Абсолютная устойчивость систем управления с монотонными по выходу нестационарными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Алышуллер Дмитрий

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С МОНОТОННЫМИ ПО ВЫХОДУ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

член-корреспондент Российской Академии Наук, доктор физико-математических наук, профессор Якубович Владимир Андреевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук Смирнова Вера Борисовна

доктор физико-математических наук Чурилов Александр Николаевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится « f » CLn/UP.* 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., дом 28, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государсвенного университета но адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.29, профессор

В.М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Проблема абсолютной устойчивости нелинейных систем имеет уже полувековую историю. Несмотря на это, она не теряет своей актуальности. Напротив, некоторые новые задачи автоматического управления, включающие неизвестные функции, являются перефразировками классических задач абсолютной устойчивости. Поэтому интерес к этой тематике не угасает.

Многие работы по этой теме рассматривают случай, когда нелинейный блок описывается монотонной функцией, не зависящей явно от времени. Результаты представляются в терминах частотных характеристик линейной части системы.

Для систем с монотонными по выходу нестационарными не-линейностями известно сравнительно немного результатов. Этим обосновывается актуальность диссертационнонго исследования. Многие практические задачи описываются уравнениями типа, рассматривемо-го в диссертации.

Цель работы состоит в получении частотных критериев абсолютной устойчивости для систем с нестационарными нелинейными блоками, а также в разработке метода доказательства этих критериев.

Общая методика исследования. Метод получения новых результатов основан на использовании квадратичного критерия абсолютной устойчивости [1]. Основной этап в применении этого критерия заключается в нахождении подходящих квадратичных неравенств, которым удовлетворяют вход и выход нелинейного блока рассматриваемой системы, и в выполнении процедуры так называемого частотного преобразования.

Научная новизна работы состоит прежде всею в получении новых частотных критериев абсолютной устойчивости для нестационарных, в частности, периодических по времени систем. Доказательство как новых результатов, так и ряда уже известных проводится единым новым методом. Найдены новые интегральные квадратичные неравенства, которым удовлетворяют функции из некоторых классов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Основные результаты диссертации носят теоретический характер. Некоторые результаты могут найти применение при конструировании реальных систем управления.

Аппробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на кафедре теоретической кибернетики СПбГУ, на конференциях Международной Федерации .

I

ния (IFAC) и Института Инженеров по Электротехнике и Электронике (ШЕЕ).

Публикации. По результатам исследования автором опубликовано четыре работы [11-14].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 101 наименование.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся цели и задачи исследования и дается краткое содержание работы по главам.

Первая глава носит вводный характер. В §1.1 излагается классическая задача абсолютной устойчивости. Упоминаются два основных метода решения этой задачи: метод функций Ляпунова -Лурье и метод априорных интегральных оценок В.М. Попова. В диссертации используется третий метод, по духу близкий к методу В.М. Попова, предложенный В.А. Якубовичем [1]. Излагаются два классических результата: круговой критерий и критерий Попова. Дается краткий обзор критериев устойчивости систем управления с монотонными стационарными нелинейностями, полученных Н.Е. Барабановым, Броккеттом и Виллемсом, Зэймсом и Фалбом и другими исследователями.

В §1.2 излагается формулировка задачи абсолютной устойчивости. Изучается система управления, линейный блок которой со входом и выходом описывается интегральным уравнением:

а нелинейный блок представляется в самом общем виде

Здесь М - некоторое множество, <J(/) е Л"1 Q(í — s) - матрица-функция; R - постоянная матрица. Предполагается, что

|а(-)|е £2(0, «*>) ; |í2(f)| < conste £', £>0.

Основная часть диссертации посвящена случаю, когда т=п=1, соотношение (2) имеет стандартный вид

где ф(с, /) - произвольная непрерывная относительно каждого аргумента функция, такая что

(|1 - фиксированное число).

Задача, изучаемая в диссертации, состоит, в частности, в установлении условий устойчивости в целом системы (.1),(4). Предварительно рассматривается система общего вида (1),(2).

Следуя статьям [1,2], вводятся некоторые понятия и обозначения. Локально квадратично интегрируемая вектор-функция

называется процессом. Аффинное пространство всех процессов, удовлетворяющих уравнению (1). обозначается через L. Процесс называется устойчивым, если его норма конечна:

Для решения поставленной задачи вначале рассматриваются системы, нелинейный блок которых (2) удвлетворяет требованию: для

всех устойчивых процессов справедливо неравенство

эрмитова матрица-функция и г(|<й) - пре-

где

образование Фурье:

Множество всех устойчивых процессов, удовлетворяющих (5), обозначается через

Определение 1.2.1 Система (1)-(2) называется абсолютно устойчивой, если все процессы в этой системе устойчивы и, более того, существует постоянная С>0, не зависящая от а(<) и у, такая что справедлива оценка

||а(-)||2<С[||а(-)Н2 + 7].

В §1.3 вводится, следуя статье [1], понятие частотного условия и формулируется так называемый квадратичный критерий абсолютной устойчивости. Пусть Щ!(0) - передаточная матрица-функция, определенная формулой

1

Щио) = Л-П(До), П(/ш) = -р=\ Пи)е~шЖ.

