Геометрические методы в теории колебаний резонансных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

08-3 4064

На правах рукописи

Фомичев Александр Владимирович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2008

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете) на кафедре механики и процессов управления. Базовая кафедра - ИПМех РАН

Научный руководитель: академик РАН

Журавлёв Виктор Филиппович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кобрни Александр Исаакович

доктор физико-математических паук, профессор Самсонов Виталий Александрович

Ведущая организация Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН

Защита состоится 1S декабря 2008 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики им. АЛО. Ишлинского РАН (119526, г. Москва, пр-т-Вернадского, 101, корп.1 ИПМех РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН. Автореферат разослан « Ь> ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН, кандидат физико-математических наук

Е.Я.

Сысоева

1. Общая характеристика работы Задачи, исследуемые в работе и их актуальность

В диссертации решается ряд задач с использованием двух новых асимптотических методов, разработанных В.Ф. Журавлевым, а также исследуется один из этих методов при произвольных резонансных соотношениях. Первому методу посвящены главы 1 - 3, второму - 4 и 5.

Первый метод был развит для решения специального класса задач теории возмущений, возникающих при исследовании общих принципов работы волновых твердотельных и вибрационных гироскопов [5,9,11,17 - 211. Данные приборы, представляющие собой датчики угловой скорости, начали разрабатываться с середины шестидесятых годов XX в. В настоящее время они представляются наиболее перспективными, как в качестве достаточно грубых датчиков микромеханических инерциальных систем, так и высокоточных приборов предназначенных, в основном, для систем ориентации космических аппаратов.

Одной из принципиально важных проблем является задача управления колебаниями упругого резонатора, представляющего собой основной элемент датчика. Ее значимость определяется следующими фактами. Любая форма колебаний резонатора неустойчива по отношению к сколь угодно малым возмущениям и без специального управления разрушается. Это исключает возможность использования прибора на длительных интервалах времени и не позволяет полностью реализовать его возможности. С другой стороны, известно, что лишь стоячие волны определенной формы наименее подвержены влиянию возмущений. Отсюда и возникает задача управления формой колебаний.

Основные уравнения, используемые для анализа указанных проблем, приводятся в большинстве работ, посвященных исследованию гироскопов основанных на использовании эффекта инертности упругих волн [5,6,10,11]. Они образуют квазилинейную систему обыкновенных дифференциальных

уравнений, разрешенную относительно старших производных с малым возмущением в правой части

<7 + д = £-<2(<7,<7,0> 9 6 К2

Однако специфика задач, которые ставятся по отношению к этим уравнениям такова, что использование известных асимптотических методов оказывается затруднительным, либо невозможным.

Новый подход к исследованию этого класса задач был предложен В.Ф. Журавлевым [2]. Преимущество нового метода состоит в значительном упрощении процедуры исследования большинства вопросов. Значительная часть задачи переводится на геометрический уровень. Это позволяет, например, заменить достаточно громоздкое аналитическое исследование простой проверкой наличия проекции вектора на определенный пучок направлений.

Существенной особенностью нового метода является зависимость ряда свойств задачи от размерности фазового вектора. Так, задачи о стабилизации прямолинейной формы колебаний при постоянно действующих возмущениях в системах

<?+<? = (<?> <7,0

Где размерность вектора ц равна двум или трем, а правая часть представляет собой малое возмущение, на что указывает малый параметр е, решены в работе [2]. Решение трехмерной задачи оказывается существенно более сложным. Исследование аналогичной задачи для системы с вектором д большей размерности показало, что использовать те же приемы, что и в предыдущих случаях повторяя их дословно, не представляется возможным.

Именно этим фактом обусловлен интерес к исследованию систем более общего вида:

q + ^q = eQ{q,q,t), qeR", Л = сНа§||(01,...,й>)1|, а?, :...:<»„ =тх:...:т„, т,<=Ъ

По отношению к этой системе ставятся те же задачи, что были исследованы в [2]. При их решении используется метод, разработанный в [2], однако медленные переменные введены иным способом. Использование нового набора медленных переменных позволяет максимально упростить геометрическую часть задачи.

В главах 2 и 3 данный метод используется для исследования следующих задач. В работе [3] впервые предложена идея об использовании однородного пространственного осциллятора, установленного на движущийся объект, в качестве бесплатформенной инерциальной системы. Показано, что информации, считываемой всего лишь с одного осциллятора, совершающего колебания эллиптической формы, достаточно для полного решения задачи автономной навигации. В данной работе рассматривается упрощение этой идеи, для случая осциллятора совершающего круговые колебания [16]. Это приводит к потере контроля за одной степенью свободы, однако значительно упрощает задачу, решаемую методом [2], исследовавшимся в первой главе.

В главе 3 рассматривается вопрос об исследовании обратной связи, предложенной в [2] во втором приближении метода осреднения. Содержательность задачи обусловлена принципиальной возможностью влияния членов, не учитываемых в первом приближении на эволюции системы на длительных интервалах времени. Показано, что и во втором приближении обратная связь [2] лишена принципиальных недостатков.

Последние главы содержат исследование двух задач гамильтоновой механики методом инвариантной нормализации, разработанным В.Ф. Журавлевым [4,7,8], позволяющим построить нормальную форму Биркгофа любого порядка посредством одной скалярной рекуррентной процедуры. Это делает процедуру нормализации гораздо более компактной по сравнению с существующими методами нахождения нормальной формы. При этом сама процедура не зависит от того, является система автономной, резонансной или нет. Все известные методы вычисления нормальной формы неизбежно требуют

приведения гамильтониана к полиномиальному виду. При использовании инвариантной нормализации это требование не обязательно, что является еще одним преимуществом этого метода.

В диссертации рассматриваются следующие задачи: о пространственных колебаниях качающейся пружины при резонансе 1:1:2, и о колебаниях газового пузыря в идеальной жидкости, обладающей поверхностным натяжением.

Первая задача в плоской постановке (при резонансе 1:2) хорошо известна и подробно исследована в работах [1,12,13,15]. Впервые исследование задачи методом инвариантной нормализации было проведено в работе [12]. Наиболее полное исследование содержится в статье [14], в соответствии с которой и рассматривается трехмерная система. Установлено, что большинство свойств плоской системы, наиболее примечательным из которых является известный эффект перестройки мод колебаний, когда колебания изначально близкие к вертикальными достаточно быстро перестраиваются в почти горизонтальные, юсле чего происходит обратная перестройка, имеет место и в пространственном случае. Однако удалось найти и ряд особенностей, наблюдающихся именно в трехмерном случае. Эти факты, по-видимому, являются новыми.

Исследование плоской и пространственной задач о качающейся пружине при помощи метода инвариантной нормализации демонстрирует преимущества метода, что нетрудно увидеть из сопоставления работ [13,15] и [14]-. В последней статье для получения тех же и некоторых новых результатов потребовалось существенно меньше расчетов.

Вторая задача о колебаниях газового пузыря в идеальной жидкости с поверхностным натяжением при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2 сводится к исследованию нелинейных колебаний в соответствующей ей гамильтоновой системе. Гамильтонова система исследуется методом инвариантной нормализации. Оказывается, что

нормальная форма гамильтониана с точностью до множителя эквивалентна нормальной форме гамильтониана плоской задачи о качающейся пружине.

Следует отметить, что задачи о нелинейных колебаниях газовых пузырей в жидкости обычно исследовалась численными методами, тогда как здесь использован аналитический подход.

В конце работы исследуется влияние диссипативных процессов, таких, как теплообмен между жидкостью и газом и вязкость жидкости, присущих любым реальным средам. Этот вопрос очень важен, поскольку равносилен вопросу о корректности идеализации задачи.

Цель диссертации

• Обобщение метода [2] на системы произвольной размерности и с произвольными резонансными соотношениями. Развитие идеи об использовании пространственного осциллятора в качестве датчика бесплатформенной инерциальной системы. Исследование обратной связи, предложенной в работе [2] во втором приближении метода осреднения.

• Исследование задач гамильтоновой механики методом инвариантной нормализации, позволяющее продемонстрировать преимущества метода и получить с его помощью некоторые новые результаты. Вычисленные нормальные формы гамильтонианов для задач о плоской качающейся пружине и о колебаниях газового пузыря в идеальной жидкости с поверхностным натяжением позволяют обнаружить их полную аналогию в первом приближении.

Научная новизна

Диссертация основана на новых методах исследования, впервые опубликованных в работах [2,4,7,8]. Также следует отметить и новизну самих постановок задач, рассмотренных в главах 1-3. Большинство результатов, приведенных в работе, получено впервые.

Практическая ценность

Как уже отмечалось, постановки задач, относящихся к главам 1 - 3, возникли при исследовании общих принципов работы гироскопов, в которых используется явление инертности упругих волн. Этим обусловлена потенциальная возможность использования части результатов диссертации при решении задач управления колебаниями в этих приборах. Задачи, решенные методом инвариантной нормализации, не имеют непосредственных практических приложений, однако представляют интерес в связи с новизной постановок VI способа решения.

Достоверность результатов В диссертации применялись как традиционные методы, справедливость которых не вызывает сомнений, так и новые подходы. Достоверность последних также может считаться доказанной как теоретически, так и путем непосредственных проверок. Например, управление, стабилизирующее прямолинейные колебания, приведенное в [2], реализовано в действующих приборах. Методом инвариантной нормализации могут быть получены все известные нормальные формы гамильтонианов, полученные традиционными методами и приведенные в литературе.

Апробация работы Все результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

• ХЬУ1 - Ь конференциях МФТИ

• Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2007)

• Шестом международном симпозиуме по небесной и классической механике (Великие Луки, 2007)

• X Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008)

Публикации

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в двух статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК.

Структура н объем рпботы

Диссертация состоит из введения, пяти частей, заключения и списка литературы. Работа изложена на 126 страницах, содержит 20 рисунков, 64 библиографические ссылки.

2. Краткое содержание диссертации

Введение

Содержит краткую историю проблем, исследуемых в диссертации. Описываются постановки задач и методы их исследования. Указываются особенности используемых новых подходов. Приводится краткое содержание работы.

Глава 1

Исследуются колебания квазилинейных резонансных систем, приводящихся невырожденным линейным преобразованием к следующему виду

<? + Л<7 = е£>(д,д,1), <?е11", Л = с^¡¿у,,...,¿у„||, со, :...:со„ = т, :...://?„, ^ (0

Правая часть является возмущением, £ - малым параметром. При в = О получается система, называемая порождающей.

Вначале изучаются геометрические свойства траекторий (фигур Лиссажу) в конфигурационных пространствах порождающих систем и дается их классификация по признакам наличия симметрий и точек возврата. Дальнейшее исследование проводится по схеме впервые предложенной в работе [15]. Оно включает в себя следующие этапы. Каждому типу фигур ставится в соответствие определенное многообразие в пространстве постоянных интегрирования порождающей системы. При появлении возмущений эти

параметры становятся медленно изменяющимися переменными. Для исследования их зависимости от времени используется метод вариации постоянных.

В результате получается система уравнений для медленных переменных вида

х = еХ(х,0, хеЯ2" (2)

К этой системе применяется метод осреднения в первом приближении, что приводит к автономной системе

х = еХ(х), х е II2" (3)

Далее классифицируются эволюции фигуры под действием возмущений. В каждой точке пространства медленных переменных строится локальный базис инфинитезимальных эволюции, состоящий из векторов, соответствующих возможным эволюциям фигур Лиссажу под действием возмущений. Основным свойством локального базиса, позволяющим значительно упростить исследование воздействия возмущений и конструктивно сформулировать задачу стабилизации формы колебаний, является следующее. Допустим, что в системе (I) задана правая часть. Требуется выяснить, каким образом будет изменяться фигура Лиссажу под влиянием этой правой части. Чтобы ответить на данный вопрос, нужно вычислить правую часть системы (3), соответствующую (1), после чего найти проекцию правой части (3) на интересующее направление локального базиса. Наличие ненулевой проекции означает, что исследуемое возмущение приводит к соответствующей эволюции.

Каждый вектор локального базиса порождает оператор однопараметрической группы Ли. Множество операторов порождает соответствующую алгебру Ли. В работе исследуются ее свойства и, в частности, устанавливается, что большинство операторов коммутативны.

Наличие локального базиса позволяет классифицировать силы возмущений по признаку вызываемых ими эволюций, что и делается для сил, линейных по обобщенным координатам и скоростям. Матрицы сил считаются постоянными

и раскладываются на составляющие, соответствующие позиционным силам сферического и гиперболического типа, циркулярным силам, диссипативным силам сферического и гиперболического типа, гироскопическим силам.

Система (1) при наличии линейных возмущений с постоянными матрицами допускает точное решение. Это позволяет сопоставить результаты, полученные точно и при использовании осреднения, что позволяет установить их соответствие, а также обнаружить некоторые эффекты, квадратичные по малому параметру.

Для исследования возмущенной системы используется метод осреднения. В связи с этим в работе изложена идея этого метода и доказана теорема H.H. Боголюбова. Приводится доказательство теоремы, поскольку удалось улучшить оценки точности приближенного решения, полученные в [10].

В работе предлагается новый набор медленных переменных, отличный от использовавшихся в [2]. Это позволяет предельно упростить структуру всех вводимых геометрических объектов и свести их к прямым и плоскостям в пространстве R". Последний раздел главы 1 посвящен проблеме стабилизации формы колебаний при постоянно действующих возмущениях. Она является наиболее важной с точки зрения возможных приложений, однако оказывается и наиболее сложной. Задача сводится к построению правой части системы (3), которая должна удовлетворять двум свойствам: обеспечивать экспоненциальную устойчивость многообразия в пространстве медленных переменных, соответствующего фигуре Лиссажу требуемого типа и не иметь проекции на направления прецессии и изменения частоты локального базиса. Эта задача допускает решение в новых переменных. Далее исследуются траектории системы под действием управлений, предложенных в данной работе и в [2]. Управление, предложенное в диссертации, имеет особенность, связанную с появлением разрывных функций при возвращении к исходным переменным. Отсюда следует вывод, что при решении задачи управления формой целесообразнее использовать декартовы медленные переменные [2],

лишенные особенностей. Именно такой подход применяется в главе 2 для одного частного случая резонанса 1:1:1.

