Перераспределение конечных деформаций, вызванное образованием концентраторов напряжений

Вершинин, Анатолий Викторович

Перераспределение конечных деформаций, вызванное образованием концентраторов напряжений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Вершинин, Анатолий Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Перераспределение конечных деформаций, вызванное образованием концентраторов напряжений»

Автореферат диссертации на тему "Перераспределение конечных деформаций, вызванное образованием концентраторов напряжений"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ МБ. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

003053147

На правазурукописи

ВЕРШИНИН АНАТОЛИЙ ВИКТОРОВИЧ

УДК 539.3

ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИИ, ВЫЗВАННОЕ ОБРАЗОВАНИЕМ КОНЦЕНТРАТОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2007 г.

003053147

Работа выполнена на кафедре Вычислительной механики Механико-Математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Левин Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Бровко Георгий Леонидович

- доктор технических наук, профессор Морозов Евгений Михайлович

Ведущая организация - Институт прикладной механики РАН

Защита состоится «16» февраля 2007 года в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д501.001.91 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, Главное здание, Механико-Математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Математического факультета МГУ (Главное здание, 14эт.).

Автореферат разослан «16» января 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д501.001.91 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Шешенин С.В.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена постановке и решению задач об образовании концентраторов напряжений в нелинейно-упругом нагруженном теле при конечных деформациях, использовании полученных результатов для решения ряда модельных задач о развитии концентраторов напряжений различной формы и вида в телах с конечными деформациями и разработке программного обеспечения на базе метода конечных элементов (МКЭ) для решения плоских и пространственных задач.

В работе получено решение новых практически интересных и теоретически важных задач о неодновременном образовании полостей и включений в предварительно нагруженном теле с большими начальными деформациями с учетом их перераспределения при образовании концентраторов напряжений. В том числе получено решение задачи о росте эллиптической полости при догрузке напряженного тела.

Свойства материала описываются известными соотношениями для сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Учитывается, что возникновение в теле концентратора напряжений приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций.

. Вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, КФ.Черных, Р.1.В1ай, А.Е.(Згееп, W.L.Ko, М.А.Моопу, Р.О.Мигпа^ап, ■№.N011, КБ-ШуИп, ЬЛ.аТге1оаг, С.ТгиеБёеИ, 0.\\ЫапаЬе, \У.гегпа и многие другие. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века, наиболее подробно вопросы теории были рассмотрены в работах киевской школы механиков под руководством А.Н. Гузя. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций для тел из упругого или вязкоупругого материала было осуществлено Г.С. Тарасьевым, В.А. Левиным. В работах В.А. Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях, предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения (совместно с Е.М. Морозовым), разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении (совместно с В.В. Лохиным, К.М. Зингерманом). Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих

допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым. Одним из современных подходов к решению таких задач можно считать использование метода конечных элементов, а также систем компьютерной алгебры для получения приближенных аналитических решений.

Численное решение рассматриваемых задач может быть найдено с использованием МКЭ в совокупности с методом Галёркина. Данный метод был предложен в 1915 г. Б.Г. Галёркиным как приближенный метод решения краевых задач. Ранее, в 1913г., метод применялся для решения конкретных задач теории упругости И.Г. Бубновым, в связи с чем именуется также методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах Л. Дж. Сегерлинда, О.Зенкевича, Одена.

Актуальность темы. Развитие техники инициирует создание новых материалов, способных испытывать большие деформации, что, в свою очередь, требует совершенствования методов мониторинга, особенно для случая возникновения и развития концентраторов напряжений в процессе эксплуатации элементов конструкций из таких материалов. Учитывая, что концентратор напряжений возникает в теле с конечными деформациями, его возникновение приводит к перераспределению в теле конечных деформаций, последнее определяет актуальность рассмотрения задач теории многократного наложения больших деформаций.

Основными целями диссертационной работы являются:

- математическая формулировка задач о последовательном образовании в нагруженном теле концентраторов напряжений (полостей и включений) различной формы, в том числе формулировка модельных задач о росте дефекта в упругом теле при конечных деформациях;

- разработка алгоритма решения плоских и пространственных задач как при статическом, так и при динамическом нагружении;

- разработка программного обеспечения для реализации указанного алгоритма на базе МКЭ; а также получение приближенного аналитического решения задачи об образовании эллиптического жесткого включения с использованием системы компьютерной алгебры «МаЛетайса 5.0».

Научная новизна.

Впервые получены решения пространственных задач об образовании концентраторов напряжений в нагруженном теле при конечных деформациях, плоских и пространственных задач о последовательном образовании слоистых включений, модельных задач о росте концентраторов напряжений в упругом теле. Решения найдены для нескольких типов нагружения, в том числе и для случая приложения динамической нагрузки. Впервые получены приближенные аналитические решения плоской задачи об эллиптическом (в момент образования) жестком включении, образующемся в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций,

корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задач метода конечных элементов, применение которого в конкретных расчетных схемах базируется на использовании апробированных методов оценки корректности получаемого решения (анализ сходимости при измельчении сетки, влияние начальных и граничных условий на получаемое решение), метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «МаШетайса 5.0»). Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения ряда задач другими методами.

Практическая значимость заключается в постановке плоских и пространственных задач об образовании и развитии концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах, а также программной реализации алгоритма решения указанных задач. Разработанный программный комплекс использовался при выполнении работ по гранту РФФИ (проект № 06-01-00682)1.

На защиту выносятся:

Постановка и алгоритм решения плоских и пространственных статических и динамических задач о последовательном образовании концентраторов напряжений (полостей и включений, в том числе слоистых) в нагруженных телах из сжимаемого и несжимаемого материала при конечных деформациях. Постановка и алгоритм решения модельных задач о развитии концентраторов напряжений в нагруженном теле.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной научной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова в 2003 г. (г. Тула); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2004,2005 тт. (г. Тула); на Международной конференции «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья» в 2004 г. (г. Москва); на пятнадцатом, шестнадцатом и семнадцатом симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2004,2005, 2006 гг. (г. Москва); на 6-й научно-технической конференции «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России» в 2005 г. (г. Москва); на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в 2004,2005 и 2006 гг. в МГУ им. М.В. Ломоносова; на научных семинарах кафедры «Вычислительная механика» (под руководством чл.-корр. РАН А.В. Забродина); на шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" в 2005 г. (г. Казань); на седьмом международном конгрессе по вычислительной механике в 2006 г. (Лос-Анджелес, США).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 21 научной публикации и одной монографии.

1 Результаты работы использовались при написании книги В.А. Левин, В.В. Калинин, К.М. Зингерман, А.В.Вершинин "Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование''. М. ФИЗМАТЛИТ. 2007.392с. (в печати)

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 138 страницах машинописного текста, содержит 65 рисунков, список использованных источников из 117 наименований.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи данной работы, приведена аннотация содержания диссертации.

В первой главе кратко изложены основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций в упругих телах. В п. 1.1 приводятся основные термины, обозначения.

Л - радиус-вектор частицы в п -м состоянии;

- лагранжевы (материальные) координаты частицы;

э/ - базисные векторы в и-м состоянии;

л л-1

ип = Я- Я - вектор перемещений, характеризующий переход из предыдущего (и -1) -го состояния в последующее п -е состояние;

* * д

V = э' —- — оператор градиента;

а?

