Теория и задачи устойчивости нелинейных сред при наложенных конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

С . - : ; ■

На правах рукописи

СУМИН АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД ПРИ НАЛОЖЕННЫХ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1995

Работа выполнена в Воронежском высшем военном авиационном инженерном училище.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шестериков С. А. доктор физико-математических наук, профессор Цвелодуб И. Ю. цоктор физико-математических наук, профессор Федоров А. В. Ведущая организация — Российский университет Дружбы Народов

Защита состоится « % » июн$г 1995 г. в часов на заседании диссертационного совета Д. 003.22.01 в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская 4/1 ИТПМ СО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан « » ал 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, к.ф.-м.н., с.н.с

Самсонов В. И.

Актуальность темы. Традиционным методом исследования устойчивости нелинейно-упругих и нелинейно вязкоупругих сред является метод исследования устойчивости по отношению к малым возмущениям. Получаемые в результате решения линейные относительно возмущений уравнения, позволяют найти значения параметра нагрузки при котором происходит смена форм равновесия. В этом направлении выполнено подавляющее большинство работ по теории устойчивости для нелинейно-упругих и нелинейно вязкоупругих сред.

Фундаментальный вклад в развитие теории устойчивости упругих и вязкоупругих сред при малых и конечных докритических деформациях по отношению к малым возмущениям внесли Бабич И.Ю., Болотин В.В., Галимов К.З., Гузь А.Н., Гуменюк Б.П., Ершов Л.В., Зубов Л.М., Ивлев ДД., Ильюшин АА., Ишлинский А.Ю., Карнаухов В.Г., Лурье А.И., Никитин Л.В., Новожилов В.В., Победря Б.Е., Работ-нов Ю.Н., Спорыхин А.Н., Терегулов И.Г., Толоконников Л А., Шемякин Е.И., Шестериков С А., Адкинс Дж., Бленд Д., Веселовский 3., Грин А., Ривлин Р., Томас Т., Циглер Г., Био МА. и другие отечественные и зарубежные ученые.

Проблема устойчивости по отношению к конечным возмущениям поднималась в основном в теории точного машиностроения и была освещена в работах Е.П. Попова и В.И. Феодосьева. Значительный интерес эта проблема приобрела в сеязи с исследованиями устойчивости гонких оболочек, так как между теоретическими результатами, полученными на основе концепции устойчивости "в малом" и эксперимен-

тальными данными имелись существенные расхождения, которые можно было объяснить только принципиальными причинами.

В 1956 году вышла работа В.В. Болотина по исследованию устойчивости нелинейно-упругих тел при конечных возмущениях, в которой для физически и геометрически нелинейного упругого материала, в статической постановке, впервые был поставлен вопрос об устойчивости по отношению к конечным возмущениям. Решение задачи методом Бубнова-Галеркина было сведено к исследованию нелинейной относительно возмущений системе алгебраических уравнений. Далее искалась уточненная , в зависимости от вида нелинейности, точка бифуркации.

В дальнейшем вопросы устойчивости при конечных возмущениях рассматривались, в основном, в работах зарубежных авторов. Этим вопросам были посвящены работы Naghdi P.M., Trapp IA., Holser S.M., Hansen L.S., Hopper C.T., Williams R.M., Buffer H.

Небольшое количество работ, посвященных вопросам устойчивости по отношению к конечным возмущениям, объясняется не отсутствием интереса к этой проблеме, а существенными математическими трудностями, возникающими при решении этой задачи. Поэтому требуют изучения вопросы поведения нелинейно-упругих и нелинейно вяз-коупругих сред при конечных возмущениях, так как еще Н.Г. Четаевым было отмечено, что реально существующие возмущения хоть и малы, но конечны.

Конечные возмущения ставят вопрос о нахождении не только :ритических нагрузок, но и критических возмущений, то есть таких при |ревышении которых среда может потерять устойчивость. Нахождение >бластей возмущений, в которых основной процесс деформирования >удет устойчивым, способствует получению результатов более близких : реально наблюдаемым в природе.

