Ударные волны в колебательно возбужденном газе из ангармонических осцилляторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ВОРОШИЛОВА Юлия Николаевна

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНО

ВОЗБУЖДЕННОМ ГАЗЕ ИЗ АНГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Мария Александровна Рыдалевская

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Владимирович Омелгненко кандидат физико-математических наук, доцент Юрий Федорович Гупько

Ведущая организация — Балтийский государственный технический университет ("Военмех").

Защита состоится 2006 г. в $ часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 2X2.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан Ш.п<Щр. 2006 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор^ /7 С.А. Зегжда

Е&7Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию течений химически однородных двухатомных газов с вращательными и колебательными степенями свободы молекул. Физико-химические процессы, связанные с возбуждением и дезактивацией внутренних степеней свободы молекул, могут оказывать существенное влияние на скорость звука и структуру ударных волн. Необходимость подобных исследований обусловлена потребностями высокоскоростной и высокотемпературной газодинамики, ракетной и лазерной техники и появлением ряда новых технологий. Наиболее наглядно проследить влияние вращательных и колебательных степеней свободы на газодинамические параметры и явления переноса можно в двухатомных газах.

Экспериментальные и численные исследования показали, что при сверхзвуковых течениях газа в расширяющихся соплах и при входе космических аппаратов в атмосферу Земли на высотах 60-70 км возникают зоны колебательной неравновесности. Поэтому в последние десятилетия наряду с исследованиями локально равновесных течений колебательно возбужденного газа большое внимание уделяется исследованию колебательно неравновесных течений.

Наибольший интерес для практики представляют так называемые неравновесные квазистационарные режимы течения, когда в каждом физически бесконечно малом объеме газа формируются некоторые неравновесные квазистационарные распределения молекул по колебательным уровням на фоне равновесного максвелл-больцмановского распределения по поступательным и вращательным энергиям. Исследованию именно таких режимов течения и ударных волн, возникающих в этих условиях, и посвящена настоящая работа.

Цель работы и методы исследования. Целью настоящей работы является исследование влияния колебательной кинетики двухатомных молекул на газовую динамику (в частности, на поведение такого важного газодинамического параметра, как скорость звука, на структуру ударных волн, на изменение степени колебательной неравновесности газовых потоков за прямым скачком уплотнения).

Основой для математического моделирования равновесных и неравновесных течений газа с внутренними степенями свободы и получения замкнутых систем газодинамических уравнений, а также для вывода обобщенных условий динамической совместности для ударных волн, возникающих в колебательно возмущенном газе, являются методы кинетической теории газов.

При изучении химически однородных двухатомных газов с враща-

тельными и колебательными степенями свобо^ьрцедаднедюкД^УДООДЁИия

БИБЛИОТЕКА }

С-Петервург-О/яг-» . оэ 3

Ванг-Чанг и Уленбека, вернее их модификация, приведенная в работе Л. Вальдмана (1970).

В газах с внутренними степенями свободы столкновения разных типов, связанные с обменами энергией, происходят с различной частотой. Это дает возможность в целом ряде ситуаций выделить быструю по сравнению с газодинамической стадию процесса, и на основе модификаций метода Энскога-Чепмена с учетом быстрых и медленных процессов, подробно рассмотренных в монографиях С. В. Валландера, Е. А. Нагнибеда и М. А. Рыдалевской (1977), Е. А. Нагнибеда и Е. В. Кустовой (2003), а также в книге М. А Рыдалевской (2003), получить замкнутые системы уравнений для минимального числа макропараметров и учесть различные степени отклонения от равновесия по разным степеням свободы молекул.

Так как в высокотемпературном газе энгармонизм молекулярных колебаний оказывает существенное влияние на поведение газа, упомянутые выше модификации метода Энскога-Чепмена используются в работе для исследования разных стадий релаксации двухатомных газов из ангармонических осцилляторов.

Основное внимание уделяется изучению нулевого приближения, соответствующего течениям идеальной жидкости. Исследование характера таких течений и скорости звука в газе, который в рассматриваемых условиях не является баротропным, основывается на зависимости газодинамических величин от интенсивных параметров, входящих в функцию распределения нулевого приближения. Эти же зависимости используются и при описании поверхностей сильного разрыва в высокотемпературных двухатомных газах. Показано, что эти зависимости позволяют провести послойное исследование структуры прямых скачков уплотнения, возникающих в равновесных и колебательно неравновесных сверхзвуковых газовых потоках.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Сравнительный анализ неравновесных заселенностей колебательных уровней на разных стадиях релаксации в различных газах.

2 Исследование свойств изоэнтропийных течений, соответствующих разным стадиям релаксации двухатомных газов.

3. Расчеты скорости звука в небаротропных газах с разной степенью колебательной неравновесности.

4. Послойное исследование структуры ударных волн в равновесных и неравновесных потоках газа из ангармонических осцилляторов.

5. Определение интенсивности ударной волны, необходимой для перевода потока с заданной степенью колебательной неравновесности в локально равновесный.

Степень обоснованности результатов определяется использованием математического аппарата, разработанного в кинетической теории газов. О достоверности полученных результатов можно судить на основании

качественного и количественного сравнения некоторых из полученных результатов с результатами других авторов.

Апробация работы и публикации. Результаты исследований докладывались на семинарах кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета; на Международной научной конференции по механике "Четвертые Поляховские чтения" (СПбГУ, Санкт-Петербург, 7-10 февраля 2006 г.); в Балтийском государственном техническом университете («Военмех»), Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах [1—3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Каждой главе ставится в соответствие приложение, в котором дается численная иллюстрация полученных в главе результатов. Основной текст диссертации изложен на 121 странице, список литературы включает 57 наименований. Приложения представлены на 62 страницах, содержат 1 таблицу и 127 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор различных подходов к изучению колебательной релаксации двухатомного газа из ангармонических осцилляторов. Приведена общая характеристика данной работы, сформулированы положения, выносимые на защиту.

