Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел

Сабирова, Виолетта Ринатовна

Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Сабирова, Виолетта Ринатовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел"

На правах рукописи

САБИРОВА ВИОЛЕТТА РИНАТОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2003

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Российского университета дружбы народов

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Р.Г. Мухарлямов

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук профессор А. П. Иванов

- доктор физико-математических наук профессор A.A. Шестаков

Ведущая организация - Московский авиационный институт

Защита диссертации состоится «_»_2003 г. в «_» час на заседании диссертационного совета К 212.203.01 в Российском университете дружбы народов по адресу:

115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал № 1

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6)

Автореферат разослан «_»_2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.203.01

доктор технических наук доцент ^ ^.К. Никитин

TTosT

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время внимание исследователей все больше привлекают задачи управления движением твердых тел и их систем. Это связано с внедрением робототехники в различные отрасли науки и производства, с развитием космических технологий и их применением в быту (спутниковое телевидение, мобильная связь и т.д.). Системы твердых тел все больше приобретают прикладное значение как модели управляемых механических систем (MC).

Задачей управления является обеспечение движения MC согласно некоторым требованиям, которые составляют ее программу. Программное движение системы может быть осуществлено приложением к системе управляющих сил, изменением параметров системы в процессе движения, построением специальных управляющих устройств (регуляторов) или сочетанием этих возможностей. Исходными задачами теории управления являются обратные задачи классической динамики. Обзор этих задач с указанием методов их решения подробно излагается в монографиях A.C. Галиуллина.

Вопросами управления механической системой занимались В.И. Зубов, Г.В. Коренев, Ю.К. Ландо, JI.K. Лилов, Б.Н. Петров, H.H. Красовский, П.Д. Крутько, Е.П. Попов, В.В. Румянцев, В.Ю. Тертычный и др.

Задача определения управляющего вектора, обеспечивающего программное движение системы, обычно решается с учетом требования устойчивости движения. В связи с этим развитие теории управления способствовало дальнейшему развитию теории устойчивости. А именно, численное исследование устойчивости движения излагается в работе В.Г. Валеева. Методам решения проблемы устойчивости управляемого движения посвящены работы В.И. Зубова. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем и применяются для решения проблемы устойчивости многообразий и проблемы управления вращательным движением. Теория ус-

тойчивости неголономных систем рассматривается в работе Ю.И. Неймарка и H.A. Фуфаева.

Использование второго метода Ляпунова для исследования устойчивости позволило сформулировать достаточные условия устойчивости программных многообразий, условия равномерной устойчивости, условия устойчивости на конечном интервале времени, абсолютной устойчивости, условия устойчивости по части переменных для механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка.

Еще в 70-х годах XX века началось исследование устойчивости численного решения уравнений движения. Истоки работ в этом направлении восходят к Р.Г. Мухарлямову, J. Baumgarte, U.M. Ascher. В частности, был решен вопрос о построении системы дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию, т.е. рассматривались задачи устойчивости численного решения обратных задач динамики. Были определены условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений движения 1-го порядка при решении методами Эйлера и Рунге-Кутга.

Однако на практике достаточно часто встречаются задачи, в которых движение MC описывается уравнениями более высокого порядка. В связи с этим, вопросы устойчивости управляемого движения механических систем являются недостаточно изученными.

Объект исследования. Управляемое движение твердого тела и систем твердых тел.

Предмет исследования. Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел.

Цель диссертации:

1. Определить условие асимптотической устойчивости программного движения механической системы с голономными и неголономными связями.

2. Разработать метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих устойчивость программного движения.

3. Определить условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономны-ми и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера.

4. Построить математическую модель управляемой адаптивной оптической системы, предназначенной для обеспечения направления луча, исходящего из подвижного источника света, в заданную точку фокальной плоскости.

Методы исследования. В диссертации использовались такие классические методы исследования как анализ, синтез, обобщение, аналогия, а также методы классической и аналитической механики, методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, численные и компьютерные методы.

Научная новизна. Получены условия асимптотической устойчивости механических систем, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. Определены управляющие воздействия, обеспечивающие выполнение уравнений связей и их асимптотическую устойчивость. Получены условия устойчивости многообразия при численном решении систем дифференциальных уравнений движения второго порядка с использованием следующих методов: Эйлера, усовершенствованного метода ломаных, метода Эйле-ра-Коши, видоизмененного метода Эйлера. Проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических систем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, при решении задач управления динамикой адаптивной оптической системы, роботами-манипуляторами, транспортными и космическими системами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

- на заседаниях семинара «Математическое моделирование динамических систем» (1999 - 2002 гг.) Российского университета дружбы народов (руководитель д.ф.-м.н., профессор Мухарлямов Р.Г.).

