Динамика нелинейных диссипативных осцилляторных систем при периодическом и квазипериодическом воздействии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов — 2006

Работа выполнена в Саратовском филиале института радиотехники и электроники Российской Академии Наук и в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Анищенко Вадим Семенович

доктор физико-математических наук

Волков Евгений Израйлевич

доктор физико-математических наук, профессор

Дмитриев Александр Сергеевич

Ведущая организация Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится 15 июня 2006 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

I Г

Автореферат разослан ' '-' —_2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

В.М. Аникин

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

В 1998 году в перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований Президиума Российской Академии наук впервые вошла нелинейная динамика. Данное событие можно истолковать как официальное ее признание еще одним фундаментальным направлением в науке. Становление нелинейной динамики происходило в процессе взаимодействия и взаимодополнения экспериментальных и теоретических исследований объектов различной природы, создания универсальных моделей, развития соответствующих разделов математики и синтетических дисциплин, таких, как теория колебаний и волн, теория бифуркаций, теория катастроф, теория фрактальных множеств.

Следует отметить в этом становлении существенную роль радиофизических объектов. Исследования различных автономных и неавтономных радиофизических систем привнесли огромный вклад в нелинейную динамику, теорию колебаний и волн, дали пищу для размышлений математикам. Кольцевые генераторы, с запаздывающей обратной связью (Кислов В .Я.), система электронный пучок — обратная электромагнитная волна (Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Кузнецов С.П.,), генератор па туннельном диоде (Кияшко C.B., Ликовский A.C., Рабинович М.И.), генератор с инерционной нелинейностью (Анищенко B.C., Астахов В.В.), системы фазовой автоподстройки (Афраймович B.C., Некоркин В.И., Шалфеев В.Д.), системы связи с использованием хаотических сигналов (Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О.), система Чуа, периодически возбуждаемая LR-диод цепь (Linsay P.S.) позволили исследовать многие фундаментальные проблемы нелинейной динамики.

Масса тонких вопросов динамики нелинейных систем изучена физиками и математиками на примерах различных объектов радиофизики и их моделях (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Белых В.Н., Дмитриев A.C., Кияшко C.B., Кузнецов С.П., Ланда П.С., Майстренко Ю.Л., Минакова И.И., Неймарк Ю.И., Пиковский A.C., Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Шильников Л.П. и многие другие отечественные и зарубежные коллеги).

В качестве предмета исследования в диссертации выбран класс осцилляторных систем, находящиеся под внешним воздействием. В круг неавтономных систем входит огромное число реальных объектов: от микроскопических до макроскопических. Например, все формы жизни на

Земле подвержены воздействию: суточному — смена дня и ночи, годичному -смена времен года (так называемые циркадные и циркануальные ритмы), циклическим изменениям гравитации из-за воздействия Луны, эллиптичности орбиты Земли. Вибрации, вызванные электрическими и тепловыми двигателями, сигналы в линиях связи, шинах данных компьютеров и компьютерных сетей, колебания диполей в переменных электрических и магнитных полях, изменение состояния мезосферы, вызванное дрейфом ее параметров из-за влияния других слоев атмосферы и т.п. — все это примеры неавтономных систем. Поведение этих систем определяется не только внутренними свойствами, но и зависит от формы воздействия, его интенсивности, способа внесения, соотношения собственных и внешних временных масштабов, и может быть, вообще говоря, очень сложным. В работе исследуются' системы при силовом воздействии. В радиофизике оно реализуется в возбуждаемых внешними сигналами электрических, электронных, полупроводниковых цепях, параметрических усилителях, генераторах и умножителях частоты. Значительная роль в исследовании отводится радиофизическому варианту нелинейного осциллятора - колебательному контуру. Во многих случаях математической моделью подобных объектов выступает уравнение осциллятора — эталонная динамическая система, заслужившая статус «ключа к анализу»1 многих колебательных систем. В последнее время модели диссипативных осцилляторных систем активно используются при моделировании механизмов функционировании живых организмов2.

Исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов. В первую очередь это связано с явлением резонанса, которое, с одной стороны, успешно используется, например, для фильтрации сигналов, а с другой - может привести к катастрофическим последствиям, например, разрушению конструкций. С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос. Простота и доступность с одной стороны, широкий круг наблюдаемых явлений, с другой, объясняют

1 Берже П., Помо И., В и даль К. Порядок в хаосе. - М.: Мир, 368 е., ил.

1 Yakushevi'ch L.V. Nonlinear Physics of DNA Wiley-VCH Verlag GmbH& Co. KG a A,

Weinheim, 2004.

популярность этих систем у исследователей нелинейных колебательных процессов.

Теоретическим и численным исследованиям динамики нелинейных неавтономных осцилляторов посвящено огромное число работ. Известные уравнения Дуффинга, Матье, Тода, Морзе стали в этих исследованиях классическими. На этих примерах изучены характерные типы фазовых портретов, исследована структура пространства управляющих параметров, роль симметрии потенциальной функции, проверены известные закономерности и свойства скейлинга вблизи границы перехода порядок — хаос, проведен анализ бассейнов притяжения бистабильных и мультистабильных состояний, проведена оценка размерностных характеристик аттракторов.

В тоже время анализ литературы позволяет выделить целое направление нерешенных проблем:

1). Недостаточно изучена динамика нелинейных систем при двух и многочастотном воздействии. В первую очередь речь идет об изучении перехода от регулярного поведения к хаосу через разрушение квазипериодических режимов (одной из центральных тем в нелинейной динамике). Как выяснилось в последнее время, на пути от регулярной динамики к хаосу в системах с квазипериодическим внешним воздействием очень часто встречается своего рода промежуточный тип поведения, которому в фазовом пространстве соответствует странный нехаотический аттрактор. Появление подобных режимов колебаний делает всю картину перехода к хаосу весьма нетривиальной. Странные нехаотические аттракторы впервые были описаны в работе Гребоджи3 с соавторами в 1984 году. С тех пор они исследовались численно и экспериментально. Для странных нехаотических аттракторов характерно совмещение определенных свойств регулярных режимов и хаоса. Так же как регулярные аттракторы, они устойчивы по Ляпунову, однако их геометрическая структура — фрактало подобная, как у хаотических аттракторов. Спектрально-корреляционные свойства, характерные для режима странного нехаотического аттрактора, также оказываются промежуточными между порядком и хаосом: генерируемый спектр является сингулярно-непрерывным. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численным

3 Grebodgi С., Ott Е., Pelican S., Yorke J. Strange attractor that are not chaotic. // Physica. -1984. — Vol.D13. — P.261.

исследованиям систем со странным нехаотическим аттрактором и сравнительно мало экспериментальных. Более того, в имеющихся экспериментальных работах не' приводятся убедительные доказательства существования в них странных нехаотических аттракторов.

2). Переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн, является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам. Однако связанные системы требуют дополнительного изучения для случая произвольного (рационального и иррационального) соотношения частот воздействия.

3). В общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных - отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия. В качестве примера можно рассмотреть модель неавтономной динамической системы в виде системы дифференциальных уравнений:

(Их

—'- = /О,, х2,.. ) + 2_, Л] 51П («,< + у 1) (1)

где А/ — амплитуда, оз) - частота, а У) — начальная фаза 7-й компоненты внешнего воздействия. Представляя фазу как <м( / + = ¡р) и полагая, что й<р} / Л = <и., систему (1) можно переписать в виде

~ = /О, , ) + X Л, бш <р) ! (2)

Л '

Здесь х, — собственно динамические переменные (где / = 1,2,3,4,...), а <р) — фазовые переменные (где у = 1,2,3,4,...). При иррациональном соотношении частот воздействия со1 динамика неавтономных систем инвариантна по отношению к начальной фазе у/1 или разности начальных фаз гармонических

составляющих воздействия. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности динамики системы по отношению к начальным фазам воздействия или их разности. Каковы последствия такого изменения, какова динамика системы, ее аттракторы, сценарии перехода к хаосу, структура пространства управляющих

параметров, влияние и роль свойств симметрии и типов связи, характер и эволюция границ бассейнов притяжения?

4). Многие процессы, наблюдаемые в реальных системах, например, в биологии, экономике, медицине, не являются стационарными. В динамических системах нестационарность может быть следствием либо переходного процесса, либо изменения управляющих параметров. В свою очередь, управляющие параметры могут изменяться таким образом, что сама система претерпевает ту или иную бифуркацию или последовательность бифуркаций. Ситуации с изменяющимися параметрами типичны в природе, и широко представлены в технике. Наименее изучены бифуркационные переходы в системах с быстро меняющимся параметром при наличии шумов. Актуальность их изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при динамических бифуркациях в присутствии шумов. Речь в первую очередь идет о явлении спонтанного нарушения симметрии, которое отмечается в разных областях естествознания, например: в теории фазовых переходов, в теории взаимодействия элементарных частиц, и др. Спонтанное нарушение симметрии тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах. Например, живые организмы используют лишь один из двух зеркальных изомеров молекул аминокислот и Сахаров, поляризующих свет в одном направлении, и не используют другой. К спонтанному нарушению симметрии фактически сводятся такие ключевые для биологии проблемы, как морфогенез и дифференциация. Известные результаты в этом направлении получены на основе анализа дискретных моделей, в то же время экспериментальные работы встречаются редко.

5). Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на строгом аксиоматическом фундаменте, использует концепцию гиперболичности. Это подразумевает, что все существенные траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы диссипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с сильными хаотическими свойствами. В учебниках и монографиях по нелинейной динамике примеры гиперболических аттракторов представлены искусственными математическими

конструкциями, такими, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла -Вильямса. Представляется интересным и важным исследование возможности построения физической системы с гиперболическим аттрактором.

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний. В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, механизмов формирования и принципов классификации множества мультистабилышх состояний при переходе к рациональному соотношению частот воздействия, возможности адаптации универсальных методов реконструкции математических моделей к классу неавтономных систем, нестационарных процессов и быстрых бифуркационных переходов, возможности использования неавтономных режимов для получения характеристик нелинейных элементов в режиме больших сигналов, проверки адекватности их представления иа основе реконструкции математических моделей.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании динамики нелинейных неавтономных осцилляторных систем и закономерностей ее изменения при последовательном усложнении формы воздействия и увеличении числа степеней свободы.

Задачи, решпемые в работе:

> экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора при изменении профиля потенциальной ямы, построение адекватных математических моделей;

> исследование динамических режимов, структуры пространства управляющих параметров, а также сценариев перехода к хаосу в осцилляторах с различным типом . нелинейности при внешнем квазипериодическом воздействии, поиск и апробация методов идентификации странных нехаотических аттракторов;

> исследование динамических режимов, структуры пространства управляющих параметров, а также сценариев перехода к хаосу в системе

• симметрично связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношении частот воздействия;

> исследование влияния нарушения инвариантности к фазе или разности фаз воздействия, механизмов формирования множества мультистабильных состояний в системе связанных нелинейных неавтономных осцилляторов;

> исследование влияния неидентичности взаимодействующих нелинейных осцилляторов с синфазным возбуждением на динамические режимы, структуру пространства управляющих параметров, режим хаотической синхронизации, бассейны притяжения сосуществующих состояний;

> модификация метода глобального моделирования для неавтономных систем, применение этого метода для реконструкции характеристик нелинейных элементов и проверки адекватности модельных представлений;

исследование нестационарных явлений в нелинейных осцилляторах при быстром изменении управляющего параметра в присутствии шумов;

> исследование возможности построения неавтономной системы с гиперболическим аттрактором типа Смейла— Вильямса.

Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику и созданы экспериментальные установки для их исследования. В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контуры с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью. Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров. Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов). Следующий шаг — исследование в более широкой области управляющих параметров. Известно, что «так же, как теория опирается в своей основе на экспериментальные данные, так и эксперимент тогда несет в себе полезную информацию, если он проводится в соответствии с определенной теоретической концепцией»4. Но при экспериментальном исследовании сильно нелинейных явлений этот тезис о необходимости априорной эталонной модели приобретает особое значение. Это связано с большим числом наблюдаемых устойчивых и неустойчивых состояний, бифуркационных переходов и, как правило, непродуктивностью привлечения для изучения и осмысления привычных линейных представлений. Поэтому эксперимент и моделирование зачастую проводятся и описываются в диссертации параллельно, дополняя друг друга.

4 Краснощекое П.С., Петров А Л. Принципы построения моделей. - М.: Изд.МГУ. 1983. -264с.

Научная новнзна и практическая значимость работы.

Впервые экспериментально исследована динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии с рациональным и иррациональным соотношением частот. Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов. Экспериментально исследована динамика связанных нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот внешнего воздействия, построены карты динамических режимов.

На примерах нелинейного осциллятора и системы связанных осцилляторов выявлен механизм и предложен принцип классификации множества мультистабильных состояний, имеющих место в результате нарушения инвариантности по отношению к начальной фазе или разности начальных фаз воздействия.

Впервые экспериментально исследована зависимость времени установления периодических колебаний и зависимость ее характера от значения мультипликаторов циклов.

Экспериментально и численно исследовано явление мультистабильности в системе двух диссипативно связанных нелинейных осцилляторов в области параметров, соответствующей существованию в изолированных подсистемах бистабильности.

Впервые экспериментально исследован эффект нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях удвоения периода и потери симметрии.

Впервые реализована экспериментальная система в виде двух неавтономных генераторов Вап-дер-Поля, которая, как показывает совокупность имеющихся данных, обладает странным хаотическим аттрактором, которому присущи признаки гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса.

Впервые проведено обширное, комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы, проведен их сравнительный анализ, предложены простые дискретные многопараметрические модели, отражающие сложную динамику и структуру пространства управляющих параметров экспериментальных объектов.

Значимость результатов для практики дополняется возможностью использования разработанных методик для проверки адекватности

эквивалентных схем нелинейных элементов и расчета их эквивалентных характеристик. Это может быть полезно в различных приложениях, в частности, для проверки адекватности представлений о природе нелинейных свойств различных элементов, определения характеристик и параметров нелинейных элементов, функционирующих в режимах больших амплитуд и хаоса, которые невозможно измерить традиционными линейными методами.

Появление примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором имеет принципиальное значение для дальнейшего развития нелинейной динамики и ее приложений. Очевидно, используя данный пример, как отправную точку, и опираясь на присущее гиперболическим аттракторам свойство грубости, можно строить и другие примеры систем с гиперболическими хаотическими аттракторами.

Достоверность полученных результатов основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных характеристик, проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, отображений последования, размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использование стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а также отсутствием противоречий с известными в литературе' достоверными результатами.

Личный вклад соискателя. Большинство представленных в диссертации результатов получено автором, под его руководством или при его непосредственном участии. Соискатель осуществлял постановку задач, разработку и обоснование методов их решения, интерпретацию результатов численных и радиофизических экспериментов. Им разработаны и изготовлены экспериментальные макеты, проведены экспериментальные и ряд численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов и их обобщение. Обсуждение результатов, а также некоторые экспериментальные исследования проводились совместно с научным консультантом д.ф.-м.н., профессором Б.П. Безручко. Обработка данных для реконструкции математических моделей проводилась совместно с к.ф.-м.н., с.н.с СФ ИРЭ РАН Смирновым Д.А. Обработка данных исследований быстрых

бифуркационых переходов осуществлялась совместно с к.ф.-м.н. Ивановым Р.Н.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на: международном симпозиуме Nonlinear Theory and its Applications (1993, 1995, 1998, 2000), II Международной школе-семинар «Dynamic and Stochastic Wave Phenomena». (H. Новгород, 1994), международной рабочей группе «Nonlinear Dynamics of Electronics Systems» (1996, 1997, 1999, 2001), международной конференции ICND'96 (Саратов, 1996), IEEE-Russia Conference «High Power Microwave Electronics: Measurements, Identification, Applications» (Новосибирск, 1999), международной конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (2001), Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (Москва 1996,2000), Всероссийских конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1993, 1999, 2002), Всероссийских школах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993 ), Всероссийских школах «ХАОС» (Саратов, 1998, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы» (Н. Новгород, 2004), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СФ ИРЭ РАН.

Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №№ 96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 03-031759, 06-02-16619), Федеральной целевой программой «Интеграция» (грант № 696.3), грантом Президиума РАН для молодых ученых № 23, государственным контрактом №40.020.1.1.1168 Министерства науки, промышленности и технологий РФ, Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза - CRDF (грант № REC-006).

Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ. По теме диссертации опубликовано 95 работ (37 статей в реферируемых журналах, 20 статей в сборниках, 36 тезисов докладов, I патент и 1 учебно-методическое пособие). Результаты исследования динамики нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии вошли в перечень достижений Российской Академии Наук.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 392 страницы, в том числе 151 рисунок, 8 таблиц, библиография из 393 наименований.

В первой главе исследуются базовые экспериментальные объекты, описываются картины сложных колебаний в возбуждаемом гармонической силой колебательном контуре, нелинейность которого обусловлена свойствами кремниевого варакторного диода с р-п переходом и специально разработанной цепью, осуществляющей формирование кусочно-линейных характеристик. В последнем случае имеется возможность изменять форму потенциальной ямы осциллятора. Цель - изучение в широкой области параметров свойств важных радиофизических объектов и их моделей, которые затем используются как базовые при исследовании более сложных процессов.

Изучено влияние на сложную динамику цепи характеристик диодов. Продемонстрированы закономерности изменения структуры разбиения пространства управляющих параметров на области существования различных режимов колебаний, выделены универсальные конфигурации вдоль границы перехода порядок — хаос, проведена оценка универсальных констант.

( ,+ С',

с, с,

Е

1', С]+ сг

Е

Ц 0 £',

В)

'г

о г?

Рис.1. Зависимость емкости от напряжения (слева) и форма потенциальной ямы (справа), соответствующие различным типам осцилляторов: а) симметричному с «жестким» типом поведения, б) асимметричному с «жестким» типом поведения, в) асимметричному с «жестким» типом поведения, г) асимметричному с «мягким» типом поведения.

Исследована динамика кусочно-линейных осцилляторов с различной формой потенциальной ямы (рис.1), построенных на основе схемы с переключаемыми конденсаторами, емкость которых изменяется скачком при достижении пороговых напряжений {/,и 1/2. Рис.2 иллюстрирует изменение структуры пространства управляющих параметров при последовательном изменении профиля потенциальной ямы от «жесткого» типа поведения к «мягкому». Светлые области соответствуют периодическим режимам колебаний, темные - хаотическим, сплошные линии — бифуркациям удвоения периода, пунктирные — седло-узловым, /0 обозначена линия, на которой амплитуда колебаний в контуре достигает пороговых напряжений I/, и IIг, соответственно. Экспериментально реализован бифуркационный переход, близкий к бифуркации потери симметрии, исследовано влияние асимметрии на структуру пространства управляющих параметров.

Рис. 2. Структуры пространства управляющих параметров для осцилляторов, профили потенциальных ям которых приведены на рис.1, соответственно.

Показано, что изменение в достаточно широких пределах формы потенциальной ямы неавтономного осциллятора качественно не меняет его

динамику и сценарии перехода к хаосу. Изменения в основном затрагивают вид резонансных кривых и структуру пространства управляющих параметров. Области хаоса располагаются в промежутках между резонансными пиками, в диапазонах частот, соответствующих резонансам на гармониках и субгармониках.

Во второй главе представлены различные методы построения по временным рядам математических моделей неавтономных систем в виде дифференциальных и дискретных уравнений.

Наиболее «физичный» путь получения математических моделей основан на конкретизации общих законов природы применительно к исследуемому объекту. Однако такая возможность на практике существует далеко не всегда. Более типичны ситуации, когда протекающие процессы обусловлены нечетко очерченной совокупностью явлений различной природы, для которых общие законы (аналогичные законам Ньютона в механике) для исследуемой области не установлены, а основным источником информации об объекте являются данные эксперимента. Целью данной главы является поиск, апробация методов построения математических моделей неавтономных систем по временным рядам, а также исследование их динамики и сопоставление со свойствами исходных экспериментальных объектов.

В результате предложена модификация стандартной структуры уравнений применительно к неавтономным системам под силовым гармоническим воздействием в виде

x¡ — Х2 > х2 = х},

(3)

xD=F(xt,x2,...,xD) + acos 1 j + b sin t j,

где последние два слагаемых включены для того, чтобы описать внешнее воздействие, Г- период воздействия, функция F— полином вида

к о

xl,x1,...,xD)= ]Г i-',,Л,П

íb* к-

Специфической чертой модели (3), отличающей ее от стандартной, является наличие в правой части членов, представленных явными функциями времени. Отметим, что для построения модельных уравнений в виде (3) должны иметь место определенные предпосылки. Такими предпосылками могут быть, например, априорная информация о наличии периодического воздействия или дискретный пик в спектре мощности. Параметры а, Ъ и коэффициенты полинома Я легко вычисляются (решением линейной системы уравнений), если известно значение периода воздействия Т. Вычислить же Т не столь просто, поскольку этот параметр нелинейно входит в правую часть уравнений (3). Поэтому в рамках данного исследования Т либо известно заранее, либо вычисляется по экспериментальным данным. Особые требования предъявляются к погрешности определения периода воздействия. Погрешность задания периода АТ = Т-Т0, где Т0 - неизвестное истинное значение, при очень большой длине временного ряда неизбежно ведет к «набегу фазы» и плохому описанию воздействия соответствующими слагаемыми в (3).

0 г п

д)

Рис. 3. (а) экспериментальная фазовая траектория (проекция на плоскость сала тока — напряжение); (б) соответствующая проекция фазовой траектории модели; (в) временная реализация силы тока и прогноз (пунктиром) в одинаковых единицах измерения; (г) временная реализация напряжения на диоде и прогноз (пунктиром); (д) ошибка прогноза. Сплошная линия — усреднение по области большой диссипации, пунктиром - по всему аттрактору; (е) вычисленные по временному ряду характеристики диода.

Работоспособность предложенной методики реконструкции дифференциальных моделей неавтономных систем проверялась на примере моделирования реальных объектов кусочно-линейного колебательного контура и колебательного контура с полупроводниковым диодом, гармонически возбуждаемых гармоническим сигналом. Рис.3 иллюстрирует результаты реконструкции модели колебательного контура с диодом по экспериментальным временным рядам тока и напряжения на диоде.

Из полученных результатов следует возможное практическое приложение процедуры моделирования по временным рядам для проверки адекватности эквивалентной схемы нелинейного элемента и расчета его эквивалентных характеристик в рамках этой схемы. Для этого:

• нужно задаться определенным эквивалентным представлением элемента,

• выбрать соответствующую структуру модельных уравнений,

• рассчитать по временной реализации неизвестные коэффициенты модели,

• сопоставить восстановленные уравнения и уравнения, выведенные из законов Кирхгофа (в случае построения удовлетворительной модели) и получить приближенно нелинейные характеристики элемента в рамках выбранного эквивалентного представления.

На рис. 4 представлены карты динамических режимов модели (3) и контура с диодом на этой плоскости. Частота в обоих случаях нормируется па соответствующую линейную резонансную частоту. Различными тонами серого цвета отмечены области периодических колебаний, черным — хаотических. Модель описывает некоторые существенные глобальные черты экспериментальной карты режимов. Так, на обеих картах имеется область существования и эволюции цикла периода 2Г (Т - период воздействия). Кроме того, обе карты содержат лист, на котором существует цикл периода 3 Т. Полученная модель качественно верно передает устройство экспериментальной карты режимов даже в области, достаточно удаленной от «точки, где была построена модель» (отмечена белыми кружками на обеих картах).

Представленные результаты еще раз подтверждают, что использование дополнительной информации об объекте (учет воздействия) для выбора структуры уравнений позволяет получить и для достаточно сложной системы весьма эффективную модель. Кроме того, информацию о различных

эквивалентных представлениях также можно учитывать уже при выборе структуры модели, а не только при анализе и интерпретации результатов.

IT 2Т ЗТ 4Т 6Т хаос

Рис. 4. Карты динамических режимов модели (3) (слева) и гармонически возбуждаемого контура с диодом (справа).

В третьей главе представлены результаты экспериментальных и численных исследований динамики нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии.

Исследование динамики нелинейных систем при квазипериодическом воздействии представляет интерес в связи с изучением особенностей перехода к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. При переходе от регулярной динамики к хаосу в таких системах очень часто встречается промежуточный тип поведения, который отвечает странному нехаотическому аттрактору. Одна из проблем, с которой сталкиваются экспериментаторы при исследовании странных нехаотических аттракторов -это каким образом их идентифицировать. К настоящему времени практически отсутствуют экспериментальные работы, в которых приводились убедительные доводы существования странного нехаотического аттрактора. В работе A.C. Пиковского и У. Фойдель5 был предложен метод идентификации странного нехаотического аттрактора, связанный с

5 Pikovsky A. and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors. //CHAOS. - 1995. -Vol. 5.-Г. 253.

бифуркациями при изменении фазы воздействия резонансных циклов, чьи рациональные числа вращения принадлежат последовательности, стремящейся в пределе к иррациональному. Этот новый метод был реализован с помощью специально изготовленной экспериментальной установки, в которой предусмотрено два типа воздействия на базовые колебательные системы: с иррациональным и рациональным соотношением частот и регулируемым сдвигом фаз. Рациональные числа вращения выбирались из последовательности, которая в пределе сходилась к заданному иррациональному. На рис 5 приведена карта динамических режимов, полученная в эксперименте для соотношения частот, равного «золотому среднему» (>/5-])/2, к которому сходится последовательность соотношений чисел Фибоначчи. Для регистрации перехода к странному нехаотическому аттрактору использовались рациональные числа вращения 13/21 и 34/55.

А2(У)

0.10 -

0.05

0.00

А, (V)

Рис. 5. Структура разбиения плоскости Рис. 6. Примеры итерационных параметров внешнего воздействия на диаграмм для аттракторов области различных колебательных экспериментальной системы,

режимов.

По горизонтали и вертикали отложены амплитуды двух гармонических составляющих внешнего квазипериодического воздействия. Различными тонами серого цвета отмечены области существования гладких торов 74, Т1, возникших на базе циклов с периодом Г, 27, странного нехаотического

аттрактора и хаоса, крестиком отмечена точка окончания линии бифуркации удвоения тора TDT (torus doubling terminal).

На рис. 6 представлены полученные в эксперименте примеры итерационных диаграмм для аттракторов, отвечающих: (а) — тору, (б) — удвоенному тору, (в) - СНА, (г) - хаосу. По осям координат отложены значения динамической переменной (тока в контуре) на двух последовательных временных шагах, где величина шага отвечает одному периоду «основного» воздействия Т.

Рис. 7 иллюстрирует структуру плоскости управляющих параметров математической модели в виде отображения: U^^^-xl+e&mlxy, Ы+| =.>■„+«(mod 1) система обозначений аналогична рис.5. Сопоставление результатов экспериментальных и численных исследований указывает на их хорошее качественное соответствие.

Рис. 7. Структура разбиения плоскости управляющих параметров на области существования различных колебательных режимов модели (4).

Таким образом впервые проведены экспериментальные исследования, в которых представлены убедительные доводы существования странного нехаотического аттрактора. Для различных иррациональных значений соотношений частот воздействия построены карты динамических режимов,

выявлены закономерности в структуре бифуркационных линий, даны иллюстрации различных режимов колебаний: торов, удвоенных торов, странных нехаотических и хаотических аттракторов.

Показано, что в физическом эксперименте для систем с квазипериодическим воздействием возможна качественная идентификация странных нехаотических аттракторов на основе наблюдения стробоскопических сечений проекций фазовых портретов на плоскости «динамическая переменная - фаза воздействия». Движению на торе соответствует гладкая замкнутая кривая, движению на странном нехаотическом аттракторе - замкнутая кривая с гладкими участками, где движение устойчиво, и изломами, где движение локально неустойчиво.

Помимо рождения странного нехаотического аттрактора, в экспериментальной системе имеет место иной сценарий перехода к хаосу. Существуют области параметров, в которых колебания, наблюдаемые на границе порядок-хаос, напоминает тип П1 перемежаемости, в котором регулярным аттрактором является тор. Появление такого режима колебаний в первую очередь ассоциируется с существованием в исходной системе (в данном случае - нелинейном осцилляторе с гармоническим воздействием) сценария перехода к хаосу через тип III перемежаемости. В данном случае имеет место следующая ситуация. В пространстве параметров исследуемой системы имеет место сборка, ограниченная линиями складки. В этой области сосуществуют два устойчивых и один неустойчивый тор. С движением по плоскости параметров вверх линии складки сливаются в точке сборки и образуют границу между хаосом и удвоенным тором. На границе области существования последнего в стробоскопическом сечении фазового портрета появляются точки, не принадлежащие удвоенному тору, при этом в зависимости тока от времени появляются короткие участки хаотических колебаний. С движением от границы вглубь области хаоса, длина хаотической фазы увеличивается, ламинарной уменьшается, а в итоге в результате перемешивания формируется хаотический аттрактор. Можно сделать вывод, что типичными в нелинейном осцилляторе при квазипериодическом воздействии являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора и через режим перемежаемости тор — хаос. Задание рационального соотношения частот приводит к нарушению инвариантности к фазе или разности фаз воздействия и как результат: формированию мультистабилыюсти.

В четвертой главе приводятся результаты исследования связанных нелинейных неавтономных осцилляторов и их математических моделей в виде связанных унимодальных и мультимодальных отображений при иррациональном и рациональном соотношении частот. Рассмотрен обобщенный случай воздействия на каждую из осцилляторных подсистем гармоническими сигналами с иррациональным соотношением частот. Рис.8 иллюстрирует области существования различных режимов колебаний, соответствующих гладким торам, странному нехаотическому аттрактору, хаосу и гиперхаосу и их изменение в пространстве параметров внешнего воздействия для случая диссипативной связи. Увеличение связи от нулевого значения приводит к искажению границ и формированию областей существования странного нехаотического аттрактора. Показано, что типичными в нелинейных осцилляторах с квазипериодическим соотношением частот воздействия и произвольным типом связи являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора, через разрушение трехмерного тора и через режим перемежаемости тор — хаос.

Рис.8. Изменение структуры пространства параметров внешнего воздействия при различных уровнях диссипативной связи: а) Пш = , б) = (ПкОм, в) =5.23кОм.

Задание рационального соотношения частот приводит к нарушению инвариантности динамики системы по отношению к фазе или разности фаз воздействия и, как следствие, формированию мультистабильности. В результате проведенных исследований сформулирован общий принцип классификации сосуществующих состояний: в пределе нулевой связи каждый цикл периода N может быть реализован N способами,

отличающимися временным сдвигом между колебаниями парциальных систем, кратным наименьшему из периодов воздействия. Проведены детальные экспериментальные и численные исследования динамики систем при синфазном воздействии на примере системы связанных квадратичных отображений:

хм^х-^+ф;-*;)..

Здесь х„, уа — динамические переменные, Л - параметр неравновесности, к - параметр связи, 8 — параметр неидентичности (асимметрии), изучена структура бассейнов притяжения, характер их границ, их эволюция с изменением управляющих параметров. Проведен анализ влияния асимметрии на структуру пространства параметров, режим хаотической синхронизации, структуру и границы бассейнов притяжения. Результаты исследований позволяют предположить, что в пространстве управляющих параметров системы связанных осцилляторов существует траектория, вдоль которой можно наблюдать длинную последовательность переходов тор -резонансный цикл —тор - ....

Пятая глава посвящена экспериментальным и численным исследованиям переходных процессов и быстрых бифуркационных переходов.

На примере колебательного контура с полупроводниковым диодом и его модели в виде квадратичного отображения исследуются процессы установления предельных циклов нелинейного неавтономного осциллятора. В зависимости от знака мультипликатора цикла выделено три типа зависимости времени установления от начальных условий.

Численно на примере отображения вида

■*„.и =™гл(1-д-„) (б)

и экспериментально исследуется эффект нарушения вероятностной симметрии эквивалентных постбифуркационных (конечных) состояний при быстром изменении параметра. На примере семейства одномерных квадратичных отображений, отличающихся характером зависимости от параметра стационарного решения уравнения цикла периода], численно исследована условная граница между «стохастическим» и «динамическим» сценариями бифуркационных переходов (зависимость уровня шума, при котором вероятность установления одного из конечных состояний равна

0.75), от скорости изменения управляющего параметра, сделана аналитическая оценка этой зависимости.

