Исследование устойчивости линейных и квадратических дифференциальных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРШ

РГБ ОД

На правах рукописи

Дальбегсова КуралаЛ Султанбаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧЕС1ШХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

01.01.11 - Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ, 1994

Работа выполнена в Казахском государственном Национальном университете имени Аль - ФараОи.

Научный руководитель: доктор технических наук ,

профессор Бияров Телеухан Нуралдинович

Официальные оппоненты: доктор физико - математических

наук , профессор Мырзалиев Д.М. кандидат физико - математических наук , СНС HAH PK Куматов С.С.

Ведущая организация: Казахский Национальный технический университет

Защита диссертации состоится " Ц-CiUWflJL 1994 года

"мтб/и, 1

в часов на заседании специализированного Совета

К 14 / А.01.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук в Казахском .государственном Национальном университете им. Аль - ФараОи по адресу : 480012 , г. Алматы , улица Масан^и 39 / 47 . С диссертацией .можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

к.®.-¡¡.» доцент s<Ajr\ X г—~ Айпанов Ш.л.

- 3 -

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. При изучении различных процессов происходящих в реальной действительности , приходится сталкиваться с одним из наиболее важных понятий - понятием об устойчивости движения . Основы теории устойчивости движения были разработаны в конце прошлого века великим русским ученым А.М.Ляпуновым . Им было предложено два метода решения задач устойчивости . Второй (прямой) метод Ляпунова является мощным строгим аналитическим и весьма эффективным методом при решении многих теоретических и прикладных воп-г росов устойчивости движения . Изложение и развитие этой теории полно освещены в известной монографии А.М.Ляпунова, а также в работах Н.Г.Четаева , Е.А.Барбашина^ Н.Н.Красов-ского, В.И.Зубова, И.Г.Малкина, А.М.Летова, К.П.Персидского и других .

Как известно, устойчивость по Ляпунову рассматривается на бесконечном интервале времени, что является серьезным препятствием для многих приложений, т.к. большинство объектов исследования функционируют в течение конечного промежутка времени. В настоящее время, имеются различные подходы к определению устойчивости на конечном отрезке времени (Н.Г.Четаев , Н.Д.Моисеев , Г.В.Каменков , А.А.Лебедев, К.А.Абгарян и др.). Но ни одна из известных постановок об устойчивости на конечном отрезке времени не заняла до сих пор доминирующего положения . В этой связи развитие метода функции Ляпунова применительно к исследованию устойчивости и стабилизации движения на "конечном отрезке времени представляется актуальной задачей .

К исследованию нестационарных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений приводят многие задачи механики и техники. Они исследованы многими авторами (А.М.Ляпунов, Н.Г.Четаев, Н.П.Еругин, К.А.Абгарян, М.-Й.Ву и др.). Наличие зависимости коэффициентов системы от времени вносит принципиальные трудности в изучении структурных свойств системы (устойчивости, управляемости, и наблюдаемости). Исследование устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени, обеспечивающее точное попадание к началу координат за конечное время, а также на бесконечном интервале времени до сих пор полностью нерешенная задача .

Цель работы. Цель работы заключается в исследовании устойчивости и стабилизации движения нелинейных неавтономных, квазилинейных и квадратических систем на конечном отрезке - времени, а также в исследовании устойчивости линейных нестационарных систем на конечном и бесконечном интервалах времени. Применение полученных результатов к исследованию нестационарных систем .

Методы исследования. Теоретические исследования проводились на основе общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц, теории устойчивости движения и теории управляемости .

Научная новизна. В работе предлагается новый подход , являвдийся дальнейшим развитием метода функции Ляпунова и теоремы Н.Г.Четаева об асимптотической устойчивости, применительно к. решению задач устойчивости на конечном отрезке времени; впервые решена задача стабилизации движения квази-

линейных и квадратических систем на конечном отрезке времени; получены достаточные условия устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени , а также на бесконечном интервале времени.

Теоретическая и практическая ценность. Все основные теоретические результаты сформулированы в виде теорем и следствий, которые сопровождаются строгими математическими доказательствами и подтверждаются решениями прикладных задач рассматриваемых на конечном отрезке времени, а также на бесконечном интервале времени .

