруется кубической зависимостью. Для анализа, как я ранее, првкнястся метод осреднения, причем рассмотрены два различных случая- основного резонанса л нерезонансный. В первом га них вводится малый параметр ц того хс порядка, что и с, зсаракгершующий разность парциальных' частот системы, и безразмерные коордгагаты тел 5, -ц, В . дальнейшем для : удобства анализа июдзггея ошосигелыхая координата и=г,-т] к переменная где к=(Ш2-й11 )/(т2+1а1 ). Осредиенные

уравнения в первом приближении здесь имеют тщ

а<=£ 2

6,1-I

1~к2 Д А] (1-/г')гсоз©-- соз© - 2к

* 'А .л

>Ъ а

где а и Ь - амшопуды колебаний для переменных и, V/ а ® - разность фаз. Эта система уравнений имеет четыре устойчивые стационарные точки, для которых ®ь=2як, либо в=а(2к+1), Зс=0,1,"..., причем одной паре решений отвечают колебания только верхней массы, когда ампщпуды колебаний { по переменным п) будут А»=а., Ап==0, а другой паре- колебания нижней массы: А—О, Л,=а.. Здесь

а,=2\}1-сг2 , как и б гл.1-, -амплитуда квазигармоничсскнх автоколебаний в одномасссшой системе. Тагам образом, стационарные колебания возможны также лишь на спадающем участке характеристики трещи, когда о<1.

В работе с помощью численного кнтегрирешатш осредненных уравнений построены области притяжения двух названных режимов келебшлш, из которых гащно, что если массы тел близки (к«0) и третше покоя не мало, колеблется нижнее тело, в противном случае-верхнее.

Е иерезоиансном случае анализ осредненных уравнений для той же модели показывает, что существуй три стационарных режима-од1П1 неустойчивый , когда колебания совершают оба тела, и два устойчивых, рассмотренного выше типа. Также построены области нршяжешш этих режзшов. Таким образом, в предлагаемой модели как в резонансном, так и в нерезошшенбм случае возможен эффект динашгческого ташеття фрикционных автоколебаний, когда протягиваемое тело покоится в первом приближешш, а другое совершает колебания. Этот эффект обусловлен малым изменезшем силы трегагя, действу70щей между телами при колебанзеях..

В Ь 3.2 диссертации рассмотрены, по-видимому, также впервые, двумершю фрикционные автоколебания упруго закрепленного в двух взаапю перпендикулярных направлениях тала на плоскости, скользящей под некоторым углом к осям жесткости. Эта задача исследовялась для нерезонансного случая в предположегаш, что вся сама трения мала. т.е. . Получены ссреднешше уравнения для . ампгапуд котебаадй, которые, как и для двухмассовой системы, имеют три стационарные точки. Первые две соответствуют автоколебаниям вдать одной из осей жесткости. Однако здесь, в егшгше от предыдущего случая, квмежш стационарные колебашм по обеим степеням свободы. На плоскости параметров а, а (а - угол между нзправлезшем скорости плоскости и одной из осей жесткости) построены области существовазшя различных режимов. Эти результаты в достаточной степени согласуются с данными 'шеленного решения исходных уравнений. Из него видно, что при значешшх а близких к нулю или л/2 возникают колебания в направлезлш, близком к направлению соответствующей оси жесткости; для промежуточных значений а реализуются сложные двухчастооные режимы.

Изучен также предельный случай, когда жесткость вдоль одной го осей бесконечна- случай преобразованного трения. Области существования одномерных колебаний в направлении другой оси жесткости уменьшаются с ростом параметра у, причем для каждого значения а, т.е. скорости протяжки, существует предельное значение угла а, свыше которого эти колебания невозможны.

В четвертой главе исследуется двумерное виброперемещение точки на горизонтальной плоскости под действием периодической силы, лиши действия которой медленно поворачивается (рю. 3): F = Fsmd[(ícosa +js®a)(X)3/?+FsiajS]. Здесь а- и быстрая" частота

изменения силы, p=const, ct^Q-t+cto, Q.- медленная скорость поворота направления ML, Эта задача возникла в связи с проблемой создания самоходных виброугшегшшгелей с криволинейной траекторией дискешет. Уравнения динамики точки в безразмерной форме будут иметь ии

р' = <¡Q - r(l / w -sin +ski г.

