Устойчивость стохастических систем со случайными скачками фазовых траекторий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАВЬЯЛОВА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА

УСТОЙЧИВОСТЬ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКАМИ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Специальность 01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2004

Работа выполнена в Уральском государственном университете путей сообщения на кафедре высшей математики.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Тимофеева Г.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пакшин П.В.,

кандидат физико-математических наук, доцент Ряшко Л.Б.

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита состоится

"ЬО" О&дЯиЯ 2004 г. в ££

на заседании

диссертационного Совета К 212286.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им. А.М. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослан Учёный секретарь

диссертационного Совета доктор физ. - мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение многих реальных процессов, происходящих в природе, технике, естествознании, связано с рассмотрением дифференциальных уравнений, параметры которых случайные функции времени. Математическое моделирование динамики таких систем проводится с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Основы теории стохастических дифференциальных уравнений были заложены в работах К. Ито, Р.Л. Страто-новича, И.И. Гихмана, А.В. Скорохода, D. Williams, R.S. Bucy, A. Friedman и др. в пятидесятых годах прошлого века. В современной теории случайных процессов широкое распространение также получили модели, параметрами которых являются однородные марковские цепи с конечным числом состояний. Такое описание объекта управления оказалось наиболее полным, поскольку однородная марковская цепь несёт информацию о режиме (или структуре) объекта в данный момент времени, а фазовый вектор описывает его состояние в данном режиме. В отечественной литературе описанные системы называют системами со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «системы со скачками» (jump systems).

Одним из основных условий физической реализуемости эволюционного процесса является его устойчивость. Основы теории устойчивости и управления систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, заложены Н.Н. Красовским, ИЛ. Кацом, Р.З. Хасьминским и Э.А. Лидским в начале 60-х годов 20 века. Круг исследования стохастических систем со структурными изменениями значительно расширяется в работах В.Н Афанасьева, В.Б. Колмановского, ИЛ. Каца, Д.Г. Кореневского, Г.Н. Милыптейна, А.А. Мартынюка, А.И. Маликова, В.Р. Носова, П.В. Пакпшна, Н.А. Пакшиной, Л.Б. Ряшкой др.

В работах ИЛ. Каца, ГТ.В: Пакшина, Н.А. Пакшиной, А.И. Маликова рассмотрены проблемы устойчивости систем со случайной структурой, в том числе и при предположении, что в случайные моменты скачкообразного изменения параметров системы фазовый вектор её состояния также может изменяться

скачком. В работах этих авторов получены необходпмые.и Достаточные!усп0-

t::;;,"¡потека"

C.i:erepGypr —

OD 2ЭЭТакТЬ$Г

вия вероятностной устойчивости, разработаны алгоритмы и методы исследования робастной устойчивости, изучены задачи управления и стабилизации стохастических систем со скачками в предположении, что условия скачка фазового вектора описываются неслучайными функциями.

Однако представляется естественной ситуация, когда в случайные моменты времени за счёт перехода системы из одного состояния в другое фазовый вектор изменяется скачком случайным образом. Скажем, если в механических системах изменение структуры связано со случайным скачкообразным изменением массы или геометрии системы, то корректная постановка задачи требует задания новых начальных условий, поскольку фазовый вектор оказался разрывным. Подобные проблемы возникают в виброударных, экономических и других сложных системах, связанных с частичным отказом элементов. В данной работе рассматриваются вопросы устойчивости систем случайной структуры при условии, что в момент смены структурного состояния скачком изменяется фазовый вектор, причём начальные условия для. продолжения процесса являются случайными и зависят как от структурного состояния системы, так и от случайной величины с известными характеристиками распределения. Исследование устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, базируется на методах, использованных в монографии И.Я. Каца «Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазового вектора.

. Целью работы является исследование асимптотической устойчивости и устойчивости в среднем квадратичном линейных и нелинейных систем со случайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использованы теория вероятностей, теория случайных процессов, линейная алгебра, математический и функциональный анализ, методы теории устойчивости по Ляпунову и теории стохастической устойчивости. Для моделирования динамики процессов использован пакет программ Mat Lab.

Научная повизна работы. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

• Для линейной стационарной системы со' случайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора построена детерминированная система дифференциальных уравнений для моментов второго порядка. Устойчивость полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений влечет устойчивость исходной стохастической системы со случайными скачками фазового вектора. Для одномерной системы со случайными скачками фазового вектора получены условия для параметров случайного скачка, при выполнении которых неустойчивая стохастическая система без скачков становится устойчивой при их появлении.

• Получены выражения усреднённой производной в силу системы со случайной структурой со скачками для двух основных типов марковских процессов. На основе этих результатов.проведено исследование устойчивости нелинейных стохастических систем со случайными скачками фазового вектора.

• Методом первого приближения получены достаточные условия асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном нелинейной стохастической системы со случайными скачками.

• В качестве системы первого приближения рассмотрена система со случайной структурой, полученная «замораживанием» коэффициентов. Для этого случая получены достаточные условия, налагаемые на вероятностные характеристики марковского процесса, а также на параметры нелинейной системы и параметры скачка, при которых нелинейная система со скачками экспоненциально устойчива в среднем квадратичном:.

