Адаптивная и стохастическая стабилизация управляемых механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ' ' О О Л На правах рукотаои

ТШЫЧШЙ-Владимир Юрьевич

АДШИВНЙЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ УБРАЯШШХ МШШЧЕСКИХ СИСИМ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРШЗРАТ

диссертация на ооиоканиа ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1994

Работа выполнена в Санкт-Цетербургском институте точной механики и оптики. Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор Новоселов Виктор Сергеевич, доктор технических наук, профессор Майборода Леонид Александрович, доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Формальский Александр Моисеевич.

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, г.Новосибирск.

на заседании специализированного совета Д 063.57,34 по эащите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старнй Петергоф, Библиотечная пл. ,2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского университета .Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан " п 1994 г>

Ученый секретарь

специализированного совета Д 063.57.34 доктор физ.-мат, наук, :

профессор • СД.Эегзда

• Защита состоятся

1994 г.в "

'часов

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки.Диссертация посвящена исследованию Еопросов построения адаптивных и помехоустойчивых систем стабилизации управляемых нелинейных механических систем,описываемых уравнениями Лагрэнка 2-го рода.Разработка адаптивных и стохастических систем управления,вызванная потребностями современного производства,обусловлена прежде всего их способностью за счет обратных связей самонастраиваться на номинальное(программное)движение при наличии разного рода возмущений и неопределенности.Именно поэтому адаптивные и стохастические системы управления нахйдят все более широкое применение в автоматизированных управляемых комплексах,машинах и механизмах,где использование средств вычислительной техники создает большие возможности для работы таких систем.Проектирование эффективно действующих механических систем(МС} .отличающихся высокой точностью стабилизации,быстродействием и гибкостью,сегодня уже невозможно без учета динамических особенностей,механических свойств всей системы,при игнорировании адаптивных или вероятностных моделей функционирования.Именно по этим причинам традиционные методы управления,ориентированные на детерминированную с упрощенной динакикой систему.двигающуюся по жесткой программе, нельзя признать удовлетворительными.

Дель -работы состоит в исследовании и построении обобщенной универсальной механической модели управляемых адаптивных и стохастических систем,разработке методов аналитического конструирования систем управления,обеспечивающих стабилизацию движения системы в двух вариантах задач: в условиях,когда ряд сушественных параметров объекта неизвестен,или система испытывает неизвестный параметрический дрейф,и при наличии действующих случайных бело-шумных возмущений.

Научная новизна и теоретическое значение.В диссертации разработан метод поочередного использования двух типов адаптивных систем управления при ограниченных возмущениях,гарантирующих адаптивную диссипативность "С в пространстве конфигураций вне зависимости от начальных условий,а также исследованы стабилизационные свойства двух новых видов алгоритмов параметрического оценивания.

Предложена принципиально новая схема интегрального оценивания неизвестных дрейфующих параметров УС и неизвестных ограниченных возмущений,действующих на систему.Па базе нового метода решены задачи оптимальной адаптивной стабилизации голономных и неголоно-

- 4 -

мних(линейных и нелинейных)механическЕХ систем.

Разработаны методы формирования стабилизирующих систем управления для стохастических нелинейных МС на фоне действия параметрических и -чисто внешних белошумных гауссовских возмущений.Осуществлен общий анализ стохастического двикения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Предложены новые методы стохастической оптимальной стабилизации МС в рамках задачи динамического программирования для адаптивных механических систем.

Методика исследования.В работе систематически и широко используется метод функций и интегральных функционалов Ляпунова,метод матричного псевдообращения,качественная теория динамических систем и теория стохастических дифференциальных уравнений .аппарат дифференциальных неравенств Чаплыгина-Беллмана.а также метод стохастических функций Ляпунова-Ееллмана,

Практическое значение.Полученные в диссертации алгоритмы расчета адаптивных и стохастических систем управления представлены в детальном и развернутом аналитическом виде.практически полностью готовы к использованию для цифрового моделирования.Этими алгоритмами можно пользоваться как на стадии проектирования,так и в процессе эксплуатации и исследования управляемого движения механических систем.

Разработанные новые методы стабилизации управляемого адаптивного и стохастического движения МС могут Сить эффективно использованы для реализации в конкретных механических устройствах,о чем свидетельствуют примеры,рассмотренные в'диссертации.Некоторые представленные в работе алгоритмы управления получили свое техническое применение при создании отдельных современных приборов и промышленных образцов.

Апробация работа.Результаты диссертации докладывались на следующих школах и научных конференциях: 1)11 Всесоюзн.конф. по робототехнике (Киев, 1980); 2)Всесоюзн.конф. "Адаптивные роботы"(На-льчик,1982>; 3)1У Всесоюзн.конф. по оптимальному управлению в ме-хзнич^ских системах (Москва,1962); 4) Всесоюзн.конф."Теория адаптивных систем и ее применения"(1енингрзд,1983); 5)Всесоюзн,конф. "Робототехника и автоматизация производственных процессов"(Ъзр-наул.1963); 6)Всесоюзн.конф."Применение статистических методов в производстве и управлении"(Пер(,!ь,1984,1990); 7)У1 Всесоюзн,съезде

по теор. и прикл. механике (Ташкент, 1986.); 8^Всесоизн.конф. "Проблемы создания средств адаптации для гибких производственных систем" (Рыбинск,1986); 9)Всесоюзн, школе "Технические средства и методы исследования Мирового океана"(Геленджик,198?); 10)Х1 Кевдунар. конф. по нелинейным колебанида(Еудапешт, 1987.); П)1У Бсесоюзн. конф. по иногосвязным системам управления(Суздаль,1989); 12) У Всесоюзн. совеш. по робототехническим системам (Геленджик, 1990); 13)УН Всесоюзн.конф. "Управление в механических систеках"(Сверд-ло век ,1990,); 14)1 Всесоюзн.конф, "Математическое моделирование в машиностроении"(Куйбншев,1991); 15)У Ленингр.симп. по теории адаптивных систем "Адаптивные и экспертные системы в управлении"(Ленинград,1991); 16)Междунар,конф. "Некорректно поставленные задз-чи"(Москвз,1991); 17)Всесоюзн.конф. "Интеллектуальные системы" (Москва,1991); 18)У1 Четаеззской Конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением"(Казань,1992); 19)Мевдунар. конф. "Ляпуновские чтения"(Харьков,1992); 20)У1П конф. "Качественная теория дифференциальных уравнений"(Самарканд,3992); 21) Крымской матем.школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Ставрополь, 1993),а также на кафедрах теоретической механики и теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета,на научных семинарах в Московском государственном униЕерситете(под рук.акад.РАН Д.Е.Охоотмского),Институте механики МГУ(под рук.акад.РАН А.Ю.Ишлинского),Институте проблем управления РАН(объединенннй семинар по адаптивным системам).