- на XXVI - XXIX всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, Российский университет дружбы народов, 2000-2003 гг.)

- на VIII Четаевской международной конференции по проблемам аналитической механики, устойчивости и управления движением (Казань, 2002 г.).

Публикации: основные результаты диссертации опубликованы в работах

ПН7]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, содержащего 101 наименование. Объем диссертационной работы составляет 74 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении обосновывается аюуальность выбора темы и делается обзор использованной литературы.

В первой главе рассматриваются вопросы управляемого движения механической системы со связями, динамика которой описывается уравнениями Лагран-жа 2-го рода. В §1 этой главы определяются управляющие силы, которые нужно приложить к системе, чтобы движение осуществлялось согласно заданной программе.

Пусть на систему наложены связи, заданные уравнениями:

/„(?, о = °> Я. О = 0. Ш я, 0 = 0, (1)

Я = (Я\,-,Я„), А = т, V = т + 1

В реальной ситуации часто возникают отклонения системы от заданного движения. Назовем эти отклонения возмущениями. Тогда для осуществления требуемого движения необходимо обеспечить выполнение условий

(4,0 = а„ (0. Л(<7, Я, 0 = ау 0)- (2)

Выражения (2) представляют собой уравнения программных связей, правые части которых определяются как решения дифференциальных уравнений возмущений связей

<*„ = а' а'> ^ 4>¿V = аЛ<*, а, а', </, ц, I), а = («,,...,«„,), а' = {ат+х,...,ар),

при начальных условиях:

?/('о) = ?.°. 9/Со ) = 9.°.

Во втором параграфе управляющие воздействия определяются таким образом, чтобы движение было асимптотически устойчивым относительно уравнений

связей. Для решения поставленной задачи уравнения возмущений программных связей представляются в виде :

к = Ъ.

' 0 I 0 \

где 8 = а Рп Рп

[Р21 Р2 2 Р23)

Исследование устойчивости проводится вторым методом Ляпунова. Функция Ляпунова берется в виде:

IV = атСа + 2ат Б а + ат Еа + а'г Ра', где С, Д Е, /*■ - симметрические постоянные матрицы.

Данная квадратичная форма и ее производная приводятся к виду:

IV = V = grЯg.

Рассматривается случай, когда матрицы коэффициентов уравнений возмущений и блоки матрицы квадратичной формы являются диагональными, а матрица производной квадратичной формы является квазидиагональной, т.е. когда блоки, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Определяются условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость тривиального решения дифференциальных уравнений возмущений программных связей. В результате формулируется теорема об асимптотической устойчивости механической системы с го-лономными и неголономными связями, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка:

Теорема /.(Достаточный признак асимптотической устойчивости). Для того чтобы движение механической системы было асимптотически устойчиво достаточно, чтобы для дифференциальных уравнений возмущений связей выполнялись условия Рп = -О'1 (С + ЕРи), Рп > -Е~1С и при этом все элементы р™ < 0, т; = 1 ,..., р + т.

Полученные условия асимптотической устойчивости используются для решения задачи управления движением саней Чаплыгина по заданной траектории.

Выкладки проводятся в системе аналитических вычислений Марк методом Рун-ге-Кутга.

Во второй главе определяются условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений движения механической системы при использовании метода Эйлера, усовершенствованного метода ломаных, метода Эйлера-Коши и видоизмененного метода Эйлера. Предполагается, что при некотором значении

к выполняется неравенство | К*| ^ е, и определяются условия, при которых будет выполняться неравенство | < е. Полученные условия используются

для решения задачи управления движением саней Чаплыгина каждым из указанных методов.

Сформулированы следующие теоремы:

Теорема 2. Существуют такие постоянные 0,т1,е, матрица Я, что если

||^°)|<г,г £г„ и для всех К* чк =?('*),'*+,= /*+ г,

к = О,.., А", выполняются неравенства I— Е + Рт | й е (\ - /3), где

д2У

= + + я и2 + + 2« №кт + 2** V г,

= 1.2,3,-:

то решение разностной схемы метода Эйлера:

(4)

будет удовлетворять условию |] К*! < е для любых к = О,., К.

Теорема 3. Существуют такие постоянные /3, г,, е, матрица К, что если

rär„ и для всех Vk qk=qOk% tk+l=tk+r,

к = О,..,К, выполняются неравенства Е + - ß < Ь И*2-2>| < e(l - ß), V(l2'2) = (gr/?)Vl2,1) + V«2\

0 _ ^ + g* <7* + g ^кг\ то решение разностной схемы

усовершенствованного метода ломаных:

■ t+K -i г -t

где q /2 = q + —q , q - q + —q , будет удовлетворять условию

II Vk J 5 e для любых к = О,.., К.

Теорема 4. Существуют такие постоянные ß,t\,e, матрица R, что если |K(g°)|<f, г <г„ и для всех Vk = v{qk,tk\ qk = q(tk\ ik+x = tk + Г,

к = 0,..,K, выполняются неравенства II— E + Pkrl < ß <1, II V^k2,3'|| < s (1 - ß),

У 2

К№2,3) = (^Т^^2,2) + к№2)> ^2,2) = '¿¡к + ^ + то решение

разностной схемы метода Эйлера-Коши:

(6)

где ¿¡к+х = цк+ г¿¡к, *+1= </*+ г ¡7*, будет удовлетворять условию | < е для любых Л = О,.., К.

Теорема 5. Существуют такие постоянные р,тх,е, матрица Я, что если

решение разностной схемы видоизмененного метода Эйлера:

(7)

будет удовлетворять условию | Vk | < е для любых к = О,.., К.

Ниже помещены графики изменения функции Ляпунова при численном решении уравнений движения саней 'Чаплыгина методами Эйлера, Эйлера-Коши, методом ломаных, видоизмененным методом Эйлера.

Полученные графики свидетельствуют о том, что в каждом из вышеуказанных методов функция Ляпунова убывает и, следовательно, она никогда не выйдет за пределы заданного числа е.

В третьей главе предложен алгоритм моделирования движения управляемой адаптивной оптической системы с двумя степенями свободы, состоящей из стержня и расположенного на нем зеркала. Положение зеркала изменяется при помощи управляющих сил £/,Д/2, наложенных на систему. Требуется найти такие управляющие силы, чтобы луч, падающий из движущегося источника света, всегда попадал в неподвижную фокальную плоскость.

Уравнение связи находятся из условия равенства угла падения и угла отражения:

/ = -S-2 cos 2<p[(yN - ум )(sCOSq> - xN) + (xN - xM )(.vsin <p - yN)] + + s 2 sin 2<p[(xN - xM Xs cos <p - xN ) - {yN - yM )(s sin <p - yN)] = 0. Уравнение движения AOC в форме уравнений Лагранжа запишется в виде:

- <P2s) = -PB sin + Л/,, ^ml2<p + mB(fis2 + 2s¿p) = -Pcl eos <p - PBscosp + Л f2,

где

dqx dq2

Для функции Ляпунова примем следующие данные: С = 0.000004, D = 0.000001, Е = 0.000002, тогда в качестве условий будем иметь:

Рп >~2,Рп

В предположении, что ри =-0.1, рп=-Ъ.%, xN = 5, yN = 4, хм = 0, yM=t + 3, т = 1, /яд =0.1, / = 0.9.

В качестве кинематических соотношений АОС получим систему дифференциальных уравнений:

fl+fl

Ф^-cfs-iPf + fl)

f<P

(9)

При с = 0.01, р = 0.1 и начальных условиях 5(0) = 2.2,^(0) = 1.6 и л(0) = 2.5, ^>(0) = 1, фазовый портрет системы (9) будет иметь вид, изображенный на рис. 1.

2 1.5

0.5

ст

SCO

рис1

Фазовый портрет решения уравнений динамики (8) АОС при р = -0.1, р\ - -3.8 и начальных условиях 5(0) = 2.2, ^>(0) = 1.6, V (0) = (о (0) = 1.5 и л(0) = 2.5, <р(0) = 1, V (0) = со (0) = 1.1, изображен на рисунке 2.

рис .2

Результат вычислений свидетельствует о совпадении с достаточной точностью траектории, изображающей точки на плоскости (я, гр) с кривой, соответствующей уравнению связи.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получено условие асимптотической устойчивости механических систем с го-лономными и неголономными связями, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Получены условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономными и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера.

3. Разработан метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих устойчивость программного движения.

4. Проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Управление адаптивной оптической системой с двумя степенями свободы// Межвуз. сб. научных трудов. Проблемы механики и управления. Пермь, 2001, С.131-144.

2. Синтез управления элементом адаптивной оптической системы// Тезисы докладов XXVIII всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2002 г., С. 61.

3. Управление адаптивной оптической системой с двумя степенями свободы// Тезисы VIII Четаевской международной конференции по проблемам аналитической механики, устойчивости и управления движением. Казань, 2002 г.,

С. 200.

4. Управление механической системой с программными связями// Тезисы 8-й международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», Донецк, 2002, С. 42.

5. Синтез управления элементом адаптивной оптической систем// Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2002, С.48-55.

6. Условия асимптотической устойчивости программного движения механической системы// Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. М„ РГОТУПС, 2002, С. 112-117.

7. Синтез управления элементом адаптивной оптической системы// Тезисы докладов XXVIII всероссийской научной конференции по проблемам математики,

информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2003 г., С. 85.

1б

Сабирова Виолетта Ринатовна, Россия «Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы

твердых тел»

Получены условия асимптотической устойчивости механических систем с голономными и неголономными связями, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. Получены условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономными и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера. Разработан метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих устойчивость программного движения. Проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.

Sabirova Violetta Rinatovna, Russia «Modeling dynamic of controlled motion of solid and system of solids»

Conditions of asymptotical stability of mechanical systems with holonomic and non-holonomic constraints are obtained. These conditions hold for motions, described by second order equations. The stability conditions of a numerical solution of differential equations of programmatic motion of a mechanical system with holonomic and non-holonomic constraints are also obtained, using the straight and improved methods of Euler. The algorithm of determination of control actions providing stability of programmatic motion of the mechanical system is given. The modeling of controlled motion of an adaptive optical system is explained. And the stability of the numerical solution of dynamical equations of this system is ensured.

¿ШсЮоЪ. 0{>àeju /*./. T^.too. ift/g- £~€>О

егfits4 l/7?~j¿ /з

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сабирова, Виолетта Ринатовна

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ.

§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§2. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ.

§1. МЕТОД ЭЙЛЕРА.

§2. УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЛОМАНЫХ

§3. МЕТОД ЭЙЛЕРА-КОШИ.

§4. ВИДОИЗМЕНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА

§5. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

ГЛАВА 3. УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОМ АДАПТИВНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

§1. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

§2. УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ.

§3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ АДАПТИВНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Введение диссертация по механике, на тему "Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел"

В настоящее время внимание исследователей все больше привлекают задачи управления движением твердых тел и их систем. Это связано с внедрением робототехники в различные отрасли науки и производства, с развитием космических технологий и их применением в быту (спутниковое телевидение, мобильная связь и т.д.). Системы твердых тел все больше приобретают прикладное значение как модели управляемых механических систем (МС). Примерами таких моделей могут быть роботы-манипуляторы [47], адаптивные оптические системы (АОС) [1], космические объекты [16] и т. п.

Под системой твердых тел понимается совокупность конечного числа твердых тел, обычно связанных между собой посредством соединений, определяемых идеальными связями - голономными, неголономными, стационарными или нестационарными связями [76]. Задачей управления является обеспечение движения МС согласно некоторым требованиям, которые составляют ее программу. Программное движение системы может быть осуществлено приложением к системе управляющих сил, изменением параметров системы в процессе движения, построением специальных управляющих устройств (регуляторов) или сочетанием этих возможностей. Исходными задачами теории управления являются обратные задачи классической динамики. Обзор этих задач с указанием методов их решения подробно излагается в монографиях А.С. Галиуллина [14, 15, 16].

Вопросам управления механической системой посвящены работы В.И. Зубова, Г.В. Коренева, Ю.К. Ландо, JI.K. Лилова, Б.Н. Петрова, Н.Н. Красовского, П.Д. Крутько, Е.П. Попова, В.В. Румянцева, В.Ю. Тертычно-го и др. [3, 4, 9 ,28, 30, 35, 39 - 41, 44, 46, 52, 72, 73, 77, 84, 92 - 95]. В частности, проблемы построения уравнений программного движения и стабилизации связей излагаются в [28, 92 - 95]. В работе [35] излагаются общие приемы построения математических моделей систем управления движением тел. Общая теория механико-математического моделирования систем, содержащих конечное число твердых и упругих тел, связанных между собой произвольными связями излагается в [46]. В работе [84] с единых методологических позиций исследуется ряд задач механики управляемого движения: разнообразные адаптивные, стохастические и другие варианты задач стабилизации МС решаются в рамках общей концепции обеспечения экспоненциальной сходимости к программным траекториям. Рассматриваются аналитические методы исследования управляемых механических устройств на стадии построения модели системы управления, приводящей к стабилизации движения. В работе [44] рассматриваются элементы математической теории управления движением: критерии управляемости, способы построения управлений. Проблема управляемости рассматривается с точки зрения нормальной разрешимости краевых задач. Общая теория управляемого движения излагается в работах [30, 38, 39]. В работе [77] исследуются уравнения движения управляемых систем с голономными и не-голономными связями, формулируются основные принципы динамики управляемых систем. Работы [72, 73] посвящены построению алгоритмов управления движением МС. Вопросы синтеза систем управления объектами, подверженными внешним возмущениям, решаются с точки зрения численного анализа в работе [52]. Математическое моделирование движения сложных механических систем методом управляющих реакций связей рассматривается в [9]. В работе [39] изучаются две проблемы, возникающие в теории оптимальных процессов: задача управления динамической системой при условии минимума выбранной оценки интенсивности направляющих усилий и задача о наблюдаемости.

Задача определения управляющего вектора, обеспечивающего программное движение системы, обычно решается с учетом требования устойчивости движения. В связи с этим развитие теории управления способствовало дальнейшему развитию теории устойчивости [2, 8, 29, 31, 34, 36, 37, 38, 45, 50, 53, 55, 69, 78, 80, 88, 89, 91]. А именно, численное исследование устойчивости движения излагается в [8]. Методам решения проблемы устойчивости управляемого движения посвящены работы В.И. Зубова [29, 31]. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем и применяются для решения проблемы устойчивости многообразий и проблемы управления вращательным движением. Систематическое изложение методов исследования устойчивости движения дается в [50, 53, 91]. Теория устойчивости неголономных систем рассматривается в работе Ю.И. Неймарка и Н.А. Фуфаева [69]. Вопросам устойчивости регулируемых систем посвящены работы [2, 45]. В частности, в [2] рассматривается решение задачи об абсолютной устойчивости прямым методом Ляпунова и Попова, а в [45] дается геометрическая интерпретация прямого метода Ляпунова и его приложение к задаче автоматического регулирования. В работах [80, 89] рассматриваются задачи устойчивости, стабилизации и синтеза управлений. В [78] определены условия существования важных для практики видов движения систем связанных тел и условия их устойчивости. В [36] рассматривается применение второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости по первому приближению. Устойчивость адаптивных систем рассматривается в работе [88].

В частности, в монографии [14] рассматриваются возможные постановки задач по исследованию устойчивости движения МС и по построению устойчивых систем, излагаются основы метода характеристичных чисел и метода функций Ляпунова в исследовании устойчивости, приемы аналитического построения устойчивых систем. Рассматривается программное движение механических систем, движение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом случае задача аналитического построения систем программного движения сводится к соответствующим обратным задачам динамики, поставленным с дополнительным требованием устойчивости программы движения в смысле Ляпунова (при наличии лишь начальных возмущений). Такая трактовка позволяет свести решение этой задачи к построению соответствующих уравнений движения системы по заданным интегралам уравнений движения, причем так, чтобы эти интегралы, отражающие заданные свойства движений рассматриваемой системы были устойчивыми.

Задача о построении уравнений программного движения механизмов в обобщенных координатах при наличии неголономных связей ставится и решается в работе [17]. Полученные при этом управляющие силы достраиваются с учетом требования устойчивости программы. В работах [26, 69, 70] рассматривается динамика и теория устойчивости управляемых неголономных систем. Дается постановка новых задач аналитического конструирования управляемых неголономных связей, обеспечивающих требуемые оптимальные режимы движения системы. Динамика систем твердых тел, связанных идеальными связями, рассматривается в работах [11, 27, 76, 97 - 101]. В [33] сравниваются два подхода к исследованию равновесия неголономных систем. В первом из них используются уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, а во втором - уравнения Чаплыгина или Воронца.

Математическая теория адаптивного управления излагается в работах [81, 82]. Систематическое изложение численных методов теории оптимальных управлений дается в [52]. Задача управления сегментированным зеркалом и адаптивными оптическими системами рассматривается в работах [23, 62, 65 - 67].

Название «адаптивная оптика» обычно употребляют для обозначения, как самих адаптивных оптических систем, так и методов адаптации, положенных в основу их работы. Определение адаптивной оптической системы можно дать словами Дж. Харди [90]: «Активная оптика есть общий термин для обозначения оптических элементов, характеристиками которых управляют в процессе работы с целью изменения волнового фронта».

К этому определению Э.А. Витриченко [1] высказал следующее замечание: «адаптивная оптика - не просто совокупность оптических компонентов, а замкнутая система, включающая оптические и электронные компоненты и позволяющая изменять характеристики волнового фронта в реальном времени». В таком определении подчеркнута роль системности и электроники.

В основе адаптивной оптики, по словам Д. Фрида [96], лежит идея создания такой аппаратуры, которая могла бы в реальном времени измерять нежелательные искажения волнового фронта в любом случае (будь то передача или прием оптического сигнала), и управлять оптическим элементом с целью устранения этих искажений.

Работа по созданию АОС является довольно сложной в связи с предъявлением высоких требований к технологии ее создания и качеству работы в различных нестационарных условиях. Вместе с тем, создание АОС открывает широкие возможности их применения в астрономии [71], лазерной технике [32] и приборах различного назначения. Этим объясняется в 60-е г.г. XX века развитие исследований, связанных с созданием АОС.

Их результаты систематизированы в работах [23, 12, 48]. Основные принципы построения управляемых оптических систем изложены в [12].

Современный мир диктует свои условия. Ставятся задачи, которые оказывается достаточно сложно решить «ручным» способом. Это привело к развитию численных [5, 7, 8, 22, 42, 43, 79, 99] и компьютерных методов решения инженерных и математических задач [10, 51, 75], где рассматриваются методы выполнения аналитических выкладок с помощью компьютера в системе аналитических вычислений Maple.

Как видно из обзора, вопросы устойчивости управляемого движения механических систем являются достаточно актуальными, но недостаточно изученными. Так, например, сформулированы теоремы устойчивости только для систем, механическое движение которых описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, недостаточное внимание уделено исследованию устойчивости численного решения уравнений динамики механической системы. Это и определило направление исследования и выбор темы диссертационной работы.

Объект исследования. Управляемое движение твердого тела и систем твердых тел.

Предмет исследования. Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел.

Цель диссертации:

1. Определить условия асимптотической устойчивости программного движения механической системы с голономными и неголоном-ными связями.

3. Определить условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономными и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера.

4. Построить математическую модель управляемой адаптивной оптической системы с двумя степенями свободы, состоящую из стержня и расположенного на нем зеркала. Положение зеркала изменяется при помощи управляющих сил u},u2, наложенных на систему. Требуется найти такие управляющие силы, чтобы луч, падающий из движущегося источника света, всегда попадал в неподвижную фокальную плоскость.

Научная новизна. Получены условия асимптотической устойчивости механических систем, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. Определены управляющие воздействия, обеспечивающие выполнение уравнений связей и их асимптотическую устойчивость. Получены условия устойчивости многообразия при численном решении систем дифференциальных уравнений движения второго порядка с использованием следующих методов: Эйлера, усовершенствованного метода ломаных, метода Эйлера-Коши, видоизмененного метода Эйлера. Проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

- на заседаниях семинара «Математическое моделирование динамических систем» (1999 - 2003 г.г.) Российского университета дружбы народов (руководитель д.ф.-м.н., профессор Р.Г. Мухар-лямов);

Публикации: основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Управление адаптивной оптической системой с двумя степенями свободы//Межвуз. сб. научных трудов. Проблемы механики и управления. Пермь, 2001, С.131-144.

2. Синтез управления элементом адаптивной оптической систе-мы//Тезисы докладов XXVIII всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-воРУДН, 2002 г., С. 61.

3. Управление адаптивной оптической системой с двумя степенями свободы//Тезисы VIII Четаевской международной конференции по проблемам аналитической механики, устойчивости и управления движением. Казань, 2002 г., С. 200.

4. Управление механической системой с программными связями/Тезисы 8-й международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», Донецк, 2002, С. 42.

5. Синтез управления элементом адаптивной оптической сис-тем//Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2002, С.48-55.

6. Условия асимптотической устойчивости программного движения механической системы/УВопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. М., РГОТУПС, 2002, С. 112-117.

7. Исследование устойчивости численного решения уравнений движения//Тезисы докладов XXIX всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2003 г, С.85.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. получены условия асимптотической устойчивости механических систем с голономными и неголономными связями, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка;

2. получены условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономными и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера;

3. разработан метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих устойчивость программного движения;

4. проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Сабирова, Виолетта Ринатовна, Москва

1. Адаптивная оптика. Сб. статей/пер. с англ. под ред. Э.А. Витриченко. -М.: Мир, 1980.-С. 456.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 140 с.

3. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Организация динамики управляемых механических систем. М.: Изд-во МГУ, 2000. -304 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б. , Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. -574 с

5. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969-С. 106-120.

6. Бендик М.М. Об уравнениях программных движений твердого те-ла//Сб.: Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М.: УДН, 1983, С.153-157.

7. Бродский М.Л. Асимптотические оценки погрешностей при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений разностными методами//Доклады АН СССР, 1953. Т.93. - С.599-602.

8. Валеев К.Г. Численное исследование устойчивости движения. Киев, 1979.-25 с.

9. Величенко В.В., Волкова И.И. Математическое моделирование движения сложных механических систем методом управляющих реакций связей//Динамика управляемых систем. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979. - С. 72-75.

10. Веретенников В.Г., Карпов И.И., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Шаранюк А.В. Современные компьютерные методы решения задач механики. -М.: изд-во МАИ, 1999. 144с.11 .Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел/пер. с англ. М.: Мир, 1980.-296 с.

11. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1985. - 336 с.

12. Вязовик А.П. К задаче синтез управления механическими система-ми//Динамика управляемых систем. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979. - С.92-98.

13. М.Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа, 1989. -264 с.

14. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука., Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. - 224 с.

15. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1986. - 224 с.

16. Галиуллин А.С. Уравнения программного движения механизмов с программными связями//В кн.: Проблемы механики управляемого движения. Пермь, 1982. С.58-62.

17. Галиуллин А.С. Устойчивость движения. М., 1973. - 104 с.

18. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения М.: Наука, 1971. - 352 с.

