Явления в колебательных системах с удвоением периода при быстром изменении параметра тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ОБЪЕКТЫ ЧИСЛЕННЫХ И

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. Введение.

1.2. Колебательный контур с диодом (RL-диод цепь) под периодическим воздействием.

1.2.1. Сложная динамика колебательного контура с диодом при периодическом силовом воздействии.

1.2.2. Критические явления в контуре с диодом.

1.2.2.1. Экспериментальное наблюдение отображений последования.,.

1.2.2.2. Спектральные закономерности на пороге перехода к хаосу.

1.2.2.3. Дискретное моделирование и обсуждение результатов

1.3. Мультимодальное многопараметрическое отображение маятника с импульсным воздействием и диссипацией.

1.4. Гармонически возбуждаемая RLC-цепь на переключаемых конденсаторах.

1.5. Генератор с запаздывающей обратной связью (ГЗОС).

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. НАРУШЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СИММЕТРИИ ПОСТБИФУРКАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ ПРИ БЫСТРОМ ИЗМЕНЕНИИ УПРАВЛЯЮЩЕГО ПАРАМЕТРА.

2.1. Ведение.

2.2. Численное исследование нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.

2.2.1. Постановка задачи при численном моделировании на одномерном отображении.

2.2.2. Результаты численного исследования нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.

2.3. Экспериментальное исследование нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.

2.3.1. Методика экспериментальных исследований быстрых бифуркационных переходов.

2.3.2. Нарушение вероятностной симметрии конечных состояний при быстрой бифуркации удвоения периода в контуре с диодом.

2.3.3. Нарушение вероятностной симметрии конечных состояний в системе с бифуркацией потери симметрии.

2.3.4. Эксперименты с кольцевой системой.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ОСОБЕННОСТИ БЫСТРЫХ БИФУРКАЦИЙ В

СИСТЕМАХ С МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬЮ.

3.1. Введение.

3.2. Бассейны притяжения конечных состояний в связанных отображениях при быстром изменении параметра и воздействии шумов.

3.3. Мультистабильность в цепочке бистабильных элементов с удвоением периода.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ СОСТОЯНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПАРАМЕТРА.

4.1. Введение.

4.2. Двухуровневое управление хаосом.

4.3. Управление хаосом в цепочке бистабильных элементов.

4.4. Выводы.

Последовательные удвоения характерного периода движения — одно из основных направлений эволюции нелинейных колебательных систем с ростом их неравновесности. Этот сценарий наблюдается в системах различной природы и размерности — от одномерных дискретных до распределенных потоковых; он обычно имеет место, когда системе свойственен единственный характерный временной масштаб или преимущественный вид колебаний. Наиболее универсальная информация о системах этого класса содержится в закономерностях их поведения вблизи перехода к хаосу, когда время повторяемости процессов заведомо превышает собственный временной масштаб конкретной системы [1],[2]-[9].

В последнее десятилетие акцент исследований колебательных явлений в нелинейных динамических системах, и в системах с удвоением периода в частности, заметно сместился в сторону изучения нестационарных режимов. В качестве примеров можно привести разработку задач управления хаосом, реконструкции нестационарных уравнений по временному ряду, исследование быстрых бифуркаций. Ситуации с изменяющимися параметрами типичны в природе, и широко представлены в технике. В данной работе основное внимание уделяется бифуркационным переходам в системах с быстро меняющимся параметром при наличии шумов. Их называют «динамическими», в противоположность переходам в квазистационарных системах, называемых «стохастическими» [10],[11]. Актуальность их изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при динамических бифуркациях в присутствие шумов. Речь в первую очередь идет о явлении спонтанного нарушения симметрии, которое отмечается в разных областях естествознания [12]-[15], например: в теории фазовых переходов, приводящих к ферромагнетизму, в теории взаимодействия элементарных частиц, и др. Спонтанное нарушение симметрии тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах. Например, живые организмы используют лишь один из двух зеркальных изомеров молекул аминокислот и Сахаров, поляризующих свет в одном направлении, и не используют другой. К спонтанному нарушению симметрии фактически сводятся такие ключевые для биологии проблемы, как морфогенез и дифференциация.

Практическая важность темы диссертации связана, в частности, с типичностью для систем обработки информации ситуации выбора одного из возможных постбифуркационных состояний Например, применительно к системам с удвоением периода проблема выбора того или иного пути эволюции была решающей, когда сдвинутые по фазе колебания параметрически возбуждаемых цепей с варакторами использовались в качестве 0 и 1 запоминающих ячеек с фазовым представлением информации (параметро-ны) [16],[17]. Быстрое изменение параметров может приводить к затягиванию времени пребывания возле неустойчивого состояния, явлению гистерезиса, при циклическом прохождении через точку бифуркации, а также и другим побочным эффектам.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании явлений в нелинейных системах с удвоением периода, наблюдающихся при изменении управляющего параметра, в том числе, в присутствие шумов. Для достижения поставленной цели рассматривались системы различной размерности и решались следующие основные задачи:

- исследование эффекта динамического нарушения вероятностной симметрии постбифуркационных состояний на одномерных дискретных моделях и его наблюдение в реальных системах;

- исследование последствий быстрого изменения управляющего параметра в присутствие шумов в системах с мультистабильностью;

- моделирование и экспериментальная реализация схемы двухуровневого управления хаосом, а также исследование особенностей управления в системах с бистабильностью.