л ( п V1

£ /-¿V«, - аффинор

р=да+1 • ^ р=т+\ у

деформаций (т<п);

т 1 / \

Ея-р=-{Ч/т,р-Ч'1,р-Ч,т4-Ч'1.ч) ~ тензор деформаций, описывающий

изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и отнесенный к координатному базису т-го состояния;

= *¥ч р ■ - тензорная мера деформаций, описывающая

изменение деформаций при переходе тела из состояния ^ в состояние р и соответствующая мере Грина (С0 , - тензорная мера Грина);

= Ч^р • Ч* - тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и соответствующая мере Фингера (F0 l — тензорная мера Фингера);

Рп> /„ - плотность и массовая сила в и -м состоянии;

Атл - относительное изменение объема при переходе из ш-го в л-е состояние;

Стол - тензор истинных напряжений, накопленных в теле при переходе из начального в и -е состояние (при и = I это тензор Коши);

/ \

= (1 + А0^](Тол - тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе п-го состояния;

- тензор обобщенных (полных для л-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т-го состояния:

т Т "

Еол =>РВ>П1 -Хол

=Ео,^-Ео,? - тензор обобщенных дополнительных напряжений,

определенный в координатном базисе произвольного т -го состояния;

Ги - граница тела в и-м состоянии в координатах Л:-го состояния; к к N. - нормаль к Г„;

— знак двойной скалярной свертки;

г - знак транспонирования.

(Индекс над символом, кроме э и Я, указывает номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется данная величина).

В п. 1.2 рассмотрены выражения для характеристик напряженно-деформированного состояния тела (аффиноры деформаций, тензоры деформаций) в различных состояниях и уравнения, связывающие их между собой.

В п.1.3 рассмотрены определяющие соотношения нелинейной упругости, используемые далее в работе при решении задачи:

Сжимаемый материал (на примере материала Мурнагана) о /о \ о /о у

2о.„ = Л\ Ео.п- ■I / + ЮЕй.п+ЪСъ £<)„••/ / +

+С4|£о,„2-•/+ 2С4(¿о.*--7 ЗС5^ , (1)

Несжимаемый материал (на примере материала Муни)

+ (2)

В п. 1.4. приведены уравнения равновесия и граничные условия в координатном базисе текущего состояния, а также для тела, находящегося в п -м состоянии, в координатах произвольного к -го состояния {кФп).

В п. 1.5 сформулированы механические и математические постановки граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций. Механическая постановка задачи следующая.

Пусть некоторое тело, находящееся в начальном ненапряженном состоянии (рис. 1а), перешло под действием внешних нагрузок в первое промежуточное состояние и приобрело большие начальные деформации.

рис.! а

р^ / 7 Л

^ / *

рис.! 6 рис.1 в

(Рис. 1а) - начальное состояние. В теле отсутствуют напряжения и деформации (Рис. 3 б) - первое промежуточное состояние (Рис. 1в) - второе промежуточное состояние

Затем в теле намечается некоторая замкнутая поверхность (рис. 16), и удаляется часть тела, ограниченная этой поверхностью. Действие удаленной части тела на оставшуюся заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этой поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» изменяются на большую величину, например, уменьшаются до нуля (под термином «мгновенно изменяются» при рассмотрении статических задач не следует понимать, что данное приложение (снятие) нагрузок приводит к деформированию тела в динамическом режиме). Тело, приобретая (теряя) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), переходит во второе промежуточное состояние (рис. 1 в). Такое нагруженис можно продолжить и дальше.

Далее рассмотрены два случая математической постановки задач. В первом рассматривается задача об образовании концентратора напряжений, когда его форма задана в момент образования. Постановка задачи включает:

- уравнение равновесия:

у- к,*- V- 1п (1 + д0Д)+: (V ■ -

- уравнение несжимаемости (для несжимаемых материалов):

- граничные условия:

* к N„•1, о.„

к <»>

. (5)

л<">

Рл-. - вектор истинных напряжений на элементарной площадке

л л л

е!о = Ы„ \do\- В частности, в случае отсутствия нагрузок на границе

* к

концентратора получаем N„^'Lo,n = 0.

г.

сто.1=<„> (6)

где - тензор истинных напряжений на бесконечности, определенный в постановке задачи.

В постановку задачи также входят уравнения, связывающие тензор истинных напряжений сг0 я с аффинором деформаций Ч^ „. Для различных материалов они имеют вид (1), (2).

Завершают постановку задачи геометрические соотношения:

1 + А0л = <1<АЧ>0п, (7)

^О.л = ' ^к,л > (8)

" *

Ык+\

Решение этой задачи позволяет, в частности, найти суммарный вектор » к и, перемещений из к-го состояния в п-е как функцию радиус-вектора Я,

/=*+1

т.е. в координатах к-го состояния.

Второй вариант постановки задачи дан для случая задания границы концентратора напряжений после деформирования (в конечном состоянии). Постановка задачи включает:

- уравнение равновесия

?-<г0л=0, (10)

- уравнение несжимаемости (для несжимаемых материалов) А„,л=0, (11)

- граничные условия

(9)

л . пМ

В частности, в случае отсутствия нагрузок на границе концентратора

(13)

получаем N„ ■ а0 п =0

- геометрические соотношения

И-Д^ЛЛЧ^, (14)

( А » ^ V <=1 /

(15)

Уравнения, связывающие тензор истинных напряжений ст0„ с аффинором деформаций и, - соотношения (1), (2).

Решение этой задачи позволяет, в частности, найти суммарный вектор

^ы, перемещений из начального в и-е состояние как функцию радиус-

вектора Л, т.е. в координатах п -го состояния.

В п. 1.6 обсуждаются модели, применяемые при рассмотрении задач об образовании и росте концентраторов напряжений в нагруженных телах. Рассматриваются особенности постановки данных задач в рамках механики деформируемого твердого тела.

В п. 1.7 рассматриваются модели, использующие понятие зоны предразрушения, возникающей вблизи концентратора напряжений при выполнении некоторого критерия прочности. Зона предразрушения - это часть тела (зоны), где под воздействием внешних нагрузок, приложенных к телу, происходит изменение свойств материала тела. То есть, при превышении некоторой критериальной величины в теле возникает зона предразрушения. Граница зоны предразрушения определяется из условия выполнения критерия прочности. В работе используется силовой нелокальный критерий прочности, учитывающий, что разрушение, а значит, и изменение свойств зоны предразрушения происходит не на отрезке и не мгновенно (для вязкоупругих материалов или при нестационарных процессах). Далее рассматриваются модели роста зоны предразрушения и изменения ее свойств в процессе нагружения.

В п. 1.8 рассмотрены различные способы моделирования поврежденностей, возникающих вблизи вершины концентратора напряжений. Приведены модели образования и роста зоны поврежденности, обсуждаются способы оценки эффективных свойств материала внутри нее.

Во второй главе диссертации рассматривается применение метода конечных элементов для решения задач теории наложения больших деформаций и метода Синьорини для решения задачи об образовании в нагруженном теле жесткого эллиптического включения.

