Построение уравнений устойчивого программного движения при наличии случайных возмущений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ



МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ШСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЛЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

ТШБЕРГЕНОВА Гулгнара ИдриооЕна

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТОЙЧИВОГО ПРОГРАММНОГО ДШНШЯ Ш1 НАЛИЧИИ СШАЙШХ ВОЗМУЩЕНИЙ

01.02.01-теоретическая механика

Автореферат диссертации на сезеглянэ ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-1992

Раоота выполнялась на кафедре теоретической механики ордена Дружбы народов Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель-доктор физико-математических наук, профессор Р.Г.Мухарлямов

Официальные оппонента: доктор фчзико-ыатематических наук, профессор А.А.Шестахов

кандидат физико-математических наук, доцент А.П.Колесников

Ведущая органазадая-Москоеский авиационные институт имени С.Орджоникидзе

_ Салюта диссертации состоится " 24 " декабря 1992 г. в {Ь часов на заседании специализированного совета К 053.22.03 по присуждению учено!! степени кандидата физико-математических наук х Российском Униьерсатете дружбы народов по адресу: Москга, ул. Орджоникидзе, 3

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117196, Москва, ул. Миклухо-Маклая, в

Автореферат разослан "¿3 » Л- 1992 г.

Учетй секретарь специализированного совета кандидат физико-математических на;

С.Т.Шорохов

ОБ^Ы ХАРАКТЕРИСТИКА РА&ЯЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются обратные задачи динамики в классе стохастических дифференциальных уравнений. Требуемые свойства движения представляются в виде аналитически заданного интегрального многообразия.

Задачи аналитического построения систем различной природы и конструкции, где происходят процессы, удовлетворяющие заранее поставленным требованиям, составляют основную проблему современной теории управления движениями материальных систем. Теория построения систем программного движения всегда привлекала к себе внимание механиков и математиков прежде всего потому, что ее методы содержат в себе широкие прикладные возможности. ,

Основное положения и задачи теории построения систем программного движения изложены в работах А.С.Галиуллина. Исходной в данной теории является задача о построении дифференциальных уравнений по заданным частным интегралам, поставленная Н.И.Еругиным. Дальнейшему развитии методов построения уравнений с требованиями устойчивости, оптимальности и инвариантности заданных свойств движения посвящены работы Р.Г.Му-харлямова, И.А. Мухаметз$шова и других авторов.

Теория построения систем программного движения разработана в основном лишь для детерминированных систем, уравнения движения которых являются обыкновенными дифференциальными (ОДО. В большинстве случаев ОД являются достаточно эффективным аппаратом для моделирования реальных процессов,происходящих в динамических системах, но повышение требований к точности и работоспособности материальных систем приводит к ситуации, когда многие наблюдаемые явления уже не могут быть объяснены с позиции детерминированных процессов. В связи с этим для моделирования поведения реальных систем следует привлекать вероятностные законы.

Постановка задачи построения стохастических уравнений устойчивого программного движения вызвана таким образом необходимостью дальнейшей разработки аналитической теории построения систем_ по заданным свойствам движения в классе обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих в правой части случайные процессы.

Ь данной работе предполагается, что динамика исследуе-, мой системы описывается ОДО, а флуктуации ее параметров представляют собой процессы типа "белого шума". Уравнение, описывающее его траекторию понимается при этом как стохастическое дифференциальное уравнение Кто.

Неотъемлемым свойством проектируемых систем должно являться свойство устойчивости в том или ином смысле по отношению к случайным возмущениям их параметров, поэтому решение задачи устойчивости программного движения в классе СДУ имеет существенное значение для дальнейшего развития этой теории.

Наиболее общим методом исследования устойчивости является метод функций Ляпунова. Благодаря фундаментальным исследованиям ^.Г.Четаева, »'.Г.Малкина, Г.¿.Каменкова, К.П.Персидского, Е.А.Барбашина, И.Н.Красовского, А.М.Летова, В.И.Зубова, Г.Н.¿убошина, Б.U.Румянцева, Ь.Ы.Матросова, С.К.Персидского и других в настоящее время известны различные модификации и обобщения классических теорем второго метода Ляпунова об устойчивости непээмуценного движения в классах ОДУ, СДУ,значительно расширяющие возможности качественного исследования в задачах механики и особенно нелинейных процессов управления.

Существенное обобщение и развитие эти исследования получили в классе ОДУ в работах ¿.Л.Зубова, Т.Иошизава, Ь.М.Матросова, А.А.Иестакова и ряда других авторов, в которых основные теоремы Ляпунова и их различные модификации обобщаются на случай устойчивости как инвариантных множеств, так и множеств, зависящих от времени, с помощью функции Ляпунова вида V(p,"t), где j)'pC0C.Q(.t)) - расстояние от изображающей точки ас до множества .Slit) .

Учитывая сложность построения функции V( ) , как функции от расстояния р , в задаче построения уравнений устойчивого программного движения используется аналитическое описание множества (заданных свойств движения) и, по-суцест-ву, задача исследования устойчивости множества сводится.к исследованию устойчивости тривиального решения некоторой системы.