19. Галиуллин А.С., Шестаков А.А. Устойчивость движения и вариационные принципы динамики//Вестник РУДН, сер. Прикладная математика и информатика, №2, 1996, С. 20-28.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

21. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П. и др. Численные методы. М.: Высшая школа, 1976. С.326-329.

22. Дегтярев А.П., Чернявский С.М. Адаптивная оптика//Адаптивная оптика: межвуз. сб. Казань: КАИ, 1987. - С. 3-7.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Московского университета, 1998. - 480 с.

24. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976. - 264 с.

25. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа, 1970. - 272 с.

26. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1983. - 344 с.

27. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982. -285 с.

28. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: НИИ Химии СпбТУ, 2001. 354 с.

29. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1980.-288 с.

30. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1984. - 232 с.

31. Зуев В.Е. Распространение лазерного луча в атмосфере. М.: Радио и связь, 1981.-287 с.

32. Илиев И. Русинов И. О двух подходах к исследованию состояний равновесия неголономной механической системы//ПММ. -1981. Т.45, выпЗ.-С. 567-572.

33. Каменков Г.В. Об устойчивости движения. Труды КАИ №9. Казань, 1939.- 136 с.

34. Коренев Г.В. Введение в механику управляемого тела. М.: Наука, 1964.-568 с.

35. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению/ЛТММ, т. XIX, вып.5, С.516-530, 1953.

36. Красовский Н.Н. О выборе параметров оптимальных устойчивых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1960. - 12 с.

37. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Наука., Гл. ред. физ. -мат. лит., 1959. 212 с.

38. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука., Гл. ред. физ. -мат. лит., 1968. - 476 с.

39. Красовский Н.Н., Красовский А.Н., Третьяков В.Е. Управление динамической системой. Свердловск, 1985. - 200 с.

40. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем, нелинейные модели. М.: Наука., Гл. ред. физ. -мат. лит., 1988. - 328 с.

41. Кузнецова Л.Г. Прикладная математика. Омск: Изд-во СибАДИ, 2000.- 144 с.

42. Кунц К.С. Численный анализ/пер. с англ. Киев: TEXHIKA, 1964. - 392 с.

43. Ландо Ю.К. Элементы математической теории управления движением.- М.: Просвещение, 1984. 88 с.

44. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова/пер. с англ. М.: Мир, 1964. - 168 с.

45. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит. 1993. - 272 с.

46. Лилов Л.К., Чириков В.А. Об уравнениях динамики систем взаимосвязанных тел//ПММ, 1981, Т.45, №3, С.525-534.

47. Лукин В.П. Атмосферная адаптивная оптика. М.: Наука, 1986. - 232 с.

48. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Наука., Гл. ред. физ. - мат. лит., 1961.-824 с.

49. Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. М. - Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 472 с.

50. Матросов A. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. -СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.

51. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1971. - 424 с.

52. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит. 1971.-312 с.

53. Мухаметзянов И.А. Абсолютная устойчивость программного положения манипулятора при релейном управлении//В кн.: Проблемы механики управляемого движения. Пермь, 1983. С.94-99.

54. Мухаметзянов И.А. Построение множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по заданной программе//Труды УДН. Том 1, вып.1., Теор.мех., М., 1963, С. 52-55.

55. Мухаметзянов И.А. Построение устойчивых систем с инвариантными программными связями//Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М.: Изд-во УДН, 1983. С.44-49.

56. Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программного движения: оптимизация и оценки. М.: Изд-во УДН, 1987. - 80 с.

57. Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программных движений. М.: Изд-во УДН, 1986. - 88 с.

58. Мухарлямов Р.Г. Обратные задачи динамики//В кн.: Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. М.: Наука, 1981. С.217-222.

59. Мухарлямов Р.Г. Об уравнениях движения механических систем//Диф. уравнения, 1983, Т. XIX, №12.

60. Мухарлямов Р.Г. О применении дифференциальных уравнений к вычислению обратной матрицы//Диф. уравнения, 1979, Т. XV, №5, С.795-804.

61. Мухарлямов Р.Г. Управление программным движением адаптивной оптической системы//Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика», 1994, №1, С.22-40.

62. Мухарлямов Р.Г. Управление программным движением механических систем//Сб.: V Всесоюз. Конференция по управлению в механических системах. Тезисы докладов. Казань, 1985. С.78.

63. Мухарлямов Р.Г. Уравнения движения механических систем. М.: Изд-во РУДН, 2001.-99 с.

64. Мухарлямов Р.Г., Ибрагимов Р.Г., Колесников А.П. Синтез управления сегментированным зеркалом//Адаптивная оптика. Межвузовский сборник научных трудов. Казань, 1991. - С. 49-59.