Одним из методов решения задач устойчивости является разло-кение возмущений перемещений в ряд Бубнова-Галеркина. Рас-:мотрение сходимости этого ряда представляет большие трудности и в «стоящее время нет удовлетворительного доказательства сходимости »того ряда, что, однако, не мешает использованию этого способа в фактических расчетах, поэтому важным становится вопрос о обосно-занном ограничении количества слагаемых в ряде Бубнова-Галеркина, по позволило бы уменьшить вычислительные трудности, возникающие !ри решении конкретных задач.

Другой важной проблемой теории устойчивости является учет неоднородности материала, описываемого нелинейными уравнениями, а невозмущенном состоянии, в этом направлении решено Есего лишь несколько частных задач и только лишь для малых возмущений. Поэтому проблемным является вопрос об учете свойств неоднородности в невозмущенном состоянии в задачах устойчивости по отношению к конечным возмущениям.

Целью работы является вывод критериев устойчивости по отношению к конечным возмущениям для нелинейно-упругих и нелинейно

вязкоупругкх сред; учет влияния неоднородности материала в невозмущенном состоянии; рассмотрение связи стохастичности и неустойчивости для рассмотренных нелинейных сред; решение в динамической постановке конкретных задач устойчивости по отношению к конечным возмущениям; оценка влияния конечности возмущений и неоднородности материала на критические параметры; нахождение' размерности странных аттракторов для конкретных задач и вытекающие отсюда рекомендации по ограничению числа слагаемых в ряде Бубнова-Галеркина.

Метод исследования: аналитический, численный. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими методами.

Научная новизна. Новыми являются теоретические результаты по устойчивости деформирования нелинейно-упругих и нелинейно еязко-упругих тел при наложенных конечных возмущениях в динамической постановке:

- для общего вида упругого потенциала выведены уравнения для нелинейно-упругих тел при конечных возмущениях, получен достаточный критерий устойчивости основного процесса деформирования;

- для двух моделей, описывающих поведение нелинейно вязко-упругого тела в динамической постановке выведены уравнения при конечных возмущениях, получен достаточный критерий устойчивости основного процесса деформирования;

- для нелинейно-упругого тела с учетом случайной неоднородности в основном состоянии получены динамические уравнения при конечных возмущениях и выведен достаточный критерий устойчивости;

- для нелинейных сред, рассмотренных в диссертации предложен алгоритм вычисления размерности странных аттракторов соответствующих динамических систем и тем самым ограничена размерность пространств вложения, что позволяет обоснованно ограничить число членов ряда метода Бубнова-Галеркина.

Для ряда задач устойчивости по отношению к конечным возмущениям получены графические зависимости, связывающие модуль возмущений и критические удлинения. Сделаны выводы, что среда может потерять устойчивость при любом значении параметра нагрузки, если возмущения превысят определенный предел.

Получены графические зависимости, связывающие размерность странного аттрактора для динамических систем, соответствующих рассмотренным задачам, с параметром нагрузки и сделаны выводы, что размерность странного аттрактора уменьшается с увеличением параметра нагрузки, а, следовательно, уменьшается и размерность пространства вложения исходной динамической системы.

Практическая ценность. Исследование устойчивости при конечных возмущениях в диссертационной работе проводилось в строгой постановке и результаты, полученные с обычно принятой в механике точностью, не обусловлены методом решения. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в задачах точного машино-

строения, в задачах геофизики, в горном деле и во всех прикладных задачах, где необходимо оценить область возмущений, в которой какое-то состояние тела или какой-то процесс будет устойчивым, а также соответствующие этой области параметры, что позволяет прогнозировать поведение тел и конструкций.

Достоверность установленных в работе результатов следует из корректности постановок задач, применения строгого аналитического аппарата исследования. Полученные в работе общие положения, в частных случаях приводят к известным ранее результатам. Анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных согласуется с теоретическими результатами, приведенными в работе.