Использование МКЭ позволяет найти численное решение поставленной задачи. При этом посредством метода Галеркина исходная система нелинейных дифференциальных уравнений сводится к системе нелинейных алгебраических, которая затем решается с использованием метода Ньютона.

Применение метода Синьорини (метода последовательных приближений) и системы компьютерной алгебры «МаШета^са 5.0» к исследуемым задачам позволяет найти их приближенное аналитическое решение. При этом решение исходной нелинейной задачи сводится к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Преимущество такого подхода состоит в том, что плоская задача линеаризованной упругости для однородного тела с отверстием может быть решена аналитически методом Колосова-Мусхелишвили. При расчетах в данной работе ограничились вычислением двух первых членов последовательности линеаризованных задач.

В п.2.1 рассматриваются различные особенности применения метода конечных элементов к задачам теории наложения больших деформаций. Обсуждается способ переноса физических и геометрических параметров конечноэлементного разбиения со старой сетки на новую в случае последовательного образования концентраторов напряжений.

В качестве примера в п.2.2 подробно изложены постановка (механическая и математическая) и решение с применением метода Галёркина плоской задачи теории наложения больших деформаций - задачи об образовании круговой (в момент образования) полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном теле из нелинейно-упругого материала. Система уравнений Галёркина, соответствующая исходной дифференциальной постановке, выглядит следующим образом:

1И • (V• о-0 „У5 = • ЛГ • айпс1Г- Д( УЛ/)) ■ ^ = 0;N.. функции формы. 0 го

В п. 2.3 приведен общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в нагруженных телах.

В п.2.4 рассмотрены математическая постановка динамической задачи теории наложения и ее решение с использованием МКЭ. Постановка задачи включает:

Уравнение движения:

(16)

Начальные условия: и(0) = и„А0) = 0

Граничные условия:

^.„«(О^О-о^СО (18)

&».(/)•£о,п+,(о , = -р(1) ■ (1+А0,„+1(О) • со ■ у;,^-1 со • (о (19)

г„,(<)

Определяющие соотношения для потенциала Мурнагана:

¿о,„+1 (о=а+д0,п+1 (0) • со ■ со. (о (20)

20>п+,(0 = /1(1о,я+1 (0:1)1+2вЕсМ0 + ЗС3(ЕоМО ■ I?1 +

0 0 0 0 (21) +С4(ЕоМО :1)1 + 2С4{ЕОМО :1)ЕОМ*) + ЗС}(ЕОМ*))

^о,„+.(0 = (1 + Ао,+1(ОГЧ/;я+1(0-2о.п+.(0-х1'0,л+1(0 (22)

Геометрические соотношения:

1 + Дм+1(0 = ае^0,л+1(0 (24)

= (25)

= / + (26)

(27)

Система уравнений Галёркина, соответствующая приведенной дифференциальной постановке, выглядит следующим образом:

(28)

Здесь и - веюор неизвестных узловых перемещений;

М=\ЫТ -р ШП, (29)

кф)= ¡™т •[(1+а0,„(Й))-1 (зо)

/ = (31)

Решение полученной системы ищется по методу 8822.

В п.2.5 рассматривается применение метода Синьорини к решению задачи об образовании жесткого эллиптического включения в нагруженном теле. Решение исходной нелинейной задачи ищется в перемещениях в виде бесконечной суммы

и2 = «<0) + «1° + -. где и? ~чм. (32)

Вектор и^ (/ = 1,2,...) называют поправкой от учета эффектов (г + 1)-го порядка для перемещений при переходе из 1-го во 2-е состояние. При таком подходе выделяется безразмерная величина д, определяемая следующим

образом: д = где сгтах =тах|<г"д?|. Далее в подобном виде

представляются и другие характеристики напряженно-деформированного состояния. Подставив эти разложения в уравнения, входящие в постановку задачи, и сгруппировав члены одинакового порядка, можно получить бесконечную последовательность систем линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в конечном состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала и^ и <т®2 (нулевое приближение), затем и2] и <у^2 (первое приближение) и т.д. В настоящей работе выполнены расчеты для нулевого и первого приближений.

Далее рассматривается применение метода Колосова-Мусхелишвили к решению линеаризованной задачи упругости. При этом вводится тензор 5, соответствующий тензору напряжений линейной упругости. Для сжимаемого материала 5" = !,[«], для несжимаемого 5 = 17[«, р]. Тогда векторы и, N и тензор 5 могут быть представлены в координатной форме следующим

образом:

и = и,е, + и2е2 + щеъ, (33)

/ = /,е,+Ле2, (34)

Л^Л^+Л^, (35)

5 = З^е, + $12е1е2 + 5'21е2е1 + 322е2е2 + 533е3е3. (36)

В рассмотрение также вводятся:

- комплексные переменные

г = +1г2, г=х1-1х2, (37)

- функции этих переменных:

= + ¿Хг, 2) = ^(/,+г/2), (38)

N(2,2) = N, + 1^, (39)

- комбинации компонент некоторого тензора Т второго ранга (в декартовой системе координат): т, = ти + Тгг + ¡(Тп -Тп),Тд=Тп-Та + г{Тп + Т„) (40)

Для случая плоской деформации и сжимаемого материала уравнения равновесия и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комплексной форме следующим образом:

& с?

"условие прилипания" н-5Ю1|г = уу^ |г (42)

= ^=<7-, (43)

*„-4С§. С«)

Решение линеаризованной краевой задачи ищется в виде: »' = и'н + *'одн> 5 = 5Н + 50ДН, (45)

Р = Ри+Р,т> *33=£33н+*33 0дн> (46)

где Бн, ри, е33 н - некоторое частное решение линеаризованной задачи, "ода» 5ода> Рот' £ззот ~ решение линеаризованной задачи для однородной системы уравнений.

Получены и приводятся формулы для нахождения частного решения линеаризованной задачи, при этом считается, что функция г) является аналитической функцией аргументов г и г в области, занимаемой телом. Для случая плоской деформации сжимаемого материала эти формулы имеют вид:

= 4ва+2с1(1 *ЗС) ¡1^ '(л+■ (47>

(48)

Рассматривается подход к решению линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили Ф(г) и Ч^г):

(49)

одн = 2[ф(г) + Ф(*)], од„ = -2[Т(2) + гФ'(*)]. (50)

В третьей главе рассматриваются результаты решения задач, постановка и методы решения которых, приведены во второй главе. Приводятся примеры решения двумерных статических и динамических задач, также рассматриваются трехмерные задачи. Решения даны для различных типов материалов: сжимаемых и несжимаемых. Приведено

распределение напряжений, отнесенных к параметру материала, а также контуры полостей до и после деформирования тела при различных видах нагружения. Из представленных графиков виден качественный результат учета нелинейных эффектов.