Глава 1 посвящена кинетическому описанию течений химически однородного двухатомного газа с вращательными и колебательными степенями свободы. Газ изучается при достаточно высоких температурах и учитывается весь спектр колебательной энергии молекул, которая описывается на основании модели ангармонического осциллятора Особое внимание уделяется рассмотрению различных стадий колебательной релаксации и получению неравновесных квазистационарных распределений молекул по уровням колебательной энергии. При этом процесс колебательной релаксации разделяется на несколько квазистационарных режимов. Основой этого разделения являются данные о зависимости вероятностей колебательных обменов

(о)+(и,)<->(о')+(о;) со

от величины отношения

К-+е0. -е0-е0|[/(е0 (2)

и — номер колебательного уровня молекулы с энергией Ец .

На основе ряда экспериментальных и теоретических данных, приведенных в работах Е. Е. Никитина, А. И. Осипова, А В. Уварова, можно сделать вывод, что уменьшение вдвое относительного дефекта резонанса колебательной энергии (2) увеличивает вероятность колебательного пере-

хода (1) более чем на порядок Этот факт является основой модели, предложенной М А. Рыдалевской (см., например, монографию М. А Рыда-левской, 2003) Согласно этой модели, релаксационный процесс можно разделить на пять стадий: 1) поступательно-вращательной ЯТ-релаксации, 2)—4) частичной колебательной УТ(а )-релаксации, когда наряду с ИТ-обменами к быстрой стадии относятся колебательные обмены (1), при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии (2) не превосходит а =1/8; 1/4; 1/2, соответственно; 5) завершающей УТ-релаксации, которая приводит к установлению локального термодинамического равновесия.

На каждом этапе релаксации выделяются столкновения, определяющие быструю стадию процесса. Логарифм функции распределения, аннулирующей ведущий столкновительный оператор, представляется в виде линейной комбинации аддитивных инвариантов этих столкновений.

На стадиях частичной колебательной УТ(а )-релаксации система аддитивных инвариантов столкновений содержит наряду с единицей, импульсом и полной энергией дополнительный инвариант \|7а (о)е,, зависящий от уровня колебательной энергии молекулы и сохраняющийся при столкновениях, соответствующих быстрой стадии этого этапа. Этот инвариант представляет собой кусочно-линейную функцию от номера колебательного уровня и является обобщением известного инварианта Тринора. Предельные решения уравнений в этих условиях имеют вид

.3 Г ( Л "]

Лз „ , „ +У| +У2Ч'а(и)£1 (3)

где у 0, у,, у 2 — интенсивные параметры, которые могут зависеть от координат и времени, и — статистический вес и энергия г-го

вращательного уровня, И — постоянная Планка, т и С — масса и собственная скорость молекулы.

Используя условия нормировки и определение введенной Тринором температуры 1-го колебательного уровня Т\, можем записать равенства ___1_ __1___1_

Уо~~кТ' Уг~кТ~кТх ' (4)

Т — температура газа, к — постоянная Больцмана.

В локально равновесном случае в функциях распределения (3)

У 7 = 0.

В данной главе изучается поведение абсолютных ( пи) и относительных ( Хи ) заселенностей колебательных уровней различных газов на разных стадиях релаксации:

(5)

г "о

Подробно исследована зависимость неравновесных квазистационарных распределений по колебательным уровням, которые формируются на предпоследней стадии релаксации за счет колебательных переходов с относительным дефектом резонанса колебательной энергии, не превосходящим (X = 1 / 2, от отношения температур Тх 1Т . Показано, что соответствующие распределения на нижних колебательных уровнях совпадают с распределением Тринора, на средних уровнях при Г, / Т > 4 обладают ярко выраженным платообразным участком, а на верхних — их поведение аналогично поведению больцмановских заселенностей с температурой газа Т .

На рис 1 приведены относительные заселенности колебательных уровней молекул оксида углерода, вернее величины 1п хи /(£, / кТ\) , на предпоследней стадии колебательной релаксации, когда учитываются колебательные обмены с относительным дефектом резонанса колебательной энергии, не превосходящим а =1/2.

О 10 20 30 40 50

Рис 1. Зависимость относительных колебательных заселенностей молекул Оксида углерода от отношения Тх / Т: кривая 1 соответствует Т] !Т =0,1; 2_7;/Г = 1;3— Г,/Г=4;4— 7]/Т=6;5— 7]/Г=8.

Расчеты показали, что кривые относительных колебательных засе-ленностей молекул разных сортов на всех стадиях релаксации имеют общие черты. На предпоследней стадии колебательной релаксации они различаются лишь длиной плато.

В Приложении 1 показано поведение относительных колебательных заселенностей молекул азота, кислорода и оксида углерода на разных стадиях в различных условиях неравновесности и проведен их сравнительный анализ.

В главе 2 для каждой из выделенных стадий релаксации из кинетических уравнений выводится система газодинамических уравнений для плотностей экстенсивных макропараметров, которые представляют собой суммарные значения аддитивных инвариантов столкновений быстрой стадии в единице объема. В главе приведено краткое описание модификации метода Энскога-Чепмена с учетом быстрых и медленных процессов. В нулевом приближении этого метода получены системы уравнений идеального газа, моделирующие газодинамические течения с разной степенью неравновесности. Проводится исследование полученных систем. В условиях, когда медленные процессы в двухатомном газе заморожены, и неравновесное течение можно считать изоэнтропийным, выписываются интегралы движения.

В условиях возбуждения колебательных степеней свободы, энергия которых считается квантованной, газ не является баротропным. При этом адиабатическая функция отличается от адиабаты Пуассона. В частности, на стадиях частичной колебательной релаксации в работе получено обобщенное выражение адиабаты:

е+р п

У 0 - +У1--У 2 — = Соп$и (6)

р р р

где п и р = тп — числовая и массовая плотность газа, ей р — полная энергия и давление, 1|/а — дополнительный аддитивный инвариант

столкновений, о котором говорилось ранее.