Апробация. Отдельные результаты диссертационной работы обсуждались на Всесоюзных школах по МТДТ в г. Куйбышеве в 1975, 1976, 1977, 1978 годах, на пятой Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике в г. Ленинграде в 1977 году, городском семинаре по механике сплошных сред в г. Воронеже в 1977 году, городском семинаре по механике деформируемого твердого тела при Куйбышевском госуниверситете в 1979 году, научном семинаре кафедры теоретической механики Днепропетровского госуниверситета в 1979 году, научном семинаре по теории колебаний кафедры теоретической механики МВТУ им. Баумана в 1981 году, на научном семинаре кафедры теоретической механики Тульского политехнического института в 1981 году, на научных конференциях Воронежского технологического института, на Всероссийской математической школе по со-

временным методам в теории краевых задач в 1992 и 1994 годах, на Всероссийской школе по современным проблемам механики и матема-. тической физики в 1994 году.

В целом диссертация докладывалась на городском семинаре по механике сплошных сред в Воронежском госуниверситете в 1994 году, на заседании кафедры математики Воронежского высшего военного авиационного инженерного училища в 1995 году, на семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН в 1995 году.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех гнав, приложения, заключения и списка литературы. Объем работы 275 страниц, включая 219 страниц текста, приложения, содержащего 64 рисунка. Список литературы из 154 наименования.

Публикации. По теме диссертации опубликование 26 работ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении сделан краткий обзор литературы по проблемам устойчивости нелинейно-упругих и нелинейно вязкоупругих сред при малых и конечных возмущениях, а также дан обзор литературы по критериям возникновения хаотических колебаний в нелинейных средах. Изложен круг вопросов рассматриваемых в диссертации.

В первой главе в тензорной форме, следуя В.В. Новожилову записаны основные соотношения и уравнения трехмерной нелинейной теории упругости. Все величины отнесены к лагранжевой системе координат в теле до деформации. В дальнейшем рассматривалась устойчи-

вость основного процесса деформирования по отношению к конечным возмущениям. Линеаризации уравнений не проводилось и краевая задача в возмущениях была записана в виде

V,[(.Г.и^+рХ-р^-* о

(3)

здесь величины с ноликом соответствуют основному состоянию, возмущениям не приписан никакой индекс. Хт,Ргг' - возмущения массовых и поверхностных сил. Соотношение (3) задает нелинейную реологическую связь между возмущениями тензора обобщенных напряжений и тензора деформаций Грина, в предположении существования функции энергии деформации, которая для изотропного тела будет функцией первых трех инвариантов тензора деформаций. Связь (3) конкретизируется заданием одной из следующих форм упругого потенциала: Мурнагана, двухконстангаого, Муни или Трелоара. Величины в скобках показывают порядок слагаемого относительно возмущений перемещений.

Решение нелинейной краевой задачи (I) - (3) выбиралось в виде

ряда

гае _/,(г) - неопределенные коэффициенты, зависящие от времени, <р'т[ - полная система функций, удовлетворяющих геометрическим граничным условиям для - гСоставляя вариационные уравнения метода Бубнова-Галеркина соответствующие нелинейной краевой задаче (1) - (3), с учетом (4) получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

л! + я/, </, + #/,/.+1Г/,Л/>......- <5>

(р,кЛг,..~.......= 1,2Д............)

Нулевое решение этой системы уравнений соответствует невозмущенному состоянию. Количество нелинейных членов в системе уравнений (5) конкретизируется заданием формы упругого потенциала.

Показано, что если функция

п=\а\1 I+\dujj, + ■

(б)

будет положительно определенной для величин начальных возму-

щении не превосходящих значении, наиденных из соотношении \

= 0;

= 0, (7)

то нулевое решение системы уравнений (5) будет устойчиво в области возмущений, определяемой из (7) , так как производная от функции П в силу системы (5) будет неположительна и тогда функция П будет являться функцией Ляпунова для системы (5).

Для указанных выше упругих потенциалов получен конкретный вид системы уравнений (5) , а также коэффициенты этой системы.

Условие положительности функции П для возмущений не превосходящих значений, найденных из соотношений (7), позволяет для каждого значения параметра нагрузки, входящего в коэффициенты системы уравнений (5) , получать области возмущений, в которых нулевое решение системы (5) , а следовательно, и основной процесс деформирования, будут устойчивы.

