Сингулярно возмущенные периодические задачи управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РНа правах рукописи

I и V.'

- 9 ОКТ 1995

ЖАРИКОВА Елена Николаевна

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

специальность - 01. 01. 02. -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

дц

о

Самара — 1995

Работа выполнена в Самарском Государственном Университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.А.Соболев

Официальные оппоненты- доктор физико-математических

наук, профессор М.Г.Дмитриев

- кандидат физико-математических наук Г.Н.Горелов

Ведущая организация - Воронежский Ордена Ленина

Государственный Университет имени Ленинского Комсомола

Защита "с/о " /О_1995г в /6 часов_мин. на заседании диссертационного совета по дифференциальным уравнениям (К.113.17.02) при Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443043, Самара, ул. Антонова -Овсеенко, 26, физико - математический факультет, ауд_.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского педагогического университета.

Автореферат разослан 09 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.113.17.02 при СПГУ, к.ф.-м.н., доцент В.А.Носов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория сингулярных возмущений, интенсивное развитие которой началось после опубликования известных работ академика А.Н.Тихонова, привлекает внимание многих математиков, что объясняется ее большой прикладной значимостью. В теории автоматического регулирования сингулярно возмущенные модели естественным образом возникают при анализе систем, динамика которых складывается из разнотемповых движений. Если при этом управляемый процесс должен удовлетворять условиям периодичности под воздействием периодически меняющихся управляющих воздействий, возникают сингулярно возмущенные задачи периодической оптимизации. Оптимальные процессы колебаний механических систем, колебания в оптимальных системах автоматического регулирования, оптимальное управление химико - технологическими процессами - вот далеко не полный перечень тех разделов науки и техники, где возникают такие задачи. Наиболее известными работами по теории сингулярно возмущенных систем являются работы Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, В.Вазова, А.Б.Васильевой, М.Г.Дмитриева, В.Драгана и А.Халаная, П.В.Кокотовича, Р.Е.О'Молли, ФЛ.Черноусько. В работах Е.Г.Гилберта, Г.Гуардабасси, С. Лефшеца, М.Г.Мурадяна, А.И.Перова, Е.Л.Тонкова изучаются вопросы периодической оптимизации или примыкающие к ним (необходимые условия оптимальности, существование и единственность периодических решений, продолжимость решений и др.) Сингулярно возмущенным периодическим задачам посвящены работы В.Вазова, Е.Р.Ранга, Н.Левинсона, И.М.Волка, М.Г.Дмитриева, В.Я.Глизера, НДМурадовой.

Класс сингулярно возмущенных задач управления успешно изучается в литературе • с точки зрения получения эфективных приближенных методов решения, преодолевающих вычислительную жесткость, связанную с большой размерностью этих систем и наличием разномасштабных переменных. Асимптотические методы анализа систем такого типа требуются как для аналитического исследования свойств их решений, так и для последующего их численного интегрирования. В активе теории сингулярных возмущений имеется много различных асимптотических методов, эффективно применяющихся для декомпозиции систем управления, развитых А .Б.Васильевой, М.Г.Дмитриевым, С.А.Ломовым, Крыловым - Боголюбовым - Митропольским, Люстерником - Ви-шиком, В.В.Стрыгиным и В.А.Соболевым.

Системы с разномасштабными переменными неудобны для непосредственного анализа вследствии их высокой размерности и

нарушения свойств регулярности отдельных решений, а также изменения качественной структуры системы и ее порядка при малом изменении параметров. С этой точки зрения наиболее подходящим математическим аппаратом являются методы понижения размерности задач управления, основывающиеся на геометрическом подходе и сочетающие в себе асимптотические и качественные методы анализа. Одним из таких методов является метод интегральных многообразий, основы которого были заложены в работах H.H. Боголюбова, развитый в работах Ю.А.Митропольского и ОБЛыковой и другими авторами. Разработанные для задач методы декомпозиции позволяют свести анализ разнотемповых систем к анализу однотемповых, т.е. построить более простую модель, с высокой степенью точности отражающую поведение исходной модели. Малые возмущения в задачах оптимального управления могут быть введены искусственно, тогда теория сингулярных возмущений выступает как метод исследования исходной, в некотором смысле "плохой" (например, некорректной) задачи. Примерами могут служить задачи управления с большим коэффициентом усиления, с использованием метода штрафа - так называемое "дешевое управление". Различным аспектам, возникающим в задачах особого управления посвящены работы O'Malley, AJameson, М.Г.Дмитриева, В.Я.Глизера, Г.А.Куриной, С.Т.Завалишина,А.Н.Сесекина, В.Драгана, А.Халаная. В данной диссертации на основе метода интегральных многообразий и метода декомпозиции сингулярно возмущенных систем предлагается метод сведения сингулярно возмущенной периодической задачи управления к начальной регулярно возмущенной задаче меньшей размерности.

