Численно-аналитическое исследование устойчивости подкрепленых выработок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Стасюк Александр Николаевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОДКРЕПЛЕНЫХ ВЫРАБОТОК

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 ДГ.Р 2011

Воронеж 2011

4842039

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки Российской Федерации

доктор физико-математических наук, профессор Спорыхин Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сумин Александр Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент Кривоченко Алексей Викторович

Ведущая организация: Воронежский государственный архитектурно-

строительный университет

Защита состоится 2011 года в асов на заседании

диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете, адрес: 394000, г. Воронеж, Университетская пл., 1, тел.: (473) 220-83-22.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «_[£» укА/^ЪЯ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чеботарев А. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Горные выработки представляют собой сложные инженерно-технические подземные сооружения, которые служат для добычи и хранения полезных ископаемых. При продолжительной эксплуатации требуется проведение укрепительных работ для горных выработок, например, создание многослойных крепей. Изучение разрушения горных пород возле выработок с многослойными крепями с позиций локальной потери устойчивости является важным и актуальным вопросом.

Существенный научный и практический интерес представляет использование моделей сложных сред, в которых учитываются такие свойства, как пластичность, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных материалов. Однако использование уточненных постановок и усложненных моделей сред влечет за собой значительные математические трудности, что приводит к необходимости разработки эффективных методов решения.

Работой Л. В. Ершова «О постановке задачи устойчивости горных выработок», опубликованной в 1962 г., было положено начало широким исследованиям устойчивости состояния равновесия массива возле горных выработок. Впервые привлекать математический аппарат трехмерной линеаризированной теории устойчивости (ТЛТУ) для исследования устойчивости массива возле горных выработок предложил А. Н. Гузь. Дальнейшее развитие ТЛТУ получила в работах Ж. С. Акопяна, Г. Г. Кулиева, С. Б. Лобовика, В. М. Назаренко, А. Н. Спорыхина, А. И. Шашкина, А. С. Чеботарева и других авторов. Моделирование процесса деформирования многослойных крепей подземных сооружений, которое включало в себя определение и анализ начального (докритического) напряженного состояния, проводилось в работах О. Г. Быкова, С. И. Капылова, В. С. Лесникова, Г. С. Мавианова, В. Трифоновой-Геновой, Б. В. Евтушенко и др. !"\

Построение математических моделей, описывающих поведение подкрепленных выработок, а также решение вопроса об определении критических значений контактных давлений внутри многослойной крепи являются в настоящее время актуальными задачами.

Цель работы. Основным направлением диссертационного исследования является численно-аналитическое моделирование локальной потери устойчивости вертикальной горной выработки, подкрепленной многослойной крепью, слои которой в поперечном сечении являются кольцами, внешний и внутренний контуры которых могут иметь форму эллипса или многоугольника со скругленными углами, при упруго-вязко-пластическом поведении материалов массива.

Методы исследования. Проведенные в данной диссертационной работе исследования базируются на методе возмущений, использование которого в решении многих задач механики сплошных сред, включая задачи теории пластичности, показало его высокую эффективность.

Обоснованность сделанных в работе выводов обеспечивается корректной постановкой задачи и дальнейшими строгими выкладками, использованием апробированных моделей механики сплошных сред, согласованием полученных результатов исследования с физическими представлениями и сопоставлением полученных результатов с уже известными.

Научная новизна. Впервые получены новые теоретические результаты в рамках ТЛТУ по устойчивости деформирования подкрепленных горных выработок с некруговыми формами поперечных сечений для модели среды, учитывающей упрочняющиеся упруго-вязко-пластические свойства.

Исследована задача устойчивости процесса деформирования горного массива с вертикальной выработкой, подкрепленной многослойной крепью, когда контуры каждого слоя крепи имеют форму эллипса, многоугольника со скругленными углами, в том числе и когда внешний и внутренний контуры

имеют форму многоугольников с различным количеством углов и с различным отклонением от круговой формы.

Выявлено влияние физико-механических (пластичность, упрочнение, вязкость) и геометрических (форма контура) характеристик на величину критического давления.

Практическая ценность. В рассмотренных классах задач устойчивости выявлены характерные эффекты, позволяющие при проектировании правильно назначать прочностные нормы для конструкций, работающих под нагрузкой. Полученные результаты могут быть использованы при выборе расчетных схем, необходимых при проведении выработок, при выборе форм поперечных сечений подземных сооружений и их крепей, при оптимальном выборе толщины крепежных конструкций на основе данных о физико-механических свойствах массива, для исследования напряженно-деформированного состояния массива возле выработок и их крепей.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж, 2007 г.; X международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула, 2008 г.; международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 2009 г.; семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского госуниверситета 2007 -2010 гг.

Содержание диссертации соответствует п. 2 «Теория моделей деформируемых тел с простой и сложной структурой», п. 7 «Постановка и решение краевых задач для тел различной конфигурации и структуры при механических, электромагнитных, радиационных, тепловых и прочих воздействиях, в том числе применительно к объектам новой техники» и п. 8 «Математические модели и численные методы анализа применительно к задачам, не допускающим прямого аналитического исследования» области

исследования паспорта специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела».

Публикации. По теме диссертации опубликовано десять печатных работ, из них три в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.

Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 260 наименований. Материал изложен на 125 страницах машинописного текста и содержит 11 рисунков и 2 таблицы.

Во введении дан краткий обзор исследований по проблемам решения плоских упруго-пластических задач и исследования устойчивости горных выработок, сделан анализ существующих направлений и методов, применяемых в этих исследованиях. Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, научная новизна, основные положения.

В первой главе приведены основные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние несжимаемых упруго-вязко-пластических сред, в рамках геометрически линейной теории, с помощью которых моделировались процессы деформирования горных выработок с многослойными крепями: уравнения равновесия =0, соотношения Коши

поверхности 5,) и в перемещениях (на части поверхности 52). На

поверхности 5, разделяющей упругую и пластическую зоны, все компоненты

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

граничные условия в напряжениях МрСТ? = Р/ (на части

тензора деформаций и напряжений предполагаются непрерывными, следовательно: [",] = 0, [д^сг^ ] = 0.

Напряжения и деформации связаны законом Гука ^ = 2.

Для несжимаемой упруго-вязко-пластической среды рассмотрена модель тела с трансляционным упрочнением Д. Д. Ивлева - А. Н. Спорыхина с поверхностью нагружения

р р V р р

з^-се^л^Х^-сЕ^е]

-к2= 0.

Индексы «р» и «е» обозначают принадлежность величин к пластической или упругой области соответственно; с - коэффициент упрочнения; к - предел

текучести; // - коэффициент вязкости; ^ - компоненты девиатора тензора

р

напряжений; е^ - компоненты тензора пластических деформаций. Для несжимаемой среды выполняется условие е™ = 0. В пластической зоне полная деформация слагается из упругой и

е Р

пластической е^ = е у + £ ■ При этом в упругой зоне выполняется закон Гука для упругих компонент деформаций.

Скорости пластических деформаций определяются на основании ассоциированного закона пластического течения:

ЭF

Выработка с многослойной крепью моделируется толстой плитой с цилиндрическим отверстием радиуса ад, в которое вложены N цилиндрических колец с внутренними радиусами а,- и внешними Ь„ /е [I, //]. При сжатии конструкции достаточными распределенными нагрузками все кольца и плита смыкаются и деформируются совместно, при этом в плите и в каждом кольце вокруг внутренней границы возникают зоны пластического течения.

К внутреннему контуру крепи приложена равномерно распределенная

нагрузка <7„. На линиях сопряжения контуров крепей и пластины возникают

сжимающие усилия <?,,..., дм. На бесконечности к пластине приложена

нагрузка обусловленная объемным весом породы # и глубиной заложения выработки Л (рис. 1).

I I

V

\ф -<—

м^ Л

Ф

Ця,

те

Т \ !

Рис. 1. Модель выработки, подкрепленной многослойной крепью, в поперечном сечении Напряженно-деформированное состояние в выработке и крепях: Выработка. Упругая область.

Д

Д

— _Ц. • с _ о

) — 5 —

Г

д

Пластическая область.

2/4, Д

с0+2Л ц, 2хА а? г т <° с0+ 2ц, щ, 2ХЛ г Крепь (7-й слой). Упругая область.

/" г' г Ь~ г Ь- г

Пластическая область.

„-3.-, -Я. =£• -е' е' =е -Р" •

"/_ ! гг,-- ~Т> 2 ' ~ 5"» _ 2 ' гО сгО сг 0' С0О с9() с9 0'

Л Г Г г г

1 г,*?//, -» с,+2//,

^------^О-^а-е ');

+ ^ с,+2//, /■-

С,.+2//; 3 а, Г с, +2//, а, 2^,1, а," г

Для поиска неизвестных величин О, /е [О, ТУ], входящих в выражения для перемещений, межслойных нагрузок с/,, /е [О, Л'-1], знаков их разностей ге [О,Л!] и радиусов упруго-пластических границ в выработке и слоях крепи у,, /е [О(всего 4ЛЧЗ неизвестных), необходимо решить следующую систему уравнений:

— Д_1 —-Ц = Ь,--ам, 1'е [1,ЛГ] (притом, что вц+иЛ >0);

а,~1 Ц 1

2//0 а0" а0 2

= [1.ЛП;

/е [0,М;

= -gh); = 51211(9,, - дм), Уе [1,ЛИ.

