Устойчивость равновесия горных выработок в реологически сложных массивах с пористой структурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

13455

ГОЦЕВ ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК В РЕОЛОГИЧЕСКИ СЛОЖНЫХ МАССИВАХ С ПОРИСТОЙ

СТРУКТУРОЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 8 НОЯ 2010

Воронеж 2010

004613455

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Спорыхин Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ревуженко Александр Филиппович

доктор физико-математических наук, профессор Хромов Александр Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор Чернышев Александр Данилович

Ведущая организация Воронежский государственный архитектурно-

строительный университет

Защита состоится 23 ноября 2010 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете, адрес: 394000, г. Воронеж, Университетская пл. 1, тел. (4732) 208-322

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «21 » « октября » 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Махортов С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке подходов и методов решения трехмерных задач устойчивости механики деформируемых тел с усложненными свойствами, постановке и решению в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости (ТЛТУ) деформируемых тел классов задач механики горных пород с учетом пористой структуры материалов при неоднородных докритиче-ских состояниях для различных моделей сред.

Актуальность темы обусловлена возможностью применения результатов полученных в точной трехмерной постановке в мероприятиях по проведению глубоких горных выработок различной конфигурации и глубоких подземных резервуаров - хранилищ нефти и газа; созданию безопасных условий труда, получение с большей степенью точности критических параметров рассмотренных задач, что, в свою очередь, дает возможность оценить погрешность и определить область примененеия результатов, найденных с помощью приближенных теорий.

Решение вопроса устойчивости состояния равновесия массива горных пород возле выработок остается актуальной задачей в течение последних 40 лет. Основоположником этого направления является Л. В. Ершов, первая статья которого «О постановке задачи устойчивости горных выработок» в этом направлении была опубликована в 1962 г. Дальнейшие исследования вопросов устойчивости равновесия в задачах геомеханики нашли свое отражение в работах М.Т. Алимжанова, Ж.С. Ержанова, М.Д. Исхакова и др. Впервые линеаризированную теорию устойчивости деформируемых тел применил к исследованию плоских задач о складкообразовании М. Biot. А. Н. Гузь впервые для задач устойчивости механики горных пород предложил использовать трехмерную линеаризированную теорию устойчивости и разработал общий метод решения таких задач на основе вариационных принципов. Этот подход в дальнейшем получил широкое развитие в работах Ж.С. Акопяна, Ф.С. Асамидинова, И.Ю. Бабича, Г.Н. Баклановой, Л.В. Деригла-зова, А.К. Егорова, Г.Г. Кулиева, С.Б. Лобовика,А.В. Навояна, В.М Назаренко, А.Н. Спорыхина, A.C. Чеботарева, А.И. Шашкина А.И. и других авторов.

Теоретический анализ и практика эксплуатации горных выработок, как отмечено в работах Алимжанова М.Т., Динника А.Н. показывают, что применение упругого (как изотропного, так и анизотропного) тела в качестве модели массива горных пород не отражает реальную картину процессов проходящих вблизи глубоких выработок. Это обусловлено тем, что напряжения, соответствующие критическому состоянию породы вокруг выработки на средних и больших глубинах во много раз превышают предел прочности горной породы. В связи с этим материал массива в приконтурной области перейдет в неупругое состояние раньше, чем произойдет его локальная потеря устойчивости. В работе Алимжанова М.Т. отмечается, что наиболее достоверные результаты исследования устойчивости горных выработок получаются при привлечении более сложных моделей, как наиболее полно отражающих реальное поведение горных пород. С этой точки зрения использование моделей сложных сред, в которых учитываются такие свойства, как пористость, пластичность, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных материалов, не могут не представлять существенный научный и практический интерес. Это направление интенсивно развивалось в работах A.A. Буренина, Г.И. Быковцева, Д. Драккера, М.И. Ерхова, В.Г. Зубчанинова, Д.Д. Ивлева, A.A.

Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Е.В. Ломакина, Ю.М. Меснянкина, Ю.В. Неми-ровского, В. Прагера, Ю.Н. Радаева, А.Ф. Ревуженко, А.Н. Спорыхина, A.C. Чеботарева, А.И. Хромова, И.Ю. Цвелодуба, Е.И. Шемякина, А.И Шашкина, S. Zahor-ski и других авторов.

С другой стороны, формулировка постановок задач, не пренебрегающих хотя бы основными факторами исследуемого процесса также имеет первостепенное значение.

Однако использование уточненных постановок и усложненных моделей сред, как наиболее полно описывающих поведение реальных тел, влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения.

В связи с этим целями настоящей работы являются

1) развитие ТЛТУ пористых сред, обладающих различными реологическими свойствами (упругость, пластичность, упрочнение, вязкость), при малых докритиче-ских деформациях;

2) создание математической модели сплошной среды учитывающей пористую структуру материала и сложные реологические свойства (упруго-пластические и упруго-вязко-пластические) сжатого скелета;

3) аналитическое исследование напряженно-деформированного докритического состояния подкрепленных вертикальных и горизонтальных выработок, а также подземных полостей сферической формы для указанных моделей сред;

4) разработка методов решения и решение класса задач устойчивости подкрепленных подземных сооружений при неоднородных докритических состояниях для различных моделей сред;

5) проведенеие теоретического и численного анализа полученных решений и выявление характерных эффектов и явлений.

Научная новизна.

- Разработана математическая модель сплошной среды для описания физико-механических свойств тел, имеющих пористую структуру, сжатый скелет которой обладает упруго-вязко-пластическими свойствами.

- Разработан метод решения и решен класс задач устойчивости подкрепленных горных выработок с некруговой формой поперечного сечения в рамках предложенной модели, в том числе:

а) задача о пространственной форме потери устойчивости основного состояния горного массива вблизи свободных вертикальных выработок с эллиптической или близкой к правильной многоугольной формами поперечных сечений;

6) задача устойчивости процесса деформирования вертикальной выработки с многослойной (А- слойной) крепью, когда внешний и внутренний контуры i-ого слоя крепи имеют форму эллипсов;

в) задача устойчивости основного состояния горного массива вблизи вертикальной подкрепленной выработки с поперечным сечением близким по форме к правильному многоугольнику (количество сглаженных углов - та =2,3,...) и многослойной крепи, состоящей из N слоев, поперечные сечения которых имеют форму колец, внешний и внутренний контура которых близки по форме к правильным -многоугольникам (количество углов т,-2,3,..., г =1,2,...,Л').

- Разработан метод решения и решен класс задач устойчивости свободных и подкрепленных подземных сооружений с круговыми формами поперечных сечений для различных моделей сред, в том числе:

а) задача о пространственной форме потери устойчивости процесса деформирования горного массива со сжатым скелетом, обладающим упруговязкопластически-ми свойствами, вблизи вертиальной выработки;

б) задача устойчивости основного состояния равновесия горизонтальной выработки, подкрепленной многослойной крепью при упругопластичсеком поведении материалов;

в) задачи о пространственной и осесимметричной формах потери устойчивости многослойных крепей вертикальной горной выработки и подземной сферической полости при совместном расчете крепи с массивом горных пород;

г) задача устойчивости основного состояния равновесия бесконечной пластины с Л'-кольцевыми включениями с учетом наличия поверхности раздела зон упругого и пластического деформирования;

д) задача устойчивости шарнирно-опертой сжимаемой упругой цилиндрической оболочки с упруговязкопластическим заполнителем при радиальном сжатии.

- Получены характеристические уравнения вышеперечисленных задач, разработан численный алгоритм их решения и определена степень влияния физико-механических характеристик среды на критические значения параметров для конкретных горных пород и материалов.

Теоретическая и практическая значимость. В рассмотренных классах задач устойчивости выявлены характерные эффекты (в частности установлено, что с ростом коэффициентов упрочнения и вязкости, а также при увеличении предела текучести и величины начальной пористости область устойчивости увеличивается), позволяющие при проектировании правильно назначать прочностные нормы для конструкций, работающих под нагрузкой. Полученные результаты могут быть использованы при выборе расчетных схем, необходимых при проведении выработок, при выборе форм поперечных сечений подземных сооружений и их крепей, при оптимальном выборе толщины крепежных конструкций на основе данных о физико-механических свойствах массива, для исследования напряженно-деформированного состояния массива возле выработок и их крепей.

Теоретическое значение работы определяется тем, что ее результаты способствуют более глубокому пониманию процессов, происходящих в пространственных конструкциях и горных массивах с пористой структурой и различными физико-механическими свойствами и могут служить основой для дальнейшего развития исследований в этом направлении. Построенный алгоритм численной реализации исследуемых процессов может применяться к ряду смежных задач горных конструкций при действии различных нагрузок. Исследование устойчивости рассмотренных классов задач выполнено в строгой постановке, поэтому полученные решения дают возможность оценить погрешность и определить область применения результатов, найденных с помощью приближенных теорий.

Достоверность. Исследования, выполненные в диссертационной работе, основаны на корректной математической постановке задач, а их решения проведены в рамках метода возмущений, показавшего высокую эффективность для задач теории пластичности. Достоверность сделанных в работе выводов обеспечивается апробтрованностью, используемых моделей механики сплошных сред, а также

согласованием полученных результатов исследования с общими физическими представлениями и сопоставлением теоретических результатов в частных случаях с известными.

Апробация. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 1996 - 2009гг. и кафедры математики Военного авиационного -инженерного университета (г. Воронеж) 2005 -2009гг; на: 1-ой международной конференции «Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза», Солигорск, Беларусь 1996 г.; V, VII, VIII международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1999, 2005, 2008гг.; II - ой всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении», Воронеж, 2001 г.; II - ой всероссийской научно-технической конференции «Теория конфликта и ее приложения», Воронеж, 2002г.; IX, X международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула, 2008, 2009гг.; международных школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» Воронеж, 2004, 2005, 2007гг.; XXVIII межвузовской научно-практической конференции «Совершенствование наземного обеспечения авиации», Воронеж, 2008г.; всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в автоматизированных системах управления и проблемы повышения качества подготовки специалистов РЭБ и ИБ», Воронеж, 2008г.; III международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», Воронеж 2009г.; международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 2009г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 38 печатных работ в том числе 1 монография.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 306 наименований. Материал изложен на 303 страницах машинописного текста и содержит 59 рисунков и 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость темы диссертации. Сформулированы цель и основные задачи исследований. Дана краткая характеристика работы и ее изложение по главам.

Первая глава посвящена развитию трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых сложных сред с пористой структурой при малых докритических деформациях. Дается постановка задач устойчивости для пористых упруго-вязко-пластических сред. Существенное внимание уделено разработке методов решения конкретных классов краевых задач при неоднородных докритических состояниях. Предложен алгоритм поиска критических нагрузок, соответствующих локальной потери устойчивости массива возле выработки.

В §1 в качестве модели среды с пористой структурой и упруго-вязко-пластическими свойствами сжатого скелета бралась модель, механическая схема которой показана на рисунке 1.

Р Е

Рис. 1. Реологическая схема пористой упруго-вязко-пластической среды.