где р^- проекция безразмерной скорости точки на направление МЬ и перпендажулярное к нему, то- параметр перегрузки . Коэффициент £ как обычно в теории шброперемещешш, считается постоянным. Рассматриваются безотрывные дшекешкг, когда 0<\у<1. При £2=0 и q=0 первое уравнение описывает известную задачу об одномерном виброцерсмеще 1 одI, в которой наиболее интересным для пршгожешп; является периодический режим дискения теш! без длительных остановок, ко & двумя мгновенными за период. Этот режим здесь принимается в качестве невозмущенного. В первом приближешш с помощью метода осреднения для стационарной скорости точки Щ в направлении, ортогональном МЬ, получено уравнение

У i V Oiii í у ---==-

■Jp +r

a' = -pQ-r{l/-w-smr)—¡—^-— VY +q

_q !UJ

/

i=0.1 У/ У/ yv

y> ¿y.....

/ w =0.5

w =0.2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Рис. 4

которое решается численно. Результаты привезены на pire А пунктиром. Среднее значение поперечной скорости 9 не зависит or параметра г и окалывается отрвдатсльным. Это означает, что поворот граекюрии то*жи в медлегаюм движении отстает чт поворота прямой ML, т.е. траектория представляет собой рэзворачзияющуюся спираль.

Эта же задача рассмотрена для случая, когда величина внешней силы меняется по закону прямоугольного синуса, что позватяет провести анализ задачи точнее. Результаты показаны на рис. 4 сплошными кривыми; они мало зависят от параметра г и близки к решению задачи с внешней силой, меняющейся по синусоидальному закону. Средняя скорость в поперечном направлении также отрицательна, возрастает по величине с ростом параметров Q к w и огноаггельно невелика по сравнению со скоростью одномерного виброперемещешш vo»3nr/4 ( составляет 1-5% от ее величины пря QkO.1, wsO.7-0.9).

В обоих случаях начальный радиус траектерш будет (в размерных величинах) R^Fvocosyi./'KüTQ. а увеличение радиуса спирали при повороте линии действия силы F на угол а составит ¿\.R.-ûp|/?/v0 . Пр1шедешше результаты позволяют определить характер двиасешга шброуплотшпеля на плоскости "в среднем".

III. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Для фрикционных автоколебательных систем с одной степенью свободы установлено, что при различных идеалнзациях зависимости силы сухого некулонова трепня от скорости на возрастающем участке последа ей колебание! близкие к гармоническим не реализуются, но возможны ФА релаксационного типа { с длительными остановками). Показано, что в зависимости oi скорости прогяжкп. величины трения покоя и параметра, характер сующего трение при движении тела, на спадаюшем участке характеристики трения возможны как квазигармошгческис,

так и релаксационные колебания различного типа и определены на плоскости параметров области рехтизащш этих режимов.

2. Для тормозных механизмов при возникновении фрикцношшх плгоколсбанип устапошено, что абсолютная величина среднего тормозящего момента увеличивается с уменьшением угловой скорости вращегага тормозного диска, однако при скачкообразной характеристике силы трения средний тормозящий. момент остается постсяштым, если ci m трегает покоя ке превосходит трехкратного значешгя ci roi трения скольжстоет.

3. Предложена новая двухмассовая модель фрикционной пары с относительным скольжением тел. В пей наблгадшетгея два состсстшкг дзшздшческого равновесия: когда одно из контактирующих тел в первом лрибляжешш покоится, а другое совершает колебания, и наоборот. Устаноплсньт грашпхы областей притяжения обоих автоколебательных движений. Этст результат позволяет выбрать параметры системы таким образом, чтобы устрашггь нежелательные колебания одного из тел.

4. Учет еще одной степени свободы в поперечном к основному движению напршэтешш (гго так:«: новая проблема ФА) дает новые дштамические эффекты: тело на плоскости может участвовать как в одномерных колебаниях вдоль одной из осей жесткости, так н совершать сложные двумерные автоколебания.

5. Предложена новая методика , расчета вибрационных механизмов на плоскости. Получены оцено'пзые результаты для диске m таких механизмов, когда действующая внешняя периодическая сила совершает медленный поворот в плоскости движения механизма..

IV, СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Платовских М.Ю. Фршсциошпле автоколебшпш в валоггроводе судна ледового плавания * Т;олснь". Тезисы докладов на Всесоюзной изучи.-техн. коиф. "Повыишшс надежности судовых водопроводов". Л.. Судостроение. 19SS. с. 32.

2. Bra охов M.M., Платовских М.Ю. Влияние релаксационных автоколебаний тормозной колодки на процесс торможения. Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1988, т.117, с. 110-114.

3. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Фрикционные автокотебагага: двухмассопых тормозных устройств. Записки JIEli им. Г.В. Плеханова. .1991, т. 126, с. 79-85.