Рис. 9 Зависимость вероятности Рис. 10. Зависимость от

реализации первого конечного состояния логарифма критического логарифма интенсивности шума 1п(сг2). уровня шума 1п(ег.2) от

логарифма скорости изменения управляющего параметра 1п(8).

С помощью сконструированной оригинальной установки осуществлены экспериментальные наблюдения эффекта нарушения вероятностной симметрии конечных состояний для описанных в первой главе радиофизических колебательных систем. Проведено сравнение результатов экспериментальных и численных исследований. Рис. 9. иллюстрирует зависимость вероятности реализации первого конечного состояния от логарифма интенсивности шума 1п(сг2) при различных значениях скорости изменения управляющего параметра 5 для КЬ-диод'цепи, а рис. 10. — зависимость логарифма критического уровня шума 1п(сг^) от логарифма скорости изменения управляющего параметра 1п(£) при большом Дг и нечетных ./V для колебательного контура с полупроводниковым диодом. Показано, что феномен нарушения вероятностной симметрии конечных постбифуркационных состояний при быстрой бифуркации удвоения периода в дискретных моделях определяется движением границ областей притяжения этих состояний в фазовом пространстве при изменении управляющего параметра. Он связан со смещением в фазовом пространстве «центра тяжести» распределения значений динамической переменной к концу быстрого перехода относительно границы раздела областей притяжения различных конечных состояний. Если положение границы областей

притяжения конечных состояний не зависит от значения бифуркационного параметра, то нарушения симметрии конечных состояний не происходит. Критические значения уровня шума, соответствующие условной границе разделения «динамического» и «стохастического» вариантов бифуркационного перехода, определяются свойствами модельного отображения. Численно показано, что в общем случае зависимость этих значений от скорости изменения управляющего параметра отличается от степенной зависимости, предсказанной в [Бутковский О.Я., Браш Дж.С., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах. // ЖЭТФ. - 1996. - Т. 109, № 6. - С. 2201-2207], и близка к ней лишь в пределе бесконечно малых изменений управляющего параметра в малой окрестности бифуркационного значения.

В шестой главе впервые представлены результаты экспериментального исследования и численного моделирования неавтономной электронной системы, хаотический аттрактор которой обладает признаками гиперболического типа Смейла-Вильямса. В основе идеи, предложенной в работе С.П. Кузнецова6, лежит метод эстафетной передачи колебаний. Экспериментальная система (рис.10) представляет собой два связанных автогенераторов Ван-дер-Поля. Частоты автоколебаний генераторов находятся в соотношении 1/2. В каждом из них имеется элемент, который вносит линейную диссипацию, величина которой регулируется внешним напряжением. Это напряжение медленно изменяется во времени с периодом, кратным периоду автоколебаний, причем на одном полупериоде этого процесса первый осциллятор находится в режиме генерации колебаний, а второй под порогом генерации. На следующем полупериоде они меняются ролями. Первый генератор действует на второй через посредство нелинейного квадратичного элемента, вторая гармоника сигнала которого служит затравкой для возникающих колебаний второго генератора, когда он выходит за порог генерации. В свою очередь, второй генератор действует па первый через посредство нелинейного элемента, осуществляющего смешение поступающего сигнала и вспомогательного сигнала. При этом появляется составляющая на разностной частоте, которая попадает в резонансный диапазон для первого осциллятора и служит затравкой, когда он начинает генерировать. Таким образом, оба осциллятора, составляющих схему, по

ь S.P. Kuznetsov. Example of a Physical System with a Mypcrbolic Attractor of the Smale-Williams Type. Phys. Rev. Lett., 95,2005, 144101.

25

очереди передают возбуждение один другому, что можно охарактеризовать как эстафетный механизм.

Поясним, почему схема функционирует как генератор хаоса. Предположим, что на стадии генерации первого осциллятора его колебания имеют некоторую фазу <p: U, °с cos(&>0? + <р). Сигнал (У,2 на выходе нелинейного элемента А,, содержит вторую гармонику: cos(2tu0f + 2<р), и его фаза есть 2(р. Когда полупериод заканчивается, и начинает генерировать второй осциллятор, возникающие колебания переменной U2 получают ту же самую фазу 2<р. Благодаря смешению этих колебаний со вспомогательным сигналом частоты со0 на нелинейном элементе Л2, удвоенная фаза передается в исходный частотный диапазон.

Таким образом, на новой стадии возбуждения первого осциллятора он получит фазу 2<р. Очевидно, значения фазы первого генератора на последующих стадиях даются, по крайней мере в определенном приближении, отображением вида

= (mod 2 л-). (7)

Как известно, динамика, описываемая этим отображением, хаотическая. Это хорошо изученный пример хаоса, отображение «зуб пилы» (saw-tooth map). В частности, для него легко установить присутствие неустойчивости движения по отношению к возмущению начальных условий, являющейся основным характерным атрибутом хаотической динамики. В самом деле, из уравнения (7) очевидно, что на каждом шаге итераций малое возмущение исходного состояния возрастает вдвое.

Рис.1]. Схема экспериментальной системы.

Математическая модель имеет вид системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

С, + /, - ^ + /({/,) + и, (г, - Л,аС08 <*У /ЛГ) = О,

. . А,

= ГУ, + кги2 сое

Л

С2^ + 1 2 Л

2 +Д^)+(г1 + V «»оу/ л) = о,

К-,

\ Л ,>'•

» / ¡л)

1 ' * *

а)

Л 2,1

где 17, и иг - напряжения на конденсаторах С, и Сг, соответственно.

Рис.11. Портрет аттрактора экспериментальной системы в проекг^ш на пюскость {и,О) (а), его стробоскопическое сечение (б) и отображение наследования для фазы первого осциллятора (в).

На рис.11 представлены фотография с экрана осциллографа портрета аттрактора в проекции на плоскость динамических переменных первого осциллятора ({/,,£/,) при Л-4 (а), стробоскопическое сечение этого аттрактора (б) и отображение для фазы колебаний (в). Фазы определяются посредством соотношения

| ап^(-(2я-)"' х/х), х>0, \я + &т<Я%(-(2яУ1х/х), х<0. Как видно из рисунка, отображение для фазы топологически эквивалентно соотношению (7). Вычисление корреляционной размерности аттрактора по методу Грассбергера-Прокаччиа на основе обработки временного ряда дало величину £^2.3, оценка старшего ляпуновского показателя стробоскопического отображения посредством алгоритма, основанного на

<р = <

(9)

обработке временного ряда с выборкой периода 7"=2яЛ'/юо, дало результат Л«0.73. На рис.12 показан портрет странного аттрактора в проекции на плоскость (х,х), его стробоскопическое сечение и отображение для фаз математической модели для при N=4. Для этого аттрактора показатели Ляпунова А, «0,68, Л2и-2,52, Л3я-4,20, Л„и-б,72. Отметим ясно видимую на рис.126 фрактальную поперечную структуру «лент», составляющих аттрактор. По формуле Каплана — Йорке оценка фрактальной размерности аттрактора, как объекта в стробоскопическом сечении, в данном случае дает £) = 1 + Д|/|Л21«1,37 (так называемая ляпуновская размерность).

хОж х!2%

-2 0 х -2 0 Ж -х<2 <р Зя/2

(а). (б) " (в)

Рис. 12. Портрет аттрактора системы (7) в проекции на плоскость (х,д:) (а), его стробоскопическое сечение (б) и отображение последования для фазы первого осциллятора (в). Значения параметров // = 8, А, =1,5, А2 =б, е1 = £г = 0,1, А, = = 0.

Согласно вычислениям по алгоритму Грассбергера - Прокаччиа, корреляционная размерность аттрактора в стробоскопическом сечении составляет О» 1,4, что находится в разумном соответствии с ляпуновской размерностью. Полная размерность аттрактора, вложенного в пятимерное расширенное фазовое пространство неавтономной системы, на единицу больше: </=/)+1 »2,4.

Сопоставление результатов исследования экспериментальной системы и ее модели в виде системы дифференциальных уравнений позволяет говорить о существовании в первой хаотического аттрактора, которому присущи признаки гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса.

Положения, выносимые на защиту:

На защиту выносится комплекс результатов широкого и подробного экспериментального исследования систем нелинейных диссипативных осцилляторов при различных видах воздействия, в том числе новых схем, анализ которых расширяет представления о возможных типах сложной динамики систем данного класса, специальных устройств, сконструированных целенаправленно для проверки теоретических результатов, относящихся к эталонным системам с дискретным и непрерывным временем, а также следующие положения:

1. Экспериментальное исследование нелинейных электронных осцилляторов с квазипериодическим воздействием свидетельствует о присутствии предсказанного теорией определенного типа критического поведения в точках начала и окончания линии бифуркации удвоения тора, который характеризуется универсальной структурой локального устройства пространства управляющих параметров и где существуют все основные динамические режимы системы - тор, удвоенный тор, странный нехаотический аттрактор и хаос.

2. Разработанный модифицированный метод реконструкции модельных дифференциальных уравнений неавтономных систем по временным рядам служит эффективным инструментом для определения характеристик нелинейных элементов колебательных систем, функционирующих в режиме больших амплитуд и хаоса, а также для проверки адекватности рассматриваемой модели и реальной системы.

3. Согласно результатам экспериментальных исследований, типичные сценарии перехода к хаосу в неавтономных системах с квазипериодическим воздействием включают рождение странного нехаотического аттрактора и режим перемежаемости тор - хаос.

4. В нелинейных системах с квазипериодическим воздействием возможность нарушения инвариантности колебаний по отношению к фазе или разности фаз гармонических составляющих воздействующей силы приводит к мультистабильности - присутствию множества сосуществующих аттракторов, отличающихся сдвигом фаз, кратным исходному периоду.

5. В неавтономной нелинейной системе, реализованной в эксперименте на основе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля, у которых

29

характерные частоты отличаются вдвое, а параметр, управляющий бифуркацией рождения предельного цикла, подвергается медленному периодическому изменению в обоих осцилляторах в противофазе, при определенном способе введения связи реализуется хаотическая динамика с характерными признаками гиперболического аттрактора типа Смейла — Вильямса.

Совокупность полученных результатов, включающая новые данные о нелинейных эффектах и типах поведения в динамических системах и их моделях, находящихся под внешним периодическим и квазипериодическим воздействиями, предложенные процедуры реконструкции математических моделей, а также реализованные в работе новые технические решения, позволяют заключить, что в диссертации решена крупная научная проблема в области радиофизики, имеющая значение для. ряда смежных дисциплин, использующих концепции теории колебаний и волн, нелинейной динамики и хаоса.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи в реферируемых журналах:

1. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. // Радиотехника и электроника. - 1987. - Т.32, №12. - С.2558-2566.

2. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнёв Е.П. Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды. // Письма в ЖТФ. - 1987. - Т. 13, вып.8. — С.449-452.

3. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем. // ДАН СССР. — 1986. -Т.287, вып.З. - С.619 - 622.

4. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах. // Изв.вузов. Радиофизика. 1991. — Т.34, №1, —С.35—39.

5. Астахов В.В., • Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе

связанных нелинейных осцилляторов, // Изв. вузов, Радиофизика. — 1988.-Т.31, №5, —С.627-630.

6. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнёв E.I1. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием. // Письма в ЖТФ. - 1988. - Т. 14, вып.1. - С.37-41.

7. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ. - 1989. - Т.15, вып.З. — С.60-65.

8. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Мультистабильность в колебательных системах с удвоением периода и однонаправленной связью. // ДАН СССР. 1990. - Т.314, №2. - С.332-336.

9. Безручко Б.П., Кулешов A.B., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Нелинейные колебания в резонаторе с варакторным диодом.// Радиотехника и электроника. - 1991. - Т.36,№8. - С.1519-1524.

10. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью. // Радиотехника и электроника. - 1991. - Т.36, №11.-С.2167-2170.

11. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова E.H. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. // ЖТФ. - 1990. - Т.60, вып.10. - С.19-26.

12. Астахов В.В., Безручко Б.П, Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода. // Радиотехника и электроника. - 1993. - Т.38, №2. -С.291-295.

13. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Как в эксперименте увидеть то «что реально не должно существовать». // Изв. ВУЗов, ПНД. - 1993.-Т.1, №1-2.-С.291-295.

14. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами. // Письма в ЖТФ. - 1994. - Т.20, вып. II. - С.78-82.

15. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map. // Chaos, Solitons, Fractals. - 1995. - Vol.5, №11.- P.2095-2107.

16. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой. // Письма в ЖТФ. -1994. - Т.20, вып.19. - С.75-79.

17. Безручко Б.П., Смирнов Е.В., Селезнев Е.П. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. - 1995. - Т.21, вып.8. - С.12-17.

18. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов. // Письма в ЖТФ. - 1995. - Т.22, вып.6. - С.61-66.

19. Безручко Б.П, Селезнев Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. - 1997.-Т.23,вып.4.-С.40-46.

20. Безручко Б.П, Жалнин А.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи. // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. - 1997. - Т.5, №2. - C.4S-62.

21. Астахов С.А., Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Селезнев Е.П. Эволюция бассейнов притяжения связанных систем с удвоением периода. // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. - 1997. - Т.5, №2. - С.87-89.

22. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Пиковский A.C., Фойдель У., Селезнев Е.П. О динамике нелинейных систем под внешним квазипериодическим воздействием вблизи точки окончания линии бифуркации удвоения тора. // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. - 1997. - Т.5, №б. — С.3-20. ■ ...

23. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Селезнев Е.П. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду (модели, эксперимент). // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. - 1999. — Т.7, №1. - С.49-68.

'24. Bezruchko В.Р., Kuznetsov S.P., Seleznev Ye.P. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point. // Phys. Rev. E. -2000. - Vol. 62, №6. - p.7828-7830.

25. Селезнев Е.П., Дудова А.С. Виды симметрии циклов в связанных системах с удвоением периода // Изв. Вузов, ПНД. - 2000. - № 2. - С. 1623.

26. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Эволюция пространства управляющих параметров в модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии.//Изв. Вузов, ПНД. -2001. - Т.9, № 2. - С.39-44.

27. Bezruchko В.Р, Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. On the choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series. // Physical Review E. - 2002. - Vol.65, № 2.

28. Безручко Б.П, Иванов P.H., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром. // Письма в ЖТФ. - 2002. - T.2S, вып. 11. - С. 58-65.

29. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Влияние асимметрии на фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28, вып. 13. - С.7-14.

30. Bezruchko В.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems. II Chaos, Solitons & Fractals. - 2003. - №15. - p.695-711.

31. Безручко Б.П, Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода. // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - Т. 10, JVslO. - С.47-68.

32. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях. II Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - Т. 10, №5. - с. 19-24.

33. Bezruchko В.P., Smirnov D.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Seleznev Ye. P., Dikanev T.V., Sysoev I.V. Karavaev A.S. Special approaches global reconstruction of equations from time series. // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - Т. 10, № 3. - С. 137— 158.

34. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. О размерности аттрактора нелинейного осциллятора.//Письма в ЖТФ. 2004.-Т.30. вып. 5.-С.76-81.

35. Безручко . Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия. // Письма в ЖТФ. - 2003. - Т.29, вып.19. - С.69-76.

36. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии. // Письма в ЖТФ. — 2005. - Т. № 31, вып.17. -С.13-18.

37. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П, Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла-Вильямса. // ЖЭТФ-2006,-Т. 129, вып. 2.— С.1—13.

Патент

Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Сысоев И.В. Способ определения характеристик нелинейных устройств. // Заявка N«2004115469/28. Патент МПК G 01 R 27/08, 31/27

Учебно-методическое пособие

Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Нелинейный электрический маятник. // Учебно-методическое пособие. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж». 1999. - 33с.

Селезнёв Евгений Петрович

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой.степени доктора физико-математических наук

01.04.03—Радиофизика

Лицензия ЛР № 020773 от 15.05.98. Подписано к печати 25.04.06 г. Формат 60x84 1,16. Бумага «Снегурочка». Гарнитура Times. Усл. печ.л.2.09 (2.25). Тираж 120 экз. Заказ 374.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ОБЪЕКТЫ И МЕТОДИКА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. Введение.

1.2. Нелинейный колебательный контур при. гармоническом воздействии.

1.2.1. Многообразие колебательных режимов.