Модель состоит из двух последовательно соединенных составных частей: пластической — Р и упругой - Е. Пластическая часть состоит из пластического элемента (предел текучести к), последовательно соединенного с параллельной связкой вязкого элемента (коэффициент вязкости /у) и упругого элемента (коэффициент упрочнения с). Упругая часть состоит из упругого сжимаемого элемента I (коэффициенты Лямэ Аь ц\) и параллельно подсоединенной к нему последовательной связки 2 жесткого контакта (начальный раствор пор £0) и упругого несжимаемого элемента (коэффициент упругости ¡л2).

Горную породу, в рамках предложенной реологической модели, будем считать сплошной средой, напряженное состояние которой характеризуется симметричным тензором напряжений Поля напряжений и деформаций такой среды будут определяться соотношениями геометрически линейной теории, что вполне оправдано для достаточно жестких сред.

Основные соотношения теории пористой упруго-вязко-пластической среды для рассматриваемой реологической модели (см. рис.1) в произвольной криволинейной системе координат будут следующие:

- уравнения равновесия в напряжениях

УХЧх,=0, (1)

где символ ^ обозначает ковариантную производную по р-ой компоненте; X, — массовые силы;

- граничные условия

а) в усилиях на части поверхности тела

= (2) где Иц — орты нормали к поверхности 5, тела, Р] — составляющие вектора поверхностных сил;

б) в перемещениях на части поверхности тела

(3)

где ир - компоненты вектора перемещений;

- соотношения Коши, связывающие компоненты малых деформаций е* с компонентами вектора перемещений и0

гв^уу+Ув,; (4)

- условия непрерывности перемещений и поверхностных сил на границе 5 раздела областей упругого и пластического деформирования

[«,1=0,[^1=0. (5)

Здесь квадратные скобки обозначают разность значений выражений соответствующих упругой и пластической области на границе 5. По повторяющимся индексам, если особо не оговорено, производится суммирование от 1 до 3.

Напряжения параллельной связки «1-2» находятся как сумма напряжений элемента «/» и последовательной связки «2».

Связь между напряжениями и деформациями в упругом элементе «/» определим законом Гука для сжимаемого тела

(?)

где Л, и /V, — параметры Ламе, gf — смешанные компоненты метрического тензора.

Уравнение жесткого контакта, входящего в последовательное соединение «2» имеет вид

о/(«:+«о> = 0, (8)

причем <т, = 0 до схлопывания пор, и е'х = -е0 после.

Связь между напряжениями и деформациями в упругом элементе, входящем в «2», определим законом Гука для несжимаемого тела

(9)

где = (<т?)2 -^(ег"), gl¡ - компоненты девиатора тензора напряжений.

Зависимость напряжений в последовательном соединении «2» от деформаций определяется соотношением

0, если -е°<е0,

(, » \ , « (Ю)

если

2и.1 |£Г |-|£Г| Н

где (с^ - деформации компонента «2» до момента схлопывания пор, причем <=-£„.

Полагалось, что полное схлопывание пор происходит в фазе упругого деформирования среды, а сжатый скелет ведет себя как упруго-вязко-пластическое тело, модель которого впервые предложена Спорыхиным А.Н.

В зоне пластического деформирования сжатого скелета будем использовать модель несжимаемого упруговязкопластического тела с поверхностью на-гр ужения

р

где е* - компоненты тензора скоростей пластических деформаций.

Полная деформация в пластической зоне слагается из упругой е^ и пласти-

причем, упругие деформации е'^ =(£л)2 связаны с напряжениями соотношениями (7) и (10). Пластическая составляющая объемной деформации удовлетворяет условию несжимаемости

к„=0. (13)

Тензор скоростей пластических деформаций связан тензором напряжений соотношениями ассоциированного закона пластического течения

е^^-с^-г/е^, (14)

если выполняется условие пластичности (11). Здесь у/— положительный скалярный множитель.

Очевидно, полагая в соотношениях (11)-(14) 77 = 0, приходим к модели несжимаемой упругопластической среды с трансляционным упрочнением с поверхностью нагружения вида

( <■"¥

F^\sfJ-C£i (15)

т V А ^

Тело остается упругим пока

з?з<<к\ (16)

В теле остаютсся несхлопнутые поры пока

-е,:<£0• (17)

Тело остается упругим с наличием несхлопнутых пор пока

('а* + (зл, + + //,)*„]< . (18)

Для возможности перехода путем интегрирования от соотношений между напряжениями и скоростями деформаций для пластической среды к соотношениям между напряжениями и деформациями будем предполагать, что имеет место процесс простого нагружения или мало отличающееся от него процессы. Это предположение базируется на соображениях как теоретического, так и экспериментального характера.

Для нахождения деформаций на момент схлопывания пор в упругой фазе положим, что процесс нагружения состоит из двух этапов. На первом - часть нагрузки идет на полное схлопывание пор, на втором - нагружение происходит за счет оставшейся части нагрузки.

Система уравнений (1)-(14), относящаяся к зонам упругого (V) деформирования пористого тела и сжатого скелета, а также к зоне пластического (К) деформирования сжатого скелета, при определенной форме поверхности нагружения представляет собой замкнутую математическую задачу, которая положена в основу определения напряженно-деформированного состояния рассматриваемых далее задач.

Очевидно, что если в рассматриваемой схеме (рис.1) исключить жесткий элемент (положить £■„ = 0 ), приходим к известной модели упруго-вязко-пластического тела, предложенной А.Н. Спорыхиным, если, кроме того, г0 -> 0,77 -> 0, то приходим к модели упрочняющегося упруго-пластического тела, предложенной Д.Д. Ивлевым.

В §2 дается постановка задач устойчивости основного состояния равновесия для пористых упруго-вязко-пластических сред. В этом параграфе также отмечается, что при изучении бифуркации состояния равновесия или бифуркации процесса

деформирования трехмерных тел со сложными реологическими свойствами будем исходить из следующего основного предположения: об устойчивости основного состояния деформируемых тел с реологическими свойствами будем судить по поведению малых возмущений во времени в рамках соответствующей линеаризированной задачи. В качестве критерия устойчивости принимается следующий: состояние равновесия или процесс деформирования считается устойчивым, если возмущения во времени затухают и неустойчивым, если возрастают. Для упрощения задач также вводится предположение: при исследовании устойчивости системы, для которой наблюдается явление разгрузки, применяется обобщенная концепция продолжающегося нагружения и исследуется соответствующая линеаризированная задача с известными зонами разгрузки, возникшими в докритическом состоянии.

Исследование устойчивости основных состояний горизонтальных, вертикальных и сферических выработок свободных от крепей или подкрепленных многослойными крепями различной конфигурации при принятии обобщенной концепции продолжающегося нагружения и в предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания, сводится к решению системы дифференциальных уравнений в вариациях при соответствующих граничных условиях.

Уравнения равновесия для областей пластического V." и упругого V' деформирования массива и крепи имеют вид

^И+о^ЧЬ^Ч=0,5=/®. (19)

Здесь и далее по индексу / суммирования нет (если особо не оговорено) /=0,1, 2,..., Л^— число слоев крепи, кружок вверху соответствует компонентам основного невозмущенного состояния.

Граничные условия на внутренней поверхности крепи и условия затухания возмущений на внешней поверхности массива запишем соответственно в виде

+ = °> (20)

Условия непрерывности на упругопластических границах имеют вид

Связь между амплитудными значениями напряжений и перемещений для сжатого скелета, обладающего упруго-вязко-пластическими свойствами и свойством дальнейшей несжимаемости в пластических и упругих областях представима в форме

= (22)

л 2 0 Пр

где р, - множитель Лагранжа, —+-)' (// = /С' (),'

Ь, =(/' ). (г/)(.В упругих областях надо положить а, = 0.

Если компоненты докритического состояния зависят только от одной переменной, то уравнения состояния для несжимаемых тел, согласно работе А.Н. Спорыхина, можно записать в виде

Ю, = (Ы (»• )Ар)№ +0(<?), (V, («'), + V' (-),)• (23)

В (23) отсутствует суммирование по индексам /', Д у и производится по индексу а, величины и (о*) представлены следующим образом:

в упругих областях - (к')

= = Л (24)

в пластических областях - (к*) для упрочняющегося упруго-вязкопластического тела

Ы, = 2д*д.-»,(/..),(/Д, (ОД = Л, (25)

Уравнения (19) - (22) с учетом условий несжимаемости в пластических областях V/ (/=0, 1, 2,..., М) горного массива и крепи представляют собой взаимосвязанную замкнутую систему уравнений для исследования устойчивости горизонтальных, вертикальных и сферических выработок с многослойными крепями, когда имеются границы раздела областей упругого и пластического поведения сжатого скелета при нагружении в горном массиве и крепи.

Поскольку полученная краевая задача является задачей на собственные значения относительно параметрам, тогда в силу принятого критерия основное состояние будет устойчивым, если

1тсоа >0, «=1,2, (26)

где соа (а=1, 2,...)-собственные значения приведенной краевой задачи.

Условие (26) определяет область устойчивости в пространстве параметров нагружения. Тогда граница области устойчивости и соответствующие критические значения комбинаций параметров нагружения определяются из соотношения

1шп(1т<0=0, аг=1,2, ... (27)

Таким образом, задача сводится к определению отличных от нуля возмущений перемещений и соответствующих собственных значений, а по последним определяются критические комбинации внешних сил для основного состояния равновесия.

В §3 приводится запись основных соотношений трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической и сферической системах координат.

Для нахождения собственных значений цилиндрических задач перемещения и гидростатические давления в зонах упругого и пластического деформирования для горного массива и крепи аппроксимируем двойными тригонометрическими рядами

ос ос» ее ос

и, = £ ^ А"" (г) сов(тв) С05(пг), V, = ]Г ^ В™ (г) %т(тв) ««(лг)

н; = ¿¿С,""(/-)со5(т0)51п(/72), А = (г)со$(пл). (28)

Для сферических задач решения ищем в виде двойных рядов по сферическим функциям

т.\ п-т „-„ 0(7

ч = 11сго-)^1г(М ; Р,^¿¿ГМГЧМ- (29)

Здесь п,т - параметры волнообразования, У"т (в, р) = Р" (соб в) (ат соэ т<р+з!п пир) - сферические функции, Р"(ахв) - присоединенные функции Лежандра первого

рода степени п и порядка т (Р" = 0 для т>п). Функции У"" являются решениями

д 1 д^ 1 —г+аев—+—;--г+и(и+1НУ,""(0,ш) = О.

дв1 & дв ьтГвдр1 к 'I ' к '

Выбор решений в форме (28) или (29) допускает локальную потерю устойчивости массива и крепи по одинаковой форме.

Подставляя функции и„ V,, IV, р1 в условие несжимаемости и линеаризированные уравнения устойчивости (19), граничные условия (20), условия сопряжения (21) и учитывая (22) или (23) - (25) после ряда преобразований получим краевую задачу, найти точное аналитическое решение которой не представляется возможным.

В §4 приводится описание метода конечных разностей, как метода решения статических упруго-вязко-пластических задач устойчивости.

Задача нахождения критических параметров (нагрузок), которые соответствуют потере устойчивости основного состояния, сводится к разрешимости уравнения НЛ] = 0' (30) совместно с условием (26). В (30) йег[^ - определитель соответствующей алгебраической системы.