4. Вепоков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Автоколебания в системе тел, связанных силами сухого трения. РАН, Проблемы машиностроения к надежности машин. 1993, № 1, с. 37-41.

5. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Сравнительное исследование фрикшгошшх автоколебаний точным методом и методом осреднишя. Дсп. в ВИНИТИ 12.05.93 ( per. № 1249-В93).

6. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Задача о плоском вкброперемещении частицы. Вибрационные машины и технологии. Сб. научн. трудов, Курск, 1993, с. 79-89.

ВВЕДЕНИЕ

Глава I фрикционные автоколебания в системе с одной степенью свободы при различных характеристиках трения.

1. 1 исследование одномассовой системы с характеристикой трения в виде кубической параболы.

1. 2 Исследование колебаний в системе с кусочно- линейной характеристикой трения при помоши точного интегрирования.

1. 3 Исследование автоколебаний в системе с кусочно- линейной характеристикой трения по методу осреднения.

Глава II Торможение врашатёльного движения при наличии автоколебаний тормозного механизма. г. 1 Задача о торможении при действии сил сухого трения со скачкообразной характеристикой.

2. 2 Задача о торможении при действии сил трения с кубической характеристикой.

Глава III фрикционные автоколебания в системах с двумя степенями свободы.

3. 1 Автоколебания в системе тел. связанных силами сухого некулонова трения. з. 2 Фрикционные автоколебания на плоскости.

3. 3 Замечание об автоколебаниях в системах с преобразованным трением.

Глава IV Задача о плоском виброперемещении частицы.

4. 1 случай изменения силы F по гармоническому закону.

4. 2 Случай зависимости внешней силы от времени по закону прямоугольного синуса.

Среди источников вибрации в машинах и механизмах существенную роль играют Фрикционные автоколебания (ФА), являющиеся одним из наиболее распространенных видов механических автоколебаний и связанные с нестабильностью процесса трения при относительно малых скоростях скольжения. Эти скорости становятся весьма характерными для современной техники, особенно для процессов точного позиционирования, а также пуска и торноже-ния узлов различных устройств. Помимо очевидных негативных следствий этого явления, в некоторых случаях его проявление может оказаться и весьма полезным. Наиболее ярким примером может служить игра на смычковых музыкальных инструментах. Однако в большинстве машин и приборов роль ФА может изменяться от весьма нежелательной до катастрофической.

Фрикционные автоколебания возникают, например, в таких устройствах, как тормоза и механизны Фрикционного сцепления, широко распространенных в автомобилях и на тракторах [5J], Они являются причиной повышенной вибрации во время переходных процессов разгона ведомого звена Фрикционных и центробежно- Фрикционных муФт [2D и редукторов [48], в слаботочных шеточных контактах, а также при фрезеровании, абразивной обработке и бурении скважин. Известно также явление так называемого " туманного горна" на судах [21/]. Причиной его являются ФА, возникающие в подшипниках скольжения валопровода при работе его в условиях недостатка водяной смазки.

Принципиально важное значение ФА имеют в станкостроении, где определяют два важнейших критерия эксплуатационного качества работы станков: равномерность медленных движений и точность установочных перенешений. Неравномерность подачи отмечается в станках почти всех типов: профильно- фрезерных, шлифовальных, тяжелых токарных [3^]. В большинстве случаев она недопустима, особенно в современных станках с ЧПУ.

В связи с этим необходимо детальное изучение фрикционных автоколебаний, выбор путей их устранения или хотя бы снижения их уровня до приемлемого для безопасной работы машины или механизма. Здесь возможно проведение исследований в двух направлениях. Во-первых, в трибологическом аспекте, включающем изучение триботехнических характеристик фрикционного контакта и разработку новых антифрикционных материалов, а во -вторых, в плане исследования динанических систем, содержащих фрикционные элементы. Во втором случае ставится задача определения различных режимов автоколебаний, выяснения вопроса об их устойчивости в зависимости от параметров систены в целом и характеристик фрикционного контакта в частности. Последние при этом считаются заданными. Исследования в этом направлении, как правило, проводятся современными методами теории колебаний, волновой механики и механики сплошных сред.

Предлагаемая диссертационная работа прежде всего посвяшена исследованию ФА с точки зрения механики и теории колебаний. В ней рассматривается динамика Фрикционных систем с одной и двумя степенями свободы, в которых возможно возникновение ФА. При помощи аналитических и численных нетодов строятся различные режимы автоколебаний и определяются в пространстве параметров области их существования и устойчивости.

