Геометрические методы понижения размерности сингулярно возмущенных дифференциальных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

005531284

На правах рукописи

Тропкина Елена Аіщрєсвна

Геометрические методы понижения

размерности сингулярно возмущенных дифференциальных систем

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г

и

Воронеж - 2013

005531284

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Соболев Владимир Андреевич, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет), профессор кафедры технической кибернетики, Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Курина Галина Алексеевна, Воронежский государственный университет, профессор кафедры математического анализа

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич.

Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, профессор кафедры теоретической гидрометеорологии Ведущая организация: Московский государственный университет им: М.В. Ломоносова

Защита состоится 10 сентября 2013 года в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22

Гликлих Ю. Е.

Актуальность работы.

При построении моделей, описывающих процессы различной природы в химии, биохимии, робототехники, экономики, аэродинамики и других областей, часто используют сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Этот факт объясняется тем, что в таких системах происходят процессы резко отличающиеся по скоростям.

Система дифференциальных уравнений называется сингулярно возмущенной, если в ней при части производных присутствует малый параметр. Такую систему можно записать в виде

где t е R, х € Rm, у € R", £ — малый положительный параметр.

Интенсивное развитие авиации, приборостроения, химической промышленности и других областей науки и техники незамедлительно вызвало большую заинтересованность многих ученых к развитию теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.

Стремление к более точному математическому описанию моделей, описывающих реальные процессы, как правило, приводит к усложнению системы и увеличению количества уравнений, входящих в нее. Данный факт делает актуальной тему поиска эффективных методов понижения размерности систем дифференциальных уравнений. Решение подобных проблем требует применения не только асимптотических методов. Хороших результатов помогает добиться использование геометрических методов анализа.

Свои истоки геометрическая теория динамических систем находит в работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова. Большое распространение получил метод интегральных многообразий. Этот метод применялся в работах многих ученых для анализа моделей, описанных с помощью сингулярно возмущенных систем.

Диссертация посвящена понижению размерности систем дифференциальных уравнений, основанному на идеях теории интегральных много-

х = f{t,x,y,s),

(1)

єу = д{і,х,у,є),

(2)

З

образий медленных движений, и некоторым методам редукции моделей химической кинетики.

Интегральное многообразие у = h{t, х,е) называется медленным, если выполняется условие lim h(t,x,s) = ho(t,x), где ho(t,x) является изо-

Е->0

лированным решением вырожденного уравнения g(t, х, у, 0) = 0, получаемого из уравнения (2) при е = 0.

Теорема А.Н. Тихонова о предельном переходе позволяет свести анализ исходной модели к исследованию решений вырожденной системы

Для рассмотрения некоторых моделей такой подход вполне приемлем, но для большинства прикладных задач данное приближение является слишком грубым. Кроме того это приближение справедливо только для конечного промежутка времени.

Дальше для исследования сингулярно возмущенных систем может быть выбрано по меньшей мере одно из двух следующих направлений:

1) если решение вырожденной задачи (3), (4) х = хо(£), У — 2/оИ не обладает достаточной точностью для конкретной задачи, то его можно уточнить с помощью асимптотических методов (например, метода пограничных функций Тихонова-Васильевой);

2) второй подход основан на разделении быстрых и медленных движений. С высокой степенью точности строится уравнение для медленной переменной, а быстрая переменная определяется из соотношения вида у = 1,е). Метод интегральных многообразий позволяет производить исследование на бесконечном промежутке времени.

В диссертации используется второй метод для анализа сингулярно возмущенных систем. В результате порядок исходной системы понижается, а полученная новая система дифференциальных уравнений отражает качественное поведение исходной модели с высокой степенью точности. Рассмотренные в диссертации задачи подтверждают эффективность метода интегральных многообразий.

х = f(t,x, у, 0),

(3)

о = g(t, х, у,0).

(4)

Цель работы. Получение упрощенной системы дифференциальных уравнений более низкого порядка, решение которой будет обладать всеми характеристиками качественного поведения решения исходной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений; сравнение некоторых методов редукции моделей химической кинетики с методом интегральных многообразий и доказательство того факта, что в основе этих методов лежит метод интегральных многообразий, который является более простым и эффективным средством исследования сингулярно возмущенных дифференциальных систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории интегральных многообразий.