Теоретическая я практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие теории устойчивости систем со случайной структурой. Практически результаты могут быть использованы при моделировании сложных динамических систем с отказами механизмов и других нарушениях. Применение результатов работы позволит стабилизировать работу динамических систем со случайными сбоями, поскольку во многих случаях случайным изменением начальных условий фазового вектора можно неустойчивую систему со случайной структурой привести в устойчивое состояние.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на открытых научных семинарах кафедры «Кибернетика» Московского государственного института электроники и математики под руководством проф. В.Н. Афанасьева; кафедры «Теоретическая механика» УрГУ под руководством проф. Ю.Ф. Долгого; кафедры «Высшая математика» УрГУПС под руководством проф. И.Я. Каца и доц. Г.А. Тимофеевой.

Основные результаты диссертации докладывались на 7-ом и 8-ом международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2002 г., 2004 г.); на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (г. Челябинск, февраль 2002 г.); на 2-ом международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (г. Москва, 2002 г.); на международной научно-технической конференции "Кибернетика и технологии 21 века" (г. Воронеж, 2002 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту-2000» (УрГУПС, Екатеринбург, 2000 г.); на научно-технической конференции «Молодые учёные - транспорту» (УрГУПС, Екатеринбург, 2001 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (УрГУПС, Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (УрГУ, г. Екатеринбург, февраль 2004 г.); на 35-ой региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г. Екатеринбург, 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-13].

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 84 названия. Диссертационная работа занимает 112 машинописных страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор современного состояния исследуемой проблемы, приведён обзор работ российских и зарубежных авторов, изучавших близкие задачи, кратко изложено содержание работы.

б

В первой главе рассматривается задача устойчивости в среднем квадратичном линейной стационарной стохастической системы, испытывающей параметрическое воздействие простой марковской цепи с конечным числом состояний. Характеристика движения осложнена тем, что в моменты случайного скачкообразного изменения структуры системы, так же скачком изменяются координаты фазового вектора. Первая глава объединяет 6 параграфов.

В § 1 рассматривается постановка задачи, а также вводятся все необходимые определения стохастической устойчивости системы, описанной следую -щим уравнением

dx = A (y(t))xdt + É crv (y(t))xdwv (t), (1)

v-l

где вектор фазовых координат системы, время / может изме-

няться в области I = Вектор-функция ,y(i)j описывает воздействие

случайных параметрических возмущений, действующих на систему. Предполагается, что при каждом функция принимает значения из множества

и является простой марковской цепью, переходные вероятности которой допускают разложение

Р{уО) = уj | Я*)=yl*yJ} = q,J-{t-s)+o(t - s) (2)

P{y(j) = y„s<T й Я*) = y,} = 1- q, • {t- s)+ o(t - s), (3)

где qtj -известные величины, характеризующие интенсивность переходов марковской цепи. Будем говорить, что при y(t) = yt система (1) находится в /-ом структурном состоянии. o(t — s) —бесконечно малая величина при t—>s, более высокого порядка малости, чем (t — s). Функция vv(i) = {wl(i),...,H'm(i)} является —векторным винеровским процессом. -матрицы размерности определенные при каждом

Предполагается, что в случайный момент времени ¿ = 1" при переходе системы (1) из состояния у(г — 0) = у1 в состояние у(г) = у} Ф у{ с переходными вероятностями (2), (3) происходит скачок фазового вектора согласно соотношению

N

(4)

где вектор фазовых координат системы (1), непрерывный справа, то

есть х(т) = х(т + 0); К^ -известные матрицы размерности пап, = / Фзависящие от структурного состояния системы; Q^ -известные матрицы размерности - независимые случайные величины, для которых вы-

полняется л/£=0, м£=\ (М- знак математического ожидания). Предполагается, что случайные величины не зависят от реализации винеровского процесса и^) и состояний марковской цепи- у{/). Для различных моментов времени соответствующие случайные вектора также независимы.

В §2 строятся моментные уравнения для стохастической системы (1), (4). Показывается, что дифференциальные уравнения для моментов первого порядка системы имеют вид

/и, = ( 4 ~ ) + £ Чц К^ т} >

(5)

и не зависят от постоянных матриц

Здесь обозначено д, = Т,дв, = Щх^х^У^^У^

В этом же параграфе рассмотрена проблема экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом системы (1), (4). Для систем такого типа стро-

ятся матричные дифференциальные уравнения для вторых условных моментов решения, анализ которых позволяет исследовать среднеквадратическую устойчивость исходной стохастической системы. Доказывается следующее утверждение.. Здесь и далее нумерация теорем и утверждений такая же, как в основном тексте диссертации.

ТЕОРЕМА 2Х Для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном системы со случайной структурой (1), испытывающей воздействие марковской цепи с известными параметрами распределения (2), (3), и со случайным условием скачка (4) необходимо и достаточно, чтобы была экспоненциально устойчива детерминированная система матричных дифференциальных уравнений для моментов второго порядка

которые следует решать при начальных условиях

Здесь введено обозначение

В доказательстве теоремы показано, что исследование среднеквадратиче-ской устойчивости стохастической системы со скачками сводится к анализу устойчивости детерминированной системы для моментов второго порядка.

В § 3 анализируются условия устойчивости в среднем квадратичном с помощью построенной системы для условных моментов второго порядка. Особое внимание уделяется особенностям случайных разрывов фазовой траектории, а именно, ищется ответ на вопрос: каким условиям должны удовлетворять параметры скачка фазового вектора, чтобы система со случайной структурой была экспоненциально устойчивой в среднем квадратичном. В качестве примера рассмотрено линейное дифференциальное уравнение со случайной структу-

ры, независящего от компонентов винеровского процесса, и случайное условие скачка фазового вектора. Проведённые исследования приводят к выводу о том, что детерминированная часть скачка должна стремиться к единице, а случайная составляющая должна быть мала.в окрестности невозмущённого движения. Найдены условия, налагаемые на параметры скачка фазового вектора, при которых неустойчивую систему случайной структуры без скачков можно привести в устойчивое положение.