Соотношения вида (6), как было показано М. А. Рыдалевской (2000), позволяет получить аналитическое выражение для скорости звука в неба-ротропном газе. При этом в случае любых изоэнтропийных течений справедлива формула а2 =к ■ р/ р , при этом к — не константа, а величина, зависящая от набора интенсивных параметров, входящих в функции распределения нулевого приближения (3).

В настоящей главе получены зависимости коэффициента К , скорости звука и ее квадрата от параметров у 0 и у, в равновесных условиях и у 0,

у, и у 2 в неравновесных условиях. Далее с учетом соотношений (4) определены зависимости перечисленных выше величин от температуры газа

Т в равновесных условиях и температур Т и Тх в неравновесных условиях. Результаты численных расчетов коэффициента К , скорости звука и ее квадрата для азота, кислорода и оксида углерода представлены в Приложении 2.

Во всех исследуемых газах коэффициент к , который на этапе учета лишь поступательных и вращательных степеней свободы, рассматриваемых классически, равен 1,4, в процессе релаксации колебательных степеней свободы, которые считаются квантованными, становится переменной величиной. За счет колебательных обменов в равновесном газе наблюдается уменьшение величины К при достаточно высоких температурах Нарушение колебательного равновесия уменьшает к уже при сравнительно низких температурах газа, но достаточно больших значениях отношения Т{/Т. Наибольшее уменьшение величины к и соответствующее изменение в поведении скорости звука наблюдается на предпоследней стадии колебательной релаксации.

На рис. 2 приведены температурные зависимости коэффициента К

Рис 2. Зависимости коэффициента К от температуры для молекул оксида углерода: кривая 1 соответствует стадии ИТ-релаксации; кривые 2, 3, 4 — стадии УТ(1/2)-релаксации при разных значениях температур Тх (2 —

Тх =2000К; 3—7; =3000К; 4 — 7| =4000К); кривая 5 — равновесному колебательно возбужденному газу

В работе показано, что на всех стадиях частичной колебательной релаксации отношение температур Т{ !Т оказывает сильное влияние на коэффициент к .

Глава 3 посвящена изучению ударных волн, возникающих в сверхзвуковых потоках двухатомного газа. При этом ударная волна, которая представляет собой узкий (по сравнению с размером обтекаемого тела) переходный слой от одного состояния равновесия к другому, моделируется как поверхность разрыва газодинамических параметров.

Утолщение ударных волн в газе с внутренними степенями свободы молекул, о котором говорилось, например, в книгах Е. В. Ступоченко, С.А.Лосева, А. И. Осипова (1965) и Я.Б.Зельдовича, Ю. П. Райзера (1966), и иерархия времен релаксации позволяет в ряде случаев выделить в ударной волне релаксационные зоны разной толщины, соответствующие установлению нового равновесия по отдельным степеням свободы (или нового квазистационарного распределения внутри одной степени свободы)

В настоящей главе рассматриваются ударные волны, возникающие в равновесных потоках высокотемпературного двухатомного газа. Решается задача исследования квазистационарных состояний колебательно возбужденного газа за ударной волной и на границах релаксационных зон внутри нее Как и ранее, выделяются зоны: ЯТ, УТ(1/8), УТ(1/4), УТ(1/2) и зона полной УИТ-релаксации. На границе каждой зоны выписываются обобщенные условия динамической совместности. Все макроскопические параметры, входящие в эти условия, выражаются через предельные решения кинетических уравнений. До ударной волны справедливо равновесное

распределение и все скалярные параметры выражаются через Уо 1 и У

(или Г'"' и и<_'). На границах соответствующих релаксационных зон

имеем различные наборы интенсивных параметров у .

В ситуации, когда состояние газа до ударной волны известно, условия совместности можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных у и скорости газа и<+'. Число уравнений на границе каждой зоны равно числу неизвестных интенсивных параметров.

Конкретные расчеты проводятся для прямых скачков уплотнения, сформировавшихся в равновесных потоках азота, кислорода и оксида углерода. При этом условия динамической совместности могут бьггь записаны в симметричной форме. На границах зон частичной колебательной релаксации они имеют вид

л(+\)<+> = «<->и(-\

W+,u(+)2 +ni+)kT(+) =ш(-\)н2 +n(-)/tr(-),

о<+>2 7 8« о^2 7 *Г<-> (7)

-т----1--—-"Г — ———— -f- ——— 9

2 2m т 22 т т

где Zulbr и (¡Га — средние значения колебательной энергии и дополнительного аддитивного инварианта, приходящиеся на одну молекулу.

За ударной волной отсутствует последнее соотношение, соответствующее сохранению дополнительного инварианта столкновений V|/ra (и) .

Решение соответствующих систем уравнений позволяет найти газодинамические параметры и заселенности колебательных уровней на границах различных релаксационных зон, а значит, — послойную структуру скачка.

В работе для решения систем уравнений используется метод Ньютона. Параметры набегающего потока варьируются в широких пределах. Результаты расчета газодинамических параметров и относительных засе-ленностей колебательных уровней на границах различных релаксационных зон представлены в Приложении 3.

Расчеты показывают, что, как и следовало ожидать, на границах всех релаксационных зон и за ударной волной температура и плотность газа возрастают, а скорость уменьшается. С ростом интенсивности ударной волны (при увеличении числа Маха в набегающем потоке) числа Маха уменьшаются, несмотря на то, что скорость газа увеличивается с ростом скорости до скачка. Это связано с тем, что с увеличением скорости набегающего потока скорость звука во всех случаях растет более интенсивно, чем скорость газа.

В работе показано, что при условии равновесного набегающего потока за ударной волной формируется новое равновесное термодинамическое распределение по всем степеням свободы молекул, но с другой температурой газа. При этом неравновесные распределения относительных засе-ленностей на границах релаксационных зон заметно отличаются от равновесного распределения до ударной волны лишь на верхних колебательных уровнях.

