Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем

Муницын, Александр Иванович

Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Муницын, Александр Иванович АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем»

Автореферат диссертации на тему "Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем"

На правах рукописи

МУНИЦЫН Александр Иванович

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2011

2 4 ОЕ3 2011

4856241

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет им. В.ИЛенина» на кафедре «Теоретическая и прикладная механика»

Официальные оппоненты: доктор технических наук, с.н.с.

Тяпин Александр Георгиевич

доктор технических наук, с.н.с. Банах Людмила Яковлевна

доктор физико-математических наук, профессор

Попов Александр Леонидович

Ведущая организация: Ивановская государственная текстильная

академия

Защита состоится 18 марта 2011 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д-212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 17, ауд. Б-407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ(ТУ).

Автореферат разослан У- ¿¡Я. 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

П.В.Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации рассмотрены вопросы, связанные с исследованием резонансных явлений при пространственных колебаниях нелинейных механических систем с близкими значениями собственных частот колебаний в двух ортогональных плоскостях.

Актуальность темы диссертации. В современных условиях возрастает сложность проектируемых технических объектов, совершенствуются методы их расчета при сложных динамических режимах нагружения. Использование высокопроизводительных машин приводит к увеличению амплитуд колебаний и расширению спектр? вибрационных нагпулок. Интенсификация колебаний может привести к полной расстройке и отказу динамической системы, с другой стороны, колебания с большими амплитудами являются рабочим режимом большого числа современных машин. Для изучения этих явлений необходимо применять методы нелинейной теории колебаний.

Для решения большого ряда технических проблем представляет интерес исследование нелинейных резонансных явлений в механических системах при воздействии внешних периодических нагрузок. Для реализации подобных явлений необходимо выполнение определенных соотношений между частотами собственных колебаний нелинейно-связанных между собой парциальных систем либо между собственными частотами и частотой внешнего возбуждения. В этих условиях сознаются предпосылки для перераспределения энергии между различными обобщенными координатами системы, вследствие чего могут возбуждаться колебания по тем формам и в тех направлениях, по которым непосредственно не действуют внешние возмущающие нагрузки.

Внутренним свойством таких колебательных систем является скачкообразное изменение их поведения при непрерывном изменении внешних условий. Так, струна или стержень под действием вибрационной нагрузки, действующей в одной плоскости, могут совершать как плоские, так и пространственные колебания в зависимости от значений параметров задачи. Для различных режимов движения характерны качественно различные поля напряжений и соответственно различные прочностные характеристики. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей нелинейных систем и нахождение всех существующих решений.

Целью работы является выявление и практическое использование новых резонансных явлений в системах с близкими значениями собственных частот колебаний. Рассматриваются нелинейные пространственные колебания нити с натяжным устройством и пространственные колебания стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в разных плоскостях.

Для достижения этой цели были поставлены следующие основные задачи:

- составление математической модели рассматриваемых задач в виде системы дифференциальных уравнений и граничных условий;

- решение полученных уравнений для одномодового приближения методом возмущений в сочетании с методом усреднения. Для ряда случаев, в частности при отсутствии диссипации, это решение может быть получено в аналитическом виде;

- разработка и программная реализация численного метода решения приведенной системы нелинейных уравнений на основе метода продолжения решения по параметру;

- исследование устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова;

- разработка и программная реализация численного метода решения систем дифференциальных уравнений с произвольными, в том числе нелинейными, граничными условиями на основе методов Бубнова-Галеркина и продолжения решения по параметру.

Методы исследования и достоверность полученных результатов. В качестве основных методов исследования в диссертационной работе применялись методы, принятые в теории нелинейных колебаний. В одномодовом приближении решения получены на основе методов возмущений и усреднения, решение с учетом нескольких форм колебаний получено методом Бубнова-Галеркина. В отдельных случаях получено аналитическое решение задачи. Для численного построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик использовался метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости полученных решений выполнено на основе второго метода Ляпунова с использованием алгоритма.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, адекватного решаемым задачам, удовлетворительным совпадением теоретических и экспериментальных результатов, опытом практического использования разработок в производственной и научной областях.

Основные результаты и их научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- Сформулирована краевая задача, описывающая динамическое поведение нити с натяжным устройством. При учете упругих свойств нити одно из граничных условий является нелинейным.

две пространственные формы колебаний, соответствующие вращению точек нити по окружности.

- Решена задача о вынужденных колебаниях нити под действием кинематического возбуждения в окрестности главного резонанса. Для одномодового приближения и отсутствия диссипации решение получено в аналитическом виде. Установлено, что плоская форма колебаний нити устойчива при малых амплитудах, в области резонанса движение нити происходит по пространственной форме колебаний.

- Эта же задача решена с учетом нескольких форм колебаний в двух ортогональных плоскостях. Результаты качественно совпадают с результатами, полученными с учетом одной формы. В резонансной области движение нити происходит по одной из пространственных форм колебаний. При этом значительно уменьшается сила натяжения нити, что снижает вероятность ее обрыва.

- Получено решение задачи о колебаниях стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями осевых моментов инерции сечения. В плоской постановке такая задача является классической. Для свободных колебаний обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.

- При исследовании вынужденных колебаний стержня, наряду с существованием пространственной формы движения, выявлены ранее неизвестные резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости большей изгибной жесткости плоская форма движения неустойчива только в определенном диапазоне частот. Максимальные амплитуды реализуются именно на плоской форме колебаний, причем этот участок амплитудно-частотной характеристики изолирован и реализуется только при наличии внешних возмущений. При определенных значениях параметров задачи изолированной является пространственная форма колебаний.

- Похожие резонансные явления выявлены и для других случаев возбуждения колебаний. В некоторых диапазонах частот возможно одновременное существование до пяти устойчивых режимов колебаний стержня.

- Рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере задачи вибрационного контроля вальцовочных соединений энергетического оборудования и динамических расчетов гидроцилиндра

выдвижения башни автомобильного подъемного крана КСТ-7 и шнека бурильной машины МРК-800.

Научные результаты, выносимые на защиту:

- уравнения пространственных нелинейных колебаний нити и формулировка краевой задачи динамики нити с натяжным устройством;

- аналитическое и численное решение, полученное для нерастяжимой нити в одномодовом приближении, и анализ резонансных явлений, проявляющихся в неустойчивости плоской формы колебаний и существовании устойчивых пространственных форм колебаний нити;

- численное решение задачи о колебаниях нерастяжимой и упругой нити, полученное с. учетом нескольких форм колебаний и позволяющее определять силу натяжения нити;

- численное и аналитическое решение задачи об изгибных колебаниях стержня с близкими значениями собственных частот колебаний в ортогональных плоскостях и ранее неизвестные резонансные явления, заключающиеся в возможности существования нескольких плоских и пространственных форм движения в области резонансов;

- постановка и решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами и ее практическое применение для нелинейной диагностики вальцовочных соединений теплообменных аппаратов;

- исследование задачи о колебаниях стержня, вращающегося вокруг своей оси, и влияние угловой скорости на взаимодействие форм колебаний во взаимно ортогональных плоскостях.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные результаты вносят вклад в развитие нелинейной теории колебаний систем с близкими значениями собственных частот колебаний в двух ортогональных плоскостях. Выявлены новые резонансные явления в таких системах, в ряде случаев удалось строго установить их характеристики и области существования.

Практическое приложение полученные результаты находят в исследованиях различных технологических процессов текстильной промышленности, связанных с перемоткой нити. Предложенные алгоритмы расчетов позволяют учесть возможные резонансные явления и избежать чрезмерной вытяжки нити и ее обрывов на этапе производства.

Результаты исследования колебания стержня с близкими значениями частот изгибных колебаний использовались при проектировании автомобильного подъемного крана КСТ-7, в частности при расчете гидроцилиндра выдвижения башни. Установлено, что небольшие изменения конструкции крепления гидроцилиндра могут приводить к качественному

изменению режима вынужденных колебаний и, следовательно, значительному увеличению амплитуд напряжений и перемещений.

Решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами использовано для диагностики технического состояния вальцовочных соединений теплообменных установок. Полученные решения задачи об изгибных колебаниях стержня, вращающегося вокруг продольной оси, позволило увеличить предельную глубину бурения бурильной машины МРК-800.

Результаты проведенных научных исследований внедрены на предприятиях г. Иваново: ОАО ИвНИИ Электропривод, ОАО «Ивэнергомаш», МП «Ивгортеплочнерго» (акты внедрения прилагаются).