Необходимо отметить, что анализ такого уравнения затрудняется тем, что элементы для пористой упруго-вязко-пластической среды, будут зависеть не только от приложенных нагрузок q., геометрических параметров рассматриваемой задачи, физико-механических характеристик материала, но и от произвольного комплексного числа со (временного множителя). Поэтому, для упрощения вычислений при численном анализе считалось, что со = р - действительное число. При этом если -да < р < о, то будет происходить затухание амплитуд возмущений с течением времени, а случай 0 < /? < <» будет соответствовать неограниченному возрастанию возмущений перемещений и напряжений. Тогда для определения критических значений параметров нагружения уравнение (30) можно переписать в виде

с1е1 («?„£*,,г) = 0, (31)

где X/ " геометрические и физико-механические параметры материала и конструкции, г - шаг конечно-разностной сетки.

В этом параграфе также предложен алгоритм поиска критических нагрузок, суть которого сводится к решению задачи многомерной оптимизации величин в зависимости от параметров р, т, п, г при условии (31).

Во второй главе приведены определяющие соотношения, граничные условия и условия сопряжения теории упруго-вязко-пластических тел и в рамках метода малого параметра проведена их линеаризация.

В §1 проводится линеаризация по малому параметру соотношений теории течения в рамках схемы Ивлева-Ершова. Линеаризация по параметру 8 состоит в том, что все искомые соотношения раскладываются в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях 3, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при <5 = 0 является известным. Таким образом, решение ищется в виде:

.....= Ё*" {<г?,е«еГ\.Л"\хГ,..), (32)

где ^ - физико-механические параметры материала.

На основе полученных линеаризованных соотношений, можно построить алгоритм нахождения приближенного решения упруго-вязкопластической задачи для функции нагружения, взятой в виде (11). В общем случае этот алгоритм позволит получить лишь численное решение, при этом для каждого приближения имеет место статически неопределимая задача.

Введение дополнительных предположений позволяет, для функции нагружения вида (11), получить приближенное аналитическое решение упруго-вязкопластической задачи методом малого параметра.

В §2 проводится линеаризация граничных условий и условий сопряжения на упругопластической границе. Здесь отмечено, что при постановке граничных условий малый параметр может входить в уравнения, описывающее границу области, где ищется решение задачи. Такая граница названа возмущенной. Тогда если в выражениях определяющих эту границу положить ¿ = 0, то уравнения будут описывать невозмущенную границу области.

Линеаризация по малому параметру приводит к тому, что граничные условия, определенные на возмущенной границе, заменяются для каждого приближения новыми граничными условиями на невозмущенной границе, при этом решение для каждого приближения находится в области, определяемой невозмущенной границей.

В случае решения задачи с границей раздела сред упругого и пластического деформирования необходимо учитывать условия сопряжения решений в упругой и пластической зонах. Эти условия, записанные на возмущенной упругопластической границе, заменяются новыми условиями для каждого приближения, записанными уже на невозмущенной упругопластической границе.

Уравнения равновесия (1) и соотношения Коши (4) линейны относительно компонент тензора напряжений, тензора деформаций и вектора перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения. Из линейности закона Гука (7) для сжимаемого тела и (9) для несжимаемого, линейности условия несжимаемости (13) и соотношений (12) для полных деформаций их линеаризация по малому параметру также приводит к линейным соотношениям.

В §3 приводятся линеаризированные соотношения трансляционной теории пористого упруго-вязко-пластического тела. При рассмотрении упруго-вязко-пластической среды с пористой структурой, модель которой предложена в § 1 главы 1 полагалось, что полное схлопывание пор происходит в фазе упругого деформирования среды, а сжатый скелет ведет себя как несжимаемое упруго-вязко-пластическое тело. Это предположение, в свою очередь, обуславливает необходимость введения гипотезы о том, что процесс нагружения состоит из двух этапов: на первом - часть нагрузки идет на полное схлопывание пор, на втором -нагружение происходит за счет оставшейся части нагрузки. Таким образом, общая нагрузка представлятся в виде суммы

Р = Р1 + Р» (33)

где Р - общая нагрузка, - нагрузка необходимая для полного охлопывания пор материала с начальной объемной пористостью е0, Р2 - оставшаяся часть нагрузки.

Далее говоря о возмущении параметра нагружения будем понимать возмущение оставшейся части нагрузки Р2.

Для описания поведения^сжатого скелета использовалась модель среды предложенная А.Н. Спорыхиным, учитывающая упрочняющиеся упруговязко-пластические свойства материала с функцией нагружения вида (11).

В §4, следуя А.Н. Спорыхину и A.B. Ковалеву, приводится алгоритм решения упруго-вязко-пластической задачи методом малого параметра.

Третья глава посвящена математическому моделированию процессов деформирования круговых горных выработок с многослойными крепями в пористых массивах для моделей упруго-вязко-пластической среды и упругопластиче-ского тела.

В §1 рассматривается горный массив с пористой структурой материала содержащий вертикальную круговую выработку радиуса Д,, реологические свойства которого определяются согласно описанной в §1 главы 1 модели. К внутреннему контуру выработки приложена равномерно распределенная нагрузка <?„ моделирующая собой давление жидкости или газа. На бесконечности напряжения в массиве стремятся к величине gh (g - объемный вес породы, h - глубина заложения выработки), т. е. начальное напряженное состояние в массиве (до проведения выработки) принимается гидростатическим.

Процесс деформирования пористого материала горного массива вблизи вертикальной выработки можно разделить на два взаимосвязанных этапа. Первый -упругое деформирование сжимаемой пористой среды, второй - неупругое деформирование сжатого скелета с упруго-вязко-пластическими свойствами. Поэтому, как отмечалось в §3 главы 2 внешнюю нагрузку будем представлять в виде суммы gh~Pi+P2.

Если gh <Ц + то полного схлопывания пор в приконтурной области горного массива не происходит и материал ведет себя как сжимаемая упругая среда с параметрами Л,, При этом напряженно-деформированное состояние определяется соотношениями

и = С,г + —, е =С, =

г г г

<т,=2(Д, + м)С,-2м%,ав = ад+//,)С,+2м%, с,=—Сг = ^г. (34)

г г + 2м,

Объемная деформация определяется в форме

ег +£в=2С,. (35)

Откуда следует, что объемная деформация не зависит от радиуса и поэтому схлопывание пор для осесимметричного случая произойдет одновременно во всей приконтурной области массива при достижении объемной деформацией некоторого заданного значения.

Следовательно, с учетом (35) и (34) полное схлопывание пор при упругом деформировании массива происходит под действием нагрузки определяемой равенством

+ (36)

При этом поля перемещений, деформаций и напряжений находятся соответственно по формулам

е0 г (А+цК Я,1 = £,, (^

2 2//, г ' ' 2 2м Г2 '

2~ 2А г2

(Л + Л К+Ц+А К -г > ав = -(4 + А К - (Л+л к»

(37)

Если то во всей приконтурной области массива произойдет

схлопывание пор (сжатый скелет) и при дальнейшем росте глубины заложения (при увеличении части нагрузки Р2) возникнет и будет расти около отверстия зона пластического течения, препятствовать развитию которой будут вязкость (//) и упрочнение (с) материала, то есть сжатый скелет будет деформироваться как несжимаемая упруго-вязко-пластическая среда с параметрами ц = +цг,к,с,у\.

В этом случае сплошная среда разделяется на две зоны - упругую и пластическую, в каждой из которых значения перемещений, деформаций и напряжений в точках среды раскладываются на компоненты:

а) пористого сжатия, определяемыми соотношениями (37);

б) упруго-пластического сжатия (которые для деформаций в пластической зоне в свою очередь складываются из упругих и пластических компонент), определяемыми из решения упруго-пластической задачи с вычетом из внешней нагрузки той ее части, которая идет на полное схлопывание пор (36). Поэтому граничные условия для этих компонент запишутся в виде

= (38)

Напряженно-деформированное состояние сжатого скелета горного массива возле круговой вертикальной выработки определяется:

- в упругой области (у < г < ю) соотношениями

"=7-7''*'= "7 (39)

г М, г2 г г1

- в пластической области (Д„ <г <у) формулами (39) и соотношениями

с + 2ц

с. , „ МЛ+аКЛ2 а

-1

(41)

Здесь в (39)-(42)

г \

Л А

А

1

2рО + -

1 1

«о г

ПХ

2/щ 2М(с + 2М)

кг

аЧ!

2уу\ 1

(42)

(43)

Радиус раздела у зон упругого и пластического деформирования определяется из соотношения

с + 2ц IX

(

е " '-1

21 Ко1) Ко

2 уу

1-е

с + 2ц , +- /

= 0.

Результаты численного счета представлены на рис.2 — рис.4.

На рис.2 представлена зависимость радиуса у раздела зон упругого и пластического деформирования от времени, при этом значения физико-механических и геометрических параметров брались следующими /^, = 1, ?0 = 1, = //,=1,5, р2=0,5, к=\, с = 1, 7 = 0,001, ео = 0.

7\

\х\0"

Рис.2. г

МО"

к ы ч,

Рис.3. Зависимость радиуса упругопластической Рис.4. Зависимость радиуса упругопластической границы у от параметра , (штриховая линия - границы у от начального раствора пор е0 . граница в теле без пор). При этом /у, + цг = сопи.

Значения физико-механических и геометрических параметров для рис. 3 и рис.4 брались следующими /^, = 1, = %Ь = 2, Л, =2, //,=1, р2=\, к-1, с = 0.2, 1 = 0, е0 = 0.6.

В §2 определяется напряженно-деформированного состояние горного массива в окрестности круговой цилиндрической выработки, подкрепленной многослойной крепью при совместном расчете крепи и массива горных пород, когда в качестве модели сплошной среды бралось упрочняющееся упругопластическое тело.

Рассмотривается горный массив с круговой вертикальной выработкой радиуса а0, подкрепленной круговой ¿V- слойной крепью (каждый последующий слой крепи с некоторым зазором помещается в предыдущий, а,- внутренний радиус /ого слоя, Ь- внешний радиус /-ого слоя). К внутреннему контуру А'-ого слоя крепи радиуса аК приложена равномерно распределенная нагрузка . На бесконечности напряжения в массиве стремятся в величине gh(g- объемный вес породы, И -глубина заложения выработки), т. е. начальное напряженное состояние в массиве (до проведения выработки) считается гидростатическим. При сжатии конструкции нагрузками gh и ^ все слои крепи и массив смыкаются и после этого дефор-

мируются совместно без проскальзывания и отставания. На линиях сопряжения слоев крепи и массива возникают сжимающие усилия д0,д„...,д„.,. Величины д, (/=0,1,2,..., N)кgh таковы, что образовавшиеся пластические области полностью охватывают внутренние контуры слоев крепи и контур выработки. Решение проводится в рамках плоской задачи, используя цилиндрическую систему координат г,в,г. В качестве модели среды выберается несжимаемое упрочняющееся упруго-вязкопластическое тело.