На рис. 3 изображены относительные заселенности колебательных уровней молекул оксида углерода до ударной волны, на границе зоны частичной колебательной УТ(1/2)-релаксации и за ударной волной при

фиксированных параметрах набегающего потока: = nL (nL — число Лошмидга), U1_) =1000 м/с, Ги =500 К.

О 10 20 30 40 50

Рис 3 Относительные заселенности колебательных уровней молекул оксида углерода. Кривая 1 соответствует больцмановскому распределению до ударной волны; кривая 2 — зоне УТ(1/2)-релаксации; кривая 3 — больцмановскому распределению за ударной волной.

На границах зон ЛТ, УТ(1/8) и УТ(1/4)-релаксации относительные заселенности имеют тот же вид, что и до ударной волны (кривая 1). Во всех рассматриваемых газах наблюдаются общие качественные закономерности в поведении газодинамических параметров и распределений колебательных заселенностей.

В главе 4 рассматриваются ударные волны, сформировавшиеся в неравновесных потоках двухатомных газов. По аналогии с ударными волнами, возникающими в равновесных потоках газа, в этом случае слой резкого изменения газодинамических параметров может рассматриваться как поверхность сильного разрыва между двумя неравновесными квазистационарными состояниями газа.

Как и в предыдущей задаче, выписываются обобщенные условия динамической совместности за ударной волной и на границах релаксационных зон внутри нее (для прямого скачка уплотнения — в симметричной форме). В отличие от ситуации, когда набегающий поток является равновесным, параметры до ударной волны выражаются через неравновесные функции распределения. В условиях завершения в набегающем потоке одной из стадий частичной колебательной релаксации могут быть записаны равенства (7) При этом параметры набегающего потока выражаются через неравновесные функции вида (3). Соотношения (7) и на этот раз рассматриваются как алгебраические уравнения относительно неизвестных у , у,(+), у <+) и скорости и(+) (или Г(+>, л(+), 7;(+) и и(+)).

Особое внимание уделяется ситуации, когда до ударной волны за счет колебательных переходов с относительным дефектом резонанса колебательной энергии, не превосходящим а = 1 / 2, сформировалось неравновесное квазистационарное колебательное распределение на фоне равновесного максвелл-больцмановского распределения по поступательным и вращательным энергиям. При этом прямой скачок уплотнения разделяется на четыре релаксационные зоны: ЯТ, УТ(1/8), УТ(1/4) и УТ(1/2). На границе каждой зоны число неизвестных интенсивных параметров равно числу уравнений. Для решения уравнений опять используется метод Ньютона. Проводится расчет газодинамических параметров и заселенностей колебательных уровней на границах различных релаксационных зон и за ударной волной в азоте, кислороде и оксиде углерода. При этом параметры набегающего потока варьируются в широких пределах. Результаты расчетов приведены в Приложении 4.

В работе подробно исследуется поведение относительных заселенностей колебательных уровней на границе зоны УТ(1/2)-релаксации, которая в рассматриваемых условиях неравновесного набегающего потока отождествляется с толщиной скачка уплотнения. На рис. 4 и 5 изображены эти заселенности для молекул оксида углерода.

О 10 20 30 40 50

Рис. 4. Относительные заселенности колебательных уровней молекул оксида углерода при = пь и и(-)=1000 м/с: I — Г,(-) /Г(_,=1; 2 — Г,(_)/Г(_)=4; 3 — Г,(_)/р-^6-,4-Г,<_> /Г<_)=10.

О 10 20 30 40 50

Рис 5 Относительные заселенности колебательных уровней молекул оксида углерода при «(_) = пь и Г,(_) /Г(_)=10: 1 — О(_)=1000 м/с; 2 — и(_) =2000 м/с; 3 — =3000 м/с.

Расчеты заселенностей колебательных уровней молекул азота, кислорода и оксида углерода за скачками уплотнения в разных неравновесных

потоках показали, что увеличение скорости О* ' при неизменном отношении Т^ / Г(_) сказывается на заселенностях подобно уменьшению Т,(~> /Т^ при фиксированной скорости и(_). По-видимому, это объясняется тем, что на границах всех выделенных зон релаксации скачок температуры 1-го колебательного уровня Г, значительно меньше скачка термодинамической температуры Т.

Так как степень колебательной неравновесности газового потока при прохождении его через ударную волну уменьшается, в данной главе решается задача об определении необходимой интенсивности ударной волны для перевода газового потока с заданной степенью неравновесности в равновесное состояние на масштабах длин, соответствующих толщине прямого скачка уплотнения. Для решения этой задачи используются условия совместности (7) при а =1/2. В этих соотношениях считаются известными п{'\ Т{'] и заударной волной Г,<+) = Г<+) =0). При этом соотношения (7) рассматриваются как алгебраические уравнения относительно неизвестных И<+), Т(+), и<+) и и( ). Задача решается ме-

тодом Ньютона В неравновесных потоках азота, кислорода и оксида уг-

(-) т(-)

лерода варьируются плотность п , температура газа 1 и температура 1-го колебательного уровня 7,|(~'.

На рис. 6 и 7 представлена зависимость искомого числа Маха М( ) от отношения температур Т^ / Г*-' при фиксированной плотности п( ) для молекул оксида углерода.

Рис б Зависимость числа Маха М( ) в набегающем потоке от температуры Т^ и отношения Т^ /Т{'] при л(~> =п1 и Г(_)=500К.

О 1000 2000 3000 4000 5000

Рис 7. Зависимость числа Маха М^ в набегающем потоке от температуры Г(_) и отношения Г/"' /Г(_) при п('] =пси Т^ =5000 К.

Показано, что во всех рассматриваемых случаях для перевода исследуемых газов в равновесное состояние требуется тем большая интенсив-

ность ударной волны, чем больше отношение Т{ / Т в набегающем потоке. Расчеты также показывают, что степень разреженности (величина числовой плотности п* ') практически не влияет на искомые значения скорости ии числа Маха при заданных значениях отношения температур Г/"' / Т{ ) до скачка уплотнения.

Значения скорости и числа Маха в набегающем потоке, при которых неравновесный поток газа в результате перехода через прямой скачок уплотнения становится равновесным на масштабах длин, соответствующих толщине скачка, представлены в Приложении 4.

В заключение можно отметить, что все результаты данной работы получены на основании единого подхода. Исследования, проведенные в соответствии с этим подходом, позволяют оценить влияние колебательной неравновесности на кинетику и газодинамику течений двухатомных газов из ангармонических осцилляторов и выявить ряд особенностей течений высокотемпературных двухатомных газов, которые имеют важное значение для построения адекватных математических моделей таких течений.

ПУБЛИКАЦИИ:

1 Ворошилова Ю Н, Рыдапевская М. А. Прямые скачки уплотнения в колебательно неравновесном газе // Прикл. механика и техн. физика. Новосибирск, РАН, 2004. Т. 45. № 5. С. 26-31.

2. Ворошилова Ю. Н. Структура прямых скачков уплотнения в колебательно неравновесном газе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2005. Вып. 1 (№ 1). С. 70-78.

3. Ворошилова Ю. Н„ Рыдапевская М. А. Прямые скачки уплотнения в колебательно неравновесном газе. Переход к локальному равновесию // Тезисы докладов Международной научной конференции по механике "Четвертые Поляховские чтения". СПб., 2006. С. 132.

Отпечатано конировалыю-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 10.04.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 294/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

200fe fir

i-8871

i ■

Введение

Глава 1. Кинетика и газодинамика двухатомного высокотемпературного газа.

1.1 Описание состава газа и происходящих в нем процессов.

1.2 Кинетическое описание газа.

1.3 Иерархия времен релаксации и безразмерная запись кинетических уравнений.

1.4 Предельные решения кинетических уравнений на разных стадиях релаксации.

1.5 Относительные колебательные заселенности в двухатомном газе из ангармонических осцилляторов.

Глава 2. Свойства уравнений идеальной жидкости на разных стадиях релаксации.

2.1 Уравнения переноса молекулярных признаков.

2.2 Системы уравнений для определяющих макропараметров.

2.3 Модификация метода Энскога-Чепмена с учетом быстрых и медленных процессов.:.

2.4 Приближение идеальной жидкости.

2.5 Интегралы движения на разных стадиях релаксации.

2.6 Аналитические формулы для скорости звука.

2.7 Поведение скорости звука на разных стадиях релаксации.

Глава 3. Прямые скачки уплотнения в равновесном потоке высокотемпературного двухатомного газа.

3.1 Поверхности разрыва и обобщенные условия динамической совместности

3.2 Структура ударной волны в равновесных потоках колебательно возбужденных двухатомных газов.

3.3 Метод Ньютона для послойного исследования прямых скачков уплотнения

3.4 Состояние газа на границе зоны RT-релаксации.

3.5 Состояние газа на границах зон частичной колебательной VT-pe-лаксации.

3.6 Состояние газа за ударными волнами.

Глава 4. Прямые скачки уплотнения в колебательно неравновесном газе.

4.1 Структура скачка уплотнения в колебательно неравновесном набегающем потоке.

4.2 Прямые скачки уплотнения в неравновесных потоках, соответствующих предпоследней стадии колебательной релаксации.

4.3 Состояние газа на границе зоны RT-релаксации в колебательно неравновесном потоке.

4.4 Зоны частичной колебательной релаксации.

4.5 Переход к локальному равновесию.

Настоящая работа посвящена исследованию течений химически однородных двухатомных газов с вращательными и колебательными степенями свободы молекул. Необходимость подобных исследований обусловлена потребностями высокоскоростной и высокотемпературной газодинамики, ракетной и лазерной техники и появлением ряда новых технологий.

Физико-химические процессы, связанные с возбуждением и дезактивацией внутренних степеней свободы молекул, могут оказывать существенное влияние на характер течений газа.

В двухатомных газах можно наиболее наглядно проследить влияние вращательных и колебательных степеней свободы на газодинамические параметры и явления переноса.

Совместное рассмотрение поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы двухатомных молекул показывает, что колебательная релаксация молекул имеет две существенные особенности [16]: во-первых, энергоемкость колебательных степеней свободы значительно выше, чем у поступательных и вращательных; во-вторых, в масштабе среднего времени свободного пробега молекул колебательная релаксация является наиболее медленным процессом. В ряде случаев время колебательной релаксации может быть сравнимо и даже превосходить характерное макроскопическое время. В связи с этим в газовых потоках могут возникать зоны колебательной неравновесности. Например, экспериментальные и численные исследования показали, что при сверхзвуковых течениях газа в расширяющихся соплах распределение молекул по колебательным уровням может сильно отличаться от больцмановского [16, 53]. Колебательная неравновесность газа отмечалась также на высотах 60-70 км. при входе космических аппаратов в атмосферу Земли. Этим объясняется интерес к исследованиям колебательно неравновесных течений в последние десятилетия. Наибольшее внимание уделяется изучению так называемых квазистационарных режимов колебательной релаксации, когда в каждом физически бесконечно малом объеме газа формируются некоторые неравновесные квазистационарные распределения молекул по колебательным уровням на фоне равновесного максвелл-больц-мановского распределения по поступательным и вращательным энергиям.

Целью настоящей работы является исследование влияния колебательной кинетики двухатомных молекул на газовую динамику, в частности, на поведение такого важного газодинамического параметра, как скорость звука, на структуру ударных волн, на изменение степени колебательной неравновесности газовых потоков.

В настоящей работе основой для математического моделирования равновесных и неравновесных течений газа с внутренними степенями свободы и получения замкнутых систем газодинамических уравнений являются методы кинетической теории газов.

Начала кинетической теории газов были заложены в работах Больцмана и Максвелла [3]. На первых шагах в кинетической теории использовались допущения о молекулах как о жестких сферах или точечных силовых центрах [15, 24, 51]. Расширение диапазона рассматриваемых явлений привело к необходимости учитывать возбуждение внутренних степеней свободы молекул. Первое достаточно строгое обобщение кинетической теории на однородный по химическому составу газ с внутренними степенями свободы было проведено в работе [57]. В дальнейшем эти результаты были распространены на смеси газов с внутренними степенями свободы, химическими реакциями и диссоциацией [8, 9, 15, 28, 43].

