Управление нелинейными магнитными волновыми структурами методом автосинхронизации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

На правах рукописи

804602383

БАТАЛОВ Сергей Васильевич

Управление нелинейными магнитными волновыми структурами методом автосинхронизации

01.04.11 - физика магнитных явлений

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О МДМ 2010

Екатеринбург - 2010

004602388

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте физики металлов УрО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Шагалов Аркадий Геннадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Танкеев Анатолий Петрович

доктор физико-математических наук, профессор,

Памятных Евгений Алексеевич

Ведущая организация: Башкирский Государственный

Университет

Защита состоится » 2010 г. в ' часов на засе-

дании диссертационного совета Д 004.003.01 при Институте физики металлов УрО РАН, расположенном по адресу: 620990, г.Екатеринбург, ГСП-170, ул.С. Ковалевской, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики металлов УрО РАН.

Автореферат разослан « ^ » - 2ою г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук sfi~ ■ H.H. Лошкарева

ух

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Примерно с конца девятнадцатого века и, особенно, в середине двадцатого, пристальное внимание ученых обратилось на нелинейные проблемы. Сейчас все больше утверждается мнение о нелинейности окружающего нас мира. Здесь, однако, пришлось столкнуться с трудной проблемой: чрезвычайное разнообразие нелинейных явлений, происходящее из отсутствия такого фундаментального упорядочивающего принципа, как принцип суперпозиции. В попытке проанализировать имеющиеся факты о нелинейных явлениях природы к настоящему моменту удалось создать ряд новых теорий (например, теория солитонов, теория динамического хаоса), а также существенно развить классические разделы физики. Последнее относится и к теории колебаний, из которой мы теперь можем выделить теорию нелинейных колебаний. Несмотря на все эти достижения, нелинейная наука еще далека от завершения.

В центре данной диссертационной работы находится автосинхронизация (в другой терминологии, авторезонанс, автофазировка) - относительно новое нелинейное явление, имеющее тот же порядок универсальности, что и широко известный нелинейный резонанс. При определенных условиях автофазировка может произойти в большинстве нелинейных колебательных систем. Как будет показано в работе, в состоянии автофазиров-ки нелинейная система становится эффективно управляемой при помощи внешнего воздействия. Для нелинейных систем вопрос управления особенно сложен (ввиду сложности таких систем) и актуален благодаря их особым свойствам и распространенности.

Несмотря на то, что первые работы по автосинхронизации были сделаны в сороковых годах двадцатого века, описание этого явления до сих пор довольно трудно найти в учебниках. Между тем, авторезонанс можно использовать не только для управления нелинейными системами, но

и как более эффективный вариант нелинейного резонанса, позволяющий передавать энергию колебательной системе более экономичным способом, что, безусловно, может найти применения в технике.

В данной работе рассматривается вопрос об автосинхронизации в распределенных системах, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Мы исследуем авторезонанс в нелинейном уравнении Шредингера (НУП1) - широко распространенной модели, описывающей нелинейные волны в магнетиках, оптических системах, плазме и многих других системах. Уравнение НУШ имеет решения в виде локализованных волн - солитонов. Такая волна называется солитоном огибающей, так как зачастую уравнение НУШ описывает не саму волну, а огибающую волнового пакета, распространяющегося в некоторой среде. Для модели НУШ будет предложен авторезонансный метод управления амплитудой и скоростью солитона огибающей. Данный метод позволяет управлять солитоном огибающей в магнитоупорядоченной среде.

В современной физике магнитных явлений большую роль играют нелинейные эффекты и, в частности, связанные с ними локализованные структуры, такие как солитоны, которые интенсивно исследуются в настоящее время как экспериментально, так и теоретически [1-3|. В связи с этим задача генерации таких структур с заданными амплитудно-фазовыми характеристиками и последующее управление их динамикой представляет особый интерес. Актуальной является также разработка принципиально новых методов управления такими структурами, особенно в связи с активными экспериментальными исследованиями свойств солитонов в магнитных пленках [4, 5].

Цель диссертационной работы состояла в построении теории авторезонансного управления амплитудой и скоростью солитона намагниченности в одноосных ферромагнетиках с анизотропией типа "легкая ось". Были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Построить адиабатическую теорию захвата фазы (автосинхронизации) солитона внешней волновой накачкой с медленно изменяющимися параметрами в рамках модели нелинейного уравнения Шре-дингера.

2. Сформулировать условия управления малоамплитудным солитоном намагниченности и возможные сценарии такого управления.

3. Провести численное моделирование процесса управления солитоном намагниченности.

Научная новизна.

1. Показано, что солитонами в нелинейном уравнении Шредингера, описывающем, в частности, нелинейные волны намагниченности, можно эффективно управлять при помощи внешнего возмущения ("накачки") с использованием нелинейного эффекта автосинхронизации. При автосинхронизации частота собственных колебаний нелинейной системы автоматически подстраивается под частоту внешнего возмущения, даже если последнее медленно изменяется. Ранее задача управления амплитудой нелинейных волновых структур ранее была исследована только для таких моделей, как уравнение Кортевега де-Вриза и синус-Гордон, но не была решена для нелинейного уравнения Шредингера.

2. Предложена новая методика управления солитоном намагниченности (слабонелинейной спиновой волной) в одноосном магнетике, базирующаяся на модели нелинейного уравнения Шредингера, широко распространенной в физике нелинейных волн в магнетиках. Как впервые показано в данной работе, переменное магнитное поле, удовлетворяющее определенным условиям, позволяет контролировать

все параметры слабонелинейной спиновой волны, такие как ее амплитуда и скорость.

3. В работе найдены необходимые для управления нелинейной волной намагниченности конфигурации полей накачки, резонансные условия, пороговые условия на амплитуду накачки. Предложены возможные сценарии управления солитоном намагниченности.

Степень достоверности результатов проведенных исследований. Достоверность полученных результатов обусловлена использованием стандартных методов теоретического исследования, надежных численных методов, а также хорошим согласием теоретических результатов и результатов численного интегрирования исходной модели.

Практическая значимость. Авторезонансное управление солитоном намагниченности может найти применение в реализации устройств на базе магнитных пленок, например, предназначенных для передачи и хранения информации. Также результаты работы могут найти применение при создании солитонных линий связи на оптических волокнах. В частности, в таких устройствах остро стоит проблема усиления солитонных импульсов без искажения их формы. Существующие методы усиления приводят (в отличие от разработанного нами) к искажению формы импульсов и, в результате, к появлению шумов.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Адиабатическая теория управления солитоном огибающих волн в рамках модели НУШ, основанная на эффекте автосинхронизации (авгорезонанса).

2. Типы накачек, позволяющие осуществить авторезонансное управление солитоном и возможные сценарии такого управления.

3. Пороговые значения амплитуды и фазы накачки, достаточные для управления солитоном.

4. Конфигурации внешних магнитных полей накачки и их критические значения, позволяющие управлять амплитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались и обсуждались на Международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2006); Международной конференции "Frontiers of nonlinear Physics" (Нижний Новгород, 2007); Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа, 2008); Международной конференции "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" (Италия, 2009); Международной конференции "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (Черноголовка, 2009); Российской конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа, 2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [AI, А2, A3], входящих в перечень ВАК, 1 статья в сборниках трудов конференций [A4] и 1 тезисы докладов [А5].

