Интегральные многообразия в задачах оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Видплина Ольга Викторовна

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗи(х•—

Воронеж - 2007

003071755

На правах рукописи

Видилина Ольга Викторовна

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИА ТЬНЫХ УРАВНЕНИИ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических на>к

Воронеж — 2007

Работа выполнена в Самарском Iосударственном университете

На\чный руководите7»»

доктор физико-математческнх наук, профессор

Соботсв Владимир Андреевич

Официальные онпоненгы

доктор физико-математических наук, профессор

К\'рина Галина Атсксеевиа доктор физико-матемагических наук, профессор

Семенов Михаи I Евгеньевич

Ведущая ор1анизация Ицститух пробтем у правчеиин РАН

Защита состоится " '' июня 2007 годя в 15 час 40 мин на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете но адресу 394693, г Воронеж Университетская пч , 1, ауд

С диссертацией можно ознакомился в библиотеке Воронежскою государственного vннвepcитeтa

Автореферат разослан " '' " мая 2007 1 Ученый секретарь

314

диссертационного совета

Ю Е Гчиклих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, традиционно связываемая с проблемами аэрогидродинамики и нелинейной механики, интенсивно развивается и ее методы активно применяются для решения широкого круга задач из других областей естествознания и техники Это объясняется тем, что такие системы естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, характерной особенностью которых является способность совершать одновременно быстрые и медленные движения

В теории управления модели, описываемые сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, возникают для задач управления системами, динамика которых объективно складывается из разнотемповых движений гироскопические, электромеханические и другие системы

Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида

еу = д(х,у,Ь,е)

Здесь £ - малый параметр, х £ Ят, у € й", £ € Д Уравнения могут содержать и вектор управляющих параметров и € Лг, т е иметь вид

Основы теории сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений и ее методы заложены в трудах А Н Тихонова, А Б Васильевой, Л С Понтрягина, Н Н Боголюбова, Ю А Митропольского, В Ф Бутузова, Е Ф Мищенко, Н X Розова Развитие методов, основанных на математическом моделировании реальных процессов, повлекло создание теории управления, основоположниками которой молено считать Л С Понтрягина, Н Н Красовского, Р Е Калмана, Э Б Ли, Л Маркуса, В И Зубова Исследованию сингулярно возмущенных управляемых систем посвящены труды А Б Васильевой, М Г Дмитриева, Б В Викторова, А А Воронова, В Г Гайцгори, А Л Дончева, Г А Куриной, А А Псрво-званского, В А Плотникова, Е С Пятницкого, В А Соболева, К И Чер-

нышова, Е Н Abed, М D Ardema, J Н Chow, D Cobb, W. В Collins, A H Haddad, H К Khalil, P V Kokotovic, R E O'Mdlley, J O'Reillyf В Porter, P Sannuti, M Suzuki Поток публикаций, посвященных теории и

х = f{x,y,t,e),

(1)

х = f(x,y,u,t,e), £У = 9(z,y,u,t,s).

(2)

приближениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа

Одной из задач оптимальною управ тения является задача оптимального быстродействия для моделей сингулярно возмущенных систем

я = f(x,y,u,t,£),

£У = У, и, t е) (3)

М < 1) Т > mm

Такие задачи рассматривались в работах А И Калинина, П В Ко-котовича, А Н Haddad, W D Collins Для решения этой задачи у W D Collins, П В Кокотовича, А Н Haddad использовалась порождающая задача, но нет асимптотических приближении к решению исходной возмущенной задаче В тоже время, оптимальное управление порождающей системы не дает асимптотического приближения поскольку не учитывает изменение быстрой переменной в окрестности начала координат Наиболее распространенный подход к исследованию таких задач состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений

Диссертация посвящена понижению размерности моделей управляемых систем и разработке метода нахождения асимптотики точек переключения оптимального управления для сишулярно возмущенных систем управления Для этого использустся меюд декомпозиции, сочетающий в себе приемы асимптотических и качественных методов анализа Сущность этого метода состоит в выделении класса медленных движений изучаемой системы и последующем разделении быстрых и медленных движений Порядок рассматриваемой системы при этом понижается, получаемая в результате система меньшей размерности наследует основные элементы качественного поведения исходной системы в соответствующей области По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов, но при этом более простые моде та с высокой степенью точности отражаю i поведение исходных моделей Метод основан на идеях теории интегральных многообразии Н Н Боголюбова -10 А Митронопьского

В диссертации декомпозиция системы (1) (или (2)) осуществляется путем трансформирования системы по формулам

x = <p(v,t,£)+$(v,z,t г), у = rL{v,t,e) + 1'0,2,f,e),

где <р, ф, Ф, Ф - непрерывные функции, в некоторой области обладающие тем свойством, что для неременных V и г получается "система уравнений вида

v =

ег = С(г>, г, f, е)

Цель работы. Понижение размерности управляемых сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений так, чтобы система меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы, разработка метода для нахождения точек переключения оптимального управления для сингулярно возмущенных систем

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, оптимального управления сингулярно возмущенными системами, идеи теории интегральных многообразий

Научная новизна В работе предложены метод расщепления сингулярно возмущенных систем с негладким и разрывным управлением (ранее рассматривалась декомпозиция систем с гладким управлением), алгоритм вычисления точек переключения в задаче оптимального быстродействия для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем, в частности, для системы связанных маятников Решена задача оптимального быстродействия для модели магнитоэлектрического силового привода и управления температурным полем

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретическое и практическое значение Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса сингулярно возмущенных систем управления Разработанный в диссертации алгоритм нахождения точек переключения оптимального управления для лииеиных и нелинейных сишулярно возмущенных систем позволяет упростить решение задачи оптимального быстродействия для данного класса систем Доказанные в диссертации теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при решении задач оптимального быстродействия для линейных и нелинейных моделей управления Рассмотрение задач оптимального быстродействия для магнитоэлектрическою силового привода, оптимального управления температурным полем, задачи оптимального быстродействия для системы связанных маятников имеют практическую ценность

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(Москва, Институт проблем управления РАН, 1998, 2000, 2002),

на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управле-ние"(Самара, 2000, 2004), на Всероссийском симпозиуме но прикладной и промышленной математике (Самара, 2001, Сочи, 2005, Йошкар-Ола, 2006), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 7 параграфов и 36 рисунков, списка литературы, включающего 126 наименований Общий объем диссертации 135 страниц

Краткое содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность избранной темы, излагаются цели и задачи исследования, дается общая характеристика работы и краткий обзор литературы, связанной с тематикой диссертации Более детальный обзор результатов по теме работы и смежным с ней вопросам, а также соответствующие библиографические ссылки даются непосредственно в тексте глав Кроме того, во Введении показана новизна полученных в работе результатов

Первая глава диссертации посвящена задаче оптимального быстродействия для линейных управляемых систем с сиш улярными возмущениями В первом параграфе решается задача быстродействия для невозмущенной системы