Цель работы: Разработка метода декомпозиции сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления, основанного на исследовании интегральных многообразий и разработка алгоритма решения как задач автоматического управления с разнотемповыми переменными, так и для задач "дешевого" управления. Реализация алгоритмов в пакетах символьных вычислений: MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD.

Методы исследования. В работе используются методы теории интегральных многообразий и теории сингулярных возмущений, а также сведения из общей теории автоматического управления, функционального анализа и линейной алгебры.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для сингулярно возмущенных матричных уравнений

ч

Риккати разработан метод сведения периодической задачи к начальной задаче меньшей размерности.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при качественном исследовании сингулярно возмущенных систем автоматического управления с периодическими коэффициентами, задач "дешевого" управления, а также для определения периодических решений матричных уравнений Риккати, содержащих параметр при части производных. Разработанные алгоритмы могут быть применены для исследования широкого круга задач.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Ульяновск, сентябрь -1990), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, ВИНИТИ АН СССР, апрель - 1991), Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Самара, май - 1992), на XI Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Сызрань, июнь - 1993), на IV научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, май - 1994), на III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Самара, июль - 1994), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь - 1994), на Международном семинаре "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems" (Переславль - Залесский, июнь - 1995), а также были представлены на международный симпозиум Mathematical Theory of Networks and systems" (Regensburg, Germany, august - 1993), Международный семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь - 1995). "Inaugural Workshop of the International Institute for General Systems Studies" (Slippery Rock University, USA, July -1995).

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы. Ниже приведен список из 10 работ автора по теме диссертации. Из них 1 работа выполнена в соавторстве с В.А.Соболевым.

S

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение. Раскрывается тема диссертации, показывается ее научная новизна и актуальность, характеризуется место диссертационной работы в области исследований сингулярно возмущенных задач периодической оптимизации и дается обзор литературы.

В главе I рассматривается задача синтеза оптимального периодического управления линейной периодически нестационарной системой

X = А(ие)х +В(г,£)и

с интегральным квадратичным показателем качества 2 1

./(¿г) = — б)х + итЯ{г, £)и]Ж

(1)

о

(2)

Здесь х(Ь,е)~ вектор состояния, и(Ь, е) - вектор управляющих параметров, £ - положительный малый параметр, I Е К, (¡)(£)-

симметрическая неотрицательно определенная матрица, а Ще) - симметрическая положительно определенная матрица. Предполагается, что

1.1°.Матричные функции А=А^,е), В=ВЦ,е), Я(1,£)=<2Т (Ь,£) могут быть записаны в блочной форме следующим образом:

А =

Л2 -]

> ( , в =

-1

{£-'3.

£ 'А4/

(.а а) б,)'

и1 . Все матричные функции Д (Ь,£), 1—1,4 , В1 (Ь,£), ¿=1,2, 0,(1,£) и 1 - периодичны по t и достаточное число раз не-

прерывно дифференцируемы по t и £ при ( е В., £ е [0, £0 ]> 0<£0«1.

Хорошо известно, что закон регулирования в задаче (1), (2) имеет вид

lKt,£) = -RrXt,£)BT(t,£)p(t,£)x(t,£),

(3)

где матрица - функция p(i,f)= рТ (t, с) является неотрицательно определенным решением матричного уравнения Риккати

p + pA(t,e) + AT (/, е)р - pS(t, s)p + Q(t, s) = 0, (4)

с условием периодичности по t

р(0,е)=р(1,е) (5)

где S(t,£) = B{t,e)Kx{t,s)BT (t,s). Для матриц p(t,e)=p (t,£) и S(t,£) — ST(t,s) получается следующее разбиение

Р =

р\ ер>и=

Sl £-'S2

\ер2 £рг;

Уравнение (4) для матрицы эквивалентно системе

матричных уравнений

Фг = 1г (*> Pi ' Рг > Рз > е\

Фъ= MtyP^PiiP^8)-

(6)

Для анализа систем типа (6) с известным граничным значением Е(£)=р(1,£) эффективно применение метода интегральных многообразий. Если указать конструктивный способ вычисления матрицы Е(£)=р(0,£)=р( 1,£), то названный метод может быть использован и в данном случае.

В п.4 главы I предлагается следующая процедура получения уравнения для матрицы Г( е).

Рассматриваются четыре вспомогательные матричные начальные задачи для матричных функций K—K(t,£), Р—Р(t,s), X=X(t,£) и У = УМ:

К + КЛ + ATK-KSK+Q = 0, К(1,£) = 0, (7) Р-АР-РАГ - PQP + S = О, Р(0,£) = 0, (8) Л' + Х(А -SK) = 0, е) = /, (9)

¥=Y(AT + QP), 7(0, £•) = /, (Ю)

Матрица K=K(t,£) удовлетворяет уравнению для матрицы p(t,£), с нулевым граничным условием. Уравнение для матрицы K(t,£) переходит в уравнение для матрицы P(t,s) в результате замены

К(t,£)= Р нулевые граничные условия не позволяют

выполнить эту замену.

Вводится в рассмотрение постоянная матрица W(e), удовлетворяющая матричному алгебраическому уравнению второй степени

W(e)=[K(0,e) + Y(1,s)W(£)][X(0,£) + P(l,e)W(s)] (11)

тогда для матрицы F(£) получается следующее выражение

F(£)=K(0,£) + Y(1,£)W (12)

Каждое решение уравнения (И) порождает периодическое решение уравнения Риккати (4). Для несимметрического уравнения Риккати без сингулярных возмущений такой подход использовался М.Г. Мурадяном.

В случае сингулярно возмущенных систем матричные функции K(t,£) и X(t,£) содержат регулярные функции и функции, быстро убывающие влево (типа exp[-(l-t)/£]), а матричные функции P(t,£) и Y(t,£) содержат регулярные функции и функции, быстро убывающие вправо (типа exp(-t/£)). Поэтому формулы (7) - (12) не только применимы для сингулярно возмущенных систем, но и допускают понижение размерности уравнений для K(t,£), P(t,£), X(t,e), Y(t,£), и W( £), так как при асимптотическом анализе элементами типа ехр[-1/е] можно пренебрегать.

S

Чтобы сформировать коэффициенты уравнения (11) для матрицы W(с), необходимо найти решение каждой из задач Ко-ши (7) - (10) и взять его значение на конце промежутка [0,1], противоположном начальной точке.

В п.4.1 приводятся теоремы о существовании асимптотически устойчивых интегральных многообразий задач (7) и (8) для матричных уравнений Риккати и подробный алгоритм построения ИМ.

Пусть

1.3°. Для каждого t € [0,1] пара матричных функций {Дю СО» &20 (0} обладает свойством полной управляемости, а пара |бзо(ОэД4о(0| - полной наблюдаемости, где

Зо( оём(о=бзо(о.

В условиях 1.1 - 1.3 интегральные многообразия задач (7), (8) существуют и обладают свойством 1 - периодичности по t Размерность исходных задач понижается до размерности задачи для блока медленных переменных.

В п.4.2 для линейных задач (9), (10) приведены аналогичные результаты.

П.4.3 посвящен доказательству формул (11) и (12) и обоснованию возможности предельного перехода в задаче (1), (2).

Имеют место следующие результаты.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия 1.1 - 1.3. Тогда при каждом фиксированном значении S е (0,54], где £4 < £3, существует, периодическое решение p(t,e) задачи (4), (5) и его начальное значение F(s)~p(0,£)=p(l,e) определяется формулой (12), где матрица W(e) удовлетворяет матричному уравнению (11).

Пусть при t € [0,1] матрица Д40 невырождена.

При S=0, получается система более низкого порядка

= (^10 ~ Дю -^30)^10 +(^10 ~ "^40"^20)w0> (13)

с условием периодичности по £.' ю (0) = Функционал ка-

чества J(0) принимает вид

j '

Доказана

Теорема 1.6. Пусть выполнены условия 1.1 - 1.3 и матрицы I - М(0Щ1)и I - к_1 (0) р_1 (1) невырожденны.

Тогда существует такое значение £4 > 0, где 0 <£.4 < что при каждом £ € (0, £4], периодическая задача (1), (2) сводится к начальной задаче с условием р(0,£)— ¥( £), где .РУ £) определяется формулой (12), причем уравнение (11)

имеет единственное решение IV = и>(£), аполитичное по £. Справедливо предельное равенство

Ит " ™о\\ = 0,

где wo - решение вырожденной задачи (13), (14) соответствующей (1), (2).