Личный вклад автора. Автор принимал участие во всех этапах данного исследования: в постановке задачи, получении и анализе результатов и написании научных статей. Все численные расчеты, приложение теории управления амплитудой солитона к слабонелинейным спиновым волнам в магнетике, а также разработка теории двухпараметрического управления солитоном были выполнены автором диссертации самостоятельно. Теория управления амплитудой солитона нелинейного уравнения Шредингера, изложенная в главе ЗОбщая теория автосинхронизации солитона нелинейного уравнения IIIpeflHiirepachapter.3, получена совместно

с Е. М. Масловым с использованием метода, впервые опубликованного в работе [6].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы состоит из 91 наименования.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе приведен обзор литературы по теме диссертации. В начале этой главы рассматривается пример исследования явления автосинхронизации в простой нелинейной системе. На этом примере демонстрируются основные свойства явления, такие как наличие захвата фазы, существование порога этого захвата и т.д.

В следующем разделе этой главы рассматриваются работы по автосинхронизации в многомерных системах и, в частности, в распределенных системах. Здесь рассматриваются различные физические ситуации, в которых возникают уравнения в частных производных, допускающие авторезонансное воздействие на их решение. Такие физические ситуации весьма разнообразны. Они встречаются, в частности, при управлении вихрями и волнами в жидкости и плазме, нелинейной оптике. В ферромагнетиках изучалось авторезонансное параметрическое возбуждение локализованных колебаний намагниченности полем переменной частоты [7], а также возбуждение колебаний доменных стенок в плоскопараллельной периодической доменной структуре [8].

Однако при рассмотрении распределенных систем решение вопроса о

том, как и при каких условиях в такой системе происходит автофазировка и какой из типов авторезонанса реализуется, остается в большой степени искусством. Пока не существует единого способа ответить на подобный вопрос для произвольной физической системы. Решение такой задачи видится на пути исследования универсальных моделей.

Большая часть работ из этой категории посвящена вопросам возбуждения нелинейных волн из нулевого начального состояния с помощью автосинхронизации. Для ряда универсальных моделей, среди которых уравнения Кортевега де-Вриза, синус-Гордона и нелинейное уравнение Шре-дингера, этот вопрос хорошо исследован.

Другой вопрос, внимание к которому выросло в последнее время, - это управление уже существующими нелинейными структурами в распределенных системах. Здесь также наблюдается тенденция к исследованию универсальных моделей: для солитонов уравнения Кортевега де-Вриза этот вопрос исследовался в [9], а для бризеров уравнения синус-Гордона - в работах [6, 7].

Данная диссертационная работа посвящена решению задачи об управлении солитоном нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), которая в литературе ранее не рассматривалась. Универсальность этого уравнения можно объяснить тем, что с его помощью можно описать огибающие волновых пакетов, распространяющихся в широком классе сред, слабо нелинейное дисперсионное уравнение которых имеет вид

и{к, А) = и>0 + ак? + 0А2,

где и - частота волны, к - ее волновое число, А - амплитуда. Это уравнение широко применяется при исследовании нелинейных спиновых волн в магнетиках [2].

Так как солитон НУШ обладает двумя степенями свободы - амплитудой и скоростью, то необходимо рассматривать задачу о независимом

управлении обоими степенями свободы.

Во второй главе мы обсуждаем уравнение (НУIII), описывающее одномерную волну намагниченности при условии малых отклонений вектора намагниченности от основного состояния. Основная цель вывода -установить связь между нелинейным уравнением и исходной физической задачей: определить масштабы, выразить возмущение, входящее в конечное уравнение, через внешние поля, а также определить приближения, которые необходимо сделать, чтобы получить это уравнение.

Рассматривается квазиодномерный магнетик с анизотропией типа легкая ось, находящийся во внешнем магнитном поле Н. В качестве исходной модели магнетика мы используем уравнение Ландау-Лифшица.

ЭМ __ тт тт 6Е ...

— = -7MxHe/J, = lMl = мо = const,

Как известно, возмущения в магнитоупорядоченных средах могут распространяться в виде волн намагниченности - спиновых волн. В нелинейном случае мы получаем для огибающей некоторой спиновой волны с волновым числом к уравнение вида

iuT + ^u« + \и\2и = y/Nhf\£, т) exp (iV2 J . (1)

Это уравнение называют нелинейным уравнением Шредингера. Здесь т, £ - медленные время и координата, г) описывает медленную огибающую основной гармоники, N = 1 + к2/2. Слагаемое в правой части описывает воздействие внешнего магнитного поля на огибающую. Величина hописывает малую медленно изменяющуюся компоненту магнитного поля, направленную вдоль оси анизотропии, a соответствует малым поперечным компонентам поля.

Магнитное поле, приложенное к магнетику (в единицах /ЗМо), имеет вид

Лх - Шу = г) ехр (-гП04 + г&х), /гг - Л<°> + А*2Л£2>(т-),

где время 4 выражено в единицах периода однородной прецессии спинов 2тт/(Р^Мо), координата х выражена в единицах магнитной длины у/а/0, к - волновое число "несущей" спиновой волны, По = 1 + \/2^10) + к2/2 - ее частота. Малый параметр (I характеризует отклонение намагниченности от основного состояния и в экспериментах [10, 11] имеет величину ¡г ~ 0.01. Медленные время и координата определены как г = £ = ц{х — VI), где V - групповая скорость линейных волн. Компонента магнитного поля обеспечивает намагниченность магнетика до насыщения в основном состоянии.

Малый параметр ц удобно определить как

[Й МЛ 0)

где М|_(0) = тах \МХ — гМу|4=о ~ начальная амплитуда спиновой волны.

X

При таком определении ¡1, безразмерная начальная амплитуда А(0) спиновой волны равна единице.

В третьей главе исследуется формальная задача об управлении амплитудой солитона нелинейного уравнения Шредингера

гщ + ^ихх + \и\2и = е/(х, Ь) (2)

при помощи слабого внешнего возмущения.

Известное солитонное решение этого уравнения при е — 0 имеет вид

и = <р,(хЛ = -£-е?ф, (3)

сп г

где

Ф = ~г + в, г = Л(®-0, (4)

А - амплитуда солитона, V - скорость, £ = Vi+^o, 0 — u>t+90, ш =

л2+к2

2

Амплитуда солитона и его скорость являются свободными параметрами решения, определяющими динамику остальных параметров - координаты, фазы и частоты. Именно управление этими параметрами ставится целью наших исследований.

В данной главе рассматривается возмущение в виде плоской волны с медленно меняющейся частотой:

Получены уравнения, описывающие динамику параметров солитона в адиабатическом приближении. Вывод уравнений основан на вариационном принципе

В адиабатическом приближении в плотность лагранжиана подставляется выражение для солитона (3), где амплитуда, скорость, координата и фаза в солитона считаются функциями времени.

Из этого вариационного принципа следуют уравнения

и вместо 9 введена разность фаз

6 = 6

Величина скорости определяется из закона сохранения A(V — к) = const и поэтому зависит от амплитуды солитона.