Развитие этого направления теории ФА насчитывает уже более чем полувековую историю. За это время наиболее заметные результаты здесь были получены такими отечественными и зарубежными учеными, как Н. В. Бутенин, И. И. Ветюков, А. Ю. Ишлинский, Н. Л. Кайдановский, Н. з. Коловский, Ле Суан Ань, Р. Ф. Нагаев, я. г. Пановко, в. Ф. Петров, А. Тондл, С. Э. Хайкин и рядом других.

Одна из первых механических моделей ФА, возникшая на материале теории автоколебаний радиоэлектронных систем - груз на движущейся резиновой ленте - была предложена Б. Ван- дер- Полем в 1930 г. [43]. Возникновение автоколебаний им связывалось с нелинейностью, обусловленной сухим трением. Релаксационные ФА, характеризующиеся наличием в процессе колебаний груза интервалов, в течение которых он неподвижен относительно ленты, впервые математически строго описаны Н. Л. Кайдановским и С. Э. Хайкиным в работе [28]. Авторы показали, что все фрикционные системы, в которых возможны автоколебания, должны обладать нелинейностью, причем вполне определенного типа: в некоторых областях характеристика трения -зависимость коэффициента трения от относительной скорости скольжения- должна быть падаюшей. Обнаружена важная особенность ФА- существование критической скорости, соответствующей переходу с падающего участка характеристики трения на возрастающий,выше которой автоколебания невозможны. При этом если изменение силы трения мало, его роль сводится лишь к самовозбуждению автоколебаний. В системе при этон возникают квазигармонические колебания с частотой, близкой к собственной частоте системы, и амплитудой, зависящей от скорости ленты.

Точка зрения о том, что падающая характеристика является причиной ФА, не является единственной.

Многие авторы видят причину возникновения ФА в разности между силами трения покоя и скольжения [26], [2.8].

Согласно теории, выдвинутой в 1944 А. Ю. Ишлинским и И. В. Крагельским, сила трения увеличивается с продолжительностью неподвижного контакта [26]. Именно поэтому в эксперименте первый скачок по амплитуде превышает последующие. Основываясь на этой теории, впоследствии в работах [46], [30 3 были построены модели ФА, в которых обнаружены стохастические режины . Однако Ле Суан Ань, анализируя проведенные им эксперимента, приходит к выводу о независимости силы трогания с места от длительности неподвижного контакта; эта сила, по его мнению определяется скоростью тангенциального нагружения, уменьшаясь с ростом этой скорости [39].

В. А. Кудинов в условиях полужидкостной смазки на Фрикционном контакте связывает возникновение ФА с зависимостью силы трения от контактной деформации в направлении, нормальном к поверхности контакта.

Помимо названных, существует ряд моделей ФА, связанных с реологическими и термодинамическими процессами на Фрикционном контакте [32].

Каждая из перечисленных моделей, по- видимому, имеет свою ограниченную область применения, но все же представление о том, что причиной автоколебаний является нелинейная, с падающим участком, зависимость коэффициента трения от относительной скорости, является наиболее распространенным. При этом характеристика трения может описываться различными способами: в виде скачкообразной [ Ч 3, 1181, [291 > экспоненциальной [6]. кусочно- линейной 1361, [4/1, 1491, или кубической С 2- 3. 13И, 13 3 зависимости.

Аналогичная трактовка природы возникновения Фрикционных автоколебаний используется и в данной работе.

Ввиду необходимости описания динамики Фрикционных систем с помощью нелинейных дифференциальных уравнений исследование ФА в сложных системах, в особенности с несколькими степенями свободы, оказывается сложной и подчас вовсе неразрешимой ( аналитическими методами) задачей. В связи с этим исследование Фрикционных автоколебательных систем целесообразно начать с рассмотрения автоколебаний в однонассовой системе типа груза на движущейся ленте.

Исследованию Фрикционных автоколебаний в систене с одной степенью свободы и посвяшена первая глава диссертации. С решением в том или ином виде данной задачи связано достаточно большое число работ: [ 1 ], [51- [S3- \.39], [<Ж. Ш1, [573, 1601 и др.

Как правило,при исследовании релаксационных колебаний используется скачкообразная характеристика, а в системе с кубической характеристикой рассматриваются лишь квазигармонические автоколебательные режимы. Это связано с тем, что при использовании кубической или иной нелинейной зависимости коэффициента трения от скорости скольжения ( за исключением скачкообразной), в подавляющем большинстве случаев относительная скорость I либо просто скорость скольжения) считается величиной знакоопределенной положительной или отрицательной, что является правомерным лишь при исследовании малых колебаний. Существует крайне небольшое число работ, в которых допускается обращение относительной скорости в ноль. Так, например, в. ф. Петров в упомянутой выше работе 1461 для скачкообразной характеристики с линейным возрастающим участком исследовал как квазигарнонические, так и релаксационные режимы. То же,по существу, проделано Ле Суан Анем в [ЗП для кубической характеристики в совокупности с характеристикой трения наследственного типа ( характеристикой, учитывающей зависимость силы трения от продолжительности неподвижного контакта). Задачи в подобной постановке рассматривались и И. 3. Коловским [2/], [3/]. Общим выводом здесь является тот Факт, что квазигармонические ФА могут реализоваться лишь в узком интервале для скорости протяжки релаксационные автоколебания в скорость, соответствующая минимуму характеристики трения).