Публикации.По материалам диссертации опубликована 51 научная работа.Основные результаты содержатся в монографии[46] »статьях и аннотациях докладов [1-45, 47-51], '

Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения; звнимает. 295 страниц машинописного текс-та.вклточает 23 рисунка,из них список литературы занимает 22 страшим и содергшт 273 "наименования.

Основные результаты.выкосите на защиту.В диссертации разработана общая теория адаптивной и стохастической стабилизации управляемых нелинейных механических систем.

На защиту выносятся следувдие основные результаты:

1.Для адаптивных управляемых МСпри детерминированных ограниченных возмущениях разработан метод поочередного использования двух типов систем управления,совместнее функционирование которых

обеспечивает диссипэтивность(глобальную стабилизацию)системы в пространстве конфигураций внэ зависимости от начальных условий.

2.Предложены модифицированные алгоритмы адаптации - рекуррентный конечно-сходящийся алгоритм и непрерывный самонастрэиванций-ся алгоритм,гарантирующие диссипативность механических систем управления.

3.Разработан метод интегральных преобразований(интегрального оцениваШ1Я)неЕзвес.тных параметров МС, испытывающих. ограниченный временной гладкий дрейф в задаче программной стабилизации,а также в случае действия на систему неизвестных ограниченных детерминированных возмущений.

4.Метод интегральных преобразований применен для задач оптимальной стабилизации годонемных и неголономных МС с интегральным квадратичным функционалом 'Ляпунова и по критерию обобщенно! работы.Решена задача стабилизации нелинейных неголономных четаевских механических систем. ,

5.Разработаны новые метода формирования стабилизирующих систем управления для стохастических нелинейных МС,находящихся под действием случайных гауссовских возмущений типа белого шума.Проведено исследование асимптотической(по малому параметру)устойчивости стохастических МС на' фоне параметрических и внешних белошумных возмущений.

6.Поставлэна и решена задача о стохастическом движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Эйлера-Пуаксо.Найдено точное аналитическое решение соответствующего уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для стационарной плотности вероятности и определены моментные характеристики свойств движения,границы областей устойчивости по вероятности.моментам и к уровню параметрического резонанса.Для вращательного стохастического движения твердого тела построена система стабилизации по отношении к угловой скорости и к заданной ориентации в пространстве.Впервые осуществлен анализ решений стохастического движения твердого тела.

7.Предложен новый метод оптимальной стохастической стабилизации управляемых МС на основе разработанного в диссертации метода оптимальной параметрической коррекции с помощью задания стохастических функций Дяпудава-Беллмана в виде энергетических квадратичных форм.

- 7 -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность тем диссертации,дается краткий обзор основных примнкагацих к ней работ.излагается цель диссертационной работы,приводится краткое содержание по главам и формулируются основные положения.выносимые на защиту.

Исследовательский материал диссертации делится на две части, посвященные адаптивной и стохастической стабилизации разнообразных нелинейных механических систем,описываемых уравнениями Лэг-ранжа .в обобщенных координатах(2-го рода и в векторно-матшчном виде).Разработка, основ адаптивного управления тесно связана с именами Красовского H.H..Петрова Б.Н..Цыпкина Я. 3..Якубовича В.А. .Фомина В.Н..Красовского A.A..Сраговича В.Г..Куржанского А.Б. .Катковника В.Я..Кунцевича В.М. .Фрадкова А.JI. .Острема К., Льюнга 1..Ландау Дя..Нарендры К. и многих других-современных математиков и механиков.Благодаря их работам получила заметное развитие теория линейных адаптивных динамических систем и решены некоторые задачи адаптивного управления.для нелинейных механических систем.

Теория адаптивных систем является в настоящее время интенсивно развивающимся направлением в математической и технической кибернетике, а также механике управляемого движения.Под адаптивным управлением принято поникать управление,обеспечивающее достижение динамическим объектом целя управлепия(1Шв условиях недостаточной априорной информации о параметрах объекта и окружэгацей среда,включая действующие на систему возмущения.Отметим основные особенности задачи адаптивного управления.Пусть некоторые,например, инерционные характеристики MC,входящие в уравнение движения линейно,неизвестны.Требуется в этом случае так построить управление .чтобы достигалась конечная ЦУ.либо целевые условия в виде определенных требований на выходной процесс.На основе наблвде-нпй за реальным движением системы строится идеальный закон управления,зависящий от неизвестных параметров и обеспечиващий выполнение ЦУ.

Так как идеальным законом управления на практике воспользоваться нельзя,строится "реальный" регулятор(управление,обратная связь),зависящий от текущего состояния системы и оценок неизвестных параметров.Основная идея формирования адаптивной системы управления заключается в следующем: в случае,если оценки с тече-

нием времени сойдутся к истиннш значениям параметров,реальный регулятор также будет близок к идеальному.Для построения оценок неизвестных параметров строятся различные алгоритмы адаптации; большинство из них - до так называемому градиентному принципу, осуществлянцему сходимость процесса оценивания с максимальной скоростью,и по принципу,когда функция Ляпунова управляемой адаптивной МС монотонно убывает с течением времени,Исходя из этой последовательности,различают рекуррентные конечно-сходящиеся алгоритмы адаптации и непрерывные адаптивные алгоритмы самонастройки,

В первой части диссертации автором решаются задачи адаптивной стабилизации МС при постоянных неизвестных параметрах и в случае, когда параметры объекта управления испытывают неизвестный ограниченный достаточно гладкий временной дрейф и.при наличии внешних ограниченных детерминированных возмущений.Построенные системы управления обладают следующим важными особенностями: во-первых, имеют устойчивые диссипативные свойства,гарантирующие решение стабилизационных задач вне зависимости от начальных условий и,во-вторых,не требуют для своего функционирования вычисления высших производных.

В первой главе рассматриваются(§ 1.1)вопросы проектирования адаптивной системы управления на фоне детерминированных аддитивных и ограниченных возмущений с помощь® стандартных алгоритмов адаптации - конечно-сходящегося алгоритма и алгоритма самонастройки.Показано,что адаптивная стабилизация МС без ограничений на сам объект управления и область начальных данных возможна при поочередном использовании этих двух типов адаптивных алгоритмов.Найдены оценки скорости сходимости процедур адаптации в зависимости от уровня возмущений.

Исследование адаптивной системы стабилизации проводится относительно управляемой МС с идеальными голокомными связями с уравнениями Лагранжа 2-го рода в обобщенных координатах Ц.(1=12 .

1-1 -Функция Лаграижа, = -обойденные управляющие силы,

-равномерно ограниченные возмущения.Уравнения(I)могут быть записаны в векторно-матричном виде

</ 21Л*± 4 Г1 У

кая энергия системы, "СЬ К -вектор неизвестных постоянных параметров; зависят линейно от х .

