Регулярные и стохастические колебания в автогенераторах резонансного типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

«/ ' - > '

# / *

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЧАН Хао Быу

РЕГУЛЯРНЫЕ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В АВТОГЕНЕРАТОРАХ РЕЗОНАНСНОГО ТИПА

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат технических наук профессор Б.А. Мартынов

Научный консультант кандидат технических наук доцент A.C. Карасев

Санкт-Петербург - 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................5

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫМ СИСТЕМАМ РЕЗОНАНСНОГО ТИПА СО СТОХАСТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ................................................................14

1.1. Генераторы с туннельным диодом.......................................14

1.2. Генераторы с инерционной нелинейностью...........................20

1.3. Кольцевые автоколебательные системы с 1.5 степенями свободы..........................................................................30

1.4. Кольцевые автоколебательные системы с числом степеней свободы более полутора......................................................36

1.5. Семейство схем Чуа........................„-.л*...................39

1.6. Сценарии перехода к хаосу в динамическш^системах. Типичные бифуркации.....................................................................42

ГЛАВА 2. РЕЗОНАТОР НА ОАВ. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕНЕРАТОРА С ОАВ- РЕЗОНАТОРОМ......................49

2.1. Структура, эквивалентная схема и электрический адмиттанс композиционного резонатора СВЧ.........................................49

2.2. Колебательные моды и соответствующие им эквивалентные схемы композиционного резонатора......................................53

2.3. Выбор схемы генератора с резонатором на ОАВ.....................55

2.4. Колебательные режимы генератора с резонатором на ОАВ.......57

ГЛАВА 3. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ СВЧ

ГЕНЕРАТОРА, СОДЕРЖАЩЕГО РЕЗОНАНСНЫЕ КОНТУРЫ И ЛИНИЮ ЗАДЕРЖКИ В ЦЕПИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ..................61

3.1. Постановка задачи...........................................................61

3.2. Дифференциальные уравнения схемы и получение укороченных уравнений........................................................................62

3.3. Одно- и двухчастотный режимы двухконтурного генератора при жесткой характеристике усилителя........................................65

3.4. Устойчивость колебаний в двухконтурных генераторах с линией задержки в цепи обратной связи. Анализ методом ММА............69

3.4.1. Условие устойчивости одночастотного режима.......................70

3.4.2. Условие устойчивости двухчастотного режима.......................71

3.5. Результаты численных расчетов двухчастотных режимов.........75

3.5.1. Случай генератора с аппроксимацией характеристики усилителя полиномом пятой степени и без линии задержки......................76

3.5.2. Случай генератора с линией задержки в цепи обратной связи.....76

3.6. Образование трехмерного тора в двухконтурной автоколебательной системе...........................................................79

3.7. Применимость асимптотических методов. Жесткие системы дифференциальных уравнений и сходимость вычислительных алгоритмов......................................................................82

ГЛАВА 4. ПЕРЕХОД К СТОХАСТИЧНОСТИ В ДВУХКОНТУРНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА..................................................84

4.1. Схема генератора. Система дифференциальных уравнений. Равновесные решения.........................................................84

4.2. Условие устойчивости равновесных решений. Бифуркации.......87

4.3. Сценарии перехода к хаосу. Типичные бифуркации.................90

4.4. Природа явления перемежаемости. Устойчивость стохастического движения.......................................................................127

4.5. Влияние линии задержки.................................................132

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Радиофизические системы с детерминированными параметрами, демонстрирующие нерегулярные движения (хаотичность, стохастичность) даже без видимых случайных воздействий, составляют один из основных предметов исследования современной теории колебаний. Интерес к ним вызван тем, что изучение таких объектов позволяет выявить фундаментальные особенности движений в нелинейных колебательных системах, присущие как разнообразным физическим явлениям, так и процессам, наблюдаемым в химии, биологии, технике и экономике.

Естественно, что адекватное и достаточно полное описание и объяснение процессов в таких сложных динамических системах, как современные радиоэлектронные устройства, должно как при анализе, так и при проектировании, выполняться с учетом возможности стохастических колебаний.

Хаотизация движений, наблюдаемая в целом ряде нелинейных автономных систем 3-го и более высокого порядка и неавтономных систем, порядок которых не ниже, чем два, в одних ситуациях может оказаться нежелательным явлением, а в других - послужить основой для создания специальных видов сигналов, расширения функциональных возможностей и улучшения характеристик радиофизических систем.

Данная работа посвящена исследованию колебательных режимов, которые могут быть реализованы в автономных автогенераторах резонансного типа, образующих широкий класс динамических систем, издавна привлекающий к себе внимание исследователей - радиофизиков.

Под автогенератором резонансного типа обычно понимают систему, при анализе процессов в которой можно применять структурную схему, состоящую из линейной колебательной системы (КС) с малыми потерями и присоединенных к ней одного или нескольких нелинейных активных элементов (АЭ). Первоначально основной целью создания автогенераторов резонансного типа было получение колебаний, близких по форме к синусоидальным (гармоническим). Однако, как оказалось при многих разновидностях КС и АЭ, таким генераторам присуще разнообразие видов колебаний, в том числе стохастических, наблюдаемых при различных значениях параметров элементов.