Далее приводится сравнение полученных результатов решения задач, найденных численным и полу аналитическим методами. Рассматривается зависимость получаемого решения от размеров конечноэлементной сетки. Приводится сравнение с аналогичными линейными задачами, при этом производится оценка учета как физической, так и геометрической нелинейностей. В диссертации имеется приложение, в котором приведены примеры решений задач, не вошедших в основной текст работы (задача о квазистатическом образовании отверстия в нагруженном теле с последующим «мгновенным» снятием внешних нагрузок, задача о квазистатическом одновременном образовании двух отверстий в нагруженном теле с последующим «мгновенным» снятием внешних нагрузок, задача о нестационарном образовании кругового (в момент образования) отверстия в нагруженном теле, задача о нестационарном одновременном образовании двух круговых (в момент образования) отверстий в нагруженном теле, задача о последовательном образовании двух круговых (в момент своего образования) отверстий в нагруженном теле с нестационарным снятием внешних нагрузок после квазистатического образования первого отверстия, задача о нестационарном последовательном образовании двух круговых {в момент своего образования) отверстий и двух круговых (в момент своего образования) упругих включений в нагруженном теле).

В п.3,1 рассматриваются примеры решенных плоских статических и динамических задач.

В 3 Л Л рассмотрена задача об одновременном образовании двух эллиптических отверстий (отношение полуосей 1:5), На приведенных ниже рисунках для случая начального всестороннего растяжения при Я Ю =2.097,

С3Л>-(Ш89, СД)—0.37464, С5/СЮ.33709; Д3=р, /С=р; рЛ>0.05

приведено распределение главной компоненты тензора полных истинных напряжений ^0,2, /О. Свойства материала матрицы описываются потенциалом Мурнагана. Отношение большой полуоси отверстия к стороне матрицы 1:20,

Схема нагружен из

I СЭг.йЭ!

[иег-м: . :•. ; и 1ТЬ4|| - у* -

В ЗЛ.З рассмотрена задача об одновременном образовании двух круговых отверстий. На приведенных ниже рисунках для случая начального

0.993

и.ьл В.393 и.33» 0.291 0,265 и. ¿41 Й.225 М.191 0.М1 а.вга

Распределение первой главной компоненты тензора истинных напряжений между полостями (щщ ДЗ)

одноосного растяжения при /? =-0.263905 , ^о,],, = 0; = р; р/ и =0.1 приведено распределение главной компоненты тензора полных истинных напряжений ■<3.21 'С. Свойства материала матрицы описываются потенциалом Муни. Отношение большой полуоси отверстия к стороне ..........1:20.

Распределение первой главной компоненты тензора истинных напряжений между полостями (/в)

В 3.1.5 приведено приближенное аналитическое решение методом Синьорини задачи об образовании в бесконечно протяженном теле жесткого эллиптического включения. На приведенных ниже рисунках для случая

начальных нагрузок на бесконечности а^^-р, ст™0Д1г = <7™0,1:1

—=— со следующими значениями параметров: ц = 2.51228, /? =-2.63905; А 5

приведено распределение

Мта!г1х

"22

А«**

матрицы при удалении от

И11 ^22

0.2 X 0.25 X

0.15 / \ 0.2 \\15

/¿05 / \\

■ V 0.5 \

о/ 1.5 2 2.5 з у

-0.05 0.05

В 3.1.7 рассмотрена динамическая задача об одновременном образовании (с учетом динамических эффектов) в предварительно нагруженном теле двух круговых отверстий. На приведенных ниже рисунках для случая начального всестороннего растяжения при Я Ю=2.097, СзЛЗ=-

0.0689, С4/0=-0.37464, С5ЛЗ=0.33709; «"ад,, /С=р, 0£,И/О=р; рЛЗ=0.01

приведено распределение первой главной компоненты тензора полных истинных напряжений стод,/С1 в различные моменты времени, начиная с момента образования. Свойства материала матрицы описываются потенциалом Мурнагана.

В п.3.2 рассматриваются примеры решенных трехмерных задач. В 3.2.4 рассматривается задача об образовании шарового включения с последующим образованием внутренних слоев. Ниже приведены результаты решения задачи для случая образования трех слоев (трех « вложенных» включений) при начальном сдноосном растяжении р=0/20. Радиусы включений заданы в дамент их образования 1^=0.8^ Кз-О.ЗКь Отношение К., к стороне матрицы принято равным 1:20. Приведены результаты решения {поле распределения

полных истинных напряжений 0*0,л, Ю в плоскости хОу) для случая, когда материал тела (матрицы) - материал Мурнагана с константами X ¡С-2.097, С3/0=-0.0689, С,1/<3=-0-374б4, СУСг=0.33709, материал первого включения -материал Мурнагана Я/С,=2.24; СЗ/С^-1.96, С^С^З.б!, С5/0,=-11.13 И 0/01=0.39. Материал второго включения соответствует материалу первого при пористости 0.06, а третьего включения соответствует материалу первого при пористости 0,18,

Схема натру жения

изменение ^ & вдоль оси Ох

поле распределения в плоскости хОу

О.ОБЭ 0.065 0.0 ЕП

В п.3.3 анализируется влияние нелинейных эффектов и зависимость получаемого решения от размеров конечноэлементной сетки. Приводится сравнение решений, полученных разными методами. В 3,3,3 приводится сравнение линейных и нелинейных решений. Рассматривается влияние как физической, так и геометрической нелинейностей.

Ниже приведены результаты решения задачи о растяжении квадратной матрицы с круговым отверстием при одноосном растяжении рКЗ/20. На

графике представлено изменение полных истинных напряжений <У0л / О вдоль оси Ох для случая, когда материал тела (матрицы) - материал Мурнагана с константами Я /С =2.24, С3/0=-1.96, С4/0=3.61, С;/0=-11.13.

ОМ 012 01 Л О в Очк Г"" V ; ; 1 ' 1 1 < 1 1 [ ; ; I 1 1 | !

О 006 \ 1 ;

004 ------ | _ | ! 1 1

002 1 ! 1 '

01Э]4567|9 10

Л .51 Н

к' К ' К

- линейное решение (закон Гука и малые деформации)

----нелинейное решение (закон Гука и конечные деформации)

_—нелинейное решение (потенциал Мурнагана и конечные деформации)

Таким образом, разница между линейным и нелинейным решениями в точке максимальной концентрации напряжений составляет порядка 30%. Кроме того, отметим смещение точки максимальной концентрации напряжений от вершины носика полости.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Решены при конечных деформациях плоские и пространственные задачи о последовательном образовании концентраторов напряжений в нагруженном теле. На их основе решены модельные задачи о росте концентраторов напряжений в предварительно нагруженном теле для сжимаемых и несжимаемых материалов.

2. Разработан алгоритм решения поставленных плоских и пространственных задач, как при статическом, так и при динамическом нагружении. Разработано программное обеспечение для математической реализации алгоритма на базе МКЭ; получены приближенные аналитические решения плоской задачи о жестком эллиптическом (в момент образования) включении для разных типов нелинейно-упругих материалов. Разработан алгоритм и программное обеспечение для решения этой задачи на базе системы компьютерной алгебры «МаШетайса 5.0» с использованием метода Синьорини.

3. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Выявлено, что разница между решениями, полученными для линейных и нелинейных определяющих соотношений и рассмотренными в работе, достигает 30%.

Публикации по теме диссертации

1. В. А. Левин, И. А. Мишин, А. В. Вершинин "Плоская задача об образовании включения в упругом нагруженном теле. Конечные деформации", Вестник Московского Университета, серия 1, Математика. Механика. 2006 №1 с. 56-59.

