Декомпозиция сингулярно возмущенных систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛВДОБАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ АН СССР

Специализированный совет Д 003.63.02

На правах рукописи

Соболев Владимир Андреевич

УДК 517.97:62-50

ДЕКОМПОЗИЦИЯ сингаяию ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.II -Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена в Куйбышевском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Васильева А.Б.

доктор технических наук Коровин С.К.

доктор физико-математических наук профессор Красносельский М.А.

Ведущая организация - Институт проблем управления АН ССС.

Защита состоится О' ÇejC&ji/J? 1991 г.

в_часов на заседании Специализированного совета

Д 003.63.02 при Всесоюзном научно-исследовательском институте системных исследований АН СССР (II73I2, Москва, B-3I2, проспект 60-летия Октября, 9).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНШСИ.

Автореферат разослан

с199

1 г.

Ученый секретарь Специ&чизированного совета доктор физико-математических наук л

С|

В. С. Левченко-;

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Интенсивное развитие приборостро-ния, авиации, космических исследований, химической промыш-знности и других областей науки и техники привело к ис-эльзованию сложных математических моделей, сочетающих в збе высокую размерность и вычислительную жесткость. В свя-я с этим широкое распространение получили исследования по вории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, эторые естественным образом возникают при моделировании анализе объектов различной природы, способных совершать цновременно быстрые и медленные движения. В теории авто-атического управления модели, описываемые сингулярно всз-ущенными дифференциальными уравнениями, возникают по це-эму ряду причин. Такие модели естественны для задач уп-эвления системами, динамика которых объективно складыва-гся из разнотемповых движений: гироскопические, электро-эханические и другие системы. Кроме того, появление син-рярных возмущений может быть связано со спецификой приме-гемых методов управления и для однотемповых систем. При-зрами могут служить задачи управления с большим коэфсЬици-таом усиления, с использованием метода штрафа ("дешевое" травление") или задачи стохастической фильтрации при вы-эвдекии шума в канале наблюдений.

Теория сингулярно возмущенных систем, традиционно зязываемая с проблемами аэрогидродинамики и нелинейной зханики, быстро развивается в последние десятилетия и ее зтоды активно применяются для решения ¡широкого круга за-ач из других областей естествознания и техники. При этом эльшое разнообразие задач сочетается со сравнительно не-элыпим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное эльшинстБО составляют работы, имеющие в своей основе тот чи иной метод построения асимптотических разложений ре-энип. начальных или краевых задач. В то же время во многих тучаях необходимо следить за поведением всей системы, а з отдельных траекторий, решать задачи качественного ис-

-г -

следования системы. В этих условиях важную роль начинают играть методы, применение которых приводит к понижению размерности моделей и устранению вычислительной жесткости. При этом упрощенные модели должны отражать поведение исходных систем с достаточной степенью точности по отношению к какому-либо разумному критерию и допускать обоснование с позиций теории возмущений. Одним из таких методов является метод интегральных многообразий Н.И.Боголюбова - Ю.А.Митро-польского. Развитию и применению этого метода для решения сингулярно возмущенных задач механики были посвящены работы В.В.Стрыгина и его учеников.

Необходимость повышения точности расчета сложных моделей при одновременном снижении объема аналитических и численных вычислений делает актуальной разработку достаточно общих и эффективных методов декомпозиции сингулярно возмущенных систем. Предлагаемый в диссертационной работе метод декомпозиции основывается на геометрическом подходе к анализу сингулярно возмущенных систем и сочетает в себе приемь асимптотических и качественных методов анализа. Этот метод применим' для исследования широкого круга задач анализа и синтеза систем автоматического управления.

Цель работы. Целью работы является создание аппарата декомпозиции сингулярно возмущенных систем управления, ос-, нованного на исследовании интегральных многообразий и разработка .алгоритмов решения задач автоматического управления, характеризуемых наличием разнотемповых переменных.

Методы исследования. В работе используются методы общей теории автоматического управления, нелинейного функци онального анализа, геометрической теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации предложен и развит новый подход к исследованию сингулярно возмущенных систем, базирующийся на построенной теории быстрых и медленных интегральных многообразий. В рамках этого подхода разработан метод декомпозиции и получен ряд новых конкретных результа тов.

Впервые построено преобразование, позволяющее одновре

пенно производить расщепление уравнений и начальных и краевых условий.

Для задал синтеза оптимального управления нестационарными линейными объектами с сингулярными возмущениями разработан метод понижения размерности матричных сингулярно возмущенных уравнений Риккати и проанализированы основные типы задач. Выделены случаи, когда при построении матричных коэффициентов усиления можно пренебрегать быстро изменявдимися функциями типа погранслоя и, тем не менее, получать асимптотические решения с требуемой точностью. Новые конструктивные алгоритмы декомпозиции разработаны и для решения нелинейных оптимальных задач.

Разработаны методы исследования, позволяющие с единых позиций рассматривать различные классы сингулярно возмущенных систем: системы с пограничным слоем, системы гироскопического типа, вырожденные системы.

Впервые изучен вопрос о допустимости использования уравнений прецессионной теории гироскопов в задачах оптимального управления и фильтрации и рассмотрены вырожденные задачи, характеризуемые ветвлением медленных интегральных многообразий.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты имеют важное значение для анализа и синтеза систем автоматического управления с разномасштабными переменными; исследования задач динамики, управления и оценивания для систем твердых тел и гироскопов, спутников, энергетических систем и систем термообработки, металлов, задач химической кинетики и горения.