Напряженно-деформированное состояние горного массива возле круговой подкрепленной выработки, в случае установившегося течения определяется: - вупругой области при ге[/0,да)соотношениями

(45)

= — (еД = - {е»), = -4 '(при <=0),

(46)

- в пластической области при г е[а0,/„] соотношениями (12), (45) и формула-

ми

V "Л с +2д с,+2/1, г2

-2 //, с.+2/л, ■ » ■ Й-1

Ы = -?о +

с0 + 2А,

!п — + 1 +

с„Д, 1

1

(47)

(48)

Поля перемещений, деформаций и напряжений в /'-ом (/е[1,ЛГ]) слое разномо-дульной крепи круговой горной выработки определяются:

- в упругих областях при соотношениями (45) и формулами

I I

М,. = -<?,„, +2/1 А

ь;

(49)

в пластических при г соотношениями (12), (45), (47) и формулами

1

(<Ф

с,+2/1,1 а, 2%,к, у а,

(50)

/ \ Г, г , сД ( 1 1 ^

(о"„) = -<?,+ ' п — —Г + -Г ■

* 41 с,+2/1,\ а, 2х,к,\а^ г1))

Для поиска неизвестных величин о,, /е[0,/V], входящих в выражения для перемещений, межслойных нагрузок , /е[0, Л'-1], знаков их разностей х,< и радиусов упруго-пластических границ в выработке и слоях крепи г,, <е[0,Л'] (всего 4Ы + з неизвестных), необходимо решить следующую систему уравнений:

— £>,_, - — О, = Ь - , I е [1, N1 (притом, ЧТО аЛ, + ил,| _ > 0 ), агЛ Ъ, ' г~а"

Д = г;, ' е [0, N], х„ = ~ , X, = - <?,.,) • 2л-

В §3 приведено решение задачи, постановка которой была дана в предыдущем параграфе, когда в качестве модели среды выбиралось несжимаемое упрочняющееся упруговязкопластическое тело.

Напряженно-деформированные состояния массива возле подкрепленной круговой выработки и /-ого слоя (< е[1,лг]) многослойной крепи в безразмерной форме запишется следующим образом:

- упругая область массива *

- пластическая область массива

оа

(51)

(52)

тае (ГХ =

_

-(1-е

- упругая область /'-ого (/ е [1,//]) слоя крепи

Ч =7' (£Л = -(*.),■ = К),■ . (53)

- пластическая область /-ого (/ е [1, М]) слоя крепи

^ г, л.(г \ Г , , Л\

= (71),(1п-+1) +

V

(54)

2//.Ц ,„, 2цр, с, + 2//, л . ' '—ге ' , (Г.) =--—— ,£>, = £>,(/)„,

Выражения (51) - (54) представлены в безразмерном виде, при этом в качестве характерных размеров для величин имеющих размерность длины- брался радиус выработки а„, а для величин имеющих размерность напряжений - предел пластичности А(1 материала массива горных пород.

Для нахождения неизвестных £>, (/€[0,//]) - функций времени воспользуемся условиями сопряжения напряжений на границах у, упругого и пластического деформирования сред в области массива и крепи [(сгг).]| =0, Ц<тД]| =0, а также

условием того, что в начальный момент значения радиусов границ раздела упругой и пластической сред в массиве уа\1ж0=а0-1 и в /-ом (гс[1,Л']) слое крепи у,[0 - а,. С учетом сказанного ц (/ е [0, /V]) определятся в форме

4, - ^-(лО-^И*. А -Ч'-'У1')' (55)

Уравнения для нахождения радиусов у. разделов зон упругого и пластического деформирования массива горных пород и многослойной крепи определяются в виде

у,2 ( I (л а'~ь,2 I \ -<»1 2а?ь;

. (56)

Результаты численного эксперимента представлены на рисунках 5 и 6. При счете брались следующие значения параметров конструкции: усилия на внутреннем и внешнем контуре / - ого слоя <?,.=1, ?м=2; радиусы контуров Л =0,5, /?, =0,9; предел пластичности и модуль сдвига ц, = К - • •

о«

Ой

Рис.6

На рис. 5, рис.6 представлена зависимость радиуса упруго-пластической границы в /-ом слое крепи от времени. При этом на рис.5 кривая 1 соответствует с=0, кривая 2 -с, =0,2 , кривая 3 - с, =0,5, коэффициент вязкости для всех кривых 7 =0,001. На рис.6 кривая 1 соответствует 7,=0, кривая 2 -г]) =0,001 , кривая 3 -^=0,005, коэффициент упрочнения для всех кривых с, =0,2.

В §4 строится математическая модель напряженно-деформированного состояния многослойной (/V- слойной) разномодульной крепи круговой горной выработки. При этом горный массив с выработкой, моделируется невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием радиуса Я,, в которое с некоторым натягом помещена система из N колец (слои крепи), последовательно запрессованных одно в другое. К внутреннему контуру последнего кольца радиуса Я, приложена равномерно распределенная нагрузка , моделирующая собой давление жидкости или газа на выработку. Обозначим через К , - радиус внешнего контура, а Ц- радиус внутреннего контура /-ого слоя крепи <е[1,дг]. На линиях сопряжения колец и пластины при г = Яп г е [0,^-1] из-за натягов возникают сжимающие усилия дп ..., . В качестве модели среды принимается нес-Рис. 7 жимаемое упрочняющееся упруго-пластическое тело.

г' #

: М

л.

?, ;

;

Г.

а.

Напряженно-деформированное состояние, соответствующее / — ому слою (:е[1,Л']) крепи круговой цилиндрической горной выработки в безразмерном виде (величины, имеющие размерность напряжений отнесены к модулю сдвига горного массива , а имеющие размерность длины - к внешнему радиусу последнего слоя крепи яу.) запишется в следующей форме:

- в пластической области («,</•</,)

А, , л к/+ 2Ди,Д I \ 1 1 1, 2-ДМ,к,, й,

11 г2] 2//,+сД г ) Ч'

- в упругой области (у, <г < ям)

где Л =

Уравнение для определения радиуса упругопластической границы в /-ом / е [1, Л'] кольце имеет вид

1 1 )ЧмГ?

г+-

272*,Г,

^ 2//, ^ДЗЯ,

На основе полученных аналитических решений проведены численные расчеты для случая, горный массив содержал вертикальную (горизонтальную) выработку, подкрепленную двухслойной крепью, причем материал массива - аргиллит, внешний слой крепи - бетон, внутренний - железобетон.

В §5 строится математическая модель напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности круговой цилиндрической выработки при упруго-пластическом поведении материала. При этом горный массив вне области круговой вертикальной (горизонтальной) выработки моделировался невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием радиуса , по периметру которого приложена равномерно распределенная нагрузка q¡¡.

Решения, соответствующие области горного массива в безразмерном виде (характерные размеры такие же, как и в §4) представлены в форме:

- в пластической области (Яа<г<у0)

«-^'♦¿И^"*-* (60>

- в упругой области ( У0 < г < а>)

= (61)

Уравнение для определения радиуса упругопластической границы уа имеет

вид

■и и Яо + ёЬ

2(2 + с0)

В §6 согласно А.Н. Спорыхину и А.Й. Шашкину определяются поля напряжений и перемещений в горном массиве возле подкрепленной сферической полости радиуса , по контуру которой действует равномерно распределенная нагрузка <70, моделирующая собой давление крепи на выработку. Также в этом параграфе решается задача о нахождении напряженно-деформированного состояния в I - ом слое 16[1ЛГ] многослойной крепи подземной сферической полости, по внешнему контуру г = Дм которого действует равномерная нагрузка с интенсивностью а по внутреннему г = II с интенсивностью д, (нагрузки <?,., при |'е[2,Л']- моделируют давление предыдущих слоев, при 1=1 — давление массива; нагрузки q. при /е[1,М-1] - моделируют давление последующих слоев, при ¿=ЛГ -давление жидкости или газа). При этом, как и прежде полагалось, что на бесконечном удалении от полости напряжения в массиве стремятся к величине gh.

В осесимметричном случае (с„=£г)в сферической системе координат (г, &,//>) напряженно-деформированное состояние соответствующее 1 - му слою 1е[1,дг] крепи сферической выработки определено в виде:

- в пластической области при я. < г < у,

? 4 " 2/^ + с,

- в упругой области при у,<г<Лм

и, = 1г-\ (стД = £>. -4дг-'С,, (стД = Д (64)

А = + , В, = —й-(4с,-6*,. 1п/?,)-,4=4= Л .

Уравнение для определения радиуса упругопластической границы у1 имеет

вид

^'Ы^ЬКЙЬ—• <65)

Соотношения (63) и (64) будут справедливы и для приконтурной области массива (упругой и пластической), если в них положить: /=0, = оо,д. = 1. При этом неизвестные константы интегрирования определятся в форме

■¿+с0 <ЦС0

а уравнение для определения радиуса упруго-пластической границы у0 в виде

+ + = (66)

В четвертой главе в рамках метода малого параметра найдены напряженно-деформированные состояния в массиве горных пород около некруговых вертикальных выработок с многослойными крепями. При этом формы поперечных сечений выработки и произвольного слоя разномодульной крепи брались близкими к эллиптической или правильной многоугольной формам. В качестве нулевых приближений использовались решения задач главы 3.

В §1 и §2 приводятся решения задач о нахождении напряженно-деформированнных состояний горного массива в окрестности вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении эллиптический контур или контур близкий по форме к правильного многоугольнику со сглаженными углами.

В обоих случаях по контуру отверстия действует нормальное давление интенсивностью qí¡. На бесконечности напряжения в массиве стремятся к величине gh, т.е. начальное напряженное состояние в массиве (до проведения выработки) принимается гидростатическим. Для описания реологических свойств пород приствольной зоны массива, как и прежде, использовалась модель упрочняющегося упруго-вязкопластического тела.

При определении компонент основного напряженно-деформированного состояния все функции представляются в виде рядов по степеням малого параметра

6: {сг9,е/>е1.',е/,к}=^<5"{(т,у,£/,£/>е,/,А:|, характеризующего отклонение от ис-

и-0

ходного невозмущенного состояния, то есть отклонение окружности радиуса от эллиптического контура, описываемого уравнением

Дэ = = я;+ 29(1-00540) + ...^, ОйО<2т:

или от контура бзизкого по форме к правильному многоугольнику и описываемому в полярных координатах формулой

Лв = |^(ГЛв(") = ло^ + <М'со!>50-——Л/'2(1-со52В0)-..^, где В—количество «сглаженных» углов многоугольника, 0<в<2л.

Результаты численного эксперимента относительно оценки влияния последующих приближений, на поведение радиуса упругопластической границы у показали, что достаточно ограничиться первым приближением.

В §3 и §4 строятся математические модели, описывающие напряженно-деформированные состояния горного массива вблизи вертикальной выработки и ее многослойной крепи, соответственно для случаев, когда г'-ый слой крепи имеет в поперечном сечении форму эллиптического кольца (§3) или кольца близкого по форме к правильному многоугольному кольцу со сглаженными углами (§4).

В обоих случаях решения ищутся для /-ого слоя крепи (/=1,2,...АО и прикон-турной области массива. Ограничимся случаем первого приближения первой итерации. В качестве нулевого приближения выбирается решение осесимметричной задачи о распределении полей напряжений и перемещений в массиве около подкрепленной круговой вертикальной выработки и в многослойной круговой крепи (см. глава 3 §3).

На основе полученных аналитических решений проведены численные расчеты, результаты которых представлены на рис.8- рис.11, где показаны зависимости упругопластических границ в г'-ом слое крепи от угла в для случаев: 1)эллиптической (рис.8, рис.9) и 2) близкой к правильной восьмиугольной (рис.10, рис.11) формам поперечных сечений. При этом на этих рисунках внутренняя и внешняя замкнутые кривые соответствуют внутреннему и внешнему контуру /-ого слоя крепи, модуль сдвига и предел текучести д = 1, к, = I.

