Асимптотика авторезонансных колебаний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гарифуллин Рустем Наилевич

АСИМПТОТИКА АВТОРЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2005

Работа выполнена в

Башкирском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Калякин Леонид Анатольевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Верещагин Вадим Леонтьевич, доктор физико-математических наук, профессор Шафаревич Андрей Игоревич

Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита состоится 16 декабря 2005г. в 15:00 на заседании специализированного совета Д-002.057 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан I ^ ноября 2005г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н.

С.В. Попенов

20O¿ -к /7/79

i ¡meo

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Основным объектом исследования в настоящей работе является дифференциальное уравнение второго порядка с малым возмущением-

^+ V'(u)=ef(T) COS (^р-^) , t>0, 0<£<< 1, ,Т = £t. (1)

Предполагается, что потенциал V{u) имеет в нуле точку локального минимума. В качестве фазы возмущения берется функция Ф(т) — т + т3ф(т)/б Здесь /(г), ф(т), V(u) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Предполагаем, что /(0) ф 0,0(0) Ф 0.

При наложенных ограничениях невозмущеиное уравнение имеет двух-параметрическое семейство периодических решений в окрестности точки равновесия. Цель данного исследования - построение асимптотики при е 0 решений возмущенного уравнения (1) вблизи таких периодических решений. Основное внимание уделяется отысканию авторезонансных решений, характерным признаком которых является изменение амплитуды колебаний на величину порядка единицы на далеких временах t ss e~l.

Уравнения, подобные (1), возникают при исследовании разных физических процессов Например, ряд задач, связанных с разогревом плазмы, работой ускорителей релятивистких частиц приводят к уравнениям вида (1). Модель физического маятника, возмущенного малой периодической силой дает один из простых примеров уравнения типа (1):

d2u

-jj¿ + smu = еcos (t + Aá) , t > 0, 0 < e << 1, = (2)

При исследовании осциллирующих процессов важнейшую роль играют резонансы Такое явление наблюдается, например, в гармоническом осцилляторе с накачкой, модель которого описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка

а + lo2u — ecos i4, 0 < £ < 1, = const.

Случай, когда собственная частота не совпадает с частотой накачки и>2 ф и2, соответствует отсутствию резонанса. При этом все решения ограничены равномерно по t 6 Ж, 0 < £ < 1 и остаются малыми, если мала начальная амплитуда и амплитуда inmrn Гтутпй тгпг in собственная

I ЮС. MAtWOHAJII HA? ;

„ I МБЛИОТСКА

I ГЭД^

частота совпадает с частотой накачки и>2 = г/2, соответствует резонансу. Все решения

et

и = A cos(wí + В) + — sin wí

неограниченно растут и на далеких временах t as с"1 имеют амплитуду колебаний порядка единицы независимо от начальных данных и амплитуды накачки е.

Более сложная ситуация возникает в нелинейных системах, например, при возмущении маятника малой периодической силой с постоянной частотой v.

Ü + sin и — Е cos Vt.

В этом случае нет явной формулы для точного решения, но можно построить асимптотику решения при е -» 0. Подобные задачи интенсивно изучались математиками' и физиками2. Известно, что максимально возможное изменение амплитуды колебаний имеет порядок 0(с1/2) для траекторий вдали от положения равновесия и порядок 0(е1/'3) вблизи положения равновесия. При фиксированной частоте накачки система выходи! из резонанса из-за изменения собственной частоты с ростом амплитуды. Поэтому, дальнейшего роста амплитуды не происходит. Описанное явление носит название нелинейного резонанса. В нелинейной системе при постоянной частоте малой внешней силы изменение амплитуды на величину порядка единицы оказывается невозможным.

Для более существенного изменения амплитуды колебаний в нелинейных системах необходимо менять частоту внешней накачки, чтобы оставаться в резонансе в течение длительного времени. Впервые эта идея была использовано в 40-х годах прошлого века Векслером [Доклады АН СССР, т.43, 1944, с.346-348] и МакМиланом [Phys. Rev., v.68, 1945, p.143-144] при создание ускорителей релятивистских частиц. Позднее она использовалась в экспериментах по разогреву плазмы с теоретическим обоснованием в работах Голованевского [Физика плазмы, т. 11, 1985, с.295-299]. В настоящее время эффекты, связанные с авторезонансом, обнаруживаются в колебательных системах разной природы и известны многим физикам. Систематическое исследование математических моделей этого явления, предста-

1Н.Н. Боголюбов Ю.А. Митропольский Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Наука, 1974. 501С.

23аславский Г.М. Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до

турбулентности и хаоса, М: Наука, 1977, 368С

вимых в форме дифференциальных уравнений, началось с работы Фрид-лянда и Меерсона [Physical Review A, v.41, 1990, P. 5233-5236]. Оказалось, что для изменения амплитуды на величину порядка единицы достаточно, чтобы было правильно выбрано направление изменения частоты и чтобы амплитуда внешней накачки превышала некоторый порог. При выполнение этих условий система подстраивается под внешние условия так, что остается в резонансе продолжительное время. Следствием такого резонанса оказывается значительное изменение амплитуды вынужденных колебаний. Явление с автоматической подстройкой частоты носит название авторезонанса или автофазировки. Диссертация посвящена математическим проблемам, которые возникают при исследованиии этого явления.

Возможно два различных сценария авторезонанса. В первом варианте невозмущенное решение находится вдали от положения равновесия и под действием внешней накачки меняется на величину порядка единицы. Этот случай исследован Б.В. Чириковым [Доклады АН СССР, т.125,

5, с. 1015 1018]. Во втором варианте невозмущенное решение находится вблизи положения равновесия, и амплитуда вынужденных колебаний нарастает до величин порядка единицы. Эта ситуация рассматривается в диссертации.

К настоящему времени для модели, описываемой уравнением (1), известно существование двух типов решения с малыми начальными данными. Решения первого типа остаются малыми в течение длительного промежутка времени, решения второго типа нарастают со временем до величин порядка единицы. Как раз решения такого гипа связаны с описанием авторезонанса.

Как известно, в решениях нелинейных уравнений наблюдается эффект размножения гармоник Из-за этого возможно возникновение эффекта авторезонанса при условии кратности собственной частоты и частоты внешней накачки Подобное явление называется авторезонансом на субгармониках.