В настоящей работе при изучении химически однородных двухатомных газов с вращательными и колебательными степенями свободы используются уравнения Ванг-Чанг и Уленбека [57], вернее их модификация, приведенная в работе [9].

Переход от кинетических уравнений к уравнениям газовой динамики может осуществляться различными способами. В настоящей работе используется подход, который опирается на наиболее вероятные молекулярные распределения, устанавливающиеся в различных временных масштабах и позволяющие получить замкнутую газодинамическую систему на уровне минимального числа определяющих макропараметров [8, 19, 31].

В газах с внутренними степенями свободы столкновения разных типов, связанные с обменами энергией, происходят с различной частотой. Это дает возможность в целом ряде ситуаций выделить быструю по сравнению с газодинамической стадию процесса, и на основе модификации метода Энскога-Чепмена с учетом быстрых и медленных процессов [19, 30, 31, 32] (см. также [8, 28, 43]) построить замкнутое макроскопическое описание среды с помощью системы уравнений для минимального числа макропараметров. Данный подход позволяет сразу учесть отклонения от равновесия по разным степеням свободы и сократить системы уравнений, описывающие течения газа.

В настоящей работе изучается газ при достаточно высоких температурах и учитывается весь колебательный спектр молекул. При описании колебательной энергии используется модель ангармонического осциллятора. Процессы колебательного обмена, как известно, происходят с различной частотой [16, 47]. При использовании модели гармонического осциллятора отмечалось, что процессы так называемого VV-обмена, когда колебательная энергия переходит в колебательную, происходят значительно чаще VRT-обме-нов, когда колебательная энергия переходит в другие виды энергии. Для модели ангармонического осциллятора колебательная энергия сталкивающихся частиц не сохраняется. Однако, в ситуации, когда в газе возбуждаются лишь нижние колебательные уровни, Тринором было замечено, что колебательные обмены с сохранением числа квантов происходят значительно чаще других. В результате было получено квазистационарное распределение, отличающееся от распределения Больцмана [56]. Позднее было замечено, что это распределение не действует на всем колебательном спектре молекул. Однако, именно в газе из ангармонических осцилляторов на всем диапазоне колебательных уровней наблюдались сильно неравновесные колебательные распределения [53], которые устанавливались на временах, много меньших времени перехода к состоянию полного термодинамического равновесия. Математическое описание соответствующих распределений было дано в работах Б. Ф. Гордиеца, А. И. Осипова, JI. А. Шелепина [16]. С использованием упрощенного варианта соответствующих распределений (так называемого составного распределения) было получено много важных результатов в работах Е. А. Нагнибеда и ее учеников [28]. При этом процесс колебательной релаксации разделялся на быструю стадию, когда устанавливалось неравновесное составное распределение по колебательным уровням, и медленную стадию выхода на полное термодинамическое равновесие.

Наряду с моделями, в которых используется распределение Б. Ф. Гордиеца [16, 33} и его модификации [28], для описания промежуточных стадий колебательной релаксации М. А. Рыдалевской была предложена модель [55], основанная на данных о зависимости вероятностей колебательных обменов от величины отношения дефекта резонанса колебательной энергии к колебательной энергии сталкивающихся частиц [34, 35]. В настоящей работе исследование течений химически однородных двухатомных газов из ангармонических осцилляторов осуществляется в соответствии с этой моделью. На основе ряда экспериментальных и теоретических данных [34, 35] можно сделать вывод, что уменьшение вдвое относительного дефекта резонанса колебательной энергии увеличивает вероятность колебательного перехода более, чем на порядок. В связи с этим в настоящей работе, как и в работах [44, 55], релаксационный процесс разделяется на стадии: поступательно-вращательной RT-релаксации и колебательно-поступательных УТ(а)-релаксаций, при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии не превосходит а = 1/8; 1/4; 1/2. В каждом случае исследуется завершение релаксационного процесса и переход системы к равновесию.

Настоящая работа состоит из 4-х глав. Каждой главе ставится в соответствие приложение, в котором дается численная иллюстрация полученных в главе результатов.

Диссертация изложена на 121 странице основного текста и 62 страницах приложений, содержит 1 таблицу, 127 рисунков и список литературы, включающий 57 наименований.

Заключение

В работе рассматривались течения химически однородных двухатомных газов с внутренними степенями свободы в условиях, когда нужно учитывать возбуждение всего спектра колебательной энергии молекул. При этом для описания колебательного движения молекул использовалась модель ангармонического осциллятора. В диссертации применялся метод, предложенный в работах [43, 44, 55] для разделения на стадии процесса колебательной релаксации. Этот процесс разделялся на ряд квазистационарных режимов в зависимости от дефекта резонанса колебательной энергии молекулярных столкновений. Такой подход позволил с помощью методов кинетической теории газа построить замкнутое описание газодинамических течений с разной степенью колебательной неравновесности на уровне минимального числа определяющих экстенсивных и интенсивных макропараметров.

Рассчитывались неравновесные квазистационарные распределения по колебательным уровням молекул азота, кислорода и оксида углерода, устанавливающиеся на разных стадиях релаксации. Их поведение сравнивалось с поведением больцмановских заселенностей. Было показано, что для рассматриваемых газов на предпоследней стадии релаксации за счет колебательных переходов с относительным дефектом резонанса колебательной энергии, не превосходящим а = 1/2, формируется неравновесное квазистационарное колебательное распределение с ярко выраженным платообразным участком на средних уровнях и резким уменьшением заселенностей верхних уровней. Было замечено, что кривые относительных колебательных заселенностей молекул азота, кислорода и оксида углерода имеют общие черты и на этой стадии различаются в основном длиной плато.

В работе изучались свойства течений рассматриваемых газов в приближении идеальной жидкости на разных стадиях релаксации. В этих условиях были выписаны интегралы движения и исследовано влияние степени колебательной неравновесности на скорость звука. Проводился численный расчет температурных зависимостей коэффициента к, входящего в формулу (2.6.27), а также скорости звука и ее квадрата для молекул азота, кислорода и оксида углерода. Показано, что отношение температур Т\/Т и исследуемый временной интервал оказывают сильное влияние на коэффициент к.

Как известно, возбуждение колебательных уровней уменьшает величину коэффициента к, которая на этапе учета лишь поступательных и вращательных степеней свободы, рассматриваемых классически, равна 1,4. Равновесные значения коэффициента к уменьшаются с ростом температуры газа от 1,4 до 1,28. Нарушение колебательного равновесия еще уменьшает к уже при сравнительно низких температурах газа, но достаточно больших значениях отношения Ti/T. Колебательная неравновесность также понижает равновесную скорость звука. Наибольшее уменьшение величины к и скорости звука наблюдается на предпоследней стадии колебательной релаксации.

В настоящей работе было проведено послойное исследование структуры ударных волн, возникающих в равновесных и неравновесных набегающих сверхзвуковых потоках двухатомных газов. Согласно использованной модели [43], которая подробно описана в главе 1, ударные волны разделялись на ряд соответствующих релаксационных зон, на границе каждой из которых были выписаны обобщенные условия динамической совместности. Были проведены соответствующие упрощения для прямых скачков уплотнения, и условия совместности записаны в симметричной форме. Проводился численный расчет состояний молекул азота, кислорода и оксида углерода на границах выделенных релаксационных зон внутри ударной волны и за ней. В этих условиях оценивалось влияние параметров набегающего потока и различных колебательных переходов на поведение газодинамических величин (числовой плотности, скорости, температуры газа, колебательной температуры Ti, скорости звука, числа Маха) и заселенностей колебательных уровней молекул за фронтом ударной волны на границах различных релаксационных зон.

Показано, что при условии равновесного набегающего потока за ударной волной формируется новое равновесное термодинамическое распределение по всем степеням свободы молекул, но с другой температурой газа. Как и следовало ожидать, за ударной волной температура и плотность газа возрастала, а скорость уменьшалась. С ростом интенсивности ударной волны (при увеличении числа Маха в набегающем потоке) число Маха на границах всех релаксационных зон уменьшалось, несмотря на то, что скорость газа за скачком уплотнения увеличивалась с ростом скорости до скачка. Это связано с тем, что с увеличением скорости набегающего потока скорость звука за фронтом ударной волны растет более интенсивно, чем скорость газа.

В условиях неравновесного набегающего потока за ударной волной, которая рассматривается как переходный слой между двумя неравновесными квазистационарными состояниями газа, устанавливается новое неравновесное квазистационарное распределение, по типу совпадающее с колебательным распределением до ударной волны. При этом в зависимости от того, какой релаксационный режим установился в набегающем потоке, ударная волна может включать разные зоны релаксации. Результаты расчетов позволили сделать вывод, что при прохождении газа через ударную волну степень его неравновесности, связанная с различием температур Т и Tj, уменьшается. Проведенные расчеты заселенностей колебательных уровней молекул азота, кислорода и оксида углерода за ударной волной в разных неравновесных потоках показали, что увеличение скорости набегающего потока при неизменном отношении температур Ti/T до ударной волны сказывается на колебательных заселенностях подобно уменьшению Ti/T при фиксированной скорости до ударной волны.

В связи с этим в данной работе была поставлена и решена задача об определении необходимой интенсивности ударной волны для перевода потока с заданной степенью колебательной неравновесности в локально равновесное состояние на масштабах длин, соответствующих толщине ударной волны. Конкретные расчеты были проведены для молекул азота, кислорода и оксида углерода при разных параметрах набегающего потока. Показано, что для перевода всех исследуемых газов в равновесное состояние требуется тем большая интенсивность ударной волны, чем больше отношение Ti/T в набегающем потоке.

Полученные результаты позволяют объяснить ряд свойств колебательно неравновесных течений высокотемпературных двухатомных газов и могут служить основой для управления потоком.

1. Верезин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. М., 1960. 620 с.

2. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М., 1963. 620 с.

3. Больцман JI. Лекции по теории газов. М., 1956. 556 с.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. М.: Наука, 1989. 464 с.

5. Бузыкин О. Г., Галкин В. С. О модификации газодинамических уравнений высших приближений метода Чепмена-Энскога // Известия РАН. МЖГ, 2001. ном. 3. С. 185-199.

6. Валландер С. В., Егорова И. А., Рыдалевская М. А. Распространение метода Энскога-Чепмена на смеси газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями // Вестник ЛГУ Сер. 1. 1964. ном. 7. С. 57-70.

7. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд-во ЛГУ. 1977. 280 с.

8. Валландер С. В., Нагпибеда Е. А., Рыдалевская М. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. Л.: Изд-во ЛГУ 1977. 280 с.

9. Валъдмап Л. Явления переноса в газах при среднем давлении // Термодинамика газов. М., 1970. С. 169-407.

10. Ворошилова Ю. #., Рыдалевская М. А. Прямые скачки уплотнения в колебательно неравновесном газе. Переход к локальному равновесию // Тезисы докладов Международной научной конференции по механике "Четвертые Поляховские чтения". СПб., 2006. С. 132.

11. Ворошилова Ю. Н., Рыдалевская М. А. Прямые скачки уплотнения в колебательно неравновесном газе // Прикл. механика и техн. физика. Новосибирск, РАН, 2004. Т. 45. ном. 5. С. 26-31.

12. Ворошилова Ю. Н. Структура прямых скачков уплотнения в колебательно неравновесном газе // Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1 (ном. 1). С. 70-78.

13. Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. М., 1949. 403 с.

14. Гиршфелъдер Дж., Кертписс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., 1961. 930 с.

15. Гордиец Б. Ф., Осипов А. И., Шелепин Л. А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. М., 1980. 512 с.