Обсуждается возможность использования изотропного пространственного осциллятора в качестве двухстепенного гироскопа. Предлагаются алгоритмы, позволяющие получить информацию об ориентации объекта, на который установлен такой гироскоп, и способ стабилизации формы колебаний, неустойчивой без стабилизации.

Уравнения, возникающие при решении задачи, имеют вид

Они являются частным случаем уравнений, рассмотренных в главе 1, что позволяет исследовать задачу с тех же позиций и применять подход, предложенный в [2].

Как и в предыдущей части, исследование состоит из следующих этапов. Решение порождающей системы и построение многообразия в пространстве постоянных интегрирования, соответствующего круговым колебаниям. При этом используется, декартов набор медленных переменных, предложенный в [2]. Построение локального базиса инфинитезимальных эволюций. Исследование его свойств и свойств порождаемой им алгебры Ли. Исследование воздействия возмущений, линейных по скоростям и координатам. Решение задачи о стабилизации круговых колебаний при постоянно действующих возмущениях. Кроме того, описан возможный алгоритм съема информации с исследуемого датчика.

Проведено сопоставление свойств системы, совершающей круговые и прямолинейные [2] колебания. При этом обнаруживается ряд существенных отличий, проявляющихся, например, в задаче стабилизации формы и в

Глава 2

(4)

различном влиянии одних и тех же возмущений на прямолинейные и круговые колебания.

Глава 3

Для стабилизации прямолинейной формы колебаний в двумерной системе д + д = £0(д,си), деЯ2

в [5] была предложена обратная связь (управление), которая исследовалась при помощи метода осреднения в первом приближении. В рамках этого приближения было показано, что управление обеспечивает стабилизацию формы колебаний при постоянно действующих возмущениях и удовлетворяет всем необходимым требованиям, предъявляемым к управлению. Однако известно, что учет высших приближений иногда может качественно изменить поведение системы на длительных интервалах времени. В связи с этим в части 3 и рассматривается построение уравнений обратной связи, предложенной в [2], во втором приближении метода осреднения. Вначале описывается процедура построения второго приближения метода осреднения в общей постановке, после чего она применяется к исследуемой системе. Оказывается, что учет второго приближения не приводит к качественным изменениям в воздействии обратной связи на систему, что оправдывает ее использование.

Глава 4

Рассматриваются трехмерные нелинейные колебания тяжелой материальной точки, подвешенной на невесомой пружине в однородном поле тяжести. В предшествующих работах [1,12,13,14,15] задача о свободных колебаниях системы изучалась в плоской постановке. В данной части диссертации описаны некоторые обобщения результатов [14] на случай пространственных колебаний. Для этого выписывается гамильтониан системы и приводится к безразмерному

виду, что достигается заменами масштабов переменных и времени. Это позволяет максимально упростить вид функции Гамильтона. Гамильтониан раскладывается в ряд Тейлора до кубических членов включительно, после чего приводится к нормальной форме Биркгофа в первом приближении при помощи метода инвариантной нормализации, впервые предложенного в [8].

Дальнейшее исследование основывается на работе [14], где аналогичная задача в плоской постановке также исследовалась методом инвариантной нормализации. Полученные уравнения нормальной формы, как и в плоском случае, позволяют обнаружить периодическое решение, решение близкое к периодическому, а так же эффект перестройки мод колебаний и найти период этой перестройки.

Поведение плоской и пространственной систем оказывается во многом аналогичным, однако в трехмерном случае выясняются особенности, свойственные именно пространственной системе. Например, в пространственной системе при наличии сколь угодно малой проекции кинетического момента на вертикальную ось период перестройки мод колебаний (из почти вертикальной формы в почти горизонтальную) всегда оказывается конечным. В трехмерной системе наблюдается поворот траектории вокруг вертикальной оси, что, по-видимому, является новым эффектом. Получено точное периодическое решение уравнений нормальной формы. Это позволяет вычислить угловую скорость прецессии траектории вокруг вертикали, которая для периодического решения постоянна. При рпоизвольных начальных условиях решение не является периодическим, а угловая скорость прецессии не является постоянной и соответствующее аналитическое выражение пока не найдено.

Глава 5

Исследуется задача о колебаниях газового пузыря, центр которого неподвижен относительно идеальной жидкости, имеющей поверхностное

натяжение. В состоянии равновесия пузырь имеет сферическую форму. Колебания подразделяются на две моды - радиальную и деформационную. В первом случае изменяется радиус сферического пузыря, тогда как во втором случае изменяется форма пузыря при постоянном объеме. Деформированная форма аппроксимируется поверхностью эллипсоида вращения.

Для решения задачи используется уравнения Лагранжа. Обобщенными координатами в лагранжиане служат геометрические параметры эллипсоида, характеризующие его объем и деформацию. Лагранжиан раскладывается в ряд Тейлора до членов третьего порядка включительно. Изменяются масштабы координат и времени, после чего функция Лагранжа приводится к безразмерному виду. Находятся условия на параметры задачи (взаимосвязь между давлением жидкости на бесконечности, поверхностным натяжением, радиусом пузыря в состоянии равновесия и т.п.), при выполнении которых в линейной задаче реализуется резонансное соотношение частот радиальных и деформационных колебаний 1:2.

Для дальнейшего исследования находится Гамильтониан, соответствующий обезразмеренной функции Лагранжа. Он представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых квадратично и соответствует линейной задаче, а второе имеет третий порядок и соответствует возмущению. Некоторые кубические члены разложения гамильтониана являются резонансными. К гамильтониану системы применяется процедура инвариантной нормализации в первом приближении, приводящая его к нормальной форме Биркгофа (в указанном приближении).

Оказывается, что нормальная форма гамильтониана возмущения совпадает с точностью до множителя с нормальной формой гамильтониана возмущения для плоской задачи о качающейся пружине при резонансе 1:2 [14]. Это позволяет перенести все результаты, относящиеся к качающейся пружине, к данной задаче. Найдено периодическое решение, решение близкое к периодическому, обнаружен эффект перекачки энергии между

деформационной и радиальной модами колебаний. Найден период указанной перестройки.

В конце главе 5 исследуется вопрос о достоверности полученных результатов при учете диссипативных процессов. Рассеяние энергии в системе объясняется двумя причинами - влиянием вязкости жидкости и наличием теплообмена между жидкостью и газом. Преобладание одного из этих процессов определяется величиной числа Пекле

в котором у - показатель адиабаты газа, рш - давление жидкости на бесконечности, ¡о - характерный размер пузыря, р - плотность жидкости, к -коэффициент температуропроводности газа. При Ре » 1 преобладает механизм, связанный с вязкостью жидкости, при Ре ~ 1 доминирует процесс теплопроводности. Однако в любом случае оказывается, что интенсивность затухания колебаний, характеризуемая декрементом затухания, существенным образом зависит от теплофизических свойств веществ. Для большинства жидкостей и газов декремент затухания оказывается величиной порядка 0.1, тогда как показано, что для наблюдаемости перестройки мод колебаний нужно время порядка сотни периодов колебаний линеаризованной системы. Таким образом для большинства веществ перестройка не наблюдаема. Подбирая вещества специальным образом, можно существенно уменьшить декремент затухания до величин порядка 0.01. В этом случае, по-видимому, можно наблюдать 1 -2 перестройки.

