Возмущение и устойчивость моделей авторезонанса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Султанов Оскар Анварович

ВОЗМУЩЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕЗОНАНСА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н ГГН 2015

Уфа - 2015

005562377

005562377

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Калякин Леонид Анатольевич

Официальные оппоненты:

Ахтямов Азамат Мухтарович, доктор физико-математических наук, профессор, Башкирский государственный университет, заведующий кафедрой механики сплошных сред

Данилин Алексей Руфимович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, заведующий отделом уравнений математической физики

Ведущая организация:

Институт физики металлов им. М.Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

Защита состоится «16» октября 2015 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, расположенном по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН и на сайте http://matem.anrb.ru/diss.

Автореферат разослан « -1-1--2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Попенов C.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В современной математической физике исследование многих физических явлений приводит к математическим моделям, записанным в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе исследуются математические модели, которые описывают начальный этап захвата нелинейных осциллирующих систем в авторезонанс. Авторезонансом называется явление значительного роста амплитуды пли энергии нелинейного осциллятора под действием малой медленно меняющейся накачки. Считается, что впервые такое явление было открыто Векслером и МакМилланом в задачах по ускорению релятивистских частиц. Затем было обнаружено, что авторезонанс проявляется в большом круге явлений, в динамике которых ключевое место занимают нелинейные осцилляции и волны1 2. В последнее время явление авторезонанса стало предметом строгих математических исследований, в рамках которых анализируются системы нелинейных дифференциальных уравнений. На этом пути важные результаты содержатся в работах А.И. Нейштадта, Л. Фридлянда, Б. Меер-сона, А.Г. Шагалова, Л.А. Калякина, М.А. Шамсутдинова, О.М. Киселева. В рамках таких исследований основными объектами выступают системы главного и параметрического авторезонанс-ов:

Здесь A, b = const ф 0, искомые функции г(т) и гр(т) соответствуют амплитуде и сдвигу фазы гармонических колебаний. Интерес представляют решения с неограниченно растущей амплитудой г(т) —»• со при т —>• оо, которые связывают с явлением захвата в авторезонанс.

1 Fajans J., Friedland L. Am. J. Phys. 2001. Vol. 69. P. 1096-1102.

2 Golovanivsky K.S. Phys. Scr. 1980. Vol. 22. P. 126-133.

(1)

dr dip ,

— = r sin xb, ---r+ At = b cos ip.

dr dr

(2)

Широкий спектр приложений приводит к необходимости изучать поведение решений под действием возмущений различных типов. Основной целью работы является исследование устойчивости резонансных решений по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях.

Рассматриваемые уравнения возникают при усреднении нелинейных од-ночастотных колебаний с малой внешней либо параметрической накачкой. Простейший пример дает уравнение нелинейного маятника:

<Рх

—- +sin i = £ cos vt, 0 < s < 1.

dt1

Известно, что при £ = 0 система описывает колебания с частотой ш, зависящей от фазовой траектории. Поэтому накачка с постоянной частотой v = из не приводит к значительному росту возмущенных колебаний. В этом случае амплитуда изменяется на величину порядка 0{у/е). Такое явление, связанное с понятием нелинейного резонанса, исследовалось в работах Б.В. Чирикова, Г.М. Заславского, Р.З. Сагдеева и др. Оказывается, что значительный рост амплитуды колебаний возможен при медленной деформации частоты накачки, например, v = и - at, 0 < а < 1. Тогда при определенных начальных условиях |х(0)| + ]£(0)] «С 1 имеет место захват в авторезонанс, который проявляется в том, что энергия системы возрастает до величин порядка 0(1) на временах t = £-1. Для асимптотического описания таких решений воспользуемся методом двух-масштабных разложений. Введем медленное время т = e2/2tf4, тогда подстановка асимптотического анзатца:

x(t; £) = 2£J'3r(r) cos (ut - at2 - tf (т)) + 0{е2>г)

в уравнение нелинейного маятника и усреднение по быстрой переменной приводит в главном члене асимптотики к соответствующей задаче Коши для системы (1) с коэффициентами А = 8ае"4/3 и 6 = 1. Аналогично нелинейные системы с переменной параметрической накачкой приводят к модели (2).