Методы исследований и достоверность полученных результатов.

Решение поставленных задач проводится в диссертации методами численного (компьютерного) и физического экспериментов и частично аналитически. Достоверность полученных результатов подтверждается прежде всего воспроизводимостью всех численных и экспериментальных данных, хорошим качественным соответствием результатов численных и физических экспериментов, согласованностью с данными представленными в литературе.

Научная новизна. В работе впервые:

- проведено экспериментальное исследование эффекта нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях удвоения периода и потери симметрии на различных радиофизических системах; численно на дискретных моделях исследован механизм и сделана аналитическая оценка этого эффекта; показано, что данные дискретного моделирования отражают реальную ситуацию;

- численно исследовано влияние скорости изменения управляющего параметра и внешнего шума на конфигурацию бассейнов притяжения аттракторов в фазовом пространстве эталонной системы двух связанных квадратичных отображений; обнаружен эффект «выпадания» областей притяжения конечных состояний при малых скоростях изменения параметра в случаях, когда эти состояния соответствуют различным аттракторам;

- проведено численное исследование явления мультистабильности в цепочках связанных одномерных мультимодальных многопараметрических отображений в области параметров, соответствующей наличию бистабильности в изолированных элементах;

- экспериментально в неавтономной RL-диод цепи и численно в ее модели (многопараметрическом одномерном отображении) осуществлено управление хаосом с помощью двухуровневой схемы (bang-bang control), являющейся модификацией классического метода Отта-Гребоджи-Иорка и отличающейся от него простотой реализации в реальных системах; осуществлена стабилизация пространственно однородных состояний ансамбля бистабильных элементов с помощью процедуры поэлементного регулирования.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1) Явление нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях, после которых эволюция системы может проходить двумя равноценными путями, определяется движением границ областей притяжения этих состояний в фазовом пространстве при изменении управляющего параметра. При этом условная граница разделения «динамического» и «стохастического» вариантов бифуркационных переходов определяется нелинейностью системы, а предсказанная ранее степенная зависимость критического уровня шума от скорости изменения параметра в общем случае имеет место лишь в малой окрестности бифуркационного значения. Эффект нарушения вероятностной симметрии конечных состояний имеет общий характер, что подтверждается качественным соответствием результатов дискретного моделирования и физического эксперимента.

2) Структура бассейнов притяжения конечных состояний зависит от скорости изменения управляющего параметра, величина которой влияет как на конфигурацию, так и на площадь бассейнов. При малой скорости изменения управляющего параметра в системе с мультистабильностью наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций. В предельном случае эти виды колебаний могут оказаться ненаблюдаемыми (эффект «выпадания» состояний).

3) Двухуровневая схема управления позволяет организовать движение системы в заданной области фазового пространства неавтономных осцилляторов, находящихся в хаотическом движении на базе любого из субгармонических циклов. Стабилизация пространственно однородных режимов с помощью поэлементного управления работоспособна и в цепочке бистабильных осцилляторов, причем воздействие на систему слабого шума здесь может способствовать уменьшению управляющего сигнала.

Научная значимость результатов определяется степенью их общности. В частности, полученные в экспериментах результаты справедливы для широкого класса осцилляторных систем различной природы, демонстрирующих переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Это прямо подтверждается проведенными в работе численными исследованиями модельных уравнений и экспериментальными исследованиями реальных радиофизических систем с различными типами нелинейности.

Практическая значимость. Изучены явления при быстром изменении бифуркационного параметра некоторых вполне конкретных радиофизических систем, являющихся составными частями ряда практически важных устройств (исследованные нелинейные колебательные цепи широко используются, например, в качестве, параметрических генераторов, умножителей и делителей частоты). Полученные результаты позволяют прогнозировать колебательные состояния реальных систем и их эволюцию при изменении параметра. Возможность двухуровневого управления хаосом позволяет реализовать генерацию различных периодических сигналов одним устройством.

Личный вклад автора. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами. В работах, выполненных в соавторстве, автором проведены численные и большинство физических экспериментов, создано программное и часть аппаратного обеспечения. Совместно с соавторами осуществлены объяснение и интерпретация полученных результатов.

Апробация работы и публикации. Основные материалы работы представлялись на школе-семинаре по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, Россия, 1996), международных научных семинарах «Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES)» (Москва, Россия, 1997, Rjanne, Denmark, 1999), региональной научной конференции «Молодежь и наука на пороге XXI века (МиН-XXI)» (Саратов, Россия, 1998), международных симпозиумах «Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA)» (Crans-Montana, Switzerland, 1998, Dresden, Germany, 2000), международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур (Хаос'98)» (Саратов, Россия, 1998), конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, Россия, 1999), международной конференции «Modern Trends in the Computational Physics» (Дубна, Россия, 2000), международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, Россия, 2001), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн СГУ.

Основное содержание работы изложено в 22 публикациях (3 статьи в рецензируемых журналах, 10 статей в сборниках трудов конференций, 9 тезисов докладов).