1.2.2. Универсальные конфигурации бифуркационных множеств и константы вблизи границы. перехода к хаосу.

1.2.2.1. Экспериментальное наблюдение отображений последования.

1.2.2.2. Спектральные закономерности на пороге перехода к хаосу.

1.2.2.3. Размерностные свойства аттракторов.

1.2.2.4. Дискретное моделирование и обсуждение. результатов.

1.3. Гармонически возбуждаемая RLC-цепь на переключаемых конденсаторах.

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ

СИСТЕМ.

2.1. Введение.

2.2. Математические модели базовых экспериментальных систем.

2.2.1. Уравнение осциллятора с потенциалом То да.

2.2.2. Мультимодальное многопараметрическое отображение осциллятора с асимметричным потенциалом.

2.2.3. Мультимодальное многопараметрическое отображение осциллятора с симметричным потенциалом.

2.3. Реконструкция неавтономных дифференциальных моделей по временному ряду.

2.3.1. Трудности стандартного подхода.

2.3.2. Модификация стандартного подхода и особенности ее использования.

2.3.3. Примеры применения методики при реконструкции. уравнений осцилляторов.

2.3.4. Реконструкция уравнений осцилляторов при. наличии шума.

2.4. Моделирование по экспериментальным временным рядам.

2.4.1. Моделирование неавтономного кусочно-линейного осциллятора.

2.4.2. Модель системы из «первых принципов».

2.4.3. К вопросу о механизмах хаотизации процессов в. контуре с диодом.

2.4.4. Реконструкция модельных обыкновенных. дифференциальных уравнений по временным. рядам тока и напряжения.

3.2. Нелинейный осциллятор при бигармоническом воздействии с иррациональным соотношением частот.164

3.3. Нелинейный осциллятор при бигармоническом воздействием с рациональным соотношением частот.179

3.4. Кусочно-линейный колебательный контур с потенциалом,. близким к симметричному при квазипериодическом. воздействии.185

3.5. Численное исследование дискретной модели с рациональным соотношением частот.190

3.6. Выводы.196

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

ОСЦИЛЛЯТОРОВ.197

4.1. Введение.197

4.2. Динамика нелинейных осцилляторов с диссипативной связью и иррациональным соотношением частот воздействия.199

4.3. Динамика нелинейных осцилляторов с реактивной связью и иррациональным соотношением частот воздействия.212

4.4. Динамика нелинейных осцилляторов с диссипативной связью и синфазным воздействием.218

4.5. Динамика диссипативно связанных систем с удвоением . периода.232

4.5.1. Динамика систем при наличии симметрии.232

4.5.2. Бассейны притяжения аттракторов.244

4.5.3. Влияние асимметрии на режим хаотической. синхронизации.257

4.5.4. Влияние асимметрии на эволюцию несинфазных. режимов.265

4.5.5. Влияние асимметрии на структуру бассейнов. притяжения.268

4.6. Выводы.272

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И БЫСТРЫЕ

БИФУРКАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ.274

5.1. Введение.274

5.2. Процессы установления предельных циклов.281

5.3. Численное исследование нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.293

5.3.1. Постановка задачи при численном моделировании на одномерном отображении.293

5.3.2. Результаты численного исследования нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.294

5.4. Экспериментальное исследование нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.304

5.4.1. Методика экспериментальных исследований быстрых бифуркационных переходов.304

5.4.2. Нарушение вероятностной симметрии конечных . состояний при быстрой бифуркации удвоения. периода в нелинейном колебательном контуре.312

5.4.3. Нарушение вероятностной симметрии конечных . состояний в системе с бифуркацией потери. симметрии.315

5.5. Выводы.318

ГЛАВА 6. ПРИМЕР НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ АТТРАКТОРОМ.

ТИПА СМЕЙЛА-ВИЛЬЯМСА 320

6.1. Введение.320

6.2. Схема и принцип действия системы на основе связанных. генераторов Ван-дер-Поля.324

6.3. Система дифференциальных уравнений.328

6.4. Экспериментальные результаты.340

6.5. Выводы.346

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.347

ЛИТЕРАТУРА.352

БЛАГОДАРНОСТИ.392

ВВЕДЕНИЕ

В 1998 году в перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований Президиума Российской Академии наук впервые вошла нелинейная динамика. Данное событие можно истолковать как официальное ее признание еще одним фундаментальным направлением в науке. Становление нелинейной динамики происходило в процессе взаимодействия и взаимодополнения экспериментальных и теоретических исследований объектов различной природы, создания универсальных моделей, развития соответствующих разделов математики и синтетических дисциплин, таких, как теория колебаний и волн, теория бифуркаций, теория катастроф, теория фрактальных множеств [1-34].

Следует отметить существенную роль в этом становлении исследование радиофизических объектов. Это связано с удобными для экспериментирования характерными временными масштабами процессов и хорошо развитой инструментальной базой, относительно низким уровнем естественных шумов и развитым математическим аппаратом для моделирования и обработки данных. Исследования различных автономных и неавтономных радиофизических систем привнесли огромный вклад в нелинейную динамику, теорию колебаний и волн, дали пищу для размышлений математикам. Кольцевые генераторы с запаздывающей обратной связью (Залогин Н.Н., Кислов В.Я., Мясин) [19, 35-38], система электронный пучок - обратная электромагнитная волна (Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Кузнецов С.П.,) [39], генератор на туннельном диоде (Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И.) [40], генератор с инерционной нелинейностью (Анищенко B.C., Астахов В.В.) [21, 25, 34, 41], системы фазовой автоподстройки (Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д.) [24, 42], системы связи с использованием хаотических сигналов (Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О.) [31], система Чуа [43], периодически возбуждаемая LR-диод цепь (Linsay P.S. [44]) позволили исследовать многие фундаментальные проблемы нелинейной динамики. На них экспериментально изучены типы бифуркаций, сценарии переходов к хаосу, эволюция хаоса, бифуркации аттракторов. Масса тонких вопросов динамики нелинейных систем изучена физиками и математиками на примерах различных объектов радиофизики и их моделях (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Белых В.Н., Дмитриев А.С., Кияшко С.В., Кузнецов С.П., Ланда П.С., Майстренко Ю.Л., Минакова И.И., Неймарк Ю.И., Пиковский А.С., Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Шильников Л.П. и многие другие отечественные и зарубежные коллеги).

Одними из самых «благодарных» и популярных базовых объектов нелинейной динамики стали осцилляторные диссипативные системы, совершающие колебания около положения равновесия и их конечномерные модели. С развитием концепции динамического хаоса представления об осцилляторе, исконно ассоциирующееся с маятником, существенно расширилось и наполнилось новым (нелинейным) содержанием. Это развитие продолжается и сейчас. Например, в последнее время модели диссипативных (неавтоколебательных) осцилляторных систем активно используются при моделировании механизмов функционировании живых организмов [45].

В качестве предмета исследования в диссертации выбран класс осцилляторных систем, находящиеся под внешним силовым воздействием. В круг неавтономных систем входит огромное число реальных объектов: от микроскопических до макроскопических. Например, все формы жизни на Земле подвержены воздействию: суточному - смена дня и ночи, годичному -смена времен года (так называемые циркадные и циркануальные ритмы), циклическим изменениям гравитации из-за воздействия Луны, эллиптичности орбиты земли. К процессам, наблюдаемым в подобных системах, относятся: вибрации машин и механизмов, вызванные работой электрических и тепловых двигателей, распространение сигналов в линиях связи, обмен данных в компьютерах и компьютерных сетях, колебания диполей в переменных электрических и магнитных полях, некоторые параметры мезосферы испытывают дрейф под влиянием изменений в других слоях атмосферы [46-48] и т.п. Поведение таких систем определяется не только внутренними свойствами, но и зависит от формы воздействия, его интенсивности, способа внесения, соотношения временных масштабов собственных и внешних, и может быть, вообще говоря, очень сложным. Основное внимание в работе уделяется ситуации, когда воздействие силовое. В радиофизике - оно реализуется в возбуждаемых внешними сигналами электрических, электронных, полупроводниковых цепях, параметрических усилителях, генераторах и умножителях частоты [49-51]. Значительная роль в исследовании отводится радиофизическому варианту нелинейного осциллятора - колебательному контуру [44]. Во многих случаях математической моделью подобных объектов выступает уравнение осциллятора - эталонная динамическая система, заслужившая статус «ключа к анализу» многих колебательных систем [17].

Исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов. В первую очередь это связано с явлением резонанса, которое, с одной стороны, успешно используется, например, для фильтрации сигналов, а с другой - может привести к катастрофическим последствиям, например, разрушению конструкций [11, 13]. С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос. Простота и доступность этих систем объясняют их популярность у исследователей нелинейных колебательных явлений.

Теоретическим исследованиям динамики нелинейных неавтономных осцилляторов посвящено огромное число работ. Известные уравнения Дуффинга, Матье, Тода, Морзе стали в этих исследованиях классическими [52-68]На этих примерах изучены характерные типы фазовых портретов, многообразия устойчивых и неустойчивых циклов, исследована структура пространства управляющих параметров, роль симметрии потенциальной функции, проверены известные закономерности и свойства скейлинга вблизи границы перехода порядок - хаос, полученные с помощью отображений [6974], проведен анализ бассейнов притяжения бистабильных и мультистабильных состояний, проведена оценка размерностных характеристик аттракторов [75-80].

В абсолютном большинстве последовательных исследований сложной динамики систем, совершающих вынужденные колебания у положения равновесия рассматриваются потоковые модели, многие результаты, особенно касающиеся границы перехода к хаосу, получены на основе анализа дискретных моделей (отображений), в то же время экспериментальные работы, пытающиеся охватить весь спектр присущих этим системам феноменов, отсутствуют. Остается и ряд почти «белых пятен». В частности: 1) недостаточно изучена динамика нелинейных систем при двух и многочастотном воздействии. В первую очередь речь идет об изучении перехода от регулярного поведения к хаосу через разрушение квазипериодических режимов (одной из центральных тем в нелинейной динамике). Начиная с основополагающих работ Ландау [81] и Рюэлля и Такенса [82, 83], многие авторы обращались к теоретическому и экспериментальному исследованию различных аспектов таких переходов, например [84-90]. Как оказалось, некоторые тонкие детали

1 Приводимый список литературы конечно не является полным, охватить вниманием все множество работ, посвященных неавтономному нелинейному осциллятору просто уже не представляется возможным. квазипериодической динамики трудно выявить и изучать в автономных системах, но их можно успешно анализировать, рассматривая системы с внешним квазипериодическим воздействием. Действительно, в автономных системах характерные частоты определяются внутренней динамикой, и, в силу эффекта синхронизации управлять ими независимо от других параметров трудно, если вообще возможно. Напротив, в неавтономных системах частоты, представленные в спектре внешнего воздействия, можно рассматривать просто как управляющие параметры и задавать произвольно. В эксперименте их легко регулировать, обеспечивая любое желаемое соотношение частот;

2) как выяснилось в последнее время, на пути от регулярной динамики к хаосу в системах с квазипериодическим внешним воздействием очень часто встречается своего рода промежуточный тип поведения, которому в фазовом пространстве соответствует странный нехаотический аттрактор. Появление подобных режимов колебаний делает всю картину перехода к хаосу весьма нетривиальной. Странные нехаотические аттракторы впервые были описаны в работе Гребоджи с соавторами в 1984 году [91]. С тех пор они исследовались численно и экспериментально [91-117]. Для странных нехаотических аттракторов характерно совмещение определенных свойств регулярных режимов и хаоса. Также как регулярные аттракторы, они имеют нулевые старшие ляпуновские показатели, однако их геометрическая структура фрактало-подобная, как у хаотических аттракторов. Спектрально-корреляционные свойства, характерные для режима странного нехаотического аттрактора, также оказываются промежуточными между порядком и хаосом - генерируемый спектр является сингулярно-непрерывным. Численные исследования странных нехаотических аттракторов пока более плодотворны, чем экспериментальные;

3) переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн [3, 7, 9, 18], является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам [9, 61, 118-124]. Однако связанные системы требуют дополнительного изучения для случая произвольного (рационального и иррационального) соотношения частот воздействия;

4) в общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных - отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия [117]. В качестве примера можно рассмотреть модель неавтономной динамической системы в виде системы дифференциальных уравнений: dx "

-Г = /(* 1, > ) + X Sin(<y/ + y/J) (1) dt J=x где Aj - амплитуда, - частота, а у} - начальная фаза j компоненты внешнего воздействия. Представляя фазу как cOjt + у/,=(Pj и полагая, что dcpj /dt = 6)j, систему (1) можно переписать в виде dx "

-Г = /(* 1 > >•»*,) + £ 4 Sin <Р,j dt J=x dq> dt J

Здесь x, - собственно динамические переменные (где / = 1,2,3,4,.), а ср} фазовые переменные (где j = 1,2,3,4,.). При иррациональном соотношении частот воздействия со} динамика неавтономных систем инвариантна по отношению к фазе или разности фаз гармонических составляющих воздействия. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности динамики системы по отношению к фазам [j/j или разностям фаз воздействия. Каковы последствия такого изменения, какова динамика системы, ее аттракторы, сценарии перехода к хаосу, структура пространства управляющих параметров, влияние и роль свойств симметрии и типов связи, характер и эволюция границ бассейнов притяжения;

5) многие процессы, наблюдаемые в реальных системах, например, в биологии, экономике, медицине не являются стационарными. В динамических системах нестационарность может быть следствием либо переходного процесса, либо изменения управляющих параметров. В свою очередь управляющие параметры могут изменяться таким образом, что сама система претерпевает ту или иную бифуркацию или последовательность бифуркаций. Ситуации с изменяющимися параметрами типичны в природе, и широко представлены в технике. Наименее изучены бифуркационные переходы в системах с быстро меняющимся параметром при наличии шумов [125, 126]. Актуальность их изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при динамических бифуркациях в присутствие шумов. Речь в первую очередь идет о явлении спонтанного нарушения симметрии, которое отмечается в разных областях естествознания [22, 127-130], например: в теории фазовых переходов, приводящих к ферромагнетизму, в теории взаимодействия элементарных частиц, и др. Спонтанное нарушение симметрии тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах. Например, живые организмы используют лишь один из двух зеркальных изомеров молекул аминокислот и Сахаров, поляризующих свет в одном направлении, и не используют другой. К спонтанному нарушению симметрии фактически сводятся такие ключевые для биологии проблемы, как морфогенез и дифференциация. Известные результаты в этом направлении получены на основе анализа дискретных моделей, в тоже время экспериментальные работы встречаются редко.

Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на строгом аксиоматическом фундаменте, использует концепцию гиперболичности [26,281-287]. Это подразумевает, что все существенные траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы диссипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с сильными хаотическими свойствами. В учебниках и монографиях по нелинейной динамике примеры гиперболических аттракторов представлены искусственными математическими конструкциями, такими, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла -Вильямса [26,31,282-287]. Представляется интересным и важным исследование возможности построения физической системы с гиперболическим аттрактором. Как будет показано далее, создание таких систем возможно.

Таким образом тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики, теории колебаний. В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, механизмов формирования и принципов классификации множества мультистабильных состояний при рациональном соотношении частот воздействия, возможности адаптации универсальных методов реконструкции математических моделей к классу неавтономных систем, нестационарных процессов и быстрых бифуркационных переходов, возможности использования неавтономных режимов получения характеристик нелинейных элементов в режиме больших сигналов, проверки адекватности их представления на основе реконструкции математических моделей.

Цель диссертационной работы; исследование динамики нелинейных неавтономномных осцилляторных систем и закономерностей ее изменения при последовательном усложнении формы воздействия и увеличении числа степеней свободы.

Задачи, решаемые в работе: последовательное экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора при изменении профиля потенциальной ямы, построение адекватных математических моделей; исследование динамических режимов, структуры пространства управляющих параметров, а также сценариев перехода к хаосу в осцилляторах с различным типом нелинейности при внешнем квазипериодическом воздействии, поиск и апробация методов идентификации странных нехаотических аттракторов; исследование влияния нарушения инвариантности к фазе или разности фаз воздействия, механизмов формирования и принципов классификации множества мультистабильных состояний; исследование динамических режимов, структуры пространства управляющих параметров, а также сценариев перехода к хаосу в системе симметрично связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношением частот воздействия; исследование влияния нарушения инвариантности к фазе или разности фаз воздействия и принципа классификации множества мультистабильных состояний в системе связанных нелинейных неавтономных осцилляторов; исследование влияния неидентичности на динамические режимы, структуру пространства управляющих параметров, режим хаотической синхронизации, бассейны притяжения сосуществующих состояний в системе связанных нелинейных осцилляторов с синфазным возбуждением; модификация метода глобального моделирования для неавтономных систем, применение этого метода для реконструкции характеристик нелинейных элементов и проверки адекватности модельных представлений;

У исследование нестационарных явлений в нелинейных осцилляторах при быстром изменении управляющего параметра и присутствии шумов. исследование возможности построения неавтономной системы с гиперболическим аттрактором типа Смейла-Вильямса.

Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику и созданы экспериментальные установки для их исследования. В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контура с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью. Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров. Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов). Следующий шаг -исследование в более широкой области управляющих параметров. Известно, что "так же, как теория опирается в своей основе на экспериментальные данные, так и эксперимент тогда несет в себе полезную информацию, если он проводится в соответствии с определенной теоретической концепцией" [131]. Но при экспериментальном исследовании сильно нелинейных явлений этот тезис о необходимости априорной эталонной модели приобретает особое значение. Это связано с большим числом наблюдаемых устойчивых и неустойчивых состояний, бифуркационных переходов и, как правило, непродуктивностью привлечения для изучения и осмысления привычных линейных представлений. Поэтому эксперимент и моделирование зачастую ведутся и описываются в диссертации параллельно, дополняя друг друга.

Научная новизна и практическая значимость работы.

Впервые проведено комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы, проведен их сравнительный анализ, предложены простые дискретные многопараметрические модели, отражающие сложную динамику и структуру пространства управляющих параметров экспериментальных объектов.

Впервые экспериментально исследована динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии с рациональным и иррациональным соотношением частот. Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов. Экспериментально исследована динамика связанных нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот внешнего воздействия, построены карты динамических режимов.

На примере нелинейного осциллятора и связанной системы выявлен механизм и предложен принцип классификации множества мультистабильных состояний, имеющих место в результате нарушения инвариантности по отношению к фазе или разности фаз воздействия.

Впервые экспериментально исследована зависимость времени установления периодических колебаний и зависимость ее характера от значения мультипликаторов циклов.

Экспериментально и численно исследовано явление мультистабильности в системе двух диссипативно связанных нелинейных осцилляторов в области параметров, соответствующей существованию в изолированных подсистемах бистабильности.

Впервые экспериментально исследован эффект нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях удвоения периода и потери симметрии.

Впервые реализована экспериментальная система в виде двух неавтономных генераторов Ван-дер-Поля, которая, как показывает совокупность имеющихся данных, обладает странным хаотическим аттрактором, относящимся к классу гиперболических аттракторов.

Значимость результатов для практики дополняется возможностью использования разработанных методик для проверки адекватности эквивалентных схем нелинейных элементов и расчета их эквивалентных характеристик. Это может быть полезно в различных приложениях, в частности, для проверки адекватности представлений о природе нелинейных свойств различных элементов, определения характеристик и параметров нелинейных элементов, функционирующих в режимах больших амплитуд и хаоса, получения «экзотических» характеристик, которые невозможно получить традиционными линейными методами.

Появление примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором имеет принципиальное значение для дальнейшего развития нелинейной динамики и ее приложений. С точки зрения исследователей, занимающихся анализом реальных систем физической и иной природы, это, в определенном смысле, «прорыв в гиперболическую область». Очевидно, используя данный пример, как отправную точку, и опираясь на присущее гиперболическим аттракторам свойство грубости, можно строить и другие примеры систем с гиперболическими хаотическими аттракторами.

Достоверность полученных результатов Основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных, наблюдений проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, отображений последования, на основе оценки размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использование стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а так же отсутствием противоречий с известными в литературе достоверными результатами.

Личный вклад соискателя. Большинство представленных в диссертации резулыагов получено впервые автором, под его руководством или при его непосредственном участии. Обсуждение результатов, а также экспериментальные исследования проводились совместно с научным консультантом проф. Б.П. Безручко. Соискатель осуществлял постановку задач, разработку и обоснование методов их решения, интерпретацию результатов численных и радиофизических экспериментов. Им разработаны и изготовлены экспериментальные макеты, проведены экспериментальные и ряд численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов. Обобщение полученных резулыаюв проводилось. Обработка полученных им данных для реконструкции математических моделей проводилась совместно с к.ф -м н., с.н с СФ-6 Смирновым Д.А. Обработка данных исследований быстрых бифуркационыхпереходов осуществлялась совместно с к.ф.-м.н. Ивановым Р.Н.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на: международном симпозиуме Nonlinear Theory and its Applications. (1993, 1995, 1998, 2000), II Международной школе-семинар «Dynamic and Stochastic Wave Phenomena». (N. Novgorod. 1994), международной рабочей группе Nonlinear Dynamics of Electronics Systems NDhS (1996, 1997, 1999, 2001), международной конференции ICND'96. (Saratov 1996), IEEE-Russia Conference «High Power Microwave Electronics: Measurements, Identification, Applications»,

Novosibirsk, 1999), международная конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (2001), Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (Москва 1996,2000), Всесоюзных конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993, 1999, 2002), Всесоюзных школах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993 ), Всесоюзных школах "ХАОС" (Саратов, 1998, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». (Н. Новгород, 2004), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН.

Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №№ 96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 03-0317593), Федеральной Программой «Интеграция» (грант № 696.3), грантом Президиума РАН для молодых ученых № 23, государственным контрактом №40.020.1.1.1168 Министерства науки, промышленности и технологий РФ, американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза - CRDF (грант № REC-006).

Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ. По теме диссертации опубликовано 95 работ (37 статей в рецензируемых журналах, 20 статей в сборниках, 36 тезисов докладов, 1 патент и 1 учебно-методическое пособие). Результаты исследования динамики нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии и примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором вошли в перечень достижений Российской Академии Наук.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 392 страницы, в том числе 151 рисунок, 8 таблиц, библиография из 393 наименований.

6.5. Выводы.

В итоге представлен пример физической системы, которая, как показывает совокупность имеющихся данных, обладает странным хаотическим аттрактором, относящимся к классу гиперболических аттракторов. Можно предположить, что появление примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором имеет принципиальное значение для дальнейшего развития нелинейной динамики и ее приложений. С точки зрения исследователей, занимающихся анализом реальных систем физической и иной природы, это, в определенном смысле, «прорыв в гиперболическую область». Очевидно, используя данный пример, как отправную точку, и опираясь на присущее гиперболическим аттракторам свойство грубости, можно строить и другие примеры систем с гиперболическими хаотическими аттракторами. В самом деле, модификация правых частей уравнений не будет разрушать гиперболичность, по крайней мере, пока изменения не слишком велики. Наличие физических систем с гиперболическим хаосом открывает возможности для приложений глубоко проработанного раздела математики - гиперболической теории, а также переводит в практическую плоскость задачу сравнительного исследования гиперболического и негиперболического хаоса в теории и эксперименте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны экспериментальные осциллятрные системы с различными видами нелинейности и оригинальные установки на которых проведено последовательное исследование сложной динамики нелинейных диссипативных осцилляторных систем с различными видами воздействия. Полученные результаты обосновывают реальность многих нелинейных колебательных феноменов, обнаруженных в модельных системах, или являются новыми, расширяющими предсталения об осцилляторных системах. В частности показано, что: Таким образом, по результатам работы можно сделать следующие выводы.

1. Последовательное изменение формы потенциальной ямы неавтономного осциллятора от «жесткого» типа поведения к «мягкому» качественно не меняет его динамику и сценарии перехода к хаосу, кроме известного изменения формы резонансных кривых и структуры пространства управляющих параметров.

2. Предложены простой метод построения одномерных дискретных моделей нелинейных осцилляторов при импульсном воздействии. Несмотря на одномерность, полученные модели способны описать поведение объектов в области субгармонических колебаний на плоскости амплитуда - частота воздействия. Преимущества такого метода состоят в том, что он позволяет обойтись моделью с меньшим (чем при стандартном методе) количеством уравнений, в которой, в то же время, учтены существенные специфические черты моделируемого объекта. Применение алгоритма на нескольких численных примерах и реальной радиотехнической системе показывает его эффективность: параметры восстановленных моделей имеют прямые аналоги в эксперименте, а модели демонстрируют качественно схожее с исходным объектом поведение.

3. Показано, что реконструкция модельных уравнений нелинейных осцилляторов по хаотическим временным рядам на основе стандартной структуры уравнений не дает возможности получить сколько-нибудь эффективную модель. В этом случае, полученные модели демонстрируют либо неустойчивые по Лагранжу, либо периодические траектории. Введение в структуру модели явной зависимости параметров от времени и их апроксимация тригонометрическими функциями позволяет качественно описать динамику объекта в широкой области пространства этих параметров. Показано, что такой подход к реконструкции моделей неавтономных систем работоспособен в широкой области параметров.

4. На примере реконструкции моделей по временным экспериментальным временным рядам осцилляторных систем показана работоспособность технологии тестирования динамических перемнных на их пригодность для выбранной структуры модельных уравнений.

5. Проведена экспериментальная проверка возможности использования модифицированного метода реконструкции дифференциальных моделей неавтономных систем по временным рядам для проверки адекватности эквивалентных представлений и определения характеристик полупроводниковых элементов колебательных систем, функционирующих в режиме больших амплитуд и хаоса.

6. Показано, что для систем с квазипериодичесим воздействием возможна идентификация странных нехаотических аттракторов на основе наблюдения стробоскопических сечений проекций фазовых портретов на плоскости динамическая переменная - фаза воздействия. Движению на торе соответствует гладкая замкнутая кривая, движению на странном нехаотическом аттракторе - замкнутая кривая с гладкими участками, где движение устойчиво, и изломами, где движение локально неустойчиво.

7. Типичными в нелинейном осцилляторе при квазипериодическом воздействии и связанных системах с иррациональным соотношением частот воздействия являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора и через режим перемежаемости тор - хаос. При наличии симметрии переходу к хаосу предшествует либо ее разрушение либо рождение странного нехаотического аттрактора.

8. Нарушение инвариантности к фазе или разности фаз воздействия в случае одиночного осциллятора приводит к формированию мультистабильности и многолистной структуры пространства управляющих параметров. Для связанных осцилляторов с рациональным соотношением частот воздействия в пределе малой связи каждый цикл периода N может быть реализован N способами.

9. Для идентичных связанных нелинейных осцилляторов с синфазным возбуждением выделить три типа симметрии циклов: в случае связанных субсистем, каждая из которых обладает свойствами симметрии, переходу к хаосу предшествует бифуркация потери симметрии; в случае синфазного поведения асимметричных субсистем динамика связанной системы тождественна динамике изолированной субсистемы; в случае полной симметрии появляется новый тип (по сравнению с изолированной субсистемой) поведения и сценарии перехода к хаосу -через разрушение квазипериодических движений; асимметричные циклы демонстрируют такой же сценарий перехода к хаосу, как и в случае тождественного поведения субсистем; нарушение симметрии системы приводит к появлению в определенных диапазонах значений управляющих параметров и для некоторых циклов локальной симметрии, которая также приводит к появлению нового типа поведения и сценария перехода к хаосу (через разрушение тора). в пространстве управляющих параметров симметрично связанных систем с удвоением периода существует траектория, вдоль которой можно наблюдать длинную последовательность переходов тор -резонансный цикл - тор - .

10. Экспериментально и численно исследованы нестационарные процессы в неавтономном нелинейном осцилляторе, выделены 3 типичных вида зависимости времени установления колебаний от начальных условий. Показано, что немонотонный характер этих зависимостей определяется наличием в системах фазовой мультистабильности, величиной мультипликатора цикла и структурой разбиения пространства состояний на области притяжения различных аттракторов.

11. Экспериментально и численно исследован феномен нарушения вероятностной симметрии конечных постбифуркационных состояний при быстрых бифуркационных переходах. Он связан со смещением в фазовом пространстве «центра тяжести» распределения значений динамической переменной к концу быстрого перехода относительно границы раздела областей притяжения различных конечных состояний. Показано, что нарушение вероятностной симметрии конечных состояний не является следствием особенностей постановки задачи и выбранной численной процедуры, поскольку имеет место и в реальных системах с непрерывным временем.

12. Представлен пример физической системы, в виде неавтономных связанных генераторов Ван-дер-Поля, которая, как показывает совокупность имеющихся данных, обладает странным хаотическим аттрактором, относящимся к классу гиперболических аттракторов типа Смейла-Вильямса.

1. Андронов А.А., ВиттА.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука. 1981.-586с.

2. Андронов А.А. Л.И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний. -В кн.: Академик Л.И. Мандельштам /к 100-летию со дня рождения/. -М.: Наука, 1979.-с.98-130.

3. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн. // УФН 1979. - Т. 128, № 4 -С.579-624.

4. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

5. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований.-М.: Наука, 1976.

6. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

7. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность.// УФН. 1978. - Т.125, № 1 - С.123-168.

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.;

9. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.

10. Странные аттракторы /Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981.

11. Арнольд В.И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Знание, 1983.

12. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984.

13. Томсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.-254 е., ил.14,15,1617,1819,20,21,22,2324,25,26

14. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. - 280 с. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.

15. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. - 216 с. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. - М.: Наука, 1990.-312 с.

16. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1999. - 368 с.

17. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. -М.: Факториал. 1999. -768 е., ил. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Ли. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. - 416 е., ил.

18. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

19. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000. - 352 е., ил.

20. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. - 296 с.

21. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Издательство физико— математической литературы, 2002. - 252 с.

22. К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. // Ижевск: Институт компьютерных исследований. -2002.-304 с.

23. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. М.: Янус-К, 2002.-264 с.

24. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических сисемах. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с. ил.

25. Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А. Исследование сто хастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1979. - Т.24, № 6. - С.1118-1130.

26. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумовых колебаний в электронно-волновых системах // Радиотехника и электроника. 1980. - Т.25, №8. - С.1683-1690.

27. Кислов В.Я., Мясин Е.А., Залогин Н.Н. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1980. - Т.25, № 10. -С.2160-2168.

28. Гуляев Ю.В., Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Странные аттракторы в кольцевых автоколебательных системах.// ДАН СССР. 1985. - Т.282, №1. -С.53-56.

29. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в системе электронный пучек -обратная электромагнитная волна. // Письма в ЖЭТФ. 1979. -Т.29, вып.З. - С.180-184.

30. Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. // Радиотехника и электроника. 1980. Т.25, № 2. - С.336-343.

31. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в генераторе с инерционной нелинейностью. // Радиотехника и электроника. 1982. Т.27, №10. -С.1972-1978.

32. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации./ Под ред. Гапонова-Грехова А.В., Рабиновича М.И. Горький: ИПФ АН СССР. 1989.

33. Леон.О.Чуа. Генезис схемы Чуа.// Известия вузов.- Прикладная нелинейная динамика. 1993. -Т.1, №3,4. С.5-16.

34. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator. //Phys. Rev. Lett. 1981.-Vol. 47, №19. -P.l349-1352.

35. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA Wiley-VCH Verlag GmbH& Co. KGaA, Weinheim, 2004.

36. Коновалов И.Б., Мольков Я.И., Фейгин A.M. Механизмы сложного динамического поведения мезосферной фотохимической системы. // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Нелинейная динамика -синхронизация и хаос. 1997. - В. 2. - С. 119-142.

37. Фейгин A.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. Прогноз бифуркаций слабо неавтономных динамических систем на основе наблюдаемых временных рядов. // Препринт № 508, Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 1999. 54 с.

38. Каплан А.Е., Кравцов Ю.А., Рылов В.А. Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Сов.радио, 1966. - 334 с.

39. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

40. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1982.-280с.

41. Li T.Y., Yorke J.A. // Am. Math. Monthly. 1975. - Vol.82. - P.985.

42. Holmes P. A nonlinear oscillator with strange attractor. // Phylos. Trans. -1979.-Vol.292.-P.419-448.

43. Humieres D.D., Beasley M.R., Huberman B.A., Libhaber A. Chaotic states and rout to chaos in forced pendulum. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol.26, № 6. -P.3484-3496.

44. Holmes P., Whitley D. On attracting set of Duffing's equation. // Physica. -1983.-Vol.7D.-P.l 11-123.

45. Sato S., Sano M., Sawada Y. Universal scaling property in bifurcation structure of Duffing's and generalized Duffing's equation. // Phys. Rev. A. -1983.-Vol.28, №3.-P. 1654-1658.

46. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и "фазовые переходы" в поведение неавтономного ангармонического осциллятора. // Письма в ЖЭТФ. 1983. - Т.38, вып.2. - С.64-67.

47. Parlitz U., Lauterborn W. Superstructure in bifurcation set of the Duffing's equation.// Phys. Lett. 1985. - Vol. 107A, №8. - P.351-355.

48. Englisch V., Lauterborn W. Regular window structure of a double-well Duffing's oscillator.// Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 44, №2. - P.916-924.

49. Miles J. Resonance and symmetry breaking for the pendulum.// Physica. -1988. Vol.3 ID, №2. - P.252-268.

50. Тода M. Теория нелинейных решёток. M.: Мир, 1984. - 264 с.

51. Kurz Th., Lauterborn W. Bifurcation structure of the Toda oscillator.// Phys.Rev.A. 1988. Vol.37, №3. - P. 1029-1031.

52. Heady J., Yuan J.M. Dynamics of an impulsively driven Morse oscillator.// Phys. Rev. A. 1990. - Vol.41, №2. - P.571-581.

53. Scheffczyk C., Parlitz U., Kurz Т., Knop W., Lauterborn W. Comperison of bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators.// Phys. Rev. A. 1991.-Vol.43, № 12.-P.6495-6502.

54. Ito A. Successive subharmonic bifurcations and chaos in nonlinear Mathieu equation. // Prog. Theor. Phys. 1979. - Vol. 61, №3. - P.815-824.

55. Leven R.W., Koch B.P. Chaotic behavior of parametrically exited domped pendulum. // Phys.Lett. 1981. - Vol. 86A, №2. - P.71-74.

56. Leven R.W., Pompe В., Wilke C., Koch B.P. Experiments on periodic and chaotic motions of parametrically forced pendulum. // Physica. 1985. -V0I.I6D, №3. - P.371-384.

57. Kuznetsova A.Yu., Kuznetsov A.P., Knudsen C., Mosekilde E. Catastrophe theoretic classification of nonlinear oscillators. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2004, VI4, №4, P. 1241-1266.

58. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. // УМЖ. 1961. - Т. 13, № 1. - С.86-94.

59. Feigenbaum M.I. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations.//!. Stat. Phys. 1978.-Vol. 19,№ 1.-P.25-52.

60. Feigenbaum M.I. The universal metric properties of nonlinear transformations. // J.Stat.Phys. 1979. - Vol.21. - P. 669-706.

61. Feigenbaum M.J. The onset spectrum of turbulence // Phys. Lett. A. 1979. -Vol. 74.-P. 375-378.

62. Feigenbaum M.I. Universal behavior in nonlinear system. // Los Alamos Science. 1980. - Vol. 1. - P.4-27.

63. Фейгенбаум M. Универсальнсть в поведении нелинейных систем.//УФН.-1983. Т. 141, вып.2. - С.343-374.

64. Grassberger P. and Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. - V. 9, №. 1-2. - P. 189-208.

65. Broomhead D.S. and King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. - Vol. 20, № 2. - P. 217-236.

66. Potapov A. and Kurths J. Correlation integral as a tool for distinguishing between dynamics and statistics in time series data // Physica D. 1998. -Vol. 120.-P. 369-385.

67. Halsey T.S., Jensen M.H., Kadanoff L.P. et al. // Phys.Rev. A. 1986. -Vol.33.-p.l 141.

68. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1993.-Т.1,№ 1,2. -С.15-33.

69. Glazier J.A., Gunaratne G., Libchaber A.f(a) curves: Experimental results. // Phys. Rev. 1988. - Vol.37, №2. - p.523-530.

70. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. // ДАН СССР. 1944. - Т. 44. -С. 339. (См. также: Ландау ЛД. Собрание трудов. М.: Наука, 1969. -С. 447.)

71. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. // Comm. Math. Phys. -1971.-Vol. 20.-P. 167-192.

72. Рюэлъ Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 116.

73. Hopf Е.А. Mathemetical example desplaing the featers of turbulence. // Comm. Pure Appl. Math. 1948. - Vol.1. -P.303-322.

74. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов. // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С.116-130.

75. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983.

76. Kaneko К. Transition from torus to chaos accompanied by frequency locking with symmetry breaking. // Progr. Theor. Phys. 1983. - Vol.69, №5.-P. 1427-1442.

77. Riela G. Transition tori-chaos through collisions with hyperbolic orbits. // J.Stat.Phys. 1985. - Vol.41, №1-2. - P.201-224.

78. Анищенко B.C. Разрушение квазипериодических колебаний и хаос в диссипативных системах. // ЖТФ. 1986. - Т.56, вып.2. - С. 225-237.

79. Kaneko К. Collaps of tori and genesis of chaos in dissipative system. -World Scientific, 1986. 264p.

80. Grebodgi C., Ott E., Pelican S., Yorke J. Strange attractor that are not chaotic. // Physica. 1984. - Vol.D13. - P.261.

81. Bondeson A., Ott E., Antonsen T.M. Quasiperiodically forced pendula and Schrodinger equvation with quasiperiodic potentials: implications of their equivalence. // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 55. - P.2103.

82. Romeiras F.J., Bondeson A., Ott E., Antonsen T.M., Grebogi C. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors. // Physica. 1987. - Vol. 26D. - P. 277.

83. Romeiras F.J., and Ott E. Strange nonchaotic attractor of the damped pendulum with quasiperiodic forcing. // Phys. Rev. 1987. - Vol. A35. - P. 4404.

84. Ding M., Grebogi C., and Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced system. // Phys. Rev. 1989. - Vol. A39. - P. 2593.

85. Ditto W.L. et al. Experimantal observation of strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.65. - P. 533.

86. Ding M., Grebogi C., Ott E. Dimensions of strange nonchaotic attractors. // Phys. Lett. A. 1989. - Vol. 137. - P. 167.

87. Hunt B.R., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol.87, №25.

88. Kapitaniak Т., Ponce E., and Wojewoda J. Rout to chaos via strange nonchaotic attractors. // J. Phys. 1990. - Vol. A23. - P. L383.

89. Pikovsky A. and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors. // CHAOS. 1995. - Vol. 5. - P. 253.

90. Feudel U., Kurths J. and Pikovsky A. Strange nonchaotic attractors in quasiperiodically forced circle map. // Physica. 1995. - Vol. D88. - P. 176.

91. Zhou Т., Moss F. and A. Bulsara. Observation of strange nonchaotic attractors in a multistable potential. // Phys. Rev. 1992. - Vol.A45. - P. 5394.

92. Heagy J.F. and Hammel S.M. The birth of strange nonchaotic attractor. // Physica. 1994. - Vol. D70. - P. 140.

93. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: Renormalization group analysis. // Phys. Rev. E. 1995. - Vol.51. -P.R1629.

94. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Сосоновцева O.H. Механизмы рождения странного нехаотического аттрактора в отображении кольца с квазипериодическим воздействием. // Изв. Вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1995. - Т. 3, № 3. - С.34.

95. Y.-C. Lai. Transition from strange nonchaotic attractor to strange chaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E53. - P. 57.

96. Nishikawa T. and Kaneko K. Fractalization of torus revisited as a strange nonchaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E54. - P. 6114.

97. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.N. Mechanisms of ergodic torus destruction and apperence of strange nonchaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E53. - P. 4451.

98. Kuznetsov S., Feudel U., Pikovsky A. Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57. -P.1585.

99. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Intermittency route to strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol.79, №21. - P.4127.

100. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Strange nonchaotic attractors in the quasiperiodically forced logistic map. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57. -P.1576.

101. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis. // Physica. 1997. - Vol.l09D. - P. 180.

102. Negi S.S., Prasad A., Ramaswamy R. Bifurcations and transitions in the quasiperiodically driven logistic map. // Physica. 2000. - Vol.l45D. - P.l.

103. Osinga H.M., Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems. // Physica. 2000. - Vol. 14ID. - P.54.

104. Kaneko K. Doubling of torus. // Prog. Theor. Phys. 1983. - Vol.69. -P. 1806.

105. Кузнецов С.П. О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок хаос через бифуркации удвоения периода. // Письма в ЖЭТФ. - 1984. - Т.39. -С.113.

106. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор. // В кн. «Нелинейные волны 2004», Наука. 2004.

107. Kuusela Т., Hietarinta J. Numerical, experimental and analytical studies of the dissipative Toda lattice. 1. The behavior of a single solitary wave. // Physica. 1990. - Vol.4 ID. - P.322-340.

108. Kuusela Т., Hietarinta J. Numerical, experimental and analytical studies of the dissipative Toda lattice.2.// Physica. 1990. - Vol.4 ID.

109. Bishop A.R., Forest M.G., McLaughlin D.W., Overman E.A. A modal representation of chaotic attractors of the driven damped pendulum chain. // Phys. Lett. 1990. - Vol. 144A, № 1. - P. 17-25.

110. Buskirk R., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol.31, №5. - P.3332-3357.

111. Kunick A., Steeb W.-H. Coupled chaotic oscillators. // J. Phys.Soc.Jap. -1985. Vol.54, №4. - P. 1220-1223.

112. Miles J. Resonantly forced motion of two quadratically coupled oscillators. // Physica. 1984. - Vol.l35D. -P.257-260.

113. Aronson D.G., Doedel E.J., Othmer H.G. An analytical and numerical study of bifurcations in linearly-coupled oscillators. //Physica. 1987. -Vol.25D. -P.20-104.

114. Brush J.S., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. The bifurcation paradox. // Predictability of Complex Dynamical of System (Yu.A. Kravtsov, J.B. Kadtke, eds.). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995. - 143 p.

115. Бутковский О.Я., БрашДж.С., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах. // ЖЭТФ. 1996. - Т. 109, № 6. - С. 2201-2207.

116. Желудев И.Н. Поляризационная неустойчивость и мультистабильность в нелинейной оптике. // УФН. 1989. - Т. 157, № 4. - С. 683-717.

117. Гольданский В.И., Кузьмин В.В. Спонтанное нарушение зеркальной симметрии в природе и происхождение жизни. // УФН, 1989, Т. 157, № 1.-С. 3-50.

118. Хорсхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Теория и приложения к физике, химии и биологии. // М: Мир, 1987. 397 с.

119. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Структура зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях удвоения периода. // ЖЭТФ. 1997. - Т. 112, В. 5. - С. 1-12.

120. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд.МГУ. 1983.-264с.

121. Ахманов С.А., Рошаль А.С. Параметрические генераторы субгармоник как элементы сверхбыстродействующих цифровых вычислительных машин. // Известия вузов. Радиофизика. 1961. -Т.4, №.2. - С.203-243.

122. Testa J., Perez J., Jeffries С. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.48, №11. -P.714-717.

123. Testa J., Perez J., Jeffries C. Testa, Perez and Jeffries respond. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49, №14. - P. 1055.

124. Jeffries C., Perez J. Observation of a Pomeau-Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol.26, №4. -P.2117-2123.

125. Hunt E.R. Comment on driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. Lett. -1982.-Vol.49, №14.-P.1054.

126. Rollins R.W., Hunt E.R. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49, №18. - P.1295—1298.

127. Hunt E.R., Rollins R.W. Exactly solvable model of a physical system exhibiting multidimensional chaotic behavior. // Phys. Rev. A. 1984. -Vol.29,№2.-P. 1000-1002.

128. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator. // Phys. Rev. A. 1983. - Vol.28. - P.1201-1203.

129. Cascais J., Dilao R., Da Costa A.N. Chaos and reverse bifurcation in RLC circuit. // Phys. Lett. A. 1983. - Vol. 93, № 5. - P. 213-216.

130. Bocko M.F., Douglass D.H., Frutchy H.H. Bounded regions of chaotic behavior in the control parameter space of a driven nonlinear resonator. // Phys. Lett. A. 1984. - Vol. 104, № 8. - P. 388-390.

131. Klinker Т., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator. // Phys. Lett. A. 1984. - Vol.101. №8, P.371-375.

132. Yoon Т.Н., Song J.W., Shin S.Y., Ra J.W. One-dimentional map and its modification for periodic chaotic sequence in a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. - 1984. - Vol.30, №6. - P.3347-3350.

133. Perez J. Mechanism for global features of chaos in a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol.32, №4. - P.2513-2516.

134. Su Z., Rollins R.W., Hunt E.R. Measurements of F(alpha) spectra of attractors at transition to chaos in driven diode resonator systems. // Phys. Rev. 1987. Vol.A36, № 7. - p. 3515-3517.

135. Хаслер М.Ж. Электрические схемы с хаотическим поведением. // ТИИЭР. 1987. - Т.75, №.8. - С.40 - 54.

136. Tanaka S., Matsumoto Т., Chua L.O. Bifurcation scenario in a driven RL-diod circuit. // Physica.-1987.-Vol.28D, №13.- P.317-344.

137. Kim C.M., Cho C.H., Lee C.S, Yim J.H., Kim J., Kim Y. Period-doubling bifurcation in an electronic circuit with a fast-recovery diode and square-wave input. // Phys. Rev. A. 1988. - Vol. 38, № 3. - P. 1645-1648.

138. Su Z., Rollins R. W., Hunt E. R. Simulation and characterization of strange attractors in driven diode resonator systems. // Phys. Rev. A. 1989. -Vol.40, №5. - P.2698-2705.

139. Кипчатов А.А. Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1990. - Т.ЗЗ, № 2. - С.182-190.

140. Baxter J.H., Bocko M.F., Douglass D.H. Behavior of a nonlinear resonator driven at subharmonic frequencies. // Phys.Rev.A. 1990. - Vol.41, №2. -P.619-625.

141. Безручко Б.П. Особенности возбуждения субгармонических и хаотических колебаний в контуре с диодом. // Радиотехника и электроника. 1991. -Т.36, №1. - С.39-43.

142. Безручко Б.П., Кулешов А.В., Потапов В.Т., Пономаренко В.И. Нелинейные явления в колебательной системе с фотодиодом.// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №2. - С.387-391.

143. Balberg I., Arbell Н. Temperature as a bifurcation parameter in nonlinear electronic circuits. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49, №1. - P. 110-113.

144. Linsay P.S. Nonlinear dynamics in driven and autonomous electronic circuits. // In: Nonlinear Dynamics in Circuits. Eds. Carroll T. and Pecora L.- World Scientific. 1995. - P.4-33.

145. Прохоров M.Д., Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом. // Радиотехника и электроника. -1996. Т. 41, № 11.-С. 1340-1343.

146. R. М. de Moraes, S. М. Anlagej. Unified model and reverse recovery nonlinearities of the driven diode resonator. // Phys. Rev. E. 2003. -Vol.68. (026201).

147. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Transition to chaos in a simple nonlinear circuit driven by sinusoidal voltage source. // IEEE Trans. CAS. 1983. -Vol.30.-P.913-914.

148. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Bifurcation diagram in piece-wise circuit. // IEEE Trans.CAS. 1984. - Vol.31. -P.587-588.

149. Matsumoto Т., Chua L.O., Tanaka S. Simplest nonautonomous circuit. // Phys.Rev.A. 1984. -Vol.30. - P.l 155-1157.

150. Pei L.-Q., Guo F., Wu S.-X., Chua L.O. Experimental confirmation of period-adding rout to chaos in nonlinear circuit. // IEEE Trans.CAS. 1986.- Vol.31.-P.438-442.

151. МацумотоТ. Хаос в электронных схемах// ТИИЭР. 1987. - Т. 75,1. B. 8. С. 66-87.

152. Аллен Ф., Санчес-Синенсио Э. Электронные схемы с переключаемыми конденсаторами. //- М.: Радио и связь, 1989. 576с.

153. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Multi-parameter transition to chaos and fractal nature of critical attractors. // Fractals in the natural and applied sciences, Ed. M.M. Novak, Elsevier Science B.V. (North-Holland). 1994.-P. 229-239.

154. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., СатаевИ.Р. Мультипараметрическая критичность нелинейных систем. // Лекции по СВЧ электронике и радиофизике, 9-я зимняя школа-семинар, Саратов, 1993. С. 241-250.

155. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу. // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 1993. - Т. 1, №3-4.1. C.17-35.

156. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Three-parameter scaling for one-dimensional maps. // Phys. Lett. 1994. - Vol. A189. - P. 367-373.

157. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. A Variety of Period-doubling Universality Classes in Multi-parameter Analysis of Transition to Chaos. // Physica. 1997. - Vol. 109D. - P. 91-112.

158. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. M.: Наука, 1985.

159. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

160. Монин А.С., Питербарг Л.И. О предсказуемости погоды и климата. // Пределы предсказуемости, под ред. Кравцова Ю.А. М.: ЦентрКом, 1997.-С. 12-39.

161. Keller C.F. Climate, modeling, and predictability // Physica D. 1999. -Vol. 133.-P. 296-308.

162. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. О прогнозе временных рядов// Пределы предсказуемости, под ред. Кравцова Ю.А. М.: ЦентрКом, 1997.-С. 158-169.

163. Cecen A.A. and Erkal C. Distinguishing between stochastic and deterministic behavior in high frequency foreign exchange rate returns: Can non-linear dynamics help forecasting? // Int. J. Forecasting. 1996. - Vol. 12. - P.465-473.

164. Palus M. Nonlinearity in normal human EEG: Cycles, temporal asymmetry, nonstationarity and randomness, not chaos // Biol. Cybernetics. 1995. -V.75, № 5. - P. 389-396.

165. Timmer J., Haussler S., Lauk M., and Lucking C.-H. Pathological tremor: deterministic chaos or nonlinear stochastic oscillators? // Chaos. 2000. -Vol. 10, № l.-P. 278-288.

166. Hubner U., Weiss C.-O., Abraham N.B., and Tang D. Lorenz-like chaos in NH3-FIR lasers (data set A) // in Time Series Prediction: Forecasting the

167. Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings, Addison-Wesley. 1993. - Vol. XV. - P. 73-104.

168. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамических систем. // Радиотехника и электроника. 1999. - Т. 44, № 9. - С. 10751092.

169. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор). // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. -Т. 8, № 1.-С. 29-51.

170. Breeden J.L. and Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Phys. Rev. A. 1990. -Vol. 42, № 10.-P. 5817-5826.

171. Baake E., Baake M., Bock H.J., and Briggs K.M. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45, № 8. - P. 5524-5529.

172. Timmer J. Modeling noisy time series: physiological tremor. // Chaos. -1998. Vol. 8, № 7. - P. 1505-1516.

173. Horbelt W., Timmer J., Bunner M.J., Meucci R., and Ciofini M. Identifying physical properties of a C02-laser by dynamical modeling of measured time series. // Phys. Rev. Lett. 2000.

174. Timmer J., Rust H., Horbelt W., and Voss H.U. Parametric, nonparametric and parametric modelling of a chaotic circuit time series. // Phys. Lett. A. -2000.-Vol. 274.-P. 123-130.

175. Gouesbet G. and Maquet J. Construction of phenomenological models from numerical scalar time series. // Physica. 1992. Vol. 58D. - P. 202-215.

176. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field approximation by using amultivariate polynomial approximation on nets. // Phys.Rev. E. 1994. -Vol. 49.-P. 4955-4972.

177. Letellier С., Le Sceller L., Dutertre P., Gouesbet G., Fei Z., and Hudson J.L. Topological characterization and global vector field reconstruction of an experimental electrochemical system. // J. Phys. Chem. 1995. - Vol. 99. -P. 7016-7027.

178. Le Sceller L., Letellier C., and Gouesbet G. Global vector field reconstruction including a control parameter dependence. // Phys. Lett. A. -1996.-Vol. 211.-P. 211-216.

179. Letellier C., Le Sceller L., Gouesbet G., Lusseyran F., Kemoun A., and Izrar B. Recovering deterministic behavior from experimental time series in mixing reactor. // AIChE Journal. 1997. - Vol. 43, № 9. - P. 2194-2202.

180. Letellier C., Ringuet E., Maquet J., Maheu В., and Gouesbet G.Global vector field reconstruction of chaotic attractor from one unstable periodic orbit. // Entropie. 1997. - № 202-203. - P. 147-153.

181. Reiterer P., Lainscsek C., Schurrer F., Letellier C., and Maquet J. A nine-dimensional Lorenz system to study high-dimensional chaos. // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - Vol. 31. - P. 7121-7139.

182. Letellier C., Macquet J., Le Sceller L., Gouesbet G., and Aguirre L.A. On the non-equivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series. // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - Vol. 31. - P. 79137927.

183. Letellier C., Maquet J., Labro H., Le Sceller L., Gouesbet G., Argoul F., and Arneodo A. Analyzing chaotic behavior in a Belousov-Zhabotinskyi reaction by using a global vector field reconstruction. // J. Phys. Chem. -1998. Vol. 102.-P. 10265-10273.

184. Le Sceller L., Letellier C., and Gouesbet G. Structure selection for global vector field reconstruction by using the identification of fixed points. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 60, № 2. - P. 1600-1606.

185. Menard 0., Letellier С., Maquet J., Le Sceller L.,and Gouesbet G. Analysis of a nonsynchronized sinusoidally driven dynamical system. // Int. J. Bifurcations and Chaos, 2000, V. 10, No. 7. P. 1759-1772.

186. Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам. // Радиотехника и электроника. 1994. - Т. 39, вып. 2. - С. 269277.

187. Gouesbet G. and Maquet J. Construction of phenomenological models from numerical scalar time series. // Physica D, 1992, V. 58, P. 202-215.

188. Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным. // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1995, Т. 3, № 3. С. 112-121.

189. Gouesbet G., Letellier С. Global vector-field approximation by using amultivariate polynomial approximation on nets. // Phys.Rev. E. 1994. -V. 49. - P. 4955-4972.

190. Press H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., and Flannery B.P. Numerical Recipes. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

191. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // in Dynamical Systems and Turbulence, Warwick, 1980, eds. D.Rang and L.S.Young, Lecture Notes in Mathematics, 1981,-V. 898. P. 366-381.

192. Sauer Т., Yorke J.A., and Casdagli M. Embedology. // J. Stat. Phys. 1991. -V. 65, №. 3-4.-P. 579-616.

193. Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по временной реализации одной динамической переменной процесса. // ЖТФ. 1994. - Т. 64, №3. -С. 1.

194. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // Успехи физ. наук, 1989, Т. 158, № 1. С. 93-115.

195. Кравцов Ю.А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемости // Пределы предсказуемости (под ред. Кравцова Ю.А.). М.: ЦентрКом, 1997. С. 170-200.

196. Пасынков В.В., Чиркин JI.K., Шинков А.Д. Полупроводниковые приборы. М.: Высшая школа, 1981. -431с.,ил.

197. MiraC., Carcasses J.P., Bosch М., Simo С., TatjerJ.C. Crossroad area -spring area transition. (I) Parameter plane representation. // Int. J. of Bif. and Chaos.-1991.-Vol. 1,№ l.-P. 183-196.

198. MiraC., Carcasses J.P., Bosch M., Simo C., TatjerJ.C. Crossroad area -spring area transition. (II) Foliated parametric representation. // Int. J. of Bif. and Chaos. 1991.-Vol. 1, № 2.-P. 339-348.

199. Mira C., Carcasses J.P. On the "crossroad area saddle area" and "crossroad area - spring area" transitions. // Int. J. of Bif. and Chaos. - 1991. - Vol. 1, № 3. - P. 641-655.

200. Chang S.J., WortisM., Wright J.A. Iterative properties of a one-dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behavior. // Phys. Rev. A. -1981. Vol. 24, № 5. - P. 2669-2684.

201. Daido H. Resonance and Intermittent Transition from Torus to Chaos in Periodically Forced System near Intermittency Threshold // Progr. Theor. Phys. Japan. 1983. Vol. 70, № 3. - p.879-882.

202. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1985. - Т. 28, № 8. -С. 991-1007.

203. Кузнецов С.П. Масштабно инвариантная структура пространства параметров связанных систем Фейгенбаума. // ЖТФ. 1985. - Т. 55, №9.-с. 1830-1834.

204. Froyland J. Some symmetric, two-dimensional, dissipative maps. // Physica. 1983.- Vol.8. -P.423^34.

205. Yuan J.-H., Tung M., Feng D.H., Narducci L.M. Instability and irregula behavior of coupled logistic equations. // Phys. Rev. A. 1983. Vol.28, №3. -p. 1662-1666.

206. Gu Y., Tung M., Yuan J.-M., Feng D.H., Narducci L.M. Crises and gisteresis in coupled logistic maps. // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol.52, №9. -P.701-704.

207. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Variety of types of critical behavior and multistability in period doubling systems with unidirectional coupling near onset of chaos. // Int. J. Bifurcation and chaos. 1993. -Vol.3, № 1.

208. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: renormalization group analysis and quantitative universality. // Physica. 1997. - Vol. 10ID. - P. 249-269.

209. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. - Т. 2, № 3-4. - С. 90-105.

210. Kim S.-Y. Universal scaling in coupled maps. // Phys. Rev. E. 1995. -Vol.52.-p. 1206-1209.

211. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи. // Изв. ВУЗов «Прикладная нелинейная динамика». 1996. - Т.4, №4,5. - С.99-107.

212. Sakaguchi Н., Tomita К. Bifurcations of the coupled logistic map. // Prog. Theor. Phys. 1987. - Vol.78. - P.305-315.

213. Satoh K. Quasiperiodic route to chaos in a coupled logistic map. // J. Phys. Soc. Jpn. 1991. - Vol.60. -P.718-719.

214. Satoh К., Aihara Т. Self-similar structures in the phase diagram of a coupled-logistic map. // J. Phys. Soc. Jpn. 1990. - Vol.59. - p. 1123-1126.

215. Satoh K., Aihara, T. Numerical study on a coupled-logistic map as a simple model for a predator-prey system. // J. Phys. Soc. Jpn. 1990. - Vol.59. -p.l 184-1198.

216. Kim S.-Y. Period p-tuplings in coupled maps. // Phys. Rev. E. 1996. -Vol.54.-p.3393-3418.

217. Kook H., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems. // Phys. Rev. A. 1991. - Vol.43, -p.2700-2708.

218. Ferretti A., Rahman N. K. A study of coupled logistic maps and their usefulness for modeling physico-chemical processes. // Chem. Phys. Lett. -1987.-Vol.133.-p.150-153.

219. Ferretti A., Rahman N. K. Coupled logistic maps in physico-chemical processes: Coexisting attractors and their applications. // Chem. Phys. Lett. -1987.- Vol.140. -P.71-75.

220. Reick C., Mosekilde E. Emergence of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems. // Phys. Rev. E. 1995. -Vol.52, № 2.-p.1418-1435.

221. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica D, 1998, V.Ill, P. 16-26.

222. Yamada Т., Fujisaka H. Stability Theory of Synchronizad Motion in Coupled Oscillator Systems. // Prog. Theor. Phys. 1983. - Vol.69. - p.32.

223. Пиковский A.C. Взаимодействие странных аттракторов. // Препринт № 79. ИПФ АН СССР. - Горький. - 1983. - 21с.

224. Pikovsky A.S. On Interaction of Strange Attractors. // Z. Phys. B. 1984. -Vol.55.-p.149-154.

225. Waller I., Kapral R. Synhronization and chaos in coupled nonlinear oscillators. // Phys.Lett. 1984. - Vol.l05A, № 4-5. - P. 163-168.

226. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. // Изв. вузов, Радиофизика. 1986. - Т.29, №9. - С. 1050-1060.

227. Анищенко В.С.,Арансон И.С.,Постнов Д.Э.,Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов. // ДАН СССР. 1986. - Т. 286, №5. -С.1120-1124.

228. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1989. - Т.32. - С.49-54.

229. Pecora L.M., Carrol T.L. Synchronization in Chaotic Systems. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.64. - p.821-824.

230. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors. // J. Physics A. 1991. - Vol.24. - p.4587-4597.

231. Hasler M. Engineeering Chaos for Ecryption and Broadband Communication. // Phyl. Trans, of Royal Soc. of London. 1996. -Vol.353A.p.l 15-126.

232. Maistrenko Yu., Kapitaniak T. Differnt Types of Chaos Synchronization in Two Coupled Piecewise Linear Maps. // Phys. Rev. E. 1996. - Vol.54. p.3285—3292.

233. Hasler M. Strong and Weak Forms of Synchronization of Chaotic Systems. // Proc.Int.Spec.Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systerms. Moscow. 1997.-p.2-7.

234. Piragas K. Weak and Strong Synchronization of Chaos. // Phys. Rev. E. -Vol.54, №5. p.R4508-R4511.

235. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of Chaos Synchronization through the Sequence of Bifurcations of Saddle Periodic Orbits. // Phys. Rev. E. 1997. - Vol.76, №6. - p. 1014-1017.

236. Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, 0. Popovych, and E. Mosekilde. Desynchronization of chaos in coupled logistic maps. // Phys. Rev. E. -1999. Vol.60, №3. - p. 2817-2830.

237. M. Hasler, Yu. Maistrenko, and 0. Popovych. Simple example of partial synchronization of chaotic systems. //Phys. Rev. E. 1998. - Vol.58, №5. -p. 6843-6846.

238. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica. 1998. -Vol.111.-p. 16-26.

239. Dmitry Postnov, Seung Kee Han, and Hyungtae Kook. Synchronization of diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcation. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol.60, №3. - p. 2799-2807.

240. Carvalho R, Fernandez B, Mendes R.V. From synchronization to multistability in two coupled quadratic maps. // Phys. Lett. A. 2001. -Vol.285.-P.327-338.

241. Rossler O.E. An equation for hyperchaos. // Phys.Lett. 1979. - Vol.71 A. -P.155-157.

242. Rossler O.E., Kahlert C., Parisi J., Peinke J., Rohricht B. Hyperchaos and Julia Hyperchaos and Julia sets. // Z.Naturforsch. 1986. - Vol.4 la. -P.819-822.

243. Tomasz Kapitaniak, Yuri Maistrenko, and Svitlana Popovych Chaos-hyperchaos transition. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62, №.2. - p. 19721976.

244. Grebogi C., Ott E., York J.A. Fractal basin boundaries, long-lived chaotic transients and unstable-unstable pair bifurcations. // Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol.50.-p.935-938.

245. Iansiti M., Hu Q., Westervelt R.M., Tinkham M. Nois and chaos in a fractal basin boundary regime of a Josephson junction. // Phys.Rev.Lett. 1984. -Vol.55, №7.-P.746.

246. Nusse H.E., Ott E., York J.A. Saddle-node bifurcation on fractal basin boundaries. // Phys.Rev.Lett. 1995. - Vol.75, №13. - p.2482-2485.

247. Moon F.C. Fractal boundary for chaos in a two-state mechanical oscillator. // Phys.Rev.Lett. 1984. - Vol.53, №10.

248. McDonald S.W., Grebogi C., Ott E., York Y.A. Fractal basin boundary. // Physica. 1985. - Vol.l7D. - P. 125.

249. McDonald S.W., Grebogi C., Ott E., York Y.A. Structure and crises of fractal basin boundary. // Phys. Lett. 1985. - Vol.A107. - P.51.

250. Grebogi C., Kostelich E., Ott E., York J.A. Multi-dimentional interwined basin boundaries: basin structere of kicked double rotor. // Physica. 1987.- Vol.25D.

251. Grebogi C., Ott E., York J.A. Basin boundary metamorphoses: changes in accessible boundary orbits. // Physica. 1987. - Vol.24D. - P.243-262.

252. Grebogi C., Kostelich E., Ott E., York J.A., Multi-dimensional interwined basin boundaries: basin structure of kivked double rotor. // Physica. 1987.- Vol.25D. p.347-360.

253. Eschenazi E., Solari H.G., Gilmor R. Basins of attractions in driven dynamical systems. // Phys.Rev.A. 1989. - Vol.39. - P.2609-2627.

254. Lai Y.C., Grebogi C. Intermingled basins and two-state on-off intermittency. // Phys.Rev.E. 1995. - Vol.52, №4. - P.3313-3316.