Во второй главе рассматриваются вопросы устойчивости нелинейно вязкоупругих сред с затухающей памятью и нелинейно вязко-упругих сред дифференциального типа сложности 1 при наложенных конечных деформациях. Наиболее важные кинематические соотношения представлены следуя АА. Ильюшину. К уравнениям движения и граничным условиям добавляется уравнение сохранения энергии и определяющие соотношения конечной линейной термомеханической теории вязкоупругости. При изотермических односту-

пенчатых экспериментах на релаксацию произвольный вязкоупругий материал будет вести себя как квазиупругий, поэтому поведение такого материала можно описать при помощи некоторого потенциала, зависящего от времени как от параметра. В предельных случаях при I = 0 и

.41

г = оо материал будет вести себя как упругий.

После наложения на основной процесс деформирования конечных возмущений получим систем)' уравнений в возмущениях: Уравнения движения

0Х}

ах.

0 а ц ах.

щ

ах*

+ (8)

Уравнение энергии

& Л +

(9)

ниях

Механические граничные условия в напряжениях и перемеще-

с*+ш;)^ + щ:

= на а

(10)

и. = м,0;

Тепловые граничные условия

А ж = на в,; в -0н на к,;

(И)

А „.■««+« 0 на

Реологическая связь в возмущениях

= + - (12)

Связь (12) конкретизируется после задания формы упругого потенциала в предельном случае.

Далее рассматриваются динамические несвязанные задачи термомеханики предварительно деформированных вязкоупругих тел. Составляя вариационные уравнения метода Бубнова-Галеркина, соответствующие нелинейной краевой задаче (Е) - (12) и выбирая выражения для возмущений перемещений в виде (4) получим систему дифференциальных уравнений второго порядка

А /«+ /»} + с(/<" + + /" + +

(13)

+ К1 + К, /® /(г) /"> + ■■■ =0.

Количество слагаемых в (13) и вид коэффициентов конкретизируется заданием реологической связи между напряжениями и деформациями.

Показано, что если функция

(14)

оА>) >*+_1<>) +К*) //*■

будет положительно определенной для тех значений координат и коростей, которые не превосходят величин, найденных из соотно-1ений

дП

■0;

<9(9.

ЗП

= 0,

(15)

то нулевое решение системы (14) будет устойчиво в этой области, налогичные результаты получены и для нелинейно вязкоупругой срез! дифференциального типа сложности 1.

Соотношения (15) представляют собой систему алгебраических эавнений относительно величин начальных возмущений и начальных :оростей возмущений. Решение этой системы дает область начальных хзмушений и их скоростей в которой нулевое решение системы урав-:ний (13) будет устойчиво. Последовательность значений фазовых пененных в начальный момент времени, полученных из (15) образует >нечнун> цепочку бифуркационных точек, из которых реализуется ерва минимальное. Отличие предложенного подхода от линеализиро-

ванной теории в том, что нелинейно вязкоупругое тело может потерять устойчивость при любой величине начальных деформаций, если возмущения превысят определенный предел.

В третьей главе, в первых трех параграфах рассматриваются вопросы устойчивости нелинейно-упругих сред с учетом случайной структуры материала.

Предполагается, что параметры среды зависят от случайной, однородной, изотропной функции

ср = (ср)/ = (ср){1+/) = (ср)+с;. (16)

Здесь (ср> - математическое ожидание случайной величины, ср1 - ее флуктуация, которая предполагается малой. В силу случайности параметров среды все величины, описывающие основной процесс деформирования, также будут случайными функциями пространственных координат и могут быть представлены в виде

и = (и ) + и и 1 + и : О"') + и") -Л"

/>+*/• - * *,■,'</*>+ *<//; <п)

Я ; = <5+ - + 5 ,-,'</'>+ Я ¿Г-

Для однородного докритического состояния удлинения также будут случайными функциями координат

А , = <!,•>+А,' = А Й<Г>+ЛЦ/. (18)

В дальнейшем рассматривается устойчивость основного процесса деформирования по отношению к конечным возмущениям, которые гакже считаются случайными функциями координат и определяются по формулам вида (17).

Методами аналогичными применяемым в первой главе получена система уравнений

(19)

где через {к = 1,2,3) обозначены уравнения типа (5). Из (19) в силу произвольности флуктуации имеем три системы уравнений

!*(/) = ЬРг (/. 1г. Л ) = 0." ЫХ /,) = 0. (20)

Показано, что система с индексом 1 соответствует детерминированной задаче, решение которой для различного вида потенциалов приведено в первой главе.