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе Ивановского государственного энергетического университета при чтении лекций студентам и аспирантам по дисциплинам «Устойчивость и управление движением», а также при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии», Курск, 1997; Международной научно-технической конференции «Современные наукоемкие технологии текстильной промышленности», Прогресс-2000, Иваново, 2000; Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития энерготехнологий» (П1-ХП Бенардосовские Чтения), Иваново, 1989-2007; межвузовской научно-технической конференции «Информационная среда ВУЗа», Иваново, 2000; 1-й региональной научно-практической конференции «Наука. Экономика. Общество», Воскресенск, филиал МГОУ, 2006; 9th conference on dynamical systems. Theory and applications. Lodz, 2007, Poland; научно-технической конференции «Вибрация-2008. Вибрационные машины и технологии», Курск, 2008; 9th international conference «Dynamics of rigid and deformable bodies», Usti nad Labem, Czesh republic, 2008; «Проблемы машиноведения», конференции посвященной 70-летию Института машиноведения, Москва, 2008.; Международной научной конференции по механике. Пятые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2009.; «Вибрация 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины», Курск, 2010; на семинаре лаборатории механики управляемых систем Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, 2010.

результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук» - 14; статей в журналах, сборниках трудов Международных, Всероссийских и региональных научно-технических конференций - 27.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 6 глав, основных результатов и выводов, списка используемых источников из 177 наименований и приложений, содержит 227 страниц текста, 98 рисунков.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указана научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, приведены структура и содержание диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий обзор и анализ резонансных явлений в нелинейных системах. Из всех задач нелинейной динамики в отдельную группу можно выделить задачи исследования нелинейных резонансных явлений, обусловленных наличием в системе нелинейных взаимодействий между формами колебаний. Исходной предпосылкой для их реализации является выполнение определенных резонансных соотношений между частотами собственных колебаний парциальных систем. Для таких систем характерными особенностями являются неоднозначность решений, срывы амплитуд в резонансной зоне, затягивание колебаний по частоте и другие нелинейные эффекты.

Существенный вклад в исследование резонансных явлений внесли работы И.И. Блехмана, В.В. Болотина, Р.Ф. Ганиева, В.О. Кононенко, М.Я. Кушуля, Л.И. Маневича, В.Ф. Журавлева, Д.М. Климова, В.А. Светлицкого и др. В работах Л.Д. Акуленко, C.B. Нестерова и Г.В. Костина исследована задача о пространственных колебаниях струны с учетом геометрической нелинейности, обусловленной изменением длины при отсутствии осевых смещений на опорах. Взаимодействие различных форм колебаний наблюдается в задачах о колебаниях стержня, вращающегося относительно одной из опор, колебаниях быстровращающихся валов, трубопроводов под действием бегущих волн жидкости и т.д.

В этой же главе приводится краткий обзор основных работ по динамике текстильной нити и нелинейной вибродиагностике конструкций.

Во второй главе рассматриваются пространственные нелинейные колебания нити с натяжным устройством. В практических приложениях, в частности для большого числа текстильных машин, представляет интерес задача о вынужденных колебаниях нити в процессе ее перемотки по следующей схеме. В точке х=0 нить проходит через натяжное устройство, допускающее продольные перемещения нити и фиксирующее постоянное значение силы натяжения. В простейшем случае натяжное устройство

представляет собой фрикционную пару, в которой натяжение нити обеспечивается силой сухого трения. В точке х=Ь нить совершает движение в плоскости Оуг по некоторому закону у = Н^(х,/), г = Н2(х,(). Кроме этого, точки нити движутся со скоростью V, которую будем считать постоянной вдоль деформированной оси £

В рассматриваемой схеме происходит кинематическое возбуждение колебаний нити в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Поскольку собственные частоты колебаний нити в плоскостях Оху и 0x2 одинаковы, в решении следует ожидать взаимодействия форм колебаний.

Рассмотрим колебания нерастяжимой нити, то есть силу натяжения нити Т считаем постоянной и равной ее значению в натяжном ^ттгкни'тшу Увеличение амплитуды колебаний происходит за счет продольного перемещения нити в натяжном устройстве и изменения длины нити, участвующей в движении. Обозначим через у(х,0 и г(х,1) перемещения нити в точке с эйлеровой координатой х в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Диссипацию учитываем по модели внешнего трения. Полученные уравнения движения нити при сохранении величин третьего порвдка малости относительно перемещений в безразмерной форме имеют вид

[(1 - (/2)~(2- V2\нг + у')2 -(1 ~У2\Н2+ к1)2]у'-(#! + У%Н2 + V" -2жУ 1 -1 (//[ + у')2 - — (Я2 + и7')2 (#! + V1)- л2Н\Х -п2\ -рл2{нх + у)-

■ßnV

(Я, + v') = 0.

(1)

Второе уравнение получается заменой v w, Я, <->В2 ■ Здесь и далее точкой обозначаем производную по безразмерному времени, штрихом -производную по безразмерной координате, перемещения у и z отнесены к длине L . Функции v и w представляют собой перемещения нити относительно прямой, соединяющей крайние точки нити:

у(х, i) = Я, (0 * + v(x, t), z(x,t) = Н2 (i) х + yv{x, t).

Все вычисления проводились для нулевого значения безразмерного параметра скорости V, что соответствует пренебрежимо малым скоростям перемотки нити по сравнению со скоростью распространения поперечных волн. В лабораторных условиях аналогичную задачу для неподвижной в продольном направлении нити можно смоделировать, пропустив нить в точке х-0 через пару вращающихся поджимных роликов.

Для одномодового приближения v(x,t) = (px{t)s\n7z х, w(x,í) = <p2(t)sm7rx и гармонического закона движения правого конца нити уравнения движения (1) принимают вид

Фк + Щфк + <рк-sy(ç>i + <PÍ)<Рк = -ер\ eos(jit + 0k), к = 1,2,

где в качестве нового масштаба единицы длины принята амплитуда колебаний нити A, A«L, введен малый параметр s = (A)bf и обозначения у = л2 I2,£t¡ = Р. Колебания рассматриваются в малой окрестности главного резонанса, т.е. ц-\ + еХ,еЯ«\. Амплитуды кинематического возбуждения и параметр диссипации предполагаются малыми, порядка в, что позволяет применить эффективные методы нелинейной механики. Произведя замену переменных

<pk=akcos(t + a'k), фк = -aksin{í + a'k), £ = 1,2

и применяя метод усреднения, получаем систему уравнений в медленных

переменных:

1 1 2 1 ак=-^£Пак+о£Гаказ-к sin2(ак -a3.t)+ chk sm{ak -вк),

3 1 ' 1 <*>

ак 0s/a2k ~-£yalk(2 + cos2(ai ~а2))--ehk eos(ак-9к),

8 8 тк

где ах,а2- амплитуды парциальных колебаний, а,,а2 - фазовые добавки, а[ =a¡+ £Àt, а'2=а2+ sût. При s = 0 амплитуды и фазовые добавки постоянны и ц = 1. Для значений е > 0 медленные переменные изменяются со скоростью е. Слагаемые 0(s2) в уравнениях (2) упущены. Далее будем рассматривать установившиеся колебания, что соответствует нулевым левым частям уравнений.

Уравнения свободных колебаний получаются из системы (2) при отсутствии диссипации и кинематического возбуждения: ht = k¿ = 0, т} = 0. Система имеет три решения:

1) я2 = О, А = 2) а, = О, Л =

8 8

1 2 1 2

3)а, = ог2 ±п42, Я] =а2, Л = =-~уз2.

Решения 1 и 2 описьшают зависимость амплитуды от частоты свободных колебаний нити в плоскостях Oxz, Оху. Третье решение представляет амплитудно-частотную зависимость пространственных

колебаний нити, движение точек средней линии происходит по окружности в плоскости .уг.

Для численного решения системы нелинейных алгебраических уравнений (2) с учетом диссипации воспользуемся методом продолжения решения по параметру. Если при некотором значении А* известно приближенное решение системы уравнений г = (ак ,ак,ак ,ак)т, то для значения Лк+1 = А* + АЛ1 приближенное решение представляется в виде гк+1=гк + Агк. Подставляя в систему и линеаризуя полученные уравнения, определяем приращения неизвестных из системы

СкАгк - рк + Як, (3)

где рк = (0,0,ДА*,ЛА*)г; Як - вектор невязки на предыдущем шаге решения.

