Устойчивость решений линейных систем со случайным импульсным воздействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Алчеков, Аширмамед Куреевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Киев МЕСТО ЗАЩИТЫ
1991 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.05 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Устойчивость решений линейных систем со случайным импульсным воздействием»
 
Автореферат диссертации на тему "Устойчивость решений линейных систем со случайным импульсным воздействием"

Киевский ордена Ленина и ордена Октябрьской революции государственный университет им.I.Г.Шевченко

На правах рукописи

АЛЧЕКОВ Аширмамед Куреевич

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИИ«!

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

А в т о р е ф ер а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена на кафедре интегральных и ди Херешиалг ных уравнений Киевского государственного университета им.Т. Г. Шевченко.

Научный руководитель - академик АН УССР, доктор физико-

математических наук, профессор КОРСЙПОК Е.С.

пяиццалыше оппоненты - доктор физико-математических наук,

профоооор ЦАРЬКОВ Е.Ф., кандидат фшгасо-штешхпческих наук СЕ-ШУК А.В,

Ведущая организация - Институт прикладной математик! и механики АН УССР ( отдел теории вероятностей), г.Донецк-

Защита состоится " ¿О " югДхода на

заседании специализированного совета К 000.18.II при Киевском государственном университете им.Т.Г.Иовченко по адресу: 252127 Киев-127, проспект академика Глушкова, 6-

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке К1У (ул.Вяадимирская, 62).

Автореферат разослан " Ч " 190/

Г'.'

Ученый секретарь - п/

.легализированного совета СУЕАЧСКИй В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория устойчивости динамических систем с детерминированным импульсным воздействием развита в работах А.М.Самойленко и Н.А.Перестюка.

Вместе с тем, естественно возникает проблема анализа устойчивости динамических систем, находящихся под воздействием импульсных возмущений в случайные моменты времени". Е том случае, когда последовательность моментов импульсного воздействия образует процесс марковского восстановления, эволюция динамической системы может быть описана марковским случайным процессом,

Теория устойчивости марковских процессов развита в работах И.И.Гихмана, Р.З.Хасьминского, И.Я.Каца, Н.Н.Краоовского, Г.Дж.Кушнера, А.Б.Скорохода, Е.Ф.Царькова и др.

В настоящее Бремя слонилось два направления в асимптотическом анализе траекторий марковских процессов: I. Поведение траекторий при неограниченном возрастании времени й ~(устойчивость). 2) Поведение траекторий в схеме серий, зависящих от малого параметра серии & при«» 6 —*• О ( усреднение).

Вместе с тем представляет интерес и смешанная задача - изучение марковских процессов в схеме серий при 6 О и t .—+■ ео, Метод усреднения эволюционных дифференциальных уравнений с малым параметром.был создан Н.Н.Боголюбовым, а затем развит в работах Ю.А.Ыитропольского и многочисленных представителей киевской школы нелинейной механики.

Обоснование методы усреднения для марковских процессов было дано в работах И.И.Гихмана и Р.З.Хасьминского. Метод усреднения' для стохастических систем в различной постановке рассматривался таете в работах А.Б.Скорохода, В.В.Сарафяна, А.Ф.Турбина, Е.С.Ко-ролюка, А.Е.Свшцука.

Е условиях применимости принципа усреднения к стохастическим системам в схеме серий возникает проблема анализа устойчивости исходной системы в предположении, что имеет место устойчивость усредненной системы.

Впервые такая постановка задачи рассматривалась в работах II.II.Боголюбова для детерминированных динамических систем. Впоследствии А.К.Самойленко получил достаточно общие условия, при

которых имеет место устойчивость исходной динамической системы при условии устойчивости .усредненной системы. Для линейных стохастических систем с запаздыванием ( дифференциально-функциональных) Е.Ф.Царьков предлогом достаточные условия устойчивости исходной системы. Для автономной динамической системы с быстрыми марковскими переключениями, аналогичная задача рассмотрена в работе В.С.Королюка.