Для каждой системы уравнений (20) построена функция аналогичная (6). Вопрос об устойчивости основного процесса деформирования стохастически неоднородной нелинейно-упругой среды решается вопросом о положительной определенности функции П для возмущений найденных из соотношений аналогичным (7).

Решение детерминированной задачи позволяет найти возмущения с индексом 1. После подстановки / в третье соотношение (20) находятся возмущения с индексом 3. Возмущения с индексом 2 получаются после подстановки £ и /г во второе соотношение (20) способом вычисления возмущений описанным в первой главе. Для по-

тенциалов Мурнагана, двухконстантного, Муни и Трелоара получены коэффициенты системы уравнений (19).

В четвертом параграфе рассматриваются вопросы влияния на статистические свойства динамических систем, описывающих поведение нелинейных систем, дельтакоррелированного белого шума. Построено кинетическое уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. Указан критерий устойчивости при переходе режима к стохастическому.

В пятом параграфе рассматриваются критерии возникновения хаотических колебаний в нелинейных средах. Известно, что в фазовом пространстве нелинейных динамических систем возникают странные аттракторы - притягивающие области, характеризующиеся режимом установившихся непериодических автоколебаний. Условия возникновения странного аттрактора - сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью. Режим странного аттрактора характеризуется наличием в спектре характеристических показателей Ляпунова положительных показателей. В этом случае аттрактор находится в некоторой области фазового пространства и включает в себя канторово множество гиперповерхностей. Множество траекторий, соответствующих странному аттрактору, характеризуется неустойчивостью по Ляпунову, но устойчивостью по Пуассону. Знание размерности аттрактора позволяет количественно оценить число задействованных в движении фазовых переменных. Если размерность конечна и относительно мала, то в распределенных системах моделирование процессов возможно и при помощи конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений, число

которых соответствует размерности фазойого пространства в которое вложен странный аттрактор. Если известна последовательность экспериментальных значений переменных Т,~Т (',)' то на базе этой последовательности вычисляется корреляционная размерность странного аттрактора

!п С ( ,)

Гп = Ия> . " , (21)

с-,0 1п£

гае

С„ = Ьт—А в (Н ?(',)- «М |) (22)

По сценарию Рюэля-Такенса динамическая стохастичность может развиться после конечной последовательности бифуркаций, которые обеспечивают достижение хаотического режима. В работе предлагается вместо последовательности экспериментальных значений 7*у взять последовательность бифуркационных значений | , для которой провести процесс вычисления корреляционной размерности странного аттрактора. Тем самым будет вычисляться размерность фазового пространства динамической системы, которое моделирует процессы происходящие в первоначальной системе. Зная размерность странного аттрактора можно ограничиться в рядах (4) количеством слагаемых равным размерности пространства в которое вложен странный аттрактор.

В четвертой главе на основе соотношений, полученных в первых трех главах решены задачи устойчивости деформирования нелинейно-

упругих и нелинейно вязкоупругих тел при конечных возмущениях. Для нелинейно-упругого тела рассмотрены задачи об устойчивости прямоугольной и круговой пластин, полосы, кругового цилиндра и явление поверхностной неустойчивости при сжатии. Для нелинейно вязкоупру-гого тела решены задачи об устойчивости прямоугольной и круговой пластин при конечных возмущениях. Для стохастически неоднородного нелинейно-упругого тела рассмотрена задача об устойчивости прямоугольной пластины.

Во всех задачах докритическое состояние предполагалось однородным, то есть принималась линейная зависимость перемещений от координат. В качестве полной системы функций <р'п (д,), входящих в

ряд (4), выбирались известные решения линеаризированных уравнений устойчивости. Для устранения неопределенности в выборе произвольных постоянных, входящих< в выбираемые решения, предполагалось, что они удовлетворяют граничным условиям на незагруженной поверхности для линеаризированных задач. Во всех рассмотренных задачах лагранжева система координат в теле до деформации принималась декартовой, прямоугольной. Так как критерии знакоопределенности форм высшего порядка существуют только в частных случаях, вопрос о знакоопределенности функции П решался численными методами. Из соотношений (7), записанных для конкретных видов упругого потенциала, вычисляли значения возмущений, которые подставлялись в (6) и проверялся знак функции П. Эта процедура повторялась для каждого значения удлинения, которые изменялись с выбранным

шагом. Положительность функции П позволяла сделать вывод, что основной процесс деформирования будет устойчив в области возмущений найденной из (7). Соотношение (7) позволяет вычислить конечную цепочку бифуркационных значений, которые используются для нахождения размерности странного аттрактора динамической системы.