А. А. АлиФов и К.В. Фролов в своей работе [2 ], исследуя одномассовую систему с кубической характеристикой трения, наряду с безостановочными и релаксационными режимами, рассматривают также и колебаодномассовой системе возможны при

- 1 и ния с изменением знака относительной скорости, при которых происходит переход на другую ветвь характеристики трения. Однако при этом сделано предположение о малости силы трения, существенно сужающее область применения полученных результатов.

В / i первой главы рассматривается одномассовая система с кубической характеристикой трения, состоящей из двух ветвей, соответствующих интервалам знакопостоянства относительной скорости. Новизна постановки задачи состоит в том , что малой предполагается не сила трения, а ее изменение, происходящее с изменением относительной скорости. Задача решается методом припасовывания в сочетании с методом многих масштабов [353, [42], \HZ ]. Показано, что в рассматриваемой системе возможны все три упомянутые выше периодических режима автоколебаний. Определены в зависимости от параметров условия их существования, а также амплитуды и периоды, соответствующие различным типам колебаний. Полученные результаты подтверждаются данными численных исследований.

В 2 и 3 рассматривается та же одномассовая система, но с кусочно- линейной характеристикой трения. Ее использование позволяет выполнить аналитическое решение задачи с помошью точного интегрирования.

Модель Фрикционной системы с кусочно- линейной характеристикой ранее рассматривалась в работах [36], либо с помошью метода гармонического баланса, либо численно.

Более глубокое аналитическое исследование различных типов колебаний проведено Р.ф. Нагаевым и Г.С. СараФя-ном. Однако основные результаты в работе [И] получены в предположении о малых наклонах характеристики трения. В настоящей работе исследования проводились без последнего ограничения, а для случая малых наклонов решение задачи проведено по методу осреднения. Отмечается хорошее согласование результатов при переходе к малым наклонам СУТЬ

При исследовании ФА в системах с одной степенью свободы скорость поступательного движения ленты, либо колеблющегося тела считается постоянной. Однако, влияние, например, автоколебаний, возникающих в тормозных устройствах, на скорость тормозящегося элемента, и соответственно на тормозящую силу или момент может оказаться существенным. Характер этого влияния определяется во второй главе, в которой рассматривается задача о торможении вращательного движения массивного диска при действии на него сил трения со стороны упругозакрепленной тормозной колодки []. Эта задача, по-видимону, является новой. Сначала задача решается для скачкообразной характеристики с привлечением результатов работы И6]. Исследуется влияние различных релаксационных режимов ФА на тормозящий момент. Аналогичные исследования проведены и для кубической характеристики.

Для многих реальных динамических систем с трением моделирование их с помощью системы с одной колебательной степенью свободы может оказаться недостаточным и привести к потере важных особенностей движения исследуемого объекта.

Исследованию систем с двумя степенями свободы- двухмассовой системы и автоколебаний материальной точки на плоскости посвяшена третья глава.

Многомассовые системы исследуются в целом ряде работ: ], [■//]. 145 1, [2П, LfS]. В основном в них рассматриваются двухмассовые системы, по крайней мере для таких систем проведен более или менее подробный анализ. Так, например, В. Ф. Петровым в работе [47] рассмотрена система, состоящая из двух свободно вращающихся на параллельных осях дисков, соединенных пружиной и находящихся в контакте с движущейся с постоянной скоростью шероховатой поверхностью. При определенных условиях, вследствие наличия сил сухого трения со скачкообразной характеристикой с возрастающий линейным участком , в системе возникают автоколебательные режимы движения дисков, двухмассовая модель бурильной колонны исследуется С. В. Белокобыльским и р. Ф. Нагаевым в статье ['/3. Рассматриваемая авторами система состоит из двух упругосвязанных дисков, на один из которых действует момент сил сухого трения. Интересные результаты исследований ФА в системах с несколькими степенями свободы, в том числе и на плоскости, полученные в основном посредством моделирования на АВМ, можно найти в работах А. Тондла [5"/ J. [52.3.