72п

(6)

Н^Л) =

. I

-ГО'со)^

I ]

(7)

Понятие частотного условия определяется следующим образом.

Определение 1.3.1 Для системы (1)-(2) выполнено частотное условие (ЧУ), если существует положительное число 5, такое что

Ще С, Ую € (-со, с): ЯЛ», Ь < , (8)

Вводятся еще два определения изстатьи [2].

Определение 1.3.2 Пусть Л^ - множество устойчивых

процессов, для которых выполнено (5). Предположим, что существует последовательность ^ <*> и последовательность устойчивых процессов таких что г(1)=г/[(1) при Тогда говорится, что процесс z(t) имеет устойчивое продолжение в множестве

Определение 1.3.3. Система (1)-(2) называется минимально устойчивой в множестве если каждый процесс в системе (1)-(2) имеет устойчивое продолжение в этом мноясестве.

Теорема 1.3.4 (Квадратичный критерий) [1]. Пустьус-тойчивые процессы в системе (1), (2)удовлетворяют связи (5) и система (1),(2) минимально устойчива в множестве Л^. Пусть для нее выполнено ЧУ из определения 1.3.1. Тогда система (1),(2) абсолютно устойчива. Если М— Л^, то ЧУ необходимо для абсолютной устойчивости системы (1),(2)

Вовторойглаведоказываютсявспомогательные предложения. Пусть г2), у"=/...ЛГ - вещественные квадратичные формы,

7~! с (0,°°) - некоторые замкнутые множества, 7~} - дополнения мно-

и

жеств Ту до (0,°°).

В §2.1 рассматривается система (1),(2), для которой множество А определено как множество процессов, удовлетворяющих следующим квадратичным связям с запаздыванием во времени:

т

ЗГ*->ео,Зуу>0: Ухе |о^(2(/),2(;-т))Л + уу.>(9)

Здесь при /<0 и уу > 0.

Для устойчивых процессов, удовлетворяющих (9) выполнено

Уте Г;-. £^(2(г),^-т))Л + Уу>0 (10)

Каждое из множеств Ту, если оно не пусто, есть объединение не более чем счетного множества открытых интервалов. Пусть 6у(т) - неубывающие функции, постоянные на каждом интервале, составляющем множество удовлетворяющие следующему условию:

если

Тогда для устойчивых процессов из Л/выполнено

, (И)

Неравенство (11) может быть преобразовано к виду (5). Именно:

(12)

Здесь ¡Г^^,!^) - эрмитово расширение вещественной квадратичной формы.

Таким образом, к системе вида (1),(9) может быть применен квадратичный критерий абсолютной устойчивости. В соответствии со сказанным выше, - множество всех устойчивых процессов, удовлетворяющих (12), а частотное условие имеет вид:

35 > 0, VI е С, V® е (—, со): £ \ ?]{Ш>, <-б|||2 , (13)

у _ | О

где 7]{т, = ^{г, ге'"**) и

Теорема 2.1.2. Предположим, что:

1) Система (1),(9) минимально устойчива в множестве

2) Существуют неубывающие функции 0Дт), постоянные па

каждом интервале, составляющем множество такие что:

^¿/ЭДт)^ 1 для мех], для которых О," ^¿/О/СО < 00 для мех], для

которых ^ — 0; выполнено частотное условие, определенное соотношениями (13) и (14).

Тогда система (1),(9) абсолютно устойчива.

Из этой теоремы следует, что для решения вопроса об абсолютной устойчивости системы (1),(3) нужно найти подходящие квадратичные связи вида (9) и проверить минимальную устойчивость. Этому и посвящены последующие разделы диссертации.

Для нахождения таких квадратичных связей необходимы предварительные шаги. В §2.2 вводится класс Ях вещественных функций от двух переменных Предполагается, что эта функция непрерывна

относительно каждого из аргументов и определена на некотором множестве

{(Х,1) е Л'2: [0,°°), ле (а(ОДО)А

где а(0 и Ъ($ - непрерывные функции, а(0 < Ь(().

Определение 2.2.1. Непрерывная относительно каждого аргумента функция называется функцией класса ,ЯХ, X >0, если

для любого х е (а(1),Ь(()) П (а(1 — 1),Ь(1 — Т)) и любого t выполнено неравенство

С помощью этого класса определяются рассматриваемые в дальнейшем классы нелинейпостей. Очевидно, что к этому классу относятся периодические по г функции (т - любое кратное периоду число), а также функции, невозрастающие по t при х>0 и неубывающие по t при ,г<0 (Т - любое положительное число). Имеются и другие примеры.

Таким образом, для любой непрерывной относительно x и t фун-

кции g(x,t) можно указать множество 7~cz (О,») всех чисел X, таких что - функция класса и множество - дополнение множества до открытой положительной полуоси.

Как показано в диссертации, для любой функции g(x,t) множество Т, если оно не пусто, есть объединение не более чем счетного множества открытых интервалов.

Для функций класса доказываются интегральные неравенства вида (9).

В §2.3 устанавливается связь между секторным условием относительно прираптений

0<Acf^O<n<~,(p(0,0 = 0 (15)

и принадлежностью некоторых функций к классу . Эти результаты используются в дальнейшем для построения интегральных квадратичных неравенств вида (9) и на их основе - частотных условий абсолютной устойчивости системы (1),(3).