Работа выполнялась в рамках научно-исследовательских работ, при поддержке РФФИ (гранты № 96-02-16755, № 99-02-17735, № 00-02-17441) и CRDF (грант No. REC-006).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 160 страниц, включая 47 страниц иллюстраций и 16 страниц списка литературы из 178 наименований.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1) Численно на примере квадратичных отображений показано, что явление нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях, после которых эволюция системы может проходить двумя равноценными путями, определяется движением границ областей притяжения этих состояний в фазовом пространстве при изменении управляющего параметра. При этом условная граница разделения «динамического» и «стохастического» вариантов бифуркационных переходов определяется нелинейностью системы, а предсказанная ранее степенная зависимость критического уровня шума от скорости изменения параметра в общем случае имеет место лишь в малой окрестности бифуркационного значения. Проведенная аналитическая оценка зависимости критического уровня шума от скорости изменения управляющего параметра показывает хорошее качественное соответствие результатам численного исследования.

2) Впервые проведено экспериментальное исследование эффекта нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях удвоения периода и потери симметрии на различных радиофизических системах. Результаты физических экспериментов показывают хорошее качественное соответствие закономерностям, выявленным при численном моделировании, что позволяет говорить об общности характера исследуемого явления.

3) Численно показано, что структура бассейнов притяжения конечных (постбифуркационных) состояний системы двух связанных квадратичных отображений с аддитивно добавленным шумом зависит от скорости изменения управляющего параметра, величина которой влияет на площадь, конфигурацию каждого бассейна и на распределение вероятностей попадания в различные конечные состояния.

4) Показано, что введение диссипативной связи между двумя квадратичными отображениями меняет не только бифуркационный сценарий при квазистатическом изменении параметров, но и отражается на вероятности установления и бассейнах притяжения конечных (постбифуркационных) состояний при быстром изменении параметра. Устойчивые несинфазные состояния, наблюдающиеся при больших, чем синфазные, значениях нелинейности, оказываются наблюдаемыми лишь при достаточно большой скорости изменения параметра. Эффект полного исчезновения бассейнов притяжения несинфазных состояний с фазовой плоскости при медленном изменении параметра назван «выпаданием» части конечных состояний.

5) Численное исследование замкнутой цепочки бистабильных возбуждаемых осцилляторов в виде кольца связанных мультимодальных многопараметрических отображений демонстрирует, что в кольце с нечетным числом элементов наблюдается переход к хаосу только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов имеются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Для пространственно периодических структур длинных цепочек при бифуркации рождения тора наблюдается пространственная модуляция по цепочке (пространственно-временная квазипериодичность), а при бифуркации удвоения временного периода — удвоение пространственного периода структуры. Анализ уравнения эволюции во времени пространственных мод возмущений кольца в окрестности неподвижных точек показывает, что однородные состояния вначале теряют устойчивость по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении связи между элементами.

5) Впервые экспериментально в неавтономной RL-диод цепи и численно в ее модели— одномерном мультимодальном многопараметрическом отображении показано, что двухуровневая схема управления, являющаяся модификацией классической схемы стабилизации встроенных в хаотический аттрактор неустойчивых орбит Отта-Гребоджи-Иорка, позволяет организовать движение системы в заданной области фазового пространства неавтономных осцилляторов, находящихся в хаотическом движении на базе любого из субгармонических циклов. Достоинством метода является простота алгоритма и конструкции цепей управления, а недостатком — то, что с его помощью достигается лишь ограничение движений заданным интервалом, а не достаточно длительное движение на неустойчивой орбите.

6) Для цепочки связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями, численно продемонстрирована возможность управления пространственно-временным хаосом методом последовательной стабилизации движений элементов. Показано, что воздействие на систему малого случайного шума на начальном этапе управления может уменьшить величину управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведены исследования явлений в нелинейных системах с удвоением периода, наблюдающихся при изменении управляющего параметра, в том числе, в присутствие шумов. Результаты математического моделирования демонстрируют хорошее качественное соответствие с результатами проведенных натурных экспериментов на реальных радиофизических системах. Исследования проводились на конкретных объектах, но полученные результаты являются общими для широкого класса осцилляторных систем.

1. Feigenbaum М. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys, 1978, V. 19, N. 1, P. 669-706.

2. Kuznetsov S.P. Tricriticality in two-dimensional maps // Phys. Lett., 1992, V. A169. P. 438-444.

3. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., SataevI.R. Multi-parameter transition to chaos and fractal nature of critical attractors // Fractals in the natural and applied sciences, Ed. M.M. Novak, Elsevier Science B.V. (North-Holland), 1994, P. 229-239.

4. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Мультипараметрическая критичность нелинейных систем// Лекции по СВЧ электронике и радиофизике, 9-я зимняя школа-семинар, Саратов, 1993, С. 241-250.

5. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1993, Т. 1, № 3-4, С. 17-35.

6. Kuznetsov А. P., Kuznetsov S.P., SataevI.R. Three-parameter scaling for one-dimensional maps // Phys. Lett., 1994, V. A189, P. 367-373.

7. Kuznetsov A. P., Kuznetsov S.P., SataevI.R. A Variety of Period-doubling Universality Classes in Multi-parameter Analysis of Transition to Chaos // Physica D, 1997, V. 109, P. 91-112.

8. Kuznetsov S.P., SataevI.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: renormalization group analysis and quantitative universality//Physica D, 1997, V. 101, P. 249-269.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах // Регулярная и хаотическая динамика, 1997, Т. 2, № 3-4, С. 90-105.

10. Brush J.S., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. The bifurcation paradox// Predictability of Complex Dynamical of System (Yu.A. Kravtsov, J.B. Kadtke, eds.), Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995, 143 p.