Разработанный в диссертации метод дёкомпозиции успешно применялся для исследования систем с распределенными параметрами, цифровых систем управления, систем с переменной структурой и систем с несколькими временными масштабами, для решения некоторых задач химической кинетики. Эти результаты в диссертационную работу не включены, но свидетельствуют о возможностях предложенного в ней подхода.

Разработанные в диссертации алгоритмы допускают реализацию в ьвде программ на языке аналитических вычислений на

ЭВМ и могут эффективно применяться для решения широкого круга конкретных прикладных задач. Эти алгоритмы были использованы при создании пакетов прикладных программ и внедрены в научных и производственных организациях.

Материалы диссертации используются в учебном процессе в Куйбышевском государственном университете.

Сведения, подтверждающие практическое использование результатов диссертации, приводятся в приложении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международном съезде математиков (Варшава, 1983), на IX и XI Всемирных конгрессах ИФАК (Будапешт, 1984 Таллинн, 1390), на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981), на 1У Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985), на Всесоюзных совещаниях по проблемам управления (Алма-Ата, 1986, Ташкент, 1989), на У1 Всесоюзном съезде механиков (Ташкент, 1986), на Всесоюзных Четаевских конференциях по теории устойчивости, аналитической механик« и управлению движением (Иркутск, 1977, Казань, 1987), на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983, Тернополь, 1984, Новосибирск, 1985, Челябинск, 1986, Тамбов, 1987, Куйбышев, 1988, Новгород, 1989), на Всесоюзных конференциях и семинарах "Дината-ка нелинейных процессов управления" (Таллинн, 1987), "Оптимизация и разделение движений" (Красноярск, 1982), "Роботы и гибкие производственные системы" (Челябинск, 1988), "Анализ и синтез систем управления сложными динамическими объел тами" (Звенигород, 1987), "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, 1985,1988 "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика" (Звенигород, 1988), 'Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1985), "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986), 'Метод! малого параметра" (Нальчик, 1987), "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987), "Современные вопросы механики и технологии машиностроения" (Москва, 1986, 1989) "Современные вопросы физики и ее приложения" (Москва, 1987

990), "Системы аналитически: вычислений на ЭВМ и их прило-ения в механике" (Москва, 1987), 'Нелинейные проблемы диф-еренциальных уравнений и математической физики" (Тернополь, 989), "Управление многосвязными системами" (Суздаль, 1990), а расширенных семинарах Института' кибернетики All УССР и Ин-титута программных систем АН СССР, на семинарах Института роблем управления (автоматики и телемеханики), Института роблем механики АН СССР, Института математики СО АН СССР, нститута математики АН УССР, ВНИИ системных исследований Н СССР, Московского института электронного машиностроения, осковского энергетического института, Куйбышевского поли-ехнического института, Московского, Ленинградского, Воро-ежского и Куйбышевского государственных университетов. •

Личный вклад и публикации. Основные результаты диссер-ации получены автором и опубликованы в работах [I-I9]. В иссертационную работу включены только те результаты, издоенные в монографиях [9, 10] , которые принадлежат лично ав-ору.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 228 траницах и состоит из введения, пяти глав, списка литера-уры и приложения. Библиография содержит 202 наименования.

2-1079

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, посвященной исследованию систем управления с сингулярными возмущениями, т.е. систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями вида

х = иД,£), лей. ,

где £ - малый параметр, обосновывается актуальность темы исследов'ания и кратко излагается содержание работы.

Первая глава, состоящая из шести параграфов, содержит теоретические основы метода декомпозиции. Рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

«•^«.уЛ«, ^ (I)

Если система (I) подходящей заменой переменных приводится к ввду

V» Р <V, 1,е), (2)

(3)

где медленная подсистема (2) является независимой, то можно говорить, что осуществлена декомпозиция системы (I).

В диссертации преобразование координат, осуществляющее декомпозицию, строится при помощи функций, описывающих интегральные многообразия (ИМ), т.е. гладкие поверхности, состоящие из интегральных кривых.

В первом параграфе устанавливается существование и изучаются свойства ИМ медленных движений, т.е. ИМ, которые описываются уравнениями вида 10= К. (ОТ, £.)

Предполагается, что порождающее уравнение ^(Х^,!0) =

С

имеет изолированное решение = h,Q(. Функция определена при всех X б R- , t € R. и выполнены следующие условия: „ in-)

(I) В области ^{cx^.t.ei^elljl^-^cc.bFp.te^o«^^

функции j , ф и К>0 равномерно непрерывны и ограничены вместе с частными производными до ( k + г. )-го порядка включительно ( к»о ).

(II) Собственные значения A^OCjt) Сi- = 1.п-5

матрицы = (XJlvo(:E,'bJt>0) подчиняются неравенст-

ву Re .

Справедлива

Теорема I.I. Пусть выполняются условия (I),(II). Тогда существует такое число £ч ( О < £ч £0 ) что для каждого £6(0, ) система (I) имеет ИМ ty-h. COC,t,d), движение по которому описывается уравнением

X - f (X, h.ix,t,£), t,£)» F(X, t, £ ). (4)

Отмечается ряд свойств функции h* . Если f(0,0,t,£)e0 , ^(O.O/t.fi) =0 , то и h,(0,t,£)=0 . Если -J и ^ не зависят от t или периодичны по t или почти периодичны по t, то такими же свойствами обладает и функция 1г - Функция И, имеет ограниченные частные производные по переменным' X и t до К-то порядка включительно. Доказательства проводятся по обычным для метода ИМ схемам, разработанным H.H. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским.