Замечание. При построении асимптотических разложений матричных функций K(t,£), P(t,£), X(t,£), Y(t,£) используется только регулярная составляющая, матрица р{t,£), при этом вычисляется с некоторой погрешностью.

В п.5 главы I рассмотрен пример, иллюстрирующий возможности данного алгоритма. Изучается сингулярно возмущенная система, возникающая в задаче управления крутильными колебаниями. Построены первые члены асимптотики данной задачи, устойчивое интегральное многообразие, проведен сравнительный анализ результатов численного интегрирования полной сингулярно возмущенной системы и решения ее численными методами после понижения размерности.

iO

В главе II рассматриваются задачи "дешевого" управления

X = А(г^)X +В(ь (15)

^ 1

Др) = - ^{хтО.(г,/л)х-¥ 2 о

(16)

с 1 - периодическими матричными коэффициентами. Оптимальное управление в задаче (15), (16) определяется по закону

и=-^~ХВтрс, (17)

где симметрическая матрица р( 1,/л) является неотрицательно определенным решением матричного уравнения Риккати

ц-(р + рА+ А7 р+0)= рВВГ'Вт р, (18)

Асимптотическое разложение решения уравнения (18) ведется по дробным степеням параметра //= £

= + Ои*КПлХ) (19)

/=о

где Ь - порядок сингулярности оптимального особого управления - определяется из условий

В^В] = О,/ = О, Ь - 2, В^ОВ^ > О, (20)

В^В,В} = АВ^-В^ 7 = 1,2,...

Различным аспектам, возникающим в задаче вида (15), (16) посвящены работы М.Г. Дмитриева и В.Я.Глизера, ВДрагана и А.Халаная, С.Т.Завалишина и А.Н.Сесекина, Г.А.Куриной, Л.Е.-О'МаПеу и А.-^атеБоп. В данной диссертации предлагается новый подход к асимптотическому решению этой задачи.

Н

В п.З формируется так называемая "расширенная" система. Уравнения этой системы являются равносильными исходному уравнению и получаются умножением на комбинацию коэффициентов исходной задачи: на В] справа, -на В[ слева и на справа.

Введенные обозначения

Роо = А _

pbl-j = ро/ > j=\l,_

BL-lPBL-j = Pi/llZ' (2D

Pij - PTjiJ - ОД,'= 0, L,

согласуются с условиями ортогональности, отмеченными в работах R.E. O'Malley и A. Jameson. Наряду с задачей для матрицы p(t,e) рассматриваются задачи для матричных функций pv(t,£),i = 0,Lyj = 0,L. Полученную систему матричных уравнений, первое из которых - уравнение для матрицы p(t,£) - является регулярно возмущенным, а остальные - сингулярно возмущенными, назовем расширенной

р+рА + Атp + Q- p0LR~1pQL, Фа +PBi +£drPoi

CPoj + A>;-i TPoj = Pol^Pjl'J = 2 ,L, ■ Фп + wlA + eBTLp0l + Btl,xQBl_x = pXLR'xpTXL, Фм + P\j-\ + ^[Poj = Pm^PJJ = (22)

Фи + Pij-> +PI-\J = P,lr~XP]L,

i = 2, L, j = i, L.

Добавляя условия периодичности для матриц

и

р(0,е)=р(1,£)

(23)

получим систему задач Коши (22), (23), которая эквивалентна задаче для матричного уравнения Риккати

р+рА+А р-рЯр+д = 0,р(0,е) = р(\,£),

матричные компоненты которого можно разбить на блоки следующим образом

(24)

«45-

\ер2 ерг)

\Е в

А =

А}

£ ]А3 £ *Л4]

А.,

-1

Л

, б=

а в,

о1 ^

где матричные блоки - функции имеют размерность Р\- Р . А\ ~ Л - Ql=Q, ^1=0 - (П хп) - матрицы, Рг = {Ро}}, А2 = , <2г = {0В£_РО}, 52 = 0 .(п х гЬ) - матри-

цы, = 0_ X п) - матрица, ру = \р,, ]-' = 1, Ь= 1, ¿. Л4,,5*3 - (гЬ х гЬ) - матрицы.

Предположим, что

2.8. Система матричных алгебраических уравнений, соответствующая вырожденной задаче (18), имеет единственное положила] = ' \Pijo } и собственные

тельно определенное решение

числа

-Ат — Д«1 — М

матрицы -^40 — части при 1 е [0,1].