Во всех перечисленных работах рассмотрены фрикционные системы, в которых силы трения действуют либо на одно из входящих в систему тел, либо между некоторыми телами и поступательно движущимся основанием, в то время как между самими телами существуют упругие или вязко демпфирующие связи. Кроме того, при исследовании многомассовых систем используются как правило упрошенные характеристики трения. Поэтому представляется важным и интересным исследовать задачу об автоколебаниях в системе двух тел, взаимодействующих посредством сил сухого некулонова трения с кубической характеристикой, которая рассмотрена в третьей главы. Предлагаемая система состоит из двух тел, одно из которых упруго закреплено, а второе перемешается по нему с постоянной скоростью V , сообщаемой через упругий элемент [ ]. Задача решается по методу осреднения в резонансном и нерезонансном случаях.

В этой же главы исследуются ФА на плоскости. В литературе существует совсем немного работ, посвященных вопросам движения материальной точки или твердого тела на плоскости под действием силы трения С41»]. [Я5]. В статье М. М. Ветюкова ПН], являющейся по- видимому единственной работой в этом направлении, исследуется устойчивость упруго закрепленного ползуна с тремя степенями свободы ( а как частный случай и материальной точки) на плоскости. Что касается автоколебаний, то удалось обнаружить лишь численные исследования А. Тондла [5/], носящие по большей части качественный иллюстративный характер.

В данной работе рассматривается задача об автоколебаниях упруго закрепленной точки на горизонтальной плоскости, перемещающейся с постоянной скоростью под углом об к взаимно перпендикулярным осям жесткости. Задача рассматривается в декартовых координатах, совпадающих с осями жесткости. Решение проводится по методу осреднения для нерезонансного случая в предположонии, что трение ( используется кубическая характерис-тикаJ в системе мало.

В процессе решения задачи получены осредненные уравнения первого приближения относительно амплитуд колебаний, определены стационарные режимы автоколебаний и выведены условия их существования и устойчивости, полученные результаты в достаточной степени согласуются с данными исследования исходных уравнений движения численными методами.

Изучен также предельный случай, когда одна из жест-костей стремится к бесконечности - случай преобразованного трения.

Наряду с теорией ФА, другим важным разделом динамики систем с сухим трением является теория вибрационного перемещения. В ней достаточно подробно изучены различные одномерные режимы виброперемешения [ 40)- задачи о движении материальной точки или шара по плоскости, в обшем случае наклоненной под углом к горизонту, совершающей прямолинейные колебания.

К достаточно хорошо разработанным вопросам двумерного виброперемешения относятся прежде всего задачи о движении частицы по горизонтальной или наклонной плоскости, совершающей круговые или эллиптические колебания.

В четвертой главе предлагаемой диссертационной работы рассматривается новая задача о движении точки по горизонтальной плоскости под действием периодической силы, линия действия которой наклонена к плоскости и медленно поворачивается.

Математически рассмотрение этой модели сводится к решению возмущенных уравнений вибрационного перемещения. При этом определяются две скорости перемешения-основная в направлении линии действия силы или ее проекции на плоскость и дополнительная в перпендикулярном направлении. Эта дополнительная скорость для технически интересных приложений оказывается значительно меньше основной.

Эта задача представляет интерес для вибротехники в связи с созданием самоходных виброуплотнителей [S3], [Л], а результаты^ полученные при ее исследовании,позволяют с достаточной точностью определить основные параметры движения самоходных виброуплотнителей на плоскости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для Фрикционных автоколебательных систем с одной степенью свободы установлено, что при различных идеализация^ зависимости силы сухого некулонова трения от скорости на возрастающем участке последней колебания{ близкие к гармоническим,не реализуются, но возможны ФА релаксационного типа ( с длительными остановками). Показано, что в зависимости от скорости протяжки, величины трения покоя и параметра, характеризующего трение при движении тела, на спадающем участке характеристики трения возможны как квазигармонические, так и релаксационные колебания различного типа,и определены на плоскости параметров области реализации этих режимов.

2. Для тормозных механизмов при возникновении Фрикционных автоколебаний установлено, что абсолютная величина среднего тормозящего момента увеличивается с уменьшением угловой скорости вращения тормозного диска , однако при скачкообразной характеристике силы трения средний тормозящий момент остается постоянным, если сила трения покоя не превосходит трехкратного значения силы трения скольжения.

3. Предложена новая двухмассовая модель Фрикционной пары с относительным скольжением тел. В ней наблюдаются два состояния динамического равновесия: когда одно из контактирующих тел в первом приближении покоится, а другое совершает колебания, и наоборот. Установлены границы областей притяжения обоих автоколебательных движений. Этот результат позволяет выбрать параметры системы таким образом, чтобы устранить нежелательные колебания одного из тел.