В § 4 представлен вывод усреднённой производной (или производящего дифференциального оператора) в силу линейной системы со случайной струк-

~ам\у\

турой (1) (обозначаемое далее

Л

и случайным условием скачка фа-

0)

зового вектора (4) для двух основных типов марковского процесса. В случае если случайный процесс у(() является простой марковской цепью справедливо следующее утверждение.

ЛЕММА 4.1. Для усредненной производной квадратичной функции У0,х,у) в силу системы (1), зависящей от параметров простой марковской цепи (2), (3), и с условием скачка фазового вектора (4) в точке справедлива формула

ам[у\ л

«о

_дУ(з,х,у,) , д*

дУ_ дх

д^У дх

2 У,)

Здесь У(1,Х,у) - квадратичная форма по переменной х, определённая в области Р:

хеЯ("\уеУ, Г>0, (8)

Если компоненты _у,, 5 — г - вектора у(1) образуют между со-

бой чисто разрывные марковские процессы, допускающие разложение

Р{у& + А/) е (Р,р + ЩуМ) = аФ р\ = 9)(*,а,/?)Д/?Д* + £>(Д0 Р{у,(т) = а^<г<1 + Цу, (0 = а] = 1 - а)М + о(Ы), (9)

где дг (<, СС,Р), д, а) - известные функции, причем, д^ (/, аг,+оо) = д3 (/, а), то

справедливо следующее утверждение.

ЛЕММА 4.2. Для усредненной производной квадратичной' функции У((,Х,у) в силу системы (1), подверженной параметрическому воздействию чисто разрывного марковского процесса .КО е [^р^г] с переходными вероятностями (9), и с условием скачка фазового вектора (4) в точке справедлива формула

глда]

Л _|(1) " ' " \дх) 2

т

В § 5 проведено исследование устойчивости в среднем квадратичном линейной стохастической системы (1), (4) с помощью метода функций Ляпунова. Получен аналог матричного уравнения Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для системы (1) - (4) справедлива следующая система матричных дифференциальных уравнений:

в,А, + А,Ц + ¿Х^* + ЕОД*, + ШСД-С^д^-С,,

/,У = 1.....К I*]. (11)

где С{ =С(у,), С, =С(.У,) - симметричные, положительно определённые матрицы размерности пхп соответствующих квадратичных форм = х'С(у,)х, У(х,у1)=х'С(у1)х по переменной х. В равенстве (11) обозначено А, = А(у,),а„ = <7„(.у,), /,} = 1,...,к,

Это уравнение позволяет получить ряд алгебраических критериев экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном, в зависимости от выбора функции

В § 6 смоделирована динамическая система, описывающая движение материальной точки по циклоиде с параметром, зависящим от простой марковской цепи с двумя состояниями. В момент перехода из первого состояния во второе фазовый вектор изменяется скачком случайным образом. Для этой системы получены условия устойчивости в среднем квадратичном с помощью метода моментов. Второй пример в этом параграфе иллюстрирует применение метода функций Ляпунова к системе со случайной структурой со скачками.

Вторая глава диссертации (§7-§11) посвящена исследованию нелинейных стохастических систем со случайными скачками фазовых координат системы. Здесь рассматриваются некоторые приложения основных теорем о вероятностной устойчивости, прежде всего для изучения влияния изменений параметров системы и параметров случайного скачка на устойчивость системы. По аналогии с детерминированными системами такая задача носит название задачи об устойчивости по первому приближению. Многообразие возникающих здесь постановок задач связано со способом выбора системы первого приближения и характером близости между исходной и упрощённой системами.

В частности, в §8 изучается поведение системы

<Ь = [А«,у«))х+ Д-, + I к С. у(0)х + ^(л(0 (12)

с нелинейным условием скачка

гМ-^г-ОН^Мг-О)), (13)

где >>(*)), а„ известные их л- матрицы с заданными свойствами,

а вектор-функции 8у(?,х,у({У) удовлетворяют условиям Липшица

и, кроме того, условиям

где у- некоторая положительна постоянная.

В качестве системы первого приближения рассматривается линейная стохастическая система

¿г(0 = А(1,у( t))xdt + í(тv(t,y{t))xdwv(t) (15)

и линейное условие скачка фазового вектора х(1)

х{т) = Кух(т-0) (16)

Для системы (12), (13) справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 8.1. Если невозмущенное движение х = 0 системы (15) с условием скачка фазового вектора (16) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном, а постоянная в условии (14) достаточно мала, то невоз-

мущенное движение полной системы (12) с условием скачка (13) асимптотически устойчиво по вероятности в целом, и экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном.

Также приводится модификация этого утверждения на случай, если нелинейные добавки малы в среднем по времени, то есть

¡я(л*>У)1^(о|4 |К(х)||<а>(оИ|, (17)

13

где <»(/)— непрерывная ограниченная функция в области ¥, для которой сугце-ствует такое положительное число что при всех справедливо не-

равенство

1 <о+г

- [аЦ)&<у,

1 'О

(18)

где - положительная постоянная.

В § 9 смоделирован процесс, описывающий присоединение или отбрасывание случайной массы тела, закреплённой на пружине с известным коэффициентом жёсткости. Методом моментов второго порядка получены достаточные условия устойчивости такого процесса. В этом же параграфе исследуется вопросы устойчивости такой системы, при условии, что на тело действует некоторая возмущающая сила. Демонстрируется применение метода первого приближения.