(5)

где

В режиме автофазировки разность фаз <5 совершает ограниченные колебания в течение длительного времени. Это означает, что в среднем со-литон находится в резонансе с волной накачки, причем это состояние поддерживается автоматически благодаря нелинейности системы. Так как частота солитона связана с его амплитудой и в режиме захвата фазы определяется частотой внешнего возмущения, то для изменения амплитуды солитона необходимо изменять частоту возмущения. Так, для того, чтобы увеличить амплитуду солитона, нужно медленно увеличивать частоту накачки.

Рис. 1. Амплитуда (а) и расстройка частоты (Ь) солитона, полученные численным интегрированием НУШ при начальном условии в виде солитона с параметрами А{0) = 1, У(0) = к/2, £(0) = 0, 0(0) = 0, ^(0) = 0 и параметрах накачки к = 0.25, а = 5 х Ю-4, П0 = |[Л2(0) + У2(0)] - кУ{0). Кривым 1 соответствует значение е = 2.185 х 10~4 (режим автофазировки), кривым 2 - значение е = 2.18 х Ю-4 (отсутствие автофазировки). Пунктирные кривые - результат численного интегрирования уравнений (5) при тех же параметрах и начальных данных. При указанном значении а критическое значение амплитуды накачки равно е^ = 2.1844 х Ю-4 для уравнения (2) и е1£еог = 2.18198 х Ю-4 для модели (5).

Численное интегрирование исходного НУШ (1) и уравнений (5) показало, что полученные уравнения хорошо описывают динамику солитона как при захвате фазы, так и в отсутствие его (рис. 1). Также численное интегрирование показало, что воздействие возмущения не приводит к излучению энергии солитоном. Благодаря этому для описания динамики солитона достаточно адиабатического приближения, используемого в данной работе.

Из уравнений (5) в приближении нелинейного маятника получены необходимые и достаточные условия автосинхронизации. Для этого уравнения (5) приводятся к одному уравнению второго порядка для разности фаз

5ТТ = A sin 5 - 0, (0 < т «С 0[е~1^)) (6)

где т = el/2t - медленное время, /3 = а/е,

= _ Г(Лч)'А(Л)-Ли;д'(Л)' 20 + к2

Захвату фазы соответствуют финитные колебания этого нелинейного маятника. Необходимым условием существования таких колебаний является условие существования стационарных точек на фазовой плоскости этой динамической системы:

|!|<l

Это условие означает, что автофазировка возможна только если амплитуда возмущения достаточно велика.

Достаточное условие захвата фазы солитона заключается в том, что состояние нелинейного маятника (6) в начальный момент времени должно находиться внутри сепаратрисной петли. Это условие исследовано аналитически и проверено численным интегрированием НУШ (1) (рис. 2). Отличие достаточного условия захвата фазы от необходимого, выписанного выше, состоит в сложной зависимости от начальной расстройки фаз солитона и накачки.

(7)

Рис. 2. Зависимость |/?сг/А| от начальной расстройки фазы ¿(0). (а) /? < 0, А < 0 (Ь) /3 > 0, Л < 0 (с) ¡3 < О, А > 0 (с!) /3 > О, А > 0. Сплошные кривые - решения уравнений (5). Д - значения, полученные путем численного интегрирования НУШ. Захват фаз возможен в областях под кривыми.

В четвертой главе полученные результаты применяются к задаче управления солитоном намагниченности в рамках модельного уравнения (1). Мы рассматриваем возмущения вида

/(£> т) = ехр(гх£ + гф(т))

. Представляя поперечные компоненты магнитного поля в виде

Л^ = х ехР г J ийт

где х определяет амплитуду этих компонент, получаем, что частота

фт = О(г) = у/2Н™(т) - г(т)

эффективного возмущения в (1), воздействующего на солитон определяется величиной продольной компоненты магнитного поля и частотой вращения поперечных компонент поля.

Эффективному возмущению в (1) указанного выше вида соответствуют компоненты внешнего магнитного поля

где частота О, и волновое число К близки к частоте По (к) и волновому числу к спиновой волны, модуляцию которой мы описываем с помощью НУШ. Это магнитное поле будет представлять собой малое возмущение для нелинейной спиновой волны, если

гт

М4 < < Я3-

Частота прецессии спинов в нелинейной спиновой волне "складывается" из частоты прецессии в линейной спиновой волне, ларморовской прецессии в магнитном поле IIг и отрицательной нелинейной добавки определяемой амплитудой и скоростью солитона намагниченности:

Штрихом обозначены размерные частоты в лабораторной системе отсчета. Для авторезонансного управления амплитудой солитона магнитное поле, во-первых, должно быть в начальный момент настроено в резонанс с солитоном. Для этого должны быть равны частота прецессии спинов и частота вращения поперечного магнитного поля

и, кроме того, волновое число накачки К должно быть близко к волновому числу спиновой волны к. Зная "частоту солитона" ^(0) (для чего необходимо знать его амплитуду и скорость), это условие можно выполнить,

выбирая соответствующим образом продольное поле Нх(0), или частоту вращения поперечного поля П(0).

Если резонансное условие выполнено, то достаточно медленное изменение параметров накачки (Нг и П) будет приводить в режиме автосинхронизации к изменению частоты солитона. Так как частота солитона связана с его амплитудой, то изменение частоты приведет к изменению амплитуды.

Для увеличения амплитуды солитона необходимо либо медленно увеличивать продольное поле

я2(г) = Н2(0) + \Ъ(ЗМ0а%

либо медленно уменьшать частоту циркулярно поляризованной компоненты поля

П(£) = П(0) -

от их начальных значений. Максимальная скорость изменения этих параметров, при которой автосинхронизация сохранится (при заданной амплитуде поля Н± и амплитуде солитона М±), определяется соотношением

1/1 . ШД гшйм \ Н± Мх(0)

Функция ©(<5о), определяющая зависимость этого критерия от начальной расстройки фаз солитона и накачки изображена на рис. 2. Параметр А определяется выражением (7). Если это условие выполнено, резонанс возмущения и солитона будет сохраняться, несмотря на изменение их параметров со временем.

При помощи численного интегрирования уравнения (1) показано, что автофазировка сохраняется при произвольной зависимости частоты накачки от времени, если в каждый момент выполнены условия захвата

Рис. 3. Изменение частоты внешней накачки (а) и амплитуда солитона (Ь) при сложном сценарии управления солитоном. Разность фаз & остается захваченной на протяжении всего периода управления. Уравнение НУШ решалось численно при значениях параметров накачки е = 2х Ю-3, т] = ±10~3,0.

фазы. Это позволяет осуществлять управление амплитудой солитона по сложному сценарию. Пример такого управления приведен на рис. 3.

В пятой главе рассматривается задача о независимом управлении амплитудой и скоростью солитона НУШ (2). Для осуществления такого управления можно использовать двухфазную накачку в виде суммы двух волн с разными волновыми числами

^ = П(*), Хг = и(Ь), П* = 0(аО, Щ = 0{а2).

Параметры ах и а2 определяют скорость изменения частот этих волн и являются малыми. Уравнения, описывающие динамику параметров солитона А, V, 0 получены с помощью вариационного принципа. Состояние солитона относительно волны накачки описывается двумя фазовыми переменными: 5 = в~-гр (аналогичная использованной ранее) и ф = к(£—Х). Фаза ф описывает положение солитона (£ - координата центра масс солитона) относительно неоднородности волны накачки.