Положения выносимые на защиту. Исследование устойчивости линейных нестационарных систем на конечном и бесконечном интервалах времени, стабилизация движения квазилинейных и квадратических дифференциальных систем на конечном отрезке времени.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Украинской научной конференции " Моделирование и исследование устойчивости процессов " ( 26-28 мая 1992 г., 24-28 мая 1993 г., г. Киев ); на конференции - конкурсе молодых ученых и специалистов по математике и механике ( 25-26 марта 1993 г., г. Алматы ) ; на научной конференции посвященной 60-летию Казахского государственного Национального университета имени Аль-Фйраби ( 12-14 октября 1994 г., г. Алматы ), на семинарах кафедры кибернетики ( рук. д.т.н. Бияров Т.Н." ) и теории управления ( рук. д.т.н." проф. Айсагалиев С.А. ) .

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата .

- б -

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения^ двух глав, заключения, списка использованных источников и изложена на ЦО страницах машинописного текста . Список использованной литературы содержит 04 наименования .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

Во введении обосновывается актуальность темы , приводится краткий обзор литературы, определены основные задачи и цель исследований, коротко излагается структура диссертации и содержание работы, а также сформулированы результаты, отражающие новизну <и практическую ценность работы .

В главе 1 диссертационной работы ставится задача об устойчивости и стабилизации движения квадратических систем на конечном отрезке времени .

В } 1.1 рассматривается вопрос об устойчивости движения на конечном отрезке времени

Рассматривается возмущенное движение описываемое векторным дифференциальным уравнением

а| = х (г,1) , г € ис, т] о>

где х(го)ха , хи.о) = о

и точка ( т , х(Т) = о ) является изолированной особой точкой типа •§ ) .

хи.г) с с'°'"(г) , г =

{ 1 < т. 5x5 < н > а )

vu.x) e c^,1>(zo> , го = { t0< t < т . |x| < н > о }, а также X(t,x) удовлетворяет условиям теоремы существования Каратеодори в области Z0-

Изложены различные определения устойчивости на конечном отрезке времени : Н.Г.Четаева , Н.Д.Моисеева , Г.В.Каменкова, А.А.Лебедева , Чжан Сы-Ина , К.А.Абгаряна .

Вводится новое определение устойчивости на конечном отрезке времени ( КОВ > .

Определение 1. Положение равновесия х = о системы (1) устойчиво на конечном отрезке времени , если для всякого-конечного С > о можно подобрать другое число Ö(£,to) > О , такое , что для всех возмущенных движений x(t) , для которых (|x(t.o)f < б , будет выполняться неравенство

jr(t)|| < с , у t е [ to , г ) и lim z(t) = о .

1-tT

Введем следующие определения :

Функция v(t,r) называется знакоположительной ( или зна-коотрицательной ) в Zo , если

v(t,j) > о ( или v(t,x) § о ) , при (t,x) е zo .

Функция Y(t,x) называется Т - определенно - положительной

в z , если

о

V(t,X) > О при ||Х(| / О , V(t.O) = о при (t.x) € ъо

Говорят, что функция v(t,x) допускает бесконечно - большой низший предел (ББНП) при t * т, если для любого не-

нулевого вектора а € R" :

Itm V(t.а) = ® .

ИТ

В работе предлагаются два подхода к исследованию устойчивости движения на КОВ .

Заметим , что согласно первому подходу , положение равновесия j = о устойчиво на КОВ , если для уравнения возмущенного движения^ (1) существует Т - определенно - положительная функция v(t,D е c[*""(Zo) , допускающая ББНП при t т и с знакоотрицательной полной производной по времени г в силу системы О) .

Следствие 1. Если дифференциальное уравнение возмущенного движения (1) таково , что существует Т - определенно -положительная функция v(t,i) , где v(t,a) монотонно - возрастающая по t от о до оо , а полная производная по времени v является знакоотрицательной в ъо , то положение равновесия х = 0 устойчиво на КОВ .

Следствие г. Пусть для системы (1) т = со . Если диф$е-ренциальные уравнения возмущенного движения таковы , что существует определённо - положительная функция V(t,;r) такая , что для любого ненулевого вектора a € Rn функция V(t,a) монотонно - возрастающая по t

. Un v(t,a) =œ,

t-»T

а полная производная по времени t от функции v является знакоотрицательной , то положение равновесия х = о асимптотически устойчиво по Ляпунову ,

В 5 1.2 предлагается второй подход к исследованию ус-

тойчивости движения на конечном отрезке времени . Рассматривается уравнение возмущенного движения

= X(t.X) , (X(t,0) «= О ) (2)

где X(t,r) е с;°-4,( i; » R" ). i; •■{ а < t < « ) .