В §2.4 доказывается теорема об устойчивости процессов с ограниченными входами линейных блоков Эта теорема используется в дальнейшем для установления минимальной устойчивости.

В третьей главе доказываются основные результаты диссертации. В §3.1 напоминаются основные понятия и обозначения. Рассматриваются скалярные системы вида

a(t) = а(0 + R$(t) ; (1.6)

где а(0 е R, Í2(s) е /? и !;(/) е Í - скалярные функции. По прежнему предполагается, что

|а(-)|е£2(0,~); (18)

|í2(f)|< conste-", е>0. (19)

и

0<А^^ц<оо>ф(0,^0. (20)

Пусть - передаточная функция линейного блока системы,

определенная формулами (6).

В §3.2 доказываются критерии абсолютной устойчивости для систем с нестационарными нелинейностями. Следующий результат мож-

но считать наиболее общим.

Теорема 3.2.1. Предположим, что:

1. Для функции ф(ст, /) множество 7~не пусто; 2. Существует неубывающая функция 0(Т), такая что

0(т) = const на каждом интервале, составляющем множество 7~;

справедливо частотное

Re{[|i-1 + r(iio)]Z(ito)}»0, (21)

Z(íto) = (22)

Тогда для всех решений системы (16)-(!7) О(-) е £2(0, и существует постоянная 00, независящая от <X(í), такая что справедлива оценка

Если ввести дополнительное требование, что функция ф(СГ, <) нечетна относительно переменной <5, то можно ослабить условие, что функция 0(т) - неубывающая. Получается следующий результат. Теорема 3.2.2. Предположим, что

1. Для функции ф(ст, /) множествоне пусто;

2. Функция ф(0, t) нечетна относительно переменной О ;

3. Cyufecmeyem функция 0(т) ограниченной вариации, такая чтс? ^[8(4)] < 1 ; 0(х) = const на каждом интервале, составляющем множество 7~ и справедливо частотное неравенство (21), где Z(íü)) определено уравнением (22).

Тогда для всех решений системы (16), (17) О(-) 6 ^(О, и СУ~

1. Для произвольной функции (или в дальнейшем матрицы-функции) X{i(ü) выражение ReX(i(0) » 0 означает, что существует постоянная 5 > 0, такая что для всех вещественных (О справедливо неравенство (l - единица или единичная матрица).

2. Здесь и в дальнейшем J^I©^)] обозначает полную вариацию функции на интервале

ществует постоянная С>0, не зависящая от сс(0. такая что справедлива оценка ||о(')|| ^ СЦсх(-)|| •

Выражение 2(1(0) в этих результатах называется множителем устойчивости.

Из этих двух теорем следуют результаты для систем с периодическими по времени нелинейностями.

Теорема 3.2.5- Предположим, что выполнены условия

1. ф(о,1+Г) « <р(с, /).

2. Существует последовательность 0Л с неотрицательными членами, такая что и выполнено неравенство

(23)

Тогда для всех решений системы (16),(17) <г(-) и

существует постоянная 00, не зависящая от а({), такая что справедлива оценка

Теорема 3.2.6. Предположим, что:

2. Функция ф(0, 0 нечетна относительно переменной О;

3. Существует последовательность 9Л, такая что ^ |9„| < 1

и выполнено неравенство (23).

Тогда для всех решений системы (!6)-(}7) <?(•) е ¿2(0»°°) и существует постоянная С>0, не зависящая от а(/)< такая что справедлива оценка

В §3.3 доказываются критерии абсолютной устойчивости для систем со стационарными нелинейностями. Большинство этих результатов уже известны, но метод доказательства (квадратичные связи с запаздыванием) представляется новым. Некоторые результаты, повидимо-му, также являются новыми. Прослеживается, как введение дополнительных ограничений на нелинейность дает возможность написать новые квадратичные связи и, следовательно, получить более сильные частотные критерии абсолютной устойчивости.

В случае, когда стационарная нелинейность ф(с) удовлетворяет

секторному условию относительно приращений

выражение для множителя устойчивости имеет вид

(25)

где 0(х) - неубывающая функция и j^t/6(t) = 6(°°) — 9(—< 1.

Если ввести требования, что функции a(i) и £2(i) абсолютно непрерывны, |а(')| е и в уравнении (16) R=0, то в выраже-

нии для Z(iOi) появляется член, соответсвующий критерию Попова:

(26)

Абсолютная устойчивость в этом случае означает справедливость оценки

M-)ll2 ^ c[||«(.)ll2 + 2^0)Ф(с)Ат + . (27)

Аналогичные выражения для множителя устойчивости в формах, сходных с (25) и (26), были получены другим методом в статьях Зэймса и Фалба [3,4]. В диссертации показывается, что формы множителя устойчивости (25) и (26) эквивалентны результатам Зэймса и Фалба.

Если ввести требование, что нелинейность нечетна относительно то в уравнениях (25) и (26) можно ослабить условие, что функция 6(т) - неубывающая. Соответствующие ослабление происходит и в результатах Зэймса и Фалба.