2. В. А. Левин, А. В. Вершинин "О приближенном аналитическом решении плоской задачи о жестком эллиптическом включении, возникающем в нагруженном теле. Конечные деформации", Известия ТулГУ, серия "Дифференциальные уравнения и

прикладные задачи", 2004, с. 151-157.

3. Левин В.А., Зингерман K.M., Вершинин A.B. "Сравнение аналитического и численного решения задачи о распределении напряжений вблизи включений и полостей, образованных в нагруженном нелинейно-упругом теле, при наложении конечных деформаций" Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Шестого Всероссийского семинара. - Казань: Казанский государственный университет, 2005. - с. 157-160

4. Василевский Ю., Вершинин А., Данилов А., Пленкин А. "Технология построения тетраэдральных сеток для областей, заданных в САПР" Матричные методы и технологии решения больших задач - Москва: Институт вычислительной математики РАН, 2005. - с. 21-32.

5. В. А. Левин, И. А. Мишин, А. В. Вершинин "Решение задачи об упругом или жестком включении, возникающем в предварительно нагруженном теле из высокоэластичного материала, с помощью программного комплекса "Наложение". 15-й симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов", г. Москва, 18-22 октября 2004г., с.ЗЗ.

6. А. В. Вершинин "Решение задач теории многократного наложения больших деформаций с помощью средств компьютерной алгебры", г. Москва, МГУ, тезисы научной конференции "Ломоносовские чтения 2004", с. 41.

7. В. А. Левин, И. А. Артюхин, А. В. Вершинин, Д. А. Улькин "Вариант модели для описания напряженно деформированного состояния тела из высокоэластичного материала после фазового перехода. Конечные деформации", Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова, стр. 184-185, Россия, Тула, 18-21 ноября 2003 г.

8. В. А. Левин, А. В. Вершинин "К оценке напряженного состояния вблизи жесткого эллиптического включения, возникшего в нагруженном нелинейно-упругом массиве. Конечные деформации",

материалы Международной конференции «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья» г. Москва, 24-26 ноября 2004г., стр. 174.

9. В. А. Левин, А. В. Вершинин "О приближенном аналитическом решении плоской задачи о жестком эллиптическом включении, возникающем в нагруженном теле. Конечные деформации", сборник Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Россия, Тула, 17-19 ноября 2004 г., стр. 107-108.

10.В. А. Левин, И. А. Мишин, Е. А. Рыбалка, А. В. Вершинин "К расчету напряженного состояния массива при образовании в нем полости или включения с помощью авторского программного комплекса для аналитических вычислений на ЭВМ "Наложение". Конечные деформации", 6-я научно-техническая конференция, посвященная 75-летию Российского государственного университета нефти и газа им. И. М. Губкина, г. Москва, 26-27 января 2005 г., стр. 414-415.

11 .А. В. Вершинин "Об использовании МКЭ для решения задач теории многократного наложения больших деформаций", тезисы научной конференции "Ломоносовские чтения 2005", 19 апреля 2005 г., г.Москва, МГУ, с. 43.

12.В.А. Левин, A.B. Вершинин "Плоская задача о разгрузке тела из нелинейно-упругого материала после возникновения в нем зоны предразрушения. Конечные деформации". Сборник тезисов Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Россия, Тула, 22-26 ноября 2005 г., стр. 223-224.

13.В.А. Левин, A.B. Вершинин, Е.И. Фрейман, Е.Д. Комолова "К оценке микронапряжений при моделировании свойств наноматериалов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях". Сборник тезисов Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Россия, Тула, 22-26 ноября 2005 г., стр. 224-225.

14.В.А. Левин, K.M. Зингерман, Е.В. Рыбалка, A.B. Вершинин "Сравнение конечно-элементного и приближенного аналитического решения некоторых плоских задач теории многократного наложения больших деформаций". Сборник тезисов Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Россия, Тула, 22-26 ноября 2005 г., стр. 225-226.

15.В.А. Левин, A.B. Вершинин "Решение одной модельной динамической задачи теории многократного наложения больших деформаций с помощью программного комплекса "Наложение". Тезисы научной конференции "Ломоносовские чтения 2006", 18 апреля 2006 г., г. Москва, МГУ, с. 44-45.

16.В.А. Левин, A.B. Вершинин, Пекарь Г.Е., Саяхова Л.Ф., Труфен К.Н., Яковлев М.А. "Использование нелокального критерия прочности в задачах теории многократного наложения больших деформаций. Решение модельных задач с помощью программного комплекса "Наложение". Тезисы научной конференции "Ломоносовские чтения 2006", 18 апреля 2006 г., г. Москва, МГУ, с. 45.

17.В.А. Левин, A.B. Вершинин, Фрейман Е.И., Комолова Е.Д. "Результаты решения плоских задач теории многократного наложения больших деформаций с помощью программного комплекса "Наложение". Тезисы научной конференции "Ломоносовские чтения 2006", 18 апреля 2006 г., г. Москва, МГУ, с.43-44.

18.Левин В.А., Вершинин A.B. "Программный комплекс "Наложение" на базе МКЭ". Тезисы научной конференции "Ломоносовские чтения" 2006, 18 апреля 2006 г., г. Москва, МГУ, с. 44.

19.Левин В.А., Зингерман K.M., Вершинин A.B. "Программный комплекс для численного решения динамических задач об образовании повреждений в нагруженных нелинейно-упругих телах при наложении больших деформаций". // Проблемы шин и резинокордных композитов. Материалы 17-го симпозиума. - М.: Научно-технический центр "НИИШП", 2006. Т.1. С. 214-217.

20.В.А. Левин, В.В. Калинин, K.M. Зингерман, A.B. Вершинин Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М. ФИЗМАТЛИТ. 2007.392с. (в печати)

21.В.А. Левин, В.В. Калинин, A.B. Вершинин, Г.Е. Пекарь Решение плоской задачи о концентраторе напряжений произвольной формы, образованном в нагруженном теле. Конечные деформации. Известия Тульского госуниверситета. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". Том 12. Вып. 1. 2006г. с. 167-172

22.В.А. Левин, A.B. Вершинин Авторский программный комплекс наложение и его использование для решения плоских и пространственных статических и динамических задач для предварительно нагруженных тел при конечных деформациях. Известия Тульского госуниверситета. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". Том 12. Вып. 1. 2006г. с. 145-166

Подписано d печать 12,01 .С f Формат 60x84/16. Усл-печл. f,? Тираж 10С экз. Заказ Отпечатано в Отделе печати МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Вершинин, Анатолий Викторович

Введение

1 Основные соотношения теории наложения больших деформаций

1.1 Основные термины и обозначения, используемые в работе

1.2 Кинематика деформаций

1.3 Определяющие соотношения

1.4 Уравнения равновесия и граничные условия

1.5 О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций

1.6 Модели зарождения и роста концентратора напряжений

1.7 Зона предразрушения

1.8 Модельные задачи с использованием понятия поврежденности

2 Постановка задач и методы решения

2.1 Особенности применения метода конечных элементов (МКЭ) к задачам теории наложения больших деформаций

