Методы исследования устойчивости нестационарных систем автоматического управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

р. а

V 1 1

1 '» ШОП 1537

На правах рукописи

Богданов Андрей Юрьевич

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ '

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 1997

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор A.C. Андреев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д.Я. Хусаинов кандидат физико-математических над доцент А.И. Маликов

Ведущая организация - Иркутский Вычислительный Центр СО

РАН

Защита диссертации состоится цЦОНй 1997 г. в ча

сов на заседании диссертационного совета КОБЗ.37.03 по защите дне сертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Ульяновском государственном университете ( 432700 Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского го сударственного университета.

Автореферат разослан "rff" iM^S 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Е.А. Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из наиболее важных задач теории автоматического управления является задача априорного качественного анализа динамики управляемой системы, по результатам которого обеспечивается устойчивый режим работы сложного технического объекта, адекватная математическая модель которого описывается нелинейными уравнениями. Наиболее мощным и универсальным методом исследования устойчивости нелинейных систем является второй (или прямой) метод A.M. Ляпунова, требующий построения функций, обладающих специальными свойствами на траекториях исследуемой системы. Первоначально этод метод был ориентирован на исследование устойчивости систем ОДУ. В дальнейшем, показав свою большую эффективность, он был развит для систем с распределенными параметрами (A.A. Мовчан, Т.К. Снразетдинов и др.), систем автоматического управления (H.H. Красовский, A.M. Летов), импульсных систем (Я.3. Цыпкин, В.М. Кунцевич, А. Халанай и др.), стохастических систем (И.Я. Кац, Г.Н. Милынтейн, Е.Ф. Царьков и др.), многомерных систем (В.М. Матросов, A.A. Мартынюк и др.), общих динамических систем (В.И. Зубов, С.Н. Васильев, A.A. Шестаков, М. Месарович и др.), систем с отклоняющимся аргументом (Н.В. Азбелев, H.H. Красовский, А.Д. Мышкис, Дж. Хейл и др.).

Задача исследования устойчивости управляемых систем, кроме своего самостоятельного значения, в большинстве случаев является необходимым этапом и при решении широкого класса оптимизационных задач. Причем, в отличие от классического подхода, когда свойства устойчивости системы управления, уже построенной на основе каких-либо эвристических методов, исследовачись вторым методом Ляпунова, в настоящее время насущной задачей стала разработка формализованного и детерминированного метода синтеза устойчивых систем управления. Следует отметить, что на путях решения этой задачи сделаны лишь первые шаги и полученные конструктивные результаты охватывают лишь небольшой класс систем. В первую очередь это объясняется трудностями построения функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям той или иной классической теоремы A.M. Ляпунова или их позднейших модификаций. Тем не менее, ввиду высокой эффективности, универсальности, а в некоторых случаях и уникальности второго метода Ляпунова, научные исследования, направленные

на ослабление условий относительно функции Ляпунова, обеспечивающей желаемое поведение решений системы, продолжают неуклонно и настойчиво осуществляться во всем мире.

Все более широкое использование вычислительной техники в управлении сложными системами стимулирует увеличение научных изысканий по теории дискретных управляемых систем и ее приложениям к решению прикладных задач.

Тема настоящей диссертации входит в научную программу "Университеты России", проект N 3.3.1.

Цель работы. Разработка новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости для нестационарных нелинейных дискретных систем на основе функции Ляпунова со знакопостоянной производной (первой разностью) путем построения топологической динамики, предельных систем и предельных функций Ляпунова. Получение новых методов синтеза асимптотически устойчивых нестационарных нелинейных систем управления, как непрерывных, так и дискретных. Разработка новых методов стабилизации нестационарных нелинейных дискретных систем без потерь при управлении по неполным данным. Определение условий эквивалентности по обратной связи произвольной управляемой дискретной системы с выходами и системы без потерь, определение стабилизирующего управления для общего случая. Исследование ряда задач прикладного характера.

Методы исследования. Для получения фундаментальных результатов, представленных в диссертации, использованы методы математической кибернетики, функционального анализа, теории устойчивости движения, теории автоматического управления, теории импульсных систем.

Достоверность результатов диссертации обосновывается приведенными доказательствами всех теорем и утверждений.

Научная новизна. Общая методология работы основывается на подходе A.C. Андреева (1984) к исследованию устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений, который был перенесен и развит для класса дискретных управляемых систем путем построения топологической динамики этих систем. Развиты известные методы синтеза асимптотически устойчивых непрерывных и дискретных нелинейных нестационарных систем управления путем ослабления условий на функцию Ляпунова и ее производную, что делает возможным

стабилизацию при неполной обратной связи. Впервые введено понятие нестационарной нелинейной дискретной системы управления без потерь. На основе новой концепции нуль-наблюдаемости нестационарных нелинейных дискретных систем без потерь получены новые результаты о локальной и глобальной стабилизации таких систем по неполным данным. Получены необходимые и достаточные условия эквивалентности по обратной связи произвольной дискретной системы, управления с выходами и системы управления без потерь, определены общая и частная формы закона обратной связи для локальной и глобальной стабилизации системы общего вида.