Если в уравнении (26) функция 9(х) абсолютно непрерывна, то выражение для множителя устойчивости приобретает вид, полученный другим методом Н.Е. Барабановым [5]. Как доказал Н.Е. Барабанов [5], из его результатов следуют критерии Броккетта и Виллемса [6,7], Чо и Нарендры [8] и других. Все эти авторы использовали методы, отличающиеся от метода диссертационного исследования. Таким образом, многие известные критерии и некоторые их обобщения следуют из теорем, доказанных в диссертации.

Если добавить требование, что функция дифференцируе-

ма, то выражение для множителя устойчивости приобретает вид

Z(»co) = 1 + icofl, + 0)2Û2 - ]^е"°т£/в(т),

Z(j'ro) = 1-£^е'шт(/е(х)

где d2 - неотрицательная постояннная и 9(т) - неубывающая функция. Как и в предыдущих результатах, если нелинейность нечетна относительно О, то можно ослабить условие, что функция 8(х) - неубывающая.

В §3.4 рассматриваются методы проверки частотных условий. Они применимы только, если W(iш) - рациональная функция.

Дается краткое описание метода линейных матричных неравенств (ЛМН), следуя монографии Бойда и др. [9]. Отмечается, что метод ЛМН становится применимым к нелинейностям, удовлетворяющим одному из следующих двух требований:

а) Функция <р(ог, í) неубывающая по t при О>0 и невозрастаю -щая по t при ст < 0;

б) Функция <р(а, /) невозрастающая по t при а> 0 и неубывающая по t при <Г < 0.

Большее внимание уделяется графическим методам. Доказывается, что графические критерии, ранее известные только для стационарных систем, применимы (с небольшими изменениями) к периодическим по времени нелинейным блокам и к нелинейностям, удовлетворяющим одному из требований а) или б).

В четвертой главе рассматриваются периодические по времени системы вида

где с(0 е Лт и е /?"; £!(*-$) и Л - постоянные матрицы соответствующих размерностей, ф(а,/+Г) = ф(<3,1) для всех а И/.

В §4.1 напоминаются основные понятия и определения. В частности, формулируется частотное условие (ЧУ) применительно к системам с периодическими по времени нелинейностями. В квадратичных связях вида (9) предполагается, что X - число, кратное периоду Т. Поэтому вместо функций ву{х) рассматриваются последовательности

с неотрицательными членами, такие что (Во всех

связях, рассматриваемых в четвертой главе

В §4.2 рассматривается система, для которой

где - непрерывная несингулярная вещественная

о(0 = a(0 + fon(/-í)S(í)<fr-*£(0; $0) = ф(о(/),0.

(28) (29)

Ф(о,0 = P(í)a,

(30)

матрица-функция размерности тх.т, P(t+T)=P(t). Вводятся два предположения: (l/2)[P~\t) + Р*-'^)]—(A-'/mxm> 0 для всех значений / (аналог секторного условия) и существуют постоянные вещественные матрицы Q и S, такие что выполнено тождество P*(t)Q — SP(t) = 0.

Это условие, очевидно, справедливо, если P*(t) = P(t). Другим примером является случай, когда P(t) = GH(t), где //*(/) = H(t) и G* = G, detG^O. Тогда Q = S = G~l.

Для систем, удовлетворяющих этим требованиям, доказывается следующий результат.

Теорема 4.2.1. Предположим, что

1. Множество M описано уравнением (30), где o(i) е Rm и P(t) - непрерывная несингулярная вещественная матрица-функция размерности тхт, P(t+T)=P(t).

2. (l/2)[/>l(/) + P*"1(0bM-"1/mxm-° для всех значений t.

3. Существуют постоянные вещественные матрицы Q и S, такие что выполнено тождество P*(t)Q — SP(t) = 0.

4. Существует нечетная периодическая функция q(iо) с периодом 2к/Т, такая что выполнено неравенство1

Re{|i-'/mXm+ W(ia) + iq{iü)[QW(i(ü) - W*(îcd)S]} » 0. (31)

Тогда для всех решений системы (28), (29) с(-) е L,(0, и существует постоянная С>0, не зависящая от a(t), такая что справедлива оценка ¡о(-)|| ^ С||а(-)И.

В частном случае, когда матрица P(t) эрмитова, получается многомерный аналог результата В.А. Якубовича [1].

В параграфах 4.3 и 4.4 предполагается, что /и=и=1 и для всех о и t выполнены условия:

0<<p(c, <ц.<, ф(0,/) = 0, ф(о, t+ Т) = ф(ст,/)- (32)

В §4.3 доказывается критерий абсолютной устойчивости для не-линейностей ф(о, /), удовлетворяющих условиям (32) и неравенству.

|о,<р(о2,0 - о2Ф(0], /)| < Яа„ ф(о„ /)) + F(o2, ф(а2, /)), (33) где F - вещественная квадратичная форма.

1. Для произвольной квадратной матрицы X введено обозначение ReX= [Х + Х*]/2.

Частотное условие имеет вид: существует нечетная периодическая функция <7((о) с периодом 2к/Т, такая что выполнено неравенство1

Яе[ц-' + М1Ы)-Г(-Щ1Ш), ¡) + 1д(ы)Щш)1» 0. (34)

Тем самым распространяется на случай периодической зависмо-сти от времени результат Н.Е. Барабанова [10] для систем со стационарной скалярной нелинейностью

В §4.4 рассматривается, следуя Н.Е. Барабанову [10], класс функций, называемых квазимонотонными. Функция %(х) называется квазимонотонной, если существует положительно полуопределенная вещет-венная квадратичная форма такая что для любых х и у

в(у) - в{х) + (х—у)ё(х) > - Н(х, *(*)) - Н{у, 8(у)), (35)

где

G(x) = ¡¡g(u)du.