16. Жаркова О. В., Рыдалевская М. А. Состояние диссоциирующего азота за прямым скачком уплотнения // Аэродинамика. СПб, 2002. С. 70-78

17. Жданов В. М., Алиевский М. Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярном газе. 1989. 336 с.

18. Жигулев В. Н. Об уравнениях физической аэродинамики // Инж. журнал. 1963. Т. 3. ном. 1. С. 137-139.

19. Ковалев И. И., Нагнибеда Е. А. О нарушении канонической инвариантности распределения молекул в релаксационной зоне за ударной волной // Динамические процессы в газах и твердых телах. Л.: Изд-во ЛГУ. 1990. С. 43-49.

20. Ковалев И. И., Нагнибеда Е. А. Численное исследование скорости диссоциации в колебательно неравновесном газе // Мат. 10-й конф. по динамике разреженного газа. М., 1991. Т. 1. С. 132-138.

21. Ковалев И. И., Нагнибеда Е. А. Численные исследования колебательной релаксации смеси ангармонических осцилляторов. Деп. в ВИНИТИ 20.08.86 ном. 5914-В86. М., 1986. 29 с.

22. Ковалев И. И. Эффекты ангармоничности молекулярных колебаний в задаче об ударной волне. Деп. в ВИНИТИ 25.08.86 ном. 6077-В86. М., 1986. 11 с.

23. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., 1967. 440 с.

24. Конин И. А., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М., 1963. 728 с.

25. Ландау Л. Ф., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М., 1976. 584 с.

26. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1957. 784 с.

27. Нагнибеда Е. А., Кустпова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 272 с.

28. Нагнибеда Е. А., Кустпова Е. В. Неравновесная кинетика и процессы переноса за сильными ударными волнами // Аэродинамика. СПб., 2004. С. 47-58.

29. Нагнибеда Е. А. О модификации метода Чепмена-Энскога для многоскоростной многотемпературной смеси газов // ЖВММФ. 1978. Т. 18. ном. 5. С. 1230-1242.

30. Нагнибеда Е. А. О модификации метода Чепмена-Энскога для смеси реагирующих газов с учетом быстрых и медленных процессов // Вестник ЛГУ. сер. 1. 1973. ном. 7. С. 109-114.

31. Нагнибеда Е. А., Рыдалевская М. А. Решение уравнения Вольцмана с малым параметром // Механика неоднородных сред. Новосибирск, 1981. С. 197-211.

32. Неравновесная колебательная кинетика / Под ред. М. Калителли. М.: Мир, 1989. 392 с.

33. Никитин Е. Е., Осипов А. И. Колебательная релаксация в газах // Итоги науки и техники. Кинетика и катализ. М., ВИНИТИ, 1977. Т. 4. 172 с.

34. Осипов А. И., Уваров А. В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике // УФН, 1992. Т. 162. ном. 11. С. 1-42.

35. Рахматулин X. А. Сагомонян А. Я. Бунимович А. И. и др. Газовая динамика. М., 1965. 722 с.

36. Рыдалевская М. А. Аэродинамические свойства течений газа с физико-химическими процессами // Аэродинамика. СПб., 2000. С. 45-65.

37. Рыдалевская М. А. Газодинамические скачки в релаксирующем газе // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск, 1995. Т. 36. ном. 3. С. 92-97.

38. Рыдалевская М. А. Интегралы движения двухатомного газа в разных физических ситуациях // Аэродинамика. СПб., 2001. С. 63-77.

39. Рыдалевская М. А. Модели описания ударных волн в химически реагирующих смесях газов // Моделирование в механике. 1988. Т. 2(19). ном. 5. С. 111-118.

40. Рыдалевская М. А. Наиболее вероятное распределение в неравновесном газе из ангармонических осцилляторов // Хим. физика. 1994. Т. 13. ном. 1. С. 21-28.

41. Рыдалевская М. А. Неравновесные наиболее вероятные распределения в газе с физико-химическими превращениями // Докл. XIII сессии Международ, школы по моделям механики сплошной среды. СПб., 1995. С. 195-213.

42. Рыдалевская М. А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 248 с.

43. Рыдалевская М. А., Рябикова Т. В. Разные стадии колебательной релаксации ангармонических осцилляторов // Аэродинамика. СПб., 1997. С. 101-114.

44. Рыдалевская М. А. Течения диссоциирующих газов в трубах переменного сечения // Гидроаэромеханика (к 275-летию СПбГУ и 70-летию кафедры гидроаэромеханики): Сб. ст., Санкт-Петербург, 1999. С. 177-185.

45. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973. 584 с.

46. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.

47. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М., 1976. 554 с.

48. Хьюбер К. П., Герцберг Г. Константы двухатомных молекул. Ч. 1. М., 1984. 407 с.

49. Хьюбер К. П., Герцберг Г. Константы двухатомных молекул. Ч. 2. М., 1984. 366 с.

50. Чепмеп С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., 1960. 510 с.

51. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука. 1988. 424 с.

52. Caledonia G. Е., Center R. Е. Vibrational distribution functions in anharmonic oscillators // Appl. Optics. 1971. Vol. 10. N 8. P. 1795-1802.

53. Rydalevskaya M. A. Kinetic Foundation of Nonextensive Gas Dynamics // Proceedings of 24th Internat. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Melville, New York, 2005. P. 1073-1078.

54. Rydalevskaya M. A. Relaxing gas of anhaxmonic oscillators. Kinetics and gasdy-namics // In: Harvey, Lord(eds) Rarefied Gas Dynamics 19th Symp. on RGD. 1995. vol. 1. P. 578-583.

55. Treanor С. E., Rich I. W., Rehm R. G. Vibrational relaxation of anharmonic oscillators with exchange dominated collisions // J. Chem. Phys. 1968. vol. 48. P. 1798-1807.

56. Wang-Chang C. S., Uhlenbeck G. E. Transport phenomena in polyatomic molecules // Michigan Univ. 1951. 46 p.