В качестве примеров на рис.1.а и б приведены структурные схемы автогенераторов с только одним нелинейным активным двухполюсником или только одним четырехполюсником.

Рис. 1а. Рис. 1.6.

Колебательные системы могут содержать сосредоточенные и распределенные линейные элементы, а число степеней свободы КС может быть больше единицы. К числу генераторов с активным двухполюсником (рис.1.а) относится известная схема Чуа. Другой разновидностью генераторов, рассматриваемых в литературе, является система в виде кольца (рис. 1.6), образованного широкополосным безынерционным активным нелинейным элементом, и цепью обратной связи с линейным фильтром и линией задержки. В литературе рассмотрены в основном только случаи фильтров малого порядка. Таким устройством является, например, модель генератора

на широкополосном усилителе (таком, как ЛЕВ) с цепью обратной связи в виде единственного избирательного контура. Однако, такие модели в настоящее время уже недостаточны для имеющихся практических потребностей. Технологические успехи микроэлектроники позволяют создать образцы малогабаритных высокодобротных резонаторов на объемных акустических волнах (ОАВ), частотная характеристика которых имеет вид «гребенки» с относительно малым фиксированным шагом. Применение таких резонаторов в генераторах перспективно для создания источников стабильных моногармонических колебаний, источников сетки частот и, возможно, для создания мультистабильных колебательных устройств. Исследование особенностей колебаний в таких многочастотных системах представляет интерес как с практических, так и с теоретических позиций.

Характерной чертой современных исследований сложных движений в нелинейных колебательных системах является то, что основные результаты получены преимущественно численными методами. При этом результаты оказываются вынужденно ограниченными сравнительно узкими областями в пространстве параметров системы из-за большого объема вычислений. Поэтому представляет интерес также и рассмотрение возможностей использования приближенных аналитических методов, в том числе метода медленно меняющихся амплитуд [1], для анализа динамики сложных колебательных систем.

С точки зрения теории стохастической динамики весьма актуальной является проблема исследования моделей автогенераторов, представляющих собой относительно сложные динамические системы, например, пятого порядка. Интерес к таким системам объясняется, во-первых, тем, что в этих системах возможно проявление нетривиальных мультистабильных свойств. Во-вторых, в пятимерных фазовых пространствах наблюдаются многие бифуркации двумерного тора, которые невозможны в трехмерных фазовых

пространствах. Динамические системы третьего порядка были достаточно полно изучены многочисленными исследователями (Анищенко B.C., Астахов В.В., Дмитриев A.C., Кислов В .Я., Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И., Chua L.O., Zhong G.Q., Ayrom F., и др.). Среди работ по исследованию автономных динамических систем с числом степеней свободы, большим, чем 1.5, преобладают работы по связанным в цепочку генераторам. В связи с этим детальное и всестороннее исследование структуры фазового пространства пятимерных динамических систем, ее эволюции при вариации параметров представляется весьма актуальным. Особое внимание в работе уделено изучению бифуркациям двумерных торов и закономерностям перехода от квазипериодических колебаний к хаосу. Другой актуальной проблемой является исследование бифуркаций странных аттракторов и механизма установления таких сложных колебательных режимов, как перемежаемости для данной системы.

Целью диссертационной работы является исследование колебательных процессов в генераторе резонансного типа с широкополосным активным элементом и резонатором на ОАВ в цепи обратной связи и его математических моделях.

В рамках достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1 .Разработать эквивалентную схему резонатора на ОАВ, позволяющую установить связь ее электрических параметров с геометрическими и электрофизическими характеристиками резонатора;

2. Разработать математическую модель генератора;

3. Аналитическими методами приближенно проанализировать возможные виды колебаний в многоконтурных генераторах;

4. Провести теоретическое изучение регулярной и хаотической динамики модели генератора, представляющей собой динамическую систему пятого

порядка. Установить характерные особенности системы, ее типичные бифуркации и сценарии перехода к хаосу;

5. Провести экспериментальные исследования макета генератора, сопоставить экспериментальные данные с результатами теоретического анализа.

Объектами исследования являются резонатор на ОАВ, генератор кольцевой структуры с резонатором на ОАВ и математические модели генератора.

Основные методы исследования - методы теории электрических цепей, методы теории нелинейных колебаний, методы математической физики, экспериментальные методы радиоэлектроники.

Защищаемые научные положения

1.Резонатор на ОАВ может быть представлен эквивалентной схемой из сосредоточенных элементов в виде системы включенных параллельно последовательных контуров, собственные частоты которых отличаются на фиксированную величину А/, определяемую толщиной звукопровода и скоростью звука, а добротность зависит от параметров пьезопреобразователя.