11. Бутковский О.Я., Браги Дж.С., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах// ЖЭТФ, 1996, Т. 109, В. 6, С. 2201-2207.

12. ЖелудееИ.Н. Поляризационные неустойчивость и мультистабиль-ность в нелинейной оптике // УФН, 1989, Т. 157, В. 4, С. 683-717.

13. Голъданский В.И., Кузьмин В.В. Спонтанное нарушение зеркальной симметрии в природе и происхождение жизни// УФН, 1989, Т. 157, В. 1, С. 3-50.

14. Хорсхемке В., ЛефеерР. Индуцированные шумом переходы. Теория и приложения к физике, химии и биологии // М: Мир, 1987, 397 с.

15. НиколисГ., Пригожим И. Познание сложного. Введение// М: Мир, 1990.

16. Каплан А.Е., Кравцов Ю.А., РыловВ.А. Параметрические генераторы и делители частоты // М.: Сов. радио, 1966, 334 с.

17. Ахманов С.А., Рошаль А. С. Параметрические генераторы субгармоник как элементы сверхбыстродействующих цифровых вычислительных машин // Известия вузов, Радиофизика, 1961, Т. 4, В. 2, С. 203-243.

18. Bezruchko В.P., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons & Fractals, 1995, V. 5, N. 11, P. 2095-2107.

19. KourilF., Vrba K. Non-linear and parametric circuits // Brno, 1988,413 p.

20. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей // М.: Радио и связь, 1982, 280 с.

21. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах// М.: Мир, 1968.

22. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator // Phys. Rev. Lett., 1981, V. 47, N. 19, P. 1349-1352.

23. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett., 1982, V. 48, N. 11, P. 714-717.

24. Klinker Т., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator// Phys. Lett. A, 1984, V. 101, N. 8, P. 371-375.

25. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator // Phys. Rev. A, 1983, V. 28, P. 1201-1203.

26. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Transition to chaos in a simple nonlinear circuit driven by sinusoidal voltage source// IEEE Trans. CAS, 1983, V. 30, P. 587-588.

27. Perez J. Mechanism for global features of chaos in a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. A, 1985, V. 32, N. 4, P. 2513-2516.

28. Астахов B.B., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника, 1987, Т. 32, № 12, С. 2558-2566.

29. Azzouz D., Duchr R., Hasler М. Bifurcation diagram for a piecewise-linear circuit I I IEEE Trans. CAS, 1984, V. 31, N. 6, P. 587-588.

30. MatsumotoT., ChuaL.O., TanakaS. Simplest chaotic nonautonomous circuit I I Phys. Rev. A, 1984, V. 30, P. 1155-1158.

31. Baxter J.H., Bocko M.F., Douglass D.H. Behavior of a nonlinear resonator driven at subharmonic frequencies // Phys. Rev. A, 1990, V. 41, N. 2, P. 619-625.

32. Rollins R.W., Hunt E.R. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior // Phys. Rev. Lett, 1982, V. 49, N. 18, P. 1295-1298.

33. HuntE.R., Rollins R. W. Exactly solvable model of a physical system exhibiting multidimensional chaotic behavior // Phys. Rev. A, 1984, V. 29, N. 2, P. 1000-1002.

34. Su Z., Rollins R. W., HuntE.R. Simulation and characterization of strange attractors in driven diode resonator systems // Phys. Rev. A, 1989, V. 40, N. 5, P. 2698-2705.

35. Kim CM, Cho C.H., Lee C.S, YimJ.H., Kim J., Kim Y. Period-doubling bifurcation in an electronic circuit with a fast-recovery diode and square-wave input // Phys. Rev. A, 1988, V. 38, N. 3, P. 1645-1648.

36. YoonT.H., SongJ.W., ShinS.Y., RaJ.W. One-dimentional map and its modification for periodic — chaotic sequence in a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. A, 1984, V. 30, N. 6, P. 3347-3350.

37. Jeffries C., Perez J. Observation of a Pomeau-Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator // Phys. Rev. A, 1982, V. 26, N. 4, P. 2117-2123.

38. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода // Радиотехника и электроника, 1993, Т. 38, №> 2, С. 291-295.

39. IkeziH., de Grassie J.S., Jensen Т.Н. Observation of multiple-valued at-tractors and crises in a driven nonlinear circuit// Phys. Rev. A, 1983, V. 28, N. 2, P. 1207-1209.

40. ЧуаЛ.О., СугавараЦ. Панорамное отображение странных аттракторов // ТИИЭР, 1987, Т. 75, № 8, С. 141-155.

41. Jeffries С., Perez J. Direct observation of crises of chaotic attractor in nonlinear oscillator // Phys. Rev. A, 1983, V. 27, N. 1, P. 601-603.

42. Hunt E.R., Rollins R. W. Intermittent transient chaos at crises in the diode resonator // Phys. Rev. A, 1984, V. 26, N. 6, P. 3327-3334.

43. Bocko M.F., Douglass D.H., Frutchy H.H. Bounded regions of chaotic behavior in the control parameter space of a driven non-linear resonator // Phys. Lett. A, 1984, V. 104, N. 8, P. 388-390.