Теорема 1 Рассмотрим управляемый процесс

хг — —&%х% 4- Ьги,г = 1,. ,п,

где значения аг вещественные различные, положительные, 6г Ф 0, |м| < 1 Пусть система вполне управляема, управление и - оптимальное управление, переводящее систему из начального положения = (а;?, х\, ,х®г) в начало координат за минимальное время £„ Тогда координаты начальной точки Х1,Х*21 1хп и моменты переключений 0 < ¿1 < ¿2 < < £п-1 оптимального управления и связаны следующим образом

•>° 9 1 (—Л"

Ьг агк2 к ' 2 '

Знак ± определяется положением начальной точки х°

Во втором параграфе первой главы рассматривается декомпозиция линейных сингулярно возмущенных систем управления и предлагается метод нахождения асимптотики точек переключения оптимального управления в линейной задаче оптимального быстродействия

В классе скалярных кусочно-непрерывных управляющих воздействий рассмотрим следующую сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений

х = Апх 4- А12у + Biu, х(0) = х°, х(Т) = О,

еу = Ацх + А22у + В2и, у{0) = у0, у{Т) = 0, (4)

М < 1, t€[0,T], Т —> mm,

где е - малый положительный параметр, х - m-вектор, у - n-вектор, а остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры Предполагается, что матрица А22 устойчивая (все ее собственные значения вещественны и отрицательны)

В рамках теории сингулярных возмущении этой задаче оптимального управления уделялось наибольшее внимание Впервые она была рассмотрена в работе W D Collins, где установлено, что момент оптимального быстродействия Т(е) в задаче (4) при е —> 0 стремится к моменту оптимального быстродействия То в вырожденной задаче

х — Aqx + b0u, х(0) = х0,х(Т) = 0,

¡u(f)| < l,t, G [0,7], Г- гпгп, Ao = - Ai2A£A2u b0 = Bj - A12A$B2

Что касается точек переключения ошимального управления в исходной задаче, то они при достаточно малом е делятся на две группы Первая группа состоит из точек, близких к соответствующим точкам переключения вырожденной задачи Ко второй группе принадлежат точки, отстоящие от момента оптимального быстродействия на величины порядка е

ti — tifl + £tlt\ + , i — 1, , m,

tj = tm,0 + 1 + , J = 1. • ) n

Далее производится разделение быстрых и медленных движений при помощи преобразования х = v + £Hz, у = z + Рх, где H(t, е), P(t, е) -ограниченные матричные функции, являющиеся решениями уравнении

£Р + еР{Ап + АпР) = An + А22Р, еН + НА2 = £А\Н + Агг, где Ai = Au + АиР, М = А22 - еРАп

Для переменных V и 2 получаем уравнения

V — А1@,е)и + В\(Ь,е)и,

гг = А2{Ь, е)г + В2{Ь, е)и, (5)

где В1 = (/ + еНР)Вх - НВ2, В2 = В2- еРВг

Доказана теорема о нахождении асимптотического разложения точек переключения в задаче быстродействия для линейных сингулярно возмущенных систем управления

Теорема 2 Рассматривается управляемая система (5), где и - оптимальное управление, переводящее систему из начального положения (г>°, 2°) в начало координат за минимальное время 1т+п Тогда координаты начальной точки и моменты переключений ¿х^г» >£т+п-ъ(0 = £о < < ¿2 < < Ьт+п-1 < ¿т+п) оптимального управления связаны следующей системой уравнении

9 1 (_

¿1,0 аг,0 2 2 '

С—IV1-1

е«,о{. + + . + -= 1) (6)

С_1\т+1

_ е°.о42ог2>1 + + 1—I-еа^тЧт,1 = аг.

а

где & = - «т,1» О, = —+ ^,оеа'0'10 - + • +

о,,о 2£>1

Знак ± определяется положением начальной точки

Рассмотрен частный случай системы (5), когда имеется одна медленная переменная, а остальные - быстрые

V = —а^г' + £>1и, ег, = —схлг + Ьги,

где Ь} ^0, а, > 0,|гг| < 1,

Получаем следующую систему для нахождения точек переключения

= Ы ~ е°111 + • + МГ1^"-1 +

Ьг - £г = е6г, г — 2, ,п, где бг находятся из системы

1 = еаА - еа2<?3 + • + (_1)"-1евА-1 4-

Знак ± положением начальной точки

В третьем параграфе первой главы рассматриваются различные задачи управления

1) Требуется перевести сингулярно возмущенную систему управления в некоторую заданную окрестность начала координат, управляя только медленной подсистемой

Система (5) за время Ьт по медленным переменным придет в начало координат (точки переключения , £т~1 и £т находятся из системы (6)),

£

а по быстрым переменным в некоторую точку = 0, г{Ьт) = (—1)т—.

аз

Теперь выключается управление, т с решается система V = Av, ег — Вг И в момент времени

у(и+1) = О, *(£т+г) =

аз

Так как нужно перевести систему в достаточно малую окрестность начала координат, то разность Ьт+\ — £т нужно взять вида

\хх{{-\)ту^згдп{{-\)тс}))

1 ^т £ ~ ~ 7

О.]

где V > 0 Тогда ;г(£т+1) = изгдп{(—1)тс;) стремится к нулю, при и стремящемся к нулю Таким образом, из последнего равенства видно, что при управлении только медленной подсистемой, можно попасть в достаточно малую (и заданную) окрестность начала координат - ^-окрестность (и = е, е2, )

2) Что произойдет с управляемой системой (5), если точки переключения оставить такими же, как и для задачи быстродействия, а управтсние и заменить на непрерывное

-1, ¿о < £ < ¿1 - (I,

¿(«-«О, tl-^^<t<t1 + ^l,

1, Ч + Ц < t < ¿2 - Ц, ±(£2 - £), + /£, -1, £2 + ц < Ь < - ц,

и =

(-1)т+", + II < Ь < I

■тгс+п

Оказывается, что за время Ьт+п система (5) с помощью непрерывного управления приводится в е окрестность начала координат

- т+п—1

Уг^т+п) = з^аД £ 1

1 2 ш+п—1 к—т

3) Задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений (5) в классе непрерывных управлений В этом случае время, за которое система приводится из начального положения (г>°, в начато координат, увеличивается на порядок малого параметра е Для нахождения точек переключения нелинейного управления и времени перехода модели в начало координат справедливы следующие выражения