Качественные свойства решений систем дифференциальных уравнений

(1) и (2) активно исследовались в последние десятилетия3. Тем не менее, проблема устойчивости авторезонанса, как правило, оставалась в стороне от рассмотрения. Исключение составляют 4 и 5, где обсуждаются некоторые частные вопросы, связанные с устойчивостью. Однако математически строгий и полный анализ не проводился. При этом считается, что физически реализуемым процессам соответствуют именно устойчивые решения.

Одной из причин, по которой результатов об устойчивости авторезонанса почти не было, по-видимому, является отсутствие явных формул для точных решений. Более того, известно, что рассматриваемые системы не интегрируемы. В таких случаях при исследовании устойчивости иногда прибегают к анализу численных расчетов. Но такой нестрогий подход зачастую может ввести в заблуждение и привести к неверным выводам. В данной работе устойчивость исследуется на основе асимптотики решений на бесконечности с использованием прямого метода Ляпунова. Такой подход позволяет, с одной стороны, получить строгие результаты, а с другой - обойти проблему неинтегрируемости уравнений и отсутствия явных формул.

Заметим, что для анализа моделей авторезонанса и других похожих систем в теории колебаний активно используется метод адиабатических приближений, основанный на наличии малого параметра. В рассматриваемых уравнениях таким параметром может служить множитель А. Однако в настоящей работе наличие малого параметра в системах не предполагается и не используется.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данной работы является исследование устойчивости неограниченно растущих решений нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений (1) и (2) относительно возмущений начальных данных и при постоянно действующих воз-

3 Калякин Л.А. Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, вып. 5. С. 3-72.

4 Калякин Л.А. Диффер. уравнения. 2004. Т. 40, Л* 6. С. 732-739.

° Киселев О.М. Лекции по теории нелинейных колебаний. Баш. гос. ун-т. Уфа. 2006. С. 131.

мущениях.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании нелинейных колебаний и устойчивости решений различных систем дифференциальных уравнений.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории устойчивости. Результаты численных расчетов приводятся в качестве иллюстраций к полученным утверждениям.

Положения, выносимые на защиту:

1. Исследована устойчивость равновесия для класса неавтономных систем двух дифференциальных уравнений близких к гамильтоновым в критическом случае пары мнимых собственных значений матрицы предельной линеаризованной системы. Предложен способ построения функций Ляпунова для систем такого вида, конструкцию которой можно использовать для анализа устойчивости в более сложных и общих ситуациях.

2. Решена задача об устойчивости по Ляпунову для неограниченно растущих решений моделей авторезонанса. Получены условия на коэффициенты уравнений (1) и (2), при которых гарантируется асимптотическая устойчивость и неустойчивость решений со степенной асимптотикой.

3. Исследовано влияние постоянно действующих детерминированных возмущений на устойчивость моделей авторезонанса. Описаны классы допустимых возмущений, при которых сохраняется устойчивость резонансных решений.

4. Решена задача об устойчивости моделей авторезонанса по вероятности. Описаны классы случайных возмущений, при которых имеет место сильная устойчивость резонансных решений.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре ла-

боратории природных катастроф ИПМех РАН (Москва, 2013), на семинаре «Нелинейный анализ» факультета .математики Потсдамского университета (Потсдам, 2014), на семинаре «Анализ, стохастика и математическая физика» факультета математики Хемницкого технического университета (Хемниц, 2014), на семинаре лаборатории теории нелинейных явлений ИФМ УрО РАН (Екатеринбург, 2014), на общегородских семинарах им. A.M. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики ИМВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2009-2015); на международных конференциях «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (оз. Банное. 2010, 2013, 2014), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2011), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012), на международной школе-семинаре «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» (Москва, МИАН, 2012), на международной конференции «Динамика., бифуркации и странные аттракторы» (Нижний-Новгоро.д, ННГУ 2013), на международной конференции «Days On Diffraction» (Санкт-Петербург, ПО-МИ РАН, 2014), на VII международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (DFDE) (Москва, РУДН, 2014). на конференции «Chaotic Modeling and Simulation» (Лиссабон, 2014), на всероссийской школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах в рецензируемых журналах из списка ВАК [1-7].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Из совместных работ [2, 4] автору принадлежит доказательство основных утверждений об устойчивости решений модельных уравнений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения.