Для систем с нелинейностями ф(с, 0, квазимонотонными относительно переменной с и периодическими относительно переменной /, получены частотные критерии абсолютной устойчивости, сходные по форме с теоремами 3.2.5 и 3.2.6. Различие в том, что для квазимонотонных нелинейностей в частотном условии (23) появляется дополнительный член. Оно приобретает вид:

Re

(ц-1 + Щ/со)) 1 - £ е^'ю*г1-2Я(^(/(о), 1)

»0,

(36)

где И - эрмитово расширение соответствующей вещественной квадратичной формы.

Цитируемая литература

1 Yakubovich, VA Popov's method and its subsequent development. // European. J. Control. 2002. V.8., P.200-209.

2 Якубович, В.А Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. // ДАН. 1998. Т.365, С.608-611.

3 Zames, G., Falb, P.L. On the stability of systems with monotone and odd monotone nonlinearities. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967.

1. Здесь F - эрмитово расширение соответствующей вещественной квадратичной формы.

V.AC-12,P.221-223.

4 Zames, G., Falb, P.L. Stability conditions for systems with monotone and slope-restricted nonlinearities. // SIAM J. Control. 1968. V.6, №.1; P.89-108.

5 Барабанов, Н.Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью. // Сиб. мат. журн. 1987. T.XXVIII, № 2, С.21-34.

6 Brockett, R.W., Willems, J.C. Frequency domain stability criteria - part

I. // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. V.AC-10, P.255-261.

7 Brockett, R.W., Willems, J.C. Frequency domain stability criteria - part

II. // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. V.AC-10, P.407-413.

8 Cho, Y.S., Narendra, K.S. An off-axis circle criterion for the stability of feedback systems with a monotone nonlinearity. // IEEE Trans. Automatic Control. 1968. Vol.AC-13, №4. P.413-416.

9 Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. Balakrishnan, V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia. 1994. 193 p.

10 Барабанов, Н.Е. Метод расширения пространства состояний в теории устойчивости систем автоматического управления. Автореф. докт. дисс. Киев. 1990.

Публикации автора по теме диссертации

11 Альтшуллер, Д. Множители устойчивости для систем с нестационарными нелинейностями. // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2003. №1. С.3-12.

12 Altshuller, D.A. Absolute stability criterion for a class of systems with time periodic nonlinearities. // Proc. NOLCOS'01,2001, P.872-877.

13 Altshuller, D.A. Zames-Falb multipliers for systems with time periodic nonlinearities. // Proc. ACC2002. P.68-74.

14 Altshuller, D.A. A generalization of frequency domain stability criteria to a wider class of systems. // Proc. CDC2002. P.2657-2662.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 17.02.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3157. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

Hl- 5535

ВВЕДЕНИЕ.

I. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

§1.1. Классическая задача абсолютной устойчивости.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Применение частотной теоремы.

1.1.3. Системы с монотонными нелинейностями.

§1.2. Формулировка задачи абсолютной устойчивости.

§1.3. Частотное условие и квадратичный критерий абсолютной устойчивости.

II. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

§2.1. Интегральные квадратичные связи с запаздыванием.

§2.2. Интегральные неравенства.

§2.3. Секторное условие и функции класса

§2.4. Устойчивость ограниченных процессов.

III. МНОЖИТЕЛИ УСТОЙЧИВОСТИ.

§3.1. Вводные замечания.

§3.2. Системы с нестационарными нелинейностями

3.2.1. Формулировки результатов.

3.2.2. Доказательства Теорем 3.2.1-3.2.4.

§3.3. Системы со стационарными нелинейностями

3.3.1. Формулировки результатов.

3.3.2. Доказательства теорем 3.3.1-3.3.6.

3.3.3. Сравнение с критериями Зэймса-Фалба, Н.Е. Барабанова и следствиями из них.

§3.4. Методы проверки частотных условий

3.4.1. Множители устойчивости и линейные матричные неравенства.

3.4.2. Графические критерии.

IV. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.

§4.1 . Вводные предложения.

§4.2 . Линейные системы с периодическими коэффициентами.

§4.3 . Расширение класса линейных систем.

§4.4 . Системы с квазимонотонными нелинейностями.

4.4.1. Вспомогательные предложения.

4.4.2. Критерии устойчивости для квазимонотонных периодических по времени нелинейностей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙЛИТЕРАТУРЫ.

Проблема абсолютной устойчивости нелинейных систем имеет уже полувековую историю. Несмотря на это, она не теряет своей актуальности. Напротив, «в последние годы интерес к этой тематике возрождается поскольку новые задачи робастности и устойчивости неопределенных систем являются по существу перефразировками старых задач об абсолютной устойчивости» [50].

Кратко говоря, изучаемая система состоит из линейного блока, для которого известна передаточная функция, и нелинейного блока, о котором отсутствует детальная информация, но известны некоторые свойства. Требуется найти условия устойчивости системы в терминах передаточной функции (или частотной характеристики) линейного блока.