е<*.оЬ,о _ еа,^20 + _ уУ^'О + ^

и 2

к=т

т+п—1 т+п—1

у] (-1 = V (-1)^,0^.5

к-т ■" к=т

т+п-1

еа„о(т,о( £ -1т+пх) +

к=т 1

т—1

+ Е {-1)к+1еа^Чкл = <рл, ¿=1

т+п-1 / 1 )го+п-1

еа„ои,о( £ + -1т+п>2) +

к=т

т-1

+ Е (~1)к+1еа^Чк<2 = <ра, к=1

$к, 1 = ¿т+п, 1 ~ ¿АД, ¿>/с,2 = {-т+п.2 ~ ^,2,

^о п _ - агДс4,о

Л,о - - -----2

a«,o(a»,o<¿t,2 — a»,2^,0) - агд(аг,о^,1 - a, id, о) ^ 2 —---

<0

Vil = -r-5-+ -—+

r, m_1 f—Л"1

tí 2

V°2 + 9г,2 Vt°0 + 9t, 0 «a

Рг2 = 7:-----<PA-

2ffhoatta 2gti0at>0 alfi

ç v?fifft,l | Q..2 |

2flf,oai,o 2g1)0aIi0 5г о a«,i 2

Вторая глава диссертации посвящена задаче оптимального быстродействия для нелинейных сингулярно возмущенных управляемых систем

В первом параграфе этой главы предлагается метод декомпозиции движений для нелинейных систем управления

х = Агу 4- /(х) f Biu,

еу = А2у 4- д{х) + В2и (7)

Предположим, что матрица А2 гурвнцева С помощью расщепляющего преобразования х = v + eH(v, 2,г),у — z + h(x,е) система (7) приводится к виду

v = f(v) + Ai{h(v,e),é) + Вщ, ez = (А2 + £A-í(v))z + В2и, где А3 = А21д'г (v), В2 = В2 + еА3Въ

= + е^)(В2 - е^ВО = Bi - [В2 + e^BJx

хИИ,-1 + e{-A2lg'x{v)MA22 + /»А^"2 - А^Л»^-1)]

Во втором параграфе доказана теорема о нахождении асимптотики точек переключения дчя системы п связанных осцилляторов

ехг + Сгхг + D, sin хг ~ Ьги, (8)

где Сг, Д, Ьг — коэффициенты отличные от нуля, хг - угол отклонения маятника от вертикали, и — скалярное управление (|u| < 1) Систему (8)

при помощи преобразования х = у + еН(у, г, е),у = 2 4- Н(х,е) можно привести к виду

V, = —^апи, -£^Бт2уг + г = 1 п, (9)

е£3 = (—С] 4- со8У])г1 + Ь:и, ] = 1. п.

47

Теорема 3. Пусть задан нелинейный управляемый процесс (9) (или (8)), тогда асимптотику точек переключения оптимального управления и, переводящего данную систему из начального положения (и0, 2°) в начало координат можно найти из следующей системы уравнений

= (-1)*[2аг<Аё(К,6л + ts{| + (-1)*^)) -(—1)кКг5и 4- — у^ = 0, (Л = п + 1, ,2п-1),

^ = + + [-^Ло + +

- ^(1 4-4- (-1)*^)) 4- (-1)ь+12К,5и, где = и — €п+] =6п+]-1+8п+1,г = 1, ,2п, ] = 1, ,п,

и 1 4- [Кг5ко + 4- (—

В качестве механической модели системы (8) может служить система маятников, подвешенных к несущему телу, перемещающемуся горизонтально с ускорением и Другая модель системы представляет собой совокупность масс, присоединенных к несущему телу, при помощи упругих соединений Вся система перемещается поступательно и горизонтально, и — ускорение тела

Алгоритм, позволяющий найти асимптотику точек переключения для нелинейной задачи оптимального быстродействия в идейном плане мало

чем отличаехся от алюритма асимшотического решения линейной задачи Оба алгоритма представляют собой реализацию одной и той же схемы Вместе с тем их вычислительные процедуры имеют существенные различия, поскольку алгоритм, предложенный в первой главе диссертации, в полной мере использует линейность системы управления

В третьей главе рассматриваю гея различные модели управляемых систем задача оптимального быстродействия для магнитоэлектрического си-лово1 о привода, оптимальное управление температурным полем

В инженерных применениях, там, где механизмы должны постоянно работать в цикле с большой скоростью, существенным является оптимальное управление 1акже обстоит дело с магнитоэлектрическим силовым приводом с линейной характеристикой В общем, оптимальное по времени управление требует определение тою что заставляет динамическую систему переходить от одного начального состояния в нужное конечное состояние за минимальное время Как обычно входная величина (напряжение, приложенное к приводу) ограничена, и управление является скалярным (|и| = 1) Анализируемая модель состоит из магнитоэлектрическою силового привода с линейной характеристикой, имитируемого груза, прикрепленного к оптически связанному датчику линейного параметра, источника света и объектива Привод, имитируемый груз и линейный тахометр установлены на общем закаленном валу (немапштная нержавеющая сталь), установленном на линейных подшипниках Груз перемещается юризонтально на укрепленных направляющих с помощью трех роликоподшипников, минимизирующих трение Поскольку центр масс узла находится около средней линии вала, то движущая сила действует на центр масс всей системы Это уменьшает наводимый момент который стремится вызвать колебания в системе Пренебрегая, при небольшом перемещении нелинейностью ин-дуктивносш, будем считать систему линейнои Тогда уравнения состояния принимают вид

1\ = Х2

х2 =--Х2 -I--у

т то еу = —а2х2 — /?(/ + 6и,

1де а!,«2 ~ электромеханические константы взаимодеисгвия, И - сопротивление, т - масса нагрузки, включая катушку и вал, ц - коэффициент вязкою трения, роль малого параметра е играет индуктивность, и - управление, \и\ < 1

Отличие данной задачи быстродействия заключается в том, что нмее1ся

нулевое собственное значение, что не мешает воспользоваться рассмотренным выше методом для линейной задачи быстродействия, где все собственные значения матрицы системы отличны от нуля, а напротив, упрощает некоторые уравнения для нахождения точек переключения

Сю 2£20 2<го- 2 2 2сЙ> '

131 — ¿21 —

In 2 R '

Интересной задачей, имеющей большое прикладное значение, является задача об оптимальном управлении нагревом тел С этой задачей имеют дело во всех основных отраслях тяжелой индустрии, поэтому внедрение методов оптимизации тепловых процессов дает большой экономический эффект

Во втором параграфе рассмотрена модель управления температурным полем в бесконечной однородной пластине фиксированной толщины 2s путем изменения температуры окружающей среды

дЪ дх2 ' 11 S ' ±^ = E[u{t)-Q(T,t)], х = ±1, Q{x, 0) = xQ,

где t их- время и координата, отсчитываемая по толщине от среднего сечения пластины, Q - температура пластины е - критерий Био, хо - заданное начальное распределение температуры, и - температура среды, |и| < 1

Отличие данной модели управления от рассмотренных ранее заключается в юм, что данная модель является бесконечномерной Имеется еще одна интересная особенность оптимального управления для этой задачи. Она состоит в том, что число интервалов знакопостоянства функции v бесконечно, хотя общее время оптимального процесса есть определенная конечная величина Т Иными словами, оптимальное управление на конечном отрезке времени [0, Т] имеет бесконечное счетное число точек переключения, причем точки переключения довольно быстро накапливаются лишь к