Таким образом, решение системы нелинейных уравнений (2) сводится к решению последовательности систем линейных уравнений (3). На каждом шаге вычислений контролируется величина невязки, и если относительная погрешность превышает заданную точность, то шаг варьируемой переменной уменьшается. В точках ветвления решений за независимый параметр принимается переменная, имеющая наибольшее по модулю приращение на предыдущем шаге, что позволяет найти все существующие решения и построить многозначные амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

Для исследования устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова рассмотрим некоторое возмущенное решение системы уравнений (2) г,(/) = г(/) +Дг(<). После подстановки в систему и линеаризации получаем уравнения возмущенного движения первого приближения Аг = САг, где матрица О совпадает с матрицей, входящей в уравнение (3). Согласно теоремам об устойчивости по первому приближению знак действительной части всех собственных значений матрицы в позволяет сделать вывод об устойчивости решения. Поскольку матрица несимметрична, для решения проблемы собственных значений использовался С^Я-алгоритм.

На рис. 1, 2 представлены зависимости а,(Я) и а2(Я) при значении

параметров \ = 0,01, И2 = \0~4,т] = 0,015, в1 = 02 = 0. Устойчивые решения показаны жирными линиями. Кривой 1 представлена известная зависимость а,(А), соответствующая плоским колебаниям (а2(Л) а 0). Эта кривая может быть построена из решения плоской задачи, при этом участок между точкой А] и максимумом амплитуды в точке Аг будет соответствовать устойчивому решению. На кривой 1 обнаружены две точки ветвления решений (Аь В,) и (Аг, В2). Принимая одну из этих точек в качестве начального приближения, строятся

кривые 2 и 3. Разность фаз ог, - а2 на устойчивом участке решений 2, 3 примерно равна ±ж/ 2, что соответствует вращению нити в двух противоположных направлениях. В решении, полученном без учета диссипации, движение нити происходит по эллипсу, одна из осей которого находится в плоскости возбуждения колебаний. Учет диссипации приводит к повороту осей эллипса к этой плоскости на угол, величина которого определяется параметром 77.

При увеличении частоты возбуждения колебаний в точке (А4, В4) происходит срыв с плоской на пространственную форму движения. Затем в точке (Аь В^ пространственные колебания плавно переходят в плоские. При уменьшении частоты возбуждения в точке (Аь В]) шише колебания плавно переходят в пространственные, при которых точки осевой линии нити описывают эллипсы в плоскости, ортогональной оси х. Дальнейшее уменьшение частоты приводит к срыву в точке (А3, Вз) на плоскую форму движения нити.

Рис. 1. Зависимости амплитуд колебаний нити от частотной расстройки: а— в плоскости возбуждения колебании; б— в плоскости ортогональной возбуждению

Решение системы уравнений (1) получено также с учетом нескольких форм колебаний методом Бубнова-Галеркина. Результаты подтверждают все резонансные явления, выявленные в одномодовом приближении.

Возможность обрыва нити в процессе перемотки обусловлена величиной силы натяжения. Для ее определения необходимо рассматривать колебания упругой нити. Обозначим через у(хЛ) и г(х,1) перемещения в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а через и(х, ¡) - продольное перемещение в точке с эйлеровой координатой х. В качестве начального состояния принимаем

прямолинейное положение нити, растянутой, силой 7а, задаваемой натяжным устройством в точке х=0. В первом приближении продольная деформация нити определяется известным соотношением

е = и'+1/2(У2 +г'2).

Тогда сила натяжения

7"(х, I) = Г0 + ЕРс = Г0(1 + ¿/гг), где Е и - модуль упругости и площадь поперечного сечения нити; с! = ЕР/Т0.

Уравнения колебаний упругой нити при сохранении величин третьего порядка малости относительно перемещений в безразмерной форме имеют вид (Л - 1Х(Я, + у'У + (Я2 + к')*"] + ¿и" - л2И = О,

1 - Г2 -1 ¿\нх + V')2 - -1 ¿](Я2 + >у')2 + аи'

(4)

- (1 - ¿Xя, + + ™ V + ¿(я, + V - л1 (я, + V')- ж1 р{нх + г)= 0.

Третье уравнение получается из второго взаимной перестановкой V <-> и>, //, <-» #2. Граничные условия формулируются в следующем виде:

у = и' = 0, м' + 1/2(Я, +у')2 + 1/2(Я2 +и>')2 =0 при х = 0,

\Р )

у = м> = и = 0 при х = 1.

Нелинейное граничное условие получено из предположения, что сила натяжения в натяжном устройстве постоянна: Т(0,0 = Т0.

Краевая задача (4), (5) состоит из системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций и, V, м/ и граничных условий, одно из которых нелинейное. Непосредственное применение метода Бубнова-Галеркина к данной задаче невозможно, поскольку нельзя подобрать базисные функции, удовлетворяющие нелинейному граничному условию. Функции перемещений по координате х (0<х<1) приближенно могут быть заданы в виде

и(х,0 = $»,„(/)(1 -

1=1 (6)

N N х '

5=1 1=1

При этом удовлетворяются все линейные граничные условия. Введение дополнительной базисной функции (1-х) для продольного перемещения позволяет удовлетворить также нелинейному граничному условию. В

результате ортогонализации к базисным функциям бш^яс) результата подстановки (6) в (4) получаем Ь+2Ы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Еще одно уравнение получается в

результате подстановки решения в нелинейное граничное условие (5).

Для решения полученной системы использовался метод продолжения решения по параметру. Вычисления проводились с учетом трех членов ряда в разложении (6) для функций V и м> (№= 3) и шести членов ряда для функции и (1=6). Значение параметра (1 принималось 103, что соответствует продольной деформации нити 10~3 при растяжении силой Т0.

Рассмотрим вынужденные колебания нити в предположении. что точка х=1 движется вдоль фиксированной оси по гармоническому закону Я,(0 = к8т(о0. (0 = 0. На рис. 2 представлены АЧХ для амплитуд первой гармоники при первой моде функций V (кривые 1,2) н № (кривая 3). Амплитуда кинематического возбуждения А=0,01 и коэффициент диссипации /? =0,05. Кривая 1 соответствует плоским колебаниям, ее построение начиналось с достаточно малой частоты, и в процессе продолжения решения по различным параметрам обнаружено несколько точек ветвления решений. Принимая одну из этих точек в качестве начального приближения, построены кривые 2 и 3. Это решение соответствует пространственным колебаниям, при которых точки нити движутся по эллипсу. Кривые, соответствующие плоским и пространственным движениям нити, огибают соответствующую скелетную кривую.

возбуждения колебаний (кривые 1-2) натяжения от частоты

и в ортогональной плоскости (кривая 3)

На рис. 3 представлена зависимость максимального как по координате, так и по времени значения натяжения нити 77Г0 от частоты кинематического возбуждения для тех же значений параметров задачи. Наибольшее значение силы натяжения не совпадает с максимумом амплитуд, как это следует из решения задачи о плоских колебаниях. В диапазоне частот между точками Л4 и Л2 пространственные колебания нити приводят к значительному уменьшению силы натяжения, при этом максимальное натяжение соответствует точке бифуркации А2.

Рассмотрен также случай кинематического возбуждения колебаний нити при движении точки х=\ по окружности = Я2(/) = йсо5(гу/). По

такой схеме нить движется в кольцепрядильных и крутильных машинах, при осевом сматывании нити с початка или бобины. При этом нить образует так называемый баллон вращения, в котором все точки нити движутся по окружности. Проведено сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными результатами, полученными на лабораторном стенде.

Третья глава посвящена исследованию вынужденных колебаний стержня с близкими значениями собственных частот в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вследствие несовпадения изгибных жесткостей стержня. Рассмотрены изгибные колебания стержня с неподвижными в продольном направлении опорами. Учитывается геометрическая нелинейность, обусловленная изменением длины средней линии стержня при его пространственном движении.

Пусть центральная ось стержня в недеформированном состоянии совпадает с осью х прямоугольной системы координат, главные оси инерции поперечного сечения параллельны осям у иг. Концам стержня соответствуют координаты х=0 и д ~Ь. Обозначим через и, V, тс перемещения точек средней линии стержня. Предполагая отсутствие относительного продольного смещения опор, получаем

где ей- деформация средней линии стержня; координата х и перемещения у и~н> отнесены к длине Ь. Пусть на стержень действуют внешние гармонические нагрузки во взаимно перпендикулярных направлениях qx(x,t) и дц,(х,1), диссипацию учитываем по моделям внутреннего и внешнего трения. Пространственные колебания стержня описываются уравнениями в безразмерных переменных:

x*v + v№ +pv№ +x4ov-4ys0v" = qv(x,t),

(o)

7tAw + cw'v + Pww + ж* ow- 4ys0w" = qv (x, i). Здесь введено безразмерное время z = mlt, где а1=(ж/L)2[EJZ/(pF)]112 - собственная частота колебаний стержня в плоскости ху. Также введены обозначения для параметра нелинейности у = FL1 /(4J2) и отношения изгибных жесткостей в двух ортогональных направлениях c = JyIJz.