4. Учет еше одной степени свободы в поперечном к основному движению направлении (это также новая проблема ФА) дает новые динамические эффекты: тело на плоскости может участвовать ~ как в одномерных колебаниях вдоль одной из осей жесткости, так и совершать сложные двумерные автоколебания.

5. Предложена новая методика расчета вибрационных механизмов на плоскости, получены оценочные результаты для движения таких механизмов, когда действующая внешняя периодическая сила совершает медленный поворот в плоскости движения механизма.

1. Андронов А. А. . Витт А. А. , Хайкин С. Э. Теория колебаний. Нашгиз. 1957.

2. АлиФов А. А. . Фролов К. В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука. 1985, 328 с.

3. Андронов В. В. Механические системы с преобразованным сухим трением. Изв. А1$:ССР. Механика твердого тела. 1988, So 1.

4. Белокобыльский С. В. , Нагаев Р. Ф. Метод частичной гармонической линеаризации в задаче о фрикционных автоколебаниях механических систем с несколькими степенями свободы. Нашиноведение. 1985. Но 5. с. 27-31.

5. Белокобыльский с. В. , Нагаев Р. Ф. фрикционные автоколебания упругой системы с динамической характеристикой момента сопротивления. Управляемые механические системы. Иркутск. 1985, с. 70-76.

6. Белокобыльский с. В. , Прокопов В. К. Анализ фрикционных автоколебаний бурильной колонны при экспоненциальном законе сопротивления. Прикладная механика. 1982.1. Т. 18. Но 12. С 32-39.

7. Белостоцкий Б.А. Самоходная вибропрессовая уплотняющая машина. Л. : Труды ЛКВВИА им. А. Ф. Можайского. 1959, 38с.

8. Бессараб Н. Ф. фрикционные автоколебания. ХТФ. 1956. т. 26, вып. 1. с. 102-108.

9. Бидерман В. Л. Теория механических колебании. М. : Высш. гак. , 1980. 408с.

10. Блехман И.И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное перемещение. М. : Наука, 1964. 410с.

11. Бутенин Н. В. Приложение метода Ван- дер-Поля к механическим автоколебательным системам с двумя степенями свободы. Изв. Вузов. Машиностроение. '.963, No 4, с. 32-46.

12. Р. Бутенин Н. В. . Неймарк Ю. И. . фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М. : Наука, 1987, 382с.

13. Ван-дер Ноль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М. : Связьтехиздат, 19 35. 42с.

14. Ветюков М. М. Устойчивость ползуна на плоскости при действии сил сухого некулонова трения. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992. No 3. с.40- 44.

15. Ветюков М. М. Нагаев Р. Ф. , Платовских И. К. Автоколебания в системе тел, связанных силами сухого трения. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. -■ Hoi.

16. Ветюков М. М. , Доброславский С.В., Нагаев Р. Ф. Автоколебания в системе с характеристикой сухого трения наследственного типа. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1990. -N01.

17. Ветюков Н. М. , Нагаев Р. Ф. , Платовских М. Ю. Сравнительное исследование квазигармонических автоколебании точным методом и методом осреднения. Деп. ВИНИТИ. 1993.

18. Ветюков М. М. , Платовских М. К. Влияние релаксационных автоколебаний тормозной колодки на процесс торможения. Записки Ленинградского горного института им. Г. В. Плеханова. 1988. Т. 117.

19. Ветюков М. М., Платовских М.Ю. Задача о плоском переметении частицы. Вибрационные машины и технологии. Курск. 1993.

20. Волосов В. И. . Моргунов б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М. :Изд- во МГУ, 1971. 50с.

21. ВульФсон и. и. , Коловский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968, 284с.

22. Геккер Ф. Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. 1983.

23. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М. : Наука. Гл. ред. Физ. -мат. лит. . 1986. 25бс.

24. Ден-Гартог Дж. П. механические колебания. Н. :. Физматгиз, I960.

25. Ишлинский А. Ю. Движение плоских тел при наличии сил сухого трения. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1981, Но 4.

26. Ишлинский А. ю. , Крагельский и. в. о скачках при трении. ГГФ. 1944. Т. 14, вып. 45, С. 276-282.

27. Кабельков А. Н. , Воронцов Г. В. Исследование Фрикционных автоколебательных систем с двумя степеняни свободы. Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. шк. Техн. науки . 1984. Но 1. С. 55-59.