концу отрезка [0,Т], т о к точке t = Т Основное лее время переходного процесса занимают чишь первые два-три интервала знакопостоянства Они составляют более 99% всего времени переходного процесса Это явление объясняется юраздо более быстрым убыванием функции во времени при п — 4,5,6, по сравнению с первыми двумя-тремя функциями е-'''4, Это явление испочьзуегся для прибчиженною определения оптимального управления v, дающего высокую точность приближения истинного распределения температуры и чече к заданному равномерному распределению в конце переходною процесса Этот переход тем более разумен из-за того что технически реализовать систему управления с бесконечным числом перек печений невозможно нз-за наличия множества неучтенных промежуточных звеньев с малыми параметрами (по отношению к основному обьекху - нагревагечьному тел\')

Исс 1едование всех рассматриваемых в диссертации задач управления проводилось асимптотическим и численным методами Резу чьтаты асимптотического анализа хорошо согласуются с данными численных экспериментов Работа проиллюстрирована [рафиками решений управ чаемых систем

Публикации автора по теме диссертации

1 Забо.гоцкая О В (ВидилиняО В ) Сингулярные возмущения в линейной зад гче оптимального быстродействия / О В Заболоцкая / ' V Международный семинар "Устойчивость и кочебания нелинейны\ систем управления" Тезисы докладов - Москва, Институт проб чем управления РАН, 1998 - С 43

2 Видилнна О В Понижение порядка задачи оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями , О В Видилина/, Известия РАЕН серия МММИУ - 1999 - ТЗ, Ко 2 - С 117-127

3 Видилнна О В Синп'лярные возмущения в задаче оптимальною быстродействия / О В Видилина / VI Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Тезисы докладов -Москва, Институт проблем управления РАН, 2000 - С 67

4 Видилнна О В Декомпозиция задач оптимального быстродействия ' О В Видилина // Материалы Между народною семинара "Нелинейное моделирование и управление" Тезисы докладов - Самара, 2000 - С 22-23

5 Видилнна О В Оиишальное управление в системах с быстрыми и медленными переменными ' О В Видилина / / Обозрение прикладной и

промышленной математики - Москва, 2001 - Т 8, No 1 - С 124

6 Видилина О В Расщепление одной задачи оптимального быстродействия /О В Видилина // VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Тезисы докладов - Москва, Институт проблем управления РАН, 2002 - С 72-73

7 Видилина О В Оптимальное быстродействие в кусочно-линейных системах с сингулярными возмущениями / О В Видилина // Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление" Тезисы докладов - Самара, 2004 - С 13-14

8 Видилина О В Декомпозиция задач оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О В Видилина // Мехатроника, автоматизация, управление - 2004 - No 8 - С 16-23

9 Vidilma О V Smgulai peituibations in time-optimal contiol pioblem / О V Vidilma // Stability and Control Theory and Applications - 2004 -Vol 6, No 1-C 1-9

10 Видилина О В Задача оптимального быстродействия для модели магнитоэлектрического силового привода/ О В Видилина ,'/ Обозрение прикладной и промышленной математики - Москва, 2005 - Т 12, No 4 -С 926-927

11 Видилина О В Декомпозиция задач оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений /

О В Видилина // Материалы Воронежской зимней математической школы Тезисы докладов - Воронеж, 2005 - С 55

12 Видилина О В Оптимальное управление процессами нагрева/

О В Видилина // Обозрение прикладной и промышленной математики -Москва, 2007 - Т 14, № 4 - 268-2G9

Работы [5, 8, 10, 12] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

Отпечатано 10 05 2007, Формат 60x84/16 Б V мага офсетная Печать оперативная Объем 1 0 п л Тираж 100 зкз Заказ 1287 443011 г Самара, ул акад Павлова, 1, УОП СамГУ

Введение

1 Линейные сингулярно возмущенные системы

1.1 Основные понятия теории оптимального управления для линейных систем.

1.1.1 Задача оптимального быстродействия для линейного управляемого процесса.

1.1.2 Регулярно возмущенные дифференциальные уравнения.

1.1.3 Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения.

1.2 Оптимальное быстродействие для линейных сингулярно возмущенных систем.

1.2.1 Точки переключения

1.2.2 Декомпозиция сингулярно возмущенных систем управления.

1.2.3 Асимптотика точек переключения.

1.2.4 Задача быстродействия для системы с одной медленной переменной.

1.3 Модифицированные задачи оптимального управления

1.3.1 Управление медленной подсистемой.

1.3.2 Случай непрерывного управления.

1.3.3 Задача быстродействия с непрерывным управлением

2 Нелинейные сингулярно возмущенные системы

2.1 Расщепление нелинейных управляемых систем.

2.1.1 Декомпозиция нелинейных систем.

2.1.2 Декомпозиция сингулярно возмущенных управляемых систем.

2.2 Задача оптимального быстродействия для системы связанных маятников.

3 Некоторые задачи оптимального быстродействия

3.1 Задача оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода.

3.2 Оптимальное управление температурным полем.

Актуальность работы. Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, традиционно связываемая с проблемами аэрогидродинамики и нелинейной механики, интенсивно развивается и ее методы активно применяются для решения широкого круга задач из других областей естествознания и техники. Это объясняется тем, что такие системы естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, характерной особенностью которых является способность совершать одновременно быстрые и медленные движения.

Сложную композицию из медленных и быстрых движений представляет собой движение систем твердых тел. В задачах динамики спутников это может быть связано с наличием демпфирующих устройств или упругих элементов малой массы. Для гироскопических приборов и систем наличие быстрых - нутационных и медленных -прецессионных колебаний хорошо известно и наблюдается практически всегда.

В теории автоматического управления модели, описываемые сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, возникают по целому ряду причин. Во-первых, такая ситуация естественна для задач управления системами, динамика которых объективно складывается из разнотемповых движений: гироскопические, электромеханические и другие системы. Во-вторых, появление сингулярных возмущений может быть связано со спецификой применяемых методов управления и для однотемповых систем. Примерами могут служить задачи с использованием метода штрафа при малом коэффициенте штрафа за управление ("дешевое" управление) или задачи стохастической фильтрации при вырождении шума в канале наблюдений.

Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида ey = g(x,y,t,e).

Здесь £ - малый параметр, х G Rm, у £ Rn.t € R. Уравнения могут содержать и вектор управляющих параметров и 6 Rr, т. е. иметь вид

Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящено много работ [10], [И], [14], [19], [35], [41], [42], [46], [49], [50], [51], [67], [92],[101]. Задачи управления с сингулярными возмущениями также исследовались многими авторами, отметим [1],

16]-[18], [20], [24], [26], [31], [36]-[40], [43], [44] [51], [53], [56], [57], [58], [59], [72]-[74], [99], [110], [76], [77]-[79], [83]-[88], [103], [104], [106], [107], [112], [ИЗ] и обзоры [13],[29], [44], [95], [96], [100],[105]. Поток публикаций, посвященных теории и приближениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет. Обзором, охватывающим многочисленные направления использования теории сингулярных возмущений в задачах управления, является обзор [13], опубликованный в 1982 г. С х = f(x,у,t,e),

1) х = f(x,y,u,t,s), еу = g(x,y,u,t,e).