255. Mira C., Fournier-Prunaret D., Gardini L., Kawakami H., Cathala J.C. Basin bifurcations of two-dimensional noninvertible maps: fractalization of basins. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. - Vol.4, №2. - P.343-381.

256. Мира К. О бассейнах, порождаемых двумерными необратимыми отображениями. // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. -1996. Т.4, №2. - с.40.

257. Grebogi С., Ott Е., York J.A. Metamorphose of basin boundaries in nonlinear dynamical systems. // Phys.Rev.Lett. 1996. - Vol.56, №10. -P.1011-1014.

258. Inoue M., Nishi Y. Highly complicated basins of periodic attractors in coupled chaotic maps. // Prog. Theor. Phys. 1996. - Vol.95. - P.685-690.

259. Yu. Maistrenko, T. Kapitaniak, and P. Szuminski. Locally and globally riddled basins in two coupled piecewise-linear maps. // Phys. Rev. E. -1997. Vol.56, №6. - p. 6393-6399

260. Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, A. Popovich, and E. Mosekilde. Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic maps. //Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57, №3. - p. 2713-2724

261. T. Kapitaniak, Yu. Maistrenko, A. Stefanski, and J. Brindley. Bifurcations from locally to globally riddled basins. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57, №6. -p. R6253-R6256.

262. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова M.A. Критические явления при гармонической модуляции двухчастотных колебаний. // Письма в ЖТФ. 1985. - Т.11, вып. 9. - С.536-541.

263. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е. Разрушение трехчастотных колебаний и хаос в генераторе при бигармоническом воздействии. // ЖТФ. 1986. -1986. - Т.56, вып. 11. - С.2250-2253.

264. Feudel U., Safonova М.А., Kurths J., Anishchenko V.S. On the destruction of three-dimensional tori. // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1995. - Vol.6, №7. P.1319-1332.

265. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны. // Радиотехника и электроника. 1983. - Т.28, №6. - С. 1136.

266. Я.Г. Синай, в кн. Нелинейные волны. Наука, Москва. -1979. с. 192.

267. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники, т.2. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. Изд. ВИНИТИ АН СССР, Москва .-1985.

268. J.-P. Eckmann and D. Ruelle. Rev. Mod. Phys. 1985. - Vol. 57. - p.617.

269. V. Afraimovich and S.-B. Hsu, Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA. -2003.

270. R.L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, New York.- 1989.

271. E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press. 1993.

272. S.E. Newhouse, Publ. Math. IHES, 50, 101 (1979); V. S. Afraimovich and L.P. Shil'mkov, in book: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I. Barenblatt, G. loss, and D.D. Joseph, Pitman, Boston, London, Melbourne. -1983. p. 1.

273. B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шильников. // ДАН СССР. 1977. -Т.234. -с.336.

274. К. Mischaikow and М. Mrozek. // Bull. AMS. 1995. - Vol.32. - p. 66; Mathematics of Computation. - 1998. - Vol. 67. - p. 1023.

275. K. Mischaikow, M. Mrozek, A.Szymczak. // J. Diff. Equ. 2001. - Vol. 169. — p.l 7.

276. T.J. Hunt and R.S. MacKay. // Nonlinearity. 2003. - Vol 16. - p. 1499.

277. T.J. Hunt. PhD Thesis, Univ. of Cambridge. 2000.

278. V. Belykh, I. Belykh and E. Mosekilde. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. -2005. Vol.15, № 11. (in press).

279. G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli and J.M. Strelcyn. // Meccanica. -1980. Vol.15. -p.9.

280. F. Christiansen and H.H. Rugh. //Nonlinearity. 1997. - Vol.10. - p.l063.

281. Y.-C. Lai, С. Grebogi, J.A. Yorke and I. Kan. // Nonlinearity. 1993. -Vol.6.-p.779.

282. V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, J. Kurths, Т.Е. Vadivasova, and G.I. Strelkova. // Phys. Lett. 2000. - Vol.A270. - p.301.

283. A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, and J.A. Vastano. // Physica. 1985. -Vol.D16.-p.285.

284. Астахов B.B., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. // Радиотехника и электроника. 1987. - Т.32, №12. - С.2558-2566.

285. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнёв Е.П. Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды. // Письма в ЖТФ. 1987. - Т. 13, вып.8. - С.449-452.

286. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем. // ДАН СССР. 1986. -Т.287, вып.З. - С.619 - 622.

287. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах. // Изв.вузов. Радиофизика. 1991. Т.34, №1. - С.35-39.

288. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. // Изв.вузов, Радиофизика. -1988. Т.31, №5. - С.627-630.

289. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ. 1989. - Т. 15, вып.З. -С.60-65.

290. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Мультистабильность в колебательных системах с удвоением периода и однонаправленной связью. // ДАН СССР. 1990. Т.314, №2. - С.332-336.

291. Безручко Б.П., Кулешов А.В., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Нелинейные колебания в резонаторе с варакторным диодом.// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №8. - С.1519—1524.

292. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью. // Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №11. -С.2167-2170.

293. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. // ЖТФ. 1990. - Т.60, вып. 10. - С. 19-26.

294. Астахов В.В., Безручко Б.П, Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода. // Радиотехника и электроника. 1993. - Т.38, №2. - С.291-295.

295. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Как в эксперименте увидеть то «что реально не должно существовать». // Изв. ВУЗов, ПНД. 1993. - Т.1, №1-2. - С.291-295.

296. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами. // Письма в ЖТФ. 1994. - Т.20, вып. 11. - С.78-82.

297. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map. // Chaos, Solitons, Fractals. 1995. - Vol.5, №11.- P.2095-2107.

298. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой. // Письма в ЖТФ. -1994. Т.20, вып. 19. - С.75-79.

299. Безручко Б.П., Смирнов Е.В., Селезнев Е.П. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. 1995. - Т.21, вып.8. - С. 12-17.

300. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов. // Письма в ЖТФ. 1995. - Т.22, вып.6. - С.61-66.

301. Безручко Б.П, Селезнев Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. 1997. - Т.23, вып.4. - С.40-46.

302. Безручко Б.П, ЖалнинА.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи. // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. 1997. - Т.5, №2. - С.48-62.

303. Астахов С.А., Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Селезнев Е.П. Эволюция бассейнов притяжения связанных систем с удвоением периода. // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. 1997. - Т.5, №2. - С.87-89.

304. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Селезнев Е.П. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду (модели, эксперимент). // Изв. ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика. -1999. Т.7, № 1. - С.49-68.

305. Bezruchko В.Р., Kuznetsov S.P., Seleznev Ye.P. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62, №6. - p.7828-7830.

306. Селезнев Е.П., Дудова A.C. Виды симметрии циклов в связанных системах с удвоением периода // Изв. Вузов, ПНД. 2000. - № 2. -С. 16-23.

307. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Эволюция пространства управляющих параметров в модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Изв. Вузов, ПНД. 2001. - Т.9, № 2. - С.39-44.

308. Bezruchko В.Р, Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. On the choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series. // Physical Review E. 2002. - Vol.65, № 2.

309. Безручко Б.П, Иванов P.H., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром. // Письма в ЖТФ. 2002. - Т.28, вып. 11.-С. 58-65.

310. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Влияние асимметрии на фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. 2002. - Т. 28, вып. 13. - С.7-14.

311. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems. // Chaos, Solitons & Fractals. 2003. - №15. - p.695-711.

312. Безручко Б.П, Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметричносвязанных систем с удвоением периода. // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, № 10. - С.47-68.

313. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях. // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, №5. - с. 19-24.

314. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. О размерности аттрактора нелинейного осциллятора. // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. вып. 5. - с.76-81.

315. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия. // Письма в ЖТФ. 2003. - Т.29, вып. 19. - С.69-76.

316. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии. // Письма в ЖТФ. 2005. - Т. № 31, вып.17.-С.13-18.

317. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла-Вильямса. // ЖЭТФ-2006.-Т. 129, вып. 2.-С. 1-13.

318. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П., Яворская Е.Е. Переход к хаосу в нелинейном осцилляторе при импульсном периодическом воздействии. // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, 1984. Кн.2. - С.36-44.

319. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П. Колебательные режимы нелинейного коаксиального резонатора при гармоническом воздействии. // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов.:Изд.СГУ. - 1986. - 4.2. - С.28-31.

320. Astakhov V.V., Bezruchko B.P., Gulyaev Yu.V., Seleznev Ye.P. Multistable states of dissipatively coupled Feigenbaums's systems. // Nonlinear world: Proceedings of the Forth International Workshop. Kiev: Naukova Dumka. - 1989.-Vol.2.-P.338-341.

321. Безручко Б.П, Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и процессы установления колебаний в системах с удвоением периода. // Всесоюзный симпозиум «Физические принципы и методы оптической обработки информации». Гродно. 1991. С.92-95.

322. Bezruchko В.Р., Kipchatov А.А., Krasichkov L.V., Seleznev Ye.P. Complex dynamics of driven piece wise-linear oscillator. // International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications. Hawaii. 1993. -Vol.2.-P.471-474.

323. Астахов B.B., Безручко Б.П, Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность и хаос в замкнутой цепочке элементов с удвоением периода. // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике Саратов: Изд. СГУ, 1992. С. 51-77.

324. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Моделирование нелинейных осцилляторов по экспериментальной наблюдаемой. // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике Саратов: Изд. СГУ, 1992. -С. 35-42.

325. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multistability in a system of two coupled nonautonomous oscillators. // Int. Conf. NOLTA'95. Proceedings Nevada, USA 1995. Vol.1. - P.277-280.

326. Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Chaotic dynamics of a microwave resonator with p-n junction varactor diode. // Fourth International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronics Systems. NDES'96, Seville, Spain, June 27-28. 1996.-P.333-337.

327. Astahkov S.A., Smirnov D.A., Seleznev Ye.P. Multistability and transient processes in coupled period doubling systems. // Fifth International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronics Systems. NDES'97, Moscow. 1997. -P.437-442.

328. Rakitin S.A., Seleznev Ye.P. Dimension estimation of chaotic attractors of the nonautonomous piecewise linear oscillator. // Fifth International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronics Systems. NDES'97, Moscow. 1997. -P.376-380.

329. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. Loss of chaos synchronization in coupled period doubling systems. // Int. Symp. on Nonlinear Theory and its Applications. NOLTA'98. Proc. 1998. Vol.3. -P.l 117-1200.

330. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. On the possibility of constructing a bifurcational diagram from an experimental time series. // Int. Symposium on Nolinear Theory and its Application, NOLTA'2000. Proc. -Vol.2.-p.775-778.

331. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. Test of an Experimental Dependency for Continuity. // Proceedings of the 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, The Netherlands, 2001. P.205-208.

332. B.P.Bezruchko, R.N.Ivanov, V.I.Ponomarenko., Seleznev Ye.P. Experimental observation of fast bifurcations.// Proceedings of the 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, The Netherlands, 2001. P.231-234.

333. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнёв Е.П. Влияние возбуждения и развития новой моды на динамику стохастической системы.// Тез. докл. Всесоюзной конференци "Нелинейные колебания в механиеских системах". Горький, 1987. - С.22-25.

334. Безручко Б.П., Кулешов А.В., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Стохастические колебания в СВЧ-резонаторе с варакторным диодом.// Тезисы докладов XII Всесоюзной научно-технической конференции по твердотельной электронике СВЧ. Киев. 1990. - С.46.

335. Безручко Б.П., Кипчатов А.А., Красичков Л.В., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого кусочно-линейного осциллятора. // III конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 1993.-С.25.

336. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретная модель возбуждаемого диссипативного нелинейного осциллятора. // IIIконференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 1993.-С.24

337. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter one-dimensional map models of dissipative nonlinear oscillator.// II Международная школа-семинар «Dynamic and Stochastic Wave Phenomena». N. Novgorod. 1994. P.51

338. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Нелинейные колебания осциллятора с «мягкой пружиной» (дискретные модели). // IV Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 1996. С.14-15.

339. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением периода. // IV Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 1996.-С. 13.

340. Селезнев Е.П. Структура пространства параметров неавтономного осциллятора с кусочно-линейной характеристикой.// IV Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 1996. С. 137.

341. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе связанных осцилляторов с симметричным потенциалом. // IV Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н. Новгород. 1996. С. 137.

342. Bezruchko В.Р., Seleznev Ye.P. Features of parameters space structure for oscillator with asymmetric soft-spring behavior. // Int. Conf. ICND-96. Saratov. Book of abstract. 1996. P.32.

343. Ponomarenko V.I., Rakitin S.A., Seleznev Ye.P. Multistable periodic and chaotic states in symmetrically coupled period doubling systems. // Int. Conf. ICND'96. Saratov. Book of abstract. 1996. P. 146.

344. Bezruchko B.P., Ponomarenko V.I., Seleznev Ye.P. Critical phenomena and fractality of attraction basin boundary in unidirectionally coupled period doubling systems. // Int. Conf. ICND'96. Saratov. Book of abstract. 1996. -P.31

345. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Фрактализация границ бассейнов притяжения в однонаправленно связанных системах с удвоением периода. // Международная конференция «Проблемы фундаментальной физики». Москва. 1996. С.117.

346. Диканев Т.В., Селезнев Е.П. Влияние неидентичности на режим хаотической синхронизации в связанных системах с удвоением периода. // Международная школа-семинар «ХАОС'98». Саратов. 1998.

347. Дудова А.С., Селезнев Е.П. Эволюция тора в связанных системах с удвоением периода. // Международная школа-семинар «ХАОС'98». Саратов. 1998.

348. Иванова А.С., Селезнев Е.П. Влияние асимметрии на бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением периода. // Международная школа-семинар «ХАОС'98». Саратов. 1998.

349. КапреевИ.Н., Селезнев Е.П. Эволюция бассейнов притяжения регулярных аттракторов в одно направленно связанных системах с удвоением периода. // Международная школа-семинар «ХАОС'98». Саратов. 1998.

350. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Восстановление дифференциальных уравнений неавтономной динамической системы по экспериментальным данным. // Международная школа-семинар «ХАОС'98». Саратов. 1998.

351. Иванова А.С., КапреевИ.Н., Селезнев Е.П. Бассейны притяжения в связанных системах с удвоением периода. // V Международнаяконференция «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. 1999.-С. 105-106.

352. Дудова А.С., Селезнев Е.П. Виды симметрии циклов в связанных системах с удвоением периода. // V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. 1999. -С.95-96.

353. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду. // V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 1999. Нижний Новгород. С.25-26.

354. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Нелинейный электрический маятник. // Учебно-методическое пособие. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж». 1999. 33 с.

355. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Динамика модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Вторая международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000.

356. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Моделирование гармонически возбуждаемых систем по временным рядам. // Вторая международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000. Материалы конференции. С.35-36.

357. Селезнев Е.П. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Международная конференция «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ». 2001. Саратов. Изд. СГУ. С. 140-142.

358. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальное наблюдение быстрых бифуркаций. // Международная конференция «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ». Саратов. Изд. СГУ. 2001. С. 13-15.

359. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Влияние асимметрии на свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Международная школа «ХАОС-2001». Тезисы докладов. Саратов. 2001. с.107-108.

360. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальное исследование быстрых бифуркаций. // Международная школа «ХАОС-2001». Тезисы докладов. Саратов. 2001. с.72-73.

361. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. О размерности хаотического аттрактора неавтономного нелинейного осциллятора. // Межд. конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н. Новгород. 2002. Тезисы докладов. С.74.

362. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях. // Межд. конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н. Новгород. 2002. Тезисы докладов. С.75.

363. Seleznev Ye.P. Fractal properties of synchronous chaos in coupled nonautonomous nonlinear oscillators. // International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics". N. Novgorod. Russia. Proceedings. 2003.-p.99-100.

364. Сысоев И.В., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А., Безручко Б.П. Реконструкция эквивалентных характеристик полупроводниковых устройств по временным рядам. // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. - с.114.

365. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с. 197.

366. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Динамика неавтономных осцилляторов с диссипативной связью и иррациональным соотношением частот. // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с.198.

367. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Рождение и синхронизация трехмерного тора в неавтономных осцилляторах с реактивной связью. // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с. 199.

368. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Сысоев И.В. Способ определения характеристик нелинейных устройств. // Патент на изобретение №2265859.1. БЛАГОДАРНОСТИ