Требуется для системы(1),(2)сформировать закон управления в виде обратной связи в функции измеряемых значений С)Д}>С^С4.) для

обеспечения ЦУ ц- .

«т- <§ (3)

■Ь— оо г

вне зависимости от выбора начальных данных.Здесь -програм-

мное движение системы,заданное на всем интервале времени, $)>о -точность стабилизации.

Поставленная задача решается в несколько этапов.На первом строится регулятор вида

а на втором - рекуррентная процедура получения оценок

^м-А^п,- вь^А&мккйЛФш!* (5>

Йг + 1

где -

"С^Х^, £ [ Ад -минимальное собственное число

(с.ч.) матрицы Д , * обозначает операцию транспонирования,

Показано(теорема 1.1),что при управлении(4)и алгоритме(5)пос-ледовательностъ векторов "С ^ монотонно приближается к векторуп и за конечное число иагов сходится.Установлены при этом оценки чисел числа изменений эг. вектора Т^ в зависимости от

уровня помех.

Поведение во времени системн(2),(4),<5)исследуется с помощью квадратичных форм типа функций Ляпунова

- (х.Кэс) , з. =

где положительно определенная симметрическая матрица

^ 5 ¿£2 является решением уравнения Ляпунова

P*K+hp=-I ( Лт).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Процесс x(t) назовем Сн -стабилизируемым относительно заданного множества начальных условий в момент ,

если -fem. ¡|Х(-1)1Я<С н > Сц> О -заданная постоянная,

TEOPffiA 1.2. Обозначил чедез время окончания работы алгоритма адаптации {5).Если при ■£ > -Ь* будет выполнено неравенство ~V0<~Vä >т0 + будет выполнено неравенство

У(СЙ)<,т,е. процесс(1),(2)являегся Сн -стабилизируемым относительно множества начальных данных: ~V0 в момент времени i .Здесь Сн=

- <r/z ,<Г- i/A, p- C«* (b, t = C^C^ SA , l&ZC| ЛА> sapo II ^kc^^^/Y^l/to,

Время окончания алгоритма адаптации "t* может оказаться таким,что условие теоремы 1.2 : будет не выполнено.Следует построить второй рогулятор.который вне зависимости от выбора начальных данных осуществляет попадание в область£20-[У0<УА}.

ТЕОРЕМА I.S. Пусть для MCil),(2)система управления задается соотношениями

- ks,

-i- п rn • IT=Xit)

xtb)«- (т S ä&WÄ],

+ j 9»1С > О . Тогда эта система управления диссипати-вна и область диссипативности(притяжения)икеег вид

Если в результате процесса адаптации при использовании влго-

ритма(5)значения фазового вектора не выходят из 3.0 ,то работает первый регулятор.Если в результате процедуры оценивания выходной процесс покидает область а» ,то работает второй регулятор, обеспечивающий попадание в область £2$.

В § 1.2 строится модифицированный алгоритм адаптации,не тре-букщий вычисления высших производных,с помощью подключения к системе адаптивной обратной связи устойчивого фильтра 1-го порядка,что значительно упрощает информационное обеспечение в процессе управления МС.

Те 'ограничения в задаче адаптивной стабилизации,которые не позволяют использовать адаптивный алгоритм только одного вида, естественным образом ставят вопрос о снятии этих ограничений.Во второй главе анализируются два способа построения систем управления,обеспечиващих овцу».адаптивную диссипэтивность.Первый связан с Использованием нового вида конечно-сходящегося алгоритма адаптации с переключениями(§ 2.1).второй - с усовершенствованием самого метода самонастройки(§ 2.2 , 2.3).Вменяются особенности условий стабилизации и сходимости адаптивных алгоритмов.Конечно-сходящийся алгоритм адаптации, с переключениями вида ^характеризуется числом

0■ ^ 11< (6)

где Дг), 9* б(О,1),ПокЗзано(георем0 2.1),чго пос-

ледовательность векторов Хц,согласно управлению(4)в алгоритму оценивания(5),(б)конотоню приближается к вектору Т .причем алгоритм сходится за'коночное число шагов.

ТЕОРША 2.2. Пусть задана МС(1)»(2),Тогда система управления (2),(4),{5),(6)дпссиггагивгга и область притяжения ийеет вид

где зА=(С/ р сг)/Л<а,$л= С^/2 > о, ,<г=1/А.

Исследование стабилизационных свойств модифицированного алго-риина самонастройки проводится с лоистдао функции Ляпунова вида

Цт(1)-т 1|А + В* А с^) КС ИХШ--С .

Показано (теорема 2.8),что она монотонно убывает в некоторых областях [^Цф},^^^ с выполнением ЦУ(3)при соответствующем выборе системы управления.Решение задачи адаптивной стабилизации МС с применением только одного типа алгоритма оценивания потребовало существенных модификаций известных схем формирования адаптивных алгоритмов и способов доказательства их сходимости.

Третья глава посвящена исследованию важного,но наименее изученного случая в теории параметрического оценивания управляемых механических систем,когда вектор неизвестных параметров объекта(или вектор неизвестных возмущений .действующих на объект)представдяет собой неизвестную (неконтролируемую,неизмеряемую)вектор-функцию времени.Решения некоторых задач адаптивной стабилизации и оптимизации в условиях параметрического дрейфа.основанные на использовании аппарата функций Ляпунова,были данн в более ранних исследованиях,например,на информацию о модели дрейфа и скорость изменения параметров.Основные сложности,которне возникают в этих задачах при формировании сходящихся алгоритмов оценивания,состоят в доказательстве монотонного убывания функции Ляпунова на траекториях управляемого процесса,

В диссертации.предлагаются методы решения задач оценивания в условиях параметрического дрейфа с помощью интегральных преобразований, позволявдие избежать упомянутых трудностей,В главе нашли отражение вопросы адаптивной последовательной фильтрации высших производных в части,касашдейся асимптотической сходимости,а также некоторые результаты численного моделирования управляемого вращательного движения лентопротяжного механизма(§ 3.1 , 3.2). В рамках общей задачи адаптивной стабилизации МС в условиях неизвестного параметрического дрейфа рассматриваются и задачи формирования сингулярно возмущенных систем управления(§ 3.3),а также адаптивных систем управления объектов при наличии параметрической избыточности(§ 3.4).

Покажем метод решения на примере МС вида(1),(2)с ЦУ(3)при|=о

где~си)3~ССЬ) -неизвестные,ограниченные гладкие вектор-

функции времени.Для решения поставленной задачи уравнение(7)пре-

образуем к виду

В уравнении£8)зададим управление .

^ , б, = [Ас^*+в. » (9)

где подстановки (9) в(8)

получим уравнение = О^^ э которое проинтегрируем на

промежутке дважды с весом ехр 2£(-Ь~ , 92. > О

Г с5 - эе&-ь) Г (^.зьбЬ-а (10)

]] е (з(гп(ъ)&Хс\&= 1]е {^(уъмйиБ .