Теория устойчивости стохастических систем используется для решения обратных задач динамики, связанных с проблемами стабилизации управляемых движений систем, подверженных

воздействию случайных помех. Большую роль в создании и развитии этой области сыграли работы И.Я.Каца, ll.il.Красовского, Р.З.Хасьминского, Х.Кушнера и других. Представляется целесообразным использование методов решения обратных задач динамики при исследовании устойчивости по вероятности аналитически заданного программного многообразия стохастического диффере-ренциального уравнения Ито.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию теории построения уравнений устойчивого програм-ного движения в классе стохастических дифференциальных уравнений Ито в следующих направлениях:

- решить общую задачу построения стохастических дифференциальных уравнений по заданным свойствам движения;

- исследовать задачу восстановления стохастических дифференциальных уравнений по заданным свойствам движения;

- рассмотреть задачу замыкания стохастических дифференциальных уравнений по заданным свойствам движения;

- методом функций Ляпунова

1) доказать теоремы об устойчивости по вероятности и асимптотической устойчивости по вероятности программного движения стохастических уравнений Лто;

2) исследовать устойчивость по вероятности программного движения по первому приближению?

3) получить достаточные условия устойчивости по вероятности заданных свойств движения при постоянно действующих случайных возмущениях;

■ 4) исследовать задачу об оптимальной по вероятности стабилизации программного движения.

Методы исследования. В проведенных в диссертации исследованиях применяются методы качественной теории стохастических дифференциальных уравнений, методы построения уравнений программного движения механических систем. Основным методом при рассмотрении вопросов устойчивости по вероятности интегрального многообразия является математический аппарат прямого методу Ляпунова. В задаче оптимальной стабилизации используется ис'тод динамического программирования.

3

Научная новизна. В работе впервые

- исследована задача построения уравнений программного движения при наличии случайных возмущений в постановках общей задачи, задачи замыкания и восстановления;

- доказаны аналоги теорем Ляпунова об устойчивости по вероятности и асимптотической устойчивости по вероятности программного движения стохастических уравнений Ито;

- получены достаточные условия устойчивости по вероятности программного движения по первому приближению;

- установлены условия устойчивости по вероятности уравнений движения систем с заданными свойствами их движения при постоянно действующих случайных возмущениях;

- исследована задача об оптимальной по вероятности стабилизации программного движения;

- приведены достаточные условия устойчивости по вероятности программного движения гиростата с тремя активными гироскопами в предположении, что на внутренние рамки гироскопа действуют случайные возмудающие силы.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационно!! работе, могут быть применены в практике аналитического построения уравнений устойчивого программного движения систем, подверженных случайным воздействиям.

Апробация работ». Результаты диссертационной работы обсуждались на ХлП-ХХУП научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы.народов в I986-I99I годах,на научном семинаре кафедры теоретической механики Российского Университета дружбы народов (руководитель- профессор Галиуллин A.C. ) в 1992 году, на ежегодных научно- методических конференциях профессорско-преподавательского состава ¡¿¡мкентского педагогического института имени М.й.Ауэзова в 1986-19Э2 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [I-V] , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. .Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 112 наименований и изложена на ВО страницах машинописного текста.

4

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ,, посвященных исследованию задач построения систем программного движения и работ по развитию математического аппарата метода вспомогательных функций (прямого метода) Ляпунова в задаче устойчивости по вероятности программного движения стохастических систем, обосновывается актуальность выбранной темы и приводится распределение материала по главам.

Первая глава посвящена решению задачи построения сто-г хаотических дифференциальных уравнений программного движения. Здесь некоторые положения и утверждения аналитической теории построения систем программного движения распространяются на класс стохастических дифференциальных уравнений Ито. В вероятностной постановке рассматриваются общая (основная) задача построения уравнения движения механических систем по заданному интегральному многообразию, восстановление уравнений движения и задача замыкания.

В § I.I приводятся необходимые сведения из теории вероятностей и теории случайных процессов: определения вероятностного пространства (J7, U, Р), б" -алгебры, вероятностной меры, случайной величины, случайного процесса, непрерывности случайного процесса, формула стохастического дифференцирования сложной функции Ито, определение решения стохастического уравнения Ито, теорема существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения Ито.

В § 1.2 приводится постановка общей задачи построения стохастических уравнений программного движения.

Нуйно построить уравнения движения

da*jloc.t)cl£ +№.t)dz ■ (i>

так, чтобы множество

Act) : A(sc.t)«0. ЛеК.. ( 2 )

где Я* 2 (0C,t)e (^k было интегральным многообразием ( I ).

5

Здесь ЗсеГъ , (Г(ЗС.{.) - матрица размерности ( п * к), (§Д,и))... - система независимых винеровских про-

цессов, заданная на вероятностном пространстве (Л.Ц-.Р). Предполагается, что вектор-функция и матрица

непрерывны по "Ь и липшицевы по сс в области

Цс Л)- 1сс:^(АС.Ла )) < И. И -0} .