Ограничимся случаем одномодового приближения и представим решение в виде

v(x, t) = <p0l (t)V(x), w(x, t) = <p02 (t)F(x), где F(x) - первая форма колебаний стержня. Для стержня с двумя шарнирно-неподвижными опорами V (х) = sin ях. Запишем полученную систему уравнений в виде

Фк + ЩФк + [1 + (* -1)«%* + + <Р\ К = + вк), к = 1,2 (9)

где в качестве нового масштаба единицы длины принята амплитуда колебаний

стержня a, a«l; введен малый параметр s = (a/l) и обозначения

с = 1 + е8, ет]-Р + а, fk(t) = 2е~ъпл~а ^q k(x,f)ún тсс dx. Амплитуды внешних

нагрузок, параметр диссипации и разность собственных частот предполагаются малыми, порядка s.

Система уравнений в медленных переменных имеет вид

ак =~\Efk sin(«*+ a\aik sin2(ак -аг.к)-~ещк,

ák =~s[S(k-\)-2X]~ е fk cos(a*-вк)+ (10)

2 2 ак

3 1

+ + O^a3-í(2 + cos2(a, -а2)1 ¿ = 1,2,

о о

где ак и ак,- амплитуды и фазовые добавки, колебания рассматриваются в малой окрестности главного резонанса, /и = 1 + еЯ, еХ«\. Слагаемые 0(е2) в уравнениях (10) упущены. Далее будем рассматривать установившиеся колебания, что соответствует нулевым левым частям уравнений. Заменой переменных

. 1/3

„ Л_ 3 _ ]• Ш г 2/3 с о* 1/3 г 2/3 „*~1/3/-2/3 г г* г

ак=ак ~ит> Х Х? Ь , ° = $ У /2 > Я = т) У /г >/¡=/1/2

система уравнений (10) приводится к виду (звездочки далее упускаем)

1 1 2 1

- - /1 зш(а, - 6>!) + -я,я2 эт 2(0^ - а2) - - 17а, = 0,

2 О X

1 1 2 1

— -в1)^-аха1 эш 2(а2 - «1) — Щ2 = 0, 2 8 2

1 3 1

-Я---Г. соз(а, -#,)+-а,2 +~ат(2 + со52(а, -аг,)) = 0,

2а,......8 • 8 " "

1 1 3 2 1 2/ \

-8-Х--соз(ог2 (2 + соз2(а| -а2)) = 0.

(П)

1а

При отсутствии диссипативных сил можно получить аналитическое решение для вынужденных колебаний стержня. Рассмотрим практически важный случай колебаний стержня под действием нагрузки, лежащей в одной плоскости, например г. Введем дополнительное предположение о наличии малой составляющей нагрузки в направлении у: /х<< на практике такая составляющая всегда присутствует, поскольку ни один источник гармонической нагрузки не является идеальным. Без ограничения общности можно положить 02=О.

Первое решение задачи существует при в1 = я-/2, в этом случае вектор нагрузки описывает эллипс в плоскости уг. Для значений фазовых добавок Я] = ±я72, а2 = 0, ж решение имеет вид

- I 2 а2 Н---= ах н--

ач а

2 -г ^ з 3 2 1 2 -г Л

— — 2д, л + -а2 +

]\ 8 1 2 3 2 — 1

—1'- = - +-а{ + -а\ +-. (12)

2а, 2 8 8 2а,

л 2 "] о о ¿и] ¿.о о ¿.и2

Второе решение соответствует значениям вх = 0, а, = 0, «т2 = 0 и имеет вид

а,=±-

—, Я = —+ -а2 1 2 8 2

/ г ^ 2^

1 +

V 1 «2 J у

_ 1 +-

2а2

(13)

На рис. 5, а, б представлены решения (12) и (13) в виде зависимостей а,(Я), а2(Х) для значений параметров /, = 10~4,Л = 0,5, что соответствует возбуждению колебаний стержня в плоскости большей изгабной жесткости.

Устойчивые решения показаны жирными линиями, скелетные кривые пунктирными.

Решению (12) соответствуют кривые, отмеченные цифрами 1-5. Решение 1,2,3 соответствует движению точек средней линии стержня практически в плоскости действия нагрузки (а1 /йг2 и/,). Точка М на этой кривой разделяет устойчивый и неустойчивый участки. Решение 4 - это пространственное движение, при котором сечения стержня движутся по эллипсу в направлении, совпадающем с движением вектора нагрузки. Решение 5 — это пространственное движение в противоположном направлении. Решение (13) описывает колебания стержня в плоскости, на рис. 4 оно совпадает с кривыми 1,2,3 и имеет

---„„., „ _ 1 IX

иШиЪ'ПП^Ю 11 1 1*2 — 1 I V .

/ / у' / ^^г

1 Ч'У ' й- 2 / П 1 /I а гэ

а) б)

Рис. 4. Зависимости амплитуд колебаний стержня от частотной расстройки: а — в плоскости возбуждения колебаний; б — в ортогональной плоскости.

Из условий устойчивости решений определены координаты точки М:

1 3

аШ =0» а2М (14)

8 м 85

При малых значениях частотной расстройки существует единственное решение, соответствующее движению сечений в плоскости действия нагрузки. При увеличении частоты это решение либо плавно переходит в пространственное движение, совпадающее с направлением нагрузки, либо в пространственное движение в направлении, противоположном нагрузке. При /¡~0 оба эти движения равновероятны. При значениях частотной расстройки больших Ям, в рассматриваемой системе возможны четыре режима колебаний. Это два движения в плоскости возбуждения колебаний с «большой» и «малой» амплитудами и два пространственных движения с вращением средней линии

стержня в двух противоположных направлениях. Левее этой точки с уменьшением частоты возможны три, два и один режим колебаний.

Как следует из (14), уменьшение параметра 8 сдвигает устойчивый участок плоского решения в область больших частот и амплитуд, так что для стержня с равными моментами инерции сечения, например круглого, такое движение невозможно. При возбуждении колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости, 8 < 0, и все решения, соответствующие плоским колебаниям на кривой 2, являются неустойчивыми.

Численное решение системы уравнений (11) с учетом диссипации получено методом продолжения решения по параметру.

/'/ / у

У/ /)' // -А/« ,1

а) б)

Рис. 5. Зависимости <3, (Я), а2 (Л): а — возбуждение колебаний в плоскости большей изгибной жесткости; б — в плоскости меньшей изгибной жесткости

Результаты для случая возбуждения колебаний в плоскости большей изгибной жесткости сечения, при /, = 10"4,77 = 0,2, в2 = 0, 8 = 0,5 приведены на рис. 5,а. Кривой 1 соответствует зависимость а2(Л) плоской формы движения, кривым 2 и 3 — зависимости а2(Л) и а,(Л) пространственной формы. Точка А4, соответствующая максимальной амплитуде плоской формы движения, на рисунке не показана. В различных диапазонах частот возможно существование от одного до четырех устойчивых решений - двух плоских движений и двух пространственных. Учет диссипации приводит к сдвигу точки ветвления решений (А2, В2) в сторону уменьшения частоты.

На рис. 5,6 представлены те же зависимости а,(Д) и а2(Л) при

8 = -0,5, /[ = Ю-4, г\ - 0,3, в2 = 0, что соответствует возбуждению колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости. Решение на участке АХВХ — А4В4 в этом случае является неустойчивым.

В качестве примера, рассмотрена задача о вынужденных колебаниях латунной трубы длиной 1 м, жестко закрепленной по краям. Внешний диаметр трубы d — 16 мм, внутренний й?0 = 14 мм, параметр нелинейности / = 2125. Параметр диссипации в системе уравнений (9) принимался равным 0,005, параметр неравножесткости с = 1,012. На рис. 6 приведены амплитудно-частотные характеристики a2(ß),al(ji) для четырех значений амплитуды обобщенной силы /2. Вычисления проводились в безразмерных переменных, для чего определялись параметры т}*,5*, методом продолжения решения по параметру строились зависимости а\(Я*),а\(Я*), затем определялись а},а2,Я

Рис. 6. АЧХ стержня: а— в плоскости возбуждения колебаний; б — в ортогональной

плоскости.

В третьей главе также построены АЧХ для случая нагрузки, располагающейся в плоскости под углом к осям у иг. Случай возбуждения колебаний в плоскости большей изгибной жесткости стержня с неподвижными в продольном направлении опорами является наиболее опасным. В этом случае, при достаточно больших уровнях возбуждения, в системе возможны плоские колебания с большими амплитудами.