44. Максимов А. С., Максимов H.А. Динамика нелинейного колебательного контура с р-n переходом при различных напряжениях смещения и воздействии внешнего гармонического сигнала// ЖТФ, 1989, Т. 59, №8, С. 147-149.

45. Кипчатов А.А. Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура// Изв. вузов, Радиофизика, 1990, Т. 33, №2, С. 182-190.

46. Cascais J., Dilao R., Da Costa A.N. Chaos and reverse bifurcation in RLC circuit // Phys. Lett. A, 1983, V. 93, N. 5, P. 213-216.

47. Octavio M., Da Costa A., Aponte J. Nonuniversality and metric properties of a forced nonlinear oscillator// Phys. Rev. A, 1986, V. 34, N. 2, P. 1512-1515.

48. Безручко Б. П. Особенности возбуждения субгармонических и хаотических колебаний в контуре с диодом // Радиотехника и электроника, 1991, Т. 36, № 11, С. 2171-2174.

49. Feigenbaum M.J. The onset spectrum of turbulence // Phys. Lett. A, 1979, V. 74, P. 375-378.

50. Chang S.J., Wortis M., Wright J. A. Iterative properties of a one-dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behavior // Phys. Rev. A, 1981, V. 24, N. 5, P. 2669-2684.

51. Кузнецов А.П. Критические явления и сценарии перехода к хаосу во многопараметрических нелинейных системах // Диссертация на со-сискание ученой степени доктора физико-математических наук, Саратов, 1995, 320 С.

52. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного нелинейного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами // Письма в ЖТФ, 1994, Т. 20, В. 12, С. 78-82.

53. Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом // Радиотехника и электроника, 1996, Т. 41, № 11, С. 1340-1343.

54. Безручко Б.П., Жалнин А.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т. 5, № 2, С. 48-62.

55. BuskirkR., Jeffries С. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1985, V. 31, N. 5, P. 3332-3357.

56. MiraC., Carcasses J.P., Bosch M., Simo C., TatjerJ.C. Crossroad area — spring area transition. (I) Parameter plane representation // Int. J. of Bif. and Chaos, 1991, V. 1, N. 1, P. 183-196.

57. MiraC., Carcasses J.P., Bosch M, Simo C., TatjerJ.C. Crossroad area — spring area transition. (II) Foliated parametric representation // Int. J. of Bif. and Chaos, 1991, V. 1, N. 2, P. 339-348.

58. MiraC., Carcasses J.P. On the "crossroad area— saddle area" and "crossroad area — spring area" transitions // Int. J. of Bif. and Chaos, 1991, V. 1, N. 3, P. 641-655.

59. Chang S.J., Wortis M., Wright J.A. Iterative properties of a one-dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behavior // Phys. Rev. A, 1981, V. 24, N. 5, P. 2669-2684.

60. Parlitz U. Common dynamical features of periodically driven strictly dissi-pative oscillators // Int. J. ofBif. and Chaos, 1993, V. 3, N. 3, P. 703-715.

61. ParlitzU., SceffczykC., Kurz Т., Lauterborn W. Two-dimensional maps modeling periodically driven strictly dissipative oscillators // Int. Ser. of Numerical Math., 1991, V. 97, P. 283-287.

62. Scheffczyk C., Parlitz U., Kurz Т., Knop, W., Lauterborn W. Comparison of bifurcation structures of driven nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1991, V. 43, N. 12, P. 6495-6502.

63. Tanaka S., Matsumoto Т., Chua L.O. Bifurcation scenario in a driven RL-Diode circuit // Physica D, 1987, V. 28, N. 13, P. 317-344.

64. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах // ТИИЭР, 1987, Т. 75, В. 8, С. 66-87.

65. Holmes P. A nonlinear oscillator with strange attractor // Phylos. Trans., 1979, V. 292. P. 419-448.

66. Huberman B.A., Crutchfild J.P. Chaotic states of unharmonic system in periodic fields // Phys. Rev. Lett., 1979, V. 43, N. 23, P. 1743-1746.

67. Sato S., Sano M., Sawada Y. Universal scaling property in bifurcation structure of Duffing's and generalized Duffing's equation // Phys. Rev. A., 1983, V. 28, N. 3, P. 1654-1658.

68. Miles J. Resonance and symmetry breaking for the pendulum // Physica D, 1988, V. 31, N. 2. P. 252-268.

69. Дмитриев А. С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // М.: Наука, 1989. 280 с.

70. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) // Изв. вузов,. Радиофизика, 1982, Т. 25, № 12, С. 1410-1428.

71. Кислое В.Я., Залогин Н.Н., МясинЕ.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 1979, Т. 24, № 6, С. 1118-1130.

72. Кислое В.Я. Теоретический анализ шумовых колебаний в электронно-волновых системах// Радиотехника и электроника, 1980, Т. 25, № 8, С. 1683-1690.

73. Кислое В.Я., Мясин Е.А., Залогин Н.Н. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью// Радиотехника и электроника, 1980, Т. 25, №10, С.2160-2168.

74. Гуляев Ю.В., Дмитриев А. С., Кислое В.Я. Странные аттракторы в кольцевых автоколебательных системах// ДАН СССР, 1985, Т. 282, № 1, С. 53-56.

75. Анищенко B.C., Постное Д. Э. Переходы к стохастичности в инерционном генераторе с запаздыванием. Проблема конечномерного описания // ЖТФ, Т. 55, В. 1, С. 162-167.

76. КацВ.А., Трубецков Д.И. Возникновение хаоса при разрушении квазипериодических режимов и переходе через перемежаемость в распределенном генераторе с запаздыванием// Письма в ЖТФ, 1984, Т. 39, № 3, С. 116-119.

77. Кац В.А. Возникновение хаоса и его эволюция в распределенном генераторе с запаздыванием (эксперимент) // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1985, Т. 28, № 2, С. 161-176.

78. Кац В.А., Кузнецов С.П. Переход к многомодовому хаосу в простой модели генератора с запаздыванием// Письма в ЖТФ, 1987, Т. 13, № 12, С. 727-733.

79. Кузнецов СЛ., Пиковский А. С. Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1985, Т. 28, № 3, С. 308-319.

80. Кузнецов С.П. Бифуркации удвоения в простой модели распределенной системы // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1982, Т. 25, № 11, С. 13641368.

81. Безручко Б.П., Каменский В.Ю., Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздывающей обратной связью // Письма в ЖТФ, 1988, Т. 14, В. 11, С. 1014-1019.

82. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Структура зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях удвоения периода // ЖЭТФ, 1997, Т. 112, В. 5, С. 1-12.

83. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума// ЖТФ, 1997, № 9, С. 128-131.

84. Satoh К., Aihara Т. Numerical study on a coupled-logistic map as a simple model for a predator-prey system // J. of the Phys. Soc. of Japan, 1990, V. 59, N. 4, P. 1184-1198.

85. YuanJ.M., TungM., FengD.H., Narducci L.M. Instability and irregular behavior of coupled logistic equations // Phys. Rev. A, 1983, V. 28, N. 3, P. 1662-1666.

86. GuY., TungM., YuanJ.M., FengD.H., Narducci L.M. Crises and hysteresis in coupled logistic maps// Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, N. 9, P. 701-704.

87. ПиковскийA.C. Взаимодействие странных аттракторов, Препринт № 79, ИПФ АН СССР, Горький, 1983, 21 С.

88. Waller I., Kapral R. Synhronization and chaos in coupled nonlinear oscillators // Phys. Lett. A, 1984, V. 105, N. 4-5, P. 163-168.

89. Kaneko K. Transition from torus to chaos accompanied by frequency locking with symmetry breaking // Progr. Theor. Phys, 1983, V. 69, N. 5, P.1427-1442.

90. Rossler O.E. An equation for hyperchaos // Phys. Lett. A, 1979, V. 71, P. 155-157.

91. Kaneko K. Collapse of tori and genesis of chaos in dissipative systems // Singapore, World Scientific, 1986, 264 p.

92. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных-систем Фейгенбаума// Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1985, Т. 28, №8, С.991-1007.

93. Кузнецов С.П. Масштабно инвариантная структура пространства параметров связанных систем Фейгенбаума // ЖТФ, 1985, Т. 55, № 9, С. 1830-1834.

94. Дмитриев А. С., Старков С.О., Широков М.Е. Синхронизация ансамблей диссипативно связанных отображений, Препринт № 9 (609), ИРЭ РАН, Москва 1995, 38 С.

95. ReickC., Mosekilde Е. Emergence of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems// Phys. Rev. E, 1995, V. 52, N. 2, P. 1418-1435.

96. Афраймович B.C., ВеричевН.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1986, Т. 29, № 9, С. 1050-1060.

97. Анищенко B.C., Арансон КС., Постное Д. Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов // ДАН СССР, 1986, Т. 286, № 5, С. 11201124.

98. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумов-ских системах // ЖТФ, 1990, Т. 60, В. 10, С. 19-26.

99. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультиста-бильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем // Письма в ЖТФ, 1989, Т. 15, В. 3, С. 60-65.

100. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1988, Т. 31, №5, С. 627-630.

101. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, В. 6, С. 61-66.

102. Прохоров МД. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т. 4, № 4-5, С. 99-107.

103. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Е.В. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, В. 8, С. 12-17.

104. Капеко К. Period-doubling of kink-antikink patterns, quasi-periodicity in antiferro-like structures and spatial intermittency in coupled map lattices — toward a prelude to a field theory of chaos // Prog. Theor. Phys., 1984, V. 72, N. 3,P. 480-486.

105. Waller I., KapralR. Spatial and temporal structure in systems of coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1984, V. 30, N. 4, P. 2047-2055.

106. Кузнецов С.П. О модельном описании цепочки связанных динамических систем вблизи точки перехода порядок-беспорядок// Изв. ВУЗов, Физика, 1984, Т. 27, № 6, С. 87-96.

107. Crutchfield J.P., Капеко К. Phenomenology of spatio-temporal chaos// Directions in chaos, ed. Hao Bai-lin, Singapore, World Scientific, 1987, V. 1,P. 272-353.

108. AlstromP., RitalaR.K. Mode-locking in an infinite set of coupled circle maps // Phys. Rev. A, 1987, V. 35, N. 1, P. 300-311.

109. Chate H., Manneville P. Spatiotemporal intermittency in coupled map lattices // Physica D, 1988, V. 32, P. 409^122.

110. Капеко K. Pattern dynamics in spatiotemporal chaos // Physica D, 1989, V. 34, P. 1-41.

111. Капеко К. Spatiotemporal chaos in one- and two-dimensional coupled map lattices // Physica D, 1989, V. 37, P. 60-82.

112. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации // под ред. Гапонова-Грехова А.В., Рабиновича М.И., ИПФ АН СССР, Горький, 1989, 256 с.

113. Umberger D.K, GrebogiC., OttE., AfeyanB. Spatiotemporal dynamics in a dispersively coupled chain of nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1989, V. 39, N. 9, P. 4835^1842.

114. KanekoK. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in network of chaotic elements // Physica D, 1990, V. 41, P. 137-172.

115. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Пространственные структуры в дисси-пативных средах у порога возникновения хаоса// Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1991, Т. 34, № 2, С. 142-146.

116. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений (обзор)// Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1991, Т. 34, № 10-12, С. 1079-1115.

117. Капеко К. Globally coupled circle maps // Physica D, 1991, V. 54, P. 5-19.

118. KanekoK. The coupled map lattice: introduction, phenomenology, Lya-punov analysis, thermodynamics and applications // Theory and applications of coupled map lattices, Ed. Kaneko K., Jonh Wiley & Sons, 1993, P. 1-49.

119. ZhilinQ., GangH. Spatiotemporally periodic states, periodic windows, and intermittency in coupled map lattices // Phys. Rev. E, 1994, V. 49, N. 2, P. 1099-1108.

120. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., VelardeM.G. Spatial disorder and pattern formation in lattices of coupled bistable elements // Physica D,1997, V. 100, P. 330-342.

121. Hubler A.W., Luscher E. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations //Naturwissenschaft, 1989, V. 76, P. 67.

122. Jackson E.A. The entrainment and migration controls of multiple-attractor systems // Physics Letters A, 1990, V. 151, P. 478^184.

123. OttE., GrebogiC., YorkeJ.A. Controlling Chaos// Phys. Rev. Lett., 1990, V. 64, P. 1196-1199.

124. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. Experimental control of chaos// Phys. Rev. Lett., 1990, V. 65, N. 26, P. 3211-3214.

125. Shinbrot Т., OttE., Grebogi C., YorkeJ.A. Using chaos to directs trajectories to targets // Phys. Rev. Lett., 1990, V. 65, P. 3215-3218.

126. Shinbrot Т., OttE., Grebogi C., YorkeJ.A. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map // Phys. Rev. A, 1992, V. 45, N. 6, P. 4165-4168.

127. Romeiras F.J., GrebogiC., OttE., DayawansaW.P. Controlling chaotic dynamical systems // Physica D, 1992, V. 58, P. 165-192.

128. Lai Y.C., Grebogi C. Converting transient chaos into sustained chaos by feedback control // Phys. Rev. E, 1994, V. 49, N. 2, P. 1094-1098.

129. SchiffS.J., Jerger K., Duong D.H., Chang Т., Spano M.L. Ditto W.L. Controlling chaos in the brain //Nature, 1994, V. 370, P. 615-620.

130. PoonL., GrebogiC. Controlling complexity// Phys. Rev. Lett., 1995, V. 75, N. 22, P. 4023-4026.

131. In V., Ditto W.L. Adaptive control and tracking of chaos in a magneto-elastic ribbon // Phys. Rev. E, Rapid Communications, 1995, V. 51, N. 4, P. 2689-2692.

132. Hunt E.R. Stabilizing high-periodic orbits in a chaotic system: The diode resonator // Phys. Rev. Lett., 1991, V. 67, P. 1953-1955.

133. Roy R., Murphy T.D., MaierT.D., Gills Z., Hunt E.R. Dynamical control of a chaotic laser: experimental stabilization of a globally coupled system // Phys. Rev. Lett, 1992, V. 68, P. 1259-1262.

134. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback// Phys. Lett. A, 1992, V. 170, P. 421-428.

135. Bielawski S., Derozier D., Glorieux P. Controlling Unstable Periodic Orbits by a Delayed Continuous Feedback// Phys. Rev. E, 1994, V. 49, N. 2, P. R971-R974.

136. Gauthier D.J., Sukow D.W., Concannon H.M., Socolar J.E.S. Stabilizing Unstable Periodic Orbits in a Fast Diode Resonator Using Continuous Time-delay Autosynchronization// Phys. Rev. E, 1994, V. 50, N. 3, P.2343-2346.

137. Jackson E.A., Kodogeorgiou A. Entrainmant and migration controls of two-dimentionals maps // Physica D, 1992, V. 54, P. 253-265.

138. Chacon R. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations // Phys. Rev. E, 1989, V. 51, N. 1, P. 761-764.

139. Lima R., Pettini M. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations // Phys. Rev. A, 1990, V. 41, N. 2, P. 726-733.

140. Galias Z., OgorzalekM.J. Bang-bang control of chaotic system// Proceedings of the 3rd International Workshop (NDES'95), Dublin, Ireland,1995, P. 229-232.

141. AuerbachD., Grebogi C., Ott E., YorkeJ.A. Controlling chaos in high dimensional systems // Phys Rev. Lett., 1992, V. 69, P. 3479-3482.

142. PetrovV., MihaliukE., Scott S.K., Showalter K. Stabilizing and characterizing unstable states in high-dimensional systems from time series // Phys. Rev. E, 1995, V. 51, N. 5, P. 3988-3996.

143. DingM., YangW., InV., Ditto W.L., Spano M.L., Gluckman B. Controlling chaos in high dimensions: theory and experiment // Phys. Rev. E,1996, V. 53, N. 5, P. 4334-4344.