2.2 Реализация алгоритма на примере плоской задачи об образовании концентратора напряжений

2.3 Общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений

2.4 Программная реализация решения динамических задач

2.5 Применение метода Синьорини к решению задач

2.6 Решение задачи об образовании жесткого эллиптического включения с помощью метода Колосова-Мусхелишвили

3 Результаты расчетов и их анализ 3.1 Двумерные задачи

3.1.1 Одновременное образование двух эллиптических отверстий

3.1.2 Последовательное образование эллиптического и кругового отверстий

3.1.3 Одновременное образование двух круговых отверстий

3.1.4 Образование в бесконечно протяженном теле жесткого кругового включения

3.1.5 Образование в бесконечно протяженном теле жесткого эллиптического включения

3.1.6 Рост эллиптической щели

3.1.7 Одновременное образование (с учетом динамических эффектов) двух круговых отверстий

3.2 Трехмерные задачи

3.2.1 Одновременное образование эллипсоидальной и шаровой полостей

3.2.2 Одновременное образование эллипсоидальных включений с окружающими их оболочками

3.2.3 Образование шарового включения с последующей разгрузкой

3.2.4 Образование шарового включения с последующим образованием внутренних слоев

3.3 Сравнение результатов решения задач

3.3.1 Сравнение аналитических и численных решений

3.3.2 Анализ зависимости решения от размеров конечноэлементной сетки

3.3.3 Сравнение линейных и нелинейных решений

Введение диссертация по механике, на тему "Перераспределение конечных деформаций, вызванное образованием концентраторов напряжений"

В работе получено решение новых практически интересных и теоретически важных задач: стационарных и динамических плоских и пространственных задач о неодновременном образовании полостей и включений в предварительно нагруженном теле с большими начальными деформациями. В том числе получено решение задачи о росте эллиптической полости при догрузке напряженного тела.

Следует отметить, что вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, М.Ф.Бухина, ИИ.Ворович, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe,

W.Zerna и многие другие. История развития нелинейной теории упругости достаточно подробно описана, например, в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» [61]. Подробные исторические обзоры становления линейной теории упругости приведены в классических монографиях А.Лява [62] и Е.Треффтца [96], а также обзоры в книгах С.П.Тимошенко, например [89], ориентированных на инженеров, связанных с конкретными практическими расчетами. Ссылки на вышеперечисленные работы показывают, что решения для задач линейной теории упругости существуют давно, и математический аппарат в этой области хорошо проработан. Начало и бурный рост нелинейной теории упругости пришелся на середину и вторую половину XX века. На сегодняшний день общее число публикаций в данном направлении огромно. Поэтому понятно, что модели и методы решения задач в данной области тоже достаточно подробно проработаны. Однако небольшое число (по сравнению с количеством экспериментов для линейной теории упругости) корректно выполненных работ и обработанных экспериментальных данных по определению механических характеристик для различных групп материалов является одной из преград развития и применения теории моделей, связанных с учетом конечности деформаций.

Внимание к теории конечных деформаций обусловлено применением в современной технике изделий из высокоэластичных материалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [77], а также развитием механики разрушения, связанного с зарождением и ростом микродефектов при нагружении [66, 74]. Положения этой теории применительно к высокоэластичным материалам сформулированы в работах Р.Ривлина [111], М.Муни [109], Л.Трелоара [94, 95], подробно проработаны в монографиях В.В.Новожилова [71, 72], Л.И.Седова [84], А.И.Лурье [61], А.Грина и Дж.Адкинса [1, 17], К.Трусделла [97], Д.И.Кутилина [36]. Многие важные частные задачи рассмотрены в работах [10, 27, 28, 33,117].

Исследование эффектов наложения деформаций является одним из важных направлений теории больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [86, 87] и В.А.Левиным [40, 41, 55, 56, 93]. В работах В.А. Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях. Совместно с Е.М.Морозовым были предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения [48, 49]. Совместно с В.В.Лохиным и К.М.Зингерманом были разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении [42, 106, 108]. Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым [69]. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [19-23]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено в [13]. Свойствами высокоэластичных материалов занималась школа известного исследователя Г.М.Бартенева [5, 6]. Существенны также работы [11,12].

В теории многократного наложения больших деформаций рассматривается нагружение тел в несколько этапов, когда дискретно изменяются границы и граничные условия, причем деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет в рамках статических и квазистатических постановок задачи учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия. Под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних поверхностных или массовых сил, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).

Подчеркнем, что используемый термин «наложение больших деформаций» не следует понимать как математическую суперпозицию деформаций. Это означает, что мы не можем определять параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на него, как в случае малых деформаций. Кроме того, связь между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения, является нелинейной. Представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений также нелинейные. Решение такой задачи крайне сложно, так как в этом случае необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.

Именно поэтому постановка и решение задачи, в которой в процессе нагружения дискретно изменяются граница и граничные условия (задача о поэтапном нагружении тела), достаточно сложны.

Используется следующая механическая модель образования концентраторов напряжений [41]. В начальном состоянии (в начальной конфигурации) в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под действием внешних сил тело приобретает большие начальные деформации. Тело переходит в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле намечается некоторый замкнутый контур (будущая граница концентратора напряжений). Часть тела, ограниченная данным контуром, удаляется или заполняется материалом с другими свойствами. Под удалением, например, можно понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела. Действие измененной части тела на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по данному контуру. Это не приводит к изменению напряженно-деформированного состояния в оставшейся части тела.

Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» (без динамических эффектов в случае статических задач) изменяются на большую величину. В результате тело приобретает (теряет) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие начальные. Изменяется форма граничной поверхности. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Такое образование отверстий может быть продолжено и дальше. Понятно, что предложенная модель образования концентраторов напряжений является упрощенной, т.к. не учитывает способа их образования. Но в ряде случаев применение такой модели представляется целесообразным, например, когда механизм образования концентратора напряжений не известен или очень сложен для описания.

Представленная модель образования концентраторов напряжений может быть применена при исследовании следующих явлений: кавитация (образование полостей) в изделиях из резины [104, 105]; возникновение субмикротрещин при нагружении полимерных материалов [80]; вязкое разрушение - поглощение основной трещиной вторичных трещин, в том числе и возникающих в теле в процессе нагружения, и микропор, раскрывающихся при нагружении; вязкий рост трещины [8], когда микроповреждения моделируются концентраторами напряжений, длина которых намного меньше длины трещины, изменение свойств эластомеров в процессе их нагружения, внедрение нановключений в композитные материалы.

Все вышеописанное обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.

Численное решение рассматриваемых: задач может быть найдено с использованием МКЭ в совокупности с методом Галеркина. Данный метод был предложен в 1915 г. Б.Г. Галёркиным как приближенный метод решения краевых задач. Ранее в 1913г. метод применялся для решения конкретных задач теории упругости И.Г. Бубновым, в связи с чем именуется также методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах JL Дж. Сегерлинда [82] и О.Зенкевича [25].

Использование МКЭ позволяет найти численное решение поставленной задачи. При этом исходная система нелинейных дифференциальных уравнений сводится посредством метода Галёркина к системе нелинейных алгебраических, которая затем решается с использованием метода Ньютона.