При использовании метода ИМ для решения конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении функции h, . В последнем пункте параграфа показано, что для приближенного вычисления функции k, можно использовать асимптотические разложения по степеням малого параметра

Коэффициенты этого разложения ( к я ) определяются

из линенйных алгебраических уравнений.

Во втором параграфе вводится вспомогательная система

v = Fiv.t.fi), w = Vcv.w.i.M),

для переменных у , = , I - l^-ktXjt^) . Фикции I,V определяются при помощи равенств

- € kt CV+W,t,£)~ £ ke(V+W,t,« icv^w/, Z♦ k (V+W.t.^t £) Справедлива

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия теоремы I.I при КМ . Тогда существует такое число ( о* £ч ),

что при всех £ £ ( О , ) система (5) имеет ИМ W^HiV/i, t движение по которому осуществляется в соответствии с уравнениями

V = F(V.t £),

' (6)

После доказательства теоремы обсуэдаются свойства функции И , аналогичные свойствам функции h,. Кроме того, функция Н подчиняется неравенствам

И Н (v, z,t,£) и * a mil

II и (V,i,t,£)~ W CV,l,t,£)U 4 t II£-111

II bmiuiv-vii,

где (X и Ь - положительные числа, не зависящие от £ . В третьем параграфе показано, что преобразование

осуществляет приведение системы (I) в виду (2), (3).

Пусть ( X(t,£) - U(t,£l) - решение системы (I) с начальным условием 3C(t0t) = Х0 , Сt0,£) = у-о • Тогда существует такое решение ( . 2(1^0 ) системы (2),(3) с начальным условием V(t0)£)=V0 , Z(t0)£) = 20 , что

Xct,£) = V(t(£)-t£ Н (V(t,£),

If (t,£) = Z(t,£) - k (X(t,£),t,£)

Представление (7) вместе с оценкой induceе ,

, t ^ t0 t означающей, что 2(t,£) является левой пограничной функцией, дает возможность заменять анализ системы (I) анализом уравнения (2).

Основные результаты третьего параграфа формулируются в виде следующих утверждений.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда существуют такие числа £ и , что при всех (О,

любое решение 0С= £) системы (I) с на-

чальным условием x(tO)£) = 0Co . = > где

" tyo " k(X0)t0)£)IHp, , может быть представлено в ввде (7).

Теорема 3.2. (принцип сведения). Пусть О,О,t,£)=0 ,

О, t}£)=0 и выполнены условия теоремы 2.1. Тогда

F (О, t(£) - о л нулевое решение системы (I) устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) точно тогда, когда устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) нулевое решение уравнения (2).

Последяя теорема представляет собой аналог принципа сведения В.А. Плисса для систем вида (I). Для различных классов систем подобные утверждения были получены в работах Я.С. Бариса, П.П. Забрейко, О.Б. Лыковой и других авторов. В четвертом параграфе рассматриваются линейные системы

ввда

3-1.П7Р

Показано существование линейного преобразования

X*V *£P(t,t)Z , Ц .£ + Llt,€>Jt+h,(t,£), (9)

которое приводит систему (8) к виду

v-AAovft«, VMJ-, Н\\У (10) а-АДиг, Aj К,-£LA • ^

Предполагается, что матрицы A-(t,fi) , Atl(t>0) и

функции непрерывны и ограничены вместе с достаточ-

ным количеством цроизводных по t и d и, следовательно, имеют место асимптотические разложения

Г Г <°'J. r(1>J. П

fi - fi С Ь(Ь*0(С L|i.u

с гладкими и ограниченными коэффициентами. Предполагается также, что выполняются следующие условия :

(A) Существуют такие числа оС»О и К > 1 , что фундаментальная матрица

Uct , S) уравнения

удовлетворяет неравенству

llU(t,S>lU КвофС-eKt-S«,

(B) Существуют такие числа , Л/^ , что фундаментальная матрица

уравнения

АСОЧ 1 (0) A № . <Ч> Д (of1 Л (О) д 10) т т

IVCSA«-!)

удовлетворяет неравенству

| V(t,S,£)IU /Уеоф S)), - о- < S «i "U

где v7tM,0] ; , если \>30 .

- и -

Для матриц L , Р и функции К. получены асимптотические представления

1Дб*=LT(t)+dlT(tH.., P(t,o= P'cWP'cbt..,

РД0 • i

Г=-а'ГА:;, c.CiCiK^9-

Г-А:A?, AA^A^-P'"

ьь # J "* О *

r-A^C (Л-АГЧ^АХ'5'-

i=°

Справедлива

Теорема 4.1. Если выполнены условия (А), (В), то существуют такие матрицы

P'&pVe^it.«

¿»о

и функция

где , р(° , (х (1=0,1, ... ,К) определяется формулами (II), LK+4 , Р , h.Kt1 непрерывны и ограничены при t^ R , feLo.fij] , что преобразование (9) приводит систему (8) к виду (10).