Цель работы. В настоящей диссертации изучается устойчивость линейной автономной динамической системы с импульсным воздействием в случайные моменты времени, образующими процесс марковского восстановления.

Методика исследования. Б диссертации используются предельная теорема марковского восстановления, метод пробных функций Ляпунова и мартингальныв свойства марковских процессов.

Научная новизна. В диссертации получены достаточные условия устойчивости линейной автономной динамической системы с импульсным воздействием в случайные моменты, образующими процесс восстановления, а также для таких систем б схеме серий, когда процесс марковского восстановления, задающий моменты импульсного воздействия, порождает скачкообразный марковский процесс с возрастающими штенсивностями скачков.

Применение. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы при"обосновании устойчивости импульсных стохастических систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры интегральных и дифференциальных уравнений КГУ (1989 г.), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и -оптимальное управление" (г.Ашхабад, 1990 на научном семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики института математики АН УССР, Киев, 1991 г. ( рук. академик АН УССР В.С.Королюк).

Публикации. Основные .результаты диссертации опубликованы в работах [ I - 5 3 •

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы составляет 105 страниц машинопис -кого текста. Библиографический список содержит 56 наименований литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении обосновывается актуальность тематики работы, формулируются цели исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится аннотация полученных результатов.

В первой главе изучается устойчивость линейной динамичео-кой системы в Л**

dXCtV<it =A*tt), KlCO = Х° (0,1)

с ш.шульсным воздействием

A%it) I : = X LVfQ)-*LV ) » £ ХС<0

lt = Th 0 а п- (0.2)

в случайные моменты ^, п. у, i образующие процесо восстановления с заданной функцией распределения Sit) аР{ во. ¿tj времен вое становления £?а : = s п>1, = Q.

Различаются два случая, когда матрицы системы А и импульсного воздействия jB коммутируют ( §1.1 , § 1.3) и не кошу тируют (§1.2).'

В первом случае : Л ß s ВА процесс, задаваемый условия!,ш (0.1) и (0.2) молено разделить на динамическую и импульсную составляющие

Af '

к0й)»е , Ä«jsCi+-3J

В § I.I при условии А.В = ВА. среднего значения импульсного процесоа

о

*Ut) = JE С J+B) X

при t —► x>f где Lt): = ¿fc J очитающий процесс.

Используется уравнение марковского восстановления для ^UttJ и предельная теорема восстановления.

Теорема I.I.I. Пусть матрица импульоного процесса §)»Г+В неотрицательная и неразложима, так что существуют и единственны

изучается поведение (0.3)

левый и правый Ь. собственные векторы, отвечающие положительному перронову корню X у О :

' I© * се,к)*1.

Предположим, что при Х < 1 выполнено условие существования положительного корня уравнения/при котором

- ре

¿/I = $ е * £С«{.5).

о

Тогда

1. При 1.1

Ьп е И*ВУ. х° =

где а -

к--*

2. Ери г^Х

1% £ ^ А

и е Е (1+3) = к^а-гУг^ .

Ь

Результаты теоремы 1.1.1 позволяют заключить об устойчивости импульсного процесса..

Следствие. В рассматриваемых услс^иях среднее значение импульсного процесса (0.3):

а) при Ч. * 1 экспоненциально устойчиво;

б) при неустойчиво;

в) при 1*1 прогнозируемо устойчиво.

В условиях теоремы 1.1.1 можно сделать вывода об устойчивости среднего значения динамического процесса

_ ■ . (0.4)

я ДГ*С« = е «И«).

Теорема 1.1.2. I) При устойчивость среднего зна-

чения (0.4) следует из устойчивости задачи (0.1).

" П) При устойчивость среднего значения (0.4) следует

из устойчивости задачи

<исг/^ = [ А-Д Зкг.