Величины, входящие в соотношения, представлены в безразмерном виде, при этом в качестве характерных размеров для величин, имеющих размерность длины, берется радиус выработки ад-. а для величин, имеющих размерность напряжений, - предел пластичности к0 материала массива горных пород.

Далее, на основе найденного решения строятся первые итерации первых приближений для подкрепленной выработки эллиптической и близкой к многоугольнику формы, затем результаты обобщаются на случай, когда границами крепей могут служить различные типы многоугольников со скругленными углами.

На рис. 2 показано развитие упруго-пластической границы в случае крепи с контурами, близкими к шестиугольнику и восьмиугольнику.

90

В

Рис. 2. Рост границы раздела зон упругого и пластического деформирования со временем Во второй главе проводится исследование устойчивости подкрепленных вертикальных выработок с многослойными крепями в горных массивах с упруго-вязко-пластическими свойствами в предположении, что слои крепей

работают совместно без проскальзывания и отставания, а отказ крепи происходит от действия внешних нагрузок. При моделировании потери устойчивости многослойных крепей горных выработок из решения задачи о докритическом состоянии определяется давление на внешний слой крепи как контактное давление на границе крепи и массива.

При моделировании трехмерных задач устойчивости с учетом пластических деформаций, следуя А. Н. Гузю, принимается обобщенная концепция продолжающегося нагружения и следующие соотношения:

Уравнения, определяющие деформированное состояние:

з) = о)+ е» = 0. 4 =2/иг*.

Ц- се")-пг;Ц- С£р)-Т]е^) = к2, ^Ц-а^-пф.

Второй вариант теории малых начальных деформаций:

Возмущенное движение:

После подстановки и линеаризации получается уравнение состояния для несжимаемого упруго-вязко-пластического материала:

4- се1"")

Здесь р - объемное напряжение (гидростатическое давление), 5 = ¡со (комплексная величина).

Уравнения движения без учета массовых сил:

Граничные условия:

Условия непрерывности на упругопластических границах у, имеют вид щ(<т,,+о1и„).1 = 0, [и.] = 0.

После записи системы в цилиндрической системе координат перемещения и величина р аппроксимируются двойными тригонометрическими рядами:

» = Апт(г)cosтвсо&nz, BnJr)sinтвcosnz,

am n m

W= X Z C'™(r) cos ",(9sin nz, P = A„ (í-)cos m в eos nz.

n m n ni

Получается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Найти ее точное аналитическое решение не представляется возможным. Поэтому для нахождения приближенного решения задачи используется метод конечных разностей. Об устойчивости выработки судят по существованию ненулевого решения системы.

В таблице 1 представлена зависимость критической нагрузки для системы выработка-крепь от количества углов многоугольника со скругленными углами (1-я строка - круг) и величины отклонения контуров системы от круговых при gh = 3, р=1, ¡и0 =1, к0 =1, p¡ =1.2, k¡ =1.4,а0 =2.3, а, =1, ¿1=2.

Количество углов т Отклонение от круга Sd Критическая нагрузка q№

- 0 0.242

10 0.01 0.278

8 0.015 0.293

6 0.017 0.298

4 0.024 0.373

Таблица 1. Зависимость критической нагрузки от геометрии контуров

Таблица позволяет сделать вывод о том, что увеличение отклонения контуров от круга повышает значение критической нагрузки на внутреннем контуре, что соответствует снижению устойчивости конструкции.

Основные результаты второй главы:

- исследована задача устойчивости основного состояния горного массива вблизи вертикальной подкрепленной выработки с поперечным сечением близким по форме к правильному многоугольнику;

- решение задачи устойчивости подкрепленных выработок некруговой формы сведено к бесконечным системам дифференциальных уравнений;

- установлено, что при увеличении глубины заложения величина критического давления на контуре выработки увеличивается;

- установлено, что с ростом коэффициента упрочнения, а также при увеличении коэффициента вязкости область устойчивости увеличивается;

- установлено, что в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости будет больше, чем в случае выработки, близкой в поперечном сечении к форме многоугольника.

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту:

В рамках принятой модели среды разработана и проанализирована математическая модель, описывающая процесс деформирования горного массива содержащего подкрепленную вертикальную некруговую выработку.

Для принятых математических моделей выработок приведены аналитические решения для полей напряжений и деформаций для горного массива содержащего: а) вертикальную выработку с поперечным сечением, имеющим форму эллипса; б) вертикальную выработку с поперечным сечением, имеющим форму, близкую к многоугольнику; в) вертикальную выработку с профилем, близким к круговому.

На основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости разработаны математические модели отказов горных выработок с некруговым поперечным сечением.

Для полученных математических моделей для исследования отказов горных выработок с некруговым поперечным сечением в случае неоднородных докритических состояний построен алгоритм решения.

Для конкретных физико-механических характеристик получены критические значения нормального давления, распределенного по контуру выработки.

Проведен теоретический и численный анализ полученных решений. Результаты представлены в виде графиков.

Выявлено влияние коэффициентов вязкости, упрочнения и других характеристик материалов горного массива и разномодульной крепи, внешних нагрузок и геометрии контуров выработки и слоев крепи на распределение полей напряжений и перемещений, а также на поведение радиусов упруго-пластических границ в массиве и разномодульной крепи;

Проведенное исследование на основе разработанных математических моделей отказов подкрепленных горных выработок с некруговым поперечным сечением показало:

а) наличие в горном массиве поверхностей раздела зон упругого и пластического деформирования может существенно влиять на устойчивость горных выработок;

б) существенное влияние на потерю устойчивости оказывают как физико-механические, так и геометрические параметры конструкций;

в) вычисления для случая, когда горный массив содержал выработку, имеющую в поперечном сечении форму, близкую к многоугольной, и форму окружности, показали, что в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости будет больше;

г) численный эксперимент позволил оценить изменение области критических значений нагрузок при изменении глубины заложения выработки; при увеличении глубины заложения величина критического давления на контуре выработки увеличивается;

д) с ростом коэффициента упрочнения, область устойчивости увеличивается.

Публикации автора

Автором опубликовано 10 работ по теме диссертации.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Гоцев Д. В. Устойчивость подкрепленной вертикальной горной выработки эллиптической формы в массивах со сложными реологическими свойствами / Д. В. Гоцев, А. Н. Спорыхин, А. Н. Стасюк // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2008. №¡8/2 (67). С. 41 - 57.

2. Гоцев Д. В. Устойчивость вертикальных горных выработок в упруговязколастических массивах с пористой структурой / Д. В. Гоцев, А. Н. Стасюк // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2010. Т. 10. Серия: Математика. Механика. Информатика, вып 2. С. 59 - 65.

3. Гоцев Д. В. Устойчивость цилиндрических горных выработок в пористых массивах со сложной реологией сжатого скелета / Д. В. Гоцев, А. Н. Стасюк // Вестник Чувашского педагогического университета им. И.Я.Яковлева. 2010. № 2. С. 31 - 39.

Статьи и материалы конференции:

4. Гоцев Д. В. Моделирование процесса деформирования горных выработок с нскруговыми многослойными крепями в массивах со сложными реологическими свойствами / Д. В. Гоцев, А. Н. Спорыхин, А. Н. Стасюк // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева. 2007. № 2. С.78 - 89.

5. Гоцев Д. В. Моделирование отказов горных выработок с многослойными крепями некруговой формы в массивах со сложными реологическими свойствами / Д. В. Гоцев, А. Н. Спорыхин, А. Н. Стасюк // Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» Воронеж, 2007. Часть 2. С 90 - 93.

6. Гоцев Д. В. Устойчивость подкрепленных выработок некруговой формы при совместном расчете крепи и массива горных пород / Д. В. Гоцев,

16

l

A. H. Спорыхин, A. H. Стасюк // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева. 2008. № 2. С. 139 - 160.

7. Гоцев Д. В. Математическое моделирование отказов подкрепленных горных выработок некруговой формы. I Д. В. Гоцев, А. Н. Спорыхин, А. Н. Стасюк // Сб. VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород, 22 сентября - 26 сентября 2008 г. Том 2. С. 309.

8. Гоцев Д. В. Моделирование отказа подкрепленной вертикальной выработки с некруговым сечением в массивах со сложными реологическими свойствами / Д. В. Гоцев, А. Н. Спорыхин, А. Н. Стасюк // Материалы IX Международной конференции Современные проблемы математики, механики, информатики. Россия, Тула, 20 - 22 ноября 2008 г. С. 188 - 201.

9. Гоцев Д. В. Математическая модель напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности круговой цилиндрической выработки, подкрепленной многослойной крепью при совместном расчете крепи и массива горных пород (случай установившегося течения) / Д. В. Гоцев, А. Н. Стасюк // Материалы X Международной конференции Современные проблемы математики, механики, информатики. Россия, Тула, 23 - 27 ноября 2009 г. С. 167-171.

10. Стасюк А. Н. Локальная неустойчивость горного массива в окрестности вертикальной цилиндрической выработки с учетом пористости и сложной реологии материала H Сборник трудов международной конференции Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики -Россия, Воронеж, 22 - 24 июня 2009 г. Часть 2. С. 192 - 194.

