Асимптотические свойства систем линейных стохастических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.•.

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФАКТЫ.II

ГЛАВА I. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§ I, Общие определения, ••-••••••••••••••

§ 2. Частичная устойчивость в среднем квадратическом.

§ 3, Относительная устойчивость в среднем квадрати ческом.

§ 4« Общий анализ поведения в среднем квадратическом решений систем стохастических уравнений.

§ 5, Устойчивость решения стохастического дифференциального уравнения второго порядка.

§ 6. Обобщения. • • • •

ГЛАВА П. УСТОЙЧИВОСТЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ I РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 7. Общие вопросы устойчивости с вероятностью I систем линейных стохастических дифференциальных уравнений.

§ 8, Асимптотическое поведение решения уравнения колебаний второго порядка. •••••••••••••

СПИСОК 0СН0Ш0Й ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

Теория стохастических дифференциальных уравнении была основана в работах Гихмана И.И. [4,5,б] и Ито К. [l2,I3,I4] и в дальнейшем развивалась многими авторами (см., например, список литературы в [il] ).

Теория стохастических дифференциальных уравнений содержала в частности и результаты аналогичные тем, которые имеются и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений: условия существования и единственности решения, характер зависимости решения от начальных данных или параметров, входящих в коэффициенты уравнений , исследование асимптотического поведения решения. Сущеетво-вали также задачи, присущие только этой теории: вывод уравнения Колмогорова для вероятности перехода, исследование эргодических свойств, изучение вопросов абсолютной непрерывности мер, соответ-т ствующих решениям уравнений с различными коэффициентами [l5,I7, 18,19,28,32,33] .

Во многих задачах, рассматриваемых в радиотехнике, в теории колебаний, в теории управляемых систем возникает необходимость учитывать случайные возмущения:, воздействующие на систему (например, флуктуационные токи, возникающие в радиотехнических системах в силу дискретности носителей тска и участии их в тепловом броуновском движении). Если невозмущенная система описывается некоторым (многомерным) дифференциальным уравнением, то возмущенные системы естественно описывать с пшощью стохастических дифференциальных уравнений. Одним из вашейших вопросов, который представляет интерес в прикладных исследованиях, является вопрос об устойчивости системы. Большой ряд работ посвящен вопросам устойчивости систем, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вопросы устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и общих марковских процессов, частными случаями которых являются решения стохастических дифференциальных уравнений, изучались в работах [i,2,7,8,9,22,26,27,32,33] . Особый интерес для практических приложений имеют линейные системы, Устой

33] , Невель-8]. чивость линейных систем изучали Засьминский Р.З. сон М.Б. [24,25] , Турчин В.Н. [29,30] , Беме 0.

Исследованию устойчивости линейных систем стохастических дифференциальных уравнений посвящена настоящая диссертация.

Б работе рассматривается линейная система стохастических дифференциальных уравнений следующего вида dxt = Axtdt + Bxtdw(t) , (o.D где к и В постоянные матрицы размерности П *fl , W(t) - одномерный винеровский процесс. Исследуются условия, пр. которых решение этой системы Xt(x) с начальным условием Х0(Х)-Х (в зависимости от X ) является устойчивым в среднем квадрати-ческом (ср.кв.) и с вероятностью I.

В § I приводится определение устойчивости в ср.кв.системы (0.1) и получен критерий такой устойчивости.

Теорема I.I. Для того, чтобы система (0.1) была устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица С>о , что

Q(C)=АС+СА*+ ВСВ*^ о.

В § 2 рассматривается случай, коэда решение системы (0.1) является устойчивым в ср.кв.цри некоторых начальных условиях. Доказывается, что множество таких начальных условий образует инвариантное для системы подпространство. Системы, для которых такое подпространство существует, называются частично устойчивыми в ср.кв.

Лемма 1.1» Для того, чтобы некоторое подпространство было инвариантным для системы (0.1) необходимо и достаточно, чтобы оно было инвариантным для матриц А и В .

Получены два критерия частичной устойчивости в ср.кв.системы (0.1).

Теорема 1.2. Для того, чтобы систеш (0.1) была частично устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовало подпространство , инвариантное для матриц Л и О и такое, что система (0.1), рассматриваемая на L , устойчива в ср.кв.

Теореш 1.4. Для того, чтобы система (0.1) была частично устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица что

0(C) * -оСС для некоторого сС>0 •

Если расстояние решения систеш (0.1) Xt(X) до некоторого подпространства стремится к нулю в ср.кв.при для любого X € R , то систеш называется относительно устойчивой в ср. кв. Подпространство минимальной размерности, относительно которого систеш устойчива в ср.кв.является инвариантным подпространством для нее.

В § 3 получен щжтерий относительной устойчивости в ср.кв. системы.

Теореш 1.6. Для того, чтобы систеш (0.1) была устойчивой в ср.кв.относительно некоторого подпространства необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица С^-0 ( С ^ О ), что

8(С)=А*С+СА+В*СВ±-оСС для некоторого оС>0 .