Научная новизна. В работе доказаны новые теоремы об обосновании асимптотического разложения медленных интегральных многообразий в случаях неявного и параметрического задания многообразия; итерационный метод обобщен на векторный случай и случай нелинейной зависимости от быстрых переменных; доказаны следующие теоремы: теорема о связи итерационного метода с методом интегральных многообразий, теорема о связи СБР-метода с методом интегральных многообразий, теорема о связи ИЛМ-метода с методом интегральных многообразий.

Практическая и теоретическая ценность. Математические результаты, полученные в диссертации, позволяют находить медленные интегральные многообразия в неявном и параметрическом виде. Доказанные теоремы о связи некоторых химических методов редукции с методом интегральных многообразий дает возможность эффективнее производить понижение порядка систем дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на третьей международной конференции "Математическая физика и се приложения"(Самара, 2012), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2013), на четвертой международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" (Москва. 2013),

на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 2013), на Самарском городском семинаре по математическому моделированию (СГАУ, Самара. 2013), на всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения - СамДиф 2013" (Самара, 2013), на межвузовском научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством проф., д.ф.-м.н. И.В. Аста-шовой (МГУ им. М.В. Ломоносова, МЭСИ), доц.,к.ф.-м.н. В.А. Никиш-кина (МЭСИ), проф. д.ф.-м.н. A.B. Филиновского (МГТУ им. Н.Э. Баумана, МГУ им. М.В. Ломоносова) (Москва, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [6j, [7] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 91 наименование. Объем диссертации составляет 122 страницы текста.

Краткое содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика диссертации, обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследования, показана научная новизна и практическая значимость, приведен краткий обзор литературы, связанной с тематикой диссертации.

А также во введении приведены основные факты и теоремы, на которых основана диссертация и которые были необходимы для формирования новых результатов. А именно, теорема существования интегрального многообразия медленных движений, теорема А.Н. Тихонова о предельном переходе, принцип сведения.

Первая глава посвящена изложению сути метода интегральных многообразий. Здесь притягивающие медленные интегральные многообразия используются для понижения размерности сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.

Рассматривается система (1), (2). Система уравнений (1) называется

медленной подсистемой, а система уравнений (2) — быстрой подсистемой.

Пусть при выполнении условий теоремы существования медленного интегрального многообразия эта система имеет интегральное многообразие

у = h(t,x,s), причем имеет место соотношение

lim h(t,x,e) = ho{t,x),

где ho(t,x) — изолированное решение вырожденного уравнения g(t,x,y, 0) = 0. Особый интерес представляют притягивающие интегральные многообразия. Интегральное многообразие является притягивающим, если все собственные значения матрицы

^(t,x,ho(t,x),0)

имеют отрицательные вещественные части. Для таких многообразий справедлив принцип сведения, позволяющий свести исследование исходной системе к системе на многообразии.

Движение на интегральном многообразии описывается уравнением

х = f(t,x,h(t,x,£),e).

В большинстве случаев найти точное выражение для интегрального многообразия не удается и встает вопрос о применении приближенного вычисления.

Приведенная ниже теорема об асимптотическом разложении медленного интегрального многообразия дает возможность построить приближение интегрального многообразия.

Теорема 1.1 Пусть выполнены условия теоремы существования интегрального многообразия медленных движений и функции f, g, ha непрерывно дифференцируемы, тогда функция li представима в виде

h(t, х, е) = ho(t, х) + Ehi{t, х) 4-... + rkhk(t, i) + ek+1hk+l(t, x, e), (5)

где Л)с+1(г, х, е) — непрерывная и ограниченная функция. Коэффициенты 1ц,г — 0,1,..., к этого разложения однозначно определяются из уравнения инвариантности

+ = «,(*,*, ХУЛьО (6)

к> о к>о к>о к>а

в виде

Зі 9а;

р=о

,¿ = 1,2,..., (7)

ко(Ь,х) — решение вырожденного уравнения д(Ь, х, у, 0) = 0.