Рассматриваются вопросы устойчивости, стабилизации и декомпозиции для линейных гироскопических систем^

В пятом параграфе обсуждаются различные способы описания ИМ. Получены асимптотические формулы для карамегри-теского и неявного задания ИМ. В качестве примеров рассмотрены некоторые задачи химической кинетики.

В шестом параграфе показано, что преобразование, при помощи которого производится декомпозиция уравнений, позволяет расщеплять и начальные или краевые условия.

Если для системы (I) заданы начальные условия хЛо>£)=ЗС ц. - 4о > т0 начальные условия для уравнений (2), (3) У(-Ь0> £)= V » 1(^6")= 2в определяются следующим образом. Для вектора получается явное выражение -К<(ЗС0,1 £} » а вектор Ч/0 удовлетворяет уравнению ЭС =ч/ + еН(У/ Ъг, Е) и может быть найден из него в виде

О О *' 01 V > О >

асимптотического разложения

\/0 - Осо - £ Н (Х0, ^(Х./Ц 1о>0) - 0(£А>

Рассмотрены также краевые задачи для скалярных и векторных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Для систем с пограничным слоем на правом или левом конце рассматриваемого промежутка краевая'задана расщепляется на регулярно возмущенную краевую задачу и сингулярно возмущенную начальную задачу.

Во второй главе рассматриваются линейно-квадратичные задачи оптимального управления. Показано, что в процессе решения возникающих в таких задачах сингулярно возмущенных уравнений Риккати для матричных коэффициентов усиления в ряде случаев можно пренебрегать быстро изменяющимися членаг-ми типа правых пограничных функций и получена аналитическая формула для матричного коэффициента с медленно меняющимися компонентами. В качестве примеров рассмотрены задачи синтеза оптимального управления для сосредоточенной модели конвективной термообработки и распределенной модели нагрева.

В первом параграфе второй главы, который имеет подготовительный характер, рассматриваются матричные уравнение Риккати с переменными коэффициентами

К-А'К'КА-КЬКЧЬо , Кт-Р

(12)

возникающее при решении задачи управления линейной детерминированной системой

х = А(Ьх +В<Ъи., *Г0) = хО) хе^

с интегральным квадратичным критерием качества

>-к ж'«) Гх(о 4[[х'(Ъ0(Ьх(Ь+1д!(ЪЦ(ЬасЪ]Л.(1з)

о

Хорошо известно, что оптимальное управление задается

формулой 11.= - Я" В Кх , где КсЪ - решение задачи

(12) при 5 = & . Пусть К0(Ъ - произвольное частное

решение этого уравнения, а - произвольное частное

решение линейного матричного уравнения

1) = Д-$К0.

Тогда решение задачи (12) можно записать в следующем виде

КсЪ=К0(Ь +9сЪ[ Г- К0(1>1{1-1 Р14)

где Ф(Ъ - фундаментальная матрица уравнения х=-])х ,

Ф(-Л=1 _ Формула (14) может быть эффективно использована только в том случае, когда можно указать способ вычисления матриц К0 , и __ ф . Особенно простой является

ситуация, когт.а матрицы а , в , а и N - постоянные.

В следующих параграфах второй главы рассматриваются системы с переменными коэффициентами, для которых формула (14) эффективно реализуется.

Во втором параграфе рассматривается задача управления сингулярно возмущенной системой

= + ос(оэ=хо } хе£

с критерием качества (13). Предполагается, что матрицы а , Ь , 0 , достаточное число раз непрерывно дифференцируемы при 1 € [ 0,1] . Закон регулирования имеет вид

«¿-^В'^Х-ШХ ^Де K-Kd.fi)

4-1079

решение уравнения Риккати

Ь-ЫСЬ'

Такш образом, решение задачи синтеза оптимального управления для сингулярно возмущенной линейной системы приводит к сингулярно возмущенному матричному уравнению Риккати. Такие уравнения изучались в работах А.Б.Васильевой, М.Г. Дмитриева, О'Молли, АЛаланая и других авторов и обычно для их анализа применялся метод пограничных функций А.Б.Васильевой - А.Н.Тихонова. Решение задачи (15) разыскивалось в виде суммы регулярных членов и правых пограничных функций

(функций порядка

при

).

Если при всех пара матриц {А,Ы обладает

свойством полной управляемости, а пара { 0 } Д][ - полной наблюдаемости, где

, то пренебрежение пограничными членами при вычислении К (^О приводит к погрешности порядка £ ^ при £ О в значении функционала качества. Поэтому, при вычислении матричного коэффициента К вполне допустимо пренебрежение правыми пограничными функциями и достаточно определить только регулярную составляющую.

В этом случае решение уравнения Риккати определяется, в ввде асимптотического разложения

с любой степенью точности. При этом К00 является положительно определенным решением уравнения Лурье АК^ - к *0=О , а матрицы 1с,- (i > ^ удовлетворяют

оо оо ии

линей1шм матричным уравнениям вида

мл Кок = л,,

Если при вычислении К0(1,£.) допускается погрешность порядка 0(£К) , то погрешность функционала качества, соответствующая субоптимальному управлению 11= -

ГВХ.Х

имеет порядок

В третьем параграфе рассматривается более сложная ситуация, когда управляемая система имеет вид

£Х = Ас^ох + , Х(0)=Х0) хе^Т (К)

а матрицы, входящие в (16) ив выражение для функционала (13) представимы в блочной форме следующим образом

1

где

А-М^еА^),.., ^-Е^сЬ-еЬиСЬ-.., Г - В ^Р- ♦

Ч Чо с 1 и ••• •

. Закон управления тоже представляется в блочном виде

Матрща 1ч удовлетворяет уравнению Риккати, которое записывается в виде системы матричных уравнений

К,(«1-Е,, ^((.«^"Т,.