Подписано в печать ] 4.03.11. Формат 60*84 '/,„. Усл. исч. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 325.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издатсльско-полшрафичсского центра Воронежскою 1'осударсгвснного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение.

Глава 1. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи выработки при упруго-вязко-пластическом поведении материала.

§ 1. Уравнения, определяющие процесс деформирования упруговязко-пластических сред

§ 2. Линеаризация соотношений теории течения, граничных условий и условий сопряжения.

§ 3. Моделирование плоского деформированного состояния на основе линеаризированных соотношений.

§ 4. Математическая модель напряженно-деформированного состояния горного массива с круговой цилиндрической выработкой, подкрепленной многослойной крепью, при совместном расчете крепи и массива горных пород.

§ 5. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи цилиндрической выработки, подкрепленной многослойной крепью, слои которой в поперечном сечении близки по форме к эллиптическому кольцу.

§ 6. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи цилиндрической выработки, подкрепленной многослойной крепью, слои которой в поперечном сечении близки по форме к многоугольному кольцу.

§ 7. Моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива вблизи подкрепленной цилиндрической выработки с профилем, близким к круговому.

§ 8. Анализ основных результатов главы 1.

Глава 2. Моделирование процесса потери устойчивости подкрепленных горных выработок с некруговыми профилями.

§ 1. Моделирование задач устойчивости в механике деформируемых сред на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости.

§ 2. Основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в цилиндрической системе координат. Выбор метода решения статических упруго-вязко-пластических задач устойчивости.

§ 3. Исследование устойчивости подкрепленной выработки с профилями поперечных сечений слоев крепи и контура выработки, близкими к круговым.

§ 4. Анализ основных результатов главы 2.

Горные выработки представляют собой сложные инженерно-технические подземные сооружения, которые служат для добычи и хранения полезных ископаемых. При продолжительной эксплуатации требуется проведение укрепительных работ для горных выработок, например, создание многослойных крепей. Изучение разрушения горных пород возле выработок с многослойными крепями с позиций локальной потери устойчивости является важным и актуальным вопросом.

Исследование механических процессов в окрестности глубоких вертикальных горных выработок проводится в рамках плоской деформации, поскольку на достаточной глубине сечения, нормальные к продольной оси выработки, остаются плоскими и после деформирования.

Основные успехи в решении плоских упруго-пластических задач достигнуты в задачах с неизвестной упруго-пластической границей. Математическая задача в этом случае сводится к краевой задаче для бигармонического уравнения в области, граница которой неизвестна и определяется в процессе решения из дополнительных условий. Методы решения задач такого типа даны Л. А. Галиным, Г. П. Черепановым, Б. Д. Анниным.

Л. А. Галиным в 1946 г. было опубликовано решение задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоскодеформированного тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности постоянны [40]. Смещения в пластической области для этой задачи были определены Д. Д. Ивлевым [115] методом малого параметра. Точное решение системы уравнений для смещений в пластической зоне для задачи Галина получено Н. И. Остросаблиным [165]. Метод Галина для аналогичных задач был применен А. И. Кузнецовым [137] и Б. Д. Анниным [17].

Г. П. Черепанов нашел класс точных решений плоской упруго-пластической задачи, определяемый следующими требованиями: а) контур тела является многоугольником, все углы которого кратны ; б) касательная нагрузка на всем контуре равна нулю; в) часть границы многоугольника нагружена постоянными нормальными напряжениями и целиком охвачена пластической зоной; г) на оставшейся части границы, лежащей в упругой области, задано кусочно-линейное нормальное смещение [226]. Д. Д. Ивлев методом малого параметра решил несколько плоских упруго-пластических задач для идеально пластического тела, считая форму отверстия эллиптической, но близкой к окружности, а напряженное состояние на бесконечности - близким к всестороннему сжатию [116, 117]. JI. В. Ершовым и Д. Д. Ивлевым аналогичным способом была решена упруго-пластическая задачау для эллиптической трубы под давлением [98]. А. С. Космодамианский [135] и В. М. Мирсалимов [158] рассмотрели упруго-пластические задачи с бесконечным рядом одинаковых круговых отверстий. Б. Д. Аннин [18], Н. И. Остросаблин [166, 167] дали приближенное решение упруго-пластической задачи для плоскости, ослабленной конечным числом круговых отверстий. JI. М. Куршин и И. Д. Суздальницкий [139] решили упруго-пластическую задачу для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круговых отверстий.

П. И. Перлин [169, 170] решил ряд задач для отверстий в форме окружности и различных эллипсов; при этом были рассмотрены также случаи частичного охвата отверстия пластической зоной и случай двусвязной области, занимаемой телом. Тот же метод был применен В. С. Сажиным при решении упруго-пластической задачи для отверстия, близкого к квадрату; предполагалось, что на бесконечности имеет место всестороннее сжатие, а пластическая область охватывает все отверстие [186, 187]. В. С. Сажин рассмотрел также другие интересные задачи применительно к проблеме проявления горного давления вблизи выработок различной формы [184, 185].

В случае полного охвата пластической зоной отверстия Б. Д. Анниным [19] получено интегро-дифференциальное уравнение для граничных значений функции, отображающей конформно упругую область на внешность единичного круга, и найдено условие рациональности отображающей функции.

Предотвращение разрушения горных пород в массиве возле выработки является сложной инженерной и научной проблемой. Изучению проблемы разрушения массива при достижении напряженно-деформированным состоянием пределов прочности посвящены работы [10, 13, 14, 24, 41, 90-92, 102, 121, 138, 171]

Но причиной разрушения горных пород может являться также и достижение напряженно-деформированным состоянием критических значений, соответствующих локальной потере устойчивости (отказу) возле выработки. Потеря устойчивости массива может быть начальным этапом процесса разрушения, особенно при наличии пластических деформаций.

Л. В. Ершовым в 1962 году была опубликована статья, в которой рассматривалась осесимметричная задача об устойчивости вертикальной горной выработки кругового поперечного сечения при моделировании горной породы упругим изотропным сжимаемым телом [93]. В последующие годы выполнены исследования отдельных задач, результаты которых изложены в работах Л. В. Ершова, М. Т. Алимжанова и в ряде других работ [9, 12, 14, 95, 100]. Общим для этих и ряда других работ является то, что вместо линеаризированных уравнений устойчивости применяются линейные уравнения, а параметры нагружения вводятся в граничные условия. Это существенно упрощает решение задач и дает возможность легко получить конкретные результаты.

Первоначально решение проблем устойчивости основывалось преимущественно на статическом критерии Эйлера. Исследования,' которые были проведены в этом направлении [3, 28, 176, 211, 218] показали, что методы, основанные на бифуркации форм равновесия, имеют ограниченную область применения. Статические подходы пригодны в основном лишь в случае консервативных систем, а для неконсервативных систем надо рассматривать процесс движения системы во времени, то есть использовать динамические методы.

Теория неупругой устойчивости сжатых стержней была развита Ф. Энгессером, Ф. С. Ясинским и Т. Карманом. Для нахождения величин критических сил, соответствующих потери устойчивости ими был применен тот же статический метод Эйлера, который применялся в задачах устойчивости упругих систем. В настоящее время теория неупругой устойчивости [81, 82] является самостоятельным разделом механики, имеющая многочисленные приложения, используемые практически во всех отраслях промышленности и строительства. Однако подавляющее число исследователей, связывая явления потери устойчивости с тонкостенными конструкциями и стремясь упростить решение задач, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями, построенными путем введения вспомогательных гипотез.

Для построения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел обычно используются следующие два положения. Первое положение состоит в том, что в основном (докритическом) и возмущенном состоянии действуют одни и те же внешние нагрузки, а напряженно-деформированное состояние среды описывается соотношениями одной и той же нелинейной теории деформируемых тел. Второе положение заключается в том, что возмущения, накладываемые на величины основного состояния являются значительно меньшими по сравнению с ними. Таким образом, при постановке задачи возмущения являются сколь угодно малыми величинами. Поэтому, хотя начальные деформации (деформации основного невозмущенного состояния) и являются . малыми, по сравнению возмущениями они являются конечными величинами.

Впервые, учитывая соображения физического характера, Р. В. Саусвелл [253], а позднее С. Бицено, Г. Генки [238], получили трехмерные уравнения упругой устойчивости при малых докритических деформациях. М. А. Био [240, 241] вывел соотношения трехмерной теории устойчивости, линеаризируя уравнения нелинейной теории упругости, Е. Треффтц [255] — вариационным методом при определенных допущениях. Идеи Е. Треффтца нашли свое развитие в работе Р. Каппуса [250], где получены впервые строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях и для частного вида соотношений напряжения-деформации рассмотрены упрощения в случае малых деформаций.

Результаты многочисленных публикаций М. А. Био по трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых упругих тел нашли отражение в его монографии [239], которая явилась первой монографией по трехмерной линеаризированной теории устойчивости. В России основные соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости были получены В. В. Новожиловым [163, 164] в лагранжевых координатах, которые до деформации совпадали с прямоугольными координатами. В дальнейшем трехмерные линеаризированные задачи механики деформируемого тела при конечных докритических деформациях рассматривались в работах А. Грина, Д. Адкинса, А. И. Лурье, А. Н. Гузя, И. Ю. Бабича, А. Н. Спорыхина [86, 102, 103, 98, 104, 185, 242 - 244, 300] и других.