Цель работы. В задаче о субгармоническом резонансе подобрать исходные данные, при которых усредненные уравнения имеют двухпарамет-рическое семейство неограниченно растущих решений. В задаче о гармоническом резонансе построить полную равномерную по времени асимптотику двухпараметрического семейства решений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Для задачи о гармоническом авторезонансе построена полная равно-

мерная по времени асимптотика решения. Выявлено наличие погранслой-ной структуры в асимптотике решения. Определены и исследованы уравнения для поправок внутреннего и внешнего разложения. Показано, что построенные асимптотические ряды зависят от двух произвольных параметров. Построенное асимптотическое решение обосновано.

Для задачи о субгармоническом авторезонансе построен главный член асимптотики внутреннего разложения Найдены уравнения для деформации параметров в медленном масштабе времени. Показано, что в случае отношения частоты собственных малых колебаний и частоты внешней накачки равной п = 2,3 это уравнение имеет двухпараметрическое семейство линейно растущих решений, а в случае п = 4 все решения этого уравнения являются ограниченными функциями медленного времени.

Методика исследования. В работе применяются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории возмущений. Основные результаты диссертации получены с помощью комбинации метода ВКБ и метода согласования.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях нелинейных колебаний.

Апробация работы. Отдельные результаты дисссертации докладывались на: 1) 33-ей Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 28 января - 1 февраля 2002 г.; 2) XXIV Конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 8-13 апреля 2002 г.; 3) Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа, ноябрь 2003, 2004 г.г.; 4) Семинаре "Дифференциальные уравнения математической физи-ки"Института математики с ВЦ УфНЦ РАН, октябрь 2004 г., сентябрь 2005 г.; 5) Семинаре отдела уравнений математической физики ИММ УРО РАН, ноябрь 2003 г.; б) Семинаре кафедры математического анализа Чел-ГУ, февраль 2004 г; 7) Семинаре лаборатории математических методов механики Института проблем механики РАН, Москва, сентябрь 2005г; 8) Международной конференции "Асимптотики решений дифференциальных уравнений", Уфа, 26-30 мая 2002 г.; 9) Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, МГУ, Москва, май 2004 г.; 10) Международной конференции "Symmetry and Perturbation Theory", Cala-Gonone, Italy, июнь 2004 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-6].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 45 наименования Первая и вторая глава содержат по пять пунктов, третья - шесть пунктов, четвертая и пятая главы - два пункта. Общий объем диссертации - 109 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении сделан краткий обзор литературы, описаны постановка задачи, методы исследования и кратко изложены результаты.

В первой главе основным объектом исследования является возмущенное уравнение:

г, + V'(u) =ef cost + ,в = еЧ,7 > 0. (3)

Здесь е малый параметр возмущения (0 < £ С 1), и - натуральное число. В работе рассматриваются значения п — 1,2,3,4 Все известные функции ф(т), V(и.) считаются гладкими (бесконечно дифференцируемыми) по всем своим аргументам. Предполагается, что свойства потенциала V(u) обеспечивают существование устойчивой точки равновесия невозмущенного уравнения в нуле, частота малых колебаний около этой точки равна единице: V"(0) = 1.

В этой главе проводится построение главного члена асимптотики как для задачи о гармоническом, так и для задачи о субгармоническом авторезонансе. В п. 1.1 приведены определения асимптотических последовательностей и рядов Приводится пример построения асимптотики методом многих масштабов для уравнения Ван-дер-Поля. В п. 1.2 для задачи о гармоническом авторсзонансе построен главный член асимптотики, пригодный на начальном этапе Этот пункт воспроизводит известные результаты Л.А. Калякина [Доклады РАН, т378. Ж5, 2001, c.594-597j В нем показано, что для модуляции параметров главного члена асимптотики получается уравнение главного резонанса, которое при некоторых ограничениях на исходные данные после перерастяжений переменных можно записать в виде:

гВ'(Ф)±В(\В\2 - ф2) = д, д = const. (4)

Здесь Ф медленное время пропорциональное в, В(ф) -комплексная амплитуда главного члена асимптотики Для этого уравнения известна теорема о

существовании двухпараметрического семейства растущих решений. Эти решения служат ростками авторезонансных решений. Показано, что решения, которые описывает приводимая асимптотика, становятся порядка единицы при t = Это время называется характерным временем

авторезонанса.

Пункты 1.3-1.5 посвящены проблеме субгармонического авторезонанса В пункте 1.3 проводится исследование уравнения (3) при п = 2. Показано,' что в этом случае для возникновения авторезонансного эффекта необходимо выбрать 7 = 4/3. Главный член формального асимптотического решения в этом случае имеет вид:

и = s:2/32Re [Лехрг(£ + ф&3/6)] + 0(е).

Здесь А - комплекснозначная амплитуда. Из требования ограниченности следующих поправок на нее выписывается уравнение. Оказывается, что при некоторых ограничениях на исходные данные амплитуда А также определяется из уравнения (4). В этом случае характерное время авторезонанса равно t = 0{е~2). Результаты этого параграфа сформулированы в теореме:

Теорема 1.4. Пусть в случае п — 2 правая часть уравнения (3) имеет амплитуду / и фазовую функцию:

ф = t + 93ф/б, в == e4/3t

со свойствами:

((5/3^3»(О))2-И4'(О))0<О,

Уз),т f2 efm/ЗУ^ЧО))2 - VW(0))7

Тогда уравнение (4) для амплитуды главного члена асимптотики решения уравнения (3) имеет линейно растущие решения А{в) — 0(9) при в -4 оо.

Требования на исходные данные имеют простую физическую интерпретацию. Первое условие обеспечивает, что с течением времени и ростом амплитуды внешняя и собственная частота меняются в одном направлении, второе условие - требование превышения амплитуды накачки над критической.

Пункт 1 4 посвящен случаю п = 3. При этом значении п главный член асимптотики имеет порядок е, для модуляции его амплитуды также получается уравнение (4). Характерное время авторезонанса в этом случае t = 0(е~г). Верна следующая теорема-

Теорема 1.5. Пусть в случае п = 3 правая часть уравнения (3) имеет амплитуду / и фазовую функцию•

ф = г + 93ф/6, в = еЧ ((5/ЗИ3)(0))2 - у№(0))ф < О,

з ( 243_1/(4).п> _ «61 л/Ю/^Л ./К(5/ЗИ»>(0))» - Г№(0))Г

со свойствами:

V16384 1 ; 81920 У

4 \ф\*

> 1.

Тогда уравнение для амплитуды главного члена асимптотики имеет линейно растущие решения А(9) ~ 0(9) при в -> оо.

В пункте 1.5 первой главы исследуется случай п = 4. Этот случай принципиально отличается от предыдущих. Главный член формального асимптотического решения в этом случае также имеет порядок е, он равен по порядку возмущению. В работе показано, что при разумных ограничениях на исходные данные уравнение для модуляции амплитуды главного члена имеет лишь ограниченные решения. Доказана следующая теорема: Теорема 1.6. Пусть в случаен = 4 правая часть уравнения (3) имеет амплитуду / и фазовую функцию:

Ф = ь + фв3/6, в = еН

со свойствами:

((5/3^3)(0))2 - У(4)(0))^ < 0.

Тогда амплитуда главного члена асимптотики, является функцией, ограниченной при Ь = 0(е~3).

При п — 4 оказывается, что авторезонансный эффект не возникает. Возможно, это связано с неправильным выбором медленной переменной в фазе. Другой выбор 9 в данной работе не обсуждается.

Главы со второй по четвертую посвящены построению и обоснованию асимптотики для гармонического авторезонанса. Объектом исследования этих глав является уравнение (1).

В главе 2 строится формальное асимптотическое решение уравнения (1) на временном промежутке, который соответствует начальному этапу авторезонанса В соответствие с принятой терминологией это разложение называется внутренним. Основной результат этого пункта -Теорема 1. Пусть выполнены условия:

/? = 5(Т/'3)(0))2/3 - ^4>(0) >0, в > -^Р- > О-

тогда для уравнения (1) существует асимптотическое решение в виде ряда

оо

иЦ,е) =е1/327гсо8(<^ + Ф) +£1/3^£*/Ч(<л^ехргФ,г). (5)

к=\

Здесь (р — £ — вяф(т)/б, в = е2/,3£, г^ - ограниченные, периодические функции первого аргумента, гладкие по т, полиномы по второму и третьему аргументам,. Параметры И., Ф удовлетворяют усредненным уравнениям и имеют асимптотику при в —> оо, определенную выражениями

П = 0Яо(т) + Лв~3'*Сат ц 4- АГ3/4 0"*/4г*С, т),

(6)

Ф = Ф0(г) + в-^Ссоа V + X] С, т).

к=1

Здесь все функции являются гладкими, периодическими по г], полиномами по С Для параметров С, г] построена асимптотика при в —> оо •

(7)

П = + в*'2 ]Г с°) + Г]*{т) \ав + 77°,

к=1

которая содержит два произвольных параметра С°,г/°. Построенные ряды являются асимптотическими при г —► 0 равномерно по в , либо определены при 0 < г < го и являются асимптотическими при В —> оо равномерно по параметрам. В конструкции асимптотического решения присутствуют два произвольных параметра С0 7/°

Доказательство этого утверждения разбито на несколько пунктов, теорем и лемм.

В пункте 2.1 с помощью асимптотической при е —> 0 замены (5) осуществляется переход от исходного уравнения (1) к усредненным уравнениям для И, Ф.

В следующих двух пунктах для решений усредненных уравнений строится асимптотика при в -» оо. В коэффициентах этой асимптотики обнаруживаются быстрые по сравнению с в осцилляции. Поэтому «роится новая асимптотическая замена (6) и получаются уравнения для С, г\ Для решений этих уравнений строится асимптотика (7) при 9 —► оо.

В заключение этой главы определяется структура асимптотики при е —> 0 на далеких временах (во внешней области). Для этого используется асимптотика при в —> оо построенного внутреннего разложения. В ней проводится замена в = е_1/3г и ряд заново перераскладывается при е 0. Получившееся разложение соответствует ростку формального решения во внешней области. На этом пути, исходя из соображений согласования, выясняется, что амплитуда и фаза внешнего разложения в главном являются функциями т, а поправки имеют порядок е7/12 и е1^2 соответственно и осциллируют в масштабе el^2t.

В главе 3 строится формальное асимптотическое решение при е —> 0 для уравнения (1) на далеких временах Ь ы (во внешней области). Первый подпункт посвящен исследованию главного члена внешнего разложения \¥(а, А). Он берется из невозмущенного уравнения:

ю2(А)д1 IV + У(\¥) = 0.

Здесь ш(А) - частота собственных колебаний. Общее решения этого уравнения зависит от двух произвольных параметров. В качестве первого параметра выбирается полная амплитуда первой основной гармоники колебаний А, второй параметр произвольный сдвиг времени.

В следующих пунктах данной главы строится полная асимптотика решения с использованием идей нелинейного метода ВКБ. Результат по внешнему разложению сформулирован в следующем утверждении

Теорема 2, Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда для уравнения (1) существует двугпараметрическое семейство асимптотических решений

оо ОС

fj.it, е) = ]У(о, А) + £ £ е"атикт{о, П, А, г). (8)

к=1 т=О

Здесь а, а определены выражениями ■

+ а = и{А)-Ф'(т). Параметры А, Л определяют,гя выражениями

А = Ао(т) + -7/12А0С8ш 5 + А0С, т),

к=1 (9)

О = П0(т) + г1'12 Ссоз 5 + е1'12 £У/12Х*(«, С, т).

к=1

Для величин С, в построена асимптотика

оо

С(г,е) = С°С0(т) + ^2£п/бСп(т-, С°),

"=1 оо (Ю)

5(г, е) = £-1/2*0(т) + £ Лп(т; С0) + Л

П=1

в которой присутствует два произвольных параметра С0, 8°. Все ряды являются асимптотическими при е —> 0 равномерно по Ь при е"2//3 -С £ <

Построение этой асимптотики проводится в несколько этапов. На первом этапе в пункте 3.2 проводится усреднение исходного уравнения в масштабе внешней накачки. С помощью асимптотической замены (8) осуществляется переход от исходного уравнения (1) к системе уравнений для параметров ДО В решениях этой системы в пункте 3.3 обнаруживаются осцилляции с частотой порядка г1!2. В пункте 3.4 проводится дальнейшее усреднение по этим осцилляциям На этом пути получаем формулы (9) и треугольную систему уравнений для параметров С, в Асимптотика решений этой системы имеет вид (10).

Глава 4 посвящена согласованию построенных внутреннего и внешнего раз южений и обоснованию полученного асимптотического решения В пункте 4.1 устанавливается связь пары констант внутреннего Са,Т]° и внешнего С0, разложений. Доказана Теорема 3. Если выбрат.ь

С°=<7\ 1]° = + \т1'(С°)1п-,

О

то внутреннее и внегинее асимптотические решения, построенные в теоремах 1 и 2 асимптотически совпадают при <§; £ <С е

В результате этой теоремы получается двухпараметрическое асимптотическое решение £/(£, е, С0, а0) уравнения (1) равномерное при 0 < £ <

Цель пункта 4.2 обоснование построенной асимптотики. Результат этого пункта сформулирован в теореме:

Теорема 4. Для уравнения (1) существует точное решение, зависящее от двух произвольных параметров. u(t,£,C°,s°), которое при е О раскладывается в построенный выше асимптотические ряды различные на разных временных промежутках.

Для доказательства этого утверждения нужно показать, что разница между точным решением и и отрезком формального асимптотического решения Un(t,£,C°,s°) мала. Здесь в качестве отрезка формального асимптотического решения выбирается отрезок ряда Un(t, г, С0, з°), который при подстановки в уравнение (1) дает невязку порядка еп+2. В работе доказывается утверждение, что Vn € N существует е„,тп, Мп > 0 такие что для любых е, t из интервалов 0 < е < еп, 0 < t < е~1тп выполнено:

Константы е„, т„, Мп > 0 зависят только от п. Это равносильно утверждению сформулированному в теореме 4.

Глава 5 диссертации содержит результаты двух численных экспериментов. Цель первого из них - показать на примере численного счета, что для уравнения главного резонанса существуют растущие решения. В плоскости начальных данных отделить области соответствующие растущим и ограниченным решениям. В результате численного счета видно, что растущие начальные данные образуют область со сложной спиралевидной структурой.

Второй численный эксперимент показывает, что поправка к амплитуде авто резонансных колебаний имеет порядок ¿Чи и осциллирует. Для этого рассматривалась следующая задача Коши:

В качестве Ф(т) использовалось непрерывная функция со следующей про-

0(£~1).

|u(t, е, С0, s°) - Un(t, е, С0, в°)| < Мпеп.

изводнои:

= Г (т + ехр(—г2/(1 - т>Мт+ ^ < г < 1,

[ т/(т + 1), г > 1

Это гладкая на всей положительной полуоси функция.

При различных значениях е была определена амплитуда колебаний функции А и было показано, что она является величиной порядка е7/12, что соответствует теоретическим результатам данной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Р.Н. Гарифуллин Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса. // Труды XXXIII Молодежной школы-конференции ИММ УРО РАН, Екатеринбург. 2002, с. 126-129.

2. R.N. Garifulhn. Asymptotic Analysis of a Subharmonic Autoresonance Model // Proc. of the Steklov Inst, of Math 2003, 1, p.S75-S83.

3. P H Гарифуллин Исследование роста решений нелинейного уравнения в зависимости от начальных данных. // Сборник трудов «Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по магематике и физикр» БагпГУ, Уфа. 2003, 1, с. 189 195.

4. Р.Н Гарифу.илип Построение асимптотических решений в задаче об авторезонансе // Доклады РАН. 2004, 398(3), с.306-309.

5. Р Н. Гарифуллин Возмущение линейного осциллятора с очень медленными меняющими параметрами. // Сборник трудов «Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике». БашГУ, Уфа. 2004, 1, с.42-54.

6. Р.Н Гарифуллин. Построение асимптотического решения задачи об ав-

торезонансе. Внешнее разложение. Электронный журнал "Исследова-

но в России", 180, с.1857-1875, 2005i http://zhurnal.ape.relarn.ru/

articles/2005/180.pdf.

Гарифуллин Рустем Наилевич

АСИМПТОТИКА АВТОРЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 07.11.2005 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 0,92. Уч.-изд. л. 1,02. Тираж 100 экз. Заказ 795.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул.Фрунзе, 32.

№22 151

РНБ Русский фонд

2006-4 17179

Введение

1 Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса

1.1 Асимптотики, метод многих масштабов.

Асимптотические последовательности и ряды.

Метод многих масштабов.

1.2 Случай n = 1.

1.3 Случай п = 2.

1.4 Случай га = 3.

1.5 Случай п = 4.

Основным объектом исследования в настоящей работе является дифференциальное уравнение второго порядка с малым возмущением:

Предполагается, что потенциал V(u) имеет в нуле точку локального минимума. В качестве фазы возмущения берется функция Ф(т) — г + тгф(т)/6. Здесь 1(т),ф(т),У(и) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Предполагаем, что /(0) Ф 0, ф(0) ф 0.

При наложенных ограничениях невозмущенное уравнение имеет двух-параметрическое семейство периодических решений в окрестности точки равновесия. Цель данного исследования - построение асимптотики при е —У 0 решений возмущенного уравнения (0.1) вблизи таких периодических решений. Основное внимание уделяется отысканию авторезонансных решений, характерным признаком которых является изменение амплитуды колебаний на величину порядка единицы на далеких временах

Задачи о возмущениях периодических решений впервые возникли в связи с изучением движения небесных тел в XVIII веке. Вначале влияние возмущений учитывалось через дифференциалы за последовательные промежутки времени. В дальнейшем А. Линдштедт [1] и А. Пуанкаре [2, 3] предложили отслеживать глобальные параметры движения, которые в предельных уравнениях являются постоянными. Дальнейшее развитие и современное состояние теории возмущений переодических решений можно отследить по работам Б. Ван-дер-Поля [4], Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [5, 6], Г.Е. Кузмака [7], А.Н. Колмогорова [8], В.И. Арнольда [9, 10, 11, 12], Ю. Мозера [13], Г. Уизема [14], А.Х. Найфе [15], А.И. Нейштадта [16], Ф. Олвера [17], Р. Хабермана [18], С.Ю. Доброхотова и В.П. Маслова [19], М.Ф. Федорюка [20] и др.

-1

Уравнения, подобные (0.1), возникают при исследование разных физических процессов. Например, ряд задач, связанных с разогревом плазмы, работой ускорителей релятивистских частиц приводят к уравнениям вида (0.1). Модель физического маятника, возмущенного малой периодической силой дает один из простых примеров уравнения типа (0.1):

При исследовании осциллирующих процессов важнейшую роль играют резонансы. С математическими моделями этого явления знакомо большинство специалистов с техническим образованием. Популярный пример явления такого рода наблюдается в гармоническом осцилляторе с накачкой, который описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка

Случай, когда собственная частота не совпадает с частотой накачки со2 ф и2, соответствует отсутствию резонанса. При этом все решения ограничены равномерно по t 6 М, 0 < е < 1 и остаются малыми, если мала начальная амплитуда и амплитуда накачки е. Случай, когда собственная частота совпадает с частотой накачки ш2 = и2, соответствует резонансу. Все решения неограниченно растут и на далеких временах t « е-1 имеют амплитуду колебаний порядка единицы независимо от начальных данных и амплитуды накачки е.

Несколько иная ситуация складывается в случае, когда собственная частота колебаний постоянна и равно ш, а частота внешней силы медленно меняется и равна Ф'(ей) : t> 0, 0 < е « 1, ,r = et. (0.2) й + со2и = £ cos vt, 0 < £ <С 1, = const. и = A cos(tot + В) -1—--- cos ut, А, В = const шг — и1 и = A cos (not + В) + — sin cot et й + ш2и = £cos(<E>(et)/s).

Здесь Ф(г) - гладкая функция. Точное решение этого уравнения имеет вид: ^ и = Acos(ut +В) + е / smui(t — в) собф(0)о£0.

J t0

Возможны разные варианты изменения амплитуды колебаний. Если Ф'(е^) ф ±и) при t £ (t0, оо), то амплитуда колебаний меняется на величину О(е). Если существует единственная точка t*, такая что Ф'(et*) = ш, тогда изменение амплитуды более значительно и равно 0{е11к): здесь к наименьшее натуральное число, такое, что Ф 0. В этом можно убедиться, воспользовавшись методом стационарной фазы [21] для исследования получившегося интеграла. В случае, если подобных точек несколько, то каждая из них дает соответствующий вклад вблизи резонансной точки. Изменение амплитуды на величину порядка 0{л/е) происходит в узком слое (с характерным размером 0(л/ё)). Это явление носит название локального резонанса.

Аналогичная ситуация складывается при исследовании линейного осциллятора с переменной собственной частотой u{st) и постоянной частотой внешней силы и.

Более сложная ситуация возникает в нелинейных системах, например, при возмущение маятника малой периодической силой с постоянной частотой и: й + sin и = е cos ut.

В этом случае нет явной формулы для точного решения, но можно построить асимптотику решения при е 0. Подобные задачи интенсивно изучались математиками и физиками [22, б]. Известно, что максимально возможное изменение амплитуды колебаний имеет порядок 0(е1/"2) для траекторий вдали от положения равновесия и порядок ©(е1/3) вблизи положения равновесия. При фиксированной частоте накачки система выходит из резонанса из-за изменения собственной частоты с ростом амплитуды, и поэтому дальнейший рост амплитуды не происходит. Описанное явление носит название нелинейного резонанса. В нелинейной системе при постоянной частоте внешней силы изменение амплитуды на величину порядка единицы оказывается невозможным.

Несложно догадаться, что для более существенного изменения амплитуды колебаний в нелинейных системах необходимо менять частоту внешней накачки, чтобы оставаться в резонансе в течение длительного времени. Впервые эта идея была использовано в 40-х годах прошлого века Векслером [23, 24] и МакМиланом [25] при создании ускорителей релятивистских частиц. Позднее она использовалась в экспериментах по разогреву плазмы с теоретическим обоснованием в работах Голованев-ского в начале 1980-х годов, [26, 27, 28]. В настоящее время эффекты, связанные с авторезонансом, обнаруживаются в колебательных системах разной природы, и они знакомы многим физикам. По видимому, такого типа эффекты играют центральную роль в передаче и концентрации энергии в различных подсистемах окружающего мира. Систематическое исследование математических моделей этого явления, представимых в форме дифференциальных уравнений, началось с работы Фридлянда и Меереона [29], опубликованной в 1990 году. Оказалось, что для изменения амплитуды на величину порядка единицы достаточно, чтобы было правильно выбрано направление изменения частоты и чтобы амплитуда внешней накачки превышала некоторый порог. При выполнение этих условий система подстраивается под внешние условия так, что остается в резонансе продолжительное время. Следствием такого резонанса оказывается значительное изменение амплитуды вынужденных колебаний. Явление с автоматической подстройкой носит название авторезонанса или автофазировки. Диссертация посвящена математической проблеме, которая возникает при исследовании этого явления.

Возможно два различных сценария авторезонанса. В первом варианте невозмущенное решение находится вдали от положения равновесия, и под действием внешней накачки меняется на величину порядка единицы. Этот случай исследован в работе Б.В. Чирикова [30]. Во втором варианте невозмущенное решение находится вблизи положения равновесия и амплитуда вынужденных колебаний нарастает до величин порядка единицы.

К настоящему времени для модели, описываемой уравнением (0.1), известно существование двух типов решения с малыми начальными данными. Решения первого типа остаются малыми в течение длительного промежутка времени, решения второго типа нарастают со временем до величин порядка единицы. Как раз решения такого типа и будут исследоваться в работе. Известно, что разделение на разные типы решений происходит на начальном временном этапе и описывается так называемым уравнениям главного резонанса:

А}, ± (|А|2 - в2)А = д. (0.3)

Для этого уравнения известно существование двух типов решения [31].

Решения первого типа ограничены при всех значениях в, решения второго типа линейно растут при i9 —> оо. Решения второго типа как раз и соответствуют авторезонансному режиму колебаний.