В §10 параграфе изучается задача об устойчивости по первому приближению системы со случайной структурой

(Ы = /{1,х,у{1))Ж + <т(их,у(1))М О,

(19)

где непрерывные функции /{¡1,Х,у), С^,Х,у) имеют в области Р непрерывные и ограниченные производные по х до второго порядка включительно:

где N > 0 некоторая постоянная.

Пусть в случайные моменты скачкообразного изменения вектора состояния системы у(1) фазовый вектор х(1) так же изменяется скачком по закону:

х(т) = К{а,Р)х(т-0)+ Х£&*(г-0), (21)

где Г-момент перехода системы из состояния у(т — 0)=ОГ, в состояние у(т + 0) = Р а; ¿¡г -независимые случайные величины, для которых 0, = 1; К(а,Ю -матрица размерности пхп, характеризующая переходное состояние фазового вектора в момент смены структурного состояния Qt — известные матрицы с постоянными коэффициентами размерности п х п. Предполагается, что в окрестности невозмущённого движения х = 0 параметры скачка фазового вектора ограничены:

\\К{а,Р)-Е\<у, ||а||¿г, ' (22)

при всех Здесь у - некоторая положительная постоянная.

Предполагается," что системой первого приближения является детерминированная система, полученная «замораживанием случайности» и имеет вид

¿ху =/0,ху,у)Ж + а0,х„,у)с1\\(1). (23)

где V - некоторое фиксированное значение марковского процесса. Будем предполагать, система (23) равномерно устойчива по параметру V, то есть

А/[|хДО|2|х,ао) = Л0]<^||х0||2в-Л('-"'), (24)

причем, постоянные А > О, Я > 0 не зависят от структурного значения системы V еУ при всех t>t0. Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 10.1. Пусть невозмущенное движение системы с неизменной структурой (23) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном равномерно по параметру V еУ и выполнено условие (24), кроме того, для систе-

мы со случайной структурой (19) и случайным условием скачка (21) справедливы условия (20), (22), а процесс у(р изменения структурного состояния является чисто разрывным марковским процессом (9). Тогда существует такая постоянная что при выполнении условия

7Г«,У) = 2у\ \/3 - а|р(5, а,/?>//? < в

невозмущенное движение системы (19), (21) будет экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном.

Требование, предъявляемое теоремой 10.1 к системе первого приближения (23), является довольно жёстким (в условии теоремы 10.1 требуется, чтобы система (23) была экспоненциально устойчива при каждом значении v e У). Поэтому рассмотрен случай, когда система первого приближения (23) с неизменной структурой экспоненциально устойчива- в среднем квадратичном равномерно по V лишь на некотором замкнутом множестве ЯсУ. А на множестве Т = У\Н система первого приближения (23), вообще говоря, не обладает этим свойством. В этом случае для экспоненциальной устойчивости системы (19), (21) оказывается достаточным, чтобы для чисто разрывного марковского процесса у(I) выполнялись следующие ограничения

Лф(/ + Л/)| I у(0 = 7 е 5] < <7,,

Д/-КН- д/

Нш + ДОег| у(!) = уеЯ}<сг2,

Ит ^-РЬ'О + ДО е 51 ЯО = у е Г} > сг3,

Д1->0+ Д/ 1

где (Г1,0'2,<73 — некоторые положительные постоянные, а для параметров скачка достаточно выполнения условий (22). Полученные условия означают, что

система (19), (21) будет экспоненциально устойчивой в среднем квадратичном, если вероятность перехода системы из устойчивых состояний в неустойчивые достаточно мала, тогда как вероятность обратных переходов достаточно велика. При этом, как и в теореме (10.1), параметры скачков малы и средняя скорость изменения процесса у(1) тоже мала, пока эти случайные изменения происходят на множестве устойчивых состояний.

Основные публикации по теме диссертации

1. Завьялова Т.В., Кац И.Я., Моментное уравнение и исследование устойчивости линейных систем со случайно изменяющейся структурой. Труды Всероссийской научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту-2000", УрГУПС, Екатеринбург, 2000, с. 449-450.

2. Завьялова Т.В. Устойчивость невозмущенного движения нелинейных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями. Сборник трудов УрГУПС. том 2,2001, с. 107-115.

3. Завьялова Т.В. Устойчивость стохастических систем со случайным условием скачка фазовой траектории. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели», Челябинск, 2002, с. 35-36.

4. Завьялова Т.В. Об устойчивости нелинейных стохастических систем со случайным условием скачка фазового вектора. Тезисы докладов 7-го международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2002, с. 88-90.

5. Завьялова Т.В. К вопросу об устойчивости стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями. Тезисы докладов 2-го Международного конгресса "Нелинейный динамический анализ", Москва, 2002, с. 75-77.

6. Завьялова Т.В., Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Об устойчивости движения стохастической системы со случайным условием скачка фазовой траектории. //Автоматика и телемеханика, 2002, №7, с. 33-46.

7. Завьялова Т.В. Условия стабилизации линейных стохастических систем со структурными изменениями и случайными разрывами фазовых траекторий. Сборник трудов 3-ей Международной научно-технической конференции "Кибернетика и технологии 21 века", Воронеж, 2002, с. 11-21.