Вводится следующее определение : Определение 2. Говорят , что положение равновесия i « О системы < 2) устойчиво на КОВ [ to,T ] , если для любого конечного s > о , найдется такое О ( s , to )> о , что при Ц Tj ^ С имеет место

i х j < е , V t > to , lin | х (t) J = 0

t + T-O

Рассмотрим дифференциальное неравенство

V Ç о ( t > t0 ) (3)

где V = V ( t ) - непрерывно дифференцируемая положительная скалярная функция.

Будем говорить , что решение V ( t ) £ с' неравенства (3) имеет конечное время определения t0 < t < т , если :

1 ) V ( t ) <- о при tD « t < т

2) v < t ) - » при t -» т-0 .

Введем в рассмотрение скалярную функцию

v ( t , х ) t с^;4' ( I* * s ) , V '( t ,0-) = о ,

s = SgUSe, e>o,se = |||x| <e|€R". 8« = { I X 1 ^ 8 } € JT .

Будем говорить , что v ( t , i ) допускает ББНП при x -» ю t если

V ( t , x ) 2 ю , при J х I -> со

равномерно на каждом промежутке ( а , b ) с I* .

Справедлива следующая теорема : Теорема 1. Если 1) производная v ( t , х ) по t в силу 'системы (2) при t ^ t0 и i ( S удовлетворяет неравенству

V ( t , х ) < о',

И ( t , I ) допускает ББНП при | х 5 ■» ® ; 2) соответствующее скалярное неравенство О) имеет положительное решение V ( t ) с конечным временем определения , то положение равновесия х = О системы (2) устойчиво на КОВ [ to . т ) .

В §1.3 расматриваются вопросы стабилизации: движения систем на КОВ.

Рассматривается возмущенное движение управляемой системы 'fir

gf = X ( t , X , U > . t € [ го . T ) , (4)

X < t , О , 0 ) = О , U(t,0)=0. где х * х ( xt .....xn )* .

и = и ( t , X ) = colon ( ujt.x) .....Un(t,£)) e P с Rr .

X ( t ,x , и ) = [ Xt( t , X , и ) xn( t , i , и ) ]*;

X ( t , JT( t) , U (t ,X(t)) € Q(Z) ,

а также функция X ( t , x , и ) удовлетворяет условиям теоремы существования Каратеодори.

Тогда ставится вопрос о нахождении такого управления u ( t ,х ) которое обеспечивает устойчивость на КОВ положения равновесия системы (4).

Справедлива следующая теорема :

Теорема 2. ( 0 стабилизации движения на КОВ ) . Если для уравнения возмущенного движения (4) где

X(t,x,u)€Q(z), при и = и" ( t , X ) € и

существует т - определенно-положительная функция v ( t , х ) € с^11 ( zo ) допускающая ББНП при t ■» Т и с знакоотрицательной полной производной по времени t в силу системы (4) , то управление u° ( t , х ) € U осуществляет стабилизацию движения системы (4) на КОВ .

Далее рассматривается стабилизация линейной системы вида:

^ = А( t )х + В( t )и , х( to ) = хо . t 6 { tc. Г ) , (5)

где А( t ) , в( t ) - размерности n*n , п*г - матрицы соответственно ; х - n-мерный вектор - функция ; и - г-мерныЯ вектор

управления.

- 12 -

Справедливо следующее утверждение : Утверждение 1. Управление вида

и°< г . х ) = - в*( г ) к( г ) х . г € [ г0 . т ) ,

где к( V ) = «Г*( 1; , т ) , г € I гс . т ) ,

»( г , т ) = } ф ( г. ) в( г ) в*( т ) ф*( г , т > ,

Ф( г , а ) является решением системы

^ ф( г , г ) = а ( ь ) ф ( г ,т ) , ф< г , г ) = еп ,

W(t,T), V 1; € [ . Т ) - положительно - определенная матрица , осуществляет стабилизацию движения системы (5) на КОВ .

В § 1.4 рассматривается система квазилинейных дифференциальных уравнений г

= Л( г >х + в( 1; )и + /( * , и , * > ,

• (6)

г < го ) = хо . г € [ г0 . т ) .

где А( t ) , В( г ) - матрицы ' размерности п*п , пхг соответственно ;/( X , и , х ) - п ~ мерная вектор-функция ; и ( 1. >-г - мерная вектор - функция управления , х ( г •■) - п - мерная вектор - функция состояния .

