Линейные импульсные функционально-дифференциальные уравнения. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Обозначения

Глава I ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ШЖЦИШАПЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКРЕТНЫХ МЕР

§I I Пространства санкций скачков и дискретных мер ,

§1.2. Линейные операторы в пространстве фикций скачков

1 2 1 Общий вцц линейных ограниченных операторов в пространстве функций скачков

1.2.2. Условия полной непрерывности операторов в пространстве (|гункций скачков

1.2.3. Интегральные операторы в пространствах абсолютно непрерывных функций и функций скачков, порозвденные одним и тем же ядром

§1,3. Определение оператора внутренней суперпозиции

3 Б пространстве дискретных мер

§1,4, Линейное функциональное уравнение 5х f

1.4.1. Условия действия оператора внутренней суперпозиции О в пространстве дис1фетных мер ,

1.4.2. Уравнение Ох = т с замкнутым плотно определенным оператором

§1.5. Условия однозначной разршимости функциональных уравнений с оператором внутренней суперпозиции

1.5.1, Нильпотентность оператора внутренней суперпозиции , , , , , ,

1.5.2. Условия обратимости и оценки спектрального радиуса оператора внутренней суперпозиции ,

§1.6. Компактность оператора внутренней суперпозиции

1.6,1. Компактность оператора внутренней суперпозиции Б пространстве дискретных мер - 1.6.2. Компактность оператора внутренней суперпозиции в пространстве с(1ункций скачков

Глава ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ^ШКЦЙСШЛЬНОда^ЕРЕНЦШШЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§Понятие линейного импульсного функциональнодифференциального уравнения

§Индекс линейного импульсного сЕункциональнодифферешщального уравнения

§Разрешимость линейных импульсных функциональнодифференциальных уравнений

2.3 1 Общий случай

2.3.2. Разрешимость уравнений с последействием

§2.4. Представление решения линейного импульсного ^^шкционально-дифференциального уравнения

2 4 1 Общая теорема '

2.4.2. Представление решения уравнения с последействием ИЗ

2.4.3. Связь представлений решений функциональнодифференциальных уравнений с импульсными воздействиями и без импульсных воздействий ,

§2.5, Непрерывная зависимость решений линейных импульсных ф/нкционально-дифференциальных уравнений от параметров

2.5 1 Общие теоремы

2.5.2. Уравнения, разрешенные относительно производной

2.5.3. Уравнения нейтрального.типа ,

§2.6, О ||ункционально-дифференциальных уравнениях, воэь^енных разрывными случайными процессами , ,