где ^■ь.г-'ь;. з^ех

В рассматриваемом случае нельзя свести вычисление матрицы К к решению алгебраических уравнений, но, тем не менее, удается понизить порядок матричного дифференциального уравнения. В итоге, для решения задачи синтеза управления необходимо решать регулярно возмущенное матричное дифференциальное уравнение для симметрической матрицы размером т.хпу Такое уравнение, описывающее поведение решений системы (17) на ИМ медленных движений, строится в соответствии с алгоритмом, изложенным в первой главе.

Определенные трудности возникают при вычислении граничного значения для матричного уравнения на ИМ. В третьем параграфе описывается алгоритм вычисления этого значения, а в четвертом параграфе рассмотрены наиболее типичные задачи и примеры.

В пятом параграфе второй главы рассматривается задача синтеза оптимального управления процессом конвективного нагрева металлических изделий в малоинерционных садочных печах.

Шестой параграф посвящен решению задачи управления температурным полем в бесконечной однородной пластине фиксированной толщины путем изменения температуры окружающей среды. Роль малого параметра играет критерий Био, задача рассматривается на конечном промежутке времени. Применение метода декомпозиции позволяет свести решение бесконечно-

мерной задали оптимального управления к скалярной задаче и получить аналитическое выражение для субоптимального управления.

Третья глава посвящена применению метода декомпозиции для исследования нелинейных задач управления.

В первом параграфе рассматриваются системы, линейные по быстрым переменным. Получены явные выражения для функций, при помощи которых осуществляется декомпозиция системы, с точностью до членов порядка 0 ( £*") . Затем рассматриваются различные задачи управления для систем ввда

X = ^ (ойД,^ ♦ р и Д (хД£}и.,

Г 4- и + (18)

е У= % + б 4

Получено решение задачи о синтезе линеаризирующего управления. Управление ищется в виде и,» и. Ос, ^ £) и в результате для медленной переменной получается линейная подсистема.

Рассмотрены линейная и нелинейная задачи оптимального быстродействия. В каждом случае осуществлена декомпозиция на медленную и быструю подсистемы.

В последнем пункте параграфа для системы (18) рассматривается задача адаптивного управления при использовании алгоритма скоростного градиента. Цель управления задается

соотношением 0 0 цри 1 — , где 0 - положительно определенная квадратичная форма

+£у с симметрическими постоянными матрицами 0Ч, О,.

Показано, что при выборе управляющего воздействия в соответствии с алгоритмом скоростного градиента, система имеет многообразие стационарных положений и применяется обобщенный принцип сведения для задачи об устойчивости по отношению к части переменных. Показано, что цель управления для • полной системы достигается тогда и только тогда, когда достигается модифицированная цель управления для системы на КМ медленных движений.

Во втором параграфе рассматривается задана минимизации функционала

яа траекториях системы

я.

(19)

Предпологается, что при всех 1£1о,1] пара матриц

{А„Д$ вполне управляема, а пара матриц , где

О 0 = - вполне наблюдаема. Тогда решение соответствующей краевой задачи принципа максимума представимо в виде суммы слагаемых трех типов - регулярных членов, левых и правых пограничных функций. Построено преобразование, осуществляющее расщепление уравнений и краевых условий. Матрицы и функции, описывающие это преобразование, вычисляются в виде асимптотических разложений.

Сначала рассматривается линейная система. Построенное преобразование производит декомпозицию краевой задачи на три независимые задачи - одну регулярно возмущенную краевую задачу и две сингулярно возмущенные начальные задачи.' Затем рассматривается краевая задача для системы (19). £ результате декомпозиции получена независимая регулярно возмущенная краевая задача и две сингулярно возмущенные начальные задачи. Коэффициенты дифференциальных уравнений этих начальных задан могут зависеть от решений краевой задачи.

В последнем пункте параграфа рассматривается нелинейная задача оптимального управления процессом радиационного нагрева.

В четвертой главе рассматриваются системы, характерной особенностью которых является начичие высокочастотных колебаний при слабом демпфировании. Такие системы встречаются в теории полета снарядов, теории гироскопических систем, при изучении роботов и манипуляторов. Получены уравнения,

описывающие медленные - прецессионные и быстрые - нутационные колебания гироскопических систем. Установлена связь между уравнениями прецессионной теории гироскопов и уравнениями, полученными методом декомпозиции. Показано, что использование уравнений прецессионной теории при решении задач оптимального управления и оценивания, как -правило, приводит к неприемлемым результатам, и предложен способ устранения возникающих погрешностей.

В первом параграфе четвертой главы обсуждаются особенности применения метода декомпозиции для исследования уравнений теории гироскопических систем. Как показал Д.Р. Мер-кин, уравнения движения систем, находящихся под действием гироскопических, консервативных сил и сил радиальной коррекции, могут быть представлены следующим образом

Здесь обобщенные координаты, Т^ - положительно

определенная квадратичная форма относительно обобщенных

скоростей , 0К - обобщенные силы ( К=И.....а).