Многие работы по этой теме рассматривают только случай, когда нелинейный блок не зависит явно от времени. Результаты представляются в терминах либо частотных характеристик либо, как стало «модно» в последние годы, линейных матричных неравенств (ЛМН). Лемма Калмана - Якубовича позволяет во многих случаях преобразовать ЛМН к условиям в частотной форме и обратно. ЛМН можно решить численными методами. Частотные критерии более удобны для графической проверки.

Главная цель настоящей работы состоит в расширении известных результатов па случаи нестационарных нелинейных блоков. Результаты будут представлены в терминах частотных характеристик. Частными случаями рассматриваемой задачи являются системы с периодической зависимостью от времени, а также стационарные системы. Результаты как для стационарных, так и для нестационарных систем доказывются единым методом.

Первая глава носит вводный характер. В ней дается краткий исторический обзор проблемы. Особое внимание уделяется классической частотной теореме Калмана - Якубовича и множителям устойчивости Зэймса - Фалба. После исторического обзора дается современная формулировка задачи. Линейный блок представляется в виде свертки. Нелинейный блок описывается при помощи интегральных квадратичных неравенств в частотной области. Все результаты основаны на квадратичном критерии абсолютной устойчивости В.А. Якубовича.

Во второй главе формулируются и доказываются вспомогательные предложения. Вводятся интегральные квадратичные неравенства во временной области с запаздыванием. Доказывается специальная форма квадратичного критерия для таких систем. Вводится понятие функций класса . Этот класс включает в себя в качестве частного случая периодические по времени функции. Доказывается, что все эти функции удовлетворяют некоторым интегральным квадратичным неравенствам.

В заключительном праграфе второй главы формулируртся и доказывается теорема об устойчивости ограниченных процессов. Она используются в дальнейшем для проверки одного из условий квадратичного критерия - минимальной устойчивости.

Третья глава содержит основные результаты диссертации. Предполагается, что нелинейности удовлетворяют так называемому секторному условию и принадлежат к классу .Ят. Формулируются и доказываются частотные критерии абсолютной устойчовости.

Доказательство проводится единым методом как для стационарных, так и для нестационарных нелинейностей.

В заключительном параграфе третьей плавы рассматриваются методы проверки частотных условий. Дается краткое описание метода линейных матричных неравенств. Большее внимание уделяется графическим методам. Доказывается, что графические критерии, ранее известные только для стационарных систем, применимы с небольшими изменениями к периодическим по времени нелинейным блокам

В четвертой главе рассматриваются периодические по времени системы, необязательно удовлетворяющие секторному условию. Оказывается возможным распространить на периодические по времени нелинейности несколько результатов, известных для стационарных систем. Устанавливаются новые результаты для линейных систем с периодическими коэффициентами, систем с нелинейностями из некоторого параметрического класса и для систем с квазимонотонными нелинейностями (понятие квазимонтонности вводится и объясняется).

I. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.А., Гантмахер, Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М. 1963.

2. Александров, В.В., Жермоленко, В.Н. Критерй абсолютной устойчивости систем третьего порядка.//ДАН. 1975.Т.222, №2, С.309-311.

3. Альтшуллер, Д. Множители устойчивости для систем с нестационарными нелинейностями. // Вестн. С-Петерб. Ун-та. 2003. Сер.1. Вып.1 (№1). С.3-12.

4. Барабанов, Н.Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью. // Сиб. мат. журн. 1987. T.XXVIII, № 2, С.21-34.

5. Барабанов, Н.Е. Новые критерии абсолютной устойчивости систем управления с одной дифференцируемой нелинейностью. //ДАН СССР. 1987. Т.299, № 2. С. 570-572.

6. Барабанов, Н.Е. О проблеме Калмана. // Сиб. мат. журн. 1988. T.XXIX, № 3, С.3-11.

7. Барабанов, Н.Е. Графоаналитические критерии устойчивости и неустойчивости в большом стационарных множеств дискретных систем. // Сиб. мат. журн. 1989. Т.ХХХ, № 2, С.3-13.

8. Барабанов, Н.Е. Новые частотные критерии абсолютний устойчивости и неустойчивости систем автоматического управления с нестационарной нелинейностью. // Дифф. уравнения. 1989. Т.25, № 4, С.555-563.

9. Барабанов, Н.Е. Метод расширения пространства состояний в теории устойчивости систем автоматического управления. Автореф. докт. дисс. Киев. 1990.

10. Гантмахер, Ф.Р., Якубович, В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. //Труды II Всесоюзного Съезда по Теоретической и Прикладной Мехаиике.М. «Наука». 1965. С. 30-63.

11. Гелиг, А.Х., Леонов, Г.А., Якубович, В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М. 1978., 400 с.

12. Колмогоров, А.Н., Фомин, C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. 1972.496 с.

13. Кореневский, Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев. 1989. 208 с.

14. Красовский, A.A. Справочник по теории автоматического управления. М. 1987.

15. Леонов, Г.А., Буркин, И.М., Шепелявый, А.И. Частотные методы в теории колебаний. В 2-х частях. 4.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. СПб. 1992. 366 с.

16. Леонов, Г.А., Смирнова, В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб. 2000.400 с.

17. Летов, A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М. 1955.