В работе А. Н. Гузя [86] изложена история формирования и развития трехмерной теории устойчивости деформирования упругих тел, дана классификация постановок задач и обзор исследований в этом направлении.

Вопросам устойчивости деформирования сложных сред, обладающих одновременно упругими, вязкими, пластическими, структурными и другими свойствами, которые позволяют полнее описывать разнообразные свойства реальных тел, посвящено ограниченное число работ. Сложность уравнений движения для большинства моделей реологически сложных сред приводит в задачах устойчивости значительным трудностям принципиального и вычислительного характера. В работе А. Ю. Ишлинского [120] было выполнено первое исследование в этой области для вязко-пластической среды. Результаты исследований в этом направлении представлены в монографиях [211, 214].

В монографии А. Н. Спорыхина [211] на основе общих идей теории возмущений развита трехмерная линеаризированнная теория устойчивости сложных сред при малых (строгая постановка) и больших (приближенная постановка) докритических деформациях. Разработаны подходы и методы решения трехмерных задач устойчивости механики деформируемых тел со сложными реологическими свойствами. Дана постановка и получено решение классов задач при однородных и неоднородных докритических состояниях при использовании различных моделей сред.

Полная классификация задач по методам исследования приведена в монографиях [64, 211] и обзорных статьях [81, 82]. На основе данной классификации вводятся соответственно статический и динамический критерии устойчивости. Последний является более общим и сводится к анализу поведения возмущений во времени. Для тел с реологическими свойствами в рамках линеаризированной теории состояние равновесия или движения считается устойчивым, если возмущения во времени затухают, и неустойчивым - если возрастают [68, 73, 81]. В монографии [130] вводится концепция потери устойчивости процесса деформирования, которая является частным случаем исследования устойчивости движения. Также в ней рассмотрены различные процессы нагружения и возникающие при этом трехмерные и двухмерные линеаризированные задачи.

Критические нагрузки будут называться приведенно-модульными, если при их определении учитывать образование дополнительных зон разгрузки.

Если учитывать предположение о совпадении зон разгрузки в докритическом и возмущенном состояниях при определении критических нагрузок, то последние будут называться касательно-модульными. Многочисленные эксперименты показали, что минимальная нагрузка, при которой стержень начинает выпучиваться, соответствует касательно-модульной нагрузке. Дальнейшие исследования в этой области привели к так называемой концепции продолжающегося нагружения [63, 69, 73, 81, 130], когда разгрузка в процессе потери устойчивости не учитывается и, следовательно, упругопластическая граница определяется из докритического состояния.

Публикации по устойчивости горных выработок в основном содержат вопросы исследования устойчивости вертикальных и горизонтальных выработок и их крепей, а также подземных полостей. Основные упрощения, принятые почти во всех работах состоят в следующем [69]:

- потеря устойчивости возле горных выработок имеет локальный характер, поэтому для возмущенного состояния можно ставить условия затухания при удалении «на бесконечность» и рассматривать задачи, соответственно, для бесконечных областей с полостями соответствующей формы;

- для сравнительно жестких пород докритическое состояние достаточно определять в рамках геометрически линейной теории;

- при определении начального состояния и исследовании задач устойчивости можно пренебречь действием всех сил на горный массив за исключением сил собственного веса;

- действие газа или жидкости, находящихся в горных выработках, моделируется действием равномерного внутреннего давления на крепь горных выработок;

-потеря устойчивости на рассматриваемой глубине обуславливается действием горного давления, а не краевыми эффектами;

- выработки достаточно удалены от дневной поверхности.

А. Н. Гузь в работе [66] впервые для задач геомеханики применил трехмерную линеаризированную теорию устойчивости и разработал общий метод решения таких задач на основе вариационных принципов. Значительная часть публикаций, относящихся к решению задач об устойчивости горизонтальных и вертикальных шахтных стволов с круглыми, эллиптическими, многоугольными поперечными сечениями и сферических полостей для хранения нефтепродуктов выполнены для упругой модели массива горных пород [6, 69, 80 и др.].

Теоретический анализ и практика эксплуатации горных выработок, как отмечено в работах [16, 88] показывают, что применение упругого (как изотропного, так и анизотропного) тела в качестве модели массива горных пород не отражает реальную картину процессов проходящих вблизи глубоких выработок. Это обусловлено тем, что напряжения, соответствующие критическому состоянию породы вокруг выработки во много раз превышают предел прочности горной породы. В связи с этим материал массива в приконтурной области перейдет в неупругое состояние раньше, чем произойдет его локальная потеря устойчивости. В работе [16] отмечается, что наиболее достоверные результаты исследования устойчивости горных выработок получаются при привлечении более сложных моделей, как наиболее полно отражающих реальное поведение горных пород. С этой точки зрения использование моделей сложных сред, в которых учитываются такие свойства, как пористость, пластичность, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных материалов, не могут не представлять существенный научный и практический интерес. Это направление интенсивно развивалось в работах [32 — 34, 89, 103, 104, 112 — 122, 126, 174, 175, 178-180, 195-214, 221,222, 229-231,235,258-260].

Использование уточненных постановок и усложненных моделей сред, как наиболее полно описывающих поведение реальных тел, влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения.

Для сложных моделей сред, с учетом существования границы раздела зон упругого и пластического деформирования горного массива, решению задач горной механики в рамках трехмерной теории устойчивости посвящены работы [42 - 51, 161, 204 - 207, 211, 214].

В монографии [214] в рамках общей трехмерной линеаризированной теории устойчивости малых деформаций изложена теория устойчивости горных выработок для сжимаемых и несжимаемых упругопластических и упруго-вязко-пластических моделей горных пород; разработан подход к решению цилиндрических и сферических задач устойчивости механики горных пород; дано приложение теории к деформированию и устойчивости подкрепленных горизонтальных и вертикальных выработок, подземных полостей, целиков, бурящихся скважин.

Из этих работ следует, что потеря устойчивости выработок происходит по осесимметричной форме.

Следует отметить, что одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является пространственная упругопластическая (упруго-вязко-пластическая) задача. Сложность уравнений для большинства реологических моделей сред приводит к значительным трудностям принципиального характера, кроме того, в таких задачах граница раздела областей упругого и пластического деформирования заранее неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения. Одним из методов, позволяющих получить приближенное аналитическое решение подобных задач, является метод возмущений, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе «возмущающих» те или иные исходные решения. Применению этого метода в механике деформируемого твердого тела посвящена монография Д. Д. Ивлева и Л. В. Ершова [112]. В обзорных статьях и монографиях М. Т. Алимжанова, А. Н. Гузя, А. Н. Спорыхина [14, 10, 16, 69, 73, 81, 82, 211] отражено состояние исследований в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел, проведенных с помощью метода возмущений.

Актуальность темы и направленность исследования.

Теоретический анализ и практика эксплуатации горных выработок показывают, что наиболее достоверные результаты исследования устойчивости горных выработок получаются с привлечением более сложных, чем упругая, моделей, как наиболее полно отражающих реальное поведение горных пород. С этой точки зрения использование моделей сложных сред, в которых учитываются такие свойства, как пластичность, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных материалов представляют существенный научный и практический интерес.

Однако использование уточненных постановок и усложненных моделей сред, как наиболее полно описывающих поведение реальных тел, влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения.

Этим и определяется выбор темы диссертации как актуальной для механики сплошной среды.

Основным направлением диссертационного исследования является численно-аналитическое моделирование локальной потери устойчивости вертикальных горных выработок, имеющих замкнутый контур поперечного сечения в форме эллипса или многоугольника со скругленными углами, подкрепленных многослойными крепями, имеющими в поперечном сечении форму колец, внешний и внутренний контуры которых могут иметь различную форму, эллиптическую или многоугольную со скругленными углами, на основе математической модели сплошной среды, учитывающей сложные реологические свойства (упруго-вязко-пластические).

Методы исследования.

Проведенные в данной диссертационной работе исследования базируются на методе возмущений, использование которого в решении многих задач механики сплошных сред, включая задачи теории пластичности, показало его высокую эффективность.

Обоснованность сделанных в работе выводов обеспечивается корректной постановкой задачи и дальнейшими строгими выкладками, использованием апробированных моделей механики сплошных сред, согласованием полученных результатов исследования с физическими представлениями и сопоставлением полученных результатов с уже известными.

Научная новизна.

Впервые получены новые теоретические результаты в рамках ТЛТУ по устойчивости деформирования подкрепленных и свободных горных выработок с некруговыми формами поперечных сечений для модели среды, учитывающей упрочняющиеся упруго-вязко-пластические свойства.

Исследована задача о пространственной форме потери устойчивости процесса деформирования горного массива, обладающего упруго-вязко-пластическими свойствами, вблизи вертикальной выработки.

Решены задачи об устойчивости горного массива вблизи свободных вертикальных выработок с эллиптической или близкой к правильной многоугольной формами поперечных сечений.

Исследована задача устойчивости процесса деформирования горного массива с вертикальной выработкой, подкрепленной многослойной крепью, когда внешний и внутренний контуры каждого слоя крепи имеют разную геометрическую форму.