2) этого времени появились новые идеи и результаты. Отметим недавно опубликованный обзор Куриной Г. А. и Дмитриева М. Г. [29], в котором описаны основные результаты, полученные при исследовании сингулярно возмущенных задач управления, с использованием публикаций с 1982 года. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы.

Одной из задач оптимального управления является задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений: х = f(x,y,u,t,£), (3) еу = g(x,y,u,t,e). |u| <1, Т —У min

Такие задачи рассматривались в работах [88], [93], [97], [98]. Для решения этой задачи в [88], [93], [97] использовалась порождающая задача, но нет асимптотических приближений к решению исходной возмущенной задаче. В тоже время, оптимальное управление порождающей системы не дает асимптотического приближения, поскольку не учитывает изменение быстрой переменной в окрестности начала координат.

Наиболее распространенный подход к исследованию таких задач состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений.

Диссертация посвящена построению асимптотического разложения точек переключения оптимального управления для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.

В диссертации для решения задачи оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений используется метод декомпозиции, сочетающий в себе приемы асимптотических и качественных методов анализа. Сущность этого метода состоит в выделении класса медленных движений изучаемой системы и последующем разделении быстрых и медленных движений. Порядок рассматриваемой системы при этом понижается, получаемая в результате система меньшей размерности наследует основные элементы качественного поведения исходной системы в соответствующей области. По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов, но при этом более простые модели с высокой степенью точности отражают поведение исходной системы. Метод основан на идеях теории интегральных многообразий Н.Н.Боголюбова -Ю. А. М итропол ьского.

Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах [3], [4], [7], [28], [34], [47], [52], [61], [62], [63], [64], [69], [70], [89], [91], а для анализа задач управления в работах [1], [16], [17], [18], [48], [62], [108], [109], [111].

Различные аспекты декомпозиции сложных систем и задач управления обсуждались в работах [1], [26], [28], [33], [55], [56], [57], [59], [70] - [75], [102], [110].

Чтобы пояснить сущность предлагаемого подхода, рассмотрим сначала порождающую или вырожденную систему, которая получается из (1) при £ = 0:

Уравнение (5) задает поверхность в пространстве переменных x,y,t. Нас интересуют части этой поверхности, которые можно задать уравнением у = ho(x, t), т. е. можно выразить быстрые переменные у через медленные х и время t. Если функция д(х, у, t, 0) не линейна по у, то решить уравнение (5) относительно у можно не всегда. Достаточным является выполнение требований теоремы о неявной функции, центральным из которых является: detgy(x,y,t, 0) ф 0. Поверхность, задаваемая уравнением (5), может распадаться на несколько "листов", каждый из которых задается явным уравнением вида у = ho(x,t). Обычно предполагается, что каждое из решений вида у = ho(x,t) является изолированным, т. е. существует такое положительное число р, что в окрестности \\у — ho(x,t)\\ < р нет других решений уравнения (5). Следуя обычной схеме, мы должны подставить у = ho(x,t) в уравнение (4) и заняться его анализом. Несмотря на то, что траектории системы (1) "протыкают" поверхность g(x,y,t, 0) = 0, переход к вырожденным уравнениям при естественных предположениях вполне допустим, т. к. в ^-окрестности каждого "листа" у = ho(x,t) лежит интегральное многообразие, по которому проходят траектории системы (1). Отметим также, что ответ на вопрос о допустимости использования порождающей системы (4), (5) в качестве "нулевого приближения" дает известная теорема А. Н. Тихонова [65] - [67], основное предположение которой состоит в требовании асимптотической устойчивости х = f(x,y,t, 0), 0 = g(x,y,t,0).

4)

5) у = ho(x,t) как стационарного состояния так называемой присоединенной системы при фиксированных х и t.

Для некоторых прикладных задач использование вырожденных уравнений вместо точных дает вполне приемлемые результаты, но для целого ряда задач приближение (4), (5) является слишком грубым.

В данном случае переход к порождающей системе рассматривается как декомпозиция системы (1) в нулевом приближении, при которой для переменной х строится независимое уравнение а переменная у определяется из алгебраического уравнения у = hQ^Xjt), либо из присоединенного уравнения (6). При такой точке зрения на порождающую задачу ее уточнение нужно искать на пути более точной декомпозиции системы, когда с более высокой степенью точности строится независимое уравнение для медленной переменной, а быстрая переменная определяется из более точного алгебраического соотношения вида у = h(x,t,e), либо из некоторого дифференциального уравнения размерности п, коэффициенты которого могут зависеть от медленной переменной.

В данной диссертации декомпозиция системы (1) (или (2)) осуществляется путем введения новых переменных v и z по формулам где (р,ф, Ф,Ф - непрерывные функции, в некоторой области обладающие тем свойством, что для переменных v и z получается система

6) х = f(x,h0(x,t),t,0),

7) х = (p(v,t,e) + y = il>{v,t,E) + y(v,z, t,s),

8) уравнений вида v = F(v,t,e), ez = G(v,z,t,e).

9) (10)

Если обращаются Ф, Ф, G в нуль при z = 0 и detGz{v,0,t,Q)^0, то естественно называть v медленной переменной, a z- строго быстрой переменной. Уравнения задают в расширенном фазовом пространстве некоторую гладкую поверхность.

Поскольку система уравнений (9), (10) имеет множество решений v = v(t)1 z = 0, то эта поверхность в расширенном фазовом пространстве состоит из интегральных кривых, т. е. является интегральным многообразием, а векторное дифференциальное уравнение (9) описывает поведение решений на этом многообразии. Обычно формула (8) и приведение к виду (9), (10) имеют место в некоторой окрестности поверхности (11).

Первая глава диссертации посвящена задаче оптимального быстродействия для линейных сингулярно возмущенных систем.

В первом параграфе решается задача быстродействия для невозмущенной системы. Доказана теорема о нахождении асимптотического разложения точек переключения оптимального управления для линейной задачи управления.

Во втором параграфе первой главы рассматривается декомпозиция линейных сингулярно возмущенных систем управления в классе кусочно непрерывных управляющих воздействий и предлагается алгоритм x = <p(v,t,e), y = il)(v,t,e)

И) нахождения асимптотического разложения точек переключения оптимального управления в задаче быстродействия для линейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Полученные результаты сформулированы в виде теоремы 2.