Приближенное аналитическое решение исследуемой задачи позволяет найти метод Синьорини с использованием средств компьютерной алгебры. Метод Синьорини применительно к механике деформируемого твердого тела рассмотрен первоначально в работах Ф.Стопели и А.Синьорини [112, 113]. Применение метода Синьорини к решению задач нелинейной упругости при конечных деформациях рассмотрено, например, Л.А.Толоконниковым [87, 93], Г.С.Тарасьевым [88], Г.Н.Савиным [81], В.А.Левиным [38]. Отметим, что этим методом решены, например, Л.А.Толоконниковым [18], Г.Н.Савиным [81], Г.С.Тарасьевым [87] некоторые конкретные задачи о концентрации напряжений около отверстий различной формы в нелинейно-упругих телах при конечных деформациях (при отсутствии их наложения). Физически нелинейные задачи при малых деформациях для упругих тел рассмотрены, в частности, И.И.Воровичем [14], И.А.Цурпалом [100]. Применение метода Синьорини к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [26, 40,41, 42, 48, 49, 51, 69, 70, 86].

Использование метода Синьорини и системы компьютерной алгебры позволяет найти приближенное аналитическое решение задачи. При этом решение исходной нелинейной задачи сводится к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Преимущество такого подхода состоит в том, что плоская задача линеаризованной упругости для однородного тела с отверстием может быть решена аналитически методом Колосова-Мусхелишвили [34, 35, 68]. При расчетах в данной работе ограничились вычислением первых двух членов последовательности линеаризованных задач.

Недостатком рассмотренных методов является нерешенность (в общем случае) вопроса об их сходимости в случае применения к нелинейным задачам теории наложения больших деформаций. Поэтому очень важным является сравнение результатов, полученных с использованием этих методов, с результатами расчетов иными методами и с известными точными решениями. Точные решения известны для ряда плоских задач нелинейной упругости при больших деформациях [9, 61, 102, 103]. Однако следует отметить, что точные решения могут быть получены либо для областей частного вида при заданных особым образом нагрузках, либо для определяющих соотношений, которые заданы специальным образом, что не всегда пригодно для описания механических свойств реального материала.

Очевидно, что наличие аналитического решения (пусть и приближенного) обладает неоспоримыми преимуществами. Например, в расчетной практике существование приближенных аналитических решений для данного элемента конструкции при данном типе нагружения дает проектировщику возможность в момент числового задания параметров нагружения сразу получить значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции.

Повторим, из-за того, что концентратор напряжений образуется в процессе нагружения, следует учитывать изменение границы и граничных условий. Например, изменение связности занимаемой телом области. Такое изменение приводит к «физическому» наложению дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности концентратора) деформаций на уже имеющиеся в теле большие деформации. Для инженера это означает, в частности, необходимость решения системы из нескольких уравнений равновесия для нескольких векторов перемещений. Промышленные расчетные пакеты (ANSYS, ABAQUS и др.) на базе МКЭ (метода конечных элементов) пока не могут быть использованы для таких расчетов, так как, в частности, не предполагают решения вышеуказанных систем уравнений. Поэтому возникла необходимость в разработке, создании и использовании специализированных программных комплексов, основанных на теории многократного наложения больших деформаций и использующих современные средства решения задач такого класса.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Развитие техники инициирует создание новых материалов, способных испытывать большие деформации, что в свою очередь требует совершенствовать методы мониторинга, особенно для случая возникновения и развития концентраторов напряжений в процессе эксплуатации элементов конструкций из таких материалов. Учитывая, что концентратор напряжений возникает в теле с конечными деформациями, то его возникновение приводит к перераспределению в теле конечных деформаций, последнее определяет актуальность рассмотрения задач теории многократного наложения больших деформаций.

Основными целями диссертационной работы являются: математическая формулировка задач о последовательном образовании в нагруженном теле концентраторов напряжений (полостей и включений) различной формы, в том числе формулировка модельных задач о росте дефекта в упругом теле при конечных деформациях;

Научная новизна.

Впервые получены решения пространственных задач об образовании концентраторов напряжений в нагруженном теле при конечных деформациях, плоских и пространственных задач о последовательном образовании слоистых включений, модельных задач о росте концентраторов напряжений в упругом теле. Решения найдены для разных типов нагружения, в том числе и для случая приложения динамической нагрузки. Впервые получены приближенные аналитические решения плоской задачи об эллиптическом в момент образования жестком включении, образующемся в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задач метода конечных элементов, применение которого в конкретных расчетных схемах базируется на использовании апробированных методов оценки истинности получаемого решения (анализ сходимости при измельчении сетки, влияние начальных и граничных условий на получаемое решение), метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «Mathematica 5.0»), Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения ряда задач другими методами.

На защиту выносятся:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы диссертационной работы

2. Разработан алгоритм решения поставленных плоских и пространственных задач как при статическом, так и при динамическом нагружении. Разработано программное обеспечение для математической реализации алгоритма на базе МКЭ; получены приближенные аналитические решения плоской задачи о жестком эллиптическом (в момент образования) включении для разных типов нелинейно-упругих материалов. Разработан алгоритм и программное обеспечение для решения этой задачи на базе системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0» с использованием метода Синьорини.

3. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Выявлено,., что разница между решениями, полученными для линейных и нелинейных-определяющих соотношений и рассмотренными в работе, достигает 30%.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Вершинин, Анатолий Викторович, Москва

1. Адкинс Дж. Большие упругие деформации // Механика. Сб. переводов. -М.: Мир, 1957. -Т.1. - С. 67-74.

2. Александров В.М., Ворович И.И., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. Наука 1974.

3. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упругопластических тел. М.: Наука, 1987. - 471 с.

4. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н. Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во Самарского университета, 2001. 632 с.

5. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров //Высокомолек. соед. 1960. Т. 2, № 1. С. 20-28.

6. Бартенев Г.М., Шерматов Д., Бартенева А.Г. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии // Высокомолек. соед. 1998. Т. А40, № 9. С. 1465-1473.

7. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей. В кн.: Расчеты на прочность. М.: ГНТИ, 1958, вып. 3.

8. Болотин В.В. Распространение усталостных трещин как случайный процесс // Известия АН. Механика твердого тела. 1993. № 4. С. 174-183.

9. Бондарь В.Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1987. - Вып. 28. -С. 30-42.

10. Бровко Г.Л., Ткаченко JI.B. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика». 1993. - № 4. - С.45-49.

11. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин. М.: Химия, 1973. -239 с.

12. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. -224 с.

13. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987. 542 с.

14. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентраций напряжений // Концентрация напряжений. Киев, 1968. Вып. 2. С. 45-53.

15. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». М.: ГУЛ НИИ шинной промышленности, 2000. Т. 1.

16. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336 с.

17. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М: Мир, 1965, 445 с.

18. Громов В.Г., Толоконников JI.A. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала // Известия АН СССР. Отделение техн. наук, сер. Механика и машиностроение. 1963. №2. С. 81-87.

19. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. 272 с.

20. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. 296 с.

21. Гузь А.Н., Дышель Л.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 184 с.

22. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями // Прикладная механика, -г- Т. 6, №12. С. 42-49.