На начальном интервале времени полученная система уравнений для параметров солитона приближенно редуцируется к системе связанных нелинейных маятников, описывающей динамику фаз 6, ф:

6 = аБтй + Ьзт(6 — ф) — 01,

(8)

ф = СБт5 + — ф) — к 02

на медленном масштабе времени Т = \fit- Здесь А = оц/е. Параметры а, 6, с, <1 сложным образом выражаются через параметры накачки, а также амплитуду и скорость солитона в начальный момент времени.

Проведен качественный анализ условий существования и устойчивости стационарных точек системы (8) в линейном приближении. Эти условия являются необходимыми для автофазировки. Сформулирована процедура, позволяющая выбрать начальные параметры солитона и накачки таким образом, что стационарная точка системы (8) существует и устойчива.

При помощи численного интегрирования показано, что управление параметрами солитона возможно по произвольному закону, если в каждый момент времени выполнены условия существования и устойчивости стационарной точки. Пример такого управления приведен на рис. 4. Состояние солитона описывается точкой на плоскости (А, V). Действие возмущения, параметры которого меняются как показано на рис. 4 (Ь), приводит к изменению параметров солитона вдоль окружности, изображенной на рис. 4 (а). Такой цикл управления может быть совершен неограниченное число раз.

В Заключении сформулированы новые результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Показано, что управление амплитудой солитона в рамках модели НУШ может осуществляться накачкой типа бегущей волны с медленно изменяющейся частотой, если начальная частота накачки сов-

<

о

05

15

2

О 01 02 03 М

V

4 х 10"4

Рис. 4. Эволюция скорости V и амплитуды А солитона (а), полученные численным интегрированием возмущенного уравнения НУШ (2) при ЩЬ) и £/(£), имеющих вид (Ъ). Прочие параметры: е = 2 х Ю-4, д = 0.1, к = 1, ¿(0) = —0.033, ф(0) = -я- - 0.033, 4(0) = 1, У(0) = 0.

падает с частотой солитона и ее амплитуда превышает некоторое критическое значение. Сценарий управления определяется зависимостью частоты накачки от времени и позволяет как увеличивать, так и уменьшать амплитуду солитона в широких пределах. Разработана адекватная теория явления, основанная на эффекте автосинхронизации (авторезонанса).

2. Обязательным условием управления амплитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике является наличие компоненты внешнего поля накачки, перпендикулярной к оси анизотропии, величина которой превышает некоторое пороговое значение. Для усиления солитона намагниченности необходимо либо медленно увеличивать амплитуду компоненты внешнего поля, направленной вдоль оси анизотропии, либо медленно уменьшать частоту вращения компонент внешнего поля, перпендикулярных к оси анизотропии.

3. Показано, что одновременное управление амплитудой и скоростью солитона возможно при двухфазной накачке, представляющей собой линейную комбинацию двух волн с разными волновыми числами. Параметрами управления в данном случае являются частоты этих воли. Параметры накачки должны медленно меняться со временем по определенному сценарию, обеспечивая, при наличии захвата фаз, возможность управления обоими параметрами солитона.

Список публикаций

[А1] Баталов C.B., Наулин В., Расмуссен И.И., Шагалов А.Г. Автофа-зировка дрейфовых волн // Письма в ЖЭТФ.— 2008.— Т. 88. — № 2. - С. 99-102.

[A2J Баталов С.В, Маслов Е.М., Шагалов А.Г. Автофазировка солито-0ов // ЖЭТФ. - 2009. - Т. 135. - № 5. - С. 1021-1028.

[A3] Баталов G.B, Шагалов А.Г. Авторезонансное управление солитоном намагниченности // Физика металлов и металловедение. — 2010. — Т. 109. - № 1. - С. 3-8.

[A4] Баталов С.В, Маслов Е.М., Шагалов А.Г. Резонансный захват фазы в нелинейном уравнении Шредингера // Труды института математи-. ки с ВЦ УНЦ РАИ. - 2008. - С. 14-16.

[А5] Batalov S. V., Shagalov A.G. Autoresonant formation and control of drift waves // Book of abstracts of III International conference Frontiers of nonlinear physics. — 2007. — Pp. 48-49.

Цитированная литература

[1] Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. — Киев: На-укова Думка. — 1983.

[2] Львов B.C. Нелинейные спиновые волны.— М.: Наука. — 1987,— С. 272.

[3] Борисов А.Б., Киселев В.В. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках,— Екатеринбург: УрО РАН. — 2009.-T. 1.-G. 512.

[4] Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость диполыю-обменных волн намагниченности в пленках железоиттриевого граната // ЖЭТФ. — 1988. — Т. 94. 2.-С. 159- 176.

[5] Scott М.М., Kostylev M.P., Kalinikos B.A., Patton C.E. Excitation of bright and dark envelope solitons for magnetostatic waves with attractive nonlinearity // Phys. Rev. B. - 2005. - Vol. 71. - Pp. 174440-1:4.

[6] Маслов EM., Калякин Л.А., Шагалов А.Г. Резонансный захват фазы бризера внешним возмущением // ТМФ.— 2007.— Т. 152. -№2,-С. 356-367.

[7] Калякин Л.А., Шамсупгдинов М.А., Гарифуллин Р.Н., Салимое Р.К. Авторезонансное параметрическое возбуждение локализованных колебаний намагниченности в ферромагнетике полем переменной частоты // ФММ. - 2007. - Т. 104. - № 2. - С. 115-128.

[8] Шамсутпдинов М.А., Калякин Л.А., Халфина A.A., Сухоносов А.Л. Авторезонанс в пластине ферромагнетика с плоскопараллельной пе-

риодической доменной структурой // Изв. РАН. Серия физическая. — 2008. - Т. 72. - № 10. - С. 1487-1489.

[9] Grimshaw R., Pelinovsky Е., Sakov P. Interaction of a Solitary Wave with an External Force Moving with Variable Speed // Stud. Appl. Math. — 1996,- Vol. 97.- Pp. 235-276.

[10] Kalinikos B.A., Kovshikov N. G., Patton C.E. Decay Free Microwave Magnetic Envelope Soliton Pulse Trains in Yttrium Iron Garnet Thin Films // Phys. Rev. Lett. - 1997. - Vol. 78. - no. 14. - Pp. 2827 - 2830.

[11] Mingzhong Wu, Kraemer A.M., Scott M.M. et al. Spatial evolution of multipeaked microwave magnetic envelope solitons in yttrium iron garnet thin films // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 70.- Pp. 054402-1:9.

Отпечатано на Ризографе ИФМ УрО РАН тираж 100 зак. 48 объем 1 п.л. формат 60x84 1/16. 620041 г. Екатеринбург, ГСП-170, ул. С. Ковалевской, 18.

Введение

Глава 1. Современное состояние проблемы автосинхронизации

1.1. Введение.

1.2. Пример исследования захвата фазы (авторезонанса) в динамической системе

1.3. Авторезонанс в системах с одной степенью свободы

1.4. Авторезонанс в многомерных системах

1.5. Выводы к главе 1.

Глава 2. Уравнение для солитона намагниченности в одноосном магнетике.

Глава 3. Общая теория автосинхронизации солитона нелинейного уравнения Шредингера

3.1. Введение.

3.2. Основные уравнения.

3.3. Необходимые и достаточные условия захвата фазы

3.4. Выводы к главе 3.

