Устойчивость решений линейных систем со случайным импульсным воздействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Киевский ордена Ленина и ордена Октябрьской революции государственный университет им.I.Г.Шевченко

На правах рукописи

АЛЧЕКОВ Аширмамед Куреевич

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИИ«!

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

А в т о р е ф ер а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена на кафедре интегральных и ди Херешиалг ных уравнений Киевского государственного университета им.Т. Г. Шевченко.

Научный руководитель - академик АН УССР, доктор физико-

математических наук, профессор КОРСЙПОК Е.С.

пяиццалыше оппоненты - доктор физико-математических наук,

профоооор ЦАРЬКОВ Е.Ф., кандидат фшгасо-штешхпческих наук СЕ-ШУК А.В,

Ведущая организация - Институт прикладной математик! и механики АН УССР ( отдел теории вероятностей), г.Донецк-

Защита состоится " ¿О " югДхода на

заседании специализированного совета К 000.18.II при Киевском государственном университете им.Т.Г.Иовченко по адресу: 252127 Киев-127, проспект академика Глушкова, 6-

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке К1У (ул.Вяадимирская, 62).

Автореферат разослан " Ч " 190/

Г'.'

Ученый секретарь - п/

.легализированного совета СУЕАЧСКИй В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория устойчивости динамических систем с детерминированным импульсным воздействием развита в работах А.М.Самойленко и Н.А.Перестюка.

Вместе с тем, естественно возникает проблема анализа устойчивости динамических систем, находящихся под воздействием импульсных возмущений в случайные моменты времени". Е том случае, когда последовательность моментов импульсного воздействия образует процесс марковского восстановления, эволюция динамической системы может быть описана марковским случайным процессом,

Теория устойчивости марковских процессов развита в работах И.И.Гихмана, Р.З.Хасьминского, И.Я.Каца, Н.Н.Краоовского, Г.Дж.Кушнера, А.Б.Скорохода, Е.Ф.Царькова и др.

В настоящее Бремя слонилось два направления в асимптотическом анализе траекторий марковских процессов: I. Поведение траекторий при неограниченном возрастании времени й ~(устойчивость). 2) Поведение траекторий в схеме серий, зависящих от малого параметра серии & при«» 6 —*• О ( усреднение).

Вместе с тем представляет интерес и смешанная задача - изучение марковских процессов в схеме серий при 6 О и t .—+■ ео, Метод усреднения эволюционных дифференциальных уравнений с малым параметром.был создан Н.Н.Боголюбовым, а затем развит в работах Ю.А.Ыитропольского и многочисленных представителей киевской школы нелинейной механики.

Обоснование методы усреднения для марковских процессов было дано в работах И.И.Гихмана и Р.З.Хасьминского. Метод усреднения' для стохастических систем в различной постановке рассматривался таете в работах А.Б.Скорохода, В.В.Сарафяна, А.Ф.Турбина, Е.С.Ко-ролюка, А.Е.Свшцука.

Е условиях применимости принципа усреднения к стохастическим системам в схеме серий возникает проблема анализа устойчивости исходной системы в предположении, что имеет место устойчивость усредненной системы.

Впервые такая постановка задачи рассматривалась в работах II.II.Боголюбова для детерминированных динамических систем. Впоследствии А.К.Самойленко получил достаточно общие условия, при

которых имеет место устойчивость исходной динамической системы при условии устойчивости .усредненной системы. Для линейных стохастических систем с запаздыванием ( дифференциально-функциональных) Е.Ф.Царьков предлогом достаточные условия устойчивости исходной системы. Для автономной динамической системы с быстрыми марковскими переключениями, аналогичная задача рассмотрена в работе В.С.Королюка.

Цель работы. В настоящей диссертации изучается устойчивость линейной автономной динамической системы с импульсным воздействием в случайные моменты времени, образующими процесс марковского восстановления.

Методика исследования. Б диссертации используются предельная теорема марковского восстановления, метод пробных функций Ляпунова и мартингальныв свойства марковских процессов.

Научная новизна. В диссертации получены достаточные условия устойчивости линейной автономной динамической системы с импульсным воздействием в случайные моменты, образующими процесс восстановления, а также для таких систем б схеме серий, когда процесс марковского восстановления, задающий моменты импульсного воздействия, порождает скачкообразный марковский процесс с возрастающими штенсивностями скачков.

Применение. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы при"обосновании устойчивости импульсных стохастических систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры интегральных и дифференциальных уравнений КГУ (1989 г.), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и -оптимальное управление" (г.Ашхабад, 1990 на научном семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики института математики АН УССР, Киев, 1991 г. ( рук. академик АН УССР В.С.Королюк).