В качестве примера рассмотрен случай, когда процесс пуассоновский с параметром О. :

Са±)а "лЬ

р (<» а) »л) = —— е

п.!

Проблема устойчивости динамического процесса в среднем ^ К«): = Е Х^) и в среднем квадратическом X Й)г £ II X II сводится к анализу устойчивости решений линейных систем уравнений

¿Хилда = СА + О.В) ХС«, ¿х (*)/«& = (.£ +аВ )

л 5» л т

где Л: = .А+Л , В : = В + В .

Доказана такке

Теорема 1.1.3. Решение линейно!! динамической системы (0.1) с пуассоновским импульсным воздействием'устойчиво о вероятностью I тогда и только тогда, когда среднее значение решения устойчиво.

В з 1.2 предполагается, что А В Ф &А .

В этом случае изучается устойчивость среднего значения динамического процесса

ГА а, д

шы = Ени * Ее * Я 5)е . (0'5)

к«1

Так же как и в § 1.1 используется уравнение марковского восстановления для и предельная теорема восстановления. При этом основанием ядра уравнения марковского восстановления слу;:шт матрица

ее 0

Теорема 1.2.1. Пусть основание ядра -Я - ограниченная, неразложимая и неотрицательная матрица, так что существуют и единственны левый ¿ и правый К. собственные векторы ядра Л , отвечающие положительному перронопу корню ХУ 0 : ¿Л =1£, ЛК'а'ьЬ, ~Се,к1*1.

Предположи, что матрацы Лий) имеют токе собственные векторы и Я : £А= а£, ЛЬ. = «Л, £<Э = а£, ЛЬ. = ¿И..

Предположат также, что при 1 существует вещественный корень уравнения

Тогда:

1) Ери га 1

йт «1С« »Ь. XеС« .

2) При г4 л

где Сх = /£а+Д_)пп.

Утверждения теоремы 1.2.1 позволяют сделать заключение об устойчивости решения системы (0.1)-(0.2).

Следствие. Б рассматриваемых условиях решение системы (0.1Ы0.2)

1. При * I экспоненциально устойчиво;

2. При ¿а) УХ неустойчиво;

3. При прогнозируемо усто^-шво.

Е качестве' пршера рассмотрен случай, когда процесс пуассоновский с параметром <1 . Оказывается, вопрос об устойчивости. среднего значения решения линейной системы с пуассоновс-киы импульсным воздействием, когда матрицы Л и В некоммутируют ( как и в коммутируемом случае) сводится к вопросу об устойчивости решения линейной системы ( без импульсного воздействия) = СЧ1й) . здесь С =А +ав , где &. - интенсивность дуассоновского процесса.

В § 1.3 при выполнешш условия Ав> - В Л изучается устойчивость в среднем импульсного процесса с марковскими переключениями •

ХОД:« Я [Г + В, Д*",

(г=1 'п.

где Сга - однородная эргодическая цепь Маркова с ко-

нечным числом состояний с матрицей вероятностей перехода Р= = С -МЛ. Здесь такке используется уравнение марковско-

го восстановления для среднего значения импульсного процесса и

предельная теорема восстановления. При этом основагаем ядра уравнении марковского восстановления служит матрица Л: = Р2)

с элитами к U кп

= ^ ' здесь -= + aj •

-Теорема I.3.I.- Пусть-матрица is i,V неэазложиш и неотрицательны, так что существу»! и единственны лашй t и правый h. собственные векторы, отвечающие положительному перролову корни tyO :

12). axt, &kL S4.fl.

Перекричавшая цвпь Иаркова С fc^j ft^ÛÎ неразложима я эргоди-ческая со стационарным распределением - C^J, ^ ^ i = i,/V ). Прэ,,тд1о;:о;иш, что при выполнено условие существования

пэд-лвтияьвого корня уравнения V* С .fO. Тогда:

1) при г si

<Jft> Л л d к

iùn jE[ Л^х + В. Хв:=(ел°) = 2£ Aj

2) ири t

Р t "?Ct)

U e JE Г Л ClfB )xe|t =¿1 -kHaU'X)/t P m.