Справедлива следующая теорема :

Теорема 3. Пусть выполняются все условия утверждения 1 для системы (5) и

и ( ь , х ) - u0(t,x)+v^.t,x),^i сго.т> , (7) где г - мерная вектор - функция V ( t ,х ) определяется из уравнения

1) либо

г в( 4 ) I , I ) + г л ^ • в* и) кш х + т.х) , х ) -

- Б( t ) В*( Ь ) К{ Ъ ) X = - М t ) X .

где щ ъ ) - п*п - матрица такая , что

к ж г ) + н*( ) к > о , то есть неотрицательно-определенная ;

2) либо

г в( г ) V ( г.х ) + г /( ^ - в*( г ) к( ) х ■»■ 1»( ^х ),х ).-

= - 2 К I , Т ) « I ) X , !!( I ) + и'т > О !

3) либо

г в( < ) V) I , I ) + г Я 4 , - в'( I Ж( I и + 11( г , х>,х )-

-в( 4 1 в'( I )г«-г»( 1 , I 1 и .

Ш I I I ) +КВ( 4 ) В*( I ) к>0-.

Тогда управление вида (7) разрешает задачу о стабили зации движения на КОВ для системы (6) .

В § 1.5 рассматривается уравнение возмущенного движения описываемое системой квадратических дифференциальных уравнений

^ = о(( г )х + .х*о{< г )х + в1<-ь )и ,

(8)

Х( } = Хо • * € ( Ьа.Т) , I =1,п ,

где г > = ( о{1( г ) ,...,а{п( г )) - вектор - строка ,

(^ ) - симметричная тп - матрица , и = и( г , х ) - скалярное управление , в(( г ) - скалярная функция.

Условие стабилизации движения квадратических систем дает следующая

Теорема 4. Пусть выполняются все условия утверждения 1 для системы (5) и

и (' г , х > = и°( 1; , х ) + 1>< 1 , г ) ,

(9)

г е [ го , т > , где скалярная функция

1 , х ) = - | ( х , х )х , г1 = к{( I ) х ,

К{( 1 ) = ( t ),...,к{п( г )) - 1-ая строка матрицы

К( 1 ) , п - мерные вектора в(( 1; ,х ) , 1 = Т7п , такие ,что кв( г > и* ( г , х ) + % , х ) в*к = 2 t ) ,1 =Т7Н. Тогда управление вида (9) разрешает задачу о стабилизации движения на КОВ для системы (8) .

Глава 2 - диссертационной , работы посвящена вопросам ус-

- 15 -

тойчивости линейных нестационарных систем на КОВ .

§ 2.1 посвящен вопросам исследования приводимых систем , выделению классов приводимых систем , классов линейных сио-тем с переменными коэффициентами s систем специального вида „ класса коммутативных систем .

В § 2.2 рассматриваются вопросы устойчивости линейных нестационарных систем на бесконечном интервал© времени .

В 5 2.3 диссертационной работы изложены вопросы приводимости и устойчивости линейных нестационарных систем в особых случаях .

В § 2.4 рассматриваются вопросы устойчивости стационарных линейных систем с неопределенными коэффициентами с помсяаью полиномов Харитонова .

В 5 2.5 рассматривается устойчивость линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени .

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений вида : -

= А( t ) х . х С ia ) - х0 .

(11)

t П t„ , I ! , где х - п - мерный вектор состояния системы ,

A(t) с с [ t0 , I ) матрица размера п»п , причем

Um | A(t) | - а .

1-»Т

Теорема 5. Положение равновесия х - о линейной нестационарной системы (11) устойчиво иа конечном отрезке времени , если матрица a(t) гурвицева V t £ [te, Т) н

l

Ilm / Sp à(i) <2т - - »

t-»T t

о

5 2.6 поовящен вопросам устойчивости линейных нестационарных систем на бесконечном интервале времени .

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений вида (10) при т.« « .

Пусть К,^ - класс лялуновских систем . Справедлива следующая теорема

Теорема 6. Тривиальное решение х » о системы (ю) при Т - в асимптотически устойчиво по Ляпунову , если

1) система £ € Кь и Sp к* •= conat , i = ТГп ,

и для преобразованной системы с постоянной матрицей или характеристического полинома с постоянными коэффициентами выполняется условие асимптотической устойчивости ;

2) система £ f. KL и Sp а' * conat для некоторого (

и / Sp А(г) dx t - m ,• при t f m

и гурвицевости матрицы A(t) V t € [ to , œ ) .