23. Гузь А.Н., Роджер А.А., Гузь И.А. О построении теории разрушения нанокомпозитов при сжатии // Прикладная механика, 2005. Т. 41, №3. С. 3-29.

24. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. -М.: СК Пресс, 1998. 256 с.

25. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

26. Зингерман К.М. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. Дис. доктора физ.-мат. наук. - Тверь, 2001. - 234 с.

27. Зубов JI.M. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. - №4. -С. 139-145.

28. Зубов Л.М. О дополнительной энергии упругого тела с начальными напряжениями // Изв. Сев-Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. естеств. н., 1988. №4. - С. 71-75.

29. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

30. Качалов Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31

31. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

32. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения, 1989

33. Койфман Ю.И., Ланглейбен А.Ш. Напряженно-деформированное состояние пластины с двумя равными отверстиями при высокоэластичных деформациях // Механика полимеров. 1967. - № 2. -С. 318-320.

34. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. 187 с.

35. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 224с.

36. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: Гостехиздат, 1947. 275с.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т. 7 - Теория упругости, 1987,247с

38. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций // Прикладная механика. -1987.-Т. 23.-№5.

39. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала // Доклады АН СССР. 1988. - 299, № 5. - С. 1079-1082.

40. Левин В.А. Краевые задачи наложения больших деформаций в телах из упругого или вязкоупругого материала. Дис. . доктора физ.-мат. наук. - Тверь, 1990. - 365 с.

41. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука. 1999. 224 с.

42. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит. 2002. - 272с.

43. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций // Доклады РАН. 1995. - Т. 343. -№6.- С. 764-766.

44. Левин В.А., Вершинин А.В. О приближенном аналитическом решении плоской задачи о жестком эллиптическом включении, возникающем в нагруженном теле. Конечные деформации // Известия ТулГУ. Сер. «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Тула, 2004.

45. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. Т. 346, №1. С. 62-67.

46. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (Под редакцией В.А. Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. 408 с.

47. Левин В.А., Вершинин А.В. Плоская задача об образовании включения в упругом нагруженном теле. Конечные деформации // Вестник Московского Университета, серия 1, Математика. Механика. 2006 №1

48. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // Доклады АН ССР, 1980. 251, № 1. С. 63-66.

49. Левин В.А., Тарасьев Г.С. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала // Доклады АН ССР, 1982. 264, № 6. С. 13161318.

50. В.А. Левин Моделирование роста повреждения при конечных деформациях. Вестник МГУ Сер. 1, Математика и механика, 2006, №3

51. В.А. Левин, В.В. Калинин, К.М. Зингерман, А.В. Вершинин Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М. ФИЗМАТЛИТ. 2007. 392с. (в печати)

52. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

53. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980,512 с.

54. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

55. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учебн. пособие / Гул. гос. ун-т.-Тула, 2000.-72 с.

56. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Известия АН СССР. Механика твердого тела.-1990. №2. С. 120-126.

57. Маркин А.А., Толоконников JI.A. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. Горький,-1987. - С. 32-37.

58. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. М.: Машиностроение, 1999. 544 с.

59. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255 с.

60. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966, 708 с.

61. Нечаев JI.M. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями // Работы по механике сплошных сред.-Тула, 1985, с. 103-113.

62. Нечаев JI.M., Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле // Доклады АН СССР, 1974,215, № 2, с. 301-304.

63. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.

64. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

65. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов, 1981, 152с.

66. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 502 с.

67. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости М. Эдиториал УРССД999 204с.

68. Ф.Препарата, М.Шеймос. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989

69. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве. Справочное пособие (Под ред. Федюкина Д.Л.). М.: Химия, 1986. 240 с.

70. Работнов Ю. Н. О механизме длительного разрушения/ Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 57.

71. Работнов Ю. Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

72. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1974. 560 с.

73. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968, 887с.

74. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.

75. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос. изд-во физмат. лит-ры, 1962. 284 с.

76. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: Наука, 1994. - 560 с.

77. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и ее применение.—Томск: Изд-во Томского уни-та, 2002.--128 с.

78. Тарасьев Г.С., Левин В.А., Нечаев Л.М. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости // Прикладная механика. 1980. - 16, № 6. - С. 92-97.

79. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // Прикладная механика. 1966. 2, № 2. С. 22-27.

80. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. -Киев, 1965.-Вып. 1.-С. 251-255.

81. Тимошенко С.П. Теория упругости. -М.: ОНТИ, 1934.

82. Толоконников J1.A. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 21, № 1.

83. Толоконников J1.A. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956, т. 20, вып. 3, с. 439-444.

84. Толоконников J1.A. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, № 6. - С. 1124-1126.

85. Толоконников JI.A., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала // Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов. Л.: 1985, вып. 42, с. 146-152.

86. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах. М.: Мир, 1973. 238 с.

87. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная лит-ра, 1953. 240 с.

88. Треффтц Е. Математическая теория упругости. -М.: ГТТИ, 19354. 170 с.

89. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975, 592 с.

90. Христианович С.А., Желтов Ю.П. Образование вертикальных трещин при помощи очень вязкой жидкости. Докл. На IV Междунар. нефт. конгрессе в Риме. М.: Изд-во АН СССР, 1955, 34с.

91. Цурпал И.А. Физически нелинейные упругие пластины, ослабленные произвольными отверстиями // Концентрация напряжений. Киев, 1965, вып. 1, с. 305-311.ii,,. v . ,

92. Изв. Акад. наук СССР. Отд-ние техн. наук. 1955. - N 11. - с.73-86

93. Изв. Акад. наук СССР. MTT. 1968. - N 2. - с.70-75

94. Журн. прикл. механики и техн. физики. 1964. - N 3. - С.9-15.

95. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения // Проблемы прочности. 1987. № 8. С.3-13

96. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикладная механика. 1977. - 13, № 1. - С. 3-30.

97. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Д.: Машиностроение, 1986, 336 с.

98. Ball J.M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in non-linear elasticity // Phil. Trans. Roy. Soc. London. V. A306. P. 557-611.

99. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitation and matrix yielding under equitriaxial stress // Trans. Asme. J. Appl. Mech. 1999. V. 66, № 3. P. 780785.

100. Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Effective Elastic Properties of Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. - Vol. 67. - №4. - P. 667-670.

101. Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and Microfracturing Pattern for Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. - V. 65. - № 2. - P. 431-435.

102. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940. № 11. P. 582-592.

103. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Willey, 1951.140 р.

104. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. P. 459-508.

105. Signorini A. Transformation termoelastiche finite // Ann. Mat. Pur. Appl. 1949. V. 30, № 4. P. 1-72.

106. Stoppelli F. Sulla sviluppabilita in serie di potense di purmametro delle equazioni dell' Elastatica isoterma // Rendironti dell' Acad, di Scienze. Fiz. e. Mat. Delia Soc.Naz. di Scienze. 1955. - V. 22. - № 4. - P. 427-467.

107. Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill, London, 1971;

108. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 1. The finite element method. The basis, 2000, 707p

109. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 2. The finite element method. Solid mechanics, 2000,479p

110. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Declinations in Elastic Bodies. Berlin: Springer, 1997.