В третьем параграфе первой главы рассматриваются различные задачи управления: требуется перевести сингулярно возмущенную систему управления в некоторую заданную окрестность начала координат, управляя только медленной подсистемой; что произойдет с управляемой системой (5), если точки переключения оставить такими же, как и для задачи быстродействия, а управление и заменить на непрерывное

-1, t0<t<ti- ц, ft-h), h-n<t <h + n,

1, ti + < t < t2 - At, fa-t), t2-H<t<t2 + fi, -1, t2 + д < t < ts - n, l)m+n, tm+n-1 + fl < t < tm+n\ X рассмотреть задачу оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной системы уравнения в классе непрерывных управлений.

Вторая глава диссертации посвящена задаче оптимального быстродействия для нелинейных сингулярно возмущенных управляемых систем.

В первом параграфе этой главы производится декомпозиция движений для нелинейных систем управления. Во втором параграфе доказана теорема о нахождении асимптотического разложения точек пеи = 11 реключения для системы п связанных маятников. Алгоритм, позволяющий найти асимптотику точек переключения для нелинейной задачи оптимального быстродействия в идейном плане мало чем отличается от алгоритма асимптотического решения линейной задачи. Оба алгоритма представляют собой реализацию одной и той же схемы. Вместе с тем их вычислительные процедуры имеют существенные различия, поскольку алгоритм, предложенный в первой главе диссертации, в полной мере использует линейность системы управления.

В третьей главе рассматриваются различные управляемые системы: задача оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода, оптимальное управление температурным полем. У каждой из этих задач есть своя особенность, которая, однако, не препятствует применению алгоритма нахождения асимптотики точек переключения, предложенного в главе 1. Так в задаче оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода имеется нулевое собственное значение, а в задаче оптимального управления температурным полем система путем нормировки коэффициентов приводится к счетной системе дифференциальных уравнений.

Исследование всех рассматриваемых в диссертации задач управления проводилось асимптотическим и численным методами. Результаты асимптотического анализа хорошо согласуются с данными численных экспериментов. Работа проиллюстрирована графиками решений управляемых систем.

Цель работы. Понижение размерности управляемых сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений так, чтобы система меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы; разработка алгоритма для нахождения точек переключения оптимального управления для сингулярно возмущенных систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, оптимального управления сингулярно возмущенными системами, идеи теории интегральных многообразий.

Научная новизна. В работе предложены метод расщепления сингулярно возмущенных систем с негладким и разрывным управлением (ранее рассматривалась декомпозиция систем с гладким управлением); алгоритм вычисления точек переключения в задаче оптимального быстродействия для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем, в частности, для системы связанных маятников. Решена задача оптимального быстродействия для модели магнитоэлектрического силового привода и управления температурным полем.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретическое и практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса сингулярно возмущенных систем управления. Разработанный в диссертации алгоритм нахождения асимптотического разложения точек переключения оптимального управления для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем позволяет упростить решение задачи оптимального быстродействия для данного класса систем. Доказанные в диссертации теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при решении задач оптимального быстродействия для линейных и нелинейных систем управления. Рассмотрение задач оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода, оптимального управления температурным полем, задачи оптимального быстродействия для системы связанных маятников имеют практическую ценность.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, Институт проблем управления РАН, 1998, 2000, 2002), на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление"(Самара, 2000, 2004), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001; Сочи, 2005; Йошкар-Ола, 2006), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [115] - [126]. Работы [119, 122, 124, 126] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 7 параграфов и 36 рисунков, списка литературы, включающего 126 наименований. Общий объем диссертации 135 страниц.

1. Акуленко JL Д. Асимптотические методы оптимального управления / J1. Д. Акуленко; М.: Наука, 1987. - 368 с.

2. Барбашин Е. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством / Е. А. Барбашин, В. А. Табуева; М.: Наука.- 1969.

3. Барис Я. С. Об устойчивости решения нерегулярно возмущенной системы / Я. С. Барис // Укр. мат. ж. 1975. - 27, № 6. - С. 723- 728.

4. Барис Я. С. Об интегральном многообразии для линейной нерегулярно возмущенной системы / Я. С. Барис, В. И. Фодчук // Труды семинаров по математической физике; Киев: Наукова думка. 1968. - Вып. 2. - С. 38 - 55.

5. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий/ Я. С. Барис, В. И. Фодчук// Укр. матем. журн. — 1970.- Т. 22, No. 1. С. 3 - 11.

6. Болтянский В. Г. Матеметические методы оптимального управления/ В. Г. Болтянский; М.: Наука.- 1969.

7. Боголюбов Н. Н. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский // Тр. междунар. семинара по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР. - 1963 - т. 1. - С. 93 - 154.

8. Бутковский А. Г. Управление нагревом металла / А. Г. Бутков-ский, С. А. Малый, Ю. Н. Андреев; М.: Металлургия. 1981.

9. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных / А. Б. Васильева // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1963. -Т. 3, № 4. - С. 641 - 642.

10. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Высшая школа. 1990.

11. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ"; М.: ВИНИТИ. 1982 - С. 3 - 78.

12. Васильева А.Б. Сингулярные возмущения в нелинейной задаче оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев //Акт. проблемы мат. физ. и вычисл. мат.; М.: Наука. 1984. - С. 40 - 49.

13. Васильева А. Б. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, близких к разрывным / А. Б. Васильева, В. А. Тупчиев // Докл. АН СССР. 1968. - 178, № 4. - С. 767 - 770.

14. Викторов Б. В. Особенности поведения систем управления с резко отличными темпами составляющих движения / Б. В. Викторов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1967. - № 5. - С. 190-195.

15. Викторов Б. В. О применении метода сингулярных возмущений при исследовании систем автоматического управления / Б. В. Викторов // Докл. АН СССР. 1977. - 236, № 2. - С. 296 - 299.

16. Викторов Б. В. О декомпозиции линейных нестационарных систем автоматического управления / Б. В. Викторов // Докл. АН СССР. 1981. - 256, № 6. - С. 1048 - 1052.

17. Волосов В. М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В. М. Волосов, Б. И. Моргунов; М.: Изд-во МГУ. 1971.

18. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А. А. Воронов; М.: Наука. 1979.

19. Воропаева Н. В. Конструктивный метод расщепления нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, No. 4. С. 569 - 578.

20. Воропаева Н. В. Декомпозиция многотемповых систем / Н. В. Воропаева, В, А. Соболев; Самара: CMC. 2000.

21. Воропаева Н. В. Декомпозиция сингулярно возмущенных дифференциальных систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев // Методы анализа нелинейных систем; М.: Диалог-МГУ. 1997.

22. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями / В.Г. Гайцгори; М.: Наука. 1991.

23. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах / Р. В. Гамкрелидзе; Изв. АН СССР, серия матем. 1958. - т. 22, № 4.

24. Геращенко Е. И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. / Е. И. Геращенко, С. М. Геращенко; М.: Наука. 1975.

25. Гичев Т. Р. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия / Т. Р. Гичев, A. J1. Дончев // Прикл. матем. и мех. 1979. - Т. 43, вып. 3. - С. 466 - 474.

26. Гольдштейн В. М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем / В. М. Гольдштейн, В. А. Соболев; Новосибирск: Ин-т матем. АН СССР, Сиб. отдел. 1988.

27. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. 2006,. - № 1.-С. 3-51.

28. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности/ А. Дончев; М.: Мир. -1987.

29. Егоров А. И. Основы теории управления/ А. И. Егоров; М.: Физматлит. 2004.

30. Емельянов С. В. Метод квазирасщепления и его применение для синтеза систем автоматического управления / С. В. Емельянов, С. К. Коровин, И. Г. Мамедов // Докл. АН СССР. 1986. - 286, № 2. - С. 311 - 315.

31. Задирка К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы / К. В. Задирка // Укр. матем. журнал. 1965. -17, № 1. - С. 47 - 63.

32. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем / В. И. Зубов; JL: Судостроение. 1970.

33. Калинин А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем / А. И. Калинин; Мн.: "Экоперспек-тива". 2000.

34. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия / А. И. Калинин // Прикл. математика и механика. 1989. - Т.53, Вып. 6. - С. 880 - 889.

35. Калинин А.И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления / А. И. Калинин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990. -Т. 30, № 3. - С. 366-378.

36. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной нелинейной задачи оптимального быстродействия / А. И. Калинин // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №4. - С. 585 - 596.

37. Калинин А.И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления / А. И. Калинин // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. - № - С. 104 - 114.

38. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб; М.: Мир. 1971. - 400 с.

39. Красовский Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Кра-совский; М.: Наука. 1968.

40. Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления / Г.А. Курина, Е.Ю. Долгополова // Библиограф, указатель (19822002); Воронеж: ВГЛТА. 2004.

41. Курина Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г.А. Курина // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. -Ш. - С. 20 - 48.

42. Ли Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус; М.: Мир. 1972.

43. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов; М.: Наука. 1981.

44. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова; М.: Наука. -1973.

45. Михеев Ю. В. Асимптотический анализ цифровых систем управления / Ю. В. Михеев, В. А. Соболев, Э. М. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1988. - № 5. - С. 83 - 88.

46. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов; М.: Наука. 1975.

47. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев; М.: Наука. 1969.

48. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев; М.: Наука. 1981.

49. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. Неймарк; М.: Наука. 1972.

50. Новожилов В. И. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при производных для исследования гироскопических систем / В. И. Новожилов // Известия АН СССР. МТТ. 1970. - № 4. - С. 50 -51.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман; М.: Мир. 1970.

52. Парусников Н. А.Задача коррекции в инерциальной навигации / Н. А. Парусников, В. М. Морозов, В. И. Борзов; М.: Изд-во МГУ.- 1982.

53. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления / А. А. Первозванский; М.: Наука. 1986.

54. Первозванский А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация / А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори; М.: Наука. -1981.

55. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального упрвления / В. А. Плотников; Одесса: Одесский ун-т. -1976.

56. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими и электрическими объектами на принципе декомпозиции. I, II / Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. -1989. № 1. - С. 87 - 92. - 1989. - № 2. - С. 57 - 70.

57. Ракитский Ю. В. Численные методы решения жестких систем / Ю. В. Ракитский, С. М. Устинов, М. Г. Черноруцкий; М.: Наука.- 1979.

58. Самойленко А. М. О расщеплении системы дифференциальных уравнений с медленно меняющейся фазой в окрестности асимптотически устойчивого инвариантного тора / А. М. Самойленко, М. Я. Свищук // Укр. матем. журнал. 1985. - 37, № 6. - С. 751- 756.

59. Соболев В.А. Декомпозиция разнотемповых систем с разрывными управлениями / В.А. Соболев, JI. М. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1988. - № 3. - С. 29 - 34.

60. Соболев В. А. Сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение с фредгольмовым оператором при производной / В. А. Соболев, К. И.Чернышов // Дифференциальные уравнения.- 1989. 25, №2. - С. 247 - 258.

61. Стрыгин В. В. Разделений движений методом интегральных многообразий / В. В. Стрыгин, В. А. Соболев; М.: Наука. 1988.

62. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. 1948.- 22, № 2. С. 193 - 204.

63. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Матем. сб. 1950. - 27, № 2. - С. 147 - 156.

64. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Мат. сб. 1952. - 31, № 3. - С. 575 - 586.

65. Фельдбаум А. А. Методы теории автоматического управления / А. А. Фельдбаум, А. Г. Бутковский; М.: Наука. 1974.

66. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл; М.: Мир. 1966.

67. Черноусько Ф. JI. О движении твердого тела с упругими и дис-сипативнами элементами / Ф. J1. Черноусько // ПММ. 1978. -42, № 1. - С. 34 - 42.

68. Черноусько Ф. J1. Управление колебаниями / Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов; М.: Наука. 1980.

69. Черноусько Ф. JL Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. JI. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин; М.: Физматлит. 2006.

70. Черноусько Ф. JI. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф. JI. Черноусько, В. Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ"; М.: ВИНИТИ. 1977. - т. 20. - С. 101 - 166.

71. Черноусько Ф. J1. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф. JI. Черноусько, В. Б. Колмановский; М.: Наука. 1978.

72. Черноусько Ф. Л. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и дисипативными элементами / Ф. Л. Черноусько, А. С. Шамаев // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. - № 3. - С. 33 - 42.

73. Чернышов К. И. Метод стандартного расщепления сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений/ К. И. Чернышов// Доклады АН СССР. 1990. - Т. 311, No. 6. - С. 1311 -1316.

74. Abed Е. Н. Multiparameter singular perturbation problems: Iterative expansions and asymptotic stability / E. H. Abed // System and Control Lett. 1985. - № 5. - P. 279 - 282.

75. Abed E. H. Decomposition and stability of multiparameter singular perturbation problems / E. H. Abed // IEEE Automat. Contr. -1986. 31, № 10. - P. 925 - 933.

76. Ardema M. D. Ed. Singular perturbations in systems and control / M. D. Ardema; New York: Springer. 1983.

77. Brown C. J. Time-optimal Control of a Moving-Coil Linear Actuator / C. J. Brown, J. T. Mo // IBM J. Re S. Develop. 1968. - 372 -379.

78. Chang K. W. On Coddington and Levinson's results for a nonlinear boundary value problem involving a small parameter / K. W. Chang // Rent, nazionale dei Lincei. 1973. No. 54. - P. 356 - 363.

79. Chang K. W. Approximate solutions of nonlinear boundary value problems involving a small parameter / K. W. Chang // SIAM J. Appl. Math. 1976. - No. 30. - P. 42 - 54.

80. Chow J. H. Asymptotic stability of a class of nonlinear singularly perturbed systems/ J. H. Chow //J. Franklin inst. — 1978. — No. 306. P. 275 - 278.

81. Chow J. H. Eigenvalue placement in two-time-scale systems/ J. H. Chow, P. V. Kokotovic // Proc. IFAC Symp. on large scale systems/ Udine, Italy, 1976. P. 321 - 326.