00 о о

Следугаций шаг: задание алгоритма параметрического оценивания ввда

где -выхода филътрущих.устройств

♦ ___ Г» _до (-¿,-5)

1 о *

з>¥ = V (эИ>ё* + Г е =

•'о

= в силу (10)= УС^-у £ б/эт^ск,

где "Ы(0) ='9)\\[(о) = У -заданные векторы; Э£, О заданные числа.Эти фильтры имеют известные решения

0 0

-г-р г^-зге^и

Ш)— $ +) е -

0 X '

* о О

причем для

можно записать аналогичные соотношения с заменой ^Г на V • Сг на (х^ .После подстановки решений(12)

- in -

в алгоритм(II)получим сходящийся(теорема 3.4)алгоритм оценивания . — л j <I3)

-) |fi Gflywritds 5

Наконец,алгоритм(13)с помощью формулы интегрирования по частям сводится к интегро-дифференциальному уравнению Вольтерра.коэффициенты которого зависят от измеряемых значений С^С£)>ф(-Ь) с последувдим сведением к алгебраической системе рекуррентных уравнений, например,с помощью квадратурных формул.

Аналогичный метод интегральных преобразований может бить применен и к МС с неизвестными ограниченными возмущениями

Aw+BCW-^+U R*

где параметра считаются известными,а относительно помехи предполагается ее равномерная ограниченность SUP Jj < Cb

при этом постоянная такае считается неизвестной.

^етвортЕЯ глава завершает раздел,посвященный адаптивным управляемым механическим системам.Центральной задачей представленного материала является обеспечение оптимальной стабилизации адаптивных голокоmi их и неголоноыют систем.При синтезе оптимального стабилизирующего управления в системах с неизвестными параметрами или переменной структурой в качестве критерия оптимальности обычно используется квадратичный функционал или критерий обобщенной работы.

Ваяшал элементом поведения многих динамических систем является требование оптимальности в любой текущий момент времени; в качестве примера ыохко взять требование обеспечения максю-альной точности стабилизации динамической системы в течение длительного промежутка времени.Очевидно,что в этом случае за критерий следует принять функционал,веданный на текущем состоянии системы и представляющей собой меру возмущенного состояшш. Таким функционалом может быть интегральная квадратичная форма (интегральный функционал Ляпунова},

В главе рассматриваются адаптивные НС с неизвестными параметрами .которые,-мспнтнввют временно? дре^ф.Решение задачи оптикаль-

- - 15 -

ной стабилизации проведено при достаточно общей постановке: модель дрейфа неизвестных параметров считается также неизвестной,а единственным существенным условием выступает предположение об ограниченности дрейфа(§ 4,1 , 4.2),что само по себе может рассматриваться как условие физической реализуемости,Получены алгоритмы оптимального стабилизирующего управления и опенивэния параметров, коэффициенты которых могут быть эффективно вычислена.

Исследуется голономная МС вида(7)с ЦУ(3),где полагается,ради простоты, С^р = О .Поставленная задача программной стаби-

лизации решается с помощью вспомогательной оптимизационной задачи: необходимо осуществить минимизацию в предположении существования минимума в каждый момент времени -^О^'Ь^'Ь.! , функционала I

]о <и(±)7ХМЫ-Ь + а4)

+ ъЧЫАси&а^) — >

-к Л И'Ь. О-

где -13,/V -симметрические положительно определенные матрицы вида ».А* Ф+сЬ "к - некоторый фиксированный,сколь угодно большой момент времени.

Для обеспечения этого целевого.условия применяется метод динамического программирования с системой?)

' "--сЬ=,т) + а (сс,-с) и,

где I \

(?)' Са-с^ГВ«

ТЕОРВ-А 4.1. При Еаборе стационарной.дважды непрерывно дифференцируемой по ос и один раз по % функции Беллмана

(15)

управление,задаваемое формулой

.является

оптимальным-в смысле критерия (14)для любого момента времени ~Ь . Пояснил это утверждение.Имеем ^у/¿X = ) +

4 (^ + ^Ць^^У/^ х). Лдя функционала (14) уравнение Ееллмана

можно записать в стандартной форме ( -производящий дифференциальный оператор процесса ДГ)

(1иУ + и*о Ь£

где .

Уравнение (16)можно переписать А

*Оу

^еИ-

огкудз Л , -V

= (17)

При подстановке ¿17)в уравнение Белдаана (16)получим

ЬиТ= ~2*А(цы* , *«*> . а©

Отсюда имеем

^ = о, = ссж^Ь=г*(о)А(оЖо).

и далее

т

ль

Из соотношения(18)в силу теоремы Ляпунова , об асимптотической устойчивости следует,что »СЧ-З —>-0 оо). Это со-

отношение обеспечивается выбором адаптивного алгоритма для определения оценок 'СсЬ)".

В § 4.3 , 4.4 исследуются задачи стабилизации управляемых ке-голономнюс систем.На базе метода интегральных преобразований задача программной стабилизации решается с помощью сведения к условной задаче адаптивного управления с неизвестными возмещениями, где роль возмущений щрают реакции неголоношшх(не обязательно идеальных)связей.

Рассматривается неголономная система,динамика которой описывается в обойцетшх координатах уравнениями с неопределенными множителями Лагранла ^

ей к«1 .

гу _ к-Щ- С^. ' на С2СТСМУ наложено % линейных

неголотомных стационарных сетзей 1-го порядка вида

( *«-Л),

причем выполняются ограничения

&К-о,

! соотношении(20)первая запись представляет

= (20)

Б соотношении(20)первая запись представляет условие Четаева на возможнне(виртуальные)перем9щения вторая - условие независимости связей,позволяющее выразить Ь некоторых зависимых скоростей через Ь независимых ( И'-Ь-число степеней свобода)

Если воспользоваться обозначениями для независимых скоростей '^(М € ^ и зависимых ^ (1)€ ,где ЦЩ^Щ^))* то тогда(21)можно представить в виде

Подставляя(22)в(21).получим векторно-матричную форму уравнений движения

где К -вектор'неопределенных многителей, ТСС^)-структу-

рная матрица Якоби размерности П'ХЪ с элементами ^ к/^ф • .

Роль неизвестного векторного возмущения изграет Цель управления в системе (19) состоит в обеспечении предельных неравенств

г — <*>о О Г Ь-1-ео Л "*Г

где -заданная точность стабилизагога.Показано.что выбо-

ром соответствующей сходящейся адаптивной системы-управления поставленная задача имеет решение.

Б последнем параграфе главы результаты обобщаются на случай нелинейных неголономных связей.Получен эффективный критерий стабилизации программных траекторий и. отслеживания таких связей для широкого класса четаевских неголономных МС.