Теоретическая и практическая значимость. Научная и практическая значимость работы определяется тем, что совокупность общих теорем, полученных в диссертации, представляет собой эффективный инструмент решения задач об устойчивости нестационарной нелинейной дискретной системы (например, задача об асимптотической устойчивости и неустойчивости дискретной эпидемической модели), широкого класса практически важных задач синтеза устойчивых управляемых систем, примером чего служит рассмотренная в диссертации задача об управлении нестационарными режимами в ядерном реакторе. Особо следует подчеркнуть новые результаты о стабилизации дискретных нестационарных нелинейных систем по неполным данным, что имеет прямое практическое приложение к построению систем управления реальными техническими объектами с помощью ЭВМ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Проведено развитие методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости решений дискретных нелинейных нестационарных систем путем построения топологической динамики этих систем и использования функций Ляпунова, имеющих лишь знакопостоянную производную. Эффективность метода показана на примере дискретной эпидемической модели.

2. На основе топологической динамики непрерывных систем и метода предельных функций Ляпунова развиты известные и получены новые достаточные условия стабилизируемое™ по неполным данным непрерывных нелинейных нестационарных управляемых систем общего вида при скалярном и векторном управлениях.

3. Получены новые методы синтеза асимптотически устойчивых непрерывных линейных и нелинейных систем управления с выделен-

ной линейной частью при использовании функций Ляпунова вида '"квадратичная форма фазовых координат" и линейного управления. Показана возможность стабилизации таких систем с помощью нелинейного управления.

4. Проведено решение задачи устойчивого управления нестационарными режимами ядерного реактора. При этом рассмотрены: модель гомогенного реактора с линейной температурной обратной связью с учетом всех шести групп запаздывающих нейтронов при внешнем управлении реактивностью; усложненная модель реактора с нелинейным динамическим регулятором.

5. Для дискретных управляемых систем общего вида получены достаточные условия оптимальной относительно функции Ляпунова стабилизации по неполным данным при скалярном управлении.

6. Решена задача синтеза асимптотически устойчивых дискретных линейных и нелинейных управляемых систем с выделенной линейной частью при линейном, оптимальном относительно функции Ляпунова управлении.

7. Получены новые достаточные условия глобальной стабилизации и явный вид стабилизирующего управления для дискретных нестационарных систем управления без потерь на основе топологической динамики этих систем. Определены необходимые и достаточные условия эквивалентности по обратной связи произвольной дискретной системы управления и системы без потерь, найден стабилизирующий закон управления в общем случае.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

— 5 Международном коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений (г. Сегед, Венгрия, 1996 г.)

— Международном конгрессе "Молодежь и наука: третье тысячелетие" (г. Москва, 1996 г.)

— XI Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (г. Ульяновск, 1996 г.)

— XVII Конференции молодых ученых (г. Москва, 1995 г.)

— Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 1995, 1996 гг.)

— Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (г. Ульяновск, 1996 г.)

— III-V ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1994, 1995, 1996 гг.)

Личный вклад. Основные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем проф. A.C. Андреевым. Доказательство всех утверждений и теорем, исследование приложений, анализ результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 87 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем -- 131 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов. Здесь же определяются цель исследования, научная новизна и практическое значение. Кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются системы разностных уравнений общего вида

х(п + \) = Х{п,х{п)), (1)

где Х{п,х) : G = Z+ х Г —ь Г , Г - некоторая область пространства Rn. содержащая точку х = 0. Пусть х = х(п), х' = х(п + 1).

§1.1 содержит основные определения притяжения и устойчивости по Ляпунову. Здесь же отмечаются особенности поведения решений дискретных систем в отличие от непрерывных.

В §1.2 строится топологическая динамика неавтономных дискретных систем, которая заключается в следующем. Пусть функция Х(п, х) удовлетворяет следующим условиям:

У1) Х(п,х) ограничена на Z+ для любого фиксированного х 6 Г.

У2) Для каждого компакта К С Г функция Х(п, х) непрерывна по х £ К равномерно по п £ Z+.

Обозначим F - множество всех непрерывных по х функций F = {X : Z^. х Г —> Г}. Рассмотрим следующие три типа сходимости на F:

Ci. Xk X, если Хк(п,х) -» Х(п,х) для V(n,x) € G — Z+ х Г.

С2. Xk -> X, если из Xk -> х 6 Г следует Xk(n,Xk) -4 Х(п,х) для

Vn £ Z+.

Сз- Xk —> X, если сходимость равномерна на компактах в G.

. Лемма 1.1 Если Х{п,х) удовлетворяет условиям У1) и У2), то по отношению к последовательности сдвигов {Хк{п,х) = Х(п + к, х), к £ Z+} три сходимости СьСг и Сз эквивалентны.