Во второй главе рассматривается импульсный процесс в схеме & _ г , . - -.0

a fc): s Л С 1 + Л X (0.6)

пч

с малыш импульсами и быстрыми марковскими переключениями, которые задаются процессом марковского восстановления (£ ,8 -, п.7/0) с полумарковской матрицей а

= [ 4ij£«: *J>ij и- е^);

в. «)!= р (t = ¡, в ¿t Iг =t 1 , li " a+i * ^

так что процесс ¿1« = , = глах £ «г^ ¿-¿Зг

скачкообразный марковский процесс.

Исследуются проблемы усреднения ( при & ->■ О ) и устойчивости ( при £ —>• <*> ).

Устойчивость исходного процесса при достаточно малых устанавливается при наличии.устойчивости соответствующей усредненной динамической системы. При этом используется метод пробных функций Ляпунова и мартингальный подход.

Б § 2.1 в предположении доказана следующая

Теорема 2.1.1. Импульсный процесс эс6С<) с марковским воздействием в моменты ^п.» П-У/0 марковского восстановления однородного эргодического марковского процесса £ СЬ) с производящим оператором ф со стационарным распределением

£ * ^йИ У) слабо сходится к решению эволюционной системы л

(0.7)

с матрицей д/

З-' = 2 ^ В; . (0.8)

1-1

Б § 2.2 устойчивость импульсного процесса (0.6) устанавливается йри условии эргодичности марковского воздействия и экспоненциальной устойчивости детерминированной системы (0.7).

. Теорема 2.2.1. Пусть для усредненной детерминированной эволюционной системы (0.7)-(0.8) существует функция Ляпунова Ji.Cs 5= (А X с положительно определенной матрицей Л,

удовлетворяющей условию экспоненциальной устойчивости решения системы (0.7)-(0.8)

СЛ.*, Вх.) 4 - ¿>Л.Сх}, 4>>а.

Тогда при достаточно малых & > О имеет место устойчивость импульсной составляющей (0.6).

В § 2.3 рассматривается импульсный процесс

Лт)

х'ы : Л .'СГ + йВ - Л Х° (0-Э)

2ц.

с дереклачешгем марковским процессом (♦) в схеме фазового укрупнения.

П.1. Предполагается, что процесс марковского восстановления 6£ > удовлетворяет условиям асимптотического

фазового укрупнения. Это означает, что для переходных вероятное-тей вложенной цепи Маркова £ £ , п. У/О имеет мес;то представление , -Р* =Р +

в котором Р: в задает опорную цепь Маркова С2.п.»

п.У/0) . Компактное фазовое пространство состояний с^ расщепляется на конечное число классов N

2/ = и \ , ^ л 2/ь, =ф, иь'.

П.2. Предполагается, что опорная цепь Маркова со стохастическим ядром Р равномерно эр^одическая в каздом массе Т^ , так что существуют стационарные распределения р^СН), Н с.

Л"»8 ] />кстку'л-

П.З. Предполагается также, что исходная вложенная цепь Маркова ^ ^ а > не приводима

при згом марковский-процесс о производящим оператором

= равномерно эргодический со

> стационаршлж распределении,ш £ ^ (¿у) в классах :

аор^С^) --ЧЛ^», -гк

' Опред&тига функцию -укрупнения __

ксу)г к, у £ , к- 1,Ы .