Дифференциальные системы, ршением которых являются разрывные функции, описывают различные задачи физики, техники, биологии и экономики С примеры см. в монографиях [ l I8 , 135] ) . Теории таких систем посвящено большое количество работ, причем необходимо отметить рост числа публикахцй в последние годы.Начало развития теории импульсных систем, по-видимов^, нужно отнести к 50-м годам, В конце 50-х - начале бО-х годов появились работы Я.!^цвейдя [82,131,132] , Б.Д.Нильмана, А.Д.Мышкиса [9l] , Е.А.Барбашина, СТ.Завалищина [22,60, 61 ] , положившие начало целым направлениям в развитии теории импульсных систем.В настоящее время активно развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, Описание таких уравнений появилось в статье В.Д.Мильмана, А.Д.Мышкиса [ 9 l ] , Дальнейшее развитие теория получила в работах А.Д.Мышкиса, А.Н.бамойленко, Н.А. Переотюка [94,103, 104] , Наиболее полное изложение результатов дано в монографии [lOSj. Из последних работ отметим [29] .Начало изучения импульсных систем с помощью аппарата обобщенных фикций связано с работами Е.А.Барбажина и Т.Завалищина [22 ,60,6lJ. Определенный итог в развитии этого направления подвела известная монография А.Халаная, Д.Векслера [II8J.В работах Т.Завалищина 70-х - 8G-X гг. исследуется - 10 линейное дифференциальное или разностное уравнение Xx-L fO.5) где г - произвольная обобщенная функция. При этом решение уравнения (0.5) также может быть обобщенной функцией произвольного порядка сингулярности. Изучение такого уравнения потребовало существенного развития аппарата обобщенных функций и связанных с ними операторов [б0,61,б7]. В работах [б2,63, б?] проведена классификация таких уравнений, получены условия разрешимости. Большое внимание уделяется вопросам, связанным с представлением решения [бб-68] .Дифференциально!^ уравнению в мерах ( /TIGCISU7-B difkreniial e(f_tiQtion) Dx = Ги^х) * G<t.x)Du (0.6) посвящены, например, работы [123,124,134,135] , Здесь jjx и ])ц - меры, порождаемые фикциями ограниченной вариахцш X и и . Уравнение (О.б) изучается с помощью сведения к эквивалентно14у уравнению Xd)-x(0^ JFcs,x(S))ds + }6(s^(S))dues) to to в пространстве функций ограниченной вариации.Близкий к (0.6) объект исследуется свердловскими математиками [б4,65,67,69,70,76,77,108,109] в связи с изучением процессов, порождаемых в нелинейных динамических системах законами управления, действующими по принципу обратной связи и вырабатывающими сосредоточенные импульсы. Так, в [108] в качестве реапения системы Ьх = Fd,x) •*• G(tx)J)u ,Х(а)-х'' (о.7) предлагается рассматривать предел последовательности решений задачи (0.7), ивдуцированной произвольной последовательностью - II абсолютно непрерывных функций Up(t)i слабо сходящейся к функции vet) .Работы по изучению импульсных систем для уравнений с отклоняющимся аргументом появились уже в бО-е годы [118,62] .Необходимость исследования импульсных систем для функционально-дифференциальных уравнений отмечалась на 1У Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [93). При этом было подчеркнуто, что содержательная теория таких систем почти не развивалась.В последнее время отдельные вопросы теории функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием изучались в работах Д.Борисенко [28] (устойчивость) и болгарских математиков [l06,12lj (обоснование метода частичного усреднения). Оператор внутренней суперпозиции, занимазощий одно из центральных мест в теории ||ункционально-дифференциальных уравнений [4,6,7,58], в пространстве ^^кций ограниченной вариации исследован А.Г.Лямишш [85-87] .Импульсные воздействия характерны для математических моделей задач биологии и имь^ологии. Так, при изучении модели заболевания с малым поражением органа [90] роль импульсного воздействия играет попадание в организм вирусов (бактерий), приводящее к началу развития заболевания. Введение лекарства в некоторые моменты времени также естественно рассматривать как импульсное воздействие [122], В работах [l25, 143] изучается модель распространения заболевания растений, где система время от времени испытывает импульсные воздействия, заключающиеся в удалении заболевших растений. Отметим, что если при изучении многих физических явлений, не имеющих космических масштабов, запаздыванием удается пренебречь, то - 12 в задачах ИМА^ НОЛОГИИ это не так [90j, Это связано с тем, что при многих заболеваниях ин1^бационный период сравним с продолжительностью заболевания [90], например, может достигать нескольких лет [125], введенное лекарство не вызывает немедленного действия, а при вознигаювении эпвдемий заболевший становится заразным за некоторое время до появления вншних признаков заболевания [125,128] .Б экономических задачах роль юшульсного воздействия могут играть единовременные вложения в отрасль, а также внезапное отвлечение средств, связанное с непредввденными событиями (стихийное бедствие, забастовка). Наличие запаздывания в моделях экономических систем было отмечено еще в 1958 г.Леонтьевым при исследовании структуры американской экономики [84] .Большой интерес к импульсным системгш связан также с особым значением имх^льсных управлений различными объектами [б4,65] . Обобщенные дифференциальные уравнения (обобщенные процессы) позволяют с единой точки зрения рассматривать как дифференциальные, так и разностные уравнения [ 2 l ] , Б виде импульсной системы можно записать краевые задачи на графе [99], а также некоторые дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами, из работ, посвященных таким уравнениям, отметим [48,49j. В статье [48] , например, показана связь мелщу такими, казалось бы, не связанными друг с другом объектами, как задача Валле-Пуссена и дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами. При изучении уравнений с обобщенными коэффициентами возникает проблема определения произведения обобщенной функции на разрывную [l08,IG9] .При рассмотрении некоторых задач, например, возникавацих в теории вероятностей, требование непрерывности решений - 13 й^гикциональных и функционально-дифференциальных уравнений не является естественным [50,51] .Пространство - прямая сумма пространств , и если пространство абсолютно непрерывных - 15 функций достаточно хорошо изучено, то пространство функций скачков почти не исследовано. Этоь^ пространству посвящен параграф I . I : показано, что это банахово не сепарабельное пространство, в котором сильная и слабая сходимости совпадают, подучен критерий компактности множества, найден базис.Параграф 1.2 посвящен исследованию операторов в пространстве функций скачков и в изометрически изоморфном ему пространстве дискретных мер. Приведен общий ввд линейного

1. Абдуллаев А.Р. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, не разрешенные относительно производной. - Дис. . канд. физ.-мат. наук. Одесса, 1983.