• Получено обобщение метода исследования, предложенного в [2] на системы с произвольными резонансными соотношениями частот порождающей системы и любой размерностью конфигурационного пространства. Благодаря

(5)

3. Основные результаты работы.

использованию нового набора медленных переменных удалось максимально упростить геометрическую часть задачи. Упрощается и задача стабилизации формы колебаний, однако полученное управление имеет особенность при возвращении к исходным переменным. Этим недостатком не обладает набор медленных переменных, введенных в работе [2], откуда следует вывод о целесообразности использования данных переменных при решении задачи стабилизации формы колебаний.

• Исследовано упрощение задачи об использовании изотропного пространственного осциллятора в качестве бесплатформенной инерциальной системы навигации. Как показано в работе [3], для получения полной навигационной информации достаточно единственного осциллятора, в котором специальным образом поддерживаются колебания эллиптической формы. В диссертации изучен вопрос об использовании для тех же целей осциллятора, совершающего круговые колебания. Поскольку система уравнений, описывающая движение осциллятора совпадает с системой, исследованной в [2] для случая прямолинейных колебаний, проведено сопоставление свойств систем, совершающих прямолинейные и круговые колебания. Исследовано влияние различных возмущений, линейных по обобщенным координатам и скоростям и найдены отличия в их воздействии на систему в случае круговых и прямолинейных колебаний.

Показано, что решение задачи стабилизации круговой формы колебаний существенно упрощается по сравнению с общим случаем, однако при этом теряется информация об ориентации объекта в плоскости колебаний осциллятора. Для ее восполнения предлагается использовать еще один прибор, плоскость колебаний которого ортогональна плоскости колебаний первого прибора.

• Для управления, предложенного в [2] для стабилизации колебаний прямолинейной формы при постоянно действующих возмущениях, построена система второго приближения метода осреднения. Показано, что и во втором

приближении исследуемое управление удовлетворяет всем необходимым требованиям и не приводит к недопустимым эволюциям.

• Получено обобщение известной задачи о качающейся пружине на трехмерный случай. Установлено, что большинство свойств плоской системы, наиболее примечательным из которых является эффект перестройки мод колебаний, переносится и на пространственный случай. Найдены свойства, проявляющиеся только в трехмерной системе

• Аналитически исследована задача о колебаниях газового пузыря в идеальной жидкости с поверхностным натяжением при резонансе частот радиальной и деформационной мод колебаний 1:2. Задача сведена к исследованию гамильтоновой системы при помощи метода инвариантной нормализации. Оказывается, что нормальная форма гамильтониана, найденная в первом приближении, совпадает с нормальной формой гамильтониана плоской задачи о качающейся пружине. Это позволяет перенести все факты, известные для задачи о качающейся пружине, на данную задачу.

Рассмотрен вопрос о соответствии полученных результатов действительности в связи с наличием диссипации в любых реальных средах. Показано, что величина декремента затухания сильно зависит от теплофизических свойств веществ и для большинства веществ этот параметр достаточно велик. Установлено, что в большинстве случаев это препятствует возникновению резонансных явлений, однако указаны вещества, для которых декремент затухания достаточно мал. Это позволяет предположить, что для данных веществ резонансные явления потенциально наблюдаемы.

4. Публикации автора по теме диссертации в рецензируемых изданиях 1. Фомичев A.B. О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом // Изв. РАН. МТТ. № 4. 2006. с. 113 - 118.

2. Петров А.Г., Фомичев A.B. О нелинейных трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине при резонансе // Изв. РАН. МТТ. № 5, 2008. с. 15-26.

3. Фомичев A.B. Колебания в резонансных системах и управление их формой. Труды XLI Научной конференции МФТИ. 2003. ч. 3. с. 45.

4.Фомичев A.B. О свойствах многомерных фигур Лиссажу и задаче стабилизации одного их класса. Труды XLII Научной конференции МФТИ. 2004. ч. 3. с. 174, 175.

5. Фомичев A.B. Исследование нелинейных колебаний пружины при резонансе методом нормальной формы Биркгофа. Труды XLIII Научной конференции МФТИ. 2005. ч. 3. с. 184, 135.

6. Фомичев A.B. О нелинейных трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине. Труды XLIV Научной конференции МФТИ. 2006. ч. 3. с. 230, 231.

7. Петров А.Г., Фомичев A.B. Задача о колебаниях газового пузыря в жидкости при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2. Труды 50-й Научной конференции МФТИ. 2007. ч. 3. т. 1. с. 146 - 148.

8. Петров А.Г., Фомичев A.B. О нелинейных трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине при резонансе. Международная конференция «Классические задачи динамики твердого тела». Донецк. 9-13 июня 2007. Тезисы докладов. С. 63.

9. Фомичев A.B. О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом. Международная конференция «Классические задачи динамики твердого тела». Донецк. 9-13 июня 2007. Тезисы докладов. С. 78.

10. Fomichev A.V. Nonlinear 3D oscillations of a heavy material point suspended on a spring. Sixth international symposium on classical and celestial mechanics. Velikie Luki. August 1 - 6. 2007. p. 51, 52.

11. Фомичев A.B. Задача о колебаниях газового пузыря в жидкости при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2.

X Международный семинар им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Тезисы докладов. 3-6 июня 2008. с. 338 -340.

Литература

1. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987, 255 с.

2. Журавлев В.Ф. Об управлении формой колебаний в резонансных системах. // ПММ, Т. 56, вып. 5, 1992, стр. 827 -836.

3. Журавлев В.Ф. Пространственный осциллятор - датчик полной инерциальной информации. МТТ вып.4, 2005.

4. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 2001, 320 с

5. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа// Изв. РАН. МТТ. 1993. №3. С. 6-19.

6. Журавлев В.Ф. К динамике упругого твердого тела. // Известия АН СССР. МТТ. 1986. №6. с. 93 -97.

7. Журавлев В.Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем// ПММ, 2002, Т. 66, Вып. 3, С. 356-365.

8. Журавлев В.Ф. Новый алгоритм нормализации гамильтоновых систем по Биркгофу. //ПММ. 1977. Т. 61, Вып.1, с. 12-17.

9. Журавлев В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа. // Изв. РАН. МТТ. 1995. №5.

10. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988, 326 с.

11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985, 126 с.

12. Зарипов М.Н., Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины// Докл. Акад. Наук, Механика. Том 399, № 3, 2004. С. 347-352.

13. Найфе А.Х. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976. (Nayfeh A.M. Perturbations Methods. New York.: J. Wiley, 1973).

14. Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе. Известия Академии Наук. МТТ. № 4, 2006, С. 119-129.

15. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука. 1977. 256 с.

16. Фомичев А.В. О круговых колебаниях в системе с трехкратным резопансом.//Известия Академии Наук. МТТ. №4, 2006, с. 113-118.

17. Charcosset CI. Bonjour Ch.,... Gyrometre a resonateur mecanique // Demande de brevet europeen EP 0 773 429 A1. Bulletin 1997/20.

18. Friedland В., Hutton M.F. Theory and error analysis of vibrating-member gyroscope. IEEE Transactions On Automatic Control, vol. ac-23, no. 4, August 1978.