На рис. 1,2 приведены графические зависимости, связывающие минимальное значение возмущений (/| = и удлинение д, ,

вдоль оси ОХз, для задачи устойчивости пластины при одноосном на-гружении. На рис. 3,4 показана связь между размерностью странного аттрактора динамической системы и критическим удлинением. Соотношение размеров пластины Ь / Ь = 05 ; А / Ь = \0~3.

рис. 2

рнс.З

Ут 1

9 / —►

6 / /

3 /

-1----------►

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 А,

рис.4

На рисунках 1 и 3 даны графики, связывающие минимальное значение модуля возмущения ¡Г| и размерность странного аттрактора у

с величиной критического удлинения X э зля сжимаемого материала, в

качестве которого выбирался полистирол.

На рисунках 2 и 4 даны графики, связывающие минимальное значение модуля возмущения | £ | и размерность странного аттрактора размерность ут с величиной критического удлинения X 3 для несжимаемого материала, в качестве которого выбиралась резина 2959.

Здесь кривая 1 соответствует потенциалу Мурнагана, кривая 2 -двухконстантному потенциалу, кривая 3 - потенциалу Муни, кривая 4 - потенциалу Трелоара. Области в правой части рисунка соответствуют изгибной форме потери устойчивости, области в левой части соответствуют форме потери устойчивости с образованием шейки. Из приве-

денных графиков для конкретно заданного параметра нагрузки можно найти максимально допустимое Еозмущение, и, наоборот, если известны максимальные возмущения, то можно найти интервал изменения параметра нагрузки, в котором эти значения не будут превышены и для этой совокупности параметров нагрузки и возмущений невозмущенной состояние будет устойчиво. С увеличением параметра нагрузки область допустимых возмущений сужается и вблизи значения, соответствующего точке бифуркации для линеаризированных задач стягивается в точку. Эта точка лежит незначительно выше точки бифуркации, найденной по линеаризированной теории. Полученные характерные графические зависимости позволяют заключить, что явление неустойчивости в исследованных задачах, для рассмотренной области изменения свойств материала и геометрии конструкций, может иметь место при любом отличном от нуля значении параметра нагрузки, если возмущения превысят определенный предел. Размерность странного аттрактора, найденная для всех рассмотренных задач, позволяет дать рекомендации о количестве слагаемых в ряде Бубнова-Галеркина при работе конструкций в различных диапазонах изменения начальных напряжений и деформаций. Для всех рассмотренных задач наблюдается одна и та же картина, что размерность странного аттрактора уменьшается с увеличением параметра нагрузки.

В заключении приведем основные результаты, полученные е диссертации.

1. Развита теория устойчивости нелинейно-упругих сред при наложенных конечных возмущениях для общего Еида упругого потенциала:

- получены уравнения устойчивости по отношению к конечным возмущениям для нелинейно-упругих сред, описанных потенциалами частного вида: Мурнагана и двухконстантным для сжимаемого тела, Муни и Трелоара для несжимаемого тела;

- доказан, для общего вида упругого потенциала, достаточный критерий устойчивости основного состояния нелинейно-упругого тела, основанный на втором методе Ляпунова;

- найдены, для частных еидов упругого потенциала функции, которые при допустимых ограничениях на величины начальных возмущений являются функциями Ляпунова.

2. Исследована устойчивость по отношению к конечным возмущениям нелинейно вязкоупругих тел:

- выведены основные уравнения, описывающие поведение нелинейно вязкоупругих тел, подчиняющихся соотношениям конечной линейной теории и сред дифференциального типа по отношению к наложенным конечным деформациям;

- сформулирован достаточный критерий устойчивости нулевого решения полученных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, основанный на втором методе Ляпунова;

- построены функции, которые, при наложенных ограничениях на Ееличины начальных возмущений и их скоростей, будут являться функциями Ляпунова.

3. Развит подход к исследованию устойчивости стохастически неоднородного нелинейно-упругого тела по отношению к конечным случайным возмущениям, при детерминированных нагрузках:

- получены уравнения, описывающие поведение стохастически неоднородного нелинейно-упругого тела по отношению к конечным случайным возмущениям;

- найдены функции, являющиеся функциями Ляпунова полученных дифференциальных уравнений с учетом случайной неоднородности свойств материала.

4. Исследованы вопросы существования и определения размерности странных аттракторов для нелинейно-упругих и нелинейно еяз-коупругих сред;

- предложен подход к определению размерности странных аттракторов для рассматриваемых нелинейных сред с помощью последовательности бифуркационных значений, найденных из нелинейных уравнений, дающих ограничения на величины начальных возмущений;

- показано, что найденная размерность странных аттракторов, позволяет дать заключение о размерности пространства вложения для динамических систем, а следовательно и решить вопрос о количестве слагаемых в рядах Бубнова-Галеркина для Еозмущений перемещений.

5. Исследован класс задач устойчивости при однородном докри-тическом состоянии в рамках модели нелинейно-упругого тела и для модели нелинейно вязкоупругого тела (пластины, полосы и полуплоскости при одноосном нагружении, круговой пластины при осе-симметричк" ч нагрузке, полого цилиндра при осевом, осесим-метричном нагружении):

- приведены графические зависимости между критическим модулем начальных возмущений и параметром нагрузки;

- обнаружено, что в рассмотренном классе задач и материалов (полистирол, резина 2959) явление неустойчивости возможно при любой отличной от нуля нагрузке, если возмущения превысят определенный предел;

- установлено, что с увеличением параметра нагрузки величина допустимого начального возмущения уменьшается и вблизи точки бифуркации, найденной по линеаризированной теории, обращается в ноль. Таким образом устанавливаются границы применимости трехмерной линеаризированной теории устойчивости;

- получены графические зависимости, связывающие размерность странного апрактора и параметр нагрузки;

- выяснено, что размерность странного апрактора позволяет для каждого значения параметра нагрузки найти размерность фазового пространства динамической системы, а следовательно и оценить количество слагаемых в ряде Бубнова-Галеркина, в который раскладываются возмущения перемещений;

- установлено, что размерность странного аттрактора, для рассмотренных задач, уменьшается с увеличением параметра нагрузки вплоть до величины приблизительно равной трем.

Содержание диссертации отражено в следующих основных публикациях.

1. Качур Н.В., Сумин А.И. Собственные колебания этажерочных кон-

струкций.- В кн.: Сборник статей по вопросам динамики упруго-вязкопластических сред: Тр. НИИМ ВГУ, вып. 8,1973, с. 47-50.

2. Качур Н.В., Сумин А.И. Расчет колебаний точечно-закрепленных упругих пластин с подкреплением.- В кн.: Сборник статей по вопросам механики сплошных сред: Тр. НИИМ ВГУ, вып. 10, 1973, с. 5154.

3. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. Об устойчивости нелинейно вязко-

упругих тел при конечных возмущениях. - В кн.: Сборник статей по волновой динамике: Тр. НИИМ ВГУ, вып. 21, 1975, с. 48-53.

4. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. Устойчивость нелинейно-упругих тел

при конечных возмущениях.- В кн.: Механика деформируемых сред. Куйбышев: Куйбышевский госуниверситет, 1976, с. 108-111.

5. Сумин А.И. К устойчивости нелинейных сред при конечных возму-

щениях.- В кн.: 3-я Всесоюзная школа по механике деформируемого твердого тела, Куйбышев, 1976, с.8.

6. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. Ктеории устойчивости нелинейных сред

при конечных возмущениях.- 5-я Всесоюзная конференция по проблемам устойчивости в строительной механике./Ленишрад, 3-5 февраля 1977 г./: Тез. докл. Центр, правл. НТО строит, индустр.- М.: 1977,с. 121-122.

1. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. К исследованию устойчивости полосы из нелинейно-упругого сжимаемого материала при конечных возмущениях.- В кн.: 4-я Всесоюзная школа по механике деформируемого твердого тела, Куйбышев, 1977, с.11. 8. Сумин А.И. К поверхностной неустойчивости при конечных возмущениях,- В кн.: Механика деформируемого твердого тела: Тез. докл. Всесоюз. школы и конф. молодых ученых, Куйбышев, 1978, с. 77-78.

9. Скаченко А.Н., Спорыхин А.Н., Сумин А.И. К устойчивости упругих тел со случайными неоднородностями при конечных деформациях.-ПММ, 1979, т. 43, N6, с. 1125-1129.

10. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. К устойчивости полосы из нелинейно-упругого материала при конечных начальных деформациях.- ПМ, 1981,т.17,Щс. 135-137.

11. Сумин А.И. К исследованию устойчивости гипоупругих материалов при конечных возмущениях,- В кн.: Механика деформируемых сред. Куйбышев: Куйбышевский госуниверситет, 1981, с. 19-22.

12. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. О новых явлениях в теории устойчивости нелинейных сред при конечных возмущениях.- Докл. АН УСССР, сер А, N3, 1982. с. 46-49.

13. Сумин А.И., Чигарев Ю.В. О возникновении стохастической неустойчивости в нелинейных колебаниях упругих тел.- Сборник статей по математике и механике. ВВВАИУ, Воронеж, 1984, с. 76-83.

14. Сумин А.И. К устойчивости пластины из нелинейно-упругого сжимаемого материала при конечных возмущениях.- Сборник статей по математике и механике. ВВВАИУ, 1986, с. 31-39.

15. Сумин А.И. К устойчивости полого цилиндра из нелинейно-упругого сжимаемого материала при конечных возмущениях.-Сборник статей по математике и механике. ВВВАИУ, 1986, с. 39-44.

16. Медведь НА., Спорыхин А.Н., Сумин А.И. К устойчивости стержней, пластин и оболочек из нелинейно-упругого материала при конечных начальных деформациях.- Деп. в ВИНИТИ 11.02.84, N 7894-84деп., 16 с.

17. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. Поверхностная неустойчивость сплошного цилиндра из несжимаемого нелинейно-упругого материала при конечных начальных деформациях.- В кн.: Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж: Воронежский госуниверситет, 1988, с. 109-112.

18. Поленов В.С., Сумин А.И. К стохастической устойчивости колебаний упругих тел при конечных начальных деформациях.- Сборник статей. ВВВАИУ, вып. 11, Воронеж, 1988, с. 83-85.

19. Качур Н.В., Сумин А.И. К стохастической устойчивости колебаний упругих сжимаемых тел при конечных начальных деформациях. Деп. в ВИНИТИ, 29.06.89,4323-В89,10 с.

20. Сумин А.И. К вопросу об устойчивости нелинейно вязкоупругих тел при конечных начальных деформациях.- В кн.: Современные методы

в 1 сори и краевых задач: Гезисы докладов школы.- Воронеж: ВГУ, 1992. с. 104.

21. Сумин А.И. К исследованию устойчивости нелинейно вязкоупругих тел при конечных начальных деформациях - Проблемы повышения эффективности метеорологического, аэродромнотехнического и инженерно аэродромного обеспечения авиации ВС (тезисы докладов 3-й научно-технической конференции) ВВВАИУ, Воронеж, 1992, с. 26.

22. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. Теория и задачи устойчивости нелинейных сред при наложенных конечных деформациях,- В кн.: Современные проблемы механики и математической физики: Тезисы докладов школы,- Воронеж: ВГУ, 1994, с. 94.

23. Сумин А.И. Некоторые вопросы устойчивости нелинейно вязко-упругих сред при наложенных конечных деформациях,- В кн.: Современные методы в теории краевых задач: Тезисы докладов школы,- Воронеж: ВГУ, 1994, с. 133.

Типография Воронежского ВВАИУ Зак.164. Подписано в печать 3.04.95 г. Формат 60x84/16 Бумага пш. №2. Уч. - шд. л. 1,3.