8. Zavialova T.V. The analysis of stability of non-linear stochastic system* with random impulse in condition ofphase vector shock, proceedings ofthe "10th International Symposium on Dynamic Games and Applications", St.-Peterburg 2002. vol. 2, p. 903-906.

9. Завьялова Т.В. Стабилизация стохастических систем, испытывающих воздействие марковского процесса. Сборник научных трудов конференции «Молодые учёные - транспорту», Екатеринбург, УрГУПС, 2003, с. 448-457.

10. Завьялова Т.В. Метод функций Ляпунова в исследовании средне-квадратической устойчивости. Тезисы докладов Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, УрГУ, 2004, с. 161.

11. Завьялова Т.В. Устойчивость стохастических систем по первому приближению. // Вестник молодых учёных, серия «Прикладная.математика и механика», Санкт Петербург, 2004, №1, с. 23-29.

12. Завьялова Т.В. Моделирование, движения тела переменной массы. Материалы региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2004, с. 128-132.

13. Завьялова Т. В.-Устойчивость динамических систем со случайными скачками вектора состояний. Тезисы докладов 8-го международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2004, с.68-69.

Завьялова Татьяна Викторовна

Устойчивость стохастических систем со случайными скачками фазовых траекторий

Специальность 01.01.02. - дифференциальные уравнения

Подписано в печать 7.09.04 Формат 60x90 1/16

Бумага писчая № 1 Тираж 100

Объём 1,2 п.л. Заказ 215

Типография УрГУПС, 620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66

»171 15

Список основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Устойчивость линейных стационарных систем с разрывными фазовыми траекториями.

§ 1. Постановка задачи и основные определения.

§2. Моментные уравнения.

§ 3. Анализ условий среднеквадратической устойчивости.

§4. Формула усреднённой производной в силу системы.

§5. Метод функций Ляпунова.

§6. Пример.

Глава 2. Исследование устойчивости нелинейных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями.

§7. Постановка задачи.

§8. Исследование устойчивости стохастических систем по первому приближению.

§9. Моделирование движения тела переменной массы.

§10. Метод «замораживания случайности».

§11. Пример.

Настоящая работа посвящена исследованию задач устойчивости и стабилизации динамических систем, находящихся под воздействием случайных помех. Эти помехи могут иметь различную природу возникновения и вызывать изменения, как структурного состояния системы, так и разрывы фазовой траектории. В реальных физических, экономических и, других эволюционных процессах, случайное воздействие возмущений может привести либо к разрывам протекающего процесса, либо к его непрерывному изменению. Системы, характерным признаком которых является неоднородность пространства состояний, называют системами со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «системы со скачками» (jamp systems). В настоящее время большое внимание уделяется моделированию стохастических систем, которые встречаются в различных отраслях техники, механики, биологии и т.д. Особое место в моделировании случайных процессов занимает описание возможных случайных разрывов фазовых траекторий.

При анализе таких динамических систем, как правило, интересуют вопросы устойчивости, в том или ином смысле, стабилизации и оптимизации. Так как эволюция системы протекает под воздействием случайных факторов, то методы исследования устойчивости зависят в определенной степени от информации о помехах, действующих на систему. Если возмущения в системе отсутствуют или носят детерминированный характер, а информация об этих помехах исчерпывается лишь заданием областей их возможного изменения, то исследование устойчивости опирается, прежде всего, на фундаментальные результаты в теории устойчивости детерминированных систем, основанной Ляпуновым и, получившей своё развитие в трудах Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, Е.А. Барбашина, Н.Н.Красовского, А.И. Лурье, Дж. Массера.

Исследование устойчивости невозмущенного движения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на применении второго метода Ляпунова. В этой связи следует, прежде всего, отметить труды Барбашина Е.А. [5], Красовского Н.Н. [34-36], Матросова В.М. [54, 55], Якубовича В.А. [82]. Метод функций Ляпунова оказался эффективным средством исследования устойчивости и стабилизации разностных систем, а так же для систем с последействием. В этой области известны труды Мышкиса А.Д. [65], Колма-новского В.Б. [39], Шайхета [80, 81]. Бесспорное преимущество этого метода состоит в том, что систему дифференциальных уравнений можно исследовать на предмет устойчивости не интегрированием, а построением специальной функции с определенными свойствами, зависящей от правых частей рассматриваемой системы.

Моделирование реальных процессов, происходящих в природе, технике и других физических явлений, связанное с рассмотрением систем со случайной структурой, привело к созданию нового направления в теории устойчивости движения - стохастической теории устойчивости. Задачи устойчивости динамических систем при случайных возмущениях связаны с выяснением условий, при которых некоторые статистические характеристики движения (например, среднее значение координат и скоростей, их матрица кова-риации и т.д.) мало меняются при малом изменении возмущающих факторов. Основные базовые результаты в этом направлении были получены в работах Красовского Н.Н. и Каца И.Я. [25-29], Хасьминского Р.З. [78], Лидского Э.А. [51]. Исследования стохастической устойчивости так же базируется на втором методе Ляпунова, который использовался в ряде работ [3], [4], [7], [27], [29], [33], [40] и др.

В развитии стохастической устойчивости можно выделить два основных направления. К первому направлению относится изучение стохастических дифференциальных уравнений с непрерывными фазовыми траекториями, описываемые стохастическими уравнениями Ито [10]. Рассмотрение стохастических уравнений Ито приводит к исследованию стохастических интегралов, конструкция и свойства которых изложены во многих монографиях

8], [64] и учебниках по теории вероятностных процессов [10], [64], [66]. Результаты исследования устойчивости таких случайных процессов изложены в публикациях [15], [17], [32], [47].