Глава 4. Особенности авторезонансного управления солито-ном намагниченности

4.1. Введение.

4.2. Необходимая конфигурация магнитных полей.

4.3. Условия захвата фазы

4.4. Управление солитоном.

4.5. Диссипация

4.6. Выводы к главе 4.

Глава 5. Управление скоростью и амплитудой солитона

5.1. Введение.

5.2. Основные уравнения.

5.3. Приближение двух связанных нелинейных маятников

5.4. Качественный анализ модели связанных нелинейных маятников

5.5. Численное моделирование.

5.6. Выводы к главе 5.

Актуальность работы. Колебательные процессы занимают в современной физике и технике весьма важное значение. Почти в любой области этих наук колебания играют ту или иную роль, не говоря уже о том, что ряд областей физики и техники всецело базируется на колебательных явлениях. Это относится, например, к теории электромагнитных колебаний, включающей в себя и оптику, микроэлектронике и радиотехнике.

Благодаря такой востребованности, математический аппарат теории колебаний и соответствующие физические представления активно развиваются вот уже несколько столетий. Особенно это относится к так называемым линейным задачам. В результате мы имеем средства для исчерпывающего исследования практически любой линейной задачи.

Примерно с конца девятнадцатого века и, особенно, в середине двадцатого, пристальное внимание ученых обратилось на нелинейные проблемы. Сейчас все больше утверждается мнение о нелинейности окружающего нас мира. Здесь, однако, пришлось столкнуться с трудной проблемой: чрезвычайное разнообразие нелинейных явлений, происходящее из отсутствия такого фундаментального упорядочивающего принципа, как принцип суперпозиции. В попытке упорядочить имеющиеся факты о нелинейных явлениях природы к настоящему моменту удалось создать ряд новых теорий (например, теория солитонов, теория динамического хаоса), а также существенно развить классические разделы физики. Последнее относится и к теории колебаний, из которой мы теперь можем выделить теорию нелинейных колебаний. Несмотря на все эти достижения, нелинейная: наука еще далека от завершения.

В центре данной диссертационной работы находится автосинхронизация (в другой терминологии, авторезонанс, автофазировка) - относительно новое нелинейное явление, имеющее тот же порядок универсальности, что и широко известный нелинейный резонанс. При определенных условиях автофазировка может произойти в большинстве нелинейных колебательных систем. Как будет показано в работе, в состоянии автофазировки нелинейная система становится эффективно управляемой при помощи внешнего воздействия. Для нелинейных систем вопрос управления особенно сложен (ввиду сложности таких систем) и актуален благодаря их особым свойствам и распространенности.

Несмотря на то, что первые работы по автосинхронизации были сделаны в сороковых годах двадцатого века, описание этого явления до сих пор довольно трудно найти в учебниках. Так, в ставшей уже классической книге [1] термин авторезонанс хотя и употребляется, но в другом смысле. Между тем, авторезонанс можно использовать не только для управления нелинейными системами, но и как более эффективный вариант нелинейного резонанса, позволяющий передавать энергию колебательной системе более экономичным способом, что, безусловно, может найти применения в технике.

В данной работе рассматривается вопрос об автосинхронизации в распределенных системах, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Мы исследуем авторезонанс в нелинейном уравнении Шредингера (НУШ) - широко распространенной модели, описывающей нелинейные волны в магнетиках, оптических системах, плазме и многих других системах. Уравнение НУШ имеет решения в виде локализованных волн - солитонов. Такая волна называется солитоном огибающей, так как зачастую уравнение НУШ описывает не саму волну, а огибающую волнового пакета, распространяющегося в некоторой среде. Для модели НУШ будет предложен авторезонансный метод управления амплитудой и скоростью солитона огибающей. Данный метод позволяет управлять солитоном огибающей в магнитоупорядоченной среде.

В современной физике магнитных явлений большую роль играют нелинейные эффекты и, в частности, связанные с ними локализованные структуры, такие как солитоны, которые интенсивно исследуются в настоящее время как экспериментально, так и теоретически [2-4]. В связи с этим задача генерации таких структур с заданными амплитудно-фазовыми характеристиками и последующее управление их динамикой представляет особый интерес. Актуальной является также разработка принципиально новых методов управления такими структурами, особенно в связи с активными экспериментальными исследованиями свойств солитонов в магнитных пленках [5, 6].

Цель диссертационной работы состояла в построении теории авторезонансного управления амплитудой и скоростью солитона намагниченности в одноосных ферромагнетиках с анизотропией типа "легкая ось". Были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Построить адиабатическую теорию захвата фазы (автосинхронизации) солитона внешней волновой накачкой с медленно изменяющимися параметрами в рамках модели нелинейного уравнения Шредингера.

2. Сформулировать условия управления малоамплитудным солитоном намагниченности и возможные сценарии такого управления.

3. Провести численное моделирование процесса управления солитоном намагниченности.

Научная новизна. Впервые показано, что солитонами в НУШ можно эффективно управлять при помощи внешнего возмущения ("накачки") с использованием эффекта автосинхронизации. Процесс управления позволяет изменять как амплитуду солитона, так и его скорость, то есть контролировать все параметры солитона. Предложена новая методика управления солитоном намагниченности в одноосном магнетике, возможные сценарии такого управления и необходимые конфигурации полей накачки.

Практическая значимость. Авторезонансное управление солитоном намагниченности может найти применение в реализации устройств на базе магнитных пленок, например, предназначенных для передачи и хранения информации. Также результаты работы могут найти применение при создании солитонных линий связи на оптических волокнах. В частности, в таких устройствах остро стоит проблема усиления солитонных импульсов без искажения их формы. Существующие методы усиления приводят (в отличие от разработанного нами) к искажению формы импульсов и, в результате, к появлению шумов.

Соответствие диссертации Паспорту научной специальности. Содержание диссертации соответствует формуле и пункту 1 Паспорта специальности 01.04.11 - физика магнитных явлений: "Разработка теоретических моделей, объясняющих взаимосвязь магнитных свойств веществ с их электронной и атомной структурой, природу их магнитного состояния, характер атомной и доменной магнитных структур, изменение магнитного состояния и магнитных свойств под влиянием различных внешних воздействий".

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Адиабатическая теория управления солитоном огибающих волн в рамках модели НУШ, основанная на эффекте автосинхронизации (авторезонанса).

2. Типы накачек, позволяющие осуществить авторезонансное управление солитоном и возможные сценарии такого управления.

3. Пороговые значения амплитуды и фазы накачки, достаточные для управления солитоном.

4. Конфигурации внешних магнитных полей накачки и их критические значения, позволяющие управлять амплитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались и обсуждались на Международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2006); Международной конференции "Frontiers of nonlinear Physics" (Нижний Новгород, 2007); Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа, 2008); Международной конференции "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" (Италия, 2009); Международной конференции "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (Черноголовка, 2009); Российской конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа, 2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [7-9], входящих в перечень ВАК, 1 статья в сборниках трудов конференций [11] и 1 тезисы докладов [10].