В четвертой главе объектом исследования является гидроцилиндр выдвижения башни специального автомобильного подъемного крана КСТ-7, выпускаемого ОАО «Ивэнергомаш».

В ходе испытаний промышленного образца были обнаружены значительные вибрации башенно-стрелового оборудования крана в процессе выдвижения и втягивания второй секции башни при переводе крана из транспортного положения в рабочее, и наоборот. Появление этих вибраций имело случайный характер.

Источником вибраций является двигатель шасси, работающий на первой передаче и вращающийся с угловой скоростью 1000 об/мин. Нижняя рама совершает колебания с основной частотой 17 Гц в вертикальном направлении и вдоль шасси автомобиля. Предварительный анализ собственных частот башенно-стрелового оборудования показал наличие форм колебаний с близкими к этому значению собственными частотами. Большая часть энергии при этих колебаниях приходится на изгибные колебания гидроцилиндра выдвижения второй секции башни по первой форме колебаний. В результате расчета собственных частот гидроцилиндра с учетом неравножесткости его крепления к основанию башни получены следующие значения. Первая частота колебаний в плоскости XI о^ --16,368 Гц, вторая частота колебаний и плоскости ху а>2 = 16,886 Гц.

При рассмотренной схеме закрепления гидроцилиндр является системой с близкими значениями изгибных жесткостей в двух ортогональных плоскостях.

а\

Параметр неравножесткости с =-— = 1,064. В первоначальном варианте

конструкции цилиндр был расположен так, что вибрационная нагрузка располагалась в плоскости большей изгибной жесткости ху. В этом случае, как показано в главе 3, в области резонанса возможны как плоские, так и пространственные формы колебаний.

Для устранения вибраций гидроцилиндр было предложено развернуть на 90° вокруг его оси. В этом случае возбуждение колебаний происходит в плоскости меньшей изгибной жесткости и в системе возможны только пространственные формы колебаний. Амплитуды колебаний уменьшаются в два раза, а ширина области резонанса становится примерно в три раза уже. В результате принятых изменений в конструкции и при условии достаточно быстрого выдвижения башни колебания башенно-стрелового оборудования крана в процессе его перевода в рабочее положение были практически полностью устранены.

Пятая глава посвящена практическому применению результатов, полученных в главе 3, к задаче технической диагностики вальцовочных соединений.

Опыт эксплуатации теплообменных установок в объектах энергетики, химической и газовой промышленности свидетельствует о необходимости дальнейшего совершенствования методов контроля вальцовочных соединений. Разгерметизация конструкций приводит к нарушениям технологии производства и аварийным последствиям. В данной главе рассматривается метод определения технического состояния вальцовочных соединений

конструкции на основе анализа нелинейных колебаний стержня с неидеальными опорами.

В качестве расчетной модели трубы с вальцовочными соединениями в двух трубных решетках принимаем стержень кольцевого сечения, имеющий две неподвижные в продольном направлении опоры. Ось х направлена вдоль оси стержня. Перемещения в опорах вдоль осей у и г отсутствуют, а зависимость между углами поворота <ру,ф2 и изгибающими моментами Му, М2 задается полиномами:

Му = Су] (ру +СуЪ<ръу+Сху,<ру<р12, Мг = Сл<р2 +С1Ъ<р1+Сух(р1(р1у.

Таким образом, дефект вальцовочного соединения моделируется нелинейностью опор и различными значениями угловых жесткостей в ортогональных направлениях.

Получено решение задачи для условий жесткого защемления на опоре х = 0 и граничных условий

V = 0, у'+е./+С' ,у'3 + сУъ/2 = О,

* (15)

м> = 0, >/ + су[м'+суЪ\^ + с^Уу'2 = О

на опоре х = 1. Здесь параметры жесткости опоры отнесены к изгибной жесткости стержня Ю7. В систему уравнений в медленных переменных входят параметры У\,Уг,У\1, которые зависят от параметра у и нелинейности опор с2], с,3, , с^, су3, с^. Нелинейность системы определяется как наличием

продольной силы вследствие относительной неподвижности опор, так и нелинейностью опор. Полученные результаты позволяют качественно объяснить существование нелинейности мягкого типа в экспериментальных исследованиях. Однако слишком большое число параметров модели пространственных колебаний балки с нелинейными граничными условиями затрудняет проведение технической диагностики вальцовочных соединений.

В качестве объекта экспериментального исследования использовалась натурная бойлерная установка котельного оборудования с горизонтальным расположением пакета, состоящего из 85 латунных труб длиной 1000 мм, с наружным и внутренним диаметром соответственно 16 и 14 мм.

В случае плоских колебаний задача имеет аналитическое решение и размерная амплитудно-частотная характеристика А(/и) может быть построена с учетом соотношений

где Ь0 - координата расположения датчика.

Значения параметров со0,т],у1,/, определяются методом наименьших квадратов по результатам сравнения с экспериментальными данными в окрестности резонанса.

В качестве примера на рис. 7 приведены некоторые из полученных на стенде амплитудно-частотных характеристик сборки при отсутствии дефектов в одной опоре. Амплитуда вынуждающей силы подбирались из условия не превышения максимальной амплитуды колебаний трубы величины 1,5 мм, что соответствует виброускорению датчика А = 8л< / с2.

А№А) _ _

--- N

Рис. 7. Экспериментальные АЧХ

По результатам идентификации получены следующие параметры: рис. 7,а наличие дефекта геометрии стыка на второй опоре: ю0 = 66,8Гц; т] = 0,0238; у, =-4,42-10'\/1 -3,56-Ю'4; рис. 7,6 - наличие трещины во второй опоре: щ=6Ъ,2Гщ т] = 0,0379; =-6,76-Ю4,/, =9,66-Ю"4; рис. 7,в - неполная развальцовка второй опоры: ай = 73,2Гщ т) = 0,0327; =-1,22-104,/, =4,91-10_4; рис. 7,г - бездефектная конечная сборка: а>й= 15,0Гц-, т] = 0,0068; =2,65-103,/, =0,605 - Ю-4. Выявленными диагностическими признаками дефекта вальцовочного соединения по результатам анализа плоских колебаний, являются: резонансная частота, диссипация или добротность системы и параметр нелинейности. Как следует из результатов экспериментальных исследований, все три параметра взаимосвязаны, и в первом приближении можно ограничиться одним параметром - добротностью системы. Для рассмотренного типоразмера бойлерной установки окончательная сборка считается номинально-качественной, если измеренная добротность заключена в пределах 450+50.

При необходимости получения более детальной информации о состоянии опор используются показания двух датчиков, расположенных в плоскости возбуждения колебаний и в ортогональной к ней плоскости. В системе

наблюдаются плоские и пространственные формы колебаний, при этом в системе с идеальными опорами и идеальным сечением трубы в области резонанса существует только одна плоская форма движения. Анализ пространственных колебаний позволяет выявить шесть диапюстических признаков, однако требует усложнения конструкции контроллера и более сложной процедуры идентификации параметров. Большое количество диагностических признаков затрудняет оценку качества соединения. Однако сам факт существования пространственных колебаний является признаком неравножесткости системы.

В шестой главе рассматриваются изгибные колебания шнека бурильной машины МРК-800. Основная часть шнека представляет собой сварную конструкцию, состоящую из трубы и спиральной поверхности. Длина основной части шнека равна 4 м. При бурении скважин большей глубины, шнек удлиняется с помощью дополнительных секций длиной 1 м. Секции соединяются с помощью конических штифтов, а спиральные направляющие в месте стыка имеют зазор. Это приводит к неравножесткости составного шнека в двух взаимно ортогональных направлениях.

В процессе бурения шнек бурильной машины совершает изгибные колебания. Вследствие этого, диаметр скважины в ее средней части превышает диаметр шнека. При достаточно большой глубине бурения и малых собственных частотах изгибных колебаний шнека в системе возможны резонансные режимы вынужденных колебаний и усталостное разрушение. Из результата расчета собственных частот колебаний шнека следует, что для данной конструкции дополнительных секций система имеет неравножесткость порядка 1 %, которая увеличивается с увеличением длины шнека. Если немного изменить конструкцию, так, чтобы секция имела не четыре витка, а четыре с четвертью, то стыки будут находиться в разных плоскостях и неравножесткость шнека будет минимальной. Также необходимо расположить под углом 90° отверстия под штифты, соединяющие секции.

Как следует из результатов расчета, изгибной жесткостью спиральной поверхности шнека можно пренебречь. Далее будем рассматривать изгибные колебания шнека как колебания трубы с присоединенной массой. Вращение производится двигателем неограниченной мощности, способным поддерживать постоянную угловую скорость.