Вторая часть диссертации,Еключатая 5,6 и ? главы,отведена

решению различных задач стохастической стабилизации механических систем,Имеется достаточно большое количество эмпирических данных, согласно которым возмущения, действуйте на МС.можно рассматривать в виде белого гауссовского шума,т.е. обойденного независимого г'а-уссовского процесса,а саму систему описывать стохастическими дифференциальными уравнениями.Кратко перечислим основные случаи возникновения белошумнюс возмущений в управляемых МС ¡наличие внешних возмущепий(флуктуапии воздуха,жидкости,виброударнне нагрузки, влектромагнитныэ.гравитационные воздействия и т.д.),параметрических возмущени®(износ деталей,конструктивные несовершенства,изменение динамических характеристик в процессе эксплуатации и т.п.), возмущений параметров сопротивлявдейся среды, неровностей контак-тирущей с МС поверхности,возмущений в цепи обратной связи(элект-ромагнитные,гидравлические помехи в исполнительных цриводах).Из этого,хотя и неполного, перечисления видно,что стохастические МС представляют собой модель реально фушшионирувдих систем.

В работах Гихмана И.И.,Скорохода А,В..Пугачева B.C..Красовско-го А,А..Черноусько Ф.Л..Крылова Н.Б..Хасьминского Р.З..Вентцеля

A.Д.,4рейдлина М,И.,Болотина Б.В..Димвнтбэрга м,Ф..Кслмановского

B.Б. ,Йто К.,0стрема К, .Кукнара Г, Дк. .Фридмана А. к многих других разработан аппарат стохастических дифференциальных уравнений и даны многочисленные примеры его применения к динамическим системам .Фундаментальное значение втих работ состоит в том,что в. них выясняются свойства движения стохастически: систем и проводится широкий анализ устойчивости решений втих систем.Однако при всем многообразии решаемых проблем во всех етих исследованиях присутствует общее ограничение - цравая часть в уравнении движения системы дол&на удовлетворять глобальному условию Липшица.Нелинейные механические системы,например,твердотельные,МС втому свойству, очевидно, на удовлетворяет.В диссертации представлены методы стабилизации нелинэ2шх стохастических систем 2-го порядка.Теоретической основой для анализа выбран аппарат дифференциальных неравенств Чаплнгина-Бзллмана. а в случае оптимальной стохастической стабилизации - метод стохастичеокюс функций Ляпунова-Белл-мана.предстевлешшх в виде ешргетичаских квадратична* форм.

.Все четыре параграфа тато^ главк имеют одинаковую структуру: в каждом из них строится система управления и обосновываются два утверждения; первое устанавливает оценку скорости сходимости решения стохастического(возмущенного)двикения к программному в сре-днеквадрптическом,второе - но вероятности.Такая структура логичэ-

ски вытекает из самой постановки задачи о выборе стабилизирупцей системы управления,т.е. определении условий,при которых данный регулятор обеспечивает выход истинного движения МС на программную траекторию в вероятностном смысле.В § 5.1,5.2 рассматриваются управляемые стохастические МС под действием малых и больших белошу-ыных гауссовских возмущений.В первом случае построена система управления, стабилизирукщая объект относительно программного движения асимптотически по малому параметру и найдены опенки скорости сходимости.Во втором на основе метода усреднения построена система управления с теми же самыми стабилизирущими свойствами.

В § 5.1 рассматривается стохастическая управляемая МС. с малыми белошумными возмущениями

где -непрерывный случайный процесс,представляющий результат малых случайных..возмущений системы -

• « , А** А г) ! . ^ м |

Здесь = А .-непрернвно-ди<Тф еренци-

руемые вектор и матрица-функции своих аргументов,% ■ -вектор управления, £>0-малый числовой параметр, т^-векторный центрированный независимый гауссовский процесо белого шума, -некоторый конечный момент времени,-заданное программное движение МС.

Цель управления для системы(23)формулируется следупцим обрезом.Требуется найти закон управления в функции , ,при котором будет обеспечиваться предельное соотношение

о Шо. Г")

ТЕОРША 5.1. Пусть МС описывается уравнением (23)в предполояе-

нии.что^»-^ цсг®)]^ ТоглапРи

имеет место соотношение. 1 ' '

[ Д ^Ц^}^^ ^(Ьт/^А), (25)

где д^-Л лЬ),

Ср "Ь/^М , токжэ выполняется соотношение (24).

Через .М в(25)обозначено математ.ожидание.В этом же параграфе • подучены асимптотические оценки скорости сходимости Н? к в ереднеквадратическом и по вероятности. ^

В § 5.3 решена задача о стабилизации адаптивных стохастических МС при действии гауссовских белых шумов.Исследуется адаптивная стохастическая система вида

где \ £¿,£¿>0- малые параметры, К^х

-непрерывные функциональные матрицы, "С -вектор неизвестных постоянных параметров, > -независимые гаус-совские процессы белого шума.ЦУ для сисгемы(26),(27):

(28)

•Р¡рг;° ^^>о.

ТЕОРША 5.6. Пусть МС описывается системой уравнений(26) ,(27)

х® - ^ (Ц) +£1(^)4-ж ° = ос<"

где <х£= ,х| )*,

■гЛь.= (ъг/М+У е-сИадСе^^11Р1Гчем выполняются ограничения г "с »

4 "чЗ

где * £ [ тгг-^/^Д/^К)); К(ЫК,

еУ г* ъЩа . „ .

В неравенстве(29)при Х0= О , И^} О и выпол-

няются предельные соотношения(28) [оД*).

В § 5.4 с помощью дифференциальных неравенств решена задача о стохастической стабилизации при наличии белошумннх параметрических возмущений.Рассмотрена модельная задача о построении стабилизирующей системы управления для стохастического гироскопа в составе двухосного гиростабилизатора.

Шестая глава посвящена выяснении особенностей стохастического движения твердого тела,как важного частного случая МС,вокруг неподвижной точки.Исследования по стохастическому,или хаотическому, движению колебательных,а также молекулярных физических систем в последнее время получили заметное развитие.Важное значение этих работ состоит в том,что они вскрывают динамическую природу случайности и статистических законов,преобразуя частную гипотезу молекулярного хаоса,выдвинутую Болыаданом более ста лет тому назад,в общую теорию динамического хаоса.Основное внимание в этих работах уделяется определению свойств стохастичности системы,когда хаотическое движение обусловлено параметрическими возмущениями,в также внешним шумом.В диссертации,напротив,выяснение физической природы возникновения случайных возмущений остается за рамками рассмотрениям то время как вопросы статистического описания движения твердого тела под действие« белых шумов и связанные с эти:, задачи устойчивости являются основными.

Одним из важных вопросов стохастической механики является вопрос о правильном адекватном выводе уравнений движения МС при действии на систему случайных возмущений.В реальной действительности случайные помехи,как известно,не обладает белошукнжи карковскили свойствами,т.е. не являются некоррелированными и проводить теоретический анализ статистических свойств подобного рода уравнений довольно затруднительно 5 как правило,возмущающий фон ."юделируют гауссовскш,ж(винеровсккми)процессами,добиваясь приемлемой ашгрок-

сикации в белых шумах.Отметим,что в качестве обоснования Еведешш белоиумных составляющих в уравнение той или иной динамической системы используется,например,наличие малого времени корреляшш у составляющих белошумной помехи по сравнению с темпом переходных процессов,происходящих в данной динамической системе.

Стохастический анализ движения твердого тела осуществлен,по-видимому .впервые.Полученные результаты -имеют не только теоретическое значение,но,как представляется,могут найти практическое применение в тех технических отраслях,объектом проектирования кото-, рых является твердое тело или система твердых тел.К ним относятся авиация,судостроение.космическая техника .робототехника.и т.д.

В § 6.1 и 6.2 определяется точное решение соответствующего уравнения Фоккера-Планка-КолмогороБа(ФПЮи на его основе находятся статистические свойства движения.Задача была решена для твердого тела,на которое действуют малые слугайные внешние и параметрические возмущения типа белого шума.Исходя из найденной плотности вероятности для стационарного стохастического движения определены моментнве характеристики свойств движения, и. грайпш областей устойчивости в пространстве параметров по вероятности,моментам и к уровню параметрического резонанса.

Б § 6.3 метод дифференциальных неравенств применен для проектирования стабилизиругацей стохастической системы управления вращательным движением твердого тела при действии на него внешних и параметрических белошумных помех.Построена система управления, гарантирующая стабилизацию угловой скорости относительно 'программного движения,а также заданную ориентацию тела в цространстве. Хорошо разработанный в теории .возмущений метод малого параметра в своём стохастическом варианте щшменявтся(§ 6.4)к стохастическому движению твердого тела.когда решение ищется в виде степенного ряда по параметру.Найдена система линейных стохастических дифференциальных уравнений,определяющая члены разложения исходного движения.Находится оценка остаточного члена.Показано,что первый член разложения обладает следупцик важным свойством: его ковариа-ция по угловым скоростям конечна,а по углам вращения уходит с течением времени на бесконечность.

Вращательное движение твердого тела вокруг центра инерции 0 в случае Зйлера~Пуансо,когд8 главный момент внешних -сил,действующих на твердое тело,относительно неподвижной точки 0 равен нулю,описывается уравнениями

/р = О, ^-ИГ^рЪ^О, {, + О, (50).

где (С-2>УА= (А-С)/&, ^з = (Ь-А)/С; А,В,с -

главкае рентралыгав моменты инерции, -проекции вектора

угловой скорости со 'твердого тела на главные центральные оси инерции связанной с телом системы координат Оос^2..

В случае,если система(30)помещена в среду с сопротивлением и подвержена действию малых гауссовских белых шумов,ее уравнения движения приобретают вид стохастических дифференциальных уравнений:

гдеСС^ (1=1,2,3)-решение систеш(31),пр9дставлящее,случайный процесс; , \ =Х,2,3,4)-,талне- числовые параметры,

УГ'', Ж'" (I =1,2,3) -независимые центрированные гвуссовские процесса белого шума.

Поясним характер малых флукгуадионных внешних и параметрических случайных воздействий в правой части(31).Эти возмущения могут возникать вследствие турбулентных пульсаций потока жидкости или газа,изменения характеристик сопротивлявшейся среды,виброударного гравитационного,магнитного я т.д. воздействияЛто касается параметрических,или динамических,возмущений твердого тела,то они могут обнаружиться в результате сладущих эффектов: налипания или образования частиц (например .явление оледенения самолета), движения твердого тела с подвивнши внутренними массами или маховиками с переменными моментами инерции и т.д. Отсюда видно,что систеыа{31) описывает довольно широкий класс стохастических моделей движения твердого тела и ее будем рассматривать как результат малых случайных возмущения системы(30).Добавил к этому,что в правой части системы(31)первоа слагаемое представляет сопротивление среды, второе - его возмущение,третье и четвертое обусловлены параметрическими и чисто внешними возмущениями соответственно.

Предполагая,что процесс является

стационарным и представляет собой некоторое установившееся движение системы,в пределе для достаточно больших значений вре^еинЬ-й получим,что плотность вероятности перехода в) не бу-

дет зависеть от начальных условий я от времени. Поэтому эта предельная стационарная плотность отоздестттстся с безусловной плот-

костью вероятности <р(х) =^ (Х^х^Эс^) .которая удовлетворяет стационарному уравнению ФПК

где через йг.» обозначены коэффициенты сноса и диффузии.Ин-

тегралами уравнения(32)являются решения вида

где С ^¿(-Ы Г(Г)

функция, откуда у >3/2 -условие устойчивости системы по вероятности.Из условия нормируемости определяем также,что^=о6г,=о4з^>0> О .Одномернне стационарные плотности и моменты вычисляются по формулам

откуда у>■ IV+3/2/ -условие устойчивости относительно моментов.

Ж^^глЕзЗ- О .т.е. процессы ЗС^^ОС^Ш, не-

коррелиробаны между собой; показано также,что они статистически зависимы.

Представленные результаты по использованию статистических методов применительно к. стохастическому движению твердого тела наглядно демонстрируют широту возможностей для описания и анализа реальных динамических явлений,которые в принципе не могут быть описаны в рамках классической детерминистической теории.Известный первый интеграл энергии для движения твердого тела в случае ?Дле-рэ-Пуансо определяет структуру стационарной плотности вероятности.Проведенный статистический анализ позволяет оценить параметры системы,которые характеризуют степень ее близости к границам областей устойчивости.

Седьмая.заключительная.глава состоит из двух параграфов,в ко-

торых последовательно разрабатывается метод оптимальной адаптивной стабилизации для нелинейных стохастических систем.В первом из них(§ 7.1)выбором стохастической функции Ляпунова-Беллмана в виде квадратичной формы с матрицей кинетической энергии проводится синтез оптимальной с квадратичным интегральным функционалом адаптивной системы стабилизации.Интегро-дифференпиальный алгоритм адаптации выбран так,что,во-первых,уравнение Беллмана имеет место и, во-вторых,обеспечивается его сходимость к истинным значениям параметров. В § 7.2 с помощью того ке метода решается задача о попадании стохастической МС в энергетический эллипсоид начала координат по быстродействию.