4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 100 страниц. Библиография включает 80 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований.

В первой главе рассматривается система двух неавтономных дифференциальных уравнений на полуоси t > io > 0:

^■ = dyH(x,y) + F(x.y,t), % = -dxH(x,y) + G(x,y,t), (3) at at

Предполагается, что система имеет тривиальное решение x(t) = 0, y(t) = 0, которое для предельной автономной гамильтоновой системы {F(x, у, t) = 0, G(x,y,t) = 0) представляет собой неподвижную точку типа центр общего положения. В этом случае без ограничения общности можно считать, что гамильтониан имеет следующую структуру: Н(х,у) = V + 0(р3) при р = у/х2 + у2 0. Считается, что функции F{x,y,t) и G(x,y,t), заданные в области V(po,to) = {(x,y,t) е М3 : р < Ро, t > io}, (0 < ро,Ц = const < оо), являются гладкими вплоть до границы F, G € С1 {Т>) и убывают при t -* оо: F, G ->• 0. Ставится вопрос об устойчивости равновесия (0; 0) по Ляпунову. Заметим, что к системам вида. (3) сводится исследование устойчивости растущих решений для моделей авторезонанса.

В автономном случае, когда возмущение не зависит от времени: F = /о(ж, y),G = до(х. у), устойчивость возмущенной системы определяется структурой этих функций в асимптотике при х 0, у 0. Известные в этом направлении результаты обобщаются и на неавтономные системы6. При этом считается, что неавтономные слагаемые играют подчиненную роль. Однако, в ряде случаев как раз неавтономные слагаемые определяют свойство устой-

6 Малыш И.Г.Теория устойчивости движения. М.;Л.: ГИТТЛ. 1952.

чивости.

Будем рассматривать системы (3), в которых правые части F(x,y,t) и G{x,y,t) имеют следующую структуру в асимптотике при р —> 0 и t —» ос:

F = Г1 [ах + by + f(x,y,t)], G = Г1 [ex + dy + g(x, y, t)j, \/Ш = 0{р2)+0{р)0{Г°), a,b,c,d,ú = const, ú > 0.

Простейший пример такого типа систем дает уравнение линейного осциллятора с затухающим по времени коэффициентом сопротивления d2x , dx

— + x = 0, 7 = const ¿0.

Из аналогии с похожим автономным уравнением х — ->х + х = 0 можно догадаться, что устойчивость положения равновесия х = 0 зависит от знака коэффициента 7. Впрочем, в приведенном примере линейного неавтономного уравнения свойство устойчивости можно извлечь из известных ВКБ-оце-нок для пары линейно независимых решений: х(t) = t~'l2e±ü[ 1 + О^1)] при f —>• 00. Однако, для нелинейных уравнений подобных оценок нет, и устойчивость устанавливается другим способом с помощью функции Ляпунова. В общем случае при анализе устойчивости равновесия системы (3) решающую роль играет структура соответствующей линеаризованной неавтономной системы.

Основным результатом первой главы является следующее утверждение:

Теорема 1. Если коэффициенты системы (3) удовлетворяют неравенству а + d < 0, то решение x(t) = 0, y(t) = 0 является асимптотически устойчивым. Если а + d > 0, то решение x(t) = 0, y(t) = 0 неустойчиво.

Доказательство основано на построении функции Ляпунова в виде комбинации гамильтониана и убывающей добавки:

V{x, у, t) = Н(х, у) + J [(а - d)xy - (fe + ф2].

В окрестности равновесия (0; 0) и при достаточно больших ( функция У(х, у, г) является положительно определенной. Ее полная производная по I, вычисленная вдоль траекторий системы (3), оказывается знакоопределенной:

^ = Ь(а + с1)р2 + 0(р") + 0(Г1)0(р2)], 0,

аг ¿ъ

Результаты первой главы опубликованы в работе [1].