В работе Мильштейна Г.Н. [61] впервые получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном в терминах функции Ляпунова для линейной системы, находящейся под воздействием марковской цепи. Для такой стохастической системы выведен аналог уравнения Ляпунова, высказаны общие соображения по анализу этого уравнения, приводящие к условиям экспоненциальной устойчивости линейной системы с мультипликативными белыми шумами и случайным изменением структуры. В публикациях [6], [25], [50] показано, что устойчивость линейной стохастической системы сводится к исследованию устойчивости линейной детерминированной системы, составленной для моментов второго порядка. Метод функций Ляпунова используется так же и для дискретных систем со случайной структурой. Например, в работах Пакшина П.В. [68-70] построена функция Ляпунова, обеспечивающая необходимые и достаточные условия устойчивости таких систем, исследована устойчивость в среднем квадратичном, получены критерии устойчивости линейных систем с мультипликативными белыми шумами.

Ко второму направлению следует отнести стохастические дифференциальные уравнения с разрывными фазовыми траекториями. В уравнениях такого типа предполагается, что в моменты смены режима (структурного состояния системы) фазовый вектор объекта управления изменяется скачком по некоторому закону. Рассмотрение задач с разрывными фазовыми траекториями позволило расширить известную теорию стохастической устойчивости. Основные результаты, полученные при исследовании вероятностной устойчивости (асимптотической, экспоненциальной, среднеквадратической и т.д.) с разрывными фазовыми траекториями опубликованы в работах [27],

29], [56], [57], [72]. Впервые такая проблематика рассмотрена в работе [27], где исследуется линейная система со случайной структурой

0.1) где *(/) - п - мерный вектор фазовых координат системы, y{t) - простая марковская цепь с известными вероятностями перехода. В момент перехода из одного структурного состояния в другое вектор x(t) изменяется скачком по линейному закону где г - момент перехода марковской цепи y(t) из состояния yi в состояние уj, а Су- заданная матрица размерности пхп, зависящая от структурного состояния системы. Таким образом, величина скачка пропорциональна матрице перехода, зависящей от переходного процесса.

Получено необходимое и достаточное условие устойчивости в среднем квадратичном для системы (0.1) с условием скачка (0.2), выписаны момент-ные уравнения. Для скалярного случая показано, что для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы соответствующая система без скачков обладала этим свойством, и коэффициенты Су удовлетворяли условию с у cjs = cis, cit = 1, i, j, s = 1,. к.

Данная диссертационная работа продолжает исследования в этой области. Основные результаты опубликованы в работах [13-24].

Первая глава данной диссертации так же посвящена исследованию и анализу устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем, испытывающих воздействие марковской цепи. Существенным предположением в х(т + 0) = Сих{т - 0),

0.2) постановке задачи диссертации является предположение о скачке фазового вектора, величина которого зависит от случайной величины с известными параметрами распределения. Такая ситуация является весьма распространённой на практике, что делает изучение таких задач актуальным как с теоретической точки зрения, так и с практической.

В ряде работ для исследования вероятностной устойчивости стохастических систем дифференциальных уравнений применяется метод вектор-функций Ляпунова (другое название векторные функции Ляпунова). Понятие вектор-функций для стохастических систем было введено Мильштейном [62], где с помощью них исследовалась устойчивость линейных систем, находящихся под воздействием марковского процесса. Дальнейшее развитие метода векторных функций Ляпунова получило в работах А.А. Воронова, В.М. Матросова [7], О.В. Григорьевой [9], Р.И. Козлова и М.П. Петрякова [37], Л.Б. Ряшко [60]. В этом методе в качестве компонент векторных функций Ляпунова рассматриваются матричные функции и строятся векторно-матричные системы сравнения, которые позволяют сделать вывод об устойчивости возмущенного движения стохастической системы дифференциальных уравнений.

Так, например, в работах МаликоваА.И. [56], [57] исследуется управляемая стохастическая система x = f(t,x,y(t)), (0.3) где х е R"' -nt— вектор фазовых координат системы в 1-м структурном состоянии, t el = [0,+оо), l(t) gL = {1,2,.,к]\ вектор-функция / непрерывна по (/,*)€/хГ2, (ПсЛЛ|) при каждом фиксированном l(t), обращается в ноль при х = 0, удовлетворяет условиям Липшица по х равномерно относительно / е/, l(t)eL. Предполагается, что если в момент t = ts происходит скачок из состояния j в состояние i, то в этот момент времени происходит скачок фазового вектора по закону x(ts+0) = x(ts) = <piJ(t,x(ts-0)), i,jeL, tee, (0.4) где — 0), + 0) — соответственно левый и правый пределы х(7) в точке ts; (ptj : в х R"j —> R"J — являются непрерывными по х и для них выполняется условие Липшица. Предполагается, что в переходные моменты изменяется и размерность фазового пространства. С помощью построения вектор-функций Ляпунова получены достаточные условия вероятностной устойчивости системы (0.3), (0.4).