Как известно, в решениях нелинейных уравнениях наблюдается эффект размножение гармоник. Из-за этого возможно возникновение эффекта авторезонанса при условии кратности собственной частоты и частоты внешней накачки. Подобное явление называется авторезонансом на субгармониках [32].

Постановка задачи.

В данной работе решаются две задачи. Одна из них связана с авторезонансом на главной гармонике. Для уравнения (0.1) рассматриваются решения, которые в начальный момент находятся в окрестности точки равновесия: u| + |u,|)|t=0 = 0(e1/3)1e->0. (0.4)

Ставится задача о построении асимптотики нарастающих до единицы решений на далеких временах t ~ г-1.

Вторая задача связана с субгармоническим авторезонансом. Исследуется уравнение с частотой возмущения, которая является делителем частоты невозмущенных колебаний: d2v + V'{u) = ef cos(<£>(i, в)/п), в = еЧ. (0.5)

Здесь 0 < е <С 1 - малый параметр, фазовая функция Ф(£, 9) = t + фв3/6, в = e1t медленное время, /, ф ф 0,7 > 0 - константы; п - натуральное число; в работе рассматриваются значения п = 2,3,4. Уравнение дополняется малыми начальными данными и\ + Н |t=0 = 0(е6),£ -^0,5>0.

Цель - выяснить ограничения на исходные данные, при которых энергия решения t,£) = (u')2/2 + V(u) вырастает до величины 0(1) на временах t = 0(е~п), несмотря на малость возмущающей силы ef(t,e) = 0(e).

Для решения поставленных задач в работе используются различные асимптотические методы. Это прежде всего методы усреднения [6], нелинейный метод ВКБ [19, 18], метод согласования асимптотических разложений [33, 34].

Краткое содержание по главам.

В первой главе проводится построение главного члена асимптотики как для задачи о гармоническом, так и для задачи о субгармоническом авторезонансе. В п. 1.1 приведены определения асимптотических последовательностей и рядов. Приводится пример использования метода многих масштабов для уравнения Ван-дер-Поля. В п. 1.2 предъявлен главный член асимптотики, пригодный на начальном этапе, задачи о гармоническом авторезонансе. Здесь показано, что для модуляции параметров главного члена асимптотики получается уравнение главного резонанса (0.3). Для этого уравнения приведена теорема о существовании двухпа-раметрического семейства растущих решений [35]. Показано, что решения, которые описывает приводимая асимптотика, становятся порядка единицы при t = С (е-1). Это время называется характерным временем авторезонанса.

Пункты 1.3-1.5 посвящены проблеме субгармонического авторезонаи-са и содержат результаты автора [36]. В пункте 1.3 проводится исследование уравнения (0.5) при п = 2. Показано, что в этом случае для возникновения авторезонансного эффекта необходимо выбрать показатель 7 = 4/3. Главный член формального асимптотического решения в этом случае имеет вид:

Здесь А - комплекснозначная амплитуда. Из требования ограниченности следующих поправок на нее выписывается уравнение. Оказывается, что при некоторых ограничениях на исходные данные амплитуда А определяется из стандартого уравнения главного резонанса (0.3). В этом случае характерное время авторезонанса равно t = 0(е~2). Результаты этого параграфа сформулированы в следующем утверждении:

Теорема 1.4. Пусть в случае п = 2 правая часть уравнения (0.5) имеет амплитуду / и фазовую функцию: и = £2//32Re [Aexpi(t + ф93/6)] + 0{е).

Ф = г + 93ф/6, в = e4/3t, ф = const со свойствами:

5/ЗУ^(0))2-У(4)(О))0<О,

2 о/|((5/ЗУ(з)(0))^-^)(0))13

V 41

Тогда уравнение (1.2) для амплитуды главного члена асимптотики решения уравнения (0.5) имеет линейно растущие решения А(9) = 0{9) при 9 —у оо.

Требования на исходные данные имеют простую физическую интерпретацию. Первое означает, что с течением времени внешняя и собственная частота меняются в одном направлении. Второе условие является требованием превышения амплитуды накачки над критической.

Пункт 1.4 посвящен случаю п = 3. При этом значении п главный член асимптотики имеет порядок г, для модуляции его амплитуды также получается уравнение (1.2). Характерное время авторезонанса в этом случае t = 0(е~г). Верна следующая теорема:

Теорема 1.5. Пусть в случае п — 3 правая часть уравнения (0.5) имеет амплитуду / и фазовую функцию: ф = t + 93ф/б, 9 = еН, ф = const со свойствами:

5/3V<3>(0))2- У(41(0))ф<0, j> у«(0) - ««-(V<»(0))') jMfM >

J \ 16384 KJ 81920 /V 4

Тогда уравнение для амплитуды главного члена асимптотики имеет линейно расту wtue решения А{9) = О (в) при 9 —оо.

В пункте 1.5 первой главы исследуется задача при п — 4. Этот случай принципиально отличается от предыдущих. Главный член формального асимптотического решения в этом случае также имеет порядок е, он равен по порядку возмущению. В работе показано, что при разумных ограничениях на исходные данные для модуляции амплитуды главного члена получается уравнение, все решения которого ограниченные функции медленного времени. Доказана следующая теорема:

Теорема 1.6. Пусть в случае п = 4 правая часть уравнения (0.5) имеет, амплитуду f и фазовую функцию:

Ф = t + ф9ъ/6, 9 = еН со свойствами:

5/ЗУ(3)(0))2- У^(0))ф<0.

Тогда амплитуда главного члена асимптотики является функцией, ограниченной при е~Н —> оо.

При п — 4 оказывается, что авторезонансный эффект не возникает. Возможно это связано с неправильным выбором медленной переменной в фазе. Другой выбор 9 в данной работе не обсуждается.

Главы 2-4 посвящены построению и обоснованию асимптотики для авторезонанса на главной гармонике.