65. Мухарлямов Р.Г., Мухаметзянов И.А., Колесников А.П. Управление адаптивной оптической системой//Сб.: Проблемы механики управляемого движения. Межвуз. Пермь: Изд. ПГУ, 1988.

66. Мухарлямов Р.Г., Мухаметзянов И.А., Колесников А.П. Управление адаптивной оптической системой с фазовой модуляцией//Сб.: Проблемы механики управляемого движения. Межвуз. Пермь: Изд. ПГУ, 1988.

67. Мухарлямов Р.Г., Киргизбаев Ж., Бендик М.М. Механические системы с программными связями//Тезисы докладов IV Четаевской всесоюзной конференции по аналитической механике, устойчивости и управлению движением, Звенигород, 1982, С.7.

68. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1967. - 520 с.

69. Николенко И.В. Динамика управляемых неголономных систем. К.: Вища школа. Головное издательство, 1985. - 184 с.71 .Оптические телескопы будущего. М.: Мир, 1981. - 432 с.

70. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. К теории построения алгоритмов управления движением//Доклады АН СССР, 1979, Т.247, №3. С. 10181024.

71. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики//Доклады АН СССР, 1979, Т.247, №5.-С. 1078-1081.

72. Программное движение механических систем//под ред. Галиуллина А.С.-М., 1971.- 158 с.

73. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple М.: Компания «Петит», 1997. - 200 с.

74. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел/ пер. с англ. в двух томах. -М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1983. - 464 с.

75. Румянцев В В. О движении управляемых механических систем//ПММ. -1976. Т.40, вып. 5. - С.771-781.

76. Савченко А.Я., Болграбская И.А., Кононыхин Г.А. Устойчивость движения систем связанных тел. Киев.: Наукова Думка, 1991. - 168 с.

77. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997- 239 с.

78. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1997. - 308 с.

79. Срагович В.Г. Адаптивное управление. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1981.-384 с.

80. Срагович В.Г. Теория адаптивных систем. М.: Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит., 1976. - 320 с.

81. Су слов Г.К. Теоретическая механика. М. - Л.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1944. - 656 с.

82. Тертычный В.Ю. Синтез управляемых механических систем. СПб.: Политехника, 1993 - 336 с.

83. Тлеубергенов М.И. К вопросу об устойчивости интегрального многооб-разия.//Изд. АН КазССР, 1983. Сер. физ. мат, №1, С.56-59.

84. Тлеубергенов М.И. Об оптимальной стабилизации программного дви-жения//Сб.: Мат. V конф. молодых ученых Университета, М.: 1982. 4.1, С.9-13.

85. Тлеубергенов М.И. О неустойчивости движения относительно части переменных//В кн.: Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1983. С. 158-164.

86. Устойчивость адаптивных систем, пер. с англ./Андерсон Б., Битмид Р., Джонсон К. и др. М.: Мир, 1989. - 263 с.89.фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1977. - 248 с.

87. Харди Дж. Активная оптика: Новая технология управления световым пучком. ТИИЭР, 1979, т.66, №6, С.ЗЗ.

88. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 536 с.

89. Ascher U.M., Hongsheng Chin, L.R. Petzold S., Reich. Stabilization of constrained Mechanical systems with DAEs and invariant manifolds//J. Mechanics of Structures and Machines. 1995. V.23. P. 135-158.

90. Baumgarte J.V., Stabilizierung von Bindungen iiber Zwanzigimpulse//ZAMM, 1982.-62. P.447-454.

91. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems//Comp. Math. Appl. Mech. Eng. 1972. V.l. P. 1-16.

92. Chang C.O., Nikravesh P.E. Adaptive Constraint Violation Stabilization Method for Dynamic Analysis of Mechanical Systems//Trans. ASME. J. Mch. Transmiss. And Autom. Des., 1985,- 107. № 4. P.488-492.

93. Fried D.//Journal of the Optical Society of America, №3, 1977. C. 170.

94. Kamman J. W., Huston R.L. Dynamics of constrained Multibody Sys-tems//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1984,- 51. № 4. P.899-903.

95. Kane T.R. , Levinson D.A. Multibody Dynamics//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1984,- 50. № 4. P.1071-1078.

96. Rentrop P., Strehmel K., Weiner R. Ein Uberblick und Einschrittverfaren zur numerischen Integration in der technischen Simulation//GAMM-Mitteilungen, Band 19, 1966. Heft 1. P.9-43.

97. Schilen W. Nichtlineare Bewegungsgleichungen glober Mehrkorpersysteme//Z. angew. Math, und Mech., 1981. 61. № 9, P. 413419.

98. Wittenburg J. Analytical Methods in Mechanical System Dynamics//Comput. Aided Anal. Und Optimiz. Mech. Syst. Dyn. Proc. NATO Adv. Stuy Inst. Berlin, 1984. P. 89-127.