Лемма 1.2 Если Х(п,х) удовлетворяет условиям У1) и У2), то семейство сдвигов {Хь{п,х) = Х(п + к,х),к £ Z+} содержится в компактном семействе функций F0 С F,F = {Ф : G-> Г}.

При этом для каждой последовательности Пк —> -f-oo существуют подпоследовательность п^ —> +оо и функция Ф £ F0 такие, что последовательность сдвигов {Xj(n, х) = X^kj+n^)} сходится к Ф(п.х) (относительно любой из сходимостей Ci,Ci или Сз) и Ф(п,х) удовлетворяет условиям У1) и У2).

Функция Ф(п. х) называется предельной к Х(п,х), а система х' = Ф(п,х) называется предельной к (1).

Определение 1.12. Множество М С Г квазиинвариантно относительно семейства систем {х' = Ф(п,х),Ф С Fo}, если для любой точки хо £ М существует решение ip(n,riQ,XQ) хотя бы одной из систем семейства х' = Ф^{п,х) такое, что <¿¡(n, tiq,xq) £ М для Vn > щ.

Теорема 1.1 Для каждого решения системы (1) х(п,по:хо), определенного для всех п> щ, множество его предельных точек ш+(х(п, щ,х0)) П Г квазиинвариантно относительно семейства предельных к (1) систем {х1 — Ф(п,х)}.

Такое представление предельного множества позволяет исследовать зависимость свойств устойчивости решений исходной системы и свойст устойчивости решений предельных систем. Это исследование проведено в §1.3. Кроме теорем, подобных теоремам для случая непрерывных систем, здесь доказана следующая специальная для дискретных систем теорема об определении области равномерного притяжения.

Теорема 1.5 Предположим, что

1) решение х = 0 системы (1) равномерно устойчиво;

2) замкнутая область Г\ является областью притяжения точки х — О для всех предельных систем в момент времени щ — 0;

3) для любых щ £ Z+ и £о € Л) существует последовательность щ = 7/i(no,a;o) £ Мк +оо и решение системы (1) х(п, щ,хо) : х(по + т]к,по,хй) £ для всех к.

Тогда Го является областью равномерного притяжения точки х = 0 для исходной системы (1).

Приведены различные примеры, показывающие эффективность по-

лученных результатов.

'В §1.4 проводится развитие метода функций Ляпунова путем синтеза свойств предельных функций Ляпунова и предельных систем. В роли функций Ляпунова рассматриваются функции V — V(n, х) : G —» R, непрерывные по х при каждом п Е Z+. Предполагается, что для любого компакта К С Г существует число v* такое, что для всех (п,х) G Z+ х К выполняется

V(n,x)>uk. (2)

Будем также предполагать, что производная (первая разность) V(n, х) в силу системы (1) оценивается неположительной функцией для всех (п,х) 6 G :

V{n,x) =V{n + l,X(n,x)) -V(п,х) < -W(n,x) < 0 , (3)

где функция W(n, х) : G —> R+ непрерывна по х при любом п 6 Z+, а также удовлетворяет условиям типа У1) и У2).

Доказанную здесь следующую теорему 1.6 можно отнести к теоремам "принципа инвариантности''. Теорема 1.6 Допустим, что

1) система (1) удовлетворяет условиям предкомпактности;

2) функция V = V(n,x) удовлетворяет условиям (2) и (3);

3) решение системы (1) х(п,щ,хо) ограничено некоторым компактом К С Г при всех п > «д.

Тогда множество предельных точек и+(х(п, щ, xq)) содержится в mj~ при определенном значении с = cq.

В §1.5 устанавливаются достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (1), основанные на идеях прямого метода Ляпунова и принципа квазиинвариантности. Эти утверждения в известном смысле обобщают дискретные аналоги теорем A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, Е.А. Барбашина, H.H. Красовского и других авторов. А именно, требование строгой отрицательности производной функции Ляпунова в этих теоремах может быть ослаблено до ее неположительности благодаря представлению предельного множества {х(п,щ,х^)) решения х(п,щ, xq) системы (1) в виде объединения решений предельных систем.

Примеры применения теорем §1.5 представлены-в §1.6, где рассмотрены дискретные математические модели второго и третьго порядков, описывающие течение болезни в некоторой биологической системе.

Во второй главе исследуется вопрос о применимости новых методов исследования асимптотической устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений к задаче синтеза управления с обратной связью для нестационарной системы автоматического управления следующего вида

х=Х{Ь,х,и), Х(*,0,0) = 0, (4)

где х — га-мерный вектор фазовых координат, II — ш-мерный вектор управлений, формируемых управляющим устройством на основе обратной связи II — х), 17^,0) = 0.

В §2.1 излагается математическая постановка задачи о синтезе управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость в целом и в заданной области, и некоторые новые методы ее решения на основе функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную. Кроме того, рассматривается задача об управлении с гарантированной оценкой качества.