Публикации. Основные .результаты диссертации опубликованы в работах [ I - 5 3 •

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы составляет 105 страниц машинопис -кого текста. Библиографический список содержит 56 наименований литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении обосновывается актуальность тематики работы, формулируются цели исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится аннотация полученных результатов.

В первой главе изучается устойчивость линейной динамичео-кой системы в Л**

dXCtV<it =A*tt), KlCO = Х° (0,1)

с ш.шульсным воздействием

A%it) I : = X LVfQ)-*LV ) » £ ХС<0

lt = Th 0 а п- (0.2)

в случайные моменты ^, п. у, i образующие процесо восстановления с заданной функцией распределения Sit) аР{ во. ¿tj времен вое становления £?а : = s п>1, = Q.

Различаются два случая, когда матрицы системы А и импульсного воздействия jB коммутируют ( §1.1 , § 1.3) и не кошу тируют (§1.2).'

В первом случае : Л ß s ВА процесс, задаваемый условия!,ш (0.1) и (0.2) молено разделить на динамическую и импульсную составляющие

Af '

к0й)»е , Ä«jsCi+-3J

В § I.I при условии А.В = ВА. среднего значения импульсного процесоа

о

*Ut) = JE С J+B) X

при t —► x>f где Lt): = ¿fc J очитающий процесс.

Используется уравнение марковского восстановления для ^UttJ и предельная теорема восстановления.

Теорема I.I.I. Пусть матрица импульоного процесса §)»Г+В неотрицательная и неразложима, так что существуют и единственны

изучается поведение (0.3)

левый и правый Ь. собственные векторы, отвечающие положительному перронову корню X у О :

' I© * се,к)*1.

Предположим, что при Х < 1 выполнено условие существования положительного корня уравнения/при котором

- ре

¿/I = $ е * £С«{.5).

о

Тогда

1. При 1.1

Ьп е И*ВУ. х° =

где а -

к--*

2. Ери г^Х

1% £ ^ А

и е Е (1+3) = к^а-гУг^ .

Ь

Результаты теоремы 1.1.1 позволяют заключить об устойчивости импульсного процесса..

Следствие. В рассматриваемых услс^иях среднее значение импульсного процесса (0.3):

а) при Ч. * 1 экспоненциально устойчиво;

б) при неустойчиво;

в) при 1*1 прогнозируемо устойчиво.

В условиях теоремы 1.1.1 можно сделать вывода об устойчивости среднего значения динамического процесса

_ ■ . (0.4)

я ДГ*С« = е «И«).

Теорема 1.1.2. I) При устойчивость среднего зна-

чения (0.4) следует из устойчивости задачи (0.1).

" П) При устойчивость среднего значения (0.4) следует

из устойчивости задачи

<исг/^ = [ А-Д Зкг.

В качестве примера рассмотрен случай, когда процесс пуассоновский с параметром О. :

Са±)а "лЬ

р (<» а) »л) = —— е

п.!

Проблема устойчивости динамического процесса в среднем ^ К«): = Е Х^) и в среднем квадратическом X Й)г £ II X II сводится к анализу устойчивости решений линейных систем уравнений

¿Хилда = СА + О.В) ХС«, ¿х (*)/«& = (.£ +аВ )

л 5» л т

где Л: = .А+Л , В : = В + В .

Доказана такке

Теорема 1.1.3. Решение линейно!! динамической системы (0.1) с пуассоновским импульсным воздействием'устойчиво о вероятностью I тогда и только тогда, когда среднее значение решения устойчиво.

В з 1.2 предполагается, что А В Ф &А .

В этом случае изучается устойчивость среднего значения динамического процесса

ГА а, д

шы = Ени * Ее * Я 5)е . (0'5)

к«1

Так же как и в § 1.1 используется уравнение марковского восстановления для и предельная теорема восстановления. При этом основанием ядра уравнения марковского восстановления слу;:шт матрица

ее 0

Теорема 1.2.1. Пусть основание ядра -Я - ограниченная, неразложимая и неотрицательная матрица, так что существуют и единственны левый ¿ и правый К. собственные векторы ядра Л , отвечающие положительному перронопу корню ХУ 0 : ¿Л =1£, ЛК'а'ьЬ, ~Се,к1*1.

Предположи, что матрацы Лий) имеют токе собственные векторы и Я : £А= а£, ЛЬ. = «Л, £<Э = а£, ЛЬ. = ¿И..

Предположат также, что при 1 существует вещественный корень уравнения

Тогда:

1) Ери га 1

йт «1С« »Ь. XеС« .

2) При г4 л

где Сх = /£а+Д_)пп.

Утверждения теоремы 1.2.1 позволяют сделать заключение об устойчивости решения системы (0.1)-(0.2).

Следствие. Б рассматриваемых условиях решение системы (0.1Ы0.2)

1. При * I экспоненциально устойчиво;

2. При ¿а) УХ неустойчиво;

3. При прогнозируемо усто^-шво.