К исследованию устойчивости нелинейных стохастических систем со скачками фазового вектора применяется классический метод первого приближения. Для стохастических уравнений с неизменной структурой задача об устойчивости по первому приближению рассматривалась в монографиях Р.З. Хасьминского [78], Гихмана И.И. и Скорохода А.В. [8]. Важные результаты в этом направлении для систем со скачками получены в работе И.Я. Каца [29]. В качестве систем первого приближения в [29] рассматривались либо стохастические системы, либо детерминированные, полученные «замораживанием» случайных факторов в системе. В работе И.Я. Каца [29] получены условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном для системы со случайной структурой в предположении, что правые части системы либо малы, либо малы в среднем по времени. Вторая глава данной диссертации продолжает эти исследования на случай случайных скачков фазовых траекторий. Следует отметить, что, несмотря на разрывный характер фазового вектора, удается определить условия существования функции Ляпунова и вычислить значение усредненной производной этой функции в силу системы со случайной структурой.

Эффективные методы решения задач управления для детерминированных и стохастических систем, в том числе в условиях неполной информации, предложены в работах А.Б. Куржанского [48], Ю.С. Осипова [67], Ф.Л. Чер-ноусько [79], А.И. Субботина и А.Г. Ченцова [75] и в работах многих других исследователей. Задачи оптимального управления стохастическими системами состоят в определении управления, реализующего экстремум математического ожидания заданного функционала (критерия качества), зависящего от траектории движения системы и управления.

В случае, когда имеется полное статистическое описание помех, задача оценивания и управления решается в рамках статистической теории фильтрации, созданной Н. Винером, А.Н. Колмогоровым, Р. Калманом [84]. Существенные результаты в этом направлении содержатся в работах Ф.Л. Черно-усько [79], В.Б. Колмановского [39], И.И. Гихмана, А.В. Скорохода [8] и многих других исследователей. Метод функций Ляпунова применялся в исследовании условий стабилизации для систем со случайной структурой с разрывными фазовыми траекториями. Здесь известны работы И .Я. Каца [29], Пакшина П.В. [72] и др.

Предлагаемая диссертационная работа состоит из двух глав, объединяющих одиннадцать параграфов. Первая глава посвящена изучению и анализу устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем со случайными скачками. Во второй главе рассматриваются вопросы устойчивости по первому приближению нелинейной системы случайной структурой, испытывающей воздействие чисто разрывного марковского процесса и, претерпевающая случайные разрывы фазовых траекторий.

Исследование устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, базируется на методах, использованных в монографии И.Я. Каца «Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазового вектора.

Остановимся подробнее на содержании работы.

1. Ананьев Б.И. О двойственности задач оптимального наблюдения и управ ления для линейных систем с запаздыванием. // Дифференц. уравнения 1974, т. 10, №7, с. 1060-1067.

2. Альбрехт Э.Г., Красовский Н.Н. О наблюдении нелинейной управляемо" системы в окрестности заданного движения. // Автоматика и телемеханика, 1964, №2, с. 1047-1057.

3. Ауслендер Э.И., Мильштейн Г.Н. Асимптотические разложения показате Ляпунова для линейных стохастических систем с малыми шумами. // При кладная математика и механика, 1982, т.46, вып.З, с. 358-365.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р., Математическая теория конструирования систем управления. Москва: «Высшая школа», 1998.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

6. Березина Е.Н. Левит М.В. Уравнения для моментов и условия устойчивости линейных систем со скалярным параметрическим возмущением цепью Маркова. // Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып.5.

7. Воронов А.А., В.М. Матросов. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Москва: Наука, 1987.

8. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова думка: 1968 354 с.

9. Григорьева О.В. Принцип сравнения с вектор функцией Ляпунова для стохастических дифференциальных уравнений.//Труды КАН, 1974, т. 171.

10. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. Москва: ИЛ, 1956.

11. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. Москва: Наука, 1980.

12. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLAB. М.: Наука, 1993, с. 111.

13. Завьялова Т.В. Устойчивость стохастических систем со случайным условием скачка фазовой траектории, Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели», Челябинск, 2002, с.35-36.

14. Завьялова Т.В. Об устойчивости нелинейных стохастических систем со случайным условием скачка фазового вектора, Тезисы докладов 7-го международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2002, с.88-90.

15. Завьялова Т.В., Стабилизация стохастических систем, испытывающих воздействие марковского процесса, сборник научных трудов конференции «Молодые учёные транспорту», Екатеринбург, УрГУПС, 2003, с. 448-457.

16. Завьялова Т.В. Устойчивость невозмущенного движения нелинейных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями, Сборник трудов УрГУПС. том 2, 2001, с. 107-115

17. Завьялова Т.В. Моделирование движения тела переменной массы, мате риалы региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2004, с. 128-132.

18. Кац И. Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами. // Прикладная математика и механика. 1960, т.24., вып.5.

19. Кац И. Я. Об устойчивости в целом стохастических систем.// Прикладная математика и механика, 1964, т.28., вып.2.

20. Кац И.Я. Об устойчивости движения стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями.// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сборник трудов: Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1988.

21. Кац И.Я. Об устойчивости в целом стохастических систем //Прикладная математика и механика. 1964. т. 28. Вып.2.

22. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Изд-во УрГУПС, Екатеринбург. 1998г.-222с.

23. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980. - 382 с.

24. Ким А.В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Изд. Уральского университета, 1992. - 144 с.

25. Красовский Н.Н. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях.// Прикладная математика и механика, 1960, т.24., вып. 1.

26. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

27. Красовский Н.Н. о применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. ПММ, 1956, Т. 20, Вып. 3, С. 315-327.

28. Козлов Р.И., Петряков М.П. Построение вектор функций Ляпунова и систем сравнения для некоторых стохастических дифференциальных систем.// Динамика нелинейных систем. Новосибирск: Наука СО, 1983.