Предполагается, что V — х) определяется при всех í 6 В.+ , х £ Г С Яп, где Г — некоторая открытая область, содержащая точку х = 0, = [0, +оо), а вектор-функция Х^,х,11) определена для всех t£Rr, х £ Г и любых и е Ят.

Из условий Х(£,0,0) = 0 и £/(¿,0) = 0 следует, что уравнение (2.1) имеет нулевое решение х(£) = 0, соответствующее стабилизируемому состоянию или движению управляемой системы.

Задача о синтезе стабилизирующего управления II: Я+ х Г —> Г{т состоит в нахождении такого закона управления с обратной связью II — и^,х) , [/(¿, 0) = 0, который обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения х = 0 системы (2.1) в целом в области Г.

Предположим, что среди управлений II — , С/*(£,0) = 0 су-

ществует непустой класс Б = {II — £/(<, х) , II(1,0) = 0}, для которого выполняются следующие условия относительно функции х, £/(£, х)).

Для каждого компакта К С Г и любого фиксированного управления и = и^,х) € И функция Х(£,х, [/(¿,х)) удовлетворяет соотношениям:

х, £/(*,*))|| < \к{1) (5)

\\Х{Ь,х2,и{1,х2)) - Х^хии^х!))]] <%-(£)||-х:Ц (6) где определяемые компактом К две локально интегрируемые функции Ли 1]к{Ь) € Ьхдос таковы,'что: имеется число N — ЛТ{К) и для

произвольного малого числа е > 0 найдется число 6 — 5(К, е) > О такое, что для любого t > 0 и любого множества Е С [t, t + 1] мерой mes Е < S выполнены неравенства

JE Ai<(r)dT < £ , ftt+1 rjK(r)dr < N (7)

то есть функция Лx(t) равномерно непрерывна в среднем, a î]r<(t) равностепенно ограничена в среднем.

При выполнении условий (о)-(7), функция X(t,x,U(t,x)) = X(t,x) имеет семейство предельных, функций

{0(t, г)} = JimХ(т + tn, х, U(r + tn, z))dr} (8)

Таким образом, в условиях (5)-(7) система (4) предкомпактна в классе систем {х — <P(t,x)} и ее предельными системами являются системы дифференциальных уравнений.

Функция Ф(£,х), определяемая соотношением (8), также удовлетворяет условиям вида (5)-(7). Поэтому для каждого начального условия x(to) = го : (¿О)1!)) € х Г ПРИ управлении U G D решение системы х = X(t,x,U(t,x)) и решение предельной системы х == €>(t,x) единственны.

Пусть V = V(t,x), V G Cl(R+ х Г R) есть функция Ляпунова. Тогда ее полная производная по времени в силу системы (4) при управлении U = U(t, х) вычисляется по формуле

(dV\T dV

Допустим, что производная функции Ляпунова имеет оценку

V(4){t,x) < —W(t,x) < 0 , Vx £ Г, t>t0 ,

где W(t. x) — некоторая заданная неотрицательная функция такая, что {W(t + г, я)} G Fn , где Fn - компактное семейство функций {П : G —> /?+}■ Конкретно, W(t,x) удовлетворяет условиям типа (5)-(7). Тогда семейство сдвигов {WT(t,x) = W(t + т,х), т G Я+} будет содержаться в Fn, и, следовательно, оно предкомпактно в Fn- Отсюда для каждой последовательности tk —> +оо существуют подпоследовательность tkj —> +оо и функция П G Fn такие, что последовательность сдвигов {Wj(t,x) = W(tkj + t,x)} сходится к Q(t,x). Функция Çî(t,x) называется предельной к W(t, х).

В дальнейшем также используются понятия предельной пары, соответствующего множества с), наибольшего инвариантного относительно решений предельных систем множества, введенные в работах A.C. Андреева 1 (для дискретных систем соответствующие определения введены в главе 1).

В §2.2 получены достаточные условия стабилизируемости непрерывных систем вида (4) со скалярным управлением

х = X(t,x,u) = F(t,x) + B(t,x)u , (9)

где F(t,x) и B(t,x) — n-мерные вектор-функции, удовлетворяющие условиям предкомпакности предыдущего параграфа. Доказанные здесь общие теоремы о стабилизации разных типов позволяют значительно расширить как класс систем, так и класс стабилизирующих управлений, ввиду ослабления условий, которым должна удовлетворять функция Ляпунова. Например, имеет место следующий результат.

Теорема 2.1 Предположим, что

1) в области Г с Rn существуют положительно определенная, допускающая бесконечно малый высший предел функция Ляпунова V(t,x) : О < ^idl^ll) < V(t,x) < w2(|M|), V(t,x)=$ + oo при x ->• дГ, и функция W[t,x) > 0 такие, что

fdV\T 8V

ß(t, x, 0) - l^-J F(t, x) + + W(t, x) < 0

на множестве

2) существует скалярное управление u(t,x) 6 D, удовлетворяющее соотношению

u(t,x)sign(\(t,x)) < v при A(t,x) /0

3) для любой предельнойк (X(t,x,u{t,x)),W(t,x)) пары (<I>(t.x),Q(t,x) множество решений системы х = 0{t,x), содержащихся в множестве {fi(f, х) = 0}, состоит из нулевого решения х = 0.

1 Андреев А С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы// ПММ. - 1984. Т.43. Вып.2. - С.225-232.

Тогда управление u(t,x) стабилизирует систему (9) в области Г до равномерной асимптотической устойчивости. (Если Г = Rn, то система (9) стабилизируема до равномерной асимптотической устойчивости в целом.)

Далее рассмотрена задача синтеза непрерывных систем с выделенной линейной частью при скалярном управлении. Прежде всего рассматривается класс линейных непрерывных нестационарных систем вида

х = X{t,x,u) = A(t)x + B(t)u , (10)

где A(t) — ограниченная функциональная матрица размерности (n х п), а B{t) — ограниченный n-мерный функциональный вектор.

Рассмотрим функцию Ляпунова вида V(t, х) = xTP{t)x , где PT(t) = P(t) >0— функциональная матрица размерности (пхп), где матрица P(t) £ С1, такая что P(t) > p0I, ||P(i)|| < Рь Ро,Р\ > 0. Таким образом, по определению, функция V(t,x) является положительно определенной, допускающей бесконечно малый высший предел.

Оценку сверху производной функции Ляпунова W{t.x) также примем в виде квадратичной формы W(t,x) = xTQ(t)x , где QT(t) — Q(t) > 0 — функциональная матрица размерности (пхп), |[Q(t)|| < <7о, ?о > 0.

Определение 2.2 Пусть U(t) и V(t) - две матрицы, размерности пхп, имеющие непрерывные производные до порядка п — 1 включительно в интервале (г — 5, т + S), т £ R, 5 >0. Будем говорить, что пара матриц [U(t), V(t)) наблюдаема, если для точки г, выполнено гап^Кг К2 ... Кп\г = п. Здесь К, = U(t), К{ = +

2 < i < п.

Матрицу K(t) = [A'i Ki ... Кп]т назовем матрицей наблюдаемости пары (U(t),V(t)).

Допустим, что для каждой предельной пары (Q* (t), А* (t)), существует точка т £ R, в окрестности (г — S, т-\-8) которой матрицы Q*(t) и A*(t) имеют неирерыпные производные до порядка п — 1 включительно. Тогда имеет место следующий результат.

Теорема 2.4 Управление u(t,x) — CT[t)x стабилизирует систему (10) до равномерной асимптотической устойчивости в целом, если

1) существуют п-мерный функциональный вектор C(t), положительно определенная при всех t > to функциональная матрица P(t) = PT(t) и знакоположительная при t > ¿о функциональная матрица Q(t) =

QT[t) > 0 такие, что матрицы

Q(t) = ~{P(t) + P(t)[A(t) 4- B(t)CT(t)]+ +[A(t) + B(t)CT(t)}TP(t)}>0

и AQ(t) ~ Q(t) — Q(i) > 0 неотрицательны для всех t > ip;

2) каждая предельная пара (Q*(t), A*(t) + B*(t)C* (t)) наблюдаема.

Введенное далее понятие строгой наблюдаемости пары матриц позволяет упростить проверку пункта 2) теоремы 2.4, заменив требование наблюдаемости каждой предельной пары строгой наблюдаемостью исходной пары матриц.

Привлекая далее так называемую "геометрическую лемму" В.М. Кунцевича, получены конструктивные условия стабилизируемости нелинейных систем с выделенной линейной частью вида

х = A(t)x + D(t) <P(t, v) + B{t)u ,

где A(t) и B{t) те же, что и в (10), D(t) — функциональная матрица размерности (n х г), 0(t, v) — [fj{t,Uj)] ,j — 1,2,..., г — r-мерная вектор-функция, Uj = Cj(t)x (Cj(t) - функциональные n-мерные векторы), <pj(t,!/j) — скалярные нестационарные нелинейности, удовлетворяющие условиям 0 < Vj{t,vj)vj < kji/j , kj — const.

В §2.3 определяются достаточные условия стабилизируемости непрерывных систем вида (9) с векторным управлением. Наиболее существенное отличие рассматриваемой задачи определения векторного стабилизирующего управления от аналогичной задачи со скалярным управлением состоит в том, что для отыскания т компонент вектор-функции управления, имеется лишь одно скалярное неравенство. Таким образом, в отличие от случая скалярного управления, здесь необходим некоторый формальный алгоритм нахождения компонент векторного стабилизирующего управления. В качестве такого алгоритма предложен метод последовательного определения компонент векторного стабилизирующего управления.