В главе 2 строится формальное асимптотическое решение уравнения (0.1) на временном промежутке, который соответствует начальному этапу авторезонанса. В соответствие с принятой терминологией это разложение называется внутренним. Основной результат этого пункта -Теорема 1. Пусть выполнены условия:

5(y<3>(0))2/3-V<4>(0)>0, ^>-5(y(31(0))f/(30)1/W(0)>°тогда для уравнения (0.1) существует асимптотическое решение в виде ряда оо u(t, е) = е1/32Кcos(<р + Ф) + е1/3 ek/3vk(<p, в, Пехр гФ, г). k=1

Здесь ср = t — 93ф(т)/6, в = e2/3t, - ограниченные, периодические функции первого аргумента, гладкие по т, полиномы по второму и третьему аргульенту. Параметры 7Z, Ф удовлетворяют усредненным уравнениям и имеют асимптотику при в —> оо, определенную выражениями оо

П = 9R0{t) + ЛГ3/4С sin г] + аг3'4 ^0-*/4г*(77, С, г), k=x оо ф = Фд(т) + Г1/4С cos ц + Г1/4 B~k/AMv, С, г). г=1

Здесь все функции являются гладкими, периодическими по г], полиномами по С. Для параметров С,г] построена асимптотика при в —оо: оо

C = C°C0(r) + 5]rfc/2C,(r,C0), k=l оо

Г] = (г) + в'А/2 9 к12Щ{т, С0) + rf (т) In 0 + rf, к=1 которая содержит два произвольных параметра С°,г)°. Построенные ряды является асимптотическим при е —>■ 0 равномерно по в <С е-1/3, либо определены при О < г < tq и являются асимптотическими при в —^ оо равномерно по параметрам. В конструкции асимптотического решения присутствуют два произвольных параметра С°,г)°.

Доказательство этого утверждения разбито на несколько подпунктов, теорем и лемм.

В заключение этой главы определяется структура асимптотики при е —0 на далеких временах (во внешней области). Для этого используется асимптотика при 9 —»• оо построенного внутреннего разложения. В ней проводится замена в — е~1/'Ат и ряд заново перераскладывается при е —> 0. Получившееся разложение соответствует ростку формального решения во внешней области. На этом пути, исходя из соображений согласования [33], выясняется, что амплитуда и фаза внешнего разложения в главном являются функциями т, а поправки имеют порядок е7|/12 и г1/12 соответственно и осциллируют в масштабе el/2t.

В главе 3 строится формальное асимптотическое решение при е —> 0 для уравнения (0.1) на далеких временах t fa £~г (во внешней области). Главный член внешнего разложения W (а, А) представляет собой решение невозмущенного уравнения: co2{A)d2aW + V'{W) = 0.

Здесь со (А) - частота собственных колебаний. Параметр А - полная амплитуда первой основной гармоники колебаний. Асимптотическое решение строится с использованием идей нелинейного метода ВКБ. Результат по внешнему разложению сформулирован в следующем утверждении

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда для уравнения (0.1) существует двухпараметрическое семейство асимптотических решений оо оо u(t, е) = W{a, + ^Ukmi*, ^ А г). к=1 т=0

Здесь а, а определены выражениями:

Параметры А, О определяются выражениями

А = А0(т) + е7/12АоС sin в + Лов7'12 £ £k'l2Pk{s, С, т), к=1

VL — Vtn{r) cos s + е1/12 ^^ £k^12Xk(s, С, т). fe=i

Для величии С, s построена асимптотика оо 71=1

ОО

S(T, е) = s-^2s0(r) + a'1'2 ]Г С0) + 8°. п=1 в которой присутствует два произвольных параметра С0, s°. Все ряды являются асимптотическими при е —> 0 равномерно по е-2/3 <С t < 0(е-1).

Глава 4 посвящена согласованию построенных внутреннего и внешнего разложения и обоснованию полученного асимптотического решения. В пункте 4.1 устанавливается связь пары констант внутреннего С'0, г)° и внешнего разложения С0, s°. Доказана Теорема 3. Если выбрать

С° = С\ v° = s° + \ri*(C0) In г, о то внутреннее и внешнее асимптотические решения, построенные в теоремах 1 и 2 асимптотически совпадают при £-1/3 <С t -С е-1.

В результате этой теоремы получается двухпараметрическое асимптотическое решение U(t,£,C°,s°) уравнения (0.1) равномерное при 0 < t < 0{е~1).

Цель пункта 4.2 обоснование построенной асимптотики. Результат этого пункта сформулирован в теореме:

Теорема 4. Для уравнения (0.1) существует точное решение, зависящее от двух произвольных параметров: u(t7£,C°,s°), которое при е —¥ 0 раскладывается в построенный выше асимптотические ряды различные на разных временных промеоюутках.

Для доказательства этого утверждения нужно показать, что разница между точным решением и и отрезком формального асимптотического решения Un(t,£,C°,s°) мала. Здесь в качестве отрезка формального асимптотического решения, выбирается отрезок ряда Un(t,£,C°,s0) который при подстановки в уравнение (0.1) дает невязку порядка еп+2. В работе доказывается утверждение, что Vn g N существует еп,тп,Мп > 0 такие что для любых e,t из интервалов 0 < е < sn,0 < t < £~лтп выполнено:

Константы £п, тп, Мп > 0 зависят только от п. Это равносильно утверждению сформулированному в теореме.

Глава 5 диссертации содержит результаты двух численных экспериментов. Цель первого из них - показать на примере численного счета, что для уравнения главного резонанса существуют растущие решения. В плоскости начальных данных отделить области соответствующие растущим и ограниченным решениям. В результате численного счета видно, что растущие начальные данные образуют область со сложной спиралевидной структурой.

Второй численный эксперимент показывает, что поправка к амплитуде авторезонансных колебаний имеет порядок г7/12 и осциллирует. Для этого рассматривалась следующая задача Коши: качестве Ф(г) использовалось непрерывная функция со следующей производной:

Это гладкая на всей положительной полуоси функция.

При различных значениях £ была определена амплитуда колебаний функции А и было показано, что она является величиной порядка е7/12, что полностью совпадает с теоретическими выкладками данной работы. Апробация работы. Отдельные результаты дисссертации докладывались на: 1) 33-ей Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 28 января -1 февраля 2002 г.; 2) XXIV Конференции молодых ученых механико -математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 8-13 u(t,e,C°,s°) -Un(t,£,C0,s°)\ < Мп£п.