На рис.8, рис.9 для случая 1) показано изменение пластической области в зависимости от временного параметра / и коэффициента вязкости г\ соответственно. Здесь величина малого параметра 3с1 = 0.005, параметры нагружения = 1, =1.9. На рис.9 кривая 1 соответствует моменту времени /=0.0005, кривая 2 -/=0.001, кривая 3 - /=10, при этом с, =0.2, п, = 0.001. На рис. 9 кривая 1 соответствует = 0.005, кривая 2 - /д =0.001, кривая 3 - = 0, при этом 1= 1, с=0.2. Аналогичные зависимости представлены на рис.10, рис. 11 для случая 2), при этом

СО

В §5 обобщаются результаты двух предыдущих параграфов при решении задачи о нахождении и исследовании напряженно-деформированного состояния вертикальной выработки с некруговой многослойной крепью для случая, когда внутренний и внешний контуры /-ого слоя крепи могут принадлежать разным типам (эллиптическому или многоугольному).

На основе полученных аналитических решений проведены численные расчеты для случая, когда горный массив содержит вертикальную (горизонтальную) выработку, подкрепленную однослойной крепью, причем внутренний контур крепи в поперечном сечении близок по форме к правильному шестиугольнику, а внешний имеет форму эллипса. При счете брались следующие значения параметров конструкции: усилия на внутреннем и внешнем контуре крепи д,=1, ?0=2; радиусы контуров в невозмущенном состоянии Л; =0,5, =0,9; предел пластичности и модуль сдвига р, = к, = 1; значение малого параметра $ = 0,01.

Зависимости радиусов упруго-пластических границ в слое крепи от угла в представлены на рис. 12, 13. При этом кривые на рис.12 соответствую различным моментам времени / (кривая 1 соответствует моменту /=10, кривая 2 - /=0,001 , кривая 3 - /=0,0005 кривая 4 - /=0, коэффициент вязкости % =0,001 и упрочнения с, =0,2); на рис.13 - различным значениям коэффициента упрочнения (кривая 1 соответствует с,=0, кривая 2 -с, =0,2 , кривая 3 - с, =0,5, коэффициент вязкости =0,001, момент времени /=0,003).

Рис. 12 Рис.13

В §6 исследуется напряженное состояние толстостенной цилиндрической трубы с внутренним радиусом а и внешним Ь с учетом силы тяжести при упруго-вязко-пластическом поведении материала На внутреннем контуре трубы приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью (?„, на внешнем - ц. Величины и ? таковы, что образующаяся пластическая зона полностью охватывает внутренний контур трубы. Задача решается методом малого параметра в рамках плоско-деформированного состояния. Влияние силы тяжести учитывается в первом приближении.

Решения, приведенные в 3 и 4 главах, принимаются в качестве определяющих докритические (основные) напряженно-деформированные состояния в горном массиве около вертикальных, горизонтальных и сферических выработок кругового и некругового поперечных сечений, а так же в каждом слое многослойных раз-номодульных крепей при совместном расчете крепи с массивом горных пород.

Пятая глава посвящена исследованию вопросов устойчивости круговых горизонтальных, вертикальных и сферических горных выработок с многослойными круговыми крепями в пористых массивах со сложной реологией сжатого скелета на основе точных трехмерных линеаризированных уравнений устойчивости, при принятии концепции продолжающегося нагружения. Для каждой конкретной задачи определяются области устойчивости, дается оценка влияния физико-механических и геометрических параметров на величины критических давлений, соответствующих локальной потери устойчивости.

В § 1 исследуется пространственная форма потери устойчивости процесса деформирования горного массива со сжатым скелетом вблизи круговой вертикальной цилиндрической выработки, выходящей на дневную поверхность, с учетом пористости и сложной реологии материала горного массива. По контуру выработ-

ки приложена равномерно распределенная нагрузка <?„, моделирующая собой давление жидкости или газа на выработку. Согласно гипотезе С. Г. Михлина напряженное состояние нетронутого массива считается гидростатическим

ООО

сг,' = а] = аз = -¿И. Величины ф и д() таковы, что пористая структура материала массива в приконтурной области имеет сжатый скелет (случай полного схлопыва-ния пор) и образовавшаяся пластическая область полностью охватывает внутренний контур выработки.

Для такого рода задач можно ввести упрощения за счет следующих предположений:

• при определении докритического основного состояния и исследовании линеаризированной задачи устойчивости не учитываются эффекты связанные с тем, что выработка имеет конечную глубину;

• при исследовании задач устойчивости можно не учитывать наличие дневной поверхности и рассматривать устойчивость состояния равновесия бесконечного пространства с бесконечной цилиндрической полостью под действие нагрузки на глубине И.

Основное докритическое напряженно-деформированное состояние горного массива со сжатым скелетом определяется в зоне пластического деформирования соотношениями (41) - (43), а в области упругого деформирования - (39), (40), (43). Граница раздела упругой и пластической областей определяется из выражения (44). Линеаризованная связь между амплитудными значениями напряжений и перемещений принималась в форме (22), где у всех величин надо опустить индекс /' и в упругой области надо положить а = 0.

Определение величины критической нагрузки qa, соответствующей локальной потере устойчивости круговой вертикальной выработки в горных массивах со схлопнутыми порами, как отмечалось в §4 главы I, сводится к задаче многомерной оптимизации этой величины в зависимости от т, п при условии равенства нулю определителя полученной алгебраической системы: Я )=0.

-ю -1. я ,-« » ' Î a g* lC

Рис. 14 Рис. 15

На рис.14 и рис.15 представлены зависимости критического давления на контуре выработки от величины гидростатического давления gh. При этом R,, =0.4, fi, = l, Mi =0.6, с = 0.3, 4=0.1, 7 = 0.01 им соответствуют значения параметров волнообразования п=т=2. На рис. 14 кривые 1, 2, 3 соответствуют c0 lO"! = 0.2, 0.5, 0.7. При этом Л, =0.1. На рис.15 кривые 1, 2, 3 соответствуют Л, =0.1,0.2,0.3. При этом го10 3 =0.1.

В § 2 решена задача о пространственной форме потери устойчивости основного состояния равновесия горизонтальной выработки, подкрепленной многослойной (/V - слойной) крепью (подробная постановка задачи о нахождении НДС дана в § 4 главы 3). Выработка пройдена на глубине И и выходит на полубесконечный пласт полезной породы, механические свойства которого отличаются от свойств горного массива. В этом случае вводятся следующие предположения:

• при определении докритического состояния и исследовании задач устойчивости можно считать, что выработка и пласт полезной породы имеют одинаковую форму поперечного сечения;

• при исследовании задач устойчивости (после нахождения основного состояния) можно не учитывать наличие дневной поверхности;

• если исследуется устойчивость не в призабойной части выработки, то при определении докритического состояния и решении задачи устойчивости можно не учитывать наличие границы раздела пласта и выработки.

Неоднородное докритическое состояние в ¿-ом (¿=1, 2,..., ДГ) слое крепи описывается системой уравнений (57), (58). Граница раздела у1 упругой и пластической зон определяется из (59). Для области массива верны соотношения (60), (61). Граница раздела у0 вычисляется по формуле (62). Линеаризированное уравнение состояния примем в форме (23).

Результаты вычислительного эксперимента приведены для случая, когда горный массив содержал выработку, подкрепленную двухслойной крепью. Рассмотрены варианты: 1 - материал массива - песчаник, не опасный по выбросам, внешний слой крепи - железобетон, внутренний - бетон; 2 - материал массива - аргиллит, внешний слой крепи - железобетон, внутренний - бетон. Результаты расчета представлены соответственно на рис. 16, рис. 17.

V«3 I в й в 0 01

— = 0.005 ввшш - Ч? = 0

30.20 6.52

21-27 21.12

17.35 Ш«!

1226 1210

/

Чл-103

а2 = о еь = о.ш

12.26 12.10

У

/

21Н! »4,10

11.0 о3

ояоз

РисЛ'б

ЧР

Ш 1.1

Рис. 17

ЫШ 1.1

В §3 исследована осесимметричная форма потери устойчивости вертикальной выработки с многослойной крепью, при совместном расчете крепи с массивом горных пород. Постановка задачи аналогична предыдущему параграфу.

Решение линеаризированной системы уравнений устойчивости (19) для цилиндрических задач в случае осесимметричной формы потери устойчивости

(у,=0) выбирается в виде и, = ^Д"(г)со5(п2), м>(г)%\п{га), р, £>,"(/-)««(«;:).

В § 4 исследуется устойчивость многослойной (¿V- слойной) крепи, подкрепляющей вертикальную выработку (при этом действие массива на внешний слой крепи определяется соотношением (60) при г = Я0), в предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания.

Численный расчет проводился для случая, когда горный массив содержал выработку, подкрепленную двухслойной крепью. При этом материал массива - аргиллит, внешний слой крепи - бетон, внутренний - железобетон.

56.11

54.45

К,

«0.03 ghssO.CU

/

V

/

/

52.55 53.20 53.90

Т-10' ч0

54.52

52.50 52.92 '53.35 53.77 54.20 4,-10

<\2 в0.01 = 0.01

47.83 49.70 51.40 52.7?

47-80 49115 50.30 ' 51.55 52.00 4,-10

1Ш 1.1

едг 1.1

Ш1. 1.1 1.1

0.13 1.1

0Д2 1.1

1Ш. 1.1

ЛИ-1.1

Рис. 18 Рис. 19

На рисунках 18, 19 показаны области критических значений параметров контактных давлений при различной геометрии крепи, которым соответствует значение параметра волнообразования /7=2.

В §5 рассматривается вопрос моделирования потери устойчивости сферической выработки с многослойной (Ы- слойной) крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород.

Докритическое напряженно-деформированное состояние массива около сферической выработки определялось соотношениями (63),(64), где надо положить /=0, = /¿, = 1, а в /-ом слое крепи описывается уравнениями (63) - (65). Уравнения для нахождения границ раздела у, 0=0> !>•••> Щ и зон упругого и пластического деформирования в многослойной разномодульной крепи и в массиве горных пород определяются соответственно, уравнениями (65), (66).

Исследование устойчивости сферических выработок с многослойной крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород сводится к решению сферической задачи в форме (29), с учетом которой уравнения равновесия, граничные условия и условия непрерывности вектора поверхностных сил и перемещений записываются в терминах функции А"".

Таким образом, как и в случае цилиндрических задач (§1 - §4 настоящей главы), в этом параграфе для сферических задач, получаем задачу многомерной оптимизации величин <?. (1=0, 1,..., Щ в зависимости от параметра волнообразования, при условии равенства нулю определителя йе^х,) = 0.

Численный эксперимент проводился для случая, когда двухслойная сферическая крепь состоит: внешний слой крепи - железобетон, внутренний - бетон, горный массив — материал аргиллит.

М 1Я2-.°|

4(1=0.02 дН=0.09 аИ=0.15

/ V О. / у 0. /

0.247 0.192 0.162 0.154 0.132 О.ОЭ7 /

/ (

/ 1

О.! к. 0.065 0. ОЭ 0.14 122 0 215 0 307°- о.ю 0.13 0.122 0.2150 ээ 307°- 0. 03 0.16 а< 122 0.2150.307 Ч

Бц ош (ШЭ аЛ2 Ю ШН 0£2 М27 0.02

0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 о.1 о.1

Рис. 20

На рис. 20 показана зависимость области критических значений параметров контактных давлений д0,д, от безразмерной величины гидростатического давления яй.

В § 6 рассмотрен вопрос об отказе многослойной разномодульной крепи подземной сферической полости, когда действие массива на внешний слой крепи определяется соотношениями (63), где надо положить: /=0, Ям = », р, = 1, г = .

Математическая модель для исследования вопроса потери устойчивости (отказа) разномодульной крепи сферической выработки в этом случае описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений состоящей из: уравнений равновесия для каждой из областей упругого V' и пластического

V' деформирования слоев крепи (/=1, 2.....Щ\ условий на внутреннем контуре

первого слоя крепи при г = дл. и на внешнем контуре последнего слоя крепи при г = Ял\ условий сопряжения на упругопластической границе у. (/=1, 2,..., Щ и условий сопряжения на границе /- ого и (/+1)- ого (* =1,2,...Д-1) слоев крепи.

В §7 исследуется явление локальной неустойчивости в пластинчатой конструкции, состоящей из бесконечной пластины с круговым отверстием радиуса ¡^, в которое с некоторым натягом помещена система из /V колец, последовательно запрессованных одно в другое. К внутреннему контуру последнего кольца приложена равномерно распределенная нагрузка дл,. Предполагается, что пластина и включения выполнены из различных материалов. Из-за натягов на линиях сопряжения деталей возникают сжимающие усилия ■

Основное напряженно-деформированное состояние пластинчатой конструкции определяется соотношениями §4 главы 3.

Необходимо отметить, что в отличии от задач устойчивости горных сооружений, рассмотренных в §1 - §6 настоящей главы, где нагрузка убывает от своего верхнего значения p = gh (й - средний объемный вес вышележащих пород, Л-глубина заложения выработки) до некоторой критической величины, в этом параграфе при моделировании задачи устойчивости нагрузка возрастает от нуля до некоторого критического значения.

?

В §8 исследуется устойчивость основного состояния конструкции, состоящей из шарнирно-опёртой сжимаемой упругой цилиндрической оболочки толщиной

2/^ и длиной I с упруговязкопластическим заполнителем при сжатии усилиями интенсивности д вдоль образующей (рис.29), причем усилия действуют как на оболочку, так и на заполнитель, которые одинаково деформируются на величину = = е. В этом параграфе индекс "(0)" вверху величин обозначает их принадлежность к оболочке, а индекс "(1)"- принадлежность к заполнителю. Для нахождения собственных значений задачи - устойчивости компоненты вектора перемещений и гидростатическое давление в заполнителе аппроксимируем рядами вида Рис.21 (и)! = (|//л| (г)^ со$л05туг, (у)( = (г)^ эшпОэт/г,

(н')1 =(^/„,('")) ссипвсоьуг, р, =(Р„('")) со^пвзлпуг, у = тл7/.(67)

В оболочке перемещения (м)0, (у)0,(и>)0 имеют вид (67), где величинам (//„, (/=1, 2, 3) следует приписать символ (0) внизу.

Шестая глава посвящена исследованию устойчивости некруговых вертикальных выработок и их многослойных разномодульных крепей в упруго-вязко-пластических массивах горных пород. При этом в качестве формы поперечных сечений выработки и слоев крепи выбирались эллиптические или близкие к правильным многоугольным контуры. На основе конечно-разностного метода приведены характеристические уравнения в виде определителя для каждой рассматриваемой задачи. Дается анализ влияния некруговой формы выработки и многослойной крепи на величины критических давлений, которые соответствуют потере устойчивости рассматриваемых подземных конструкций.

В §1, §2 рассмотрены задачи о пространственных формах потери устойчивости основного состояния горного массива вблизи вертикальных выработок с эллиптической или близкой к правильной многоугольной формами поперечных сечений. По контуру выработок приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью с/0. На бесконечности напряжения в массиве стремятся к величине

Как и для круговых выработок, задачи устойчивости горного массива содержащего выработки с некруговыми поперечными сечениями сводятся к задачам многомерной оптимизации величины в зависимости от т и п при условии равенства нулю определителей полученных алгебраических систем. Отметим, что в отличие от задач предыдущей главы это исследование нужно проводить для всех 0 = [ 0,2*].

Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис. 22, 23, где показаны зависимости критического давления qa на контуре выработки от величины гидростатического давления gh, когда горный массив содержал выработку, имеющую в поперечном сечении форму близкую к квадрату со сглаженными углами. При этом было принято =0,4, 5 = 0.06, // = 1, параметры волнообразования п=т=4.

-75 -3 -6.1 -в «ь « 3 в «ь

Рис. 22. Кривая 1 соответствует с = 0,9; кривая 2 - Рис. 23. Кривая 1 соответствуют г; = 0,001; кривая с = 0,1; кривая 3-с=0,01. При этом 7 = 0,001. 2 - ^ = 0,01; кривая 3 - 7 = 0,1. При этом с = 0,1.

В §3 решена задача о моделировании отказа вертикальной выработки с многослойной (Л- слойной) крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород, в предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания. При этом контур выработки, а также внешний и внутренний контуры г-ого слоя крепи имеют форму эллипсов.

В §4 обобщаются результаты предыдущих параграфов этой главы для случая исследования вопроса об устойчивости состояния равновесия горного массива возле вертикальной подкрепленной выработки с поперечным сечением близким к правильному многоугольнику (количество сглаженных углов - т0 = 2,3,..., при т0 = 2 получим эллипс) и многослойной крепи, состоящей из N слоев, поперечные сечения которых имеют форму колец, внешний и внутренний контура которых близки по форме к правильным - многоугольникам (количество углов /я, = 2,3,..., / = 1,2,...,Л0.

Контур выработки описывается уравнением

гта=а0\\ + 8аосовт0в-1^84<?{\-с0%гт0в) + 0(5^, (68)

внешний контур (-ого слоя крепи (¡=/,2, ...IV) описывается уравнением

Гщл (69)

а внутренний - уравнением

Гщ = а.^1 + 5 ■ 4 сое т,в - <5Ч:(1 - соэ 2т,б) + о (<5') ^. (70)

Как следует из (69) и (70) внутренний и внешний контура для г-ого слоя крепи могут иметь разную форму, при этом должно выполнятся условие того, что слои крепи работают совместно без проскальзывания и отставания.

В заключении сформулированы основные результаты работы выносимые на защиту.

Получены новые теоретические результаты по устойчивости деформируемых тел с учетом пористой структуры материала и сложной реологии сжатого скелета:

• предложена реологическая схема и построена математическая модель для описания напряженно-деформированного состояния сплошной среды учитывающей пористую структуру материала и сложные реологические свойства (упруго-пластические и упруго-вязко-пластические) сжатого скелета;

• развита теория устойчивости деформируемых сред с пористой структурой и усложненными свойствами сжатого скелета в трехмерной постановке;

• исследована задача о пространственной форме потери устойчивости процесса деформирования горного массива со сжатым скелетом, обладающим упруго-вязкопластическими свойствами, вблизи вертиальной выработки;

• выявлено влияние начальной пористости и других физико-механических характеристик (пластичность, упрочнение, вязкость и др) на величину критического давления.

Впервые получены новые теоретические результаты в рамках ТЛТУ по устойчивости деформирования подкрепленных и свободных горных выработок с некруговыми формами поперечных сечений для модели среды, учитывающей упрочняющиеся упруговязкопластические свойства:

• разработан алгоритм и дано приближенное решение трехмерных уравнений математических моделей описывающих потерю устойчивости подкрепленных горных сооружений различной формы поперечного сечения в случае неоднородных докритических состояний, зависящих от одной или двух переменных;

• решены задачи об устойчивости горного массива вблизи свободных вертикальных выработок с эллиптической или близкой к правильной многоугольной формами поперечных сечений;

• исследована задача устойчивости процесса деформирования горного массива с вертикальной выработкой, подкрепленной многослойной (Л'- слойной) крепью, когда внешний и внутренний контуры /-ого слоя крепи имеют форму эллипсов;

• исследована задача устойчивости основного состояния горного массива вблизи вертикальной подкрепленной выработки с поперечным сечением близким по форме к правильному многоугольнику;

• в рамках метода малого параметра развит подход к решению класса плоских задач для пористого тела, сжатый скелет которого ведет себя как упрочняющееся упруговязкопластическое тело;

• выявлено влияние коэффициентов вязкости, упрочнения и других характеристик материалов горного массива и разномодульной крепи, внешних нагрузок и геометрии контуров выработки и слоев крепи на распределение полей напряжений и перемещений, а также на поведение радиусов упруго-пластических границ в массиве и разномодульной крепи;

• для конкретных материалов получены критические значения параметров на-гружения рассмотренных классов задач.

Впервые получены новые теоретические результаты в рамках ТЛТУ по устойчивости деформирования подкрепленных вертикальных и горизонтальных горных выработок с круговой формой поперечного сечении, а также сферических полостей для различных моделей сред:

• решены задачи об устойчивости состояний равновесия подкрепленных горизонтальной, вертикальной и сферической выработок;

• исследована устойчивость многослойных разнодульных крепей вертиальной выработки и сферической полости при совместном расчете крепей с массивами горных пород;

• решены задачи устойчивости основных состояний бесконечной пластины с Л'-кольцевыми включениями и шарнирно-опертой сжимаемой упругой цилинд-

рической оболочки с упруговязкопластическим заполнителем при радиальном сжатии.

• оценено влияние физико-механических свойств горного массива и разномо-дульных крепей на критические области параметров нагружения для рассмотренных классов задач.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ отражено в следующих публикациях

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

1. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов / Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин // Журнал «Прикладная механика и техническая физика», СО РАН 2001.Т.42, № 3. - С. 146-151.

2. Гоцев Д.В. Исследование устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки в массивах с упругопластическими свойствами /Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин //Международный научный журнал Прикладная Механика. Киев. Е39 № 3,2003г. С. 45 - 51.

3. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость горизонтальных выработок с многослойной крепью в упруго-пластических массивах / Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин И Журнал «Механика твердого тела», РАН 2004. №1 С. 158- 166.

4. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость горизонтальных выработок многоугольной формы в упруго-вязко-пластических массивах / Д.В. Гоцев, И.А.Ененко, А.Н.Спорыхин // Журнал «Прикладная механика и техническая физика» СО PAH.-2005.-T46.,N2.-C. 141-150.

5. Гоцев Д.В.Локальная неустойчивость горизонтальных выработок эллиптической формы в упруго-вязко-пластических массивах /Д.В. Гоцев, И.А.Ененко, А.Н.Спорыхин // Журнал «Механика твердого тела» РАН 2007. №2 С. 183 - 192.

6. Гоцев Д.В. Устойчивость подкрепленной вертикальной горной выработки эллиптической формы в массивах со сложными реологическими свойствами /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, А.Н. Стасюк // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия 2008 №8/2 (67). С.41-57.

7. Гоцев Д.В. Устойчивость вертикальных горных выработок в упруговязколасти-ческих массивах с пористой структурой /Д.В. Гоцев, А.Н. Стасюк// Изв. Сарат. унта. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып 2. С. 59 -65.

8. Гоцев Д.В. Устойчивость цилиндрических горных выработок в пористых массивах со сложной реологией сжатого скелета / Д.В. Гоцев, А.Н. Стасюк // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева 2010 № С.31 - 39.

9. Гоцев Д.В. Отказ круговой цилиндрической трубы с реологически сложным заполнителем при радиальном сжатии / Д.В. Гоцев, А.Н. Спорыхин// Вестник ВГУ Серия: Физика, Математика. 2010. № С. 88-93.

Другие издания

10. Гоцев Д.В. О локальной неустойчивости деформируемого тела с N- включениями / Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин //Первая международная конфе-

ренция «Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза». Материалы конференции, г.Солигорск, 7-10 окт.1996г.- С.134.

11. Гоцев Д.В. О локальной неустойчивости в задаче о двухосном растяжении пластины, ослабленной двумя отверстиями / Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин // Нелинейные колебания механических систем. V Международная конференция, 13-16 сентября 1999г. Н.Новгород, 1999.-С.116-117.

12. Гоцев Д.В. Неустойчивость многослойной крепи вертикальной горной выработки в массивах обладающих упруго-пластическими свойствами / Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин //Прикладные задачи механики и тепломассобмена в авиастроении: сб. трудов 2- ой Всероссийской научно-технической конференции, Воронеж, 2001.-Ч.1.-С. 19-24.

13. Гоцев Д.В. Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов / Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин // Вестник Днепропетровского университета. Механика.-2001.-Вып. 4. - С. 49-55.

14. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов/ Д.В. Гоцев, А.В.Ковалев, А.Н.Спорыхин //Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж, 2002.Вып. 3. С. 90-97.

15. Гоцев Д.В. Моделирование явления локальной неустойчивости горизонтальной выработки с многослойной крепью в упруго-пластических массивах /Д.В. Гоцев // Теория конфликта и ее приложения: 2-ая Всероссийская научно-техническая конференция: Воронеж, 2002. С. 242.

16. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость подкрепленных горных выработок / Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин// Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского./ Под ред. Д.М. Климова - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - С. 300 - 313.

17. Гоцев Д.В. Неустойчивость бесконечного полупространства с горизонтальной эллиптической полостью в упруго-вязко-пластических массивах/ Д.В. Гоцев, И.А.Ененко, А.Н.Спорыхин //Современные проблемы механики и прикладной математики. Посвящается 80 - летию ВГУ, 200 - летию Юрьевского университета и 35 - летию ф-та ПММ. Воронеж 24 - 28 мая 2004 г. Часть 1. с. 157 - 160.

18. Гоцев Д.В. Устойчивость слоистой сферической оболочки с упруговязкопла-стичеким заполнителем при нагружении/ Д.В. Гоцев, И.Ю.Андреева, А.Н.Спорыхин //Современные проблемы механики и прикладной математики. Посвящается 80 - летию ВГУ, 200 - летию Юрьевского университета и 35 - летию ф-та ПММ. Воронеж 24 - 28 мая 2004 г. Часть 1. с. 20 - 23.

19. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость полупространства, ослабленного многоугольной горизонтальной цилиндрической полостью/ Д.В. Гоцев, И.А.Ененко, А.Н.Спорыхин // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. Юбилейный выпуск ф-та ПММ 35 лет. Воронеж 2005 г. с. 56 - 67.

20. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость вертикальных выработок некруговой формы с многослойными крепями в массивах, обладающих сложными реологическими свойствами / Д.В. Гоцев, И.А.Ененко, А.Н.Спорыхин //Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2005г.Часть1.С 100- 102.

21. Гоцев Д.В. Моделирование устойчивости слоистой сферической оболочки с упруго-вязко-пластическим заполнителем /Д.В. Гоцев, И.Ю. Андреева // VII Всероссийская научная конференция 19-22 сентября Н. Новгород, 2005 г. С. 28 - 30.

22. Гоцев Д.В. Моделирование процесса устойчивости горных выработок некруговой формы в упруго-вязко-пластических массивах /Д.В. Гоцев, И.А.Ененко //

VII Всероссийская научная конференция 19-22 сентября Н. Новгород, 2005 г. С. 30-32.

23. Гоцев Д.В. Локальная неустойчивость горизонтальных выработок некруговой формы в упруго-вязко-пластических массивах /Д.В. Гоцев, И.А.Ененко, А.Н.Спорыхин // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб. статей к 75-летию Е.И. Шемякина / Под ред. Д.Д. Ивлева и Н.Ф. Морозова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - С. 766 - 778.

24. Гоцев Д.В. Моделирование процесса деформирования горных выработок с некруговыми многослойными крепями в массивах со сложными реологическими свойствами /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, А.Н. Стасюк // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева 2007 № 2 С.78-89.

25. Гоцев Д.В. Исследование потери устойчивости состояния равновесия цилиндрической оболочки с упругвязкопластическим заполнителем при осевом нагружении /Д.В. Гоцев, И.Ю. Андреева// Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» Воронеж. 2007г.Часть2. С 25 - 28.

26. Гоцев Д.В. Исследование устойчивости некруговой крепи вертикальной горной выработки в упруговязкопластических массивах /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, Е.В.Корчагина //Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» Воронеж. 2007г.Часть2. С 87 - 90.

27. Гоцев Д.В. Моделирование отказов горных выработок с многослойными крепями некруговой формы в массивах со сложными реологическими свойствами /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, А.Н. Стасюк // Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» Воронеж. 2007г. Часть2. С 90 - 93.

28. Гоцев Д.В. Устойчивость подкрепленных выработок некруговой формы при совместном расчете крепи и массива горных пород /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, А.Н. Стасюк // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева 2008 № 2 С.139-160.

29. Гоцев Д.В. Математическое моделирование отказов подкрепленных горных выработок некруговой формы. /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, А.Н. Стасюк // Сб.

VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» 22 сентября - 26 сентября 2008г., Нижний Новгород, том 2 С.309.

30. Гоцев Д.В. Моделирование отказа подкрепленной вертикальной выработки с некруговым сечением в массивах со сложными реологическими свойствами /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин, А.Н. Стасюк // Материалы IX Международной конференции Современные проблемы математики, механики, информатики. Россия, Тула, 20-22 ноября, 2008г.С. 188-201.

31. Гоцев Д.В. Моделирование процесса деформирования горных выработок в массивах со сложными реологическими свойствами /Д.В. Гоцев, Е.В. Вислова,

A.A. Есмейкин // XXVIII Межвузовская научно-практическая конференция военно-научного общества курсантов и молодых ученых «Совершенствование наземного обеспечения авиации», 17 апреля 2008 г, ВАИУ Воронеж, С. 18- 22.

32. Гоцев Д.В. Математическая модель отказа горного массива в окрестности подземной сферической полости /Д.В. Гоцев, Е.В. Вислова, И.П. Цуканов // Сборник научных статей по материалам Всероссийской научно-практической конференции, часть2, «Информационные технологии в автоматизированных системах управления и проблемы повышения качества подготовки специалистов РЭБ и ИБ», 23 октября 2008 г., ВАИУ Воронеж, С. 75 - 80.

33. Гоцев Д.В. Математическая модель пористой упруговязкопластической среды /Д.В. Гоцев //Материалы III международной научной конференции Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Часть2. (г. Воронеж 2-7 февраля), С. 187-188.

34. Гоцев Д.В. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород возле вертикальной цилиндрической выработки с учетом пористости и сложной реологии материала /Д.В. Гоцев, А.Н.Спорыхин // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики.Ч.1: сб. трудов Международной конференции. - Воронеж: Изд-во Воронежского государственного университета, 2009 г. С. 123 - 128.

35. Гоцев Д.В. Математическая модель напряженно-деформированного состояния пористого горного массива с упруго-вязко-пластическимн свойствами вблизи вертикальной выработки /Д.В. Гоцев //Системы управления и информационные технологии, 2009, №3.1 (37) С.122 -124.

36. Гоцев Д.В. Пространственные задачи устойчивости горных выработок в массивах с пористой структурой и сложной реологией сжатого скелета/ Д.В. Гоцев, А.Н. Спорыхин //Материалы X Международной конференции Современные проблемы математики, механики, информатики. Россия, Тула, 23 - 27 ноября, 2009г.С. 161 - 167.

37. Гоцев Д.В.Математическая модель напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности круговой цилиндрической выработки, подкрепленной многослойной крепью при совместном расчете крепи и массива горных пород (случай установившегося течения)/ Д.В. Гоцев, А.Н. Стасюк // Материалы X Международной конференции Современные проблемы математики, механики, информатики. Россия, Тула, 23-27 ноября, 2009г.С. 167-171.

38. Гоцев Д.В. Метод возмущений в задачах устойчивости подкрепленных горных выработок: монография / А.Н. Спорыхин, Д.В. Гоцев; Воронежский государственный университет. - Воронеж: Издательско-полнграфическнн центр Воронежского государственного университета, 2010. - 299 с.

Тип. ВАИУ. Зак. 634. Тираж 100.

воронежским государственный университет

71 11-1/117 тт

На правах рукописи

Гоцев Дмитрий Викторович '""7 0 ¿/

устойчивость равновесия горных выработок в реологически сложных массивах с пористой

структурой

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

президиум ш ттвтт ь

(РЕШЕНИЕ 0Г«/Д 4С.|®ЦГ. 1 «УДКЛ УЧЁНУЮ СЩ<ЕВЬ Д0ЦОРА

ШЧАЛЬЙЙК отдела

Научный консультант -доктор физико-математических наук, профессор Спорыхин А.Н.