Во второй главе исследуется устойчивость решений с растущей амплитудой для системы главного резонанса (1) и системы параметрического авторезонанса (2) относительно возмущений начальных данных.

Заметим, что для систем (1) и (2) явные формулы для точных решений не известны, тем не менее, для некоторых: исключительных резонансных решений можно построить асимптотические разложения в виде степенных

рядов с постоянными коэффициентами:

00 ос

к=0 к=1 Коэффициенты гк, 'фк определяются из рекуррентных формул, которые появляются после подстановки рядов в уравнения и приравнивания выражений при одинаковых степенях т. Обоснование решений со степенной асимптотикой обычно не вызывает затруднений7. Важно иметь в виду, что помимо этих частных решений модельные системы имеют двухпараметрическое семейство решений с растущей амплитудой, в асимптотике которых содержатся осциллирующие коэффициенты. В настоящей работе исследуется устойчивость степенных решений по Ляпунову.

Приведем результаты полученные для системы главного резонанса. Система (1) имеет пару решений с асимптотикой (4), отличие которых связано с выбором корня уравнения: втфо = 0. Решение с ф0 = 0 оказывается неустойчивым, что следует из анализа собственных чисел матрицы линеаризованной на решении Щт), Фо(т) системы. Для другого решения с 1р0 = п собственные

7 Кузнецов А.Н. Функц. анализ и его прилож. 1989. Т. 23, вып. 4. С. 63-74.

числа линеаризованной системы являются чисто мнимыми. В этом случае необходимо учитывать нелинейные члены. При доказательстве устойчивости будем использовать только несколько главных членов асимптотики решения на бесконечности:

Rq(t) = VXt + С(т-1), Ф„(т) =7г-т-1/2^ + 0(г-1), т->оо. (5)

Обычно в подобных ситуациях удобно переписать уравнения в новых переменных, связанных с решением и перейти к задаче об устойчивости положения равновесия (0,0) в соответствующей системе. Для этого делается замена переменных: г(г) = Е0(т) + Н^)/л/2Щ, ф(т) = Ф0(т) + Ф(г), t = vroli; v = Л1/44\/2/5 > 0. Получившиеся для R(t) и Ф(£) уравнения можно записать в виде

^ = ^ = ЭдЯ(Д,Ф,0 + ПД,Ф,0. (6)

выделив гамильтониан

„ г , . т-т т я21 у/щ д3-зд;дф Н= [ С05(Ф + Фо) + ф srn Фо - cos Фо + т] +

и негамильтонову часть

b гсоз(Ф + Ф0) cos Фо"| Я^Ф

F =

о rcos(W + v0) cos Wo] щч> (5Ai)1/s Lflo + R/y/2R0 ~ R0 -I + 2(5Ai)1/5^'

При анализе устойчивости равновесия системы (6) при £ > 0 достаточно знать асимптотику правых частей на бесконечности (при £ —> оо) и в окрестности

равновесия (при р — уЖ+Ф2 —> 0):

Т>1

H(R, Ф, t) = — + 1 - cos Ф + 0(рг)0{Г21ъ) + 0(р2)0{Г1), F(R, Ф, t) = at~3/5( 1 - cos Ф) - 7Г*Ф + 0{p)0(t'6/s),

а = 2£>(5А)~3/5, 7 = (2b — 1)/5. Устойчивость на любом конечном промежутке следует из теорем о непрерывности решения задачи Коши по параметру. Видно, что в негамильтоновой компоненте главные члены асимптотики

нелинейны. Поэтому результаты предыдущей главы напрямую оказываются не применимы. Предлагаемые модификации в конструкции функции Ляпунова связаны введением дополнительных слагаемых, предназначенных для компенсации нелинейных членов порядка 0(t~^b) в производной. Функция Ляпунова строится в виде: V(R, Ф, t) = H(R, Ф, t) + Vi (Я, Ф, t) + V2{R, Ф, t), где

Vi = аг3/6[д(1 - cos Ф) + y] ' V* = "Г1'

Вычислим полную производную от каждого слагаемого в силу системы (6):