144. Christini D.J., Collins J.J., LinsayP.S. Experimental control of high-dimensional chaos: The driven double pendulum// Phys. Rev. E, 1996, V. 54, P. 4824^827.

145. Ни G., Qu Z. Controlling spatiotemporal chaos in coupled map lattice systems // Phys. Rev. Lett., 1994, V. 72, N. 1, P. 68-71.

146. AuerbachD. Controlling extended systems of chaotic elements// Phys. Rev. Lett., 1994., V. 72, N. 8, P. 1184-1187.

147. Sole R. V., Prida L.M. Controlling chaos in discrete neural networks// Phys. Lett. A, 1995, V. 199, P. 65-69.

148. Bleich M.E., Socolar J.E.S. Controlling spatiotemporal dynamics with time-delay feedback // Phys. Rev. E, 1996, V. 54, N. 1, P. 17-20.

149. Grigoriev R.O., Cross M.C., Shuster H.G. Pinning control of spatiotemporal chaos // Phys. Rev. Lett, 1997, V. 79, N. 15, P. 2795-2798.

150. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I., ShabuninA.V. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of the coupled logistic maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1995, V. 42, N. 6, P. 352-357.

151. Анищенко B.C., Астахов В.В., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В. Стабилизация симметричных седловых циклов в связанных системах с хаотической динамикой //Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная Динамика, 1995, Т. 3, № 4, С. 73-80.

152. Астахов В.В., Силъченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Ани-щенко В. С. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов// Радиотехника и электроника, 1996, Т. 41, №11, С. 1323-1331.

153. Шабунин А.В. Синхронизация и управление хаосом в связанных колебательных системах // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Саратов, 1998, 142 С.

154. Публикации по теме диссертации

155. Ivanov R.N., Prokhorov M.D. Regularities In Oscillation Spectra of LR-diode Circuit Near the Onset of Chaos// Proceedings of 1995 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'95), Las Vegas, USA, 1995, V. 1, P. 627-630.

156. Иванов P.H., Прохоров М.Д. Закономерности в спектрах колебаний LR-диод цепи на пороге перехода к хаосу // Лекции по СВЧ электронике и радиофизике. 10-я зимняя школа-семинар: Межвуз. сб. науч. тр., Саратов, 1996, Кн. 2, С. 43-50.

157. Иванов Р.Н. Неустойчивые колебательные режимы в периодически возбуждаемом контуре с диодом // Материалы 34-й Международной научной студенческой конференции, Физика, Новосибирск, 1996, Часть 1, С. 60-62.

158. Иванов Р. Н., Пономаренко В.И. Структура многообразий седловых циклов осциллятора с «мягкой пружиной» // Нелинейные колебания механических систем: IV конф.: Тез. докл., Нижний Новгород, 1996, С. 65.

159. Иванов P.H. Нарушение вероятностной симметрии конечных состояний после бифуркаций в отображениях с шумом // Региональная научная конференция "Молодежь и наука на пороге XXI века (МиН-XXI)". Сб. тез. докл., Саратов, 1998, С. 27-28.

160. IvanovR.N., Ponomarenko VI. Bang-Bang Control of Chaos in Diode Resonator // Proceedings of the 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-98), Budapest, Hungary, 1998, P. 337-340.

161. Ivanov R.N., Ponomarenko V.I. Bang-Bang Control of Chaos in Nonauto-nomous Nonlinear System// Proceedings of 1998 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V. 2, P. 409-412.

162. Иванов Р.Н., Пономаренко В.И. Двухуровневое управление хаосом в неавтономной RL-диод цепи // 5-я Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур (Хаос'98)». Сб. тез. докл., Саратов, 1998, С. 90-91.

163. Иванов Р.Н. Скорость бифуркационных переходов и нарушение вероятностной симметрии конечных состояний // Материалы науч. школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-98)», Саратов, 1998, С. 106-109.

164. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И. Двухуровневое управление хаосом в нелинейных осцилляторах// Письма в ЖТФ, 1999, Т. 25, В. 4, С. 61-67.

165. Безручко Б.П., Иванов Р.Н. Нарушение вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях удвоения периода (физический и численный эксперимент) // Нелинейные колебания механических систем: V конф.: Тез. докл., Нижний Новгород, 1999, С. 21-22.

166. Bezruchko В.Р., Ivanov R.N. Universal Regularities at Fast Period Doubling Bifurcations with Noise // Proceedings of 1999 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'99), Waiko-loa, USA, 1999, V. 1, P. 263-266.

167. Безручко Б.П., Иванов P.H. Нарушение вероятностной симметрии при быстрой бифуркации удвоения периода // Письма в ЖТФ, 2000, Т. 26, В. 22, С. 7-15.

168. Б.П. Безручко, Р.Н. Иванов, В.И. Пономаренко, Е.П. Селезнев Экспериментальное наблюдение быстрых бифуркаций // Сб. материалов Международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ», Саратов, 2001, С. 13-15.

169. Бутковский О.Я., Иванов Р.Н., Кравцов Ю.А., РычкаИ.А., Суровят-кина Е.Д. Бассейны притяжения конечных состояний связанной системы с переменными параметрами при бифуркациях удвоения периода // ЖТФ, 2001, (в печати).