что обеспечивает существование единственного до стохастической эквивалентности решения уравнения ( I ) Х{Ь) с начальным условием - являющееся непрерывным с вероятностью I строго марковским процессом.

Решение сводится к построению стохастических дифференциальных уравнений с помощью метода Еругина с использованием правила стохатического дифференцирования сложной функции Кто и леммы о совокупности всех решений линейной системы Р.Г.Му-харлямова. Приведен пример.

§ 1.3 посвящен решению задачи замыкания уравнений программного движения при наличии случайных возмущений. Б качестве примера рассматривается линейный случай задачи замыкания.

Б § 1.4 в вероятностной постановке решена задача восстановления уравнений программного движения в случае, когда управление входит и в коэффициент диффузии, и в коэффициент сноса и в случаях, когда управление входит только в коэффициент диффузии или входит только в коэффициент сноса. Приведен пример линейного случая задачи восстановления.

Б заключении главы, в § 1.5 строится программное управление угловыми движениями гиростата со случайными воздействиями при условии, что возмущающие силы действуют на внутренние рамки гироскопов. Определены моменты, создаваемые гироскопами и управляющие движением гиростата около центра масс так, чтобы одна из осей эллипсоида инерции гиростата сохраняла направление на заданную точку, движующуюся по поверхности Земли и вращение вокруг этой оси происходило по заданному закону.

б

Во второй главе методом функций Ляпунова исследуется • стохастическая устойчивость программного движения. Полученные результаты распространяют на класс стохастических уравнений некоторые утверждения Р.Г.Мухарлямова об устойчивости интегрального многообразия, с одной, стороны, а с другой стороны, являются обобщением теорем Р.З.Хасьминского об устойчивости по вероятности невоэмущенного движения стохастических дифференциальных уравнений Ито.

§ 2.1 содержит сведения об устойчивости ревени!. стохастических дифференциальных уравнений, необходимые в дальнейшем. Дано определение устойчивости по вероятности инвариантного множества.

^ 5 2.2 дана постановка задачи устойчивости по вероятности аналитически заданного программного многообразия систем со случайными воздействиями в форме стохастического дифференциального уравнения Ито. Сформулированы определения А - устойчивости по вероятности, асимптотической -Л - устойчивог-и по вероятности.Доказаны аналоги теорем Ляпунова об устойчивости по вероятности и асимптотической устойчивости по вероятности программного движения стохастических уравнений Ито.

В § 2.3 методом функций Ляпунова исследуется стохасти ческая устойчивость по первому приближению программного движения заданного аналитически в виде некоторого интегрального многообразия. Получены достаточные условия устойчивости по вероятности программного движения по первому приближению.

В § 2.4 установлены условия устойчивости по вероятности уравнений движения систем с заданными свойствами их движения при постоянно действующих случайных возмущениях типа "белого Еу:.;а" и постоянно действующих затухающих случайных возмущениях.

В § 2.6 исследована задача об оптимальной'по вероятности стабилизации программного движения. Сформулирована и доказана теорема, разрешающая поставленную задачу об оптимальной стабилизации программного движения.

Исследованию устойчивости по вероятности программного движения спутника-гиростата в классе С/У посвящен § 2.6. Предполагается, что движение центра масс гиростата происходит

7

по эллиптической орбите, причем одна из осей эллипсоида инерции гиростата направлена на неподвижную точку на поверхности Земли, а случайные возмущающие силы типа "белого шума" действуют на внутренние рамки гироскопов.

В заклрчении кратко изложены основные результаты диссе| • тационной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Тлеубергеиова Г.И. К построению стохастических ураВ нений программного движения // Тезисы докладов ХХУП научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М., 1991. С. 126.

2. Тлеубергеиова Г.И. Об устойчивости программного двй жения при наличии случайных возмущений // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. ПерЫ . 1991. С. 138-144.

3. Тлеубергеиова Г.И. Об оптимальной стабилизации программного движения стохастических систем // Ред. ж. Изв. АН Казахстан. Сер. физ.-мат. Алма-Ата, 1992 . 6 с. -Дгп. в ВИНИТИ 01.07.92, »> 2И7-В92.

4. Тлеубергеиова Г.И. Построение уравнений программного движения стохастических систем // Ред. Н. Изв. АН РКазах-стан. Сер. физ.-мат. Алма-Ата, 1992. Ь с. -Деп. в ВИНИТИ 01.07.92, а 2П6-В92.

Ь. Тлеубергеиова Г.И. Задача построения стохастических дифференциальных уравнений по заданным свойствам движения // Материалы научно-теоретической и учебно-методической конференции профессорско-преподавательского состава, посвященной 60-летию образования Шыкентской области и Ь5-летию образование ШИ им. Ы.О.Ауззоьа (Тезисы докладов). Шымкент, 1992. С. 129-131.

6. Тлеубергеиова Г.И. Стохастическая устойчивость программного движения при постоянно действующих случайных воз-муцениях // Тезисы докладов ХХУШ научной конференции факультета физико-математических неестественных наук. Ы. ,.1992 . С. 64.

8