В этом параграфе рассматривается также задача синтеза непрерывных систем с выделенной линейной частью при векторном управлении. Методика получения условий стабилизируемости и ограничений на стабилизирующее управление в случае векторного управления аналогична скалярному случаю. Поэтому для нелинейных систем с векторным управлением условия стабилизируемости будут иметь тот же вид, что и в случае скалярного управления.

В §2.4 излагаются примеры приложения полученных результатов к проблеме устойчивого управления нестационарными режимами в ядерном реакторе. Представленные нелинейные нестационарные математические модели в полной мере, несмотря на их относительную простоту, учитывают все основные физические особенности реакторов с неподвижным топливом и адекватно описывают динамику реактора как сложного многопараметрического объекта управления.

В третьей главе решается задача синтеза для нестационарной нелинейной дискретной системы управления с обратной связью.

В вводном §3.1 рассматривается дискретная управляемая система, описываемая нелинейным разностным векторным уравнением

х(к + 1)=Х(к,х(к),и{к,х{к))), Х{к,0,0) = О (И)

где х Е Г С Лп — вектор состояния, II 6 В.т — вектор управлений, т < л; X : х й" х Дт —> В!1 — заданная вектор-функция, непрерывная по х и непрерывно дифференцируемая по II почти всюду, за исключением конечного числа точек, при любом ^ 6 Предполагается, что II — и(к,х) £ И — специальному классу управлений, при котором выполняются условия предкомпактности правой части системы (11), определенные в главе 1.

Указывается следующее важное свойство решаемой проблемы.

При использовании метода функций Ляпунова решение широкого спектра задач, связанных с проблемой построения законов управления с обратной связью V — и(к,х(к)). обеспечивающих в том или ином смысле устойчивость и сходимость дискретного процесса, порожденного системой (11), сводится к выполнению соотношения

У(к,х) = У(к + 1,Х(к,х,(/(к,х)) -У(к,х) < -\¥{к,х) < 0 (12)

где У(к, х) и IV(к, х) — некоторые неотрицательные функции. Область выполнения неравенств (12), а вследствие этого и требования, предъявляемые к функции Ляпунова У (к, х) и к оценке ее производной IV(к, х), зависят от конкретной постановки задачи и определяются на основании соответствующих теорем прямого метода Ляпунова. Так как многие теоремы прямого метода Ляпунова допускают обращение, соотношение (12) может представлять собой необходимые и достаточные условия стабилизации управляемой системы.

В этом же параграфе рассматриваются понятия оптимального по принуждению и оптимального по отношению к функции Ляпунова закона управления.

В §3.2 для дискретной системы (11) рассматривается задача отыскания скалярного управления с обратной связью и(к) = и(к,х(к)), доставляющего нулевому решению системы

х(к + 1) = Х{к,х(к),и{к,х{к))), Х(к,0,0) = 0 (13)

асимптотическую устойчивость в области Г С Л".

Используя теоремы 1.6 - 1.9 главы 1, в предположении, что

3(к,х(к).и(к,х(к))) = У(к + 1,Х(к,х(к),и(к,х(к))))-У{к,х(к)) +

+И'(£,:г(&)) < 0 , Ух (к) 6 Г и к > щ (14)

получены достаточные условия стабилизируемости и найдено скалярное стабилизирующее управление и(к,х(к)) для систем вида (13). Теорема 3.1 Предположим, что

1) в области Г С Я.п существуют положительно определенная, допускающая бесконечно малый высший предел функция Ляпунова V{к, х), У{к,х)=$ + оо при х —> дГ, такая, что для произвольных х(к) £ Г и

к > щ существует хотя бы одно решение уравнения

ММк),*) = дУ{к + 1 ^^),и))дХ{кМк),и) = 0

вида и = й(к,х(к)) £ И такое, что для некоторой заданной в Г неотрицательной функции Ш(к,х), удовлетворяющей условиям предком-пактности, выполнено неравенство

/3{к,х{к),й{к,х(к))) < 0 , Ух {к) £ Г шк>п0 ,

где функция /З(-) задается выражением (14).

2) для любой предельной к [Х(к,х,й(к,х)),\У(к,х)) пары (Ф(к,х),П(к,х)) множество решений системы х' = Ф(к,х), содержащихся в множестве {П(^,а;) = 0} состоит из нулевого решения х = 0.

Тогда скалярное управление й(к,х(к)) стабилизирует систему (13) в области Г до равномерной асимптотической устойчивости. (Если Г = Яп, то скалярное упраление й(к,х(к)) стабилизирует систему (13) до равномерной асимптотической устойчивости в целом.)

В качестве конкретного примера синтеза рассматривается класс линейных дискретных нестационарных систем вида

х(к + 1) = А(к)х(к) + В(к)и(к), (15)

где А(к) — ограниченная функциональная матрица размерности п х п, В(к) — ограниченный n-мерный функциональный вектор. Рассмотрим функцию Ляпунова вида V(k,x) = хтР(к)х , где Рт(к) = Р(к) > 0 — ограниченная функциональная матрица размерности п х п. Функцию W(k,x) также примем в виде квадратичной формы W(k,x) = xTQ(k)x , где QT(k) = Q(k) > 0 — ограниченная функциональная матрица размерности п х п.