В § 2.7 рассматривается применение теоремы В.Л.Харитонова к исследованию гурвицевости линейных нестационарных систем .

В конце главы решены задачи на исследование устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени , а также на бесконечном интервале" времени .

- 17 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы :

1. Предлагаются новые подхода к исследованию устойчивости на конечном отрезке времени , являющийся дальнейшим развитием метода функции Ляпунова и теоремы Н.Г.Четаева об асимптотической устойчивости применительно к решению задач устойчивости на конечном отрезке времени . В частности , предложены два подхода к исследованию устойчивости нелинейных нестационарных систем на конечном отрезке времени .

г. Решена задача стабилизации движения квазилинейных и квадратических дифференциальных систем на конечном отрезке времени .

3. Впервые получены достаточные условия устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени, обеспечивающие точное попадание к началу координат за конечное время . Предложен обобщенный критерий асимптотической устойчивости на бесконечном интервале времени с помощью известных классических подходов А.М.Ляпунова , Н.П.Еру-гина , М.-И.Ву , К.А.Абгаряна , В.Л.Харитонова и др. и нового подхода , вытекающего из следствия теоремы об устойчивости на конечном отрезке времени .

В заключении автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Т.Н.Биярову за. постановку задачи и за научные консультации в ходе выполнения работы.

- 18 -Список работ опубликованных по теме диссертации

1. Устойчивость наконечном отрезке времени линейных нестационарных систем // Известия HAH PK , серия физ.- мат. , 199Э, * 5 (174) . - С. 21-25. ( в соавторстве с Бияровым Т.Н.)

2. Об устойчивости линейных нестационарных систем // Алма-Ата „ деп. в КазНИИНКИ „ 1992, вып.2, С.З.

3. Устойчивость на конечном отрезке времени линейных нестационарных систем // Тезисы докладов Украинской конференции , Киев , 26- 28 мая 1992 г., С.20 - 21 .

4. О стабилизации движения квадратических систем на конечном отрезке времени // Тезисы докладов Украинской конференции , Киев , 24-28 мая , 1993 г., С. Э-

5. К устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени // Алматы » деп., в КазгосИНТИ, 1994 , вып.2 , с.5. ( в.соавторстве с Бияровым Т.Н.)

6. О стабилизация движения квадратических систем на конечном отрезке времени // Тезисы докладов конференции молодых ученых КазГУ , Алматы , 25-26 марта , 1993 г.-С. 16 - 17 .

JB3SM0BA K- C-CfcfShKTU 2sne KcajpaTTM j5M$$epeHUHaJ4H« 3KYi5e.uep^)a opHHKm?iHFHH seprroy

Sv-MkKTa JlsmyHOBTHH gkImni tscLiIhih om\ spi jaMurasyti oo-jrwn ecenTejiexiHf aKbipjiw yaKNT apajayHaaaFM KosrajrwcTbsi opHinowm-ju Typa^y ecerrri 3epTrey4iH xawa aaicTepi KspceTiJtren-

KBa3Hcw3bDrrH0 KBajsparru s9He crauMonap s»ec ctstacrt-i SYBe,iep-juiH KosrajifciCKH opHHKTamo>ipy ece<5i Eeiai.iraH- Aniip^ai yarcbrr apa^m-FMHjsaru Kosra'jibic ophuktiwmfm Typa-itt xeopetcaHMH cajujaphnah Tytst-¿afimH sana a/tlcr 1h KeMer !i.<3H chsujoh KYf?ejiepalH araapcis yaKwr apa.'airuHjsari! acMMrrroTHKa.»!* opHbKTUBurwHWH za;inii KpKTepwl a.RHH-FaH-

dalbekgva K. S. Investigation of the stability linear and quadratic differential system

Hew approaches to the i nvsstl gati on of t,h<3 ticis-llniit stability being lh& fur the-r development of tho Lyapuncv functional rrot hr>d are proposed.

Th® problem of itabt1isation pf tha movsniant of quazilinear, quadratic and Unoar n(jnstatic nystea at the tira-a-limit lengthis solved, Jen^ral criterion of the? asymptotic stability on th® liiaitlwss tiim? length is c.chl«»v»d with th® help of naw approach« rising frora the result of the theorem on the stability at tfra tizw-1 iiri t length.

Подписано к печати 24,11.94 г. Заказ 546. Тираж 100 экз. Ротапринт КазНИИЭО АПК, г.Аяматы, ул. акад.Сатпаева 30б.