18. Липатов, A.B. Устойчивость непрерывных систем с одной нелинейностью. // ДАН СССР. 1981. Т.260, №4. С.812-817.

19. Липатов, A.B. Графоаналитический метод проверки устойчивости непрерывной системы с одной монотонной нелинейностью в случае неприменимости критерия A.A. Воронова. / /ДАН СССР. 1982. Т.267, №5. С. 1069-1072.

20. Липатов, A.B. Устойчивость стационарной системы с одним нелинейным блоком. I. Основные теоремы.//АиТ. 1982. №6. С.43-53.

21. Липатов, A.B. Устойчивость стацинарной системы с одним нелинейным блоком. II. Геометрический критерий. //АиТ. 1982. №7. С.34-41.

22. Липатов, A.B. Графические критерии устойчивости непрерывных систем с одной дифференцируемой нелинейностью.//АиТ. 1984. №3. С.57-65.

23. Липатов, A.B., Садыков, Ф.Р., Соловейчик, Г.Я. Графические методы исследования устойчивости непрерывных систем с одной нелинейностью различных классов. //АиТ. 1985. №3. С.28-35.

24. Лурье, А.И., Постников, В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем. ПММ. 1944. Т.8, Вып.З.

25. Молчанов, А.П. Методы исследования робастной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. Автореф. докт. дисс. М., 2001.

26. Молчанов, А.П., Пятницкий, Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. I. // АиТ. 1982. №1, С. 19-27.

27. Молчанов, А.П., Пятницкий, Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. II. // АиТ. 1982. №2, С.17-28.

28. Молчанов, А.П., Пятницкий, Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. III. // АиТ. 1982. №3, С.29-27.

29. Попов, В.М. Абсолютная устойчивость нелинейных систем автоматического управления. И АиТ. 1962. Т.22. С.961-979.

30. Пятницкий, Е.С. Абсолютная устойчивость нелинейных управляемых систем (вариационный подход). Автореф. докт. дисс. М., 1970.

31. Пятницкий, Е.С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом. // АиТ. 1971. №1., С.5-16.

32. Рисс, Ф., Секёфальви-Надь, Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979. 500 с. (F. Risz, В. Sz.-Nagy. Leçons d'analyse fonctionelle).

33. Скородинский, В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. I. // АиТ. 1981. №9., С.24-29.

34. Скородинский, В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. II. // АиТ. 1982. №6., С.87-93.

35. Смирнова, В.Б. Устойчивость некоторых классов систем автоматического регулирования с распределенными параметрами. Автореф. канд. дисс. Ленинград. 1975.

36. Якубович, В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования//ДАН. 1962. Т.143, №6. С.1304-1307.

37. Якубович, В.А, Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. I. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний. // АиТ.1964. Т.25, №7. С. 1017-1029.

38. Якубович, В.А, Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. II. Абсолютная устойчивость в классе нелинейностей с условием на производную. // АиТ. 1965. Т.26, №4. С. 1017-1029.

39. Якубович, В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. // АиТ 1967. Т.28, №6. С.5-28.

40. Якубович, В.А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. // АиТ 1967. Т.28, №9. С.59-71.

41. Якубович, В.А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. И. // АиТ 1967. Т.29, №2. С.81-101.

42. Якубович, В.А. Частотные условия устойчивости решений нелинейных интегральных уравнений автоматического управления. // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия. 1967, с.109-125.

43. Якубович, В.А. 5-процедура в в нелинейной теории регулирования. // Вести. ЛГУ. 1971. №1. С.265-289.

44. Якубович, В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. / под ред. Р.А. Нелепина. М. 1975., С.75-180.

45. Якубович, В.А. К абстрактной теории абсолютной устойчивости нелинейных систем. // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия. 1977. №13. С.99-118.

46. Якубович, В.А. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. //ДАН. 1998. Т.365, С.608-611.

47. Якубович, В.А. Частотные условия устойчивости нелинейных систем. // Нелинейная теория управления и ее приложения. / под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. М., 2000. С.149-172.

48. Якубович, В.А., Старжинский, В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М. 1972.

49. Altshuller, D.A. Absolute stability criterion for a class of systems with time periodic nonlineari-ties. //Proc. NOLCOS'Ol, 2001.

50. Altshuller, D.A. Zames-Falb multipliers for systems with time periodic nonlinearities. // Proc. ACC2002. P.68-74.

51. Altshuller, D.A. A generalization of frequency domain stability criteria to a wider class of systems. // Proc. CDC2002. P.2657-2662.

52. Barabanov, N.E. The state space extension method in the theory of absolute stability. // ШЕЕ. Trans. Automatic Control. 2000. V.45, №12. P.2335-2339.

53. Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. Balakrishnan, V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia. 1994. 193 p.

54. Brockett, R.W., Willems, J.C. Frequency domain stability criteria part I. // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. V.AC-10, P.255-261.

55. Brockett, R.W., Willems, J.C. Frequency domain stability criteria part II. // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. V.AC-10, P.407-413.

56. Cho, Y.S., Narendra, K.S. An off-axis circle criterion for the stability of feedback systems with a monotone nonlinearity. // IEEE Trans. Automatic Control. 1968. Vol.AC-13, №4. P.413-416.