2. Абдуллаев А.Р. Оператор внутренней суперпозиции в пространствах суммируемых функций / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1981. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 3.03.81, № 982-81.

3. Азбелев Н.В. О линейных краевых задачах для функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 4, Р 10. С. 579-584.

4. Азбелев Н.В. О некоторых тенденциях в обобщениях дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 8. 0. 1291-1304.

5. Азбелев Н.В., Березанский Д.М., Рахматуллина Л.Ф.О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа /У Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, Р II. С. 1915-1925.

6. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц, уравнения. 1982. Т. 18, № 12. С. 2027-2050.

7. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. функционально-дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения. 1978.Т. 14, № 5. С. 771-797.

8. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактное функционально-дифференциальное уравнение // Функционально-диффе-ренц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи. ин-т, 1987. С. 3-11.

9. Анохин А.В. К общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений / Перм. политехи, ин-т. Пермь,1981. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.81, № 1389-81.

10. Анохин A.B. О линейных функционально-дифференциальных уравнениях с обобщенными возмущениями // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехн. ин-т, 1983. С. II-I3.

11. Анохин A.B. О линейном операторе в пространстве кусочно абсолютно непрерывных функций // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехн. ин-т, 1984.С. 13-15.

12. Анохин A.B. Об управлении разрешимостью линейных функционально-дифференциальных уравнений импульсными воздействиями // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехн. ин-т, 1985. С, 17-21.

13. Анохин A.B. Линейные функционально-дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Свердловск, 1986.

14. Анохин A.B. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. Т. 286, № 5. С. 1037-1040.

15. Анохин A.B., Браверман Е.Я, К вопросу об условиях непрерывности линейного оператора в пространстве функций скачков / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1985. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 22.04.85, № 2644-85.

16. Анохин A.B., Браверман Е.Я. Об определении понятия импульсных функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференц . уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехн. ин-т, 1989. G. 35-46.

17. Анохин A.B., Браверман Е.Я. О линейных импульсных функционально-дифференциальных уравнениях // Тезисы докл. 1У Международной конференции по дифференциальным уравнениями их применениям, f^cce, Болгария, 1989. С. 16.

18. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Минск: Университетское, 1988. - 232 с.

19. Антоневич А.Б. Условия ограниченности и норма оператора внутренней суперпозиции в пространстве вектор-функций // Мат. заметки. 1989. Т. 45, Ш I. С. 3-9.

20. Антоневич А.Б., Быкадоров Ю.А. Об операторах видасвязанных с функционально-дифференциальными уравнениями / Ред. ж. «Дифференц. уравнения". Минск, 1985. 54 с. Деп. в ВИНИТИ 12.02.85, № 2043-85.

21. Ашордия М.Т. О задаче Коши для системы обобщенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. ин-та. прикл. мат. Тбил. ун-та. 1987. Т. 22. С. 5-41.

22. Барбашин Е.А. Об устойчивости по отношению к импульсным воздействиям // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 7. С, 863-871.

23. Березанский Л.М. О спектральном радиусе оператора внутренней суперпозиции // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. ун-т, 1977. 0. 60-61.

24. Березанский Jl.Si. Линейные функциональные уравнения и функционально-дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Алма-Ата, 1979.

25. Березанский Л.М. 0 некоторых свойствах оператора внутренней суперпозиции // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1980. С. I7I-I76.

26. Березанский Л.М. Линейное функционально-дифференциальное уравнение в лебеговых пространствах с весом // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1983. С. I79-181♦

27. Березанский Л.М. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Непрерывная зависимость от параметров // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 4. С. 562-570.

28. Борисенко С.Д. О линейных функционально-дифференциальных уравнениях с импульсным воздействием // Вопр. устойчивости интегр. многообразий в уравнениях мат. физ. Киев, 1987. С. Ю-13.

29. Борисенко С.Д., Косолапов В.И., Оболенский А.Ю, Устойчивость процессов при непрерывных и дискретных возмущениях. Киев: Ваукова думка, 1988. - 198 с.

30. Боуэн Р. Методы символической динамики. М,: Мир, 1979. - 246 с.