Исходя из физических предположений, считается, что гироскопические силы Н зависят от большого параметра

Н , ~ . Уравнения движения гироскопических сис-

тем - это довольно сложные и громоздкие нелинейные дифференциальные уравнения. Поэтому при их анализе обычно -используются различше приближенные методы.

Наиболее распространенным подходом является использование более цростых уравнений прецессионной теории гироскопов. Формально, прецессионные уравнения получаются из (20) отбрасыванием обобщенных ускорений и произведений обобщенных скоростей. Прецессионными называются уравнения ввда

п.

По своей структуре эти уравнения является существенно более простыми по сравнению с уравнениями (20). Вопрос о

о математическом обосновании прецессионной теории изучался в работах Д.Р. Меркина, И.В. Новожилова, А.И. Кобрина, Ю.Г. Мартыненно, B.C. Новоселова и других авторов.

Уравнения (20) могут быть представлены в следующем

ввде

dt = У' (21)

Здесь X 6 К , А(«»Ъ - симметрическая положительно определенная матрица, &(Х,Ь - кососимметрическая матрица гироскопических сил, Ь(Х,"Ь - симметрическая матрица

диссипативных сил, Q(3C,t) _ вектор обобщенных сил, £= Н - малый параметр. Прецессионные уравнения имеют ввд

cS^cB^-eQ. <22)

Корни характеристического уравнения 1G" A I j = О имеют нулевые вещественные части, т.е. основное требование метода А.Б. Васильевой - А.Н. Тихонова об асимптотической устойчивости црисоединенной системы не выполняется. В этой связи и результаты первой главы не могут быть использованы для исследования уравнений (21) без дополнительного анализа.

Для существования преобразования, осуществляющего декомпозицию уравнений (21), достаточно, чтобы матрицы А ,

Е> , & , G"

и вектор-функция W были определены, непрерывны и ограничены вместе с достаточным количеством частных производных по ж и t и чтобы матрица

-CA-W^^V]

была гурвицевой.

Во втором параграфе при помощи расщепляющего преобразования

x = v*eH(v,i.(U), (23)

г * б kcx,t,d)

- 21 -

гравнения (21) приводятся к виду

г, (25)

А = А(У+еНД МтеН/Ь, С^теН.Ъ,

При этом для 1ъ и И получены асимптотические представления

ГО, +

Н^-ГА*.

В выражениях для к. л ("Ц матрицы А , В , & и

функция 0 зависят от ос и 1 , а в выражениях для .

- от V и . Уравнение (24) описывает прецессионные колебания, а уравнение" (25) - нутационные колебания. Формула (23) показывает, что вектор обобщенных координат представляет собой композицию нутационных и прецессионных колебаний.

Рассмотренные вопросы тесно связаны с задачей о допустимости использования уравнений прецессионной теории. Правая часть прецессионных уравнений (22), записанных в форме

V»« +

совпадает с правой частью уравнения (24) с точностью до членов порядка 0(£ ) включительно для неавтономных систем и с точностью до членов порядка 0 ( £ ) для автономных сис-

тем. Учитывая, что при сформулированных выше предположениях нутационные колебания гаснут и справедлив принцип сведения, делается заключение о допустимости использования уравнений (24) (или (22)) вместо исходных уравнений (21).

В этом параграфе получено выражение для начального значения V0~ V(0,£) црецессионной составляющей движения и произведен анализ уравнений движения тяжелого гироскопа в кар-дановом подвесе.

Известны случаи, когда использование прецессионных уравнений приводит к неприемлемым результатам (нацример, при

det G = 0 ). Оказывается, что такая ситуация для гироскопических систем, находящихся под воздействием случайных сил, является характерной. В третьем параграфе рассматриваются линейные гироскопические системы, находящиеся под воздействием случайных сил типа белого шума. Уравнения движения таких систем расщепляются на две независимые подсистемы. Показано, что использование прецессионных уравнений может привести к неприемлемым результатам. В качестве примера рассмотрены уравнения плоского гироскопического маятника.

Аналогичная ситуация возникает и при решении задач оптимального оценивания и управления для гироскопических систем. Рассмотрена задача оптимального оценивания для нестационарной гироскопической системы. Предполагается, что уравнения движения имеют вид

¿=F(by, эсе|Г-, yclC

0 0 (26)

£ у - -1 G0ct) * е ^ - £ Mbx+е B^ct) wet),

а цроцесс наблюдения описывается уравнением 2=C(t,£)X + .

Здесь WCb и ^(Ь _ независимые гауссовские белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными матрицами Q(t)ôft -S) и Êcbôrt -S) , соответственно, 6(t) -дельта-функция. Матрица G0(t) - кососимметрическая, а

матрица б0 (Ь ограничена по норме. Предполагается, что шум в канале наблюдения является невырожденным, и что наяаль-

ше значения £0=эс(о) , - детерминирован-

ше векторы.