В § 4 вводится понятие неприводимой систеш. Это такая система, для которой не существует нетривиальных инвариантных подпространств. Для неприводимой системы устойчивость в ср.кв.вытекает из того, что есть устойчивость хотя бы при одном начальном условии, отличном от нуля.

Теореш 1.7. Если ) инвариантное подщространство для систеш (0.1) в R максимальной размерности, М -его ортогональное дополнение, Рм - оператор проектирования на Д/ , то система dZt -PMAPJtdt+P„BPJtdw({) (о.2) неприводиш в

М .

Те op em 1.8. Если выполняются условия предыдущей теоремы, то для того, чтобы система (0.1) была устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы а) система (0.1) была устойчивой в ср.кв.в L б) система (0.2) была устойчивой в ср.кв.в М .

Данная теорема имеет важным следствием возможность свести изучение устойчивости в ср.кв.системы (0.1) к исследованию ее на некоторых подпространствах, где она неприводима.

Пусть Lf /,2 - • • С~~ Lm-i ^ Lm - цепочка инвариантных подпространств для систеш (0.1) таких, что ,

Lk - инвариантное подпространство максимальной размерности в Lkh {Lk^L кн ) К—1, /77- / ,L л - инвариантное подпространство, в котором система (ОЛ) неприводима. Пусть

Мl ~ Ll &Li-i L = 2,m , a Pi - оператор проектирования на подпространство Mi (1~2упт)л Система dlt = Pi 4 Pi Zt dt +PlBPl Itdw(t) (o.3) неприводима в подпространстве ML (L -2}Гп).

Дяя устойчивости в ср.кв.системы (0.1) в инвариантном подпространстве Lk ( К-1,П7 ) необходимо и достаточно, чтобы система (0.1) была устойчива в ср.кв.в Li и чтобы система (0.3) была устойчива в ср.кв.в Mi для всех 1—2,К.

Для устойчивости в ср.кв.системы (0.1) относительно инвариантного подпространства Lk ( К-1,ГП ) необходимо и достаточно, чтобы система (0.3) была устойчивой в ср.кв.в Mi для всех L— К+1,171.

В § 5 рассмотрено линейное стохастическое дифференциальное уравнение второго порядка (0.4)

Это уравнение будет приводимым, если

A=oCde-fiy6-f=0. (0.5)

Показано, что если выполняется условие (0.5) и д >0 , (о.б) то уравнение (0,4) будет частично устойчивым в ср.кв. Подпространство начальных условий, для которых уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв., образует прямую L » порожденную вектором Q =(бК) • Если выполняется условие (0.5) и ds[2fi - №)*] < о , (0.7) то уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв.относительно подпространства l . Если выполняются условия (0.5), (0.6), (0.7), то уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв.

Если же А , то есть уравнение (0.4) неприводимо, то оно будет устойчивым в ср.кв.тогда и только тогда, когда выполняется неравенство e-2f-g>0 или система неравенств e<f<o fs-ge>o при некотором К>0 , где

Б частности, при фиксированных коэффициентах и ){-0 уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв.для тех 6 , для которых д'< max l^L [(4оС-/) к - 2{к (оСк-1)р - (оСк+ 1)s];2/sj.

Б § 6 рассматриваемые в предыдущих параграфах методы переносятся на систему стохастических дифференциальных уравнений следующего вида dxi-Axtdt+dYtx1: , (0.8) где А - постоянная матрица, a Vt - матричный однородный цро-цесс с независимыми щмращениями, являющийся квадратически интегрируемым мартингалом. Для системы (0.8) справедливы теоремы I.I-1.8, только

Q(C)=AC+CA*+MKCK*, д(С)=СА*А'С + М№ .

Во второй главе изучаются условия устойчивости с вероятностью I решений системы (0.1) в предположении, что она неприводи-ма. В § 7 устанавливается, что у решения неприводимой системы существует плотность вероятности перехода (относительно меры Лебега). Рассматривается марковский процесс на сфере - Xt//Xj, Он является диффузионным, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению где а(х) =[А - (Вх,х) В - (Ах, х)-£ (Вх, Bx)+^(Bx,xf]x, 6(х) = Вх~(Вх,х)х.

Процесс ^ тоже имеет плотность вероятности перехода относительно меры Лебега на единичной сфере. Как феллеровский процесс на компакте он имеет стационарные распределения, которые также будут иметь плотность вероятности перехода. Пусть /Ji(dy) - некоторое эргодическое распределение. Для \хь\ справедливо представление

IxJ=lxJexp[jR(b)dt + f(Bft, It) dw(t)}, о о где

R(x)=(Ax, x) +^(Bx, Bx) - (Bx, x)2.

Теорема 2.4» Для того, чтобы систеш (0.1) была устойчива с вероятностью I необходимо и достаточно, чтобы существовало такое эргодическое распределение Ji(dy) процесса , что jR(y)TUdy) < 0 .

В § 8 рассматриваются возмущенные случайным образом колебания второго порядка Xf-fioc't-oCXt~0 следующего вида dx't=(oCxt ^fix't)dt++8x't)cLw(t) и исследуется асимптотическое поведение цроцесса \Pt , для которого

Специально рассмотрен случай Jb~/f 0 ,of=-/ (гармонические колебания в случайной среде).