Личный вклад автора. Результаты, приведенные в данной диссертационной работе, были получены при непосредственном участии автора. Все численные расчеты, а также разработка теории двухпара-метрического управления солитоном (изложенная в главе 5) были выполнены автором диссертации самостоятельно. Результаты, изложенные в главе 3, получены совместно с Е. М. Масловым. В частности, в указанной главе в параграфе 3.3 использовался метод, впервые опубликованный в работе [12].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

5.6. Выводы к главе 5

1. В данной главе мы показали, что полное управление солитоном, т.е. управление всеми независимыми параметрами - амплитудой и скоростью солитона, возможно с помощью накачки вида (5.4) с двумя независимыми фазами.

2. Дифференциальные уравнения для параметров солитона были получены с помощью лагранжева формализма. В предположении, что имеет место захват обоих фаз, при помощи двухмасштабно-го разложения были получены упрощенные уравнения типа двух связанных нелинейных маятников, адекватно описывающих эффект авторезонанса. Определены условия, при которых в четырехмерном фазовом пространстве этой динамической системы существуют устойчивые стационарные точки, что определяет необходимые условия существования захвата фазы солитона внешней накачкой.

3. Все теоретические результаты были проверены прямым численным интегрированием исходного уравнения НУШ. Также была продемонстрирована возможность управления параметрами соли-тона, если имеет место авторезонанс по обоим фазам и параметры возмущения в каждый момент времени удовлетворяют полученным нами необходимым условиям.

Рис. 5.2. Результаты численного интегрирования уравнения (5.1) при д = 0.081 > дст (рисунки а, с) и при д = 0.078 < д„ (рисунки Ь, с!), где дсг = 0.0799. Прочие параметры: е = 2 х Ю-4, = а2 = 0.1 е, к = 1, 6(0) = 0, 0(0) = 1.63, Л(0) = 1, У"(0) = 0. Величина 6А представляет собой отклонение амплитуды от начального значения: 8А = А — 1.

1.1 1

09

0.8

I 1-1-1-1-1 I-1-г

0 ftl 02 аз 04 V

Рис. 5.3. Эволюция скорости V и амплитуды А солитона (а), полученные численным интегрированием возмущенного уравнения НУШ (5.1) при Q(t) и U(t), имеющих вид (Ь). Прочие параметры: е = 2х 1(Г4, д — 0.1, к = 1, <5(0) = -0.033, 0(0) = -тг - 0.033, А(0) = 1, F(0) - 0. пъ

Заключение

В диссертационной работе аналитическими и численными методами исследована задача авторезонансного управления солитоном нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Управление осуществляется при помощи малого внешнего возмущения, входящего в правую часть НУШ. При помощи лагранжева формализма получены дифференциальные уравнения, описывающие динамику параметров солитона в адиабатическом приближении, а также исследованы условия захвата фазы солитона возмущением. С помощью численного интегрирования показано, что найденные уравнения хорошо описывают динамику солитона при условии, что выполнены условия адиабатичности, в частности при достаточно слабом возмущениии. Мы рассматриваем два варианта управления солитоном. В первом случае требуется управлять лишь амплитудой солитона. Во втором случае требуется независимо управлять как амплитудой, так и скоростью солитона.

Развитая теория управления амплитудой солитона НУШ используется в задаче управления солитоном намагниченности в одномерном ферромагнетике с анизотропией типа легкая ось. Найдены конфигурации внешних магнитных полей, необходимые для осуществления управления, ограничения на амплитуду этих полей. Также найдены ограничения на скорость, с которой могут меняться параметры поля накачки (частота циркулярно поляризованной компоненты и амплитуда компоненты поля вдоль оси анизотропии), так, что возможен захват фазы солитона и эффективное управление его амплитудой. Обосновывается возможность аналогичного управления при учете магнитостатических эффектов.

Полученные результаты могут быть использованы и в других приложениях, где волновая накачка может иметь иную физическую природу. Так, в нелинейной оптике это может быть квазистационарная плоская световая волна, инжектируемая в волоконный световод [88, 89], или эффективное внешнее возмущение, вызванное взаимодействием волн в асимметричном двужильном световоде [77]. При описании волн плотности заряда в конденсатах накачка возникает, например, при наложении внешнего переменного электрического поля [42], а в плазме - при воздействии на ленгмюровские солитоны высокочастотного электрического поля [76, 90, 91]. Во всех этих случаях изменение параметров накачки также позволит управлять динамикой солитона.

В работе получены следующие новые результаты:

1. Показано, что управление амплитудой солитона в рамках модели НУШ может осуществляться накачкой типа бегущей волны с медленно изменяющейся частотой, если начальная частота накачки совпадает с частотой солитона и ее амплитуда превышает некоторое критическое значение. Сценарий управления определяется зависимостью частоты накачки от. времени и позволяет как увеличивать, так и уменьшать амплитуду солитона в широких пределах. Разработана адекватная теория явления, основаная на эффекте автосинхронизации (авторезонанса).

2. Обязательным условием управления амлитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике является наличие компоненты внешнего поля накачки, перпендикулярной к оси анизотропии, величина которой превышает некоторое пороговое значение. Для усиления солитона намагниченности необходимо либо медленно увеличивать амплитуду компоненты внешнего поля, направленной вдоль оси анизотропии, либо медленно уменьшать частоту вращения компонент внешнего поля, перпендикулярных к оси анизотропии.

3. Показано, что одновременное управление амплитудой и скоростью солитона возможно при двухфазной накачке, представляющей собой линейную комбинацию двух волн с разными волновыми числами. Параметрами управления в данном случае являются частоты этих волн. Параметры накачки должны медленно меняться со временем по определенному сценарию, обеспечивая, при наличии захвата фаз, возможность управления обоими параметрами солитона.

Автор хотел бы выразить глубокую признательность научному руководителю - доктору физико-математических наук Шагалову А. Г. за внимательное отношение и поддержку. Также автор признателен д.ф.-м.н. Борисову A.B., д.ф.-м.н. Киселеву В.В. за плодотворные дискуссии и соавтору к.ф.-м.н. Маслову Е.М. за терпение при подготовке публикации.

Работа частично поддержана грантом для молодых ученых и аспирантов УрО РАН за 2009 г. 6

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний.— М.: Физматгиз. — 1959.— С. 916.

2. Косевич A.M., Иванов В.А., Ковалев A.C. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. — Киев: Наукова Думка. — 1983.

3. Львов B.C. Нелинейные спиновые волны. — М.: Наука. — 1987.— С. 272.

4. Борисов A.B., Киселев В.В. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. — Екатеринбург: УрО РАН.2009. — Т. 1,— С. 512.

5. Калиникос В.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленках железоиттриевого граната // ЖЭТФ. 1988. - Т. 94. - № 2. — С. 159 - 176.

6. Scott M.M., Kostylev M.P., Kalinikos B.A., Patton C.E. Excitation of bright and dark envelope solitons for magnetostatic waves with attractive nonlinearity // Phys. Rev. В.— 2005.— Vol. 71.— Pp. 174440-1:4.

7. Баталов C.B., Наулин В., Расмуссен И.И., Шагалов А.Г. Авто-фазировка дрейфовых волн // Письма в ЖЭТФ. — 2008. — Т. 88.- № 2. — С. 99-102.

8. Баталов С.В, Маслов Е.М., Шагалов А.Г. Автофазировка соли-тонов // ЖЭТФ. 2009. - Т. 135. - № 5. - С. 1021-1028.

9. Баталов С. В, Шагалов А. Г. Авторезонансное управление солитоном намагниченности // Физика металлов и металловедение. — 2010. — Т. 109. — № 1. — С. 3-8.