Пусть 1ТЦсЪ и т.ь(Ъ - математические ожидания векто-)ов Хи || , а Р(в.") - матрица ковариации вектора

(*) . т.е. Рс^-Р'^й)-

Уравнения фильтра Калмана для рассматриваемой задачи меют вцд

т.ч= Рпгг_+ Р^'йла-СпгД £ "V" С£ Мп, Р^Си - С 1иД

р--р +Р' -Р $Р

1 -I 1 а. 1 г. 1 ч

ффеРУ-РА^МЯ,

-есА/Р^Р^^В.ОВ^;

5 = С ГС

Матрица 60 - невырожденная, но уравнениебдХ~Х.б0= О меет ненулевые решения, т.к. собственные числа линейного ператора

представляют.собой всевозмож-

ые разности собственных чисел матрицы б„ и, следователь-о, среди них обязательно есть нулевые. Это 'означает, что азмерность медленного ИМ системы (27) определяется не олько размерами матрицы Р^ . При определении размер-ости ИМ следует учитывать и размерность ядра оператора ¿С . зновной вывод состоит в том, что при решении задачи опти-

(27)

мального оценивания для гироскопических систем (2.6) использование прецессионных уравнений

"'¿Мх+б^й (28)

можен привести к неприемлемым результатам. Использование прецессионных уравнений означает пренебрежение высокочастот ными составляющими движения. Но для системы матричных уравнений (27) "низкочастотные уравнения" имеют более высокую размерность, чем соответствующее матричное уравнение Рикка-ти, составленное для уравнения (2Е).

Точно такая же ситуация возникает и при решении задач! аналитического конструирования оптимальных; регуляторов для систем вида (26).

Следует отметить, что задачи фильтрации и оптимальной управления для гироскопических систем в определенном смысл« аналогичны задачам анализа гироскопических систем с вырожденной матрицей гироскопических сил. Для всех этих задан характерным является то, что использование уравнение прецессионной теории приводит к неприемлемым результатам. Однако, это не означает, что для всех этих задач необходимо анализировать полные уравнения. Применение метода ИМ позволяет эффективно понижать размерность и для таких задач, но размерность медленных переменных оказывается более высокой по сравнению с той, которая определяется использованием пр цессионной теории.

В качестве иллюстрации рассмотрена задача построения фильтра Калмана.для плоского гироскопияеского маятника. По казано, в частности, что использование прецессионных уравнений приводит к неверно составленному уравнению Риккати для ковариационной матрицы ошибок в угловых переменных.

В пятой главе анализируются так называемые вырождении задачи теории сингулярных возмущений, т.е. системы вида (I

в случае, когда уравнение ^ (ЭС> "Ь,0) = О имеет такое

решение ^ - к0(Х/Ь, что матрица О (X, к0СлД)/ ^ О)

V {

является выровденной. Такая ситуация рассматривалась в чет

вертой главе при анализе матричного уравнения Риккати в задаче фильтрации для гироскопической системы, где все свелось к повышению размерности медленной подсистемы. Подобные задачи рассматривались А.Б.Васильевой и В.Ф. Бутузовым с позиций метода пограничных функций. При описании ИМ для таких систем удобно успользовать параметрические уравне'ния, а функции, описывающие ИМ, строятся в виде асимптотических разложений по целым степеням малого параметра. Но возможны и более сложные ситуации, когда происходит ветвление ИМ и при построении их асимптотических разложений возникают дробные степени малого параметра. При анализе вырожденных задач используются методы теории ветвления нелинейных операторных уравнений, развитые в работах A.M. Красносельского и других авторов.

В первом параграфе рассматриваются однородные системы. Получено уравнение разветвления для ИМ, рассмотрен пример. Затем анализируется один класс квазиоднородных систем. Показано, что в £ -окрестности кратного нулевого корня порождающего уравнения С X, l^, t, О) = О происходит ветвление медленных ИМ, и каждая ветвь представима в виде асимптотического разложения по дробным степеням малого параметра.

Во втором параграфе рассматриваются задачи управления с большим коэффициентом усиления для линейных и нелинейных систем, а также задача управления манипулятором с гибким сочленением. Все эти задачи являются вырожденными, но объединяет их то обстоятельство, что в каждом случае удается ввести новые пространственные переменные, позволяющие свести рассмотрение к ситуации, рассмотренной в какой-либо из предыдущих глав.

Для нелинейной системы

Х^ОС.Ъ+В^Х.Ьи, xelT, u.fc£X

управление обычно выбирается в следующем, виде U.=-d

если требуется достаточно быстро перевести систему из начального положения в малую окрестность поверхности S(3C)=0.

Анализ задачи, основанный на применении техники ИМ для вырожденных, задач теории сингулярных возмущений, позволяет

установить, что использование модифицированного уцравления

позволяет повысить точность решения задачи уцравления.

Для рассматриваемой ниже задачи синтеза линеаризирующего уцравления манипулятором установлено существование двумерного ИМ медленных движений и построено уцравляющее вс здействие с погрешностью порядка 0 ( £*"). Динамика манипулятора описывается вырожденной системой сингулярно возмуще! них дифференциальных уравнений четвертого порядка.

Для специальных линейных структур уцравления, которые анализировались М.Б. Мееровым и А.Л. Вороновым, показано, что использование дробных степеней малого параметра и соответствующих переменных состояния позволяет свести рассматриваемую задачу к стандартной форме с последующим применением результатов первой главы.

В третьем, последнем, параграфе рассматриваются линейно-квадратичные задачи управления вида

х=Ал.ох + Ьс^ыи., > гэЗДхЮ- ¿[[¿(ЬОсЫЪ .

о

Поскольку при управлении в выражении для. функционала качества в качестве множителя содержится малый параметр, такие задачи обычно называются задачами с "дешевой" платой за управление. Оптимальное управление задается формулой вида ,

где К - решение матричного уравнения Риккати

е'с^А'К+КА^-КЬК,

Порождающее уравнение

имеет- кратный

корень К= 0 , следовательно., возможно ветвление ИМ.