19. Leger P. Quapason - a new low-cost vibrating gyroscope // 3"' Saint-Petersburg Intern. Conf. On Integrated Navigation Systems. T. 1. - Saint-Petersburg, 1996. - i P. 143 - 149. I

20. Loper E.J. Lynch D.D. The HRG: a new low-noise inertial rotation sensor // Proc. 16lh Jt. Services Data Exchange For Inertial Systems. Los Angeles. С A. 1982.

21. Lynch D.D. Vibratory gyro analysis by the method of averaging // 2-я Санкт-Петербург. Международная конференция по гироскопии и навигации. Санкт-Петербург, 1995. СПБ, 1995. Ч. 2. Р. 18-26.

Фомичев Александр Владимирович Геометрические методы в теории колебаний резонансных систем

Автореферат диссертации на соискание Ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 16 октября 2008 г. Заказ № 36 - 2008 .Тираж 70 экз.

Отпечатано на ризографе Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук 117526, Москва, проспект Вернадского 101.

Содержание.1

Введение.3

Глава

Исследование колебаний квазилинейных резонансных систем и теория возмущений их конфигурационных многообразий

Постановка задачи. Порождающая система и ее траектории.16

Многообразие вырожденных форм и учет возмущений.22

Локальный эволюционный базис и его свойства. Алгебра Ли векторных полей

Классификация сил по типу порождаемой эволюции.39

Непосредственное изучение линейных сил.44

Задача стабилизации вырожденной формы.47

Траектории системы под действием управления при отсутствии возмущений.52

О возможности выбора другой обратной связи.55

Глава

О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом

Постановка задачи.60

Многообразие, соответствующее круговым траекториям.61

Учет возмущений.

Локальный базис.63

Классификация возмущений.65

Задача стабилизации формы.67

Алгоритм получения информации от гироскопа.

Глава

Исследование обратной связи во втором приближении

Необходимые сведения о втором приближении.69-71

Подход к задаче стабилизации прямолинейных колебаний.71-74

Исследование обратной связи во втором приближении.74-77

Глава 4

О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине

Введение.78

Постановка задачи и обозначения.79-80

Уравнения движения.80

Первое приближение нормальной формы при резонансе.80-83

Интегралы нормальной формы.83-89

Периодическое решение.89-92

Эффекты срыва и разворота плоскости колебаний.93-99

Глава 5

Задача о колебаниях газового пузыря в жидкости при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2

Постановка задачи.100-102

Функция Лагранжа и условие резонанса.102-104

Введение безразмерных параметров и упрощение лагранжиана.105

Построение гамильтониана.105-107

Исследование системы методом инвариантной нормализации.107-109

Анализ уравнений нормальной формы: периодическое решение, малое возмущение периодического решения, эффект перекачки между модами колебаний.109-114

Оценка корректности модели идеальной жидкости.114-118

Выводы.118-121

Литература.122-126

Введение

Решение различных задач достаточно часто приводит к исследованию дифференциальных уравнений [5,39,42,43], имеющих вид = + (1) где /, Е е С^ (£>); Г)с|"; £«1- малый параметр, формализующий тот факт, что соответствующее слагаемое в правой части представляет собой возмущение. Система, получающаяся при 8 = О называется порождающей или вырожденной. Предполагается, что ее точное решение г = g{t,x), где л; -набор постоянных интегрирования, известно. Появление сколь угодно малого возмущения (в Ф 0) может качественно изменить поведение системы, что и делает задачу исследования возмущенных систем содержательной.

Возмущенная система, как правило, оказывается не интегрируемой. Однако наличие малого параметра позволяет применять методы приближенного анализа. Основным инструментом такого анализа является метод осреднения [9,26,27,36,37]. Не вдаваясь в детали, которые можно уточнить в цитированной литературе и в тексте данной работы, можно сказать, что суть метода состоит в следующем.

Вначале система приводится к стандартному виду х- еХ(^,х,£) (2) при помощи известной процедуры вариации постоянных. Далее проводится осреднение правой части последней системы по явно входящему времени Л В зависимости от того, является ли правая часть периодической по / или нет, осреднение проводится на периоде, либо бесконечном полуинтервале. В результате получается автономная система г т х = sXQ(x,s), X0(x,s) = <

J Т о jx (t, х, £•) dt, если X (t, x, s) - периодична с периодом Т lim — ^X{t, х, s) dt, если X{t,x,s) - не периодична о

По отношению к полученным уравнениям, образующим систему первого приближения метода осреднения, ставится та же задача Коши, что и для точной системы (2). Решение этой задачи Коши позволяет получить функцию x(t), являющуюся приближенным решением (2). Ее подстановка в решение порождающей системы g(t,x) вместо постоянных интегрирования дает приближенное решение исходной системы (1). Близость приближенного решения к точному определяется свойствами правой части системы (2) и конструктивно оценивается при помощи теоремы H.H. Боголюбова [9,26].

Большинство известных методов теории возмущений также основаны на идее осреднения, либо специально приспособлены для решения систем определенного вида [26]. Однако в любом случае, как и при использовании метода осреднения, применяется определенный алгоритм, заменяющий исходную систему на более простую приближенную систему, по отношению к которой ставятся те же задачи.

Способ исследования задач, рассматриваемых в частях 1-3 данной диссертации, значительно отличается от только что описанной схемы анализа с помощью традиционных асимптотических методов. Отличаются от традиционных и сами постановки задач. Ниже приводится краткая история возникновения этих задач и описание подхода к их решению.

Еще в 1890 году Брайан [51], исследуя динамику стоячих волн в упругом и нерастяжимом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью, пришел к открытию следующего эффекта.

Пусть в кольце возбуждена стоячая волна, а само оно вращается с угловой скоростью со = const, ортогональной плоскости кольца. Тогда в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью со и связанной с кольцом, стоячая волна будет поворачиваться на угол, равный где к - номер моды стоячей волны, ? - время. Примечательно, что угол поворота волны вообще не зависит от свойств материала кольца, что, однако, является следствием допущения о нерастяжимости средней линии кольца.

Оказалось, что эффект сохраняется и в случае переменной угловой скорости. В системе отсчета, связанной с кольцом и имеющей переменную угловую скорость со (/) будет наблюдаться поворот стоячей волны на угол, определяемый по формуле

Это соотношение, по-видимому, впервые было установлено экспериментально авторами патента "Vibratory rotation gyro". Теоретически случай переменной угловой скорости был изучен В.Ф. Журавлевым [27]. Было показано, что формула (3) следует из уравнения колебаний упругого кольца в своей плоскости и является точной, что позволяет сколько угодно раз ее дифференцировать. Двукратное дифференцирование, очевидно, приводит к результату

Отсюда следует, что момент внешних сил, вызывающий угловое ускорение кольца со приводит к появлению углового ускорения прецессирующей волны ф. Можно показать, что прецессирующая волна несет собственный кинетический момент. Эти факты позволяют говорить о новом физическом явлении, называемом инертностью упругих волн. Название эффекта следует из аналогии поведения упругих волн и тел, обладающих массой.