2.Генератор кольцевой структуры с ОАВ- резонатором в цепи обратной связи может быть представлен моделью в виде активного безынерционного четырехполюсника с цепью обратной связи, содержащей согласованную линию задержки и систему контуров с идеальным сумматором напряжения.

3.Аналитическим методами для сложной модели генератора, содержащей два колебательных контура и линию задержки в цепи обратной связи, могут быть решены задачи о нахождении в пространстве параметров системы областей, соответствующих одночастотным, двухчастотным и трехчастотным колебательным режимам.

4. Для математической модели генератора без линии задержки, представляющей собой динамическую систему пятого порядка, установлены

следующие характерные особенности, типичные бифуркации и сценарии перехода к хаосу:

-данная система является мультистабильной, в ее фазовом пространстве могут существовать одновременно до восьми аттракторов, включая двумерные торы и странные аттракторы;

-для данной системы возможны серии бифуркаций удвоения двумерного тора, причем каждая бифуркация соответствует делению на два одной из базовых частот квазипериодических колебаний;

-в автономной динамической системе пятого порядка возможно раздвоение тора, т.е. возникновение в окрестности двумерного тора второго тора практически идентичной структуры, при этом торы оказываются вложенными друг в друга, а тороидальные поверхности разделяет весьма тонкий слой фазового пространства. На обоих торах могут одновременно существовать резонансные циклы с различными числами вращения Пуанкаре, а сценарий перехода к хаосу для каждого тора индивидуален;

-для данной системы характерны следующие сценарии перехода к хаосу.

а)переход к хаосу через серию бифуркаций удвоения периода предельного цикла;

б)переходы к хаосу, связанные с закономерностями разрушения тора: переход через серию бифуркаций умножения периода1 резонансных циклов (серия удвоений является ее частным случаем), жесткий переход в связи с возникновением гомоклинической структуры у седлового предельного цикла

1 При бифуркации умножения периода цикла количество оборотов изображающей точки изменяется в число раз, которое может отличаться от двух. Примером серии умножений периода является последовательность сильных резонансов на двумерном торе с числами вращения Пуанкаре 1/7, 1/22, 1/27, 1/32, 1/52 ...

и мягкий переход к хаосу при слиянии устойчивого и седлового циклов на торе.

5.В автономных потоковых динамических системах с гладкими прямым и обратным отображениями сложный колебательный режим, в котором характер колебаний периодически меняется, именуемый режимом перемежаемости, соответствует движению изображающей точки в окрестности определенных седловых положений равновесия, циклов, или торов;

6.Автогенератор с резонатором на ОАВ в цепи обратной связи пригоден для генерирования следующих типов колебаний: а) одночастотных, с возможностью переключения по акустическим гармоникам, б) многочастотных с сеткой частот, соответствующих собственным частотам резонатора, в) стохастических (со сплошным спектром).

Новые научные результаты работы

1. Получены аналитические выражения для расчета параметров эквивалентной схемы ОАВ- резонатора, исходя из заданных геометрических размеров и физических параметров структуры резонатора.

2. Получены экспериментальные данные по характеристикам кольцевых генераторов с ОАВ- резонатором в цепи обратной связи.

3. Для модели генератора с ОАВ- резонатором и линией задержки получены аналитические соотношения для расчета карты одно-, двух- и трехчастотных колебаний. Построены бифуркационные диаграммы для двух конфигураций генератора, проведено сравнение с результатами компьютерного моделирования. Получено удовлетворительное соответствие результатов.

4. Для математической модели генератора без линии задержки, представляющей собой динамическую систему пятого порядка, впервые проведены детальные исследования структуры фазового пространства, его

эволюции при вариации параметров, в результате которых получены следующие результаты:

-обнаружено наличие до восьми аттракторов, включая торы и странные аттракторы, в пятимерном фазовом пространстве системы, -установлено и исследовано явление раздвоения тора,

-установлено, что для данной системы серия бифуркаций умножения периода является типичным сценарием перехода от квазипериодических колебаний к хаосу, а серия удвоений - ее частным случаем,

-сформулированы условия установления режима перемежаемости для автономных потоковых динамических систем с гладкими прямым и обратным отображениями. Дана физическая интерпретация движения в сложных колебательных процессах.

Практическая ценность работы заключается в следующем: -полученные соотношения позволяют рассчитывать параметры эквивалентной схемы ОАВ- резонатора;

-полученные аналитические соотношения позволяют с приемлемой точностью построить карты колебательных режимов для модели генератора с линией задержки;

-рассматриваемая в работе динамическая система пятого порядка может служить для исследования практически всех известных бифуркаций и сценариев перехода к хаосу, кроме того, она пригодна и для изучения ряда явлений, не наблюдавшихся ранее в других динамических системах;

-генератор с ОАВ- резонатором может использоваться для формирования моночастотных сигналов с возможностью дискретной перестройки по акустическим гармоникам, а также для генерирования сложных видов колебаний.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсужд