Устойчивость упругих тел с внутренними напряжениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^^ ^ На правах рукописи

ЧЕРНЕГА НАТАЛЬЯ ЯКОВЛЕВНА

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ТЕЛ С ВНУТРЕННИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1995г.

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор

Зубов Л.М.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук,

профессор

Селезнев М.Г.

кандидат физико-математических нау Моисеенко С.И.

Ведущая организация

Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится « 3 » в часов на заседании диссертационного совета Д 063.52.07 по физ

математическим наукам в Ростовском государственном университете адресу:

344090, г. Ростов-наДону, ул. Зорге 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд.239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Пушкинская 148).

Автореферат разослан «_

Ученый секретарь

диссертационного совета Боев Н.В.

Общая характеристика работы

Цель работы. Постановка и решение задач равновесия и устойчивости шерных нелинейно упругих тел при неоднородной докритической юрмации, обусловленной наличием дислокационных дефектов, а также яедование устойчивости тела, содержащего остаточные напряжения.

Актуальность темы. Как известно, внутренние напряжения ктически всегда присутствуют в элементах конструкций и деталях машин. 1чины их существования различны: необратимые деформации «личность, ползучесть), структурные дефекты в материале, физико-аничсские и технологические процессы, сборка конструкций и т.д. При этом треиние напряжения оказывают такие же воздействия, как и любые другие, могут вызывать деформацию, в значительной мере определять прочностные ластичсские свойства материалов, а также влиять на критические нагрузки : потере устойчивости равновесия. В подавляющей части исследований эйчивости трехмерных упругих тел рассматривается однородное ритическое состояние. Задачи устойчивости при неоднородных ритических состояниях, в том числе задачи о влиянии внутренних ряжений на устойчивость деформируемых тел, изучены недостаточно, данным определяется актуальность темы диссертации.

Научная новизна. 1) В диссертации рассмотрен новый класс задач инейной теории упругости - задачи об устойчивости трехмерных нелинейно угих тел с учетом неоднородных полей внутренних напряжений; [сследована потеря устойчивости цилиндра с дислокацией путем бразования полости;

формулированы краевые условия на оси сплошного цилиндра для исленного решения задачи устойчивости при наличии винтовой ислокации, а также задачи устойчивости при учете остаточных напряжений.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной тановкой задач об устойчивости трехмерных упругих тел, применением эгих математических методов, использованием обусловленных методов ленного анализа, совпадением для некоторых частных случаев найденных ультатов с известными, качественным совпадением результатов, ученных для различных определяющих соотношений упругого тела.

Методика исследования. В работе использован тензорный аппарат яниют сплошной среды полуобратаый и вариационный методы нелинейной

теории упругости, численный метод решения системы нелинейных уравн< Для анализа устойчивости трехмерных упругих тел используется теория м деформаций, наложенных на конечную деформацию. Средствами этой те проводится линеаризация нелинейных уравнений равновесия и грани1 условий в окрестности некоторого известного конечно деформирование напряженного состояния равновесия упругого тела. То есть рассматрива положения равновесия, мало отличающиеся от исследуемого, и определяют значения параметров нагружения, при которых существуют нетривиаш решения линеаризованных уравнений равновесия и краевых уело Линеаризованная краевая задача на собственные значения после раздел переменных решается численно, методом конечных разностей. Програ: вычислений составлены на языке Фортран.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут ( использованы при расчетах прочности и устойчивости элементов конструю содержащих внутренние напряжения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладываи и обсуждались на Всесоюзной конференции "Дни советской науки", сев "Математические методы с приложениями к механике" (г. Тула, 1991г.), i Международной научно-технической конференции "Elastomers" (г. Р 1992г.), на научных семинарах по проблемам механики сплошной сред] Ростовском госуниверситсте.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-5], спи которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введем двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 90 страни содержит 3 рисунка и 7 таблиц. Библиографический список состоит из наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечены важность и актуальность темы исследования, j краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено содержание.

Исследования по трехмерной теории устойчивости в нелинейной теор упругости принадлежат А.И. Лурье, Н.В. Зволинскому, Л.М. Зубо Л.А. Толочонникогу, К.Ф. Черныху. Л.А Балабуху. Л.Н. Гуя*:-, V 1С Hktj.

А. Пальмову, М.Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А.Е. Грину, P.C. Ривлину, Сснсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу, Р.Т. Шилду, 3. Весоловскому и другим ечественным и зарубежным ученым.

Первыми авторами, предложившими уравнения малых деформаций [ругих сред при наличии начальных напряжений, были Саусвелл, Бицено, ;нки, Треффтц, В.В. Новожилов, JI.C. Лейбензон, А.Ю. Ишлииский, Грин, 1влин, Шилд, Пирсон. В указанных работах теория малых деформаций >едварительно напряженных сред рассматривалась преимущественно в (тексте проблемы упругой устойчивости.

Впоследствии трудами А.И. Лурье, Био, Грина, Адкинса, Зерны, эусдслла, Нолла, А.Н. Гузя и др. была разработана общая теория наложения 1лой деформации на конечную.

Первая глава посвящена исследованию влияния внутренних ипряжений, обусловленных винтовой дислокацией, на устойчивость упругого 1линдра.

В первом параграфе полуобратным методом Сен-Венана находится шряженно-деформированное состояние нелинейно упругого сплошного )угового цилиндра, в котором образована винтовая дислокация с длиной жтора Бюргерса 2ка. Свойства материала цилиндра описываются моделью ^сжимаемого тела Бартенева-Хазановича, определяющее соотношение ггорого имеет вид

Т- 2ц рЕ. (1)

Здесь Т - тензор напряжений Коши, g~' - мера деформации Фингера, -р - давление в несжимаемом теле, не определяемое деформацией, Е -шничный тензор, ц. - постоянная материала, совпадающая при малых ^формациях с модулем сдвига.

Деформация, возникающая при образовании в цилиндре винтовой ислокации с вектором Бюргерса Ь, направленным по оси цилиндра и меющим длииу 2жа, описывается соотношениями

R = R(r), Ф=Ф, Z = аф + сг ,

(2)

где г, ф, г и И, Ф, Ъ - цилиндрические координаты точек те соответственно до деформации и после деформации, а и с - постоянные. П этом происходит разрезание цилиндра по линии ф = 0, смещение одне береге разреза относительно другого на вектор Ь и последующее скреплен берегов разреза. Кроме того, цилиндр испытывает осевое растяжение (п] с > 1) или сжатие (при с<1) и неоднородную радиальную деформаци] описываемую функцией К(г). В отличие от линейной теории упругое

величина вектора Бюргерса не предполагается малой, т.е. рассматривают произвольно большие деформации.

Градиент деформации, соответствующий преобразованию (2), имеет вщ

С = К' егек + Иг-1 ефеф + агефк+ екк, Я' = <И1/(1г.

Здесь ег, еф, к и еК, еф, к - ортонормированные векторные базис; цилиндрических лагранжевых и эйлеровых координат. Функция 1Цг

находится в явном виде из условия несжимаемости с1е! С = 1, которо записывается в форме

М^г. (3

В случае, когда боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок выражения напряжений в несжимаемом теле, определяемые из уравнение равновесия, даются формулами

1 +

1/2

сга = 2цс 1п

1 + а2(с(с + с-1/2)^2)"

1 +

+ а2(с(с + с-1/2)2Е02)

а

ф

= 2ц(с + С~Ш)КР + ая - 2[хс

112

а2 = 2^-1с~т(&2 +(с2 + с1/2)сК2)р + ст11 -2цС-"2,

у 2 4-1/2

гф2=2цас"1/2Р,р = а11-2цс-,/2,Р = [а2+(с + с-,/2) сЯ^

есь К0 - радиус деформированного цилиндра. Напряжения, действующие в >бом поперечном сечении цилшщра, приводятся к продольной силе Р и утящему моменту М, которые являются функциями параметров с и а.

Подбором параметра с продолыгую силу Р можно обратить в нуль, [слснный анализ показывает, что при Р = 0 для материала Бартенева-□ановича в случае сплошного цилиндра любому значению а соответствует ачение с < 1. В таблице 1 приведены значения осевого сжатия в зависимости длины вектора Бюргерса.

блица 1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 од

0,9996 0,9988 0,9974 0,9956 0,9935 0,9910 0,9882 0,9851 0,9817 0,9780

Здесь а = а/г0, г0 - радиус цилиндра до деформации, ким образом, при отсутствии продольной силы образование дислокации иводит к осевому сжатию сплошного цилиндра.

Аналогично определяется напряженно-деформированное состояние лого цилиндра из материала Бартенева-Хазановича, которое создается личием винтовой дислокации и сжатием (растяжением) в осевом правлении. Как и в случае сплошного цилиндра полый цилиндр при осевом виге в условиях отсутствия продольной силы сжимается в осевом правлении.

Второй параграф посвящен изучению потери устойчивости сплошного линдра, содержащего винтовую дислокацию, путем образования полости в м. В задачах о равновесии сплошного цилиндра обычно полагают, что после формации цилиндр остается сплошным, т.е. R(0) = 0, что вместе с (3) дает

= с-. Решения такого рода называются "регулярными". Но постановка угого краевого условия на оси цилиндра приводит в ряде случаев к явлению "сингулярного" решения, т.е. решения, сопровождающегося

нарушением сплошности среды и образованием цилиндрической полости вдол} оси дефекта в деформированном теле. В качестве модели нелинейно-упругогс тела выбирается несжимаемый материал с упругим потенциалом Бартенева-Хазановича, определяющее соотношение которого имеет вид (1), а также материал с трехконстантным упругим потенциалом

и' - мл_1[(1+р)(* ип - 3)+(1 - р)(и хгп- з)], и = С1/2, п>0.

где в - мера деформации Коши - Грина.

Деформация, возникающая при образовании в цилиндре винтовой дислокации, описывается соотношениями (2).

Для материала Бартенева-Хазановича, в случае, когда коэффициент изменения длины С равен единице, выведено соотношение, позволяющее определять радиус образующейся полости в зависимости от параметра дислокации. Анализ этого соотношения показал, что в достаточно широком интервале изменения параметра дислокации а с большой степенью точности можно считать

11(0) = ка. (6)

Проведенные расчеты показывают, что аналогичная картина имеет место и в случае, когда цилиндр меняет свою длину (с Ф 1). При этом в широком

диапазоне изменения параметров задачи зависимость вида (6) сохраняется. Коэффициент пропорциональности к в (6) является функцией параметра сжатия С. Некоторые значения этой функции приведены в таблице 2, согласно которой осевое сжатие приводит к увеличению радиуса полости.

Таблица 2

С 1 0,9 0,8 0,7

к 0,231 0,246 0,262 0,279

Таким образом, при использовании модели материала Бартенева-Хазановича задача о равновесии нелинейно - упругого ци.тиняпз с винтовой

дислокацией имеет два решения: "регулярное" - когда деформированный цилиндр остается сплошным, и "сингулярное" - когда в деформированном состоянии вокруг оси дислокации образуется полость. Для определения предпочтительности этих решений проведено сравнение упругих энергий цилиндра, им соответствующих. Расчеты показали, что упругая энергия цилиндра с полостью (при 0,001<а<0,1) на 5-10% меньше энергии сплошного цилиндра. Это означает, что хотя различие между этими энергиями невелико, образование полости является энергетически выгодным, а "регулярное" решение в задаче равновесия цилиндра с винтовой дислокацией является неустойчивым по отношению к конечным разрывным возмущениям.

При рассмотрении упругого потенциала в форме (5) выделен класс материалов, для которых возможно возникновение полости. Для частного злучая из этого класса - материала с потенциалом К.Ф. Черныха и ИМ. Шубиной - исследована зависимость радиуса возникающей в сплошном цилиндре полости от параметра дислокации. Для этого материала сохраняется зависимость вида (6). При этом коэффициент пропорциональности к является функцией параметра материала р. Некоторые значения этой функции приведены в таблице 3.

Таблица 3

р 1 0,95 0,5 0

к 0,231 0,241 0,306 0,354

Наличие в теле дислокаций является одной из причин возникновения шутренних напряжений при отсутствии внешних нагрузок. В третьем гараграфе изучены пространственные формы потери устойчивости кругового /пругого цилиндра, содержащего винтовую дислокацию и сжатого продольной ;илой. Рассмотрены случаи сплошного и полого цилиндров. При исследовании остойчивости используется статический метод Эйлера для консервативных эдач, при котором за критерий неустойчивости принято существование ¡авновесной конфигурации тела, бесконечно близкой к исходной при одних и ех же внешних силах. Получены уравнения нейтрального равновесия сплошного и полого цилиндров из материала Бартенева-Хазановича. При их 1Ыводе используется теория малых деформаций, наложенных на конечную. Также получены линеаризованные граничные условия на боковой поверхности

сплошного цилиндра и на внутренней и внешней боковых поверхностях полого цилиндра.

Смежное равновесное состояние, отличающееся от первоначального на добавочную малую деформацию, определяется радиусом-вектором частицы И+ Т| \У, где Л - радиус-вектор в докритическом состоянии, W - вектор добавочного перемещения, т] - малый параметр.

Возмущенное состояние равновесия несжимаемого тела описывается уравнениями

Div© - 0, © = Г-(Grad W)T Т,

(7)

DivW = 0, Т' =

Ldn

T(R+ r|W)

4=0

Здесь Grad и Div- операторы градиента и дивергенции в докритическом состоянии тела, © - линеаризованный тензор напряжений Пиолы.

Так как рассматривается цилиндр со свободной боковой поверхностью, то граничные условия для уравнений (7) записываются так

eR-© = 0 при R = R0- (8)

Для несжимаемого материала Бартенева-Хазановича выражение тензора © (7), с учетом (1), преобразуется к виду

© = 2^(g-,/2)* + р' Е- (Grad W)T • Т . (9)

Точкой сверху здесь обозначаются линейные приращения, обусловленные наложением добавочных перемещений.

Запишем компонентное представление вектора перемещений W и тензора © в базисе цилиндрических координат eR, еф, к начального напряженного состояния тела

XV = иея + уеф+\ук, © = еккекек + 911фекеф+"- .

Тогда в цилиндрических координатах уравнения нейтрального равновесия (7) и граничные условия (8) будут следующими

еы я я а® ж '

Ж К Я ЭФ ж

ж иг , ^яг | 1 , _0 . Ж К Я 5Ф Ж

0№=0КФ=0К2=О при (11)

Условие несжимаемости записывается в форме

да и 1 дч Э\у л

— + —+--+ — = 0. (12)

ж я ыаФ ж

Представление компонент тензора © через составляющие вектора теремещений W для сплошного цилиндра найдем из (9).

Подставив выражения компонент тензора © в уравнения (10), получим ;истему четырех уравнений (10), (12) для четырех функций и, v, q. Полученная система уравнений допускает решения вида

и = и(Ы) софФ + с«г), V = У(И) яп(пФ + ой),

= W(R) вш(пФ +а2), ц = 0(К) соэ(пФ + а£).

Здесь n = 0,1,2,3,...; а - действительное число. При таком допущении компоненты тензора © Orr, 0ф2, бфф, 9Z(I) будут произведениями функций от координаты R на сой(пФ + ocZ). Остальные компоненты тензора <Э будут произведениями функций от R на 8т(пФ + aZ). Поэтому в

уравнениях (10), (12) и граничных условиях (11) переменные Ф и Z отделяются и возникает краевая задача для системы четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными U, V, W, Q.

Четвертый параграф первой главы посвящен формулировке краевых условий на оси сплошного цилиндра для численного решения задачи устойчивости сжатого цилиндра с дислокацией. При этом используется требование ограниченности решения в нуле. Граничные условия имеют вид: при п = О

U(0) = V(0) = 0, 2|a|_1W'(0)-aQ(0) = 0; (14)

при п = 1

U(0) + V(0) = 0, 2ос2 |a|U(0) + cV2V'(0) + aW(0) = 0,

(15)

W'(0) + 0,5шГ1/2(-2 + оса + а2а2)и(0) = 0;

при П > 1

U(0) = V(0) = Q(0) = 0. (16)

Определение бифуркационных параметров приводит к линейной однородной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В пятом параграфе приводится конечно-разностный метод решения задачи. С его помощью решены задачи об устойчивости равновесия сплошного и полого круговых цилиндров, содержащих винтовую дислокацию и сжатых вдоль оси.

Исследовано влияние дислокации на критическую нагрузку при сжатии цилиндра. Также изучены случаи потери устойчивости, происходящей только за счет внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокации, без приложения сжимающей силы. Рассмотрены случаи сплошного и полого цилиндров. Результаты проведенного численного анализа рассматриваемых задач оформлены в виде графиков.

Ьо

У

0,3 0,1

А

№ \ \ /1 ш

ТУ/ f

у/Уор^

440,1

о

0,1 о,л

0,3 я?

ФИГ. 1

Зависимость критического значения безразмерной сжимающей силы

=рД4яцг02| от относительной толщины сплошного цилиндра а = аг„

ля различных значений параметра а при П = 1 представлена на фиг.1. [аличие в цилиндре дислокации уменьшает величину критической сжимающей илы при потере устойчивости.

Критическое соотношение между параметрами а и а для сплошного илиндра в случае отсутствия продольной силы показано на фиг.2.

£ 15 1,0 0,5

\ ^

П-Л у

О 0,5 10 15 2,0

ФИГ. 2

На фиг.З изображена зависимость критической длины вектора Бюргерса от длины цилиндра при различных значениях п в случае полого цилиндра с отношением — 0,5, где г,,г0 - соответственно внутренний и внешний

радиусы цилиндра до деформации. При этом осевая нагрузка отсутствует.

Другим примером тела, содержащего внутренние напряжения при отсутствии внешних нагрузок, может служить цилиндр с остаточными напряжениями. Во второй главе в точной трехмерной постановке исследована задача устойчивости кругового цилиндра, нагруженного осевой силой, с учетом остаточных напряжений, возникших после разгрузки из упруго - пластического состояния, обусловленного кручением цилиндра.

В шестом параграфе рассматривается сплошной круговой цилиндр из идеально - пластического изотропного материала, подвергнутый кручению

ФИГ.З

гупшдам моментом М. Положение точки цилиндра задается шщдрическими координатами . Предполагается, что величина

)утящего момента достаточна для появления пластической зоны , < И. К0 в каждом сечении цилиндра. Здесь - радиус цилиндра, 1?.8 -диус упругого ядра. Далее приводится поле остаточных касательных лряжений %гд,, возникающих после разгрузки, то есть снятия внешнего эмента М. Все остальные компоненты напряжений равны нулю как при ¡йствии крутящего момента, так и после его снятия.

После снятия крутящей нагрузки цилиндр сжимается осевой силой Р. вызывающей равномерно распределенное нормальное напряжение

oz = -P/(*R*).

В дальнейшем изучается влияние остаточных напряжений не

критические значения силы Р при потере устойчивости сжатого цилиндра.

При этом предполагается, что малые деформации, накладываемые на описанное выше напряженное состояние цилиндра, являются упругими.

Для вывода уравнений нейтрального равновесия и граничных условий для цилиндра с остаточными напряжениями в седьмом параграфе используется функционал Треффтца

n=JJ|AdV, (17]

где потенциальная энергия деформации А предварительно напряженного тела берется в форме

А = 0,5*. tr2е tre2 + 0,5tr((Grad W)T • Т- Grad w) . (18)

Здесь e = - линейный тензор деформации, Grad -

оператор градиента в докритическом состоянии тела, V - объем тела в докритическом состоянии, W - вектор добавочного перемещения, -

постоянные Ламе, Т - тензор начальных напряжений, определяемый по формуле

Т = т2ф (кеф+ефк)+ctz kk.

Последнее слагаемое в (18) обусловлено наличием начальных напряжений. Составляющие вектора перемещения будем искать в виде, аналогичном §3:

и = ЦК) сое(пФ + а2), v = У(Я) эЦпФ + ой),

\у = \У(К)8т(пФ + сг).

Уравнения нейтрального равновесия и граничные условия на боковой поверхности в задаче устойчивости цилиндра выводятся из вариационного принципа

8П(\У) = 0. (20)

Также из вариационного принципа получаются два граничных условия на оси цилиндра.

и(о)+пУ(о) = о,

(21)

пи(о)+у(о)=о.

/словия в нуле при П = 1 сводятся к уравнению

и(0) + У(0) = 0, (22)

фи п Ф1 к уравнениям

11(0) = У(0) = 0. (23)

Так как необходимо иметь три граничных условия в точке И = 0, нужно юлучить еще одно граничное условие в точке И = 0 для п Ф1 и два раничных условия для П = 1. Для получения недостающих граничных условий спользуется метод, аналогичный §4. Граничные условия имеют вид: ри П = 0

Ц0) = У(0) = 0, \У'(0) = 0; (24)

при П = 1

и(0) + У(0) = 0, w(o) = o,

и'(0) = У(0) = 0;

при П > 1

и(0) = У(0) = ■№(()) = 0. (26)

При п = 1 можно взять любые три из четырех условий (25). Соотношения (24)-(26) представляют искомые граничные условия на оси цилиндра. Видно, что граничные условия в нуле, полученные из требования ограниченности решения в точке И. = 0, не противоречат условиям (22), (23) при К = 0 , вытекающим из вариационного принципа, но дополняют их до необходимого количества.

В восьмом параграфе приводится численный метод решения задачи об устойчивости упругого цилиндра с остаточными напряжениями.

Поставленная выше задача решалась при следующих данных. Крутящий момент М задается в пределах от М0 до М,, где М0 = 0,5тсгЕ1Кд - момент, соответствующий первому появлению пластических деформаций (при этом 2

= К0), М, = — 7!:твК.0 - предельный скручивающий момент, при котором

все сечение охвачено пластическими деформациями (Ы8=0), т5 - предел текучести при чистом сдвиге.

В таблице 4 приведены результаты расчета критического значения

безразмерной сжимающей силы Р = Р • 102/тсрК^ = ст2 -102/ц в зависимости

от величины обезразмеренного крутящего момента = МК.0/|Др, после

снятия которого возникают остаточные напряжения т2ф. Здесь 1р - полярный

момент инерции сечения цилиндра.

Расчеты проводятся для следующих значений. Коэффициент Пуассона V = 0,3, П —1, значение отношения предела текучести к модулю упругости

т,/ц = 0,5.

Таблица 4

а м=о М =1,1677, Й, = 0,7937 М = 1,25т, = 0,6300 М = 1,329т8 = 0,2321

0,5 13,21088 13,18567 13,14896 13,08105

0,25 3,822670 3,817981 3,810809 3,795410

0,1 0,6290881 0,6285550 0,6278080 0,6258745

?десь через а = аК0 обозначена относительная толщина цилиндра,

Расчеты выполнены также для других значений Результаты расчетов видетельствуют о том, что в данной задаче влияние остаточных напряжений [а критическую нагрузку незначительно.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации, состоят в следующем:

. В точной постановке пространственной теории упругости решена задача об устойчивости сжатого кругового цилиндра, содержащего винтовую дислокацию. Установлено дестабилизирующее влияние внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокации.

. Исследована потеря устойчивости упругого сплошного цилиндра с винтовой дислокацией, состоящая в переходе к форме равновесия, характеризующейся образованием цилиндрической полости вокруг оси дислокации. Даны постановка и решение задачи устойчивости цилиндра при осевом сжатии с учетом остаточных напряжений, возникающих после снятия крутящего момента, создающего упруго-пластическое состояние кручения. Показано, что остаточные касательные напряжения в данной задаче незначительно влияют на критические значения сжимающей нагрузки.

Основиые результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Еремеев В.А., Зубов Л.М., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Образовали полостей в нелинейно - упругих телах с дислокациями и дисклинациями // ДА11 1992. Т. 326. № 6. С. 968-971.

2. Еремеев В.А., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Сингулярные решени нелинейной теории упругости // Вопросы физики и механики материалов / По, ред. В.А. Лихачева. Новгород. 1992. С. 57-68.

3. Зубов Л.М., Чернега Н.Я. О влиянии винтовой дислокации на устойчивосп упругого цилиндра // Фундаментальные и прикладные проблемы механик! деформируемых сред и конструкций: Программа Государственного Комитет! РФ по высшему образованию. Научные труды / Н. Новгород: Изд-в( Нижегородского ун-та, 1995. Вып. 2. С. 178-186.

4. Карякин М.И., Чернега Н.Я. Об использовании определяющих cooTHOiuemii высокоэластичных материалов в теории упругих моделей дефектов структуры / Тсзисы докладов шестой международной научно- технической конференцш "Elastomers", Рига, 4-6.02.92. Рига: Рижский технический университет, 1992. С 91-92.

5. Чернега Н.Я. О влиянии остаточных напряжений на устойчивость упруго« цилиндра. Ростов-на-Дону, 1997.12 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.01.97, № 92-В97.

Ш- РТУ.З^к.260,21.09. У8.Т-Ю0

) п

7 Ч

# / ¿ги

* / /

ростовский государственный университет

На правах рукописи

чернега наталья яковлевна

устойчивость упругих тел с внутренними напряжениями

01.02.04-МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор

зубов л.м.

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1998г.

ВВЕДЕНИЕ

До появления новых искусственных материалов поведение реальных конструкций описывалось преимущественно линейными теориями. Это объяснялось тем, что деформации конструкций, изготовленных из большинства применяемых тогда материалов, в широком диапазоне нагрузок были пренебрежимо малы. Уравнения состояния для этих материалов при малых деформациях и установившихся однородных температурах также можно было считать линейными.

Использование начиная с середины нашего века во многих отраслях производства новых материалов, поведение которых уже нельзя описать классическими линейными теориями, вызвало в последние десятилетия интенсивное развитие нелинейной теории упругости.

Закритическое поведение гибких конструкций, использование сильно деформируемых надувных конструкций, нелинейное поведение полимеров и синтетических материалов, неразрушающие методы контроля прочности и несущей способности элементов конструкций и механизмов [14], проблемы безаварийного функционирования горных выработок [10], устойчивость при больших (конечных) деформациях, учет влияния начальных напряжений, невозможный в линейной теории упругости [9] - вот лишь некоторые области исследования,

которые стимулировали интерес к нелинейной механике твердого тела.

Одним из основных и наиболее распространенных методов, используемых для решения нелинейных задач при больших (конечных) деформациях, является полуобратный метод [8,53]. На первом этапе этого метода задаются предполагаемым видом деформации, осуществляющей преобразование отсчетной (недеформированной) конфигурации в актуальную и содержащей подлежащие определению функции материальных координат. Затем, по этому заданию определяется выражение меры деформации, а по ней, используя уравнение состояния материала, тензор напряжения. Далее, по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределение массовых и поверхностных сип, допускаемое предположенным заданием вектора места в актуальной конфигурации. Часто принимают, что напряженное состояние создается поверхностными силами, а влияние массовых несущественно. На определенные таким образом поверхностные силы накладывается требование соответствия условиям задачи и из этих требований определяются неизвестные функции материальных координат, входящие в представление деформации.

Наиболее успешны достижения нелинейной теории упругости в исследованиях несжимаемого (резиноподобного) материала. Внимание к несжимаемым материалам объясняется тем, что для них существует довольно богатый набор деформаций, принадлежащих к классу универсальных. Это такие деформации, которые можно осуществить в состоянии равновесия без приложения массовых сил в

любом несжимаемом однородном теле, т.е. независимо от конкретного задания функции удельной потенциальной энергии. Поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой деформации, выражаются только через эту функцию.

Уравнения, к которым приводят нелинейные теории поведения материалов и конструкций, могут быть решены точно лишь для некоторых частных случаев. Причем, в основном, они относятся лишь к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях. Поэтому число точных решений нелинейных задач сравнительно невелико. Как правило, для получения результатов конкретного характера на различных этапах исследования нелинейных задач необходимо привлекать численные методы.

При рассмотрении конечных деформаций толстостенных конструкций обычно необходим анализ их устойчивости. За два века изучения устойчивости равновесия только недавно стало ясно, что потеря устойчивости не связана лишь только с тонкостенными телами, но имеет место и в толстостенных конструкциях. При достаточно больших деформациях даже неограниченная среда может стать неустойчивой [56]. Упругая неустойчивость может возникнуть и при наличии чисто растягивающих нагрузок [30,70].

Исследования по трехмерной теории устойчивости в нелинейной теории упругости принадлежат А.И. Лурье, Н.В. Зволинскому, Л.М. Зубову, JI.A. Толоконникову, К.Ф. Черныху, Л.А. Балабуху, А.Н. Гузю, У.К. Нигулу, В.А. Пальмову, М.Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А.Е. Грину, P.C. Ривлину, Ч. Сенсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу,

Р.Т. Шилду, 3. Весоловскому и другим отечественным и зарубежным ученым.

Важным разделом нелинейной теории упругости является теория малых деформаций, наложенных на конечную деформацию. Средствами этой теории проводится линеаризация нелинейных уравнений равновесия и граничных условий в окрестности некоторого известного конечно деформированного и напряженного состояния равновесия упругого тела. Полученная в результате линейная краевая задача описывает малую деформацию предварительно напряженного и деформированного тела.

Одним из основных назначений линеаризованной теории равновесия является исследование устойчивости трехмерных упругих тел. При консервативных внешних нагрузках изучение устойчивости равновесия можно проводить путем поиска смежных с исследуемой на устойчивость форм равновесия, существующих при тех же внешних силах, т.е. путем определения точек бифуркации (ветвления) равновесия.

Возникшая после линеаризации однородная краевая задача может иметь нетривиальные решения при некоторых значениях параметров нагружения, определяющих начальное деформированное состояние и входящих в линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия. Исследуемое равновесие в этом случае называется нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными). Если тело находится в состоянии нейтрального равновесия, то оно может быть переведено в смежное положение равновесия сколь угодно малой добавкой к некоторому параметру,

характеризующему либо нагрузку, либо деформацию. В случае консервативных внешних сил отсутствие смежных форм равновесия гарантирует устойчивость данного состояния равновесия, по крайней мере, в малом.

Важно отметить, что необходимость привлечения трехмерных уравнений нелинейной теории упругости при исследовании устойчивости равновесия не обязательно связана с большими докритическими деформациями материальных тел. Трехмерный подход к проблеме устойчивости деформируемых сред незаменим в случае неоднородных тел (композиты, горные породы и др.), а также в случаях, когда поле напряжений в докритическом состоянии существенно неоднородно.

Первыми авторами, предложившими уравнения малых деформаций упругих сред при наличии начальных напряжений, были Саусвелл [66], Бицено и Генки [55], Треффтц [67], В.В. Новожилов [46], Л.С. Лейбензон [41], А.Ю. Ишлинский [34], Грин, Ривлин и Шилд [60], Пирсон [64]. В указанных работах теория малых деформаций предварительно напряженных сред рассматривалась преимущественно в контексте проблемы упругой устойчивости.

Впоследствии трудами А.И. Лурье [42-45], Био [57,58], Грина и Адкинса [8], А.Е. Грина и В. Зерны [62], К. Трусделла и В. Нолла [68], А.Н. Гузя [10-13] и др. была разработана общая теория наложения малой деформации на конечную, т.е. были получены линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия для произвольного нелинейно упругого материала при любом начальном состоянии равновесия.

Метод наложения малой деформации на конечную с успехом применялся многими авторами для решения конкретных задач устойчивости предварительно напряженных тел. Первые попытки рассмотреть устойчивость толстостенных тел были предприняты Саусвеллом [66] и Бицено и Генки [55]. Грином, Ривлином, Шилдом в работе [60] были впервые получены уравнения трехмерной теории упругой устойчивости при конечных докритических деформациях в общей постановке путем линеаризации. В этой работе, которая явилась основой для дальнейших исследований, приведены основные уравнения и граничные условия для случая произвольных (конечных) начальных деформаций. Причем рассмотрены как сжимаемые, так и несжимаемые материалы. В [60] линеаризованная теория упругости при конечных начальных деформациях получила название "теории малых деформаций, наложенных на конечные деформации". Е. Уилкс [71] рассмотрел устойчивость полого и сплошного цилиндров при осевом сжатии для изотропного тела с произвольной формой упругого потенциала. Примеры в [71] приведены для неогуковского тела. Исследование выполнено для осесимметричной и неосесимметричной задач. В работе В.Л. Бидермана [2] рассмотрена стержневая форма потери устойчивости для неогуковского тела. В работе Ч. Сенеенига [65] для тела с потенциалом гармонического типа получены уравнения нейтрального равновесия в задаче о сжатом продольной силой цилиндре и сфере, сжатой распределенным по ее поверхности давлением. Грином, Спенсером [61] исследована задача об устойчивости изотропного кругового цилиндра при неоднородном докритическом состоянии: конечное кручение и осевая нагрузка.

Авторами получены уравнения нейтрального равновесия для произвольного несжимаемого материала. Характеристическое уравнение, служащее для определения критических значений параметра нагружения в случае стержневой формы потери устойчивости, получено в явном виде для неогуковского материала. В работах [30-32] вывод уравнений равновесия также осуществляется средствами теории наложения малой деформации на конечную. В работе [30] получены достаточные признаки устойчивости и неустойчивости однородной плоской деформации растянутого нелинейно - упругого прямоугольного бруса. Материал бруса считается однородным, изотропным и несжимаемым. В работе [32] построены однородные решения линеаризованных уравнений равновесия предварительно напряженной упругой плиты из произвольного изотропного несжимаемого материала. Эти решения удовлетворяют краевым условиям на незагруженных торцевых гранях плиты и позволяют в точной трехмерной постановке исследовать устойчивость плиты при любых граничных условиях на боковой поверхности. Предполагается, что начальная деформация однородна и вызвана равномерным давлением, приложенным к боковой поверхности плиты. Рассмотрены два случая: наложение на исходное состояние малого изгиба (антисимметричная задача) и малого растяжения или сжатия (симметричная задача). В этой работе также рассмотрена осесимметричная бифуркация равновесия круглой плиты с незакрепленным краем при действии на боковой поверхности равномерно распределенной "мертвой" нагрузки. Расчет критической нагрузки и формы потери устойчивости выполнен для материала,

описываемого моделью Бартенева-Хазановича. В работе [31] исследуется устойчивость равновесия сжатого прямоугольного бруса из несжимаемого изотропного упругого материала, подчиняющегося условию Адамара. Обнаружена качественная зависимость поведения бруса от принадлежности материала к одному из трех классов, условно названных материалами малой, умеренной и повышенной жесткости. Неоднородное начальное напряженное состояние рассматривается, в частности, в [27], где в трехмерной постановке исследуется бифуркация равновесия сплошного кругового цилиндра при совместном действии кручения и сжатия (растяжения). Рассматривается изотропный несжимаемый упругий материал общего вида. Докритическое состояние определяется из точного решения задачи о кручении при конечных деформациях. Рассмотрен класс решений уравнений нейтрального равновесия, для которого задача устойчивости приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти решения позволяют удовлетворить в интегральном смысле некоторым физически содержательным краевым условиям на торцах цилиндра. Для определения критических параметров применяется численный метод решения указанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные результаты получены для неогуковского материала.

Отметим, что подавляющая часть работ посвящена исследованию устойчивости трехмерных тел с однородным докритическим напряженным состоянием. В то же время значительный интерес представляют задачи устойчивости трехмерных

нелинейно упругих тел с учетом неоднородных полей внутренних напряжений.

Внутренние напряжения могут иметь различную природу. В частности, они могут быть обусловлены структурными дефектами в материале. В последнее время в механике твердого тела все чаще используются дислокации Вольтерра, которые представляют собой математическую модель линейных (одномерных) дефектов кристаллической структуры твердых тел. Эти дефекты в значительной мере определяют прочностные и пластические свойства материалов, могут влиять на критические нагрузки при потере устойчивости равновесия. В общем случае дислокация Вольтерра состоит из дислокации трансляционного типа и дисклинации.

В рамках линейной теории упругости основные положения математической теории дислокаций и дисклинаций были сформулированы Вольтерра, Вейнгартеном и Сомильяна в начале века. Современное состояние линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций и дисклинаций отражено в работах Эшелби [54], Де Вита [5], Теодосиу [49], Владимирова и Романова [6] и др.

Нелинейная теория дислокаций достаточно хорошо развита только в чисто континуальном варианте, т.е. в случае непрерывно распределенных дефектов. Эта теория, основанная на аппарате дифференциальной геометрии, создана Кренером [39], Кондо, Билби и др. Значительный вклад в нелинейную континуальную теорию дислокаций внесли Кунин [40], Бердичевский и Седов [1], Вакуленко

Значительно слабее развита нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций, актуальность которой обусловлена многими причинами. В самом деле, в рамках линейной теории упругости напряжения и деформации имеют сингулярность на оси изолированного дефекта, т.е. неограниченно возрастают при приближении к оси дислокации или дисклинации, что противоречит

_____и ^ _ _ __1 и

допущениям линеинои теории упругости о малости деформации. Поэтому, поскольку вблизи оси дефекта деформации велики, в этой зоне целесообразно применить теорию конечных деформаций. Можно предположить, что нелинейный подход даст более точную картину распределения напряжений и деформаций вблизи оси дефекта по сравнению с линейной теорией и позволит более реалистично оценить искажение кристаллической решетки вблизи дислокации. Кроме того, во многих реальных случаях параметры изолированного дефекта -длина вектора Бюргерса и вектора Франка - не являются малыми, что исключает применение соотношений линейной теории упругости.

Основные положения и методы решения задач нелинейной теории изолированных дислокаций и дисклинаций разработаны в [1618,20,23,24,26,28,29, 33,35,36,51]. В [20,23] получено обобщение теоремы Вейнгартена на случай больших деформаций. Это позволило перенести на нелинейную теорию упругости понятие дислокации Вольтерра (или изолированного дефекта). Как и в линейной теории упругости, изолированный дефект нелинейно-упругой среды характеризуется двумя векторными параметрами: вектором Бюргерса и вектором Франка. В [26] исследованы дислокации Вольтерра в плоской нелинейной теории упругости. Также здесь получено

доказательство теоремы Вейнгартена для плоской конечной деформации, независимое от доказательства, найденного в [20,23] для пространственного случая.

В [18,23,26,35] найден ряд точных решений задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации в строгой нелинейной постановке. Установлено, что учет нелинейности качественно меняет поле напряжений и деформаций вблизи оси дефекта. Во многих случаях нелинейный подход устраняет сингулярность напряжений на оси дислокации или дисклинации, которая присуща линейной теории упругости. В то же время показано, что поведение напряжений при приближении к оси дефекта существенно зависит от выбора модели упругого материала. Так, например, модель неогуковского материала не позволяет исследовать равновесие и устойчивость сплошного цилиндра с винтовой дислокацией при сжатии продольной силой из-за сильной сингулярности напряжений на оси цилиндра, приводящей к бесконечной энергии и бесконечно большому значению продольной силы. В данной диссертации такое исследование проведено для модели материала Бартенева-Хазановича.

Также при использовании нелинейной теории упругости установлено, что энергия винтовой дислокации, приходящаяся на единицу дли