Разработан алгоритм и дано приближенное решение трехмерных уравнений математических моделей описывающих потерю устойчивости подкрепленных горных сооружений различной формы поперечного сечения.

Выявлено влияние физико-механических характеристик (пластичность, упрочнение, вязкость) и формы поперечных сечений слоев крепи на величину критического давления.

Практическая значимость диссертации и использование полученных результатов.

В рассмотренных классах задач устойчивости выявлены характерные эффекты (в частности установлено, что с ростом коэффициентов упрочнения и вязкости, а также при увеличении предела текучести область устойчивости увеличивается), позволяющие при проектировании правильно назначать прочностные нормы для конструкций, работающих под нагрузкой.

Полученные результаты могут быть использованы при выборе расчетных схем, необходимых при проведении выработок, при выборе форм поперечных сечений подземных сооружений и их крепей, при оптимальном выборе толщины крепежных конструкций на основе данных о физико-механических свойствах массива, для исследования напряженно-деформированного состояния массива возле выработок и их крепей.

Апробация.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж, 2007 г.; X международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула, 2008 г.; международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 2009 г.; семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского госуниверситета 2007 - 2010 гг.

Публикации автора.

Автором опубликовано 10 работ по теме диссертации [52-60, 215], из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук [56, 58, 59].

Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 260 наименований. Материал изложен на 125 страницах машинописного текста и содержит 11 рисунков и 2 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел проведено математическое моделирование напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости горного массива, содержащего подкрепленные выработки некруговой формы. Расчеты представлены для материалов, свойства которых описываются упруго-вязко-пластической моделью тела с трансляционным упрочнением. Результаты изложенные в работе сводятся к следующему.

В рамках принятой модели среды разработана и проанализирована математическая модель, описывающая процесс деформирования горного массива содержащего подкрепленную вертикальную некруговую выработку.

Для принятых математических моделей выработок приведены аналитические решения для полей напряжений и деформаций для горного массива содержащего: а) вертикальную выработку с поперечным сечением, имеющем форму эллипса; б) вертикальную выработку с поперечным сечением, имеющем форму многоугольника; в) вертикальную выработку с профилем, близким к круговому.

На основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости разработаны математические модели отказов горных выработок с некруговым поперечным сечением.

Для полученных математических моделей для исследования отказов горных выработок с некруговым поперечным сечением в случае неоднородных докритических состояний построен алгоритм решения.

Для конкретных физико-механических характеристик получены критические значения нормального давления, распределенного по контуру выработки.

Проведен теоретический и численный анализ полученных решений. Результаты представлены в виде графиков.

Выявлено влияние коэффициентов вязкости, упрочнения и других характеристик материалов горного массива и разномодульной крепи, внешних нагрузок и геометрии контуров выработки и слоев крепи на распределение полей напряжений и перемещений, а также на поведение радиусов упруго-пластических границ в массиве и разномодульной крепи;

Проведенное исследование на основе разработанных математических моделей отказов подкрепленных горных выработок с некруговым поперечным сечением показало: а) наличие в горном массиве поверхностей раздела зон упругого и пластического деформирования может существенно влиять на устойчивость горных выработок; б) существенное влияние на потерю устойчивости оказывают как физико-механические, так и геометрические параметры конструкций; в) вычисления, когда горный массив содержал выработку, имеющую в поперечном сечении форму, близкую к многоугольной, и форму окружности, показали, что в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости будет больше; г) численный эксперимент позволил оценить изменение области критических значений нагрузок при изменении глубины заложения выработки; при увеличении глубины заложения величина критического давления на контуре выработки увеличивается; д) с ростом коэффициента упрочнения, область устойчивости увеличивается; е) используемый численный конечно-разностный метод является достаточно эффективным для решения рассмотренных задач.

1. Акопян Ж. С. О потере устойчивости вертикальной выработки по неосесимметричной форме // Прикл. механика. — 1976. — Т. 12. №5. — С. 116 — 119.

2. Акопян Ж. С. Числовые результаты для неосесимметричной задачи об устойчивости вертикальной горной выработки // Прикл. механика. 1976. — Т. 12.-№9.-С. 130-131.

3. Акопян Ж. С., Бабич И. Ю., Гузъ А. Н., Дериглазов Л. В. О задачах устойчивости вертикальных горных выработок в анизотропном массиве // Прикл. механика. 1978. - Т. 14. - №12. - С. 23 - 29.

4. Акопян Ж. С., Гузъ А. Н. О вариационных принципах теории устойчивости горных выработок для несжимаемых моделей // Докл. АН УССР. Сер. А. -1981. №10. - С. 27-30.

5. Акопян Ж. С., Гузъ А. Н., Навоян А. В. О задачах устойчивости вертикальных горных выработок // Прикл. механика. 1974. - Т. 10. - №5. - С. 54 - 62.

6. Акопян Ж. С., Гузъ А. Н., Навоян А. В. О построении теории устойчивости горных выработок // Прикл. механика. 1982. - Т. 18. - №5. - С. 3 - 22.

7. Акопян Ж. С., Гузъ А. Н., Навоян А. В. Об устойчивости упруго-пластических тел при всестороннем сжатии // Прикл. Механика. 1979. Т. 15, №12. - С. 107 -110.

8. Алимжанов М. Т., Габдулин Б.Ж. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек // Вест. АН КазССР. 1967. - № 10 - С. 52 - 67.

9. Алгшжанов М. Т. Исследование устойчивости подземных выработок. — В кн.: Материалы первой научной конференции молодых ученых. АН КазССР, «Наука», Алма-Ата, 1968.-С. 7-8.

10. Алимжанов М. Т., Евсторопов Н. А. Расчет устойчивости подземных полостей, созданными внутренними взрывами // Науч. труды МГИ. — М., 1973. С. 345 - 347.

11. Алимжанов М. Т., Ершов Л. В. Устойчивость равновесия тел и некоторые задачи горного давления. — В кн.: Проблемы механики твердого тела. «Судостроение», Л., 1970. С. 47 - 54.

12. Алимжанов М. Т., Исхаков М. Д. Об устойчивости равновесия в некоторых осесимметричных задачах горных пород. — В кн.: Проблемные вопросы механики горных пород. «Наука», Алма-Ата, 1972. С. 43 - 255.

13. Аннин Б. Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями.— В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1969, вып. 1, с. 234 — 241.

14. Аннин Б. Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости с отверстиями. // Докл. АН СССР, 1969, т. 184, № 2, с. 315 317.

15. Бабич И. Ю., Гузъ А. Н. Потеря устойчивости как возможный механизм образования выбросов // Прикл. механика. — 1977. — Т. 13. №5. - С. 23 - 26.

16. Белотымцева И. В., Спорыхин А. Н. Устойчивость плит под действием равномерно распределенных касательных усилий. — Сб. Трехмерные задачи механики структурно-неоднородных сред. Воронеж, 1991, С. 41 - 50.

17. Бицено К. Б., Граммелъ Р. Техническая динамика. М.: Гостеоретиздат, 1950.-Т.1.

18. БлегЬс Ф. Устойчивость металлических конструкций. — М.: Физматгиз, 1959. 544 с.

19. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961. 340 с.

20. Болотин В. В., Москаленко В. Н. Задачи об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // Журн. Прикл. мех. и техн. физики. 1968, №1, С. 66-72.

21. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. — М.: Наука. 1971. 270 с.

22. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.: Наука, 1980.-271 с.

23. Быковцев Г. К, ИвлевД. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.-527 с.

24. Быкова О. Г. Расчет трехслойной крепи стволов // Горн, давление и горн, удары. НИИ горн, геомех. и маркшейд дела (ВНИМИ) СПб, 1993. - С. 29 - 32. Зв.Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. -984 с.

25. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика композитных материалов. Минск, 1978. - 1221 с.

26. ЪЪ.Вулъман С. А., Семыкина Т. Д. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением // Прикл. задачи мех. сплошных сред. Воронеж, 1988. С. 48-51.

27. Вялое С. С. Реологические основы механики грунтов. М.:Высш. Школа, 1978.-447 с.

28. АО.Галин Л. А. Плоская упруго-пластическая задача // Прикл. матем. мех. 1946. Т 3, №3. С. 367 — 386.41 .Глушко В. Т., Долинина Н. Н., Розовский М. И. Устойчивость горных выработок. «Наукова думка», Киев, 1973. — 206 с.

29. Сб. научных трудов «Аэродинамика, механика и технологии авиастроения». Воронеж, 2002 г.-С.131 138.

30. Гоцев Д. ВЕненко И. А. Моделирование процесса устойчивости горных выработок некруговой формы в упруго-вязко-пластических массивах // VII Всероссийская научная конференция Н. Новгород, 19-22 сентября, 2005 г. — С. 30-32.

31. Гоцев Д. В., Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов // Журн. Прикл. механика и техн. физика, СО РАН.-2001. Т. 42, №3.-С. 146-151.

32. Гоцев Д. В., Спорыхин А. Н. Локальная неустойчивость подкрепленных горных выработок // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. / Под ред. Д.М. Климова М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003.-С. 300-313.