Выражение (6) получается подстановкой функции х,е), определяющейся из соотношения (5), вместо у в уравнение (2).

Если решение вырожденного уравнения не удается записать в явном виде, но при этом его удается представить в параметрической форме, тогда интегральное многообразие следует также искать в параметрическом виде и справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2 Пусть выполнены условия теоремы существования интегрального многообразия медленных движении, решением вырожденного уравнения д(Ь,х,у, 0) = 0 является параметрически заданная функция

х = Хо(Ь у), у = ¥>„(*, у), V £ ИГ

и система имеет интегральное многообразие, заданное в параметрическом виде

Пусть функции /. д, хо, ¥о непрерывно дифференцируемы, тогда функции >р представимы в виде

х = х(г, г;,г) = хо(*, у) + у) + ... 4- £кх&, v) + £к+1хм{и. у,е),

у = ф, V, е) = V) + Еф¡{Ь, «) + ...+ Екук{г, V) + е*+1р*-ц(*> V, с),

е), — непрерывные и ограниченные функции,

V £ К"1 удовлетворяет дифференциальному уравнению, описывающему

поведение системы па медленном интегральном многообразии v = F(t, v,e) = Fo(t,v)+eF1{t,v)...+ekFk(t,v) + £k+1Fk+1(t,v,£),

где и, е) — непрерывная и ограниченная функция. Функции

V), Fk(t, г/), к > 0 определяются из уравнений инвариантности

Е ^+Е Е«) = Е *>•

к>0 к>0 к>0 к> 9

+ ») = Хо,№0) Е

1>0 к> 0 /;>0

Хо, ¥>о, 0) ^+ ЕХо, Х*-ь -, ^-1),

)с>1 *>1

путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра.

Часто решение вырожденного уравнения невозможно представить ни в явном, ни в параметрическом виде, тогда интегральное многообразие можно задать в неявной форме. Система (3), (4) описывает поведение решений системы (1), (2) в нулевом приближении. Чтобы получить неявное уравнение первого приближения медленного интегрального многообразия, уравнение (2) следует один раз продифференцировать по 4 в силу системы. Тогда поведение решений на медленном интегральном многообразии в первом приближении будет описываться дифференциально-алгебраической системой

х = /(Ь,х, у, г),

3 + £0у191+£9у1дх1 = 0. Аналогично, для построения к-го приближения медленного интегрального многообразия, необходимо уравнение (2) продифференцировать по I к—раз в силу системы.

Теорема-1.3 Пусть выполнены условия Теоремы 1.1, тогда неявное уравнение к-го приближения медленного интегрального многообразия

допускает решение в виде (5). Коэффициенты hj, i = 0,1,..., к одпозначно определяются из уравнения инвариантности (6).

Многие модели химической кинетики могут быть описаны с помощью сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Это привело к развитию методов редукции и увеличению публикаций по данной тематике. Во второй главе диссертации выделены три основных метода редукции моделей химической кинетики. Рассматриваются итерационный метод, разработанный S.J. Fraser и M.R Roussel, CSP-метод, предложенный S.H. Lam и D.M. Goussis, ILDM-метод, предложенный U. Maas и S.B. Pope.

В основе итерационного метода находится идея организовать итерационную процедуру, позволяющую на каждом следующем шаге получать уточненное медленное интегральное многообразие.

Итерационный метод был разработан Fraser и Roussel специально для автономных дифференциальных систем, линейных по быстрым переменным. В диссертации метод распространен и на неавтономные системы с векторными переменными

х = f(t,x,e) + F(t,x, е)у,

sy = g{t-,x,e) + G{t,x,e)y,

где X е Rm, у е К", t € М.