31. Браверман Е.Я, 0 некоторых свойствах линейных операторов в пространстве функций скачков / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 17.06.85, Ш 4249-85.

32. Браверман Е.Я. 0 свойствах оператора внутренней суперпозиции в одном специальном пространстве / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1986. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 22.01.86, № 482-В86.

33. Браверман Е.Я. 0 полной непрерывности линейного оператора в пространстве функций скачков // Краевые задачи: Меж-вуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи.'ин-т, 1986,С. 49-52,

34. Браверман Е.Я. Оператор внутренней суперпозиции в одном специальном пространстве // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1986. С. 96-103.

35. Браверман Е.Я. Условия однозначной разрешимости задачи Кошй с импульсными воздействиями // Функционально-диф-ференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи. ин-т, 1987. С. 146-150.

36. Браверман Е.Я. О линейных функционально-дифференциальных уравнениях нейтрального типа с импульсными воздействиями / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. 39 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.88, № 5Х8-В88.

37. Браверман Е.Я. К вопросу о краевой задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения с импульсными воздействиями // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1988. С. 50-55.

38. Браверман Е.Я. Об индексе и разрешимости линейного импульсного функционально-дифференциального уравнения / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 14.02.89,98I-B89.

39. Браверман Е.Я. 0 линейных функционально-дифференциальных уравнениях с импульсными воздействиями // Тезисы докл. Всесоюзн. конф. по теории и прил. функционально-диффе-ренц. уравнений. Душанбе, 1987. Ч. I. С. 62-63.

40. Браверман Е.Я. 0 представлении решения линейного уравнения нейтрального типа с импульсными воздействиями // Тезисы докл. УП Всесоюзн. конф. «Качественная теория дифференциальных уравнений". Рига, 1989. С. 40.

41. Браверман Е.Я. Компактность линейных операторов, действующих из пространства функций скачков в пространство суммируемых функций // Тезисы докл. Х1У Школы по теории операторов в функциональных пространствах. Новгород, Х989.Ч. I. С. 33.

42. Быкадоров Ю.А. 0 дифференциально-интегральном операторе // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 5. С. 901-907.

43. Быкадоров Ю.А.О свойствах функции Грина // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Рига, ЛатвГУ, 1987. С. 83-90.

44. Гельфанд Й.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. I. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 439 с.

45. Гихман Й.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. - 6X1 с.

46. Гусаренко С.А. Обобщенная вольтерровость и ее приложения к линейному функционально-дифференциально*^ уравнению с частными производными // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1989. С. 53-57.

47. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ЙЛ, 1962. -896 с.

48. Дерр В.Я. О преобразовании некоторых многоточечных краевых задач в задачу Валле-Пуссена и условиях разрешимости // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 598-608.

49. Дерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах // ДАН СССР. 1988. Т. 298, № 2. С. 269-272.

50. Дерфель Г.А. Критерий существования ограниченных решений одного дифференциально-функционального уравнения, возникающего в теории вероятностей // Дифференциально-функциональные уравнения и их прил. Киев, 1985. С. 25-31.

51. Дерфель Г.А.О спектре разностного уравнения Щре-дингера и поведении решений функционального уравнения с линейными преобразованиями аргумента // Динамические системы и дифференциально-разностные уравнения. Киев, 1986. С. 1420.

52. Долгий Ю.Ф. О спектральных свойствах оператора внутренней суперпозиции // Известия вузов. Математика.1988. № II. С. 66-69.

53. Драйвер Р.,Д. Топологии для уравнений нейтрального типа и классическая электродинамика // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 113-127.

54. Драхлин М.Е. О матрице Коши уравнения нейтрального типа // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1985. С. 145-149.

55. Драхлин М.Е. Об одном линейном функциональном уравнении // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1985. С. 91-Ш.

56. Драхлин М.Е. К теории линейных функциональных уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехн. ин-т, 1986. С. 92-96.

57. Драхлин М.Е. Оператор внутренней суперпозиции в пространстве суммируемых функций // Известия вузов. Математика. 1986. № 5. С. 18-24.

58. Драхлин М.Е* Уравнения с оператором внутренней суперпозиции. Дис, . докт. физ.-мат. наук. Свердловск, 1986.

59. Драхлин М.Е., Плышевская Т.К. К теории функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 8. С. 1348-1361.

60. Завалищин С.Т, Устойчивость обобщенных процессов.I // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 7. С. 872-881.