29. Ковалева А.С. Синхронизация переходов между устойчивыми состояниями в нелинейных стохастических системах при действии слабого сигнала.// Тезисы докладов 7 Международного семинара « Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 2002.

30. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

31. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Киев: Наукова думка. 1989. - 208 с.

32. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова думка, 1983.

33. Корневский Д.П. Алгебраический критерий абсолютной устойчивости дискретных систем автоматического регулирования с нелинейной обратной связью.// Украинский математический журнал, 1989, т.4., №1.

34. Кощеев А.С. Об оценивании состояний управляемых многошаговых систем в условиях неопределённости. Сб. Исследования по прикладной математике. Свердловск, 1979, с. 33-62.

35. Кунцевич В.М Адаптация и робастность в системах управления.// Известия РАН. Техническая кибернетика, 1993, 32.

36. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. С.-Пб.: Наука, 1999. 459 с.

37. Кульчицкий О.Ю., Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование решений стохастических систем линейных стационарных дифференциальных уравнений // Электр. Ж. Дифференц. уравн. и проц. управл., №1, 1998 f http://www.neva.ru/iournan.

38. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. Москва: Издательство Мир. 1967.

39. Куржанский А.Б. О вычислении оптимального управления в системе с неполной информацией. //Дифференциальные уравнения, 1965, т. 1, №3, с. 524-531.

40. Лазарева А.Б., Пакшин П.В. Решение матричных уравнений Лурье, Риккати, и Ляпунова для дискретных систем.// Автоматика и телемеханика, 1986, №12.

41. Левит М.В., Березина Е.Н. Уравнения для моментов и условия устойчивости линейных систем со скалярным параметрическим возмущением цепью Маркова//ПММ. Т. 44. №5. 1980. С.792-799.

42. Лидский Э.А. Об устойчивости решений стохастической системы. В кн.: Труды межвузовской конференции по прикладной теории устойчивости движения и аналитич. механике. Казань, 1964, с. 96-101.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Москва: Гостехиз-дат, 1950, 472 стр.

44. Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова Думка, 1975.-352с.

45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. - 530 с.

46. Матросов В.М. Об устойчивости движения. // Прикладная математика и механика. 1962, т.26, вып. 5, с. 992-1002.

47. Маликов А.И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными изменениями.// Теория и системы управления. 1996, №2.

48. Маликов А.И. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем со случайными изменениями структуры.// Теория и системы управления, 1996, №3.

49. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления.// Техническая кибернетика, 1990, №1 (часть 1).

50. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления.// Техническая кибернетика, 1990, №2 (часть 2).

51. Мильштейн Г.Н., Ряшко Л.Б. Оптимальная стабилизация линейных стохастических систем.// Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып. 6.

52. Мильштейн Г.Н. Среднеквадратическая устойчивость линейных систем, находящихся под воздействием марковской цепи.// Прикладная математика и механика, 1972, т.36., вып.З.

53. Милыитейн Г.Н., Репин Ю.М. О воздействии марковского процесса на системы дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, №8.

54. Милыитейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1988, 225с.

55. Миллер Б.М., Панов А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002. 248 с.

56. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972, - 352 с.бб.Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, ООО «Издательство ACT», 2003. 408 с.

57. Осипов Ю.С. Информационная игровая задача. В кн.: Труды 2 конференции ИФИП, Новосибирск: СО АН СССР, 1974, с. 121-124.

58. Пакшин П.В. Устойчивость дискретных систем со случайной структурой при постоянно действующих возмущениях.// Автоматика и телемеханика, 1983, №6.

59. Пакшин П.В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем.// Автоматика и телемеханика, 1980, №2.

60. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. Москва: Наука. 1994.

61. Пакшин П.В. Робастная устойчивость и управление в классе дискретных систем со случайными изменениями параметров и структуры.// Теория и системы управления. 1996. №2.

62. Пакшин П.В. Робастное стабилизирующее управление нелинейными системами случайной структуры. // Тезисы докладов 7-го международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, 2002, с.164-166.

63. Ряшко Л.Б. Линейный фильтр в задаче стабилизации линейных стохастических систем при неполной информации.// Автоматика и телемеханика, 1979, №7.

64. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. т. 1., М.: Наука, 1968, с.7-66.

65. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. -М.: Наука, 1981.-288 с.

66. Угриновский В.А. О робастности линейных систем со случайно изменяющимися во времени параметрами.// Автоматика и телемеханика. 1994. №4.

67. Угриновский В.А. Экспоненциальная стабилизация нелинейных стохастических систем // Прикладная математика и механика, 1988, т.52, вып.1.

68. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. Москва: Наука, 1969, 316 стр.

69. Черноусько Ф.Л. Оптимизация процессов управления и наблюдения в динамической системе при случайных возмущениях. // Автоматика и телемеханика, 1972, № 4, с. 42—49.

70. Шайхет Л.Е. Устойчивость по вероятности нелинейных стохастических систем с запаздыванием // РАН. Математические заметки, 1995, С. 142-146.

71. Шайхет Л.Е. Устойчивость по первому приближению стохастических систем с последействием // ПММ, 1976. Т.40. Вып.6. С. 1116-1121.

72. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. в кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. - М.: Наука, 1975, с.74-180.

73. Willems J.L. Stability criteria for stochastic systems with colored multiplicative noise.// Acta mechanical, 1975, v.23.

74. Kalman R.E. New methods in Wiener Filtering Theory. Proc. Of the first Symp. on Eng. Appl. of random function Theory and Prob.J.Wiley, 1963, p. 112-120.