— = аГ3/59ФЯ( 1 - cos Ф) - 7£_1Ф2[1 + <Э{р2)] + 0(p2)0(t~^), dt

Wi = -аГ3'*д*Н( 1 - cos Ф) + 0(p4)0(rx) + 0(p2)0(r6'5), dt

= -lr\R2 - Ф2)[1 + 0(p2)} + 0(р2)0(Гв,'°). dt 2

В результате производная функции Ляпунова получается знакопостоянной в главном члене асимптотики:

^ = -It-1 (В? + Ф2)[1 + о(р2) + o(t~v% dt 2

Отсюда можно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости равновесия в системе (6). Справедливо утверждение:

Теорема 2. Если в системе уравнений (1) коэффициент b > 1/2, то решение Rq{t), Фо(т) с асимптотикой (5) асимптотически устойчиво. Если Ь < 1/2, то это решение неустойчиво.

Аналогичное утверждение доказывается и для системы (2). Результаты второй главы опубликованы в статьях [2, 4]. В третьей главе исследуется устойчивость моделей авторезонанса относительно постоянно действующих детерминированных возмущений. Наря-

ду с уравнениями (1) и (2) рассматриваются возмущенные системы в виде: d'V г i

— = (1 + sin -ф, г - г2 + Лг + j = (b + fir¡) cos гр; (7) dr dté 9

— = (1 + ц£)г sm гр, — - r~ + Ar + = (b + ¡щ) cos гр. (8) йт ат

Возмущениям соответствуют функции £(г,гр,т), г)(г,гр,т), ^(г,гр,т), параметр //. > 0 контролирует величину возмущения. Определяются классы возмущений, при которых в возмущенных системах сохраняются резонансные решения: гя(т) ~ VA т, грц{т) = 0(1) при т —> оо. При описании классов допустимых возмущений используются функции Ляпунова, построенные для невозмущенных уравнений.

Определяются три класса возмущений, которые отличаются типом накладываемых ограничений. От возмущений из первого класса требуется только убывание со временем без свойства гладкости. В этом случае при анализе устойчивости допустимая структура возмущений подгоняется под имеющуюся функцию Ляпунова6. От функций из второго класса требуется непрерывная дифференцируемость, и при анализе устойчивости эти функции используются в конструкции возмущенной функции Ляпунова8. В качестве третьего класса возмущений рассматриваются функции, которые могут принимать сколь угодно большие значения, но на достаточно коротких временных интервалах. Такие возмущения обычно называются ограниченными в среднем9.

Теорема 3. Пусть в системе (1) коэффициент b > 1/2. ТогдаУС > 0 решение Ro(t), Фо(т) с асимптотикой (5) устойчиво относительно постоянно действующих возмущений (£,7?,С)'

sup |£(г,^,т)|т5/4 + |77(r,é;r)|r1/2 + \({г.ф.т)\т < е.

(r,¿')eR2,T>l

8 Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.: Высш.шк, 1988.

9 Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

Теорема 4. Пусть в системе (1) коэффициент Ъ > 1/2. ТогдаУ£ > 0 решение Щт). Ф0ij) с асимптотикой (5) устойчиво относительно постоянно действующих возмущений (£. >?,С);

SUP|£(T)| + |)?(т)| + |С(т)1т-1/4 < I

Т> 1

8ир|Г(т)|г + W(T)\T1'2 + \C(T)\rZ/i < е.

T>1

Теорема 5. Пусть в системе (1) коэффициент Ъ > 1/2. ТогдаЧI > 0 решение Ro{t), Ф0(£) с асимптотикой (5) устойчиво относительна постоянно действующих возмущений (£, 7?, (,").'

sup |£(г,г/>,т)|г5/4 + \г1{г,ф,т)\т1/2 + \С(г,Ф,г)\т < S(t5'4) Vr > О,

(r,t!0eRs

где функция S(t.) такая, что S(ö)d6 < £ для. всех т > 0.

Результаты третьей главы опубликованы в статьях [3, 5, 7].