Получено асимптотическое решение задачи оптимального правления для уравнения в переменных "вход-выход". Б каче-тве примера рассмотрена задача управления двигателем по-тоянного тока.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Общая схема и формализм метода декомпозиции сингу-ярно возмущенных систем. Обоснование метода, включая теоре-ы о существовании расщепляющего преобразования и способах го приближенного построения; расщепление начальных и крае-ых задач.

2. Решение линейно-квадратичных задач оптимального уп-авления с сингулярными возмущениями, конструктивный метод онижения размерности матричных дифференциальных уравнений иккати.

3. Декомпозиция нелинейных систем автоматического уп-авления, включая системы, линейные по быстрым пере!менным, истемы адаптивного и оптимального управления, системы с ли-еаризующим управлением. Расщепление линейных и нелинейных раевых задач принципа максимума.

4. Декомпозиция уравнений движения гироскопических сис-ш. Получены уравнения для прецессионных и нутационных ко-:ебаний, установлена связь этих уравнений с уравнением пре-;ессионной теории. Показано, что общепринятое использование равнений прецессионной теории при- исследовании гироскопи-еских систем со случайными возмущениями, при решении задач >птимального управления и оптимальной фильтрации для таких систем приводит к неприемлемым результатам и указан способ ■странения возникающих погрешностей.

5. Применение метода декомпозиции для исследования не-:оторых классов вырожденных задач управления с сингулярными юзмущениями, исследование возможности ветвления медленных многообразий в таких задачах и использование асимптотических >азложений по дробным степеням малого параметра при их по! троении.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Соболев В.А. Быстрые и медленные движения гироскопических систем// Периодика политехника. Электротехника.-Будапешт.-1985.- Т. 29, I I.- С. 57-66.

2. Соболев В.А. Сингулярно возмущенные стохастические уравнения// 1У Меяздунар. конф. по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, июнь 1985 г.Вильнюс, 1985.- Т. III.- С. 146-148. .

3. Соболев В.А. Интегральные многообразия, сингулярные возмущения и оптимальное управление// Укр. мат. журн.-1987.- Т. 39, & I.- С. III-II6.

4. Соболев В.А. Асимптотические разложения интегральных многообразий и функции Ляпунова сингулярно возмущенных систем// Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем.- Новосибирск: Наука, 1987.- С. II8-I24.

5. Соболев Е.А. Глобальные интегральные многообразия и расщепление нелинейных параболических систем// Глобальный анализ и нелинейные уравнения.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1988.- С. 152-158.

6. Соболев В.А. Декомпозиция сингулярно возмущенных систем// Динамика нелинейных процессов управления. Тез. докладов/ Всесоюзн. семинар, Таллинн, сентябрь 1987 г,-№., 1987.- С. 54..

7. Соболев В.А. Декомпозиция задачи о синтезе управления манипулятором// Роботы и гибкие производственные системы. Тез. докладов/ Всесоюзн. семинар, Челябинск, май 1988 г.- М., 1988.- С. 4.

8. Соболев В.А. Понижение порядка уравнений управляемых гироскопических систем// Нелинейные колебания механических систем. Тез. докладов. Ч. 2/ Всесоюзн. конф., Горький, сентябрь 1987 г.- Горький.- 1987.- С. 48-49.

9. Гольдштейн В.М., Соболев В.А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем.- Новосибирск: Ин-т математики, АН СССР. Сиб. отд.-ние, 1988.- 154 с.

10. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий.- М.: Наука, 1988.- 256 с.

11. Соболев В.А. Интегральные многообразия в сингулярно возмущенных задачах управления// Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. Тез. докладов. Ч. II/ Всесоюзн. конф.,'Тернополь, сентябрь 1989 г.- Тернополь.- 1989.- С. 390-391.

12. Соболев В.А. Методы геометрической теории сингулярно возмущенных систем в задачах управления// Тез. докладов XI Всесоюзн. совещания по проблемам управления, Ташкент, сентябрь 1989 г.- М., 1989.- С. 36-37.

13. Sobolev V.A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems// Syst. and Control Lett.-1984.-5.-P. 169-179.

14. Sobolev V.A. Decomposition of control systems with, singular perturbations// Proc. 10th Congress of IFAC, Munich, July 1987.- Munich: 1987.- Vol. 8,- P. 172-176.

15. Sobolev V.A. Integral manifolds and some optimal control problems// Periodica Polytechnics. Mechanical Engineering.-Budapest1987.- Vol. 29, N 1.- P. 57-66.

16. Sobolev V.A. Decomposition of linear singularly perturbed systems// Acta Math. Hung.- 1987.- 49(3-4).- P. 365-376.

17. Sobolev V.A. Integral manifolds, stability and decomposition of singularly perturbed sya-fcems in Banach • space// Acta sci. math.- 1987.- Vol. 51, U 3-4.-

P. 491-500.

18. Sobolev V.A. Integral manifolds and decomposition of nonlinear differential systems// Stud. soi. math..-1988.- 23.- P. 73-79.

19. Sobolev V.A. Geometrical theory of singularly perturbed control systems// Proc. 11th Congress of IFAC, Tallinn, august 1990.- Tallinn: 1990,- Vol. 6.- P. 1бЗт1б8.