61. Завалищин С.Т. Устойчивость обобщенных процессов.П // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 2. С. 171-179.

62. Завалищин С.Т. К вопросу об общем виде линейного уравнения. I // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 5.С. 791-797.

63. Завалищин С.Т. К вопросу об общем вцце линейного уравнения. П // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 6.С. 981-989,

64. Завалищин С.Т. Обеспечение точности передачи сигнала при постоянно действующих возмущениях // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, W II. С, I974-1981.

65. Завалищин С.Т, Осуществление заданного движения при постоянно действукщих возмещениях импульсной коррекцией // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, ЯЗ. С, 435-442.

66. Завалищин С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 6. С. II38-II40.

67. Завалищин С.Т. Обобщенное импульсное исчисление и его приложение к общей теории линейных систем // Некоторые приложения теории меры. Свердловск, УрО АН СССР, 1974.С. 20-95.

68. Завалищин С.Т. $орь^ула Коши для сингулярных систем дифференциальных уравнений // Нелинейные задачи в обобщ. функциях. Свердловск, 1988. С. 5-14.

69. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсно-скользящие режимы в нелинейных динамических системах // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 5. С. 790-799.

70. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: Средне-Урал. кн. изд-во, 1983. - 112 с.

71. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер Л.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 548 с.

72. Като Т. Теория возмущений линейных операторов, -М.: Мир, 1972. 740 с.

73. Кириллов АД., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979. 384 с.

74. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулярных систем с последействием. М.: Наука, 1901. 448 с.

75. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. M.î Наука, 1972. 496 с.

76. Костоусов В.Б. Структура импульсно-скользящих режимов при возмущениях типа меры. I // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, 13. С. 382-392.

77. Костоусов В.Б. Структура импульсно-скользящих режимов при возмущениях типа меры. П // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, $ 5. С. 745-753.

78. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, Х97Х, - 104 с,

79. Курбатов В.Г. О спектре оператора суперпозиции У Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 20.12.79, № 4317-79.

80. Курбатов В.Г. О спектре оператора с соизмеримыми отклонениями аргумента и постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 10. G. 1770-1775.

81. Арбатов В.Г. Об одной гипотезе в теории функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № II. С. 2074-2075.

82. КурцвеЙль Я. Об обобщенных обыкновенных дифференциальных уравнениях, обладающих разрывными решениями // Прикл. мат. и мех. 1958. Т. 22, № I. С. 27-45.

83. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространстве измеримых функций и его применение в математике и экономике. М.: Наука, 1985. - 352 с.

84. Леонтьев В. Исследования структуры американской экономики. М.: Госстатиздат, 1958. - 640 с.

85. Лямин А.Г. К вопросу об операторе внутренней суперпозиции в пространстве обобщенных фикций // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1983. С. 14-17.

86. Лямин А.Г. Об оценке спектрального радиуса оператора внутренней суперпозиции в пространстве функций ограниченной вариации //Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1984. С. 15-19.

87. Лямин А.Г. К вопросу о непрерывной зависимости от параметров решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с обобщенными возмущениями // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1985. С. 37-40.

88. Максимов В.П. 0 полной непрерывности оператора внутренней суперпозиции // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1979. С. 113-115.

89. Максимов В.П. О предельном переходе в краевых задачах для функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, »11. С. 1984-1994.

90. Марчук Г.И. Математические модели иммунологии. -М.: Наука, 1980. 241 с.

91. Мильман В.Д., Мышкис А.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сиб, мат. журн. 1960. Т. I, № 2.С. 233-237.

92. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 221-247.

93. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, № 2. С. 173-202.

94. Мышкис А.Д., Самойленко A.M. Сиетеш с толчками в заданные моменты времени // Матем. сб. 1967. Т. 74, №2. G. 202-208.

95. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. М.: Наука, 1988. - 188 с.

96. Пенкин 0,М., Покорный Ю.В., Нровоторова E.H. Об одной векторной краевой задаче // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Дерм, политехи, ин-т, 1983. С. 64-70.

97. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука, 1965. - 624 с.

98. Покорный Ю.В. 0 знакорегулярных функциях Грина некоторых неклассических задач // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36, № 4. С. 205-206.

99. Покорный Ю.В., Лазарев К.П., Гареева Т.М. 0 нелокальных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 8.С. I32I-I332.