Теорема 2.5. Пусть Xt решение стохастического уравнения dx't-6 x'td Wi-td^cLt = О

Оно устойчиво с вероятностью I при любых 3Ф0 и любых начальных условиях.

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФАКШ

1. Вероятностное пространство £ QjtFj РJ - это тройка, состоящая из некоторого множества 9 , называемого пространством элементарных событий, в -алгебры f подмножеств Ф , называемых событиями, и нормированной меры Р на , называемой вероятностью. Обычно вероятностное пространство будем предполагать фиксированным. И все случайные процессы будут заданы на этом пространстве.

2. Совокупность б -алгебр » являющихся частями Т , называется потоком (О -алгебр), если монотонно зависит от i , то есть при -алгебра трактуется как множество событий, которые могут наблюдаться до момента t включительно. Процесс называется согласованным с потоком % » если -измерим. Будем считать, что фиксирован некоторый потек ^ на вероятностном пространствejQt7fPj и рассматривать только согласованные процессы.

3. Согласованный процесс w(t) называется винеровским, если он непрерывен и

М {[w(t) - w(s)]/%}=0; Ml[w(i)-w(sf/?s} =t-s при S<^ . Это однородный процесс с независимыми приращениями, для которого W(t) имеет нормальное распределение со средним О и дисперсией Ь •

Согласованный процесс называется мартингалом, если

Ml§tl<°° и при s<i

Процесс oCt называется характеристикой мартингала , если - oCt мартингал.

Теорема Леви. Непрерывный мартингал с характеристикой t является винеровским процессом.

4. Для всякого измеримого согласованного процесса f(S) , для которого J~2(s) f локально интегрируемо, определен стохастический интеграл Jf(s) d w(s) так, что выполняются следуюо щие свойства; а) интеграл является аддитивной и однородной функцией f ; б) если для всех t>o

J [ Ш-f(s)f ds ~ О О по вероятности, то t

Jf„ (s) dw(s) — f/(s) dw(s) по вероятности; t в) если J Mf (s)Us<oo для всех t , то

Mfffs) cLw(s) = 0, о t 2 * M(fffs)d w(s)) = JMf'fs) ds.

О о t

Интеграл J / (S) dw(s) является непрерывным мартингалом с о t характ ерис тикой J J- к fs) ds ; о t г) Jf(S)ctw(S) непрерывен с вероятностью I; о д) справедлива следующая формула Ито; если Ci(s) и 6(S) такие функции, что определены интегралы t ± f a(s)ds и /-6(s)dw(s) , и о t y(t) = Jafsj ds + J6(s) d w(s) , о ° то душ всякой дважды непрерывно дифференциру емой функции

- Л/Гm)a(s) * jrft(sprs)]ds и

-b t. f/'Ы 6(s) dw(s)

5. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение dxt = a(t, xt)di + 6(t, xt) dw(i), (o.9) где Ct(t,CC.) и 6(t,X) неслучайные измеримые функции. Согласованный процесс Х± называется решением этого уравнения с начальным условием Х0 , если существуют интегралы ь i fa(s,xs)ds и f6(s,xs)dw(s), о о t и xt-x0~Ja(s,xs)cls + ffi(s,xs)dw(s) . о о

Теорема (о существовании и единственности решения). Пусть измеримые коэффициенты Cl(t,x) и 6(t,X) удовлетворяют условиям:

Cl(tf0) и 6 ft, 0) локально ограничены; б) существует локально ограниченная функция к(t) такая, что при

S<t la(s,х)-а($,у)1-*-16($,x)-6(s,K(t)jx-y! для всех X, у • Тогда существует и притом единственное решение уравнения (0.9) при заданном начальном условии.

Обозначим через (t) решение уравнения (0.9) с начальным условием . Тогда в условиях теоремы ^(t) непрерывно по X в среднем квадратическом.

6. Однородный марковский процесс ^(i) в Rп с вероят -ностью перехода P(t, называется феллеровским, если для всякой ограниченной непрерывной функции }(х) ff(y)P(t,X,Cly) является непрерывной функцией X •

Теорема. Пусть d(t,x) = CL(x) и 6(t,Xj = 6fx) , тогда решение уравнения (0.9) является однородным марковским процессом с вероятностью перехода

P(t,x,A) = P{b(t)eA}.

Этот процесс является феллеровским.

7. Пусть однородный марковский процесс, заданный на компактном множестве К^ R , с вероятное тью перехода Р(tfX,A), Мера Ti(dx) называется стационарной для процесса ^ , если fP(t,x,A)Ti(dz) -Jl(A) для всех i и А .

Теорема. Если цроцесс ^t является феллеровским, то у него существует стационарное распределение.

Стационарное распределение fifdoc) называется эргодическим, если для всякой ограниченной измеримой функции f(x) ит {fmds -/mm) для почти всех по мере Jl(dx) начальных условий .

Теорема. Всякое стационарное распределение является смесью эргодических.