имеют отрицательные вещественные

В условиях 2.1, 2.8 при достаточно малых значениях £ существует единственное интегральное многообразие расширенной системы (24).

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия "случая Ь" и условия 2А,

2.8. Тогда существует такое значение РI > 0, что при р

£ (0, Рь] существует 1 - периодическое решение уравне ния (18), представимое в виде асимптотического разложе-

ния (18), представимое в виде асимптотического разложе-

,,VL

кия по степеням параметра е= и и его начальное значе ние F(ju) = pf О, д) определяется формулой ( 12), а матрица W(/J) - как решение уравнения (11).

Замечание 2.2. В условиях теоремы 2.3 справедливо предельное равенство

lim ^ 0 IIw (// ) -JT0II = О,

где W0 - решение вырожденной задачи управления, соот ветствующей "расширенной" задаче управления

X = A(t,p)x +B(t, 2 о

где В = {0, Ir} - (L+l) x г-матрица.

Метод сведения периодической задачи к начальной задаче в этом случае приводит к задаче исходной размерности. Описанный алгоритм позволяет найти любое количество членов асимптотики в "случае L".

Преимуществом такого подхода является эффективность метода и относительно простой алгоритм нахождения коэффициентов асимптотики.

Периодическое решение уравнения (18) строится в случаях О, 1, 2 и L.

В п.2 рассматриваются случаи "О" и "1", когда в задаче дешевого" управления асимптотика ведется по целым степеням малого параметра. В случае L=l, когда матрица В является постоянной, реализуется описанный выше метод понижения размерности.

В п.4 приводится подробная схема расщепления задачи управления в "случае 2," когда расширенная система состоит из шести уравнений.

В п.5 рассмотрен пример задачи "дешевого" управления.

Приложения. В приложениях приводятся таблицы численного рассчета двух задач оптимального управления, показана графически зависимость решений задачи управления от величины малого параметра.

На защиту выносятся следующие основные результаты автора:

1. Построено периодическое интегральное многообразие медленных движений, размерность исходной задачи понижена до размерности интегрального многообразия.

2. Для сингулярно возмущенных периодических задач управления разработан метод вычисления начального значение периодического решения матричного сингулярно возмущенного уравнения Рик-кати, к решению которого сводится поставленная задача, на интегральном многообразии медленных движений.

3. Периодическая сингулярно возмущенная система управления сведена к начальной регулярно возмущенной задаче меньшей размерности.

4. Для систем "дешевого" управления предложен и обоснован эффективный метод преобразования задачи, приводящий к задаче, не содержащей особенности при построении порождающей задачи и допускающей применение метода сведения периодической задачи к начальной задаче.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Жарикова Е.Н. Периодические задачи для матричных уравнений Риккати. Москва, ВИНИТИ АН СССР, 1992, N 3438 - В92, 12с, Деп.

2. Жарикова Е.Н. Периодические решения сингулярно возмущенных матричных уравнений Риккати.- В кн. Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции". Самара, 1992. с.94 - 95.

3. Жарикова Е.Н. Упрощенная модель периодического управления." В кн. "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования." XI Российский коллоквиум. Тезисы докладов. Самара, 1993, с. 45.

4. Жарикова ЕЛ. Ветвление решений в задачах автоматического управления.- В сб. "Математическое моделирование и краевые задачи." Межвузовская конференция. Тезисы докладов. Самара, 1994, с. 10.

5. Жарикова Е.Н. Периодическое оптимальное управление и ветвление решений!- В сб. "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" III Международном семинар. Самара, 1994, с.37.

6. Zharikova EJsT. Periodic control with singular perturbations-Mathematical Theory of Networks and systems". Regensburg, Germany, 1993, p. 343.

7. Жарикова E.H. Метод штрафа в задаче периодического управления.- В кн. "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1994, с.140.

8. Жарикова Е.Н. Регуляризация периодических задач управления. Москва, ВИНИТИ РАН, 1995, 48с, N 2606-В95, Деп.

9. Sobolev VA, Zharikova E.N. Optimal Periodic Control systems with Singular Perturbations. Proceedings of International Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control ystems", June 26-30, Pereslavl - Zalessky, 1995, P. 86.

10. Жарикова ПН. Периодические системы управления с сингулярными возмущениями. - В сб. "Дифференциальные уравнения и их приложения" Международный семинар. Самара, 1995, с.20.

Подписано в печать 22.09.95. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая белая. Объем 1.0. Тираж 100 экз. Издательство "Самарский университет"443011, Самара, ул. Акад. Павлова, 1