Е качестве' пршера рассмотрен случай, когда процесс пуассоновский с параметром <1 . Оказывается, вопрос об устойчивости. среднего значения решения линейной системы с пуассоновс-киы импульсным воздействием, когда матрицы Л и В некоммутируют ( как и в коммутируемом случае) сводится к вопросу об устойчивости решения линейной системы ( без импульсного воздействия) = СЧ1й) . здесь С =А +ав , где &. - интенсивность дуассоновского процесса.

В § 1.3 при выполнешш условия Ав> - В Л изучается устойчивость в среднем импульсного процесса с марковскими переключениями •

ХОД:« Я [Г + В, Д*",

(г=1 'п.

где Сга - однородная эргодическая цепь Маркова с ко-

нечным числом состояний с матрицей вероятностей перехода Р= = С -МЛ. Здесь такке используется уравнение марковско-

го восстановления для среднего значения импульсного процесса и

предельная теорема восстановления. При этом основагаем ядра уравнении марковского восстановления служит матрица Л: = Р2)

с элитами к U кп

= ^ ' здесь -= + aj •

-Теорема I.3.I.- Пусть-матрица is i,V неэазложиш и неотрицательны, так что существу»! и единственны лашй t и правый h. собственные векторы, отвечающие положительному перролову корни tyO :

12). axt, &kL S4.fl.

Перекричавшая цвпь Иаркова С fc^j ft^ÛÎ неразложима я эргоди-ческая со стационарным распределением - C^J, ^ ^ i = i,/V ). Прэ,,тд1о;:о;иш, что при выполнено условие существования

пэд-лвтияьвого корня уравнения V* С .fO. Тогда:

1) при г si

<Jft> Л л d к

iùn jE[ Л^х + В. Хв:=(ел°) = 2£ Aj

2) ири t

Р t "?Ct)

U e JE Г Л ClfB )xe|t =¿1 -kHaU'X)/t P m.

Во второй главе рассматривается импульсный процесс в схеме & _ г , . - -.0

a fc): s Л С 1 + Л X (0.6)

пч

с малыш импульсами и быстрыми марковскими переключениями, которые задаются процессом марковского восстановления (£ ,8 -, п.7/0) с полумарковской матрицей а

= [ 4ij£«: *J>ij и- е^);

в. «)!= р (t = ¡, в ¿t Iг =t 1 , li " a+i * ^

так что процесс ¿1« = , = глах £ «г^ ¿-¿Зг

скачкообразный марковский процесс.

Исследуются проблемы усреднения ( при & ->■ О ) и устойчивости ( при £ —>• <*> ).

Устойчивость исходного процесса при достаточно малых устанавливается при наличии.устойчивости соответствующей усредненной динамической системы. При этом используется метод пробных функций Ляпунова и мартингальный подход.

Б § 2.1 в предположении доказана следующая

Теорема 2.1.1. Импульсный процесс эс6С<) с марковским воздействием в моменты ^п.» П-У/0 марковского восстановления однородного эргодического марковского процесса £ СЬ) с производящим оператором ф со стационарным распределением

£ * ^йИ У) слабо сходится к решению эволюционной системы л

(0.7)

с матрицей д/

З-' = 2 ^ В; . (0.8)

1-1

Б § 2.2 устойчивость импульсного процесса (0.6) устанавливается йри условии эргодичности марковского воздействия и экспоненциальной устойчивости детерминированной системы (0.7).

. Теорема 2.2.1. Пусть для усредненной детерминированной эволюционной системы (0.7)-(0.8) существует функция Ляпунова Ji.Cs 5= (А X с положительно определенной матрицей Л,

удовлетворяющей условию экспоненциальной устойчивости решения системы (0.7)-(0.8)

СЛ.*, Вх.) 4 - ¿>Л.Сх}, 4>>а.

Тогда при достаточно малых & > О имеет место устойчивость импульсной составляющей (0.6).

В § 2.3 рассматривается импульсный процесс

Лт)

х'ы : Л .'СГ + йВ - Л Х° (0-Э)

2ц.

с дереклачешгем марковским процессом (♦) в схеме фазового укрупнения.

П.1. Предполагается, что процесс марковского восстановления 6£ > удовлетворяет условиям асимптотического

фазового укрупнения. Это означает, что для переходных вероятное-тей вложенной цепи Маркова £ £ , п. У/О имеет мес;то представление , -Р* =Р +

в котором Р: в задает опорную цепь Маркова С2.п.»

п.У/0) . Компактное фазовое пространство состояний с^ расщепляется на конечное число классов N

2/ = и \ , ^ л 2/ь, =ф, иь'.

П.2. Предполагается, что опорная цепь Маркова со стохастическим ядром Р равномерно эр^одическая в каздом массе Т^ , так что существуют стационарные распределения р^СН), Н с.