3) 2

Эффект инертности упругих волн не теряется и при учете свойств реальных материалов. Конструкции упругих резонаторов, в которых наблюдается эффект, могут быть различными. Наряду с рассмотренным кольцевым резонатором, можно использовать цилиндрические и полусферические оболочки, либо специальные стержневые конструкции, струны и вообще произвольные тела, обладающие осевой симметрией. С их устройствами можно ознакомиться по материалам [16,21,25,27,52,54,55,59,60,62-64]. Наибольшее распространение для практических нужд, описываемых далее, получили полусферические резонаторы.

Наличие свойства инертности волн приводит к идее использования упругих резонаторов в качестве датчиков угловых скоростей для бесплатформенных инерциальных систем навигации [2,10,14,29,30]. Эти датчики носят название волновых твердотельных гироскопов, либо вибрационных гироскопов. Подробнее о них также можно прочитать в работах [16,21,25,27,52,54,55,59,60,62-64].

Впервые практические разработки таких гироскопов начались в США в начале 60-х годов. Начиная с этого времени в США, Великобритании (фирма Marconi) и СССР получено большое количество патентов, содержащих предложения о совершенствовании конструкции датчиков. Однако отсутствие достаточной теоретической базы некоторое время не позволяло создать гироскоп, реализующий потенциальные возможности в полном объеме. После появления публикации [62], где были впервые четко сформулированы основные идеи по реализации волновых гироскопов, ситуация кардинально меняется. Фирма Delco становится лидером в этой отрасли приборостроения. Позже к аналогичным разработкам приступают и другие компании, в том числе и в нашей стране. Среди отечественных организаций наиболее успешные разработки велись в РПКБ, МИЭА и НИИЭМ. Теоретическое обеспечение этих разработок выполнял ИПМех РАН.

В результате были созданы различные конструкции гироскопов, имеющих различные классы точности. На базе этих чувствительных элементов реализованы работающие системы навигации, удовлетворяющие всем техническим требованиям. В качестве примеров можно привести семейство систем типа Carousel фирмы Delco, имеющих достаточно высокий класс точности. Система навигации фирмы Delco, основанная на волновом твердотельном гироскопе, успешно справилась со своими задачами во время недавней миссии «Гюйгенс-Кассини» к спутнику Сатурна Титан. Эксперимент длился около восьми лет (с 1997 г.). В результате были непосредственно исследованы физические свойства грунта и получены фотографии поверхности Титана.

В настоящее время в России практические разработки инерциальных систем, основанных на волновых твердотельных гироскопах высокого и среднего классов точности, на большинстве фирм приостановлены. Тем не менее, исследования не прекращены полностью. Например, в РПКБ ведется разработка бесплатформённой навигационной системы БИНС-ТВГ, создан опытный образец и проведены испытания, показавшие следующие точности навигации: порядка 8 км/ч по скоростям и 13 км по координатам за час работы [16].

Как видно из этих данных, система пока еще является достаточно грубой, что, прежде всего, обусловлено качеством датчиков инерциальной информации. Изготовление высококачественных резонаторов сопряжено со значительными технологическими проблемами. Основными из них являются: однородность материала, отсутствие внутренних механических напряжений и дефектов, необходимость очень точно выдерживать геометрические параметры резонатора и окружающих его элементов и т.д. Кроме этих, имеется множество других проблем, связанных, например, с электроникой, но поскольку все эти вопросы далеки от темы настоящего исследования, описывать их подробнее не будем.

Оказывается, что принципиальных препятствий для создания волновых гироскопов фактически нет. Теоретические результаты и опыт разработки датчиков различными компаниями позволяют говорить об их перспективности. К несомненным достоинствам этих приборов можно отнести такие качества, как малое энергопотребление, малые габариты, относительно невысокая стоимость при серийном производстве (в особенности для датчиков низкого класса точности) и такое примечательное свойство, как сохранение работоспособности при кратковременном отключении питания прибора.

Последнее свойство имеет место при использовании резонаторов с высокой добротностью, достаточной для того, чтобы при кратковременном отключении колебания резонатора не успевали затухнуть или существенно изменить форму. Лазерные и волоконно-оптические гороскопы, получившие в настоящее время наибольшее распространение в серийных и разрабатываемых инерциальных системах навигации, таким свойством не обладают и при любом отключении немедленно теряют информацию.

В последнее время активно продолжается разработка микромеханических датчиков инерциальной информации. Использование вибрационных гироскопов в области микромеханики также представляется наиболее перспективным. Применение иных типов гироскопов при уменьшении размеров часто приводит к принципиальным трудностям. Например, точность оптических гироскопов определяется площадью контура и, следовательно, уменьшается обратно пропорционально квадрату линейного размера. Механические гироскопы малых размеров, очевидно, трудны в изготовлении.

Такова краткая история и перспективы развития гироскопических устройств, основанных на использовании эффекта инертности упругих волн.

Задачи, рассмотренные в частях 1,3 настоящей работы, возникли из теории вышеописанных устройств и по существу представляют собой продолжение исследований, опубликованных в [17]. В части 2 исследуется вопрос о построении БИНС на основе двух изотропных пространственных осцилляторов, в которых возбуждены колебания круговой формы. При их решении используется следующий математический аппарат.

Основным объектом исследований являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений [5,39,42,43], которые линейным невырожденным преобразованием приводятся к виду где £ - малый параметр, а частоты подчинены резонансному соотношению (0х\.\С0п—тх\.\тп, т1 . Такая ситуация называется резонансом типа т1:.:тп. Для анализа уравнений применяются как стандартные методы работы с дифференциальными уравнениями, в том числе использующие понятия теории групп Ли, так и новый подход, впервые предложенный в [17] и описанный далее.

Из стандартных асимптотических методов применяется метод осреднения в первом и втором приближениях. Решение задачи о стабилизации колебаний заданной формы опирается на факты, известные из математической теории устойчивости [11,15,19,33,34,45,50].

При использовании нового метода исследования многие аналитические проблемы переносятся на геометрический уровень. В связи с этим используются различные результаты известные из геометрии и линейной алгебры [6,12,44].

Потребность в создании нового асимптотического метода была продиктована следующими обстоятельствами. Исследование уравнений, описывающих динамику упругих волн во вращающихся осесимметричных резонаторах, привело к постановкам новых задач, не решаемых классическими методами теории возмущений и теории управления. Их решение и потребовало создания нового метода в теории нелинейных колебаний.

Он был разработан В.Ф. Журавлевым и опубликован в [17]. В этой работе впервые был предложен геометрический метод в теории возмущений резонансных систем. Ниже перечислены основные идеи этого подхода.

В работе [17] показано, что каждой форме колебаний порождающей системы (получающейся из исходной системы при игнорировании возмущений) соответствует определенное многообразие в пространстве постоянных интегрирования. Дана классификация эволюций формы колебаний под действием возмущений и построен базис инфинитезимальных эволюций. Предложена идея раскладывать силы возмущений по базису инфинитезимальных эволюций, что, в свою очередь, позволяет классифицировать силы возмущений по признакам вызываемых ими эволюций формы колебаний. Поставлена и решена принципиально важная задача стабилизации прямолинейных колебаний при постоянно действующих возмущениях для резонансов типа 1:1 и 1:1:1. Ее значимость связана с непосредственными техническими приложениями, описанными выше, и тем фактом, что любая форма колебаний порождающей системы неустойчива без стабилизирующей ее обратной связи. Прямолинейная форма выбирается из соображений минимизации действия возмущений, пропорциональных квадратуре (площади эллипса, представляющего собой форму колебаний порождающей системы и способного вырождаться в прямую).