33. Гоцев Д. ВСпорыхин А. Н., Стасюк А. Н. Устойчивость подкрепленных выработок некруговой формы при совместном расчете крепи и массива горных пород // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева -2008. —№ 2 —С.139- 160.

34. Гоцев Д. В., Стасюк А. Н. Устойчивость цилиндрических горных выработок в пористых массивах со сложной реологией сжатого скелета // Вестник Чувашского педагогического университета им. И. Я. Яковлева — 2010 № 2. С. 31-39.

35. Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1971.-276 с.

36. Гузь А. Н. Трехмерная теория упругой устойчивости при коне~чцЬ1х докритических деформациях // Прикл. механика. 1972. — Т. 8. №12. — С. "2.S — 44.

37. Гузь А. Н. О задачах устойчивости в механике горных пород // Пробл еяч/вдые вопросы механики горных пород. Алма-Ата, 1972. — С. 27 - 35.

38. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. — 1ЕСцев-Наукова думка, 1973. — 272 с.

39. Гузь А. Н. Об устойчивости упруговязкопластических тел при неоднородном докритическом состоянии // Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. - №5. - С. 410 — 416.

40. Гузь А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Ha.;yicOBa думка, 1977. - 204 с.

41. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. — ЬСиев* Наукова думка, 1979. 144 с.

42. Гузь А. Н. О вариационных принципах трехмерной теории устойчивости деформируемых тел при действии «следящих» нагрузок. // ДАН СССР, -т\ 246 №6, 1979, С. 1314-1316.

43. Гузь А. Н. О задачах устойчивости горных выработок // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. - №3. - С. 553 - 555.

44. Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых: тел — Киев. Вища школа, 1980. 512 с.

45. Гузь А. К О трехмерной теории устойчивости деформируемых тел Поверхностная неустойчивость // Прикл. механика. 1986. - Т . 22. - J4s> 1 q 24-35.

46. Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых: тел. — Киев: Вища школа, 1986. 504 с.

47. Гузь А. Н. О численных методах в трехмерной теории устойчивости деформируемых тел // Прикл. механика. 1988. Т. 21, № 1 . С. 3 - 10.

48. Гузъ А. Н., Бабич И. Ю. Трехмерная теория устойчивости деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1985. - 280 с.

49. Т&.Гузь А. Н., Бабич И. Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1980. — 168 с.

50. Гузъ А. Н., Корж В. П., Чехов В. Н. Неустойчивость слоистых тел при сжатии с учетом действия поверхностных распределенных нагрузок / Прикл. механика. 1989. Т 25,№ 5.- С. 13 22.

51. Гузъ А. Н., Спорыхин А. Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Конкретные результаты // Прикл. механика. 1982. - Т. 18. - №8. - С. 3 - 27.

52. Гузъ А. Н., Чехов В. Н. Линеаризированная теория складкообразования в толще земной коры // Прикл. механика. 1975. - Т. 11.- №1. - С. 3 - 14.

53. ДинникА. H. Статьи по горному делу. Углтехиздат, М„ 1957. 195 с.

54. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // В сб.: Определяющие законы механики грунтов. -М.: Мир, 1975.

55. Ержанов Ж. С. Теория ползучести горных пород и ее приложения. «Наука», Алма-Ата, 1964. 175 с.

56. Ержанов Ж. С. и др. Аналитические вопросы механики горных пород. «Наука», Алма-Ата, 1969. 141 с.

57. Ержанов Ж. С., Сагинов А. СВекслер Ю. А. Расчет устойчивости горных выработок, подверженных большим деформациям. «Наука», Алма-Ата, 1973. 140 с.

58. Ершов Л. В. О постановке задачи устойчивости горных выработок // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 143. - №2. - С. 305 - 307.

59. Ершов Л. В. К вопросу о проявлении горного давления в вертикальном шахтном стволе // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностр. 1962. - №6. -С. 103- 107.

60. Ершов Л. В. К математической теории горного давления // В кн.: Аналитические методы исследования и математическое моделирование горных процессов. -М.: Госгортехиздат, 1963, С. 19-43.

61. Ершов Л. В., ИвлевД. Д. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностр.- 1958. -№8.-С. 149- 152.

62. Ершов, JI. В., Ивлев Д. Д. О потере устойчивости вращающихся дисков // Изв. АН СССР, ОТН, 1958, №1, - С. 124 - 125.

63. Ершов Л. В,, Максимов В. А. Математические основы физики горных пород. М.: Издание МГИ, 1968. 293 с.

64. Зебриков В. П. Напряженное состояние концентрической' трубы при упругопластическом деформировании под действием давления // Журн. Прикл.мех. и техн. физ. 1983. - №3. - С. 152 - 159.t

65. Зубчанинов В. Г. Об упругопластической устойчивости пластин // Инж. Журн. Механика твердого тела, 1965, Т 5, №21 С. 299 305.

66. Зубчанинов В. Г. К проблеме неустойчивости упругопластических систем // Изв. АН СССР, МТТ. 1969, № 2. С. 109 115.

67. Ибрагимов В. А., Нефагин В. А. Сходимость метода разложения по? параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней // Теор. и прикл. мех. 1988. - № 15. С. 50 - 58.

68. Иванов Г. В. К устойчивости равновесия пластин по теории пластического течения // прикл. мех. и техн. физ. 1963, № 2. С. 108—112.

69. Ивлев Д. Д. К теории сложных сред // Докл. АН СССР 1963. - т. 148, N1.- С. 64 67.

70. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

71. Ивлев Д. Д Быковг^ев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971.-232 с.

72. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. - 208 с.

73. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Т 1. М.: Физматлит, 2001. - 445 с.

74. Ивлев Д Д. Механика пластических сред. Т 2. М.: Физматлит, 2002. - 448 с.

75. Ивлев Д. Д. Приближенное решение упруго-пластических задач теории идеальной пластичности методом малого параметра. // Докл. АН СССР, 1957, т. 113, №2, с. 294-296.

76. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

77. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории / А. А. Ильюшин М.: Изд-во АН СССР, 1963, 271 с.

78. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности М.,Физматлит. 2001. 701 с.

79. Каверин И. М. Исследование напряженно деформированного состояния моделей крепей шахтных стволов // Мех. подзем, сооруж. Тул. гос. техн. ун-т. -Тула, 1993.-С. 61-62.

80. Капылов С. И. Расчет многослойной крепи ствола с учетом разномодульности горных пород и материала крепи // Тул. Гос. техн. ун-т. — Тула, 1993.-С. 29-33.

81. Кацауров И. Н. Механика горных пород. М.: Недра. -1981. — 161с.

82. Керштейн И. М., Клюшников В. Д., Ломакин Е. В., Шестериков С. А. Основы экспериментальной механики разрушения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

83. Клюшников В. Д. Неустойчивость пластических конструкций (обзор). -Механика. Новое в зарубежной науке. - М.: Мир. - 1976. - № 7. - С. 148 - 177.

84. Клюгиников В. Д. О некоторых особенностях явления неустойчивости за пределом упругости // В сб.: Усп. мех. деформ. сред. М.: Наука. - 1975.- С. 20 -27.

85. Клюшников В. Д. Развитие теории устойчивости конструкции за пределом упругости и критерий бифуркации процесса деформирования // Прикл. мех. 1975. Т. 11, № 6. - С. 3 - 11.

86. Клюгиников В. Д. Устойчивость упруго-пластических систем. М.: Наука, 1980.-240 с.

87. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Двухосное растяжение упругопластического пространства с включением близким по форме к правильному многоугольнику // Вестник ВГУ Серия 2. Естественные науки. — Воронеж. 1998. - № 3. - С. 136 -141.

88. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н., Яковлев А. Ю. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением // Прикладная механика, HAH Украины. Киев. -2000. - Т. 36, № 6. - С. 114 -120.

89. Константинова С. А., Соколов В. Ю., Хронусов В. В. Геомеханические основы прогноза и обеспечение устойчивости подземных сооружений в соляных породах // Научн. техн. горн, ассоц.- М. — 1993. — С. 55.

90. Константинова С. А., Хронусов В. В., Соколов В. Ю. Напряженно деформированное состояние и устойчивость пород в окрестности очистных выработок при разработке одного сильвинитового пласта // Изв. вузов. Горн, ж.- 1993.-№4.-С. 40-45.

91. Космодамианский А. С. Упруго-пластическая задача для изотропного массива, ослабленного бесконечным рядом одинаковых круговых выработок. // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, механика и машиностроение, 1961, № 4. с. 187-188.

92. Кривоченко А. В., Спорыхин А. II, Чеботарёв А. С. Деформирование бесконечного пространства ослабленного сферической полостью // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. — Минск, 2001. С. 268 - 274.

93. Кузнецов А. И. Плоская деформация неоднородных пластических тел. // Вестник Ленингр. ун-та. Серия математика, механика, астрономия, 1958, № 13, вып. 3, с. 112-131.

94. Кулиев, Г. Г. Разрушение и устойчивость трехмерных тел с трещинами и некоторые родственные проблемы горной и нефтяной механики. Баку. : Элм., 1983.- 143 с.

95. Куршин Л. М., Суздальницкий И. Д. Упруго-пластическая задача для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий. // Прикл. математика и механика, 1968, т. 32, вып. 3, с. 463 — 467.