Теорема 2.3.1. При выполнении сформулированных выше условий имеет место слабая сходимость:

йт. Е ч> СхШ.Си», и е %

«,^'в ® « *

для любой дважды непрерывно дифференцируемой по X еЛ функции % 5 ИЙ- Л

Предельный стохастический процесс хй), t >0 определяется эволюционным уравнением

= в а, , хсо) = х° (о.ю)

с переключениями марковским процессом Л , производящий

оператор которого задается матрицей Д: = , 1, Ь - ¿»V

где " ■

П

В § 2.4 устойчивость шпульсного процесса (0.9) устанавливается при наличии экспоненциальной устойчивости усредненной системы (0.10). .-

Теорема 2.4.1. Пусть для усредненной системы (0.10) с марковским переключением существует стохастическая функция Ляпунова ./Ц СО = ОЦ*,*) с полаштельно определенными матрицам А к, = -¡¡^й ( удовлетворяющая условию экспоненциальной устойчивости решений системы (0.10)

сс^+в^л^х.х ) 4-¿Л^см, Ьуа.

Тогда при достаточно малых £ > 0 имеет место устойчивость импульсной составллвдей (0.9).

В § 2.5 рассматривается импульсный процесс в конечномерном евклидовом пространстве Л"1- с ускоренным марковским воз-

действием в схеме асимптотического фазового укрупнения

Л):=Л [Г + л'в & Их'.' <0Л1>

¿а

■ Пусть выполнены ПЛ - П.З и следующее условие

П. 4. Усредненный марковский процесо ^О} с производящей матрицей £ эргодический со стационарным распределением д _

сГ: = ^ г: м ).

Теорема 2.5.1. Импульсный процесс с ускоренным марковским воздействием (0.11) слабо сходится к детерминированному эволюционному процессу •.£(£) который задается решением уравнения

2 с«. (0Л2)

где ,

л ^ °

л л л л Р

В: » £ Л-ьВч.» V * * Сч^^У •

1=1 у (0.13)

л X

В § 2.6 устойчивость импульсного процесса (0.11) устанавливается при наличии.экспоненциальной устойчивости усредненной системы (0.12М0.13).

Теорема 2.6.1. Пусть для усредненной детерминированной эволюционной системы (0.12)-(0.13) существует функция Ляпунова ЛСО=СЛ%,*' 0 положительно определенной матрицей Д. , удовлетворяющая условию экспоненциальной устойчивости решения системы (0.12)40.13)

Я

СЛ.х,в>0 ЬуО.

Тогда при достаточно малых £>>0 имеет место устойчивость импульсной составляющей (0.11).

Автор г,ыражает искреннюю благодарность научному руководителю академику АН УССР, доктору, физико-математических наук, профессору В.С.Королюку за научное руководство, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Алчеков А.К. Устойчивость в среднем линейной системы с импульсным воздействием в моменты процесса восстановления ( матрицы системы не коммутируют с матрицей импульсного воздействия). Тез.докл. Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения

и оптимальное управление". г.Ашхабад, 1990, - С.6-7.

2. Алчеков А.К. Устойчивость линейной системы с пуассоноЕским импульсным воздействием // Изв. АН ТССР.Сер.физ.-техн.,хим. и геолог".наук. - 1990, JS'6. - С. 75-77.

3. Алчеков А.К. Устойчивость в среднем линейной системы с импульсным воздействием в моменты процесса восстановления // Сб.науч.тр. "Асимптотические и прикладные задачи теории случайных эволвций". - Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990. -С.4-7. . .

4.'Короток B.C., Алчеков А.К. Устойчивость импульсного эргоди-ческого марковского воздействия // Укр.матем.журн. - 1991.43, & 5. - С. 601-506.

5. Алчеков А.К. Устойчивость импульсного воздействия в схеме асимптотического фазового укрупнения // Сб.науч.тр. "Асимптотические методы в задачах теории случайных эволюций". -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. - С. 4-12.

Подл, в печ. 02.10.91. Формат 60x84/16. Бумага гап. Офс. печать. Усл.печ.л. 0,93. Усл.кр.-отт. 0,93. Уч.-изд.л. 0,7. Тираж 120 экз. Зак. : . Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики Alt Украины. 252601 Киев 4, 1Ш, ул. Репина, 3