Тогда уравнение инвариантности будет выглядеть следующим образом

+ £^(f{t,x,c) + F(t,x,£)h) = g(t:x,£)+G(t,x,e)h. at ox

Исключив из него функцию h(t, х)

h = (G - chxF)-\-g + eht + eh j),

получим уравнение, которое становится основой для организации итерационной процедуры

■/V = -G-\t,x,0)g(t,x,0), (10)

<pW = (G - *pWF)-\-g + " + = 1,2,... . (11)

Справедлива следующая теорема о связи итерационного метода с методом интегральных многообразий.

Теорема 2.1 Пусть выполняются условия Теоремы 1.1 и заданная с помощью формулы (11) при к = I функция tpW представлена в виде разложения по степеням малого napaAtempa 1

= J2 X) + e!+Vi+i(i, г, е),

¿=о

где <pi+i(t,x,e) — непрерывная и ограниченная функция. Тогда справедливы следующие соотношения между коэффициентами 1-го приближения медленного интегрального многообразия и коэффициентами разложения функции tpW :

Уо =

<Л = К i = 1,2,-1-

Функции hi% i = 0,1,..., I однозначно определяются из уравнения инвариантности (6).

Также в работе итерационный метод обобщен на случай нелинейной зависимости от быстрых переменных. Система дифференциальных уравнений (1), (2) заменой y = z + h0(t, х), где функция h0(t, х) является решением вырожденного уравнения g(t, х, у, 0) = 0, преобразуется к виду

x = X(t,x,z,e), (13)

ez = B[t,x)z + Z(t,x,z,e), (14)

где X(t, X, z, e) = f(t, x, z + h0, e), B(t, x) = |(t, X, h0l 0),

Z(t, x, z, e) — g(t,x,z + h0, s) - |(i, x, h0, sd^X(t, x, z, e).

Пусть система (13), (14) имеет медленное интегральное многообразие г = h{t,x,e), выпишем уравнение инвариантности для этой системы

+ £ТГХ(^ х< h-£) = в(х> № + z(t'х' £)•

Если из этого уравнения выразить функцию х, е)

к = В(х, о-1 (е^ + X, к, е) - X, К е)) ,

то оно становится основой для построения итерационной процедуры

<№ = О,

Идея 1ЬБМ-метода состоит в следующем. Рассматривается автономная сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений

х = /(х,у,е), у = е~1д{ х,у, е).

Матрица Якоби разбивается на быстрые и медленные компоненты, и базис соответствующих подпространств создается путем применения декомпозиции Шура. После вычислений уравнение, описывающее 1ЬБМ-метод, может быть представлено в следующем виде

9у9 + £9x1 - = О,

где

А* = \{С19у + А) - у\(£~19у + /*)2 - е-Ч&Ух - 1удх). Доказана следующая теорема о связи ИЛМ-метода с методом интегральных многообразий.

Теорема 2.2 1ЬОМ-уравнение дает, ту же погрешность, что и неявное уравнение первого приближения медленного интегрального многообразия. При этом уравнение, определяюш,ее 1ЬБМ-метод, содержит слагаемые, не повышающие точность метода.

Погрешность ИБМ-уравнения совпадает с погрешностью неявного уравнения второго приближения медленного интегрального многообразия тогда и только тогда, когда ^¿р = 0, где Л о — решение вырожденного уравнения.

В СБР-методе рассматривается система реакций с N неизвестными §=*ы, (15)

где

II г=1

У = (у1) У2, —, УЫ)Т, Я — число элементарных реакций, включенных в систему, 5Г и Ег(у) - стехиометрический вектор и скорость г-той элементарной реакции соответствешю.

Суть метода численного анализа сингулярно возмущенных систем заключается в следующем: вместо использования физически значимых стехиометрических векторов в качестве исходного базиса используем различные альтернативные базисы.

То есть, если имеется любой набор из N линейно независимых векторов, то всегда можно разложить Я-мерный вектор д на N слагаемых или режимов.

n

Р = 1>Л

! = 1

где /' з Ъ1д, (г = 1,2,..., ТУ), — амплитуда г-го режима. Набор V — это инверсии а

Метод численного анализа возмущенных систем не пытается найти идеальный набор базисных векторов. Вместо этого в нем предполагается, что в любой момент времени есть пробный набор упорядоченных базисных векторов а,-0' и Щ0у г = 1,2,..., ЛГ, а также что первые М самых быстрых режимов истощены. По этом пробному набору с помощью двухступенчатой процедуры уточнения генерируется новый, уточненный набор базисных векторов а-1' и ¿=1,2,.... N. При рекурсивном применении процедура уточнения постепенно ослабляет связь между быстрыми и медленными режимами.