В части 1 данной работы предпринимается попытка обобщения метода [17] на резонансные системы более общего вида. Следует отметить, что повышение размерности системы и кратности резонанса усложняет задачу и подходы, предложенные в [17], путем формального «копирования» применить не удается. Для преодоления возникающих трудностей предложен новый набор медленных переменных типа полярных координат. Это позволило сильно упростить геометрическую часть задачи. Проблема стабилизации формы также упрощается, однако предложенное управление имеет существенный недостаток, вызванный необходимостью возвращения к исходным переменным. Оказывается, что при этом неизбежно появляются функции с особенностями. Сравнение управлений, взятых из статьи [17] и полученных в данной работе проводится в одном из разделов части 1.

Очень интересным фактом, впервые установленным в [18], является принципиальная возможность построения полностью автономной бесплатформенной инерциальной навигационной системы на основе единственного изотропного пространственного осциллятора. Теория такой системы построена в [18] и основана на тех же общих принципах, что и работа [17].

В части 2 диссертации рассматривается упрощенная задача [47], когда колебания невозмущенного осциллятора имеют круговую форму, что приводит к потере информации об ориентации относительно оси, ортогональной плоскости колебаний. Однако содержательность задачи оправдана возникающим при этом значительным упрощением по сравнению с общим случаем. Потерю контроля за одной вращательной степенью свободы нетрудно компенсировать установкой еще одного датчика, возбудив в нем колебания в плоскости, ортогональной плоскости колебаний первого датчика.

Для решения очерченного круга проблем обычно используется метод осреднения в первом приближении. Как показывает практика [54,55,60], достигаемая при этом точность оказывается приемлемой, однако известно, что за достаточно большое время величины, не учитываемые в первом приближении, в принципе могут привести к качественным изменениям.

Этот факт оправдывает исследование тех же задач при помощи построения высших приближений. В части 3 при помощи метода осреднения во втором приближении исследуется обратная связь, предложенная в [17]. Показано, что учет второго приближения не позволяет выявить принципиальных недостатков этого управления.

Части 4 и 5 посвящены решению двух различных задач методом инвариантной нормализации гамильтоновых систем, разработанного

В.Ф. Журавлевым [19,23,24] и являющегося одним из алгоритмов построения нормальной формы Биркгофа [6,17,21,22]. Основная идея метода инвариантной нормализации изложена в работе [17] для случая автономных систем. Обобщение задачи нормализации гамильтониана на неавтономные системы и в более общей постановке сделано в [21].

Метод инвариантной нормализации обладает рядом значительных преимуществ по сравнению с другими способами нахождения нормальной формы гамильтониана. Прежде всего, необходимо отметить несоизмеримо меньшие вычислительные трудности по сравнению с другими алгоритмами нахождения нормальной формы. Нормальная форма любого порядка строится по одной скалярной рекуррентной формуле, тогда как использование любого другого способа нахождения нормальной формы сопряжено с крайне громоздкими действиями, такими, как обращение степенных рядов векторных функций.

Известно, что наличие у системы резонанса [4,9,26,36,37,46] или неавтономности, как правило, затрудняет ее исследование. Чтобы обойти эти трудности приходится делать дополнительные замены переменных или искусственно повышать порядок системы. При использовании метода инвариантной нормализации в этих случаях никаких проблем не возникает, поскольку процедура построения нормальной формы остается неизменной вне зависимости от того, является ли система автономной либо резонансной или нет. Это свойство, очевидно, также является значительным преимуществом по сравнению с другими подходами.

В части 4 рассматривается задача о трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки, подвешенной на невесомой пружине при резонансе 1:1:2, где 1 - соответствует частоте колебаний линеаризованной системы в горизонтальной плоскости, 2 - частоте колебаний по вертикали. Считается, что сила, возникающая при деформации пружины, пропорциональна этой деформации.

Подобная задача в плоской постановке (когда колебания точки происходят в некоторой вертикальной плоскости, а частоты также соотносятся как 1:2) была введена в рассмотрение Виттом и Гореликом в 1933 г. для иллюстрации явления внутреннего резонанса. Позже она исследовалась в достаточно большом количестве работ, например [8,28,37,40,46]. Было установлено, что при резонансе в системе наблюдается эффект перекачки энергии между вертикальной и горизонтальной модами колебаний, представляющий собой периодический процесс перестройки колебаний из почти вертикальных в почти горизонтальные и обратно. Исследование задачи в этих работах проводилось известными классическими методами теории возмущений и, как правило, было достаточно громоздким, что связано с наличием резонанса.

Подход, основанный на методе инвариантной нормализации, позволяет обойти сложности, обусловленные резонансом. Впервые исследования плоской задачи этим методом были опубликованы в работе [28]. Наиболее полные материалы по задаче приведены в статье [40]. В этой работе были вновь получены уже известные свойства системы, однако потребовавшиеся для этого расчеты оказались значительно более компактными по сравнению с предыдущими исследованиями. Кроме сокращений выкладок, приводящих к известным фактам, метод инвариантной нормализации позволяет получить ряд новых результатов. Сюда следует отнести выводы об устойчивости периодического решения и асимптотические разложения для периода перестроек.

Использование инвариантной нормализации при изучении трехмерной системы [41] позволяет обобщить на пространственный случай большинство фактов, установленных для плоской задачи. Однако в трехмерном случае появляются особенности, присущие именно пространственной задаче. При наличии сколь угодно малой проекции кинетического момента на вертикаль в трехмерном случае появляется эффект, названный разворотом плоскости колебаний. Период перестройки мод колебаний в этом случае всегда конечен.

В части 5 рассматривается задача о колебаниях газового пузыря неподвижного относительно идеальной жидкости с поверхностным натяжением. Колебания подразделяются на радиальные, связанные с изменением радиуса сферического пузыря, и деформационные, связанные с изменением его формы. Деформированная форма пузыря аппроксимируется эллипсоидом вращения. Решение этой задачи в линейной постановке хорошо известно [31,32,38]. Точное решение нелинейной задачи построить не удается и для ее исследования, как правило, используют либо численные, либо асимптотические методы. Например, в работе [1] для решения аналогичной задачи при наличии внешнего возбуждения используется численный метод седьмого порядка аппроксимации. В статьях [53,56-58] применяются разложения по малому параметру деформации пузыря и привлекается идея осреднения. Для уничтожения секулярных членов в выражении для энергии в работе [53] используется метод двух масштабов.

Для аналитического исследования задачи удобно использовать лагранжев формализм. При этом способе решения система, состоящая из сплошных сред, описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями Лагранжа, а не уравнениями в частных производных. Обобщенными координатами служат геометрические параметры поверхности, аппроксимирующей форму пузыря. Лагранжиан для указанной системы может быть получен из функции, приведенной в [31]. Параметры системы (внешнее давление, радиус пузыря, поверхностное натяжение жидкости.) подбираются так, что в линеаризованной системе реализуется резонанс 1:2, где 1 соответствует частоте деформационной, а 2 - радиальной мод колебаний. После этого лагранжиан газового пузыря раскладывается до членов третьего порядка включительно и делается переход к безразмерным координатам и времени, что значительно упрощает его вид. Некоторые члены в полученном разложении оказываются резонансными.