96. Левшин А. А., Ревва В. А., Александров М. И. Исследование напряженно деформированного состояния анизотропного массива в окрестности угольного целика // Физ. и техн. высоких давлений. 1993. - 3 №3. - С. 90 - 95.

97. Левшин А. А., Ложкин В. Н., Кодак Н. И. О напряженно деформируемом состоянии массива в окрестности подготовительной выработки // Изв. вузов. Горн, ж.- 1993. №2. - С. 41 - 43.

98. Легеня И. Д. Об устойчивости толстой плиты сжимаемой в двух направлениях // Прикл. механика. 1966. Т. 2., № 7. - С. 87 - 94.

99. Легеня И. Д. Цилиндрическая форма потери устойчивости толстой плиты // Изв. вузов. Машиностроение 1969. - № 3. — С. 38-41.

100. Лейбензон Л. С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек // Собр. труд. М.: АН СССР, 1951.-Т. 1.-С. 50-85.

101. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. -М.: 1970.-81 с.

102. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

103. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат. 1950. 427 с.

104. Мавианов Г. С. К расчету подземных составных оболочечных конструкций // Научн.-техн. горн, ассоц.- М. 1993. - С. 64.

105. Малмайстер А. К, Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. — 572 с.

106. Марушкей Ю. М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра // Прикл. мех. 1975. - Т. 12, 3 2. - С. 126 - 130.

107. Маченко Н. М., Митяев А. Г., Фейгин С. Д. Влияние начальной пластической анизотропии на напряженное состояние пластины с отверстием //

108. Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. — Тула, 1980.-С. 14-19.

109. Медведь И. А., Спорыхин А. Н. О потери устойчивости круглых вращающихся полых цилиндров ,из упругопластического материала // Деп в ВИНИТИ 02.04.82. №1517-82. - 10 с.

110. Миренков В. Е., Шутов В. А. О распределении напряжений около угловых точек контура выработки // Мех. горн, пород горн, и строит, машиновед., технол. горн, работ. Ин-т горн, дела СОР АН. Новосибирск. - 1993- С. 66 — 70.

111. Миронова М. В. Оценка устойчивости горных выработок, сооруженных в слабых породах при неупругой работе крепи и массива // Мех. горн, пород и сооруж. Горн, выработок: Тез. докл. СПб, 1993. — С. 50 - 55.

112. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987.-225 с.

113. Мирсалимов В. М. О решениях упруго-пластических задач для плоскости с однопериодической системой круговых отверстий.— Докл. АН АзССР, 1973, т. 29,№5,с. 11-15.

114. Михлин С. Г. О распространении напряжений в полуплоскости с эллиптическим вырезом // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР, 1934, № 29.

115. Мусхилшивили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

116. Назаренко В. M. Об устойчивости горных выработок с учетом зон раздела физико-механических свойств пород // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. - №12. -С. 34-38.

117. Найфе А. X. Введение в методы возмущений. — М.: Мир. 1984. 526 с.

118. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.-211 с.

119. Новожилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз. 1958. 347 с.

120. Остросаблин Н. И. Определение смещений в задаче Л. А. Галина.— Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1973, вып. 14, с. 67—70.

121. Остросаблин Н. К Упруго-пластическая задача для плоскости с двумя одинаковыми круговыми отверстиями.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1970, вып. 4, с. 114—118.

122. Остросаблин Н. И. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости, ослабленной конечным числом круговых отверстий.— Прикл. механика, 1973, т. 9, № 10, с. 124—128.

123. Пановко Я. Г, Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1964.-336 с.

124. Перлин П. И. Решение плоских упруго-пластических задач для двухсвязных областей.— Инж. журн., 1961, т. 1, вып. 4, с. 68—76.

125. Перлин П. И. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстий.— В кн.: Исследования по механике и прикладной математике. М.: Оборонгиз, 1960, с. 30—40.— (Тр. Моск. физ.-техн. ин-та, вып. 5).

126. Подболотов Б. И., Спорыхин А.Н. Неустойчивость неоднородного полупространства // Вестн. АН Каз. ССР. 1987. - № 3. - С. 66 - 69.

127. Подболотова Н. Б., Спорыхин А. Н. К построению решения плоской задачи для сложной среды с неизвестной границей // Прикл. мех. HAH Украины. — Киев. 1998. - Т. 4, №11. - С. 67 - 77.

128. Подболотов Б. Н., Спорыхин А. Н., Чиканова Н. К Исследование устойчивости упругопластических сред в рамках модели Ишлинского // Деп. в ВИНИТИ 8.05.89 № 3558 В. 89. - 8с.

129. Прагер В., Ходж Ф. Г. Теория идеально пластических тел. — М.: ИЛ, 1956. -398 с.

130. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. -М.: ИЛ, 1963. 181 с.

131. Пшеничный В. А., Масаев В. Ю., Удовиченко В. М. Обоснование рациональных параметров сталебетонной крепи в зависимости от вида ее нагружения // Соверш. технол. стр-ва горн, предприятий. Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1994. - С. 79-84.

132. Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского университета, 2004 г. 147 с.

133. Ревуженко А. Ф., Стоневский С.Б., Шемякин Е.И. Некоторые модели деформирования горных пород и грунтов // В кн.: Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск, 1975. — С. 140 145.

134. Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. СО РАН, ИЗД-во Новосибирского университета, 2000 г., - 428 с.

135. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. — Киев: Наукова думка, 1968.-888 с.

136. Самарцев Г. И., Окатов Р. 77. К оценке устойчивого состояния приконтурного массива незакрепленной горной выработки // Изв. вузов. Горн, ж,- 1994. №1.-с. 47-50.

137. Сажин В. С. Определение области неупругих деформаций с учетом изменения сцепления породы.— Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 1967, № 6, с. 93—95.

138. Сажин В. С. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг выработок квадратной, овальной и сводчатой форм.— В кн.: Основания, фундаменты и подземные сооружения. М., Стройиздат, 1967, с. 84—91.

139. Сажин В. С. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстия, близкого к квадрату.— Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 2, с. 364—368.

140. Сажин В. С. Упруго-пластическая задача для бесконечной плоскости с квадратным отверстием.— Прикл. механика, 1965, т. 1, № 11, с. 134—137.

141. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.:Наука, 1973. - Т.2. - 536 с.

142. Скаченко А. В. К вопросу устойчивости многослойных тел // Прикл. механика. 1990. -Т.26, №2. С. 88 - 93.

143. Скаченко А. В. Устойчивость многослойных композитовпри неупругих деформациях // Прикл. механика. 1980. - Т.15, №8. С. 104 - 106.

144. Скаченко А. В., Спорыхин А. Н. Устойчивость упруго-пластических тел при больших пластических деформациях // Прикл. механика. — 1976. Т. 12. - №5. -С. 11-17.

145. Скаченко А. В., Спорыхин А. Н., Сумин А. И. К устойчивости упругих тел со случайными неоднородностями при конечных деформациях // Прикл. матем. и мех. 1979, Т 43, № 6, С. 1125 1129.

146. Скаченко А. В. Устойчивость многослойных композитов при неупругих деформациях//Прикл. механика, 1980, Т. 15, № 8, С. 104 -106.

147. Сорокин В. И., Швайко Н. Ю. Бифуркация процесса упругопластического деформирования и докритическое поведение модели пластины // Докл. АН УССР. Сер. А, 1979, № 1, С. 43 -48.

148. Спорыхин А. Н. Об устойчивости деформирования упруго-вязко-пластических тел // Прикл. механика и техн. физика. 1967. - №4. - С. 52 - 58.

149. Спорыхин А. Н. Об устойчивости плиты при сжатии // Прикл. механика. -1969. Т. 5, №8. - С. 120 - 122.

150. Спорыхин А. Н. К устойчивости равновесия упруго-вязко-пластической среды // Прикл. механика и техн. физика. 1970. - №5. - С. 86 - 92.

151. Спорыхин А. Н. Неупругая устойчивость толстых круглых пластин, находящихся в состоянии трехмерных напряжений // Труды НИИ мат. Воронеж, ун-та. 1971. - вып. - 4. - С. 107 - 111.

152. Спорыхин А. Н: Устойчивость цилиндрических упруго-пластических тел // Механика деформируемого твердого тела. 1977. - №3. - С. 89 - 93.

153. Спорыхин А. Н. О применимости статического метода к исследованию устойчивости упруго-вязко-пластических сред // Мех. деформируемых сред (Куйбышев). 1978. - №3. - С. 115 - 123.

154. Спорыхин А. Н., Трофимов В. Г. Задачи устойчивости упруго-вязко-пластических тел // Прикл. механика и техн. физика. 1973. - №4. — С. 144 — 147.

155. Спорыхин А. И., Трофимов В. Г. О пластической неустойчивости в некоторых случаях простого течения // Прикл. матем. и мех. 1974, Т 38, № 4, С. 712-718.

156. Спорыхин А. Н., Трофимов В. Г. Устойчивости тел при больших докритических деформациях // Изв. АН СССР. МТТ. 1975, № 4, С. 131 134.

157. Спорыхин А. И., Шашкин А. И. Устойчивость вертикальных выработок в упрочняющихся пластических массивах // Прикл. механика. 1974. - Т. 10. -№11.-С. 76-80.

158. Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия тел и некоторые задачи горного давления / Ред. журн. «Изв. АН Каз. ССР.». Алма-Ата, 1976.19 е.: I ил. библиогр.: 19 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.76, №181-76.

159. Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. К определению оптимальных размеров горных выработок в упруго-пластическом грунте / Воронеж ун-т. Воронеж, 1980. - 15 с. - библиогр.: 9 назв. - Деп. в ВИНИТИ 14.10.80, №4388-80.

160. Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Числовые результаты решения некоторых неупругих задач в механике горных пород / Воронеж ун-т. Воронеж, 1982. —20 е.: 4 ил. библиогр.: 17 назв. - Деп. в ВИНИТИ 22.09.82, №4932-82.

161. Спорыхин А. Н. Устойчивость цилиндрических упруго-пластических тел // Механика деформируемого твердого тела. 1977. - №3. - С. 89 - 93.

162. Спорыхин А. К, Ковалев А. К, Щеглова Ю. Д. Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной границей Воронеж: Издание Воронежского государственного ун-та, 2004. - 129 с.

163. Спорыхин А. К, Чиканова Н. Н. Локальная неустойчивость составных упруго-пластических конструкций // Механика композитных метериалов. 1995, Т. 31, №2, С. 248-267.

164. Спорыхин А. Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж: Воронежский государственный университет. 1997. - 361 с.

165. Спорыхин А. К, Сумин А. И. Устойчивость кручения цилиндра при конечных возмущениях // Прикладная механика. HAH Украины. 2000. - Т. 36, № 3. С, 133- 136.

166. Спорыхин А. Н., Щеглова Ю. Д. Метод возмущений в задачах упругопластического кручения стержней // Ж МТТ РАН. 2000. -№ 5. - С. 54 — 64.

167. Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных пород. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. - 232 с.

168. Толоконников Л.А., Тарасъев Г.С., Левин В.А. Наложение больших упругих деформаций. Проблемы, теория, результаты // II Всес. конф. По теории упругости: Тез. докл. Тбилиси, 1984. — С. 271 — 272.

169. Трифонова-Генова В. Исследование многослойной крепи вертикального ствола в пластовом массиве МКЭ // Мин.-геол. унив., София. 1990. - 37, №2 Б.-с. 375-379.

170. Усаченко Б. М., Богданов А. Н. Оценка напряженно деформированного состояния породного массива на сопряжении подземных горных выработок // Ин-т геотехн. Мех. АН Украины Днепропетровск, 1994 — 11 С.

171. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математическая теория неупругой сплошной среды. М.: ГИФМЛ, 1962. - 432 с. 1

172. Хорошун Л. П., Маслов Б. П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композиционных материалов. — Киев. -1980.- 110 с.221 .Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. -Владивосток: Дальнаука, 1996.

173. Хромов А. И., Кочеров Е. П., Григорьева А. Л. .Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. -2006. №43.-С. 88-91.

174. Цветков Ю.Д. Кручение упругопластического цилиндрического стержня с поперечным сечением, близким к круговому // В кн.: Актуальные задачи механики сплошных сред. Чебоксары, 1986. - С. 117-119.

175. Циглер Г. Об устойчивости упругих систем // Проблемы механики. М: иностр. лит. 1959. — С. 116 — 160.

176. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. -192 с.

177. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи / Прикл. матем. и мех. 1963. - Т. 27. Вып. 3. - С. 428 - 436.

178. Чехов В. Н. Влияние «следящей» нагрузки на складкообразование в земной толще // Прикл. механика. 1975. - Т. II. - №5. - С. 86 - 92.

179. Чехов В. Н. Исследование процесса складкообразования при нелинейном докритическом состоянии // Прикл. механика. 1976. - Т. 12. - №4. - С. 32 - 40.

180. Шашкгш А. И. Определение оптимальной; толщины монолитной- крепи«// Труды НИМ. математики Воронеж, ун-та. Воронеж,, 1973. - Вып. 8. — С. 50 -53. \ : ' ; ' . ."'. '"•■. ' . .

181. Шашкин AL И. Определение оптимальных размеров неупругих. крепей вертикальной выработки и сферической полости / Воронеж ун-т. — Воронеж. . 1982. 29 е.: 4 ил. - Библиогр.: 11 назв. - Деп: в ВИНИТИ 2.07.82, №3450-82. .

182. Шашкин А. И: Определение оптимальной толщины упругой толстостенной крепи вертикальнойТорной выработки // II Всесоюз; конф. По теории упругости: Тез; докл. Тбилиси, 1984. - С. 294 - 295.,

183. Швайко Н. Ю. Сложное нагружение и некоторые вопросы устойчивости-элементов конструкций // Прикл. механика. 1979. — Т. 15, №2. - С. 6-34.

184. Швайко Н.Ю. Влияние истории нагружения, на устойчивость элементов конструкций // Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1991. 168 с.

185. Шевченко Ю.Н., Прохоренко И.В. Теория- упруго-пластических, оболочек при неизотермических процессах, нагружения. Киев: Наукова думка, 1981. -296 с.t

186. Шемякин Е.И. О закономерностях неупругого деформирования вокрестности подготовительной выработки // Горное давление в капитальных^ и подготовительных выработках. Новосибирск, 1975. - С. 3 -17.

187. Шенли Ф'. Теория колонны за пределом упругости // Механика. М.: №2, 1951, С. 88-98.

188. Ariaratnam S. Т., Dubey R. N. Some cases of bifurcation in elastic-plastic, solids. in plane strain // Quart. Appl. Math. 1969. Vol. 27, №3. P. 344 - 358.

189. Biezeno С. В., Hencky H. On the,general theory of elastic stability // Koninklijke Akademic van Wettenichappen te Amsterdam. Proc. of the Soc. Sci. 1928. - Vol. 31.-1929.-Vol. 32.

190. Biot M. A. Mechanics of incremental deformation Y.N.: John Willey and Sons. 1965.-P. 506.

191. BiotM. A. Sur la stabilité de l'equilibrie elastique Equations de l'eleasticire d'un milieu soumis a tension initiale // Ann. Soc. Sci. Ser. B. 1934. - Vol. 54. - Pt. 1. — P. 91- 109.

192. Biot M. A. Non linear theory of elasticity and linearized case for a body under initial stress // Phil. Mag. Ser. 7. 1939. - Vol. 27. - P. 89 - 115.

193. Chiou Len-Huang, Lee James D., Erdman Arthur G. Comparison between Two Theories of Plastisity. Comput. And Struct., 1986, 24, №5, P. 140 - 147.

194. Clifton I. R. On the Analyses of Elastic Viscoplastic Waves of Finite une Axial Strain. in: "Shock Waves and the Mechanical Properties of Solids". - Syracuse: University Press, 1971, P. 27 - 49.

195. Drucker D. C., Prager W. Sail mechanics and plastic analyses or limit design // Quarterly of Applid Mathematics. 1952. - Vol. 10. - №2. - P. 157 - 165.

196. Dubey R.N., Ariaratnam S.T. Bifurcation in elastic-plastic solids in plane stress // Quart. Appl. Math. 1969. Vol. 27, №3. P. 381 - 390.

197. Fox N. Some problems of Finite Plastic Deformation. Arch. Mech. Stosow., 1972, Vol. 24,№3, P. 373 - 381.

198. Green A. E., Rivlin R. S., Shield R. D. General theory of small elastic deformations superposed in finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc. Ser. A.-1952.-Vol. 211, № 1104.-P. 128-154.

199. Guo Zhong-heng, Urbanowski W. Stability of non-conservative systems in the theory of elasticity of finite deformations // Arch. Mech. Stos. 1966. Vol. 15. - P. Ill - 128.

200. Hill R. A. General theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1958. - VOL 6, № 3. - P. 236 - 249.

201. Naghdi P. M. A Critical Review of the State of Plastisity / ZAMM. 1990. Vol. 41, №3. P. 315 -394.

202. Southwell R. V. On general theory of elastic stability // Phil. Trans. Roy. Ser. A. 1913. - Vol. 213. - №2. - P. 15 - 20.

203. Sporihin A. N., Skachenco A. V. Bifurcation in Process of Deformation of Elastic-Plastic Body at Finite Homogeneous Deformations. Arch. Mech., 1977, 29, 1,P. 105-113.

204. Trefftz E. Zur Theorie der Stabilital des clastischen Gleigewichts // Z. Angew. Math, and Mech. 1933. - Vol 12. - №3. - S. 17 - 30.

205. Wang Y. S. A Simplified Theory of the Constitutive Equation of Metal Plasticity at Finite Deformation. J. Apll. Mech., 1973, №4, P. 941 - 947.

206. Wesolowski Z. Zagadnienia Dinamiczne Nieliniowej Teorii Sprezystosci. — Warzawa: PWN, 1974. -210 s.

207. Zahorski S. Kinematic stability in the case of show steady plastic flow // Arch. Mech. Stos. 1964. Vol. 16. - P. 514 - 529.

208. Zahorski S. Instability of a non-linear viscoelastic column under finite compression//Arch. Mech. Stos. 1965. Vol. 17. - P. 801 - 821.

209. Zahorski S. Small additional deformation in non-linear viscoelasticity //Bull Acad. pol. sci. Ser. sci. Techn. 1966. - Vol. 14. - №1. - P. 17 - 22.