Л"»8 ] />кстку'л-

П.З. Предполагается также, что исходная вложенная цепь Маркова ^ ^ а > не приводима

при згом марковский-процесс о производящим оператором

= равномерно эргодический со

> стационаршлж распределении,ш £ ^ (¿у) в классах :

аор^С^) --ЧЛ^», -гк

' Опред&тига функцию -укрупнения __

ксу)г к, у £ , к- 1,Ы .

Теорема 2.3.1. При выполнении сформулированных выше условий имеет место слабая сходимость:

йт. Е ч> СхШ.Си», и е %

«,^'в ® « *

для любой дважды непрерывно дифференцируемой по X еЛ функции % 5 ИЙ- Л

Предельный стохастический процесс хй), t >0 определяется эволюционным уравнением

= в а, , хсо) = х° (о.ю)

с переключениями марковским процессом Л , производящий

оператор которого задается матрицей Д: = , 1, Ь - ¿»V

где " ■

П

В § 2.4 устойчивость шпульсного процесса (0.9) устанавливается при наличии экспоненциальной устойчивости усредненной системы (0.10). .-

Теорема 2.4.1. Пусть для усредненной системы (0.10) с марковским переключением существует стохастическая функция Ляпунова ./Ц СО = ОЦ*,*) с полаштельно определенными матрицам А к, = -¡¡^й ( удовлетворяющая условию экспоненциальной устойчивости решений системы (0.10)

сс^+в^л^х.х ) 4-¿Л^см, Ьуа.

Тогда при достаточно малых £ > 0 имеет место устойчивость импульсной составллвдей (0.9).

В § 2.5 рассматривается импульсный процесс в конечномерном евклидовом пространстве Л"1- с ускоренным марковским воз-

действием в схеме асимптотического фазового укрупнения

Л):=Л [Г + л'в & Их'.' <0Л1>

¿а

■ Пусть выполнены ПЛ - П.З и следующее условие

П. 4. Усредненный марковский процесо ^О} с производящей матрицей £ эргодический со стационарным распределением д _

сГ: = ^ г: м ).

Теорема 2.5.1. Импульсный процесс с ускоренным марковским воздействием (0.11) слабо сходится к детерминированному эволюционному процессу •.£(£) который задается решением уравнения

2 с«. (0Л2)

где ,

л ^ °

л л л л Р

В: » £ Л-ьВч.» V * * Сч^^У •

1=1 у (0.13)

л X

В § 2.6 устойчивость импульсного процесса (0.11) устанавливается при наличии.экспоненциальной устойчивости усредненной системы (0.12М0.13).

Теорема 2.6.1. Пусть для усредненной детерминированной эволюционной системы (0.12)-(0.13) существует функция Ляпунова ЛСО=СЛ%,*' 0 положительно определенной матрицей Д. , удовлетворяющая условию экспоненциальной устойчивости решения системы (0.12)40.13)

Я

СЛ.х,в>0 ЬуО.

Тогда при достаточно малых £>>0 имеет место устойчивость импульсной составляющей (0.11).

Автор г,ыражает искреннюю благодарность научному руководителю академику АН УССР, доктору, физико-математических наук, профессору В.С.Королюку за научное руководство, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Алчеков А.К. Устойчивость в среднем линейной системы с импульсным воздействием в моменты процесса восстановления ( матрицы системы не коммутируют с матрицей импульсного воздействия). Тез.докл. Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения

и оптимальное управление". г.Ашхабад, 1990, - С.6-7.

2. Алчеков А.К. Устойчивость линейной системы с пуассоноЕским импульсным воздействием // Изв. АН ТССР.Сер.физ.-техн.,хим. и геолог".наук. - 1990, JS'6. - С. 75-77.

3. Алчеков А.К. Устойчивость в среднем линейной системы с импульсным воздействием в моменты процесса восстановления // Сб.науч.тр. "Асимптотические и прикладные задачи теории случайных эволвций". - Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990. -С.4-7. . .

4.'Короток B.C., Алчеков А.К. Устойчивость импульсного эргоди-ческого марковского воздействия // Укр.матем.журн. - 1991.43, & 5. - С. 601-506.

5. Алчеков А.К. Устойчивость импульсного воздействия в схеме асимптотического фазового укрупнения // Сб.науч.тр. "Асимптотические методы в задачах теории случайных эволюций". -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. - С. 4-12.

Подл, в печ. 02.10.91. Формат 60x84/16. Бумага гап. Офс. печать. Усл.печ.л. 0,93. Усл.кр.-отт. 0,93. Уч.-изд.л. 0,7. Тираж 120 экз. Зак. : . Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики Alt Украины. 252601 Киев 4, 1Ш, ул. Репина, 3