57. Coddington, E.A., Levinson, N. Theory of ordinary differential equations. New York. 1955.429 P

58. Corduneanu, C. Integral equations and stability of feedback systems.New York. 1973. 238 p.

59. Corduneanu, C. Integral equations and applications. Cambridge. 1991. 366 p.

60. Freedman, M.I., Falb, P.L., Zames, G. A Hilbert space stability theory over locally compact Abelian groups. // SIAM J. Control. 1969. V.7, №3. P.479-495.

61. Gelig, A.Kh, Churilov, A.N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. Boston. 1998. 362 p.

62. Hahn, W. Stability of motion. Berlin, 1966.446p.

63. Halanay, A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. New York: Academic Press, 1966. 528p.

64. Halanay, A., Rasvan, V. Stability and stable oscillations in discrete time systems. 2000. Amsterdam. 283p.

65. Hale, J.K. Oscillations in nonlinear systems. New York. 1963. 180p.

66. Hale, J.K. Ordinary differential equations. New York. 1969. 332p.

67. Hobson, E. W. The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier series. New York. 1957. V.I 726p. V.II 780p.

68. Holtzman, J.M. Nonlinear system theory: a functional analysis approach. Englewood Cliffs, 1970. 213 p.

69. Kalman, R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control. // Proc. Nat'l Acad. Sci. 1963. V.49. P.201-205.

70. Khalil. H.K. Nonlinear systems. 2nd ed. Upper Saddle River. 1996. 734p.

71. Lefschetz, S. Stability of nonlinear control systems. New York. 1965. 150p.

72. Lefschetz, S. Differential equations: geometric theory. New York. 1977. 390p.

73. Leonov, G.A., Ponomarenko, D.V., Smirnova, V.B. Frequency-domain methods for nonlinear analysis. Singapore, 1996.498 p.

74. Leonov, G.A., Reitmann, V., Smirnova, V.B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgart Leipzig: Teubner. 1992. 242p.

75. Liao Xiao-Xin. Absolute stability of nonlinear control systems. Dordrecht, 1993. 178 p.

76. Miller, R.K. Nonlinear Volterra integral equations. Menlo Park. 1971.468 p.

77. Mingarelli, A.B. Volterra-Stieltjes integral equations and generalized ordinary differential expressions. New York. 1983. 318 p.

78. Narendra, K.S., Cho, Y.S. Stability of feedback systems containing a single odd monotonic non-linearity. // IEEE Trans. Automatic Control. 1967. Vol.AC-12, №4. P.448-450.

79. Narendra, K.S., Neuman, C.P. Stability of a class of differential equations with a single monotone nonlinearity. // SIAM J. Control. 1966. V.4, P.295-308.

80. Narendra, K.S., Taylor, J.H. Frequency domain criteria for absolute stability. New York, 1973. 246 p.

81. Niculescu, S-I. Delay effects on stability: a robust control approach. Berlin. 2001. 383 p.

82. O'Shea, R.P. A combined frequency-time domain stability criterion for autonomous continuous systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. V.AC-11, №3, P 477-484.

83. O'Shea, R.P. An improved frequency time domain stability criterion for autonomous continuous systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967. V.AC-11, №6, P.725-731,.

84. Popov, V.M. Hyperstability of control systems. Berlin, 1973.400 p.

85. Safonov, M.G., Wyetzler, G. Computer-aided analysis renders Popov criterion obsolete. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1987. V.AC-32, №12, P 1128-1131.

86. Salamon, D. Control and observation of neutral systems. Boston, 1984. 207 p.

87. Siljak, D.D. Nonlinear systems: the parameter analysis and design. New York. 1969. 618p.

88. Sundareshan, M.K., Thathachar, M.A.L. Construction of stability multipliers for non-linear feedback systems // Int. J. Systems Sci. 1974. Vol. 5, № 3. P.277-285.

89. Vidyasagar, M. Nonlinear systems analysis. 2nd ed. Englewood Cliffs. 1993.498p.

90. Willems, J.C., Gruber, M. Comments on "A combined frequency-time stability ctiterion for autonomous continuous systems". // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967. V.AC-12, P.217-219.

91. Yakubovich, V.A. Necessity in quadratic criterion for absolute stability. // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2000. V.10, P.889-907.

92. Yakubovich, V.A. Popov's method and its subsequent development. // European. J. Control. 2002. V.8.

93. Zames, G. Functional analysis applied to nonlinear feedback systems. // IEEE Trans. Circuit Theory. 1963. V.CT-10, №3. P.392-404.

94. Zames, G. On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems. Part I: Conditions derived using concepts of loop gain, conicity, and positivity. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. V.AC-11, №2. P.228-238.

95. Zames, G. On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems. Part II: Conditions involving circles in the frequency plane and sector nonlincarities. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966 V.AC-11, №3. P.465-476.

96. Zames, G., Falb, P.L. On the stability of systems with monotone and odd monotone nonlineari-ties. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967. V.AC-12, P.221-223.

97. Zames, G., Falb, P.L. Stability conditions for systems with monotone and slope-restricted non-linearities. // SIAM J. Control. 1968. V.6, №.1; P.89-108.

98. Zames, G. Kallman, R.R. On spectral mappings, higher order circle criteria, and periodically varying systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1970. V.AC-15, P.649-652.