Ф'(т) = | т + ехр(-т2/(1-т2))/(т + 1),0<т < 1, ш/(m + 1), г > 1 m > 0. апреля 2002 г.; 3) Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа, ноябрь 2003, 2004 г.г.; 4) Семинаре "Дифференциальные уравнения математической физики "Института математики с ВЦ УфНЦ РАН, октябрь 2004 г., сентябрь 2005 г.; 5) Семинаре отдела уравнений математической физики ИММ УРО РАН, ноябрь 2003 г.; 6) Семинаре кафедры математического анализа ЧелГУ, февраль 2004 г; 7) Семинаре лаборатории математических методов механики Института проблем механики РАН, Москва, сентябрь 2005г; 8) Международной конференции "Асимптотики решений дифференциальных уравнений", Уфа, 26-30 мая 2002 г.; 9) Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, МГУ, Москва, май 2004 г.; 10) Международной конференции "Symmetry and Perturbation Theory", Cala-Gonone, Italy, июнь 2004 г. Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [36, 37, 38, 39, 40, 41].

1. Lindstend A. Ueber die 1.tegration einer fur die wichtigen Differen-tialgleichung // Astron. Nach. 1882, 103, col.211-220.

2. Poincare H. Les mthodes nouvelles de la mecanique celeste. V.l-3, Paris: Gauthier-Villars, 1892, 1893, 1899.

3. Пуанкере А. Избранные труды. T.l. Новые методы небесной механики, М.: Наука, 1971.

4. Van der Pol В. On a type of oscillation hysteresis in a simple triode generator // Phil. Mag. 1922, 43, p. 177-193.

5. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А., Самойленико A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике., „Наукова думка", Киев, 1969. 244С.

6. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Наука, 1974. 501С.

7. Кузмак Г.Е. Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Прикладная математика и механика. 1951, 23(3), с.519-526.

8. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений для малых возмущений функции Гамильтона // Доклады АН ССОР. 1954, 98, с.527-530.

9. Арнольд В.И. Устойчивость положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных уравнений для общего эллиптического случая // Доклады АН СССР. 1961, 137, с.255-257.

10. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963, 18(6), с.91-192.

11. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики, М: ВИНИТИ, 1985. ЗОЗС.

12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М: Наука, 1989. 535С.

13. Moser J. A rapidly convergent iteration method and non-linear differential equations I // Annali della Scuola Norm. Super de Pisa ser. III. 1966, 20(2), p.265-315.

14. Whitham G.B. A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian. //J. Fluid Mech. 1965, 27, p.273-283.

15. Найфэ A.X. Методы возмущений., M.: Мир, 1976. 455С.

16. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром. // ПММ. 1975, 39(4), с.621-632.

17. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции., М.: Наука, 1990. 528С.

18. Bourland F.J., Haberman R. The modulated phase shift for strongly nonlinear, slowly varynng and weasly damped oscillators // SIAM J. Aprl.Math. 1988, 48, P. 737-748.

19. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях // Итоги науки и техники. 1980, 15, с.4-94.

20. Федорюк М.В. Метод ВКБ для нелинейного уравнения второго порядка // ЖВМиМФ. 1986, 26(2), с.198-210.

21. Федорюк М.Ф. Асимптотика, интегралы и ряды., М.: Наука, 1987. 544С.

22. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса., М.: Наука., 1977. 368С.

23. Векслер В.И. Новый метод ускорения релятивистских частиц // Доклады АН СССР. 1944, 43, с.346-348.

24. Векслер В.И. О новом методе ускорения частиц // Доклады АН СССР. 1944, 44, с.393-396.

25. McMillan Е.М. The Synchrotron—A Proposed High Energy Particle Accelerator // Phys. Rev. 1945, 68, p.143-144.

26. Golovanivsky K. S. Autoresonant acceleration of electrons at nonlinear ECR in magnetic field which is smoothly growing in time // Phys. Scr. 1980, 22, p. 126-133.

27. Golovanivsky K. S. The gyromagnetic autoresonance // IEEE Trans. Plasma Sci. 1983, 11, p. 28-35.

28. Головаиевский К. С. Гиромагнитный авторезонанс с переменной частотой // Физика плазмы. 1985, 11, с. 295-299.

29. Meerson В., Friedland L. Strong autoresonance excitation of Rydberg atoms: the rydberg accelerator // Physical Review A. 1990, 41, P. 52335236.

30. Чириков В.В. Прохождение нелинейной колебательной системы через резонанс // Доклады АН СССР. 1959, 125(5), с.1015-1018.

31. Калякип Л. А. Асимптотический анализ модели авторезонанса // Доклады РАН. 2001, 378(5), с.594-597.

32. Friedland L. Subharmonic autoresonance. // Physical Review E. 2000, 61, p.3732-3735.

33. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М.: Наука, 1989. 336С.

34. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции, Л.: ЛГУ, 1974. 124С.

35. Kalyakin L.A. Justification of Asymptotic Expansions for the Principal Resonance Equations. // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2003, Suppl. 1., p.S108-S122.

36. Garifullin R.N. Asymptotic Analysis of a Subharmonic Autoresonance Model // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2003, 1, p.S75-S83.

37. Гарифуллип P.H. Построение асимптотических решений в задаче об авторезонансе // Доклады РАН. 2004, 398(3), с.306-309.

38. Гарифуллип Р.Н. Исследование роста решений нелинейного уравнения в зависимости от начальных данных. // Сборник трудов «Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике». БашГУ, Уфа. 2003, 1, с.189-195.

39. Гарифуллип Р.Н. Возмущение линейного осциллятора с очень медленными меняющими параметрами. // Сборник трудов «Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике». БашГУ, Уфа. 2004, 1, с.52-54.

40. Гарифуллип Р.Н. Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса. // Труды XXXIII Молодежной школы-конференции. ИММ УРО РАН, Екатеринбург, 2002. с.126-129.

41. Гарифуллип Р.Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внешнее разложение. Электронный журнал "Исследовано в России", 180, с.1857-1875, 2005г. http: / / zhurnal. ар е. relarn. ru / articles /2005/180.pdf.

42. Kalyakin L.A. Asymptotic analysis of an autoresonance model // Russ. J. Math. Phys. 2002, 9, p.84-95.

43. Friedland L. Subharmonic autoresonance. // Physical Review E. 2000, 61, p.3732-3735.

44. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1969. 379С.

45. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа, М.: Наука, 1967. 368С.