В общем случае Зфавнение Беллмана является квазилинейным уравнением параболического типа.В рассматриваемом варианте стохастической оптимальной стабилизации,когда функция Беллмана задается изначально.вопрос о существовании и ее единственности не является актуальным.По существу.уравнение Беллмана служит основой для"выбора сходящегося алгоритма оценивания.Интегральный критерий качества обладает марковскими свойствами,поскольку такие свойства имеет белый шум в системе и,кроме того,коэффициенты системы не зависят явно от времени.Задавая функции Беллмана как функцию состояния системы.можно ставить задачу о нахождении соответствующего оптимального управления.

Механическая нелинейная управляемая стохастическая система общего вида задается векторным уравнением

где ТдГС'Ь)-ректорный гауссовский центрированный белый шум с корреляционной матрицей 18(-Ь-3),1 -единичная матрица, 5 -дельта-функция,либо уравнением в нормальном виде

« $ (х,ъ) + 9(хд.)к,+ £д(ос,х>гЗг.

Требуется обеспечить выбором системы управления в функции СС(Ь), Т(Ь) равномерную сходимость по "Ь к нулевому положению невозмущенной системы с вероятностью'.равной !

||эс(£)Ц<8} = 4 , У£>о.

Поставленная задача решается с помощью минимизации в любой момент времени -£ интегрального квадратичного функционала,О^ЫЬ

о

Функция Ляпунова-Беллмана задается в виде соотношения(15).Тогда уравнение Беллмана можно записать

К'б и/ либо

(57)

с граничным условием

(38)

V

Решая задачу(33) - (38),получаем выражение для оптимального управления^)

Имеем по формуле йто

К- ¿(V

кгаХЧ. ®Ж1

откуда

¿ШЬ = -У- г'АС^г и £2%.

Подставляя .получим .

<ьШ(<№Ю

(39)

> ч- и* А

= ¿>£2*1 ^ЪГ и далее О, $ = Сл&в! ,

так

- 27 -

как математическое ожидание стохастического интеграла в(39)

обращается в нуль,

• Л

'о <*«> лг,

Показано(теорема 7,1),что случайный процесс ¥(2.,"!^) .удовлетворяющий уравнению(39).является неотрицательным супермартингалом процесса 2("Ь) и для любого начального условия £0 выполняется ЦУ (35) .Само уравнение Беллмана служит основой для выбора адаптивного сходящегося алгоритма оценивания.

ТЕОРША 7.2. Пусть задана МС(ЗЗ) .(34) .где %о определяется по закону(17).Тогда уравнение Беллмана имеет место при выборе сходящегося алгоритма

%)+()г1 - - ^сщ

где АКАзЛ). й^АХ ,

о, ф = А± , шие АА=

Ат^

Г

\

, *1 1с=1 • 4 о

-заданное число, Ук

+ ^ -квадратная из К X К ^

невырожденная матрица .являющаяся решением матричного уравнения

- 2ö -

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Тертычный В.Ю.Адаптивное и супервизорное управление локомоци-онным транспортным аппаратом // Деп.в ВИНИТИ 29.11.1978.

# 3632-78.16 с.

2.Тертычный В.Ю.Управление шагающим аппаратом и область ограничений на моменты вращения в сервомеханизмах шагающего устройства // Вычислительные процессы и структуры. Л.:ЛЭТИ.Вып. 128. I978.C.59-64.

3.Тертычный В.Ю. .Фомин Б.Н.Планирование сил и моментов в задаче' управления локомоционным аппаратом // Деп;в ВИНИТИ 26.06.1979 й 2316-79.32 с.

4.Тертычный В.Ю. .Фомин B.H.Od одном алгоритме адаптивного управления,не требующем вычисления высших производных // Деп. в ВИНИТИ 7.08.I980.Ä 3504-80.14 с.

Б.Тертычный В.Ю.Адаптивная Сн- стабилизируемость нелинейной динамической системы управления // Еестн. Ленингр. ун-та.1980. Вып.7.С.44-47.

6.Тертычный В.Ю. .Фомин В.Н.Равновесие локомоционного аппарата в процессе передвижения // Колебания и устойчивость механических систем.Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.1981.Вып.5.С.106-114.

7,Тертычный В.Ю. .Фомин В.Н.Стабилизация свободных движений локо-моционной системы // Аннот.докл.Всесоюзн.конф. "Адаптивные роботы". М.,1982.0.194.

б.Тертычный В.ГО.Оптимальное решение краевой задачи для сГ>эзи переноса локомоционной системы // Аннот.докл. 1У Всесоюзн.конф. по оптимальному управлению в механических системах.М.,1982. С,175-176.

Э.Тертычный В.Ю.Об асимптотической устойчивости адаптивного алгоритма самонастройки // Аннот.докл.Всесоюзн.конф, "Теория адаптивных систем и ее применения". М.-Л.,I983.C.56.

К.Тертнчный В.Ю. .Фомин В.Н.Стабилизация и полная уравновешенность движения локомоционного аппарата // Динамика и устойчивость механических систем.Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.1984. Вып.6. С.43-52.

И.Тертычний В.».Обратный метод динамических возмущений в задаче синтеза локомоций // Вестн. Ленингр.ун-та.1984.Бып.7.С.44-50.

12.Тертычный В.Ю.Стохастический аналог динамических уравнений движения // Аннот.докл.Всесоюзн.конф."Применение статистических методов в производстве и управлении".Пермь.1984.С.Т40-Г4Г

13.Тертычный В.Ю.Конечно-сходящийся алгоритм адаптации,обеспечи-ващий диссипативность системы управления динамическим объектом // Бестн. Ленингр.ун-та.Г984.ВнпЛЗ.С.54-60.

14.Тертычный В.Ю.Некоторые дополнения к синтезу адаптивного регулятора, выбираемого с помощью метода самонастройки // Вестн. Ленингр. ун-та.1985.Вып.8.С.67-72.

15.Тертычный В.Ю.Конечная сходимость самонастраиващегося алгоритма адаптации // Автоматика и телемеханика.1985.й 12.С.156-160

Т6.Тертычный В. Ю.Управление с малым параметром для нелинейного динамического объекта // Проблемы механики управляемого движения.Нелинейные динамические системы.Пермь: Изд-во ПГУ.1985. С.144-148.

17.Тертычный В.©.Стохастическая стабилизируемость управляемых диффузионных процессов // Изв.вузов.Математика.1986.№ 5.С.84-87.

18.Дегтярев В.Г..Тертычный В.Ю,Управление стохастическими диффузионными процессами при больших возмущениях // Управление динамическими процессами.Якутск: Изд-во ЯГУ.1986.СЛ7-26.

Ю.Дегтярев В.Г..Тертычный В.Ю..Шишковский С.Ю.Реиение задачи о стохастическом движении твердого тела // Аннот.докл. У1 Все-союзн. съезда по теор, и прикл.механике,Ташкент.1986.С.241.

20.Тертычный В.Ю,,Экало Ю.В,Адаптивная стохастическая микропроцессорная система управления робототехническим комплексом // Аннот,доге:. Всесоюзн.конф, "Проблемы создания средств адаптации для гибких производственных систем".М.,1986.С.159.