Воронеж 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................................................................... 6

Глава 1. Моделирование процессов деформирования и потери устойчивости пористых упруговязкопластических сред.............................................................. 21

1.1. Уравнения, определяющие процесс деформирования пористых упруго-вязко-пластических сред......................................................................................... 22

1.2. Постановка задач устойчивости основного состояния равновесия для пористых упруго-вязко-пластических сред. Линеаризированные соотношения.............................. 28

1.3. Основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической и сферической системах координат.................... 38

1.4. Метод решения статических упруго-вязко-пластических задач устойчивости. Алгоритм поиска критических нагрузок.................................................................... 50

1.5. Анализ основных результатов главы 1........................................................... 53

Глава 2. Метод возмущений в задачах деформируемых сложных сред.................. 54

2.1. Линеаризация по малому параметру соотношений теории течения...................... 55

2.2. Линеаризированные граничные условия и условия сопряжения на упруго-пластической границе..................................................................................... 58

2.3. Линеаризированные соотношения трансляционной теории пористого упруго-вязко-пластического тела......................................................................................... 50

2.4. Алгоритм решения упруго-вязко-пластической задачи методом малого параметра.... 64

2.5. Анализ основных результатов главы 2............................................................ 66

Глава 3. Моделирование процесса деформирования цилиндрических и сферических горных выработок с круговыми многослойными крепями в пористых массивах со сложной реологией........................................................................... 67

3.1. Математическая модель горного массива с пористой структурой вблизи круговой цилиндрической выработки и определение полей напряжений и перемещений в при-контурной области массива.............................................................................. 68

3.2. Определение напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности круговой цилиндрической выработки, подкрепленной многослойной крепью при совместном расчете крепи и массива горных пород (случай установившегося течения)............................................................................................................ 80

3.3. Моделирование процесса деформирования горного массива вблизи подкрепленной круговой выработки и ее многослойной крепи при упруго-вязко-пластическом поведе-

нии материалов (случай неустановившегося течения)............................................. 89

3.4. Моделирование напряженно-деформированного состояния многослойной разномо-дульной крепи круговой горной выработки при упруго-пластическом поведении материалов............................................................................................................. 96

3.5. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности круговой цилиндрической выработки при упруго-пластическом поведении материала............................................................................................................... 104

3.6. Определение полей напряжений и перемещений в горном массиве, содержащем сферическую выработку, подкрепленную многослойной крепью.............................. 107

3.7. Анализ основных результатов главы 3........................................................... 111

Глава 4. Моделирование процесса деформирования некруговых горных выработок с многослойными крепями в массивах, обладающих упруговязкопластиче-скими свойствами........................................................................................ 113

4.1. Определение напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности вертикальной выработки с поперечным сечением в форме эллипса............114

4.2. Определение напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника............................................................................................. 119

4.3. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи вертикальной выработки и ее многослойной крепи, /'-ый слой которой имеет в поперечном сечении форму эллипса......................................................... 123

4.4. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи вертикальной выработки и ее многослойной крепи, z'-ый слой которой имеет в поперечном сечении форму правильного многоугольника............................. 130

4.5. Исследование напряженно-деформированного состояния вертикальной выработки с некруговой многослойной крепью (общий случай)................................. 142

4.6. Исследование напряженно-деформированного состояния толстостенной цилиндрической трубы с учетом силы тяжести при упруго-вязко-пластическом поведении материала.......................................................................................................... 151

4.7. Анализ результатов главы 4........................................................................ 160

Глава 5. Моделирование отказов круговых горизонтальных, вертикальных и сферических выработок с многослойными крепями в горных массивах с пористой структурой и сложной реологией материалов................................................... 161

5.1. Устойчивость массива в окрестности неподкрепленной выработки с учетом порис-

тости и сложной реологии материала горного массива............................................ 162

5.2. Моделирование отказа горизонтальной выработки с многослойной крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород................................................ 167

5.3. Исследование отказа вертикальной выработки с многослойной крепью, при совместном расчете крепи с массивом горных пород(случай осесимметричной формы потери устойчивости)............................................................................................... 184

5.4. Исследование устойчивости многослойной разномодульной крепи вертикальной выработки в массивах обладающих упруго-пластическими свойствами...................... 194

5.5. Локальная неустойчивость горного массива возле подкрепленной сферической полости при упруго-пластическом поведении материалов.......................................... 201

5.6. Локальная неустойчивость многослойной разномодульной крепи подземной сферической полости при упругопластическом поведении материалов........................... 20В

5.7 Устойчивость пластин с N- кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов....................................................................................... 213

5.8 Устойчивость цилиндрической оболочки с упруго-вязко-пластическим заполнителем при осевом нагружении............................................................................. 219

5.9 Численно-аналитическое исследование устойчивости упругой сферической оболочки с неоднородным заполнителем при нагружении................................................ 229

5.10. Анализ результатов главы 5....................................................................... 237

Глава 6. Моделирование отказов горных выработок некруговой формы поперечного сечения................................................................................................ 240

6.1. Устойчивость горного массива вблизи вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму эллипса......................................................................... 241

6.2. Устойчивость горного массива вблизи вертикальной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного многоугольника............................................. 255

6.3. Устойчивость подкрепленной вертикальной выработки с эллиптической формой поперечного сечения в упруго-вязко-пластических массивах.................................... 259

6.4. Устойчивость подкрепленной вертикальной выработки с некруговой формой поперечного сечения в упруго-вязко-пластических массивах (общий случай)..................... 268

6.5. Анализ результатов главы 6........................................................................ 271

Заключение................................................................................................ 272

Список литературы...................................................................................... 275

Введение

Создание подземных сооружений различного назначения, в том числе глубоких подземных сооружений всевозможной конфигурации, непосредственно связано с необходимостью разработки обоснованных методов их расчета. Это в первую очередь требуют условия безопасности труда и сохранности находящегося в сооружениях сырья, оборудования и т.д.

Практически нет ни одной отрасли промышленности и строительства, где бы методы и результаты теории неупругой устойчивости не применялись в инженерной деятельности. Развитие научно-технического прогресса, связанное с применением и созданием новых материалов, а также внутренние потребности механики деформируемых тел вызвали необходимость разработки трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел, методов решения и решения отдельных классов задач в трехмерной постановке.

Одним из важнейших приложений трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел являются задачи механики горных пород, а именно горные выработки и подземные полости. Анализ возможности разрушения массива возле них с учетом его последствий, а также разработка конструктивно-технологических мероприятий, обеспечивающих безаварийное функционирование выработок, являются одной из основных проблем этой отрасли науки.

Разрушение горного массива возле выработки может произойти в результате следующих двух ситуаций: 1) достижение в массиве возле выработки напряженно-деформированным состоянием пределов прочности; 2) достижение напряженно-деформированным состоянием критических значений, соответствующих локальной потере устойчивости (отказу) возле выработки.

Первый вопрос ранее являлся предметом внимания для большого числа специалистов и рассмотрен в работах [15, 20, 21, 156, 158, 159, 162] и [36, 119, 140, 173, 183, 187, 210, 253]. Исследованию второй ситуации посвящено значительно меньшее число работ.

Потеря устойчивости массива в приконтурной области может быть начальным этапом процесса разрушения, особенно при наличии пластических деформаций.

Впервые использовать методы механики деформируемых твердых тел для определения полей напряжений и перемещений в массиве возле выработки при упругом поведении материала стали С.Г. Михлин [196], А.Н. Динник [114]. Однако экспериментальные данные показали [23], что на средних и больших глубинах вокруг выработки формируется зона неупругих деформаций достигающая размеров 2-9 метров.

Решение вопроса устойчивости состояния равновесия массива горных пород возле выработок остается актуальной задачей в течение последних 40 лет. Основоположником этого направления является Л. В. Ершов [173], первая статья которого в этом направлении была опубликована в 1962 г. В ней рассмотрена осесимметричная задача об устойчивости вертикальной горной выработки кругового поперечного сечения при моделировании горной породы упругим изотропным сжимаемым телом. В последующие годы выполнены исследования отдельных задач, результаты которых изложены в работах Л. В. Ершова, М. Т. Алимжанова и в ряде других работ [10, 18, 20, 21, 131,133, 138]. Общим для этих и ряда других работ является применение приближенного подхода, в трехмерной теории устойчивости деформируемых тел, сущность которого заключается в том, что вместо линеаризированных уравнений устойчивости применяются линейные уравнения, а параметры нагружения вводятся в граничные условия. Это обстоятельство существенно упрощает решение задач и дает возможность легко получить конкретные результаты.

Первоначально решение проблем устойчивости основывалось преимущественно на статическом критерии Эйлера. Исследования, которые были проведены в этом направлении [42, 207, 215, 253, 261] показали, что методы, основанные на бифуркации форм равновесия, имеют ограниченную область применения, а именно статические подходы пригодны в основном лишь в случае консервативных систем, а для неконсервативных систем надо рассматривать процесс движения системы во времени, то есть использовать динамические методы.

Теория неупругой устойчивости сжатых стержней была развита Ф. Энгессером, Ф.С. Ясинским и Т. Карманом. Для нахождения величин критических сил, соответствующих потери устойчивости ими был применен тот же статический метод Эйлера, который применялся в задачах устойчивости упругих систем. В настоящее время теория неупругой устойчивости [102, 103] является самостоятельным разделом механики, имеющая многочисленные приложения, используемые практически во всех отраслях промышленности и строительства. Однако подавляющее число исследователей, связывая явления потери устойчивости с тонкостенными конструкциями и стремясь упростить решение задач, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями, построенными путем введения вспомогательных гипотез.

Дальнейшее развитие научно технического прогресса, связанное с применением и созданием новых материалов, а также внутренние потребности механики деформируемых тел вызвали необходимость разработки трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел. Одной из важнейших сторон этой теории является исследование отдельных классов задач с сугубо трехмерным или двумерным (в случае плоских или осесимметричных задач) состоянием, к решению которых нельзя привлечь теорию устойчивости тонкостенных деформируемых систем.

Для построения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел обычно используются следующие два положения. Первое положение состоит в том, что в основном (докритическом) и возмущенном состоянии действуют одни и те же внешние нагрузки, а напряженно-деформированное состояние среды описывается соотношениями одной и той же нелинейной теории деформируемых тел. Второе положение заключается в том, что возмущения, накладываемые на величины основного состояния являются значительно меньшими по сравнению сними. Таким образом, при постановке задачи возмущения являются сколь угодно малыми величинами. Поэтому в линеаризированной механике деформируемых тел даже при малых начальных деформациях, хотя начальные деформации (деформации основного невозмущенного состояния) и являются малыми, все же их следует считать конечными величинами по сравнению возмущениями.

Впервые, учитывая соображения физического характера, Р. В. Саусвелл [299], а позднее С. Бицено, Г. Генки [40], получили трехмерные уравнения упругой устойчивости при малых докритических деформациях. М. А. Био [286, 287] вывел соотношения трехмерной теории устойчивости, линеаризируя уравнения нелинейной теории упругости, Е. Треффтц [301] -вариационным методом при определенных допущениях. Идеи Е. Треффтца нашли свое развитие в работе Р. Каппуса [296], где получены впервые строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях и для частного вида соотношений напряжения-деформации рассмотрены упрощения в случае малых деформаций.

Результаты многочисленных публикаций М. А. Био по трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых упругих тел нашли отражение в его монографии [285], которая явилась первой монографией по трехмерной линеаризированной теории устойчивости. В России основные соотношения трехмерной линеаризированной теории

устойчивости были получены В. В. Новожиловым [205, 206] в лагранжевых координатах, которые до деформации совпадали с прямоугольными координатами. В дальнейшем трехмерные линеаризированные задачи механики деформируемого тела при конечных докритических деформациях рассматривались в работах А.Грина, Д. Адкинса, А.И. Лурье, А.Н. Гузя, И.Ю. Бабича, А.Н. Спорыхина [86, 102, 103, 98, 104, 185, 242 - 244, 300] и других.

В работе А. Н. Гузя [86] изложена история формирования и развития трехмерной теории устойчивости деформирования упругих тел, дана классификация постановок задач и обзор исследований в этом направлении.

А. Н. Спорыхин в своей монографии [253] выделил три направления публикаций по трехмерной теории устойчивости.

К первому направлению отнесены работы, в которых предполагается наличие конечных докритических деформаций. В основном задачи этой группы [80, 86, 88, 121, 126, 294, 304] выполнены для нелинейно-упругих тел. С использованием потенциала гармонического типа решены задачи осесимметричной и неосесимметричной формы потери устойчивости полого и сплошного цилиндров и сферы под действием внешнего давления [294]. В работах [121, 126] также рассматривается задача устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внутреннего [126] и внешнего [121] давлений. В первом случае для вывода соотношений нелинейной