28. Кайдановский Н. л. . Хайкин с. в. Механические релаксационные колебания. ЖТФ. 1933. т. 3, вып. 1,С. 91-107.

29. Кайдановский Н. Л. Природа механических автоколебаний, возникающих при сухом трении. ХТФ. 1949. т. 19, вып. 9,с. 985-996.

30. Кашеневский Л. Я. стахостические автоколебания при сухом трении. Инж. Физ. журнал. 1984. т. 41. Но 1.

31. Коловский Н. 3. Нелинейная теория виброзашитных систем.1. М. : Наука, 1966, 298с.

32. Крагельский И. В. Трение и износ в вакууме. М. : Машиностроение, 1973, 216с.

33. Крагельский И. В. , Гитис Н. В. фрикционные автоколебания. М. : Наука.1987.181с.

34. Кудинов В.А. Динамика станков. Н. : Машиностроение. 1967. 359с.

35. Ладыгина Л. А. , Маневич В. Н. Свободные колебания нелинейной кубической системы с двумя степенями свободы при близких собственных частотах. Прикладная математика и механика ( Москва). 1993. Но 2.

36. Левин А. И. Приближенный расчет фрикционных автоколебаний. Машиноведение. 1981. Но 2.

37. Ле Суан Ань. Автоколебания при трении. Машиноведение. 1973. Но 2.

38. Ле Суан Ань. Механические релаксационные автоколебания. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1973. Но 2.

39. Ле Суан Ань. Экспериментальное исследование механических автоколебаний при трении. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1972. Но 3.

40. Нагаев Р. Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. М- : Наука, 1978, 160с.

41. Нагаев Р.Ф. , СараФян Г. С. Фрикционные автоколебания в системе кусочно линейной характеристики трения. Прикладная механика. 1990. Но 10. с. 84-90.

42. НайФэ А. Введение в методы возмущений. М. : Мир, 1984, 482 с.

43. НайФэ А. Методы возмущений. И. : Мир, 1976, 367с.

44. Пановко Я. Г. , Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М. : Наука, 1964, 336 с.

45. Пановко я.г. особенности движения твердого тела вдоль вибрирующей плоскости при сухом некулоновом трении. Машиностроение. 1983. Но 3.

46. Петров В. Ф. о механических автоколебаниях при сухом трении в системах с одной степенью свободы. Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика,механика. 1967. Но 2.С.86-92.

47. Петров В.Ф. О механических автоколебаниях, возбуждаемых силами сухого трения в системе с двумя степенями свободы. Механика твердого тела. 1968. Но 1. С.39-45.

48. Платовских М.Ю. фрикционные автоколебания в валопрово-де судна ледового плавания "Тюлень". Тезисы докладов на всесоюзн. науч. техн. конФ. " Проблемы повышения надежности судовых валопроводов". л. 1988.

49. Сальникова Н.Д. К вопросу о Фрикционных автоколебаниях в системах с конечным числом степеней свободы. Изв. Вузов. Машиностроение. 1968. No 6. С. 54-59.

50. Стрелков С.П. Теория автоколебаний маятника Фроуда. ГГФ. 1933. т. 3. вып. 4. С. 563-572.

51. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем, м. : МИР, 1973, 334С.

52. Тондл А. Автоколебания. М. : Мир, 1979, 398с.53. форсблад Л. И. Вибрационное уплотнение грунтов оснований. М. : Транспорт. 1987. 67с.

53. Хархута Н. Я. Машины для уплотнения грунтов. Л. : Машиностроение. 1973, 356с.

54. Чичинадзе А. В. Расчет и исследование внешнего трения при торможении. м. : Наука, 1967, 216 с.

55. ЖтейнвольФ Л.И. Исследование автоколебаний в механических передачах транспортных машин. Изв. вузов. Машиностроение. 1966. Но 3. С. 75-80.

56. Яковлев В. И. Об автоколебаниях груза на движущейся транспортерной ленте. Механика твердого тела. 1966. No 2. С. 175-178.

57. Benglsu н. т. , AKay a. stability of friction-inducted vibrations in roulty-degree-of-freedom systems. Jorn. of Sound and Vi.br. 1994. -171, Ho 4, p. 557-570.

58. Та Капо EisuKe,Zhang Xiang Yong. Frictional vibrations 1. , Res. RePt. Fac. Hiigata Univ. ,1986, Ho 35, p. 1-9.

59. Та Капо EisuKe, Zhang Xiang Yong, Нага Toshia Ki, Hiya-jima Masahiro. Frictional vibrations 2. , Res. Rept, Fac. Hiigata Univ. , 1986, Ho 35, p. 11-18.