10. Batalov S.V., Shagalov A.G. Autoresonant formation and control of drift waves // III International conference Frontiers of nonlinear physics. — 2007. — Pp. 48-49.

11. Баталов С.В, Маслов Е.М., Шагалов А.Г. Резонансный захват фазы в нелинейном уравнении Шредингера // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН. — 2008. — С. 14-16.

12. Маслов Е.М., Калякин А.А., Шагалов Л.Г. Резонансный захват фазы бризера внешним возмущением // ТМФ. — 2007. — Т. 152. — № 2. — С. 356-367.

13. Ландау Л.Д., Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. — М.: Наука. — 1988. — Т. I. — С. 216.

14. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. — М.: Наука. 1988.- С. 368.

15. Friedland L. Spatial Autoresonance: Enhancement of Mode Conversion Due to Nonlinear Phase-Locking // Phys. Fluids В.— 1992.— Vol. 4. — Pp. 3199-3209.

16. Справочник по специальным функциям. — Под ред. М. Абрамович, И. Стиган. — М.: Мир. — 1979. — С. 400.

17. Векслер В. И. Новый метод ускорения релятивистских частиц // Доклады АН СССР. — 1944. — Т. 43. № 8. — С. 346-348.

18. Векслер В. И. О новом методе ускорения релятивистских частиц // Доклады АН СССР. — 1944. — Т. 44. — № 9. — С. 393-396.

19. McMillan, Edwin М. The Synchrotron—A Proposed High Energy Particle Accelerator // Phys. Rev. — 1945. — Sep. — Vol. 68. — no. 5-6. — Pp. 143-144.

20. Чириков В. В. Прохождение нелинейной колебательной системы через резонанс // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 125. -№5.-С. 1015-1018.

21. Fajans J., Friedland L. Autoresonant (nonstationary) excitation of pendulums, Plutinos, plasmas, and other nonlinear oscillators // Am. J. Phys. — 2001. — no. 69. — P. 1096.

22. Friedland L. Migration Timescale Thresholds for Resonant Capture in the Plutino Problem // Astrophys.J. Lett. — 2001.— Vol. 547.— Pp. L75-L79.

23. Nakar E., Friedland L. Passage Through Resonance and Autoreso-nance in a:2n-type Potentials // Phys. Rev. E.— 1999.— Vol. 60.— Pp. 5479-5485.

24. Barth I., Friedland L., Sarid E., Shagalov A.G. Autoresonant capture in the presence of noise and self-fields // not published yet.— 2009.

25. Fajans J., Gilson E., Friedland L. The effect of Damping on Autoresonant Excitation I/ Phys. Plasmas. — 2001. — Vol. 8. — Pp. 423-427.

26. Shagalov A.G., Rasmussen J. J., Naulin V. Phase-locking phenomena and excitation of damped and driven nonlinear oscillators // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical — 2009. — Vol. 42. — no. 4. — P. 045502.

27. Priedland L. Subharmonic Autoresonance // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 61. — Pp. 3732-3735.

28. Chacon R. Energy-based theory of autoresonance phenomena: Application to Dufi&ng-like systems // Europhys. Lett. — 2005. — Vol. 70. — P. 56.

29. Chacon R. Breakdown of autoresonance due to separatrix crossing in dissipative systems: From Josephson junctions to the three-wave problem // Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 78. — Pp. 066608-1:6.

30. Priedland L., Fajans J., Gilson E. Subharmonic Autoresonance of the Diocotron Mode // Phys. Plasmas.— 2000.— Vol. 7.— Pp. 1712-1718.

31. Fajans JGilson E., Priedland L. Second harmonic autoresonant control of the I = 1 diocotron mode in pure-elecron plasmas // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 62. — no. 3. Pp. 4131-4136.

32. Khain E., Meerson B. Parametric autoresonance // Phys. Rev. E.— 2001. Vol. 64. — Pp. 036619-1:8.

33. Assaf M., Meerson B. Parametric autoresonance in Faraday waves // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 72. no. 1. — P. 016310.

34. Ben-David O., Assaf M., Fineberg J., Meerson B. Experimental Study of Parametric Autoresonance in Faraday Waves // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - Pp. 154503-1:4.

35. Уизем Дснс. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир. — 1977. — С. 624.

36. Калякин А. А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса // УМН. 2008. — Т. 63. - № 5(383). - С. 3-72.

37. Friedland L. Spatial autoresonance: Enhancement of mode conversion due to nonlinear phase locking // Phys. of Fluids B. — 1992. — Vol. 4. — no. 10. — Pp. 3199-3209.

38. Friedland L. Autoresonant Three-Wave Interactions // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 69. — no. 12. — Pp. 1749-1752.

39. Yariv S., Friedland L. Autoresonant interaction of three nonlinear adiabatic oscillators // Physical Review E.— 1993.— Vol. 48. — no. 4. — Pp. 3072-3076.

40. Friedland L. Multidimensional Autoresonant Mode Conversion // Phys. Plasmas. — 1995. — Vol. 2. — no. 5. — Pp. 1393-1397.

41. Yaakobi O., Friedland L., Henis Z. Driven, autoresonant three-oscillator interactions // Phys. Rev. E.— 2007.— Vol. 76. — no. 2.— P. 26205.

42. Каир D.J., Newell A.C. Theory of nonlinear oscillating dipolar excitations in one-dimensional condensates // Phys. Rev. B.— 1978.— Vol. 18. — no. 10. — Pp. 5162-5167.

43. Friedland L., Shagalov A.G. Resonant Formation and Control of 2D Symmetric Vortex Waves // Phys. Rev. Lett.— 2000.— Oct.— Vol. 85. — no. 14. — Pp. 2941-2944.

44. Deem G.S., Zabusky N.J. Vortex Waves: Stationary "V-States", Interactions, Recurrence, and Breaking // Phys. Rev. Lett. — 1978. — Vol. 40. — no. 13. — Pp. 859 862.

45. Priedland L., Shagalov A.G. Emergence of Nonuniform V-States by Synchronization // Phys. Fluids. — 2002.— Vol. 14. — no. 9.— Pp. 3074-3086.

46. Aranson I., Meerson В., Tajima T. Excitation of solitons by an external resonant wave with a slowly varying phase velocity. // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 45. — Pp. 7500-7510.

47. Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир. — 1984.— С. 535.

48. Friedland L., Shagalov A. G. Emergence and control of multiphase nonlinear waves by synchronization // Phys. Rev. Lett. — 2003.— Vol. 90. no. 7. - Pp. 074101-1:4.

49. Friedland L., Shagalov A. G. Excitation of Solitons by Adiabatic Mul-tiresonant Forcing // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81. — no. 20.— Pp. 4357 4360.

50. Friedland L., Shagalov A.G. Excitation of multiphase waves of nonlinear schrodinger equation by capture into resonances // Phys. Rev. E. 2005. - Vol. 71. - Pp. 036206-1:12.

51. Grimshaw R., Pelinovsky E., Sakov P. Interaction of a Solitary Wave with an External Force Moving with Variable Speed // Stud. Appl. Math. — 1996. — Vol. 97. — Pp. 235-276.