100. Рахматуллина Л.Ф. 0 регуляризации линейных краевых задач // Известия вузов. Математика. 1987. К5 7. С. 37-43.

101. Рахматуллина Л.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1982.

102. Рахматуллина Л.Ф. Представление решений не всвду разрешимых линейных функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1988. С. 10-13.

103. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Устойчивость решенийдифференциальных уравнений е импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № II. С. I98I-I992.

104. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Об устойчивости решений систем с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № II. С. 1995-2002.

105. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. - 287 с.

106. Сарафова Г.Хр., Аролска-Хекимова М.Ат. О принципе сведения для одной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с импульсным воздействием // Науч. тр. Пловдив, ун-т. Мат. 1986. Т. 24, № 2. С. 96-111.

107. Сарычев A.B. Интегральное представление траекторий управляемой системы с обобщенной правой частью // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, IP 9. С. I55I-I564.

108. Сесекин А.Н. О нелинейных дифференциальных урав- ■ нениях, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Обобщенные функции и дифференциальные уравнения. Свердловск, УрО АН СССР, 1985. С. 48-61.

109. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Вюлл. Московск. ун-та. Секция А. 1938. Т. I, вып. 8. С. 1-25.

110. Тышкевич B.A. Некоторые вопросы теории устойчивости <|ункционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80 с,

111. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 224 с.

112. Функциональный анализ / Под общ. ред. С.Г.Крейна.- М.: Наука, 1972. 544 с.

113. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, I97X. - 309 с.

114. Цалюк В.З. Многозначный интеграл Стилтьеса от функции ограниченной вариации // Тезисы докл. ХП Школы по теории операторов в функциональных пространствах. Тамбов, 1987. Ч. 2. С. 115.

115. Чистяков A.B. Свойства одного класса некомпактных операторов // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Пермь, Перм. политехи, ин-т, 1988. С. 21-30.

116. Hildebrandt T.H. Introduction to the theory of integration. New Torkt Academic Press, 1963.

117. Hildebrandt T.H. On systems of linear differentio-Stieltjes integral equations // Illinois J. Math. 1939*7. 3r B J. P. 352-373.

118. Ilolov M. Stability and periodic solutions in an epidemio model // Epoc. Ilth Int. Conf. Nonlinear Oscill. Budapest, 198?. P. 832-833.

119. Joseph? M. Composing functions of bounded variation // Proc. Amer, Math. Soc. 1981, 7. 83, N 2. P. 334-336.

120. Kuczma M. Functional equations in a singlevariable. Warszawa: Polish Sci. Publichere, 1968. - 383 p.

121. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter // Czech. Math, J. 1957- V. 82, H 7* P. 4I8«449.

122. Kuraweil J. Generalized ordinary differential equations // Czech. Math. J. 1958. V. 8?, H 8. P. 360-388.133« Montador B. Jje spectre des operateurs de composition sur 06,l. // Can. J. Math. 1974. V. 26, N 5. P. IX99-I205.

123. Pandit S.G. Differential systems with impulsive perturbations // Pacif. J. Math. 1980. V. 86, H 2. P. 555~ 560.135* Pandit S.G., Deo S.G. Differential systems involving impulses. lect. Hotes. Math., 1982. V. 954, K 8. 102 p.

124. Schwabic 6. Generalized differential equations* fundamental results. Prahat Aoademia, 1985» - 103 P*137* Sohwabic Differential equations with interface conditions // Cas. pestov. mat. 1980. V. 105» P. 391-408.

125. Schwabic Ivrdy M», Vejvoda 0. Differential and integral equations* Boundary value problems and adjoints. Prahat Aoademia, 1979. 252 p.139* Singh fi.K,, Kumar A* Compact composition operators // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979» V. 28. P. 309-314.

126. Singh B.K., Kumar B., David Chandra* Compact2weighted composition operators on Z* (A) // Acta. sci. math. 1985. V. 49, N 1-4. P. 339-344.

127. Stallard ?.W. Differential systems with interface conditions // ÖRHI» Report. Publication Ho 1876, Oak Bidge. 1955*

128. Stallard F.W. Functions of bounded variations as solutions of differential systems // Proc. Amer. Hath* Soc. 1962. Y. 13, tf 3. P. 366-373.

129. Thieme Horst R., Heesterbeek J.A.P. How to estimate the efficacy of periodic control of an infections plant disease // Eept. Cent. Math, and Comput. Sei. 1937* NAM B8708, P. I-II.