и

(I) _

1) -"5Г + ЬЬ

4' »,7 = 1,2,...,ЛГ,I = 1,2,...

где J — матрица Якоби системы (15), а'0', г = 1,..., — выбранный пробный базис.

Уточнение базиса производится по следующим формулам (1=1,2,...): 1:

N

щ=+ Е р^Ч-и- ^=1,2,..., м,

J=M+1

и

•E^W' ' = + !.....N,

2:

M

n=l

J-U+l

Матрицы р®7 и 9jm> используемые выше, определяются соотношениями:

(г-i) _

M

PrnJ

= >A2j1}' m = 1,2,...m, J = M + 1,...,N,

Я*

(i-D

n= 1 M

sEK". m = 1,2,..., M, J = M + l,...,N,

n=l

и Гп'щ1' — это обратная матрица к Л^й1'.

В тот момент когда M быстрых режимов исчерпываются, мы получаем набор из M приближенных уравнений состояния

6(0 05- 0, т=1,2,...,М.

Это уравнение определяет CSP-метод и дает связь между всеми переменными, входящими в исходную систему.

Теорема 2.3 Уравнение, полученное к-ым приближением CSP-метода, совпадает с уравнением неявного задания к-го приближения медленного интегрального многообразия с точностью до членов порядка 0(ек) при с —» 0.

Заметим, что уравнение, полученное CSP-методом содержит "лишние" слагаемые, не повышающие точность.

Таким образом, во второй главе было показано, что химические методы редукции систем могут быть объяснены с помощью метода интегральных многообразий, который более прост и эффективен в применении и позволяет гораздо быстрее получить результат.

В третье главе представлены сингулярные сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Указаны условия существования интегральных многообразий таких систем, а также методы их построения. На примере модели кинетики металлоорганических соединений продемонстрировано, как работает метод интегральных многообразий и CSP-метод применительно к сингулярным сингулярно возмущенным дифференциальным системам.

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе.

Публикации автора по теме диссертации.

[1| Тропкина Е.А. Асимптотические разложения медленных инвариантных многообразий и редукция моделей химической кинетики / В.А. Соболев, Е.А. Тропкина// Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52. - № 1. - С. 81-96.

[2] Тропкина Е.А. Итерационный метод приближенного построения интегральных многообразий медленных движений/ Е.А. Тропкина// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. - 2010. - № 4(78). - С. 78-88.

[3| Тропкина Е.А. Параметризация медленных инвариантных многообразий в модели распространения малярии/ Е.А. Тропкина/,/ Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. - 2012. - № 6(97). - С. 66-74.

[4] Тропкина Е.А. Редукция моделей химической кинетики / Е.А. Тропкина// Математическая физика и ее приложения: материалы третьей международной конференции/ под ред. чл. корр. РАН И.В. Воловича и д.ф.-м.н., проф. В.П. Радченко. - Самара: СамГТУ. -2012. - С. 293-294.

[5] Тропкина Е.А. Геометрические методы понижения размерности моделей химической кинетики/ Е.А. Тропкина// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2013. - С. 242.

[6] Тропкина Е.А. Методы понижения размерности систем дифференциальных уравнений/ В.А. Соболев, Е.А. Тропкина// Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов четвертой международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. - Москва: РУДН. - 2013. - С. 245-246.

[7] Тропкина Е.А. Интегральные многообразия сингулярных сингулярно возмущенных систем/ В.А. Соболев, Е.А. Тропкина // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XXIV". - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2013. - С. 175.

Работы [11—[31 опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Научное издание

Тропкина Елена Андреевна

Геометрические методы понижения размерности сингулярно возмущенных систем

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 10.06.2013. Формат 60x84/16. Заказ 894. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета. 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34, СГАУ