G.^bodofwr li-Yu^Tefcl^cK-ruj Y-Yw SkLstko-vSKL S.Yu. My mitotic ctnaf^sls of siocha-

sUc oscitfa/tttvg motion, of ib, Зо&Л ioty //Ploc.o$ 3d In/-te^rwiUoaa6 cottf.on, n-oiiBi п&хл osculations.

Budapest. Aug. #-23.P. 369-3*2.

22.Тертычный В.Моделирование движения механических систем стохастическими процессами // Динамические процессы и их устойчивость. Якутск: Изд-во ЯГУ.1987.С.140-149.

23.Тертычный В.Ю.,Экало Ю.В.Адаптивное управление манипулятором глубоководного аппарата в нестационарных условиях // Аннот. докл. Всесоюзн.школы "Технические средства и методы исследования Мирового■океана".М.,1987.0.117-118.

24.Тертнчный В.Ю.Принцип Винера-Эйнштейна и стохастическое движение системы твердых тел // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы.Пермь: Изд-во ПГУ.1987. С.162-169.

25.Тертычннй В.Ю.Построение стабилизирующей системы управления с малым параметром // Изв.вузов.Приборостроение.1987.T.XXI.№ 9. С.25-28.

26.Тертычнвй В.Ю.Алгоритм адаптивного управления градиентного типа в задаче синтеза стабилизирующих-регуляторов // Изв.вузов. Приборостроение.I988.T.XXXI.№ 2.С.66-69.

27.Тертычный В.Ю.Оценивание параметров управляемых динамических систем'// Изв.АН СССР.Техническая кибернетика.1988.№ 3.C.I8I-185. —

28.Потапенко Ii.А.,Тертычный В.Ю.Об эффекте Николаи-Магнуса для. стохастического движения гироскопа в кардановом подвесе // Устойчивость и колебания механических систем.Л.: Изд-во Ленину.ун-та. 1988.Вып.7.- С. 223-227.

29. Тертычный В.Ю.Об асимптотических свойствах стохастического алгоритма адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. 1988. й 8.C.I05-II5, .

30.Тертычный В.Ю.Стохастическая стабилизация управляемого вращательного движения твердого тела // Изв.АН СССР.Мехэникэ твердого тела.1989.M 2.C.9-I4.

31.Тертычный В.Ю.Синтез динамических систем адаптивного управления в условиях, дрейфа параметров // Управление многосвязными системами.М.:Ин-т проблем упр8ВЛения.1990.С.150-151.

32.Петров В.П.,Тертычннй В.Ю.Адаптивная стабилизация манилулани-онного робота при неизвестных ограниченных возмущениях // Аннот.докл. У Всесоюзн. совеш. по робототехяическим системам. !Л. ,1990.4.1.C.65. .

33.Тертычный В.П.Алгебраический метод оценивания параметров управляемых динамических систем // Аннот.докл. У1Г Всесоюзн. конф. "Управление в механических системах". Свердловск.1990. С.104.

34.Тертичннй В.Ю.Оценивание параметров управляемых динамических систем в условиях неизвестного параметрического дрейфа // Изв. АН СССР.Техническая кибернетика.1991.№ I.С.93-100.

Зб.Тертычннй В.Ю.Адаптивная модель вращательного движения лентопротяжного механизма // Анног.докл. I Всесоюзн.конф. "Математическое моделирование в машиностроении".Куйбышев.1991.4.4. С.48.

36.Тертычннй В.Ю.Адаптнвная стабилизация динамических систем при неизвестных возмущениях // Анног.докл. У Ленингр. симп. по теории адаптивных систем "Адаптивные и экспертные системы в управлении".Л. ,1991,4.1.С.67-68.

37.Тертычный В.Ю.Об одном методе построения адаптивного управления в условиях сильной неопределенности // Проблемы механики управляемого движения.Нелинейные динамические системы.Пермь: Изд-во ПГУД991.С.127-132.

Зб.Тертычннй В.Ю.Регуляризация интегральных уравнений в задачах адаптивного управления // Аннот.докл.йездун.конф. "Некорректно поставленные задачи".М.,1991.0,255,

ЗЭ.Тертнчный В.Ю.Построение адаптивной системы управления нелинейным динамическим объектом по критерии обобщенной работы // Аннот.докл. Всесоюэн.копф,"Интеллектуальные системы".М.,1991. С.ИЗ.

40.Тертычннй З.Ю.Динамический расчет адаптивной модели управляемого лентопротяжного механизма // Проблемы машиностроения и надежности машин.1992.# I.С.94-98.

41.Тертычннй В.Ю.Сннтез адаптивной системы стабилизации нелинейных динамических объектов о использованием интегральных преобразований // Автоматика и телемеханика.I992.il З.С. 112-123.

42.ТертычныЙ В.Ю.Оптимальные процедуры в схеме параметрического оценивания управляемых динамических систем // Изв.РАН.Техническая кибернетика. 1992.1.й З.С.54-62, II,!? 4.С.71-79.

43.Тертычнвй В.Ю.Стохастические функции Ляпунова-Ееллмана в задаче энергетической устойчивости динамических систем // Аннот. докл., Междун.конф. "Ляпуновские чтения".Харьков,1092.С.158-159. '

44.Тертычный В.Ю.Интегральное оценивание и адаптивная стабилизация управляемых иеголономних систем // Прикладная математика и механика.1992.Т.56.Внп.6.С.976-984.

45.Тертычный В.Ю.Энергетическая устойчивость управляемых динамических систем // Анног.докл. 7III кокф. "Качественная теория дифференциальных уравнений". Самарканд.I992.C.III.

46.Тертычный В.Ю.Синтез управляемых механических систем.СПб.: Политехника.1993.336 с.

47.Тертычный В.Ю.Оптимальная стохастическая стабилизация адаптивных механических систем // Автоматика и телемеханика.1993.№ I. С. ш-пе..

48.Тертычный В.Ю.Адаптивные интегро-дЩ'^врештелыше алгоритмы стохастической оптимизации динамических систем // Дифференциальные уравнения.1993.Т.29.Д 4.C.6I0-6I6.

49.Тертычный В.Ю.Неклассические интегральные функционалы Ляпунова в адаптивной задаче оптимального управления // Аннот.докл. Крымской матем.школы "Метод функций Ляпунова и его приложения" Симферополь.Изд-во СГУ.IS93.С.58-59.

50.T-ei%e>HW{."VCY-M.. Op-tinud cowttcl model -w-iik.

51.Тертычный В.©.Модельная.задача адаптивной стабилизации нелинейного динамического объекта в условиях сильной параметрической неопределенности // Математическое моделирование.1993.

Т.5.*-9.0.98-110.