Пусть ось х совпадает с осью стержня в недеформированном состоянии, а опорам стержня соответствуют точки х=0, х-Ь. Центр масс поперечных сечений совпадает с осью вращения. Во вращающейся с угловой скоростью О системе координат обозначим через V и м> перемещения точек средней линии

вдоль осей у и г. Уравнения колебаний стержня в безразмерных переменных имеют вид

яАу + /&'у + я,4о\> + л4оС1м> + (1 + П2)у!У -л4П2у-+ 2Жа£Ы =

^ 1

1 о

.т2 I Ё~Т

где введено безразмерное время г = <у0 /, 0О = —— !—г—--* - первая

I2 ^pF(l + Q,2)

частота изгибных колебаний в плоскости г; О» - безразмерная скорость

,т2а ; кк

вращения, вводимая соотношением £2 = —-— I—г—-—.

I2 ЧрГЦ + П.2)

После введения малого параметра и обозначения ш = Пв одномодовом приближении получаем следующую систему уравнений:

Ф[ + ЕПФх +<Р\+ 2саФг + ¿гЫ + <Р\}Р\ = +0{),

I 2 7 \

Фг + £7]ф2 + (1 + е8)ф2 - 2£0)ф1 + £"/Щ + <р2 \рг = $2 соь(/М + в2).

Взаимосвязь колебаний стержня в различных плоскостях обусловлена силами Кориолиса и нелинейностью системы. Уравнения вида (16) используются для исследования колебаний быстровращающихся роторов для различных моделей нелинейности системы, при отсутствии вращения эти уравнения совпадают с (9). Решения, полученные в третьей главе для неподвижного стержня, являются частным случаем известных решений для вращающегося ротора. Две пространственные формы колебаний неподвижного стержня, при наличии угловой скорости, соответствуют прямой и обратной прецессии ротора. Колебания стержня в плоскости действия нагрузки превращаются в движения по эллипсу в подвижной системе координат вращающегося ротора. Увеличение угловой скорости приводит к уменьшению амплитуды колебаний в плоскости нагрузки и увеличению амплитуды колебаний в ортогональной плоскости.

Для стержня, вращающегося вокруг своей оси, малое различие изгибных жесткостей стержня в двух ортогональных направлениях также может приводить к существованию устойчивых режимов колебаний с большими амплитудами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе проведено исследование резонансных явлений в нелинейных системах с близкими значениями собственных частот колебаний в двух ортогональных плоскостях. Для таких систем характерно перераспределение энергии между формами колебаний, вследствие чего возбуждаются колебания в тех направлениях, по которым не действуют внешние нагрузки. В ряде случаев построенные амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики являются неоднозначными. Потеря одного или нескольких устойчивых решений может привести к недопустимо высоким уровням вибрации, поэтому данная проблема имеет иаясное хозяйственное значение для проектирования и эксплуатации объектов текстильной промышленности, машиностроения и энергетики.

При решении поставленных задач получены следующие результаты:

1. Разработана математическая модель пространственных нелинейных колебаний нити в текстильных машинах с натяжным устройством. Для нерастяжимой нити в одномодовом приближении на основе методов возмущений и усреднения получены уравнения движения в медленных переменных и их решения. Составлен и программно реализован алгоритм решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина с учетом нескольких форм колебаний и при наличии нелинейного граничного условия.

2. Из анализа полученных численных и аналитических решений установлено, что нить с натяжным устройством обладает мягкой нелинейностью, что объясняет наличие больших амплитуд колебаний в текстильных машинах на малых частотах кинематического возбуждения колебаний. При достаточно больших амплитудах кинематического возбуждения колебаний нити в одной плоскости плоские резонансные формы колебаний становятся неустойчивыми. На резонансе движение нити происходит по одной из двух пространственных форм, отличающихся вращением нити в двух направлениях. При этом значительно уменьшается сила натяжения нити, что снижает вероятность ее обрыва.

3. Результаты расчетов, в виде зависимостей амплитуд колебаний и силы натяжения от частоты кинематического возбуждения, позволяют сформулировать требования к системе привода мотальных и других текстильных машин, увеличить скорость перемотки нити и производительность машин, а также уменьшить вероятность обрыва нити и ее вытяжку в процессе перемотки.

4. Сформулирована краевая задача о колебаниях стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в двух ортогональных плоскостях. При

отсутствии диссипации получено аналитическое решение задачи о свободных и вынужденных колебаниях стержня, что позволило исследовать точки ветвления и смены устойчивости решений. Решение с учетом диссипативных сил получено численно методом продолжения решений по параметру.

5. При исследовании свободных колебаний обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.

6. При исследовании вынужденны* колебаний степжня. напялу с существованием пространственной формы движения, выявлены ранее неизвестные резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости большей изшбной жесткости в области резонанса существуют плоские и пространственные режимы колебаний стержня. При достаточно большом уровне возбуждения максимальные амплитуды реализуются именно на плоской форме колебаний. Этот участок амплитудно-частотной характеристики изолирован и реализуется только при наличии внешних возмущений.

7. При возбуждении колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости плоские режимы колебаний стержня в области резонанса являются неустойчивыми. Максимальные амплитуды реализуются на пространственной форме колебаний. По сравнению со случаем возбуждения колебаний в плоскости большей изгибной жесткости стержня такое возбуждение колебаний является менее опасным. Обнаружены также решения, соответствующие движениям сечений по эллипсам, вытянутым вдоль оси, ортогональной возбуждению колебаний. Однако они существуют только при малых значениях параметров диссипации либо ее отсутствии. Для реализации таких колебаний необходимо иметь очень большие амплитуды возбуждения колебаний и постоянное присутствие внешних возмущений.

8. Рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере динамического расчета гидроцилиндра выдвижения башни, установленного на автомобильном подъемном кране КСТ-7. Поворот неравножесткого гидроцилиндра на 90° к плоскости действия нагрузки приводит к неустойчивости плоской формы колебаний. При этом амплитуды колебаний уменьшаются в два раза, а ширина области резонанса становится примерно в три раза уже.

9. Для проведения вибрационной диагностики вальцовочных соединений бойлерной установки предложена модель трубы, в которой дефект вальцовочного соединения моделируется нелинейностью опор и различными

значениями угловых жесткостей в ортогональных направлениях. Выявленными диагностическими признаками дефекта вальцовочного соединения по результатам анализа плоских колебаний являются резонансная частота, диссипация и параметр нелинейности. Анализ резонансных явлений с учетом пространственных форм колебаний позволяет идентифицировать параметр неравножесткости системы.

10. Рассмотрены изгибные колебания шнека бурильной машины МРК-800. При использовании дополнительных секций с целым числом витков спиральной поверхности шнек имеет близкие значения собственных частот изгибных колебаний в двух ортогональных плоскостях. Сформулирована краевая задача о вынужденных колебаниях вращающегося стержня с неподвижными в продольном направлении опорами под действием гармонической нагрузки. Малое различие изгибных жесткостей стержня в двух ортогональных направлениях может приводить к существованию устойчивых режимов колебаний с большими амплитудами. Наиболее вероятно существование таких режимов при бурении скважин глубиной более 16 м, что приводит к усталостному разрушению шнека. Использование дополнительных секций, имеющих четыре витка с четвертью, позволяет свести к минимуму неравножесткость шнека. В этом случае амплитуды колебаний уменьшаются, что позволяет увеличить глубину бурения машины МРК-800.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

В изданиях из перечня периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук:

1. Муницын А.И. Собственные колебания балки с нелинейными опорами / А.И. Муницын // Проблемы машиностроения и надежности машин. -1998. - № 2.- С. 36- 39.

2. Кораблев С.С. Вибрационный контроль вальцовочных соединений энергетического оборудования / С.С. Кораблев, А.И. Муницын, В.И.Шапин // Контроль. Диагностика. -1999. - № 7. - С. 22- 27.

3. Муницын А.И. Нелинейные колебания нити с натяжным устройством / А.И. Муницын // Известия РАН. Механика твердого тела.-2001.- №2.- С. 24-30.

4. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания упругой нити с натяжным устройством / А.И. Муницын // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2001. - № 2. - С. 21- 28.

5. Марушкнн Ю.Б. Специальный автомобильный кран КСТ-5АМ1/ Ю.Б. Марушкин, А.И. Муницыи, С.В. Прохоров, В.А. Артюков // Строительные и дорожные машины. - 2005 - №9 - С. 3- 5.

6. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания стержня с неподвижными шарнирными опорами / А.И. Муницын // Прикладная математика и механика. - 2006. - Т. 70, вып. 1. - С. 72- 80.

7. Муницын А.И. Нелинейные изгибные колебания вращающегося стержня / А.И. Муницын // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2008. - № 2. - С. 12-16.

8. Муницын А.И. Пространственные изгибные колебания стержня, вращающегося вокруг своей оси / А.И. Муницын // Машиностроение и инженерное образование. - 2008. - №3. - С. 64- 67.

9. Муницын А.И. Нелинейные колебания струны в процессе перемотки / А.И. Муницын // Проблемы машиностроения и автоматизации. -2008.-№4. -С. 44- 47.

10. Муницын А.И. Нелинейные колебания вала под действием гармонического возбуждения / А.И. Муницын // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2009. - №2. - С. 18- 21.

11. Муницын А.И. Нелинейные колебания стержня с близкими значениями осевых моментов инерции поперечного сечения // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73, вып. 3. - 2009. С. 427- 438.

12. Муницын А.И. Колебания стержня с близкими значениями изгибных жесткостей в ортогональных направлениях / А.И. Муницын // Справочник. Инженерный журнал. - 2009. - № 6. - С. 18- 20.

13. Муницын А.И. Пространственные колебания консольного стержня их нелинейно-упругого материала / А.И. Муницын // Вестник машиностроения. - 2009. - № 6. - С. 24-27.

14. Крайнева JI.H. Пространственные нелинейные колебания трубопровода при гармоническом возбуждении / JI.H. Крайнева, А.И. Муницын // Машиностроение и инженерное образование. - 2010. - №2. -С. 46-51.

В других изданиях:

15.Муницын А.И. Нелинейные колебания нити в веере раскладки / А.И. Муницын // Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. -1997.-№4.-С. 80-84.

16.Кораблев С.С. Параметрические колебания нити в веере раскладки / С.С. Кораблев, А.Й. Муницын // Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. -1998. - № 6. - С. 76- 79.

17.Муницын А.И. Пространственные колебания нити в баллоне вращения / А.И. Муницын // Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. - 1999. - № 4. - С. 97-102.

18.Муницын А.И. Динамическая устойчивость нити переменной длины / А.И. Муницын // Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. - 2002. - № 1. - С. 86- 89.

19.Муницын А.И. Нелинейные изгибные колебания тонкой цилиндрической оболочки/А.И.Муницын//ВестникИГЭУ.-2003 С. 51- 54,

20.Муницын А.И. Аналитическое решение задачи о колебаниях стержня с геометрической нелинейностью / А.И. Муницын // Вестник ИГЭУ. -2007.- № 3. - С. 19-22.

21.Муницын А.И. Колебания трубопровода под действием бегущих волн теплоносителя / А.И. Муницын // Вестник ИГЭУ. - 2008. - № 3. - С. 2830.

22.Крайнова Л.Н. Колебания элемента трубопровода малой кривизны / JI.H. Крайнева, А.И. Муницын // Вестник ИГЭУ. - 2009. - № 2, С. 42- 45.

23.Муницын А.И. Расчет амплитудно-частотных зависимостей для нелинейной балки с нелинейными граничными условиями / А.И. Муницын II Состояние и перспективы развития энерготехнологии. VII Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. — техн. конф./ Иван, гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1994.-С. 63.

24.Колобов А.Б. Автоматизированный комплекс для исследования виброударных процессов / А.Б. Колобов, А.И. Муницын, Ф.Б. Огурцов, Л.Д. Синакевич // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. VII Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1994. - С. 58.

25.Муницын А.И., Муницына Н.В. Программная реализация алгоритма динамического расчета нелинейных систем / А.И. Муницын, Н.В. Муницына // Создание и развитие информационной среды вуза: состояние и перспективы: Сб. статей науч.-техн. конф. / Иван. гос. архит.-строит, академия. - Иваново, 1995. - С.208- 210.

26.Муницын А.И. Колебания трубопровода с идеальной несжимаемой жидкостью / А.И. Муницын // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. VEI Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1997, С. 266.

27.Муницын А.И. Продольно-поперечные колебания нити в веере раскладки в процессе перемотки / А.И. Муницын, Н.В. Муницына // Состояние и

перспективы развития энерготехнологии. VIII Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1997.-С. 267.

28.Муницын А.И. Нелинейные колебания нити в мотальной машине / А.И. Муницын // Вибрационные машины и технологии: сб. докл. междунар. науч. - техн. конф.. / Курск, гос. техн. ун-т. - Курск, 1997. - С.156- 158.

29.Муницын А.И. Задачи динамики упругих систем с нелинейными граничными условиями / А.И. Муницын // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. IX Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1999. -С. 296.

30.Колобов А.Б. Диагностика состояний роторных машин / Ф.Б. Огурцов, А.И. Муницын // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. IX Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1999. - С. 297.

31.Муницын А.И. Нелинейные пространственные колебания нити с натяжным устройством / А.И. Муницын // Современные наукоемкие технологии текстильной промышленности. Прогресс-2000: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. текст, академия. - Иваново, 2000.-С. 261.

32.Муницын А.И. Динамика нелинейных механических систем с сопряженными формами колебаний / А.И. Муницын, Н.В. Муницына // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. X Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. -Иваново, 2001.-С. 181.

33.Арианов C.B. Пространственные продольно-поперечные нелинейные колебания трубопровода под действием бегущих волн теплоносителя / C.B. Арианов, А.И. Муницын, Н.В. Муницына // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. ХП Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2005.-Т.2.-С. 107.

34.Муницын А.И. Построение семейств периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Муницын // 1-я региональная научно-практическая конференция: тез. докл. науч. - техн. конф. / филиал МГОУ, Воскресенск, 2006. -С. 21- 22.

35.Муницын А.И. Нелинейные колебания механических систем с сопряженными формами колебаний / А.И. Муницын // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. XIII Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2007.-Т.2.-С. 97.

36. Муницын А.И. Нелинейные колебания вала под действием гармонической нагрузки / А.И. Муницын // 9-я конференция по динамическим системам. Теория и приложения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. - Лодзь, Польша, 2007. - Т.2. - С. 583- 590. (Munitsyn А. Non-linear oscillations of a shaft loaded by harmonic forces // 9th conference on dynamical systems. Theory and applications. Proceeding. - Vol.2. - Lodz, Poland, 2007. - P. 583- 590.)

37.Муницын А.И. Нелинейные колебания стержня с близкими значениями изгибных жесткостей в различных направлениях / А.И. Муницын // Вибрация 2008: сб. докл. междунар. науч. - техн. конф. . / Курск, гос. техн. ун-т. - Курск, 2008. - С.435- 440.

38. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания стержня / А.И. Муницын // Динамика твердых и деформированных тел: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. - Усти-на-Лабе, Чехия, 2008. - С. 87-92. (Munitsyn A. Three-dimensional non-linear oscillation of a rod // 9th international conference. Dynamics of rigid and deformable bodies. Proceeding. Usti nad Labem, Czesh republic, 2008. - P. 87- 92.)

39.Муницын А.И. Резонансные явления при колебаниях стержня из нелинейно-упругого материала / А.И. Муницын, Н.В. Гусарова // Состояние и перспективы развития энерготехнологии. XIV Бенардосовские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / Иван, гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2009. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново,Т.2. -С. 75.

40.Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания неравножесткого стержня / А.И. Муницын // Пятые Поляховские чтения: тез. докл. междунар. науч. - техн. конф. / С-П. гос. ун-т. - Санкт-Петербург. - 2009. - С. 180

41.Крайнева Л.Н. Пространственные нелинейные колебания трубопровода / Л.Н. Крайнова, А.И. Муницын // Вибрация 2010: сб. докл. междунар. науч. - техн. конф.. / Курск, гос. техн. ун-т. - Курск, 2010. - С.252- 257.