Для линейных дискретных систем условие 2) теоремы 3.1 может быть записано в явном виде. Примем следующие определения.

Определеление 3.1 Пусть U(k) и V(k) — две матрицы размерности тг х п. Будем говорить, что пара матриц (U(k),V(k)) наблюдаема, если гапк[К\ А'г ... А"„]т = п , Vfc 6 где К\ = U(k),...,Ki = U(k + i - 1 )V{k + i - 2) • • ■ V(Jfc) , i > 1.

Матрицу К (к) = [К\ Кi ... Кп]т назовем матрицей наблюдаемости пары (U(k),V(k)).

Определение 3.2 Пару матриц (U(k),V(k)) назовем строго наблюдаемой, если для любой последовательности п^ +оо существует матрица Gnk размерности п х п, составленная из произвольных строк матрицы наблюдаемости К{гц.) пары (U(k),V(к)) такая, что"определитель |det [G„J| > 5q — const > 0.

Теорема 3.3 Линейное управление

ö(Jfc, х{к)) = ~{Вт{к)Р(к + 1 )В{к))-1Вт{к)Р{к + 1)А(к)х(к)

стабилизирует систему (15) до равномерной асимптотической устойчивости в целом,если

1) существует n-мерный функциональный вектор С (к), положительно определенная при всех к > п0 функциональная матрица Р(к) = Рт(к) > 0 и знакоположительная при к > щ функциональная матрица Q(k) = QT{k) > 0 такие, что выполнено неравенство

(А(к) + В{к)Ст(к))тР{к + l)(A(fc) + В{к)Ст{к)) - Р{к) + Q(k)~

-(Вт(к)Р{к + 1 )В{к))~1[(А{к) + В{к)Ст{к))тР{к + 1 )В{к)Вт{к)-■Р(к+1)(А(к) + В(к)Ст(к))]<0 Чк > по

2) пара (Q(k),A{k)-(BT(k)P{k+l)B{k))~1BT{k)P{k+l)A{k)) строго наблюдаема.

Привлекая далее "геометрическую лемму" В.М. Кунцевича, получены конструктивные условия стабилизируемости нелинейных дискретных систем с выделенной линейной частью вида

х(к + 1) = А{к)х{к) + Щк) Ф{к, и) + В{к)и{к) , (16)

где А(к) и В(к) те же, что и в (15), Е>(к) — функциональная матрица размерности (п х г), Ф{к,и{к))_— [щ{к,ц(к))] ^ — 1,2, ....г -г-мерная вектор-функция, ц(к) = С?(к)х(к) {С^(к) — функциональные п-мерные векторы), ц(к)) — скалярные нестационарные нелинейности, удовлетворяющие условиям 0 < < к^{к)и]{к) , 0 < к]{к) < +ос

В §3.3 изучается проблема глобальной стабилизации нестационарной нелинейной дискретной системы с выходами вида

х(к+ 1) = 1(к,х{к)) + д(к,х(к))и(к)

у (к) = Цк,х(к)) + J{k,x{k))u{k)., (17)

где х 6 Яп, и Е Ят, у 6 В."1', /,(?,/г,/ - гладкие отображения допустимых размерностей, удовлетворяющие условиям предкомпактности главы 1. Предполагается, что f(k,0) = 0,/г(&,0) = 0.

Систему (17) будем называть системой без потерь, если существуют неотрицательная функция Ляпунова V : х Д" У(гг,0) = 0,

такая, что для всех и Е Вт и всех к £ 2л. выполнено

У [к + 1, х{к + 1)) - У{к, х{к)) = уТ(к)и(к).

Теорема 3.5 Система (17) с С2 функцией Ляпунова У(к,х) является системой без потерь, если и только если А1)

У(к + 1Лк,х))=У(к,х), ЭУ{к + 1,а)

дт{к,х]

да

д2У{к + 1,а)

д(к, х) = кт(к, х),

а—/{к,х)

д{к,х) = Зт(к,х) + 3(к,х).

а—/[к,х)

да2

А2) У(к + я) +д(к,х)и) квадратична по и.

Далее определяется /¿°(х) = х,^(х) = f(k,x),...Jlk(x) = /{к + г — 1,/^_1(х)). Тогда (р(к,х,п) — является решением системы

х(к + 1) = /(к,х(к)),х(щ) — х,к > щ.

Определение 3.3 Система (17) локально нуль-наблюдаема, если существует окрестность V для х = О такая, что из выполнения для любого х(щ) = х £ II — 11{щ) равенства

У(к)\и(к)=о = Цф,х,щ)) =0,\/к > тг0 <Е следует, что х = 0.