52. Пелиновский E.H. Авторезонансные процессы при взаимодействии уединенных волн с внешними полями // Прикладная гидромеханика. — 2000. — Т. 2. — № 74. — С. 67-72.

53. Калякин A.A., Шамсутдинов М.А., Гарифуллин Р.Н., Салимое Р. К. Авторезонансное параметрическое возбуждение локализованных колебаний намагниченности в ферромагнетике полем переменной частоты // ФММ. — 2007. — Т. 104. — № 2. — С. 115-128.

54. Шамсутдинов М.А., Калякин A.A., Халфина A.A., Сухоно-сов A.A. Авторезонанс в пластине ферромагнетика с плоскопараллельной периодической доменной структурой // Изв. РАН. Серия физическая. — 2008. — Т. 72. — № 10. — С. 1487-1489.

55. Шамсутдинов М.А., Калякин A.A., Халфина A.A., Сухоно-сов A.A. Авторезонансное возбуждение колебаний доменных стенок в ферромагнитной пленке // ФММ. — 2009. — Т. 108. — № 1. — С. 10-21.

56. Соловьев М.М., Филиппов В.Н. Влияние трения на характер нелинейных колебаний системы взаимодействующих доменных границ в тонкой ферромагнитной пленке во внешнем периодическом магнитном поле // ЖТФ. — 2000. — Т. 70. — № 12. — С. 58-62.

57. Звездин А.К., Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостати-ческих спиновых волн // ЖЭТФ. — 1983. — Т. 84. — № 2. — С. 606 615.

58. Киселев В.В., Танкеев А.П., Кобелев A.B. Слабонелинейная динамика диполъно-обменных спиновых волн в ферромагнитныхпластинах конечной толщины // ФММ. — 1996. — Т. 82. — К2 5. — С. 38.

59. Kovshikov N.G., Kalinikos В.A., Patton С.Е. et al. Formation, propagation, reflection, and collision of microwave envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 54. — no. 21. — Pp. 15210 15223.

60. Kalinikos B.A., Kovshikov N.G., Patton C.E. Decay Free Microwave Magnetic Envelope Soliton Pulse Trains in Yttrium Iron Garnet Thin Films // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. — no. 14. — Pp. 2827 2830.

61. Mingzhong Wu, Kraemer A.M., Scott M.M. et al. Spatial evolution of multipeaked microwave magnetic envelope solitons in yttrium iron garnet thin films // Phys. Rev. В.— 2004.— Vol. 70.— Pp. 054402-1:9.

62. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.: Наука. 1973.- С. 176.

63. Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. — М.: Мир. 1989. - С. 326.

64. Додд Р., Эйлбек Дою., Гиббон Дою., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. — М.: Мир. — 1988.

65. Калиникос Б. А. Спектр и линейное возбуждение спиновых волн в ферромагнитных пленках // Изв. вузов, Физика. — 1981. № 8. -С. 42 - 56.

66. Ворич М.А. Нелинейные волны в магнитных пленках и и слоистых структурах: распространение и взаимодействие: Кандидатская диссертация / Институт физики металлов. — 2005.

67. Ганн В.В. // ФТТ. — 1966. — Т. 8. С. 3167.

68. Wolfram T.f De Wames R. Е. Effect of exchange on the magnetic surface states of yttrium iron garnet films // Solid State Communications.— 1970. — Vol. 8. — no. 3.— Pp. 191 194.

69. Wolfram Т., De Wames R. E. Macroscopic and Microscopic Theories of Dipole-Exchange Spin Waves in Thin Films: Case of the Missing Surface States // Phys. Rev. Lett. — 1970. — Jun. — Vol. 24. — no. 26. — Pp. 1489-1492.i

70. Филиппов B.H. Ц ФММ. — 1971. Т. 32. — С. 911.

71. Lakshmanan M., Ruijgrok Т. W., Thompson С. J. On the dynamics of the continuum spin system // Physica A. — 1976. — Vol. 84. — Pp. 577-590.

72. Lakshmanan M. Continuum spin system as an exactly solvable dynamic system // Phys. Lett. A. — 1977. — Vol. 61. — no. 1.— Pp. 53-54.

73. Котляров В. П. Эквивалентность уравнения Ландау-Лифшица и нелинейного уравнения Шредингера // ДАН УССР. Сер. А.— 1981. № 10. — С. 9-13.

74. Карпман В.Н., Маслов Е. М. Теория возмущений для солито-нов // ЖЭТФ. — 1977. Т. 73. - № 2. - С. 537-559.

75. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. — М: Мир. — 1996.

76. Nozaki К., Веккг N. Low-dimensional chaos in a driven damped nonlinear Schroedinger equation. // Physica D.— 1986.— no. 21.— P. 381.

77. Cohen G. Soliton interaction with an external traveling wave // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 61. — no. 1. — Pp. 874-879.

78. Каир D.J., Newell А. С // Proc. R. Soc. London, Ser. A. — 1978. — no. 361. — P. 413.

79. Barashenkov I. V., Smimov Yu. S. Existence and stability chart for the ас-driven, damped nonlinear Schrodinger solitons // Phys. Rev. E. 1996. - Nov. — Vol. 54. - no. 5. - Pp. 5707-5725.

80. Barashenkov I.V., Zemlyanaya E.V. Existence Threshold of the AC-driven, Damped Nonlinear Schroedinger solitons // Physica D. — 1999. Vol. 132. - Pp. 363-373. ;

81. Terrones G., McLaughlin D.W., Overman E.A., Pearlstein A.J. Stability and Bifurcation of Spatially Coherent Solutions of the Damped-Driven NLS Equation // SCI AM J. Appl. Math. — 1990. — no. 50. — P. 791.

82. Карпман B.H., Маслов E. M. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны // ЖЭТФ.— 1978.— № 75. С. 504.

83. Маслов Е.М. К теории возмущений для солитонов во втором приближении // ТМФ. — 1980. — Т. 42. — № 3. — С. 362-373.

84. Canuto С., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang Т.A. Spectral0/

85. Methods in Fluid Dynamics // Springer Series in Computational Physics. — 1988.

86. Maslov E.M., Kalyakin L.A., Shagalov A.G. Breather resonant phase locking by an external perturbation // Theoretical and Mathematical Physics. — 2007. — Vol. 152. — no. 2. — Pp. 1173-1182.

87. Ферромагнитный резонанс. — Под ред. С. В. Вонсовского. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. — 1961. — С. 344.

88. Xia Н., Kabos P., Patton С.Е., Ensle Н.Е. Decay properties of microwave-magnetic-envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. — 1997. Vol. 55. — no. 22. — Pp. 15018 - 15025.

89. Haeltermann M., Trillo S., Wabnitz S. Dissipative modulation instability in a nonlinear dispersive ring cavity // Opt. Commun.— Vol. 91. no. 5-6. - Pp. 401-407.

90. Wabnitz S. Suppression of interactions in a phase-locked soliton optical memory // Opt. Lett. — 1993. — no. 18. — Pp. 601-603. "

91. Morales G. J., Lee Y. C. Ponderomotive-Force Effects in a Nonuniform Plasma // Phys. Rev. Lett. — 1974. — Oct. — Vol. 33. — no. 17. — Pp. 1016-1019.

92. Галеев А.А., Сагдеев P.3., Сигов Ю.С. и др. // Физика плазмы. 1975. — № 1. — С. 10.