Подписано в печаты5/кЗ/< fir. Зак. ¿0 Тир. ЮО п.л. А,О Полиграфический центр МЭИ(ТУ) Красноказарменная ул.,д. 13

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, доктора технических наук, Муницын, Александр Иванович, Москва

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет

имени В.И.Ленина»

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и

аппаратуры

Диссертация

на соискание ученой степени доктора технических наук

На правах рукописи

МУНИЦЫН Александр Иванович

Иваново 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........'.........................5

1. ОБЗОР РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 13

1.1. Резонансные явления при колебаниях нелинейных систем

с близкими значениями собственных частот колебаний.......13

1.2. Динамика текстильной нити.......................18

1.3. Нелинейная вибродиагностика конструкций..............20

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НИТИ С НАТЯЖНЫМ УСТРОЙСТВОМ..............................22

2.1. Уравнения колебаний нерастяжимой нити...............23

2.2. Исследование колебаний нити в одномодовом приближении.....28

2.3. Решение с учетом нескольких мод....................45

2.4. Уравнение колебаний упругой нити...................57

2.5. Упругая нить. Метод решения и результаты численного моделирования...............................60

2.6. Динамика нити в баллоне вращения..................68

Выводы.................................. 74

3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ С БЛИЗКИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ.........76

3.1. Уравнения пространственных нелинейных колебаний стержня. . . 76

3.2. Свободные колебания.........................84

3.3. Вынужденные колебания без учета диссипации...........87

3.3.1. Колебания равножесткого стержня.................91

3.3.2. Нагружение в плоскости большей изгибной жесткости......95

3.3.3. Нагружение в плоскости меньшей изгибной жесткости.....102

3.4. Вынужденные колебания системы с диссипацией..........105

3.4.1. Нагружение в плоскости большей изгибной жесткости .... 106

3.4.2. Нагружение в плоскости меньшей изгибной жесткости ... 113 3.4.3. Колебания стержня под действием нагрузки под углом ;г/4

к главным осям инерции сечения.................118

3.5. Супергармонические колебания ................. 125

Выводы.................................130

4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГИДРОЦИЛИНДРА ВЫДВИЖЕНИЯ БАШНИ АВТОМОБИЛЬНОГО

КРАНА КСТ-7...............................132

4.1. Башенно-стреловое оборудование крана КСТ-7..........132

4.2 Расчет собственных частот колебаний гидроцилиндра.......137

4.3. Анализ вибраций башенно-стрелового оборудования.......' 140

Выводы..................................146

5. ВИБРАЦИОННЫЙ КОНТРОЛЬ ВАЛЬЦОВОЧНЫХ СОЕДИНЕНИЙ . .

......................................147

5.1. Колебания стержня с нелинейными опорами

Постановка задачи...........................147

5.2 Исследование колебаний стержня в одномодовом приближении . 151 5.3. Экспериментальный стенд для вибрационных испытаний.....156

5.4 Анализ вынужденных колебаний в плоскости...........158

5.5 Анализ вынужденных пространственных колебаний.........162

Выводы..................................169

6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ШНЕКА БУРИЛЬНОЙ

МАШИНЫ МРК-800........................... 170

6.1. Бурильная машина МРК-800 ..................... 170

6.2. Расчет собственных частот колебаний шнека бурильной машины . . 173

6.3. Уравнения колебаний стержня во вращающейся системе координат . 178

6.4. Свободные колебания...........................183

6.5. Вынужденные колебания.........................190

Выводы..................................199

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ...............201

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................205

ПРИЛОЖЕНИЯ.............................223

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. В современных условиях возрастает сложность проектируемых технических объектов, совершенствуются методы их расчета при сложных динамических режимах нагружения. Использование высокопроизводительных машин приводит к увеличению амплитуд колебаний и расширению спектра вибрационных нагрузок. Интенсификация колебаний может привести к полной расстройке и отказу динамической системы, с другой стороны, колебания с большими амплитудами являются рабочим режимом большого числа современных машин. Для изучения этих явлений необходимо применять методы нелинейной теории колебаний.

Для решения большого ряда технических проблем представляет интерес исследование нелинейных резонансных явлений в механических системах при воздействии внешних периодических нагрузок. Для реализации подобных явлений необходимо выполнение определенных соотношений между частотами собственных колебаний нелинейно-связанных между собой парциальных систем либо между собственными частотами и частотой внешнего возбуждения. В этих условиях создаются предпосылки для перераспределения энергии между различными обобщенными координатами системы, вследствие чего могут возбуждаться колебания по тем формам и в тех направлениях, по которым непосредственно не действуют внешние возмущающие нагрузки.

Внутренним свойством таких колебательных систем является скачкообразное изменение их поведения при непрерывном изменении

внешних условий. Так, струна или стержень под действием вибрационной нагрузки, действующей в одной плоскости, могут совершать как плоские, так и пространственные колебания в зависимости от значений параметров задачи. Для различных режимов движения характерны качественно различные поля напряжений и соответственно различные прочностные характеристики. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей нелинейных систем и нахождение всех существующих решений.

Целью работы является выявление и практическое использование новых резонансных явлений в системах с близкими значениями собственных частот колебаний. Рассматриваются задачи о нелинейных пространственных колебаниях нити с натяжным устройством и пространственные колебания стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в разных плоскостях.

Для достижения этой цели были поставлены следующие основные задачи:

- исследование устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова;

- разработка и программная реализация численного метода решения систем дифференциальных уравнений с произвольными, в том числе

нелинейными, граничными условиями на основе методов Бубнова-Галеркина и продолжения решения по параметру.

Методы исследования и достоверность полученных результатов. В качестве основных методов исследования в диссертационной работе применялись методы, принятые в теории нелинейных колебаний. В. одномодовом приближении решения получены на основе методов1 возмущений и усреднения, решение с учетом нескольких форм колебаний получено методом Бубнова-Галеркина. В отдельных случаях получено аналитическое решение задачи. Для численного построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик использовался метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости полученных решений выполнено на. основе второго метода Ляпунова- с использованием алгоритма.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, адекватного решаемым задачам, удовлетворительным совпадением, теоретических и экспериментальных результатов, опытом практического использования разработок в производственной и научной областях.

Основные результаты и их научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- Получено решение задачи о свободных колебаниях нерастяжимой нити. Установлено, что система имеет мягкую нелинейность, и наряду с двумя плоскими формами колебаний в двух ортогональных плоскостях, существуют две пространственные формы колебаний, соответствующие вращению точек нити по окружности.

- Получено решение задачи о колебаниях стержня с неподвижными'в продольном направлении опорами и близкими значениями осевых моментов инерции сечения. В плоской постановке такая задача является классической. Для свободных колебаний обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.

внешних возмущений. При определенных значениях параметров задачи изолированной является пространственная форма колебаний.

Рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере задачи вибрационного контроля вальцовочных соединений энергетического оборудования и динамических расчетов гидроцилиндра выдвижения башни автомобильного подъемного крана КСТ-7 и шнека бурильной машины МРК-800.

Научные результаты, выносимые на защиту:

- численное решение задачи о колебаниях нерастяжимой и упругой нити, полученное с учетом нескольких форм колебаний и позволяющее определять силу натяжения нити;

Научная и практическая значимость работы.

Результаты проведенных научных исследований внедрены на ряде предприятий г. Иваново (акты внедрения прилагаются).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии», Курск, 1997; Международной научно-технической конференции «Современные наукоемкие технологии текстильной промышленности», Прогресс-2000, Иваново, 2000; Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития энерготехнологий» (Ш-ХП Бенардосовские Чтения), Иваново, 1989-2009; межвузовской научно-технической конференции «Информационная среда ВУЗа», Иваново, 2000; 1-й региональной научно-практической конференции «Наука. Экономика. Общество», Воскресенск, филиал МГОУ, 2006; 9th conference on dynamical systems. Theory and applications. Lodz, 2007, Poland; научно-технической конференции «Вибрация-2008. Вибрационные машины и технологии», Курск, 2008; 9th international conference «Dynamics of rigid and deformable bodies», Usti nad Labem, Czesh republic, 2008; «Проблемы машиноведения», конференции, посвященной 70-летию Института машиноведения, Москва, 2008, Международной научной конференции по механике. Пятые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2009, «Вибрация 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины», Курск, 2010., на семинаре лаборатории механики управляемых систем Института проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, 2010.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано: статей в центральных научных рецензируемых изданиях, входящих в «Перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук» - 14 [56,66,75-85,178]; статей в журналах, сборниках трудов Международных, Всероссийских и региональных научно-технических конференций - 27 [9,51,52,86-105,166,167,175-177].

1. ОБЗОР РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМАХ

За весьма продолжительный период развития теория нелинейных колебаний нашла приложение в различных направлениях науки и техники. К настоящему времени сформулированы широкие классы ее задач и создано множество методов их решения. Колебания нелинейных систем рассматривались в известных монографиях A.A. Андронова, A.A. Витта и С.Э. Хайкина [8], В.И Бабицкого и В.Л. Крупенина [10], В.В. Болотина [2023], В.О. Кононенко [54], Л.И. Маневича [65], H.H. Моисеева [74], Я.Г. Пановко [112-114], О. Блэкьера [16], Т. Хаяси [142], Дж. Хейла [143], Дж. Стокера [134], Г. Каудерера [48] и других.

Одним из наиболее мощных средств прикладной математики для получения прибл