Исследование данной нелинейной системы также проводится методом инвариантной нормализации, для чего делается переход от лагранжевой формы уравнений к их гамильтоновой форме. Гамильтониан системы после нормализации оказывается фактически идентичным гамильтониану плоской задачи о качающейся пружине, отличаясь от него лишь коэффициентом перед кубическим членом. Это позволяет дословно перенести все результаты, известные из решения задачи о качающейся пружине.

Таким образом, две совершенно разные задачи сводятся к исследованию одних и тех же уравнений одинаковым методом. Применение инвариантной нормализации позволяет обойти трудности, возникающие при использовании других способов решения и значительно сократить выкладки.

Далее анализируется вопрос о корректности постановки задачи. Дело в том, что в реальных средах неизбежно протекают диссипативные процессы. Поэтому идеализированную постановку задачи можно считать имеющей отношение действительности лишь при условии малой интенсивности диссипативных процессов на промежутках времени, характерных для задачи. Вычисление декрементов затухания показывает, что для веществ с физически реализуемыми параметрами вязкости и температуропроводности влияние диссипации достаточно велико и будет значительно мешать наблюдаемости процесса перестройки мод колебаний. Нужно отметить, что эту оценку состоятельности идеализации задачи нельзя было сделать предварительно, поскольку для этой оценки необходимо знать характерное время периода перестройки, которое нельзя вычислить, не решая саму задачу.

В каждой части работы, включая введение используется своя нумерация формул.

7. Выводы

1. Аганин A.A., Ильгамов М.А., Косолапова JI.A., Малахов В.Г. Эллипсоидальные колебания газового пузырька при периодическом изменении давления окружающейжидкости//МЖГ, 2005, №5.

2. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. М.: Физматгиз, 1966, 579 с.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959,915 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003, 416 с.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. — 368 с.

6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984

7. Биркгоф Д.Д. Динамические системы. М., Л.: Гостехиздат, 1941, 320 с.

8. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987, 255 с.

9. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 503 с.

10. Бранец В.Н. Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992, 280 с.

11. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004, 560 с.

13. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975, 415 с.

14. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть 1. Математические модели инерциальной навигации. М.: МГУ, 2007, 110 с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 472 с.

16. Джанжгава Г.И., Виноградов Г. М., Бахонин К. А., Требухов A.B. ?.?. -ДОБАВИТЬ!!!

17. Журавлев В.Ф. Об управлении формой колебаний в резонансных системах. //ПММ, Т. 56, вып. 5, 1992, стр. 827 -836.

18. Журавлев В.Ф. Пространственный осциллятор датчик полной инерциальной информации. МТТ вып.4, 2005.

19. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 2001, 320 с

20. Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов//МТТ. 1997. Вып. 6. С. 27-35.

21. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа //Изв. РАН. МТТ. 1993. №3. С. 6-19.

22. Журавлев В.Ф. К динамике упругого твердого тела. // Известия АН СССР. МТТ. 1986. №6. с. 93-97.

23. Журавлев В.Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем// ПММ, 2002, Т. 66, Вып. 3, С. 356-365.

24. Журавлев В.Ф. Новый алгоритм нормализации гамильтоновых систем по Биркгофу. //ПММ. 1977. Т. 61, Вып.1, с.12-17.

25. Журавлев В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа. //Изв. РАН. МТТ. 1995. №5.

26. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988, 326 с.

27. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985, 126 с.

28. Зарипов М.Н., Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины// Докл. Акад. Наук, Механика. Том 399, № 3, 2004. С. 347-352.

29. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 670 с.

30. Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука, 1984.

31. Ламб Г. Гидродинамика. М. Л.: Гостехиздат, 1947, 928 с.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидромеханика. М.: Наука, 1986, 733 с.

33. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 532 с.

34. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

35. Маркеев А.П. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 2:1//ПММ, Том 63, Вып, 5, 1999, с. 757-769.

36. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969, 379 с.

37. Найфе А.Х. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976. (Nayfeh А.Н. Perturbations Methods. New York.: J. Wiley, 1973).

38. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В двух томах. М.: Наука, 1987, 823 с.

39. Овсянников Л.В. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с.

40. Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе. Известия Академии Наук. МТТ. № 4, 2006, С. 119-129.

41. Петров А.Г., Фомичев A.B. О нелинейных трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине.// Известия Академии Наук. МТТ, в печати

42. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984, 296 с.

43. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970, 332 с.

44. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982, 447 с.

45. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987, 253 с.

46. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука. 1977. 256 с.

47. Фомичев А.В. О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом./УИзвестия Академии Наук. МТТ. №4, 2006, с. 113-118.

48. Хорн Р. Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989, 655 с.

49. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.: ГИТТЛ, 1940, 396 с.

50. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004, 238 с.

51. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell. -Proc. Cambridge Philos. Soc. Math. Phys. Sci., 1890, vol. 7, p. 101-111.

52. Charcosset Cl. Bonjour Ch.,. Gyrometre a resonateur mecanique // Demande de brevet europeen EP 0 773 429 Al. Bulletin 1997/20.

53. Ffowcs Williams J.E. and Guo Y.P. On resonant nonlinear bubble oscillations. J. Fluid Mech. (1989), vol.224, pp. 507-529

54. Friedland В., Hutton M.F. Theory and error analysis of vibrating-member gyroscope. IEEE Transactions On Automatic Control, vol. ac-23, no. 4, August 1978.

55. Leger P. Quapason a new low-cost vibrating gyroscope // 3rd Saint-Petersburg Intern. Conf. On Integrated Navigation Systems. T.l. - Saint-Petersburg, 1996. - P. 143 - 149.

56. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 1. Normal modes. J. Fluid Mech. (1989), vol. 201, pp. 525-541

57. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 2. An initial-value problem. J. Fluid Mech. (1989), vol.201, pp. 543-565

58. Longuet-Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations J. FluidMech. (1991), vol. I /224, pp. 531-549 /

59. Loper E.J. Lynch D.D. The HRG: a new low-noise inertial rotation sensor // Proc. 16th Jt. Services Data Exchange For Inertial Systems. Los Angeles. CA. 1982.

60. Lynch D.D. Vibratory gyro analysis by the method of averaging // 2-я Санкт-Петербург. Международная конференция по гироскопии и навигации. Санкт-Петербург, 1995. СПБ, 1995. Ч. 2. Р. 18-26.

61. Peter J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer — Verlag.

62. Scott W.B. Delco Makes Low-Cost Gyro Prototype. Aviation Week And Space Technology, N 25, 1982, p. 64-72

63. Stiles J.C. Vibrating ring gyro. U.S. Patent no: 3, 924, 475, Dec. 9, 1975.

64. Quick W.H. Theory of vibrating string as an angular motion sensor // Trans. ASME. Seria E Appl. Mech. 1964. V. 31. № 3. P. 523-534.