82. Chow J. H. Preservation of controllability in linear time invariant perturbed systems/ J. H. Chow // Int. J. control. — 1977. — No. 25. P. 697 - 704.

83. Chow J. H. Two-time-scale feedback design of a class of nonlinear systems/ J. H. Chow, P. V. Kokotovic // IEEE Trans, autom. control. -1978. No. 23. - P. 438 - 443.

84. Cobb D. Controllability, observability and duality in singular systems/ D. Cobb // IEEE Trans, autom. control. 1984. - No. 2.- P. 1076 1082.

85. Collins W. D. Singular perturbationsof linear time-optimal control problems / W. D. Collins // Recent Methematical Developments in Control; New-York: Academic Press. 1973. - P. 123 - 139.

86. Fenichel N. Geometric singular preturbation theory for ordinary differential equations / N. Fenichel // J. Different. Equat. 1979.- 31. P. 53 - 98.

87. Javid S. M. The time optimal control of a class of nonlenear singularly perturbed systems / S. M. Javid // Int. J. Control. 1978. - V. 28, № 6. - P. 831 - 836.

88. Hale J. Ordinary Differential Equqtions / J. Hale; New-York: Wiley Interscience. 1969.

89. Hoppensteadt F. Asymptotic stability in singular perturbation problems / F. Hoppensteadt // Memoirs Amer. Math. Soc. 1978.- P. 203.

90. Kalinin A. I. Algoritm to obtain an asymptotic solution for time-optimale control of a singulary perturbed nonlinear system/ A. I. Kalinin. P. 497 - 506.

91. Khalil H. K. Controlability and time-optimal control of systems with slow and fast models / A. I. Khalil, A. H. Haddad // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. - № 1. - P. 11 - 113.

92. Kokotovic P. V. Recent trends in feedback design: an overview / P. V. Kokotovic // Automatica. 1985. - 21, № 3. - P. 225 - 236.

93. Kokotovic P. V. Applications of singular perturbation techniques to control problems / P. V. Kokotovic // SIAM Review. 1984. - 26, № 4. - P. 501 - 550.

94. Kokotovic P. V. Controlabiliti and time-optimal control of systems with slow and fast modes / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. - V. 20, № 1. - P. Ill - 113.

95. Kokotovic P. V. Singular perturbations of a class of time-optimal controls / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. -V. 20. - P. 163 - 164.

96. Kokotovic P. V. Singular Perturbations Methods in Control. Analysis and Design / P. V. Kokotovic, H. K. Khalil, J. O'Reily; New York: Academic Press. 1986.

97. Kokotovic P. V. Singular perturbations and order reduction in control theory. An overview / P. V. Kokotovic, R. E. O'Malley // Automatica. -1976. 12, № 2. - P. 123 - 132.

98. O'Malley R. E. Introduction to singular perturbations / R. E. O'Malley; New York: Academic Press. 1974.

99. O'Malley R. E. Singular preturbations and optimal control / R. E. O'Malley // Lect. Notes Math. 1978. - 680. - P. 171 - 218.

100. Porter B. Singular perturbation methods in the design of state feedback controllers for multivariable linear systems/ B. Porter // Int. J. control. 1977. - No. 26. - P. 583 - 587.

101. Porter B. Singular perturbation methods of asymptotic eigenvalue assignment in multivariable linear systems/ B. Porter, A. T. Shenton // Int. J. system science. 1975. - V. 6, No. 1. - P. 33 - 37.

102. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D. S. Naidu // Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. and Algorithm. 2002. -V.9. - P. 233 - 278.

103. Sannuti P. On the controllability of singularly perturbed systems/ P. Sannuti // IEEE Trans, autom. control. 1977. - No. 22. - P. 622 - 624.

104. Sannuti P. On the controllability of some singularly perturbed nonlinear systems/ P. Sannuti // J. math. anal, applic. — 1978. — No. 64. P. 579 - 591.

105. Sobolev V. A. Integral Manifolds and Control of Singularly Perturbed System / V. A. Sobolev // System and Control Lett. 1984. - 5. -P. 169 - 179.

106. Sobolev V. A. Integral manifolds and some optimal control problems /V. A. Sobolev// Periodica Polytechnica. Mechanical Engineering. -1987. 29, № 1. - P. 57 - 66.

107. Sobolev V. A. Decomposition of linear singularly perturbed systems /V. A. Sobolev// Acta. math. Hung. 1987. - 49 (3-4). - P. 365 -376.

108. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of nonlinear differential systems /V. A. Sobolev// Stud. sci. math. 1988. - 23. - P. 73 - 79.

109. Suzuki M. Composite controls for singularly perturbed systems/ M. Suzuki // IEEE Trans, autom. control. 1981. - No. 26. -P. 505 - 507.

110. Suzuki М. Stabilizing feedback controllers for singularly perturbed linear constant systems/ M. Suzuki, M. Miura // IEEE Trans, autom. control. 1976. - No. 21. - P. 123 - 124.

111. Wilde R. R. A dichotomy in linear control thery / R. R. Wilde, P. V. Kokotovic // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. - 17. - P. 382 - 383.

112. Видилина О. В. Понижение порядка задачи оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Известия РАЕН серия МММИУ. 1999. - Т.З, No 2. - С. 117-127.

113. Видилина О. В. Сингулярные возмущения в задаче оптимального быстродействия / О. В. Видилина //VI Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тез. док. Москва, Институт проблем управления РАН, 2000. - С. 67.

114. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия / О. В. Видилина // Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Тез. док. Самара. - 2000. -С. 22-23.

115. Видилина О. В. Оптимальное управление в системах с быстрыми и медленными переменными / О. В. Видилина // Обозрениеприкладной и промышленной математики. Москва, 2001. - Т. 8, No 1. - С. 124.

116. Видилина О. В. Расщепление одной задачи оптимального быстродействия / О. В. Видилина // VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тез. док. Москва, Институт проблем управления РАН, 2002. -С. 72-73.

117. Видилина О. В. Оптимальное быстродействие в кусочно-линейных системах с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Тез. док.- Самара, 2004. С. 13-14.

118. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Ме-хатроника, автоматизация, управление. 2004. - No 8. - С. 16-23.

119. Vidilina О. V. Singular perturbations in time-optimal control problem / О. V. Vidilina // Stability and Control: Theory and Applications. 2004. - Vol. 6, No 1- C. 1-9.

120. Видилина О. В. Задача оптимального быстродействия для модели магнитоэлектрического силового привода/ О. В. Видилина // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, 2005. - Т. 12, No 4. - С. 926-927.

121. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений /О. В. Видилина // Материалы Воронежской зимней математической школы. Тез. док. Воронеж, 2005. - С. 55.

122. Видилина О. В. Оптимальное управление процессами нагрева/ О. В. Видилина // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, 2007. - Т. 14, № 4. - 268-269.