Если и = К", то система (17) нуль-наблюдаема.

Теорема 3.6 Предположим, что система (17) является системой без потерь с С'~ функцией Ляпунова У(к,х). Определим

дУ(щ + ( + 1,а)

5 := {х £ Лп :

да

$("0+1,/;») = О,

\/г,п0 е

Тогда система (17) нуль-наблюдаема, если и только если £> = {0}. Теорема 3.7 Предположим, что

1) система (17) является системой без потерь с функцией Ляпунова \'*{к,х), которая положительно определена в окрестности х = 0 и допускает бесконечно малый высший предел;

2) (р : Z+ х Ят Дт - произвольное гладкое отображение, удовлетворяющее условиям предкомпактности и такое, что 'у(к, 0) = 0,

3) система (17) локально нуль-наблюдаема и существует хотя бы одна предельная система

Ф + 1) = Мк,х(к)) + д0(к,х(к))и(к) у (к) = к0(к,х(к)) + Мк,х{к))и{к),

которая локально нуль-наблюдаема в некоторый момент щ > 0 (без ограничения общности можно полагать щ =0).

Тогда гладкая выходная обратная связь в виде закона управления

и = -<р{к,у) (18)

локально стабилизирует равномерно по Хо точку равновесия х = 0.

Если же вместо условия 3) потребовать, что система (17) и предельная система нуль-наблюдаемы, функция Ляпунова У{к,х) удовлетворяет условию Ш1(||х||) < У(к,х) < шгСИ!) в Д" , то управление (18) глобально стабилизирует точку равновесия х = 0 равномерно по

Изложение сопровождается примерами, подчеркивающими обобщающий характер полученных результатов.

В дополнение к результатам §3.3, в §3.4 получены необходимые и достаточные условия эквивалентности по обратной связи произвольной системы (17) и системы без потерь.

В §3.5 , основываясь на результатах, установленных в предыдущих параграфах, решается задача глобальной стабилизации по неполным данным (в частности, при гапк{д(к, 0)} < тп) дискретных нелинейных нестационарных систем.

Отметим, что полученные здесь результаты доведены до явной записи стабилизирующего закона управления.

В заключении даны основные результаты диссертационной работы. Подчеркнут их вклад в развитие методов исследования устойчивости, стабилизации и анализа качественных характеристик нелинейных нестационарных управляемых систем.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

1. Богданов А.Ю. О локализации предельного множества решения неавтономной дискретной системы // Тезисы докладов III ежегодной научно-практической конференции фМГУ. - Ульяновск:фМГУ, 1994. -С. 3-4.

2. Богданов А.Ю. О равномерной асимптотической устойчивости неавтономных разностных уравнений // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем".-Киев, 1995. - С. 18.

3.- Богданов А.Ю. О стабилизации равновесия неавтономной системы с обратной связью // Тезисы докладов IV ежегодной научно-практическс конференции фМГУ. - Ульяновск: фМГУ, 1995. - С. 7-8.

4. Богданов А.Ю. Об устойчивости решений неавтономных разностных уравнений // Труды XVII Конференции молодых ученых МГУ,-Москва, 1995. - 7 с. (в печати)

5. Богданов А.Ю. О стабилизации нестационарной дискретной системы с обратной связью // Сборник трудов Международного Конгресса " Молодежь и наука. Третье тысячелетие".- Москва, 1996. - 5 с. (в печати)

6. Богданов А.Ю. Об эквивалентности по обратной связи дискретных систем управления // Тез. докл. в сб. "Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета". - Ульяновск: УлГУ, 1996.

- С. 11-12.

7. Богданов А.Ю. О применении некоторых теорем прямого метода Ляпунова // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". -Киев, 1996. - С. 22.

8. Богданов А.Ю. Об асимптотическом поведении решений неавтономных разностных уравнений // В сб. "Фундаментальные проблемы математики и механики. Ученые записки Ульяновского государственного униерситета". Часть 1./ Под редакцией A.A. Бутова. -Выпуск 1. - Ульяновск: УлГУ, 1996. - С. 42-51.

9. Богданов А.Ю. О синтезе устойчивых систем управления // Тезисы докладов XI Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики./ Под редакцией C.B. Яблонского,- Ульяновск: Изд-во СВНП, 1996. - С. 25-26.

10. Bogdanov A.J. On Stability of Nonlinear Nonautonomous Systems // Fifth Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. ABSTRACTS.- Szeged, Hungary, 1996.- P. 2.

11. Богданов А.Ю. Слабо сжимающие отображения и стабилизация дискретных систем управления // "Фундаментальные проблемы математики и механики: Сборник статей."/ Под редакцией Б.Ф. -Мельникова. - Выпуск 2. - Ульяновск:УлГУ, 1996. - С. 11.

Подписано в печать с оригинал-макета 06.05.97. Формат 84x108/32. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 47/525

Подразделение оперативной полиграфии УлГУ. 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42, УлГУ.