В четвертой главе обсуждается проблема случайных возмущений моделей авторезонанса. В этом случае в возмущенных уравнениях функции г}, С) представляют собой случайные процессы, определенные на некотором вероятностном пространстве (fi,.F,P). Будем рассматривать только такие случайные возмущения, при которых системы понимаются в обычном смысле и имеют глобальное решение. Возмущения типа «белый шум» в настоящей работе не рассматриваются. Ставится задача: найти ограничения на случайные функции, при которых резонансные решения являются устойчивыми по вероятности.

Заметим, что при исследовании модельных уравнений оказываются не применимы известные результаты из теории устойчивости, которые опираются на свойство дис-сипативности невозмущенных уравнений10. Рассматриваемые системы не обладают таким свойством. С другой стороны, воспользо-

10 Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

ваться недавними результатами для недиссипативных систем11 тоже напрямую не удается из-за специфики уравнений. В настоящей главе для одного класса дифференциальных уравнений проводится анализ устойчивости равновесия относительно случайных возмущений. Предлагаемый подход основан на существовании локальной функции Ляпунова для невозмущенной системы. Полученные результаты для общих уравнений затем применяются при исследовании моделей авторезонанса.

Приведем часть результатов данной главы. Определим класс возмущений 9Л, состоящий из наборов случайных функций (£. 77, (), для которых найдется хотя бы одна мажоранта S'(riw) такая, что

т+1

3 пг(ш) > 0 :

S(0; и) dв < тп(ы) Vr > 0, w е П.

Причем от случайной величины тп(и) требуется ограниченность математического ожидания:

Е тп =

m(w)P(dw) < оо.

Для функций (£,г/,0 е ffl предполагается выполнение оценки:

sup |£|т5'4 + \т]\т1^2 + |£|т < S(t5^;ui) Vr > 0, иеП. R2

Для любого i > 0 определим класс Ше как подмножество функций из Ш, для которых Em < С. Тогда справедливо утверждение:

Теорема 6. Пусть в системе (1) коэффициент b > 1/2. ТогдаУI > 0 решение Rq{t), Фо(У) с асимптотикой (5) устойчиво (сильно) по вероятности отпосите*аъно постоянно действующих случайных возмущений Ше.

Примером допустимых возмущений системы главного резонанса (1) являются функции со случайными выбросами:

, Jjr^u;) J(T5^) JOfV) = t5/4 . v(r-,uj)= т1/2 , C(t;w)= ---,

11 Калякнн Л.А. Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Т. 19, -V» 2. С. 170-178.

где J{т■u;) = /х^Изе^^М' " индикаторная функция, О < ц «

1, г > 0, и> € (О, ос), случайная величина з{и) ф 0 имеет конечное математическое ожидание Е|;| < оо. Поскольку 13(в\ш)\й0 < при т > 0, то

Результаты четвертой главы опубликованы в статье [6].

В Заключении кратко резюмируются результаты диссертации.

Список публикаций по теме диссертации

1. Султанов О. А. Функции Ляпунова для неавтономных систем близких к гамильтоновым // Уфимский мат. журнал. 2010. Т. 2, № 4. С. 88-98.

2. Калякин Л. А., Султанов О. А., Шамсутдинов М. А. Асимптотический анализ модели ядерного магнитного авторезонанса // Теор. и мат. физика. 2011. Т. 167, № 3. С. 419-430.

3. Султанов О. А. Устойчивость моделей авторезонанса при постоянно действующих возмущениях // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. С. 254-264.

4. Калякин Л. А., Султанов О. А. Устойчивость моделей авторезонанса // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, Ха 3. С. 279-293.

5. Султанов О. А. Устойчивость моделей авторезонанса относительно возмущений, ограниченных в среднем // Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 274-283.

6. Султанов О. А. Устойчивость моделей авторезонанса относительно случайных возмущений для систем уравнений нелинейных колебаний // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54, № 1. С. 65-79.

7. Султанов О. А. Устойчивость захвата в параметрический авторезонанс // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 220-230.

Подписано в печать 17.06.2015. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 111. Гарнитура «TimesNewRoman». Отпечатано в типографии «ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ» ИП ВЕРКО. Объём 1 п.-т. Уфа, Карла Маркса 12, кор. 5.

т/ф: 8(347)27-27-600, 27-29-123.