Почти периодические решения основных задач плоской теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванова Вера Ивановна

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сильвестров Василий Вас^ильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пеньков Виктор Борисович кандидат физико-математических наук, доцент Горячев Лев Владимирович

Ведущая организация: Белорусская государственная

политехническая академия

Защита состоится « ¡в » декабря 2003 г. в ^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан & ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

-A

TgltzT

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи теории упругости для многослойных сред, составленных из различных по упругим свойствам полос, рассматривались многими авторами. Результаты этих исследований широко представлены в работах В.М. Александрова, В.В. Бабешко, И.И. Ворович, Л.А. Галина, С.М. Мхитаряна, B.C. Никишина, П.Ф. Папковича, Г.Я. Попова, B.C. Саркисяна, Я.С. Уфлянда, Г.С. Шапиро и др. Основными методами решения большинства указанных задач являются методы интегрального и дискретного преобразование Фурье, с помощью которых решаемые задачи, как правило, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, задаче линейного сопряжения, интегральным уравнениям и т.д. Возможность применения этих методов накладывает определенные условия на поведение как исходных, так и искомых параметров (напряжений, перемещений) задачи на бесконечности. Они должны иметь конечные пределы при стремлении к бесконечности. Решения задач в большинстве случаев выражаются через несобственные интегралы от осциллирующих функций (интегралы Фурье), вычисление которых таит в себе немалые трудности. Если исходные и искомые механические параметры задачи лишь ограничены и не имеют определенных конечных пределов, то использование указанных методов для решения задачи невозможно. В связи с этим представляет научный интерес и является актуальной разработка методов решения задач теории упругости для многослойных сред в новых классах исходных и искомых механических параметров.

Цель работы. Разработка аналитических методов решения почти периодических задач плоской теории упругости для многослойных полос и решение конкретных задач.

Под почти периодическими задачами понимаются задачи, в которых как исходные, так и искомые механические параметры задачи являются почти периодическими функциями.

Метод исследования указанных задач основан на применении обобщенного дискретного преобразования Фурье, разработанного М.Ф. Кулагиной.

Научная новизна результатов работы:

сведение почти периодической задачи о равновесии кусочно-однородной изотропной упругой многослойной полосы к системе линейных алгебраических уравнений конечного порядка;

сведение задачи об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости к дифференциальному уравнению Эйлера;

аналитическое решение указанных задач в виде обобщенных рядов Фурье, сходящихся абсолютно и равномерно внутри заданных полос;

решены конкретные примеры, построены графики искомых механических параметров.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректностью постановок задач и математической строгостью методов их решения.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости обобщенного дискретного преобразования Фурье к решению задач теории упругости для многослойных полос, сведении подобных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Практическую ценность представляют результаты решений ряда конкретных задач и графики искомых механических параметров.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на пятой и шестой Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2001, 2003), на тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), на научном семинаре им. Л.А. Толоконникова по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (2003, руководитель - профессор A.A. Маркин), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2000-2003, руководитель - профессор В.В. Сильвестров).

Основная часть результатов, отраженных в диссертационной работе, выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-01-00720).

4

•м > .: ' и

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы из 74 наименований. Содержит 40 рисунков. Ее текст изложен на 126 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, приводится обзор литературы по теме диссертационной работы и ее краткое содержание.

В первой главе решаются основные почти периодические задачи о равновесии бесконечных горизонтальных однородно-изотропных упругих полос.

В § 1 приводятся краткие сведения из теории почти периодических функций, а также обобщенного дискретного преобразования Фурье, разработанного и введенного М.Ф. Кулагиной.

Рассматривается подмножество 11ц/ функций А(х), почти периодических по Бору с абсолютно сходящимися рядами Фурье, т.е. функций вида

А(х) = g о„е'Ч (1)

П=1

00

где an € С, {an};f=i е h, т.е. ]П < оо. Каждой функции Л (ж) 6 Пи/ поставив

лена в соответствие последовательность пар а(А) = {(aj, Ai), (аг, Аг), - ■ -} и, наоборот, каждой последовательности пар a(A) е l\ ({an}£Li € h) по формуле (1) поставлена в соответствие функция А(х) из Пц/. Равенство (1) называется обобщенным дискретным преобразованием Фурье (ОДФ). Известно, что

a(A) = M{A(x)e~iXx} = Иш — / A(x)e~iXxdx.

Эта формула производит обратное ОДФ. ОДФ обозначается символами А{х) - Woa(A), a(A) = W0~M(х). Если коэффициенты последовательности зависят oi параметра у, т.е. {an(y)}%i¡, у € [а,6], причем существует последовательность положительных чисел {a„}£Lj €Е 1\ такая, что \an(y)\ < an, n = 1,2,..., то говорят, что функции А(х,у) £ Пц/

5

(у е [a,b]). Если функция А(х,у) £ П^ в любой замкнутой полосе, лежащей внутри открытой полосы а < Im г < Ь, то будем использовать запись А(х,у)е Щу (уе(а,Ь)).

В § 2 решается следующая задача. Горизонтальная однородно-изотропная упругая полоса 0 < у < 1, -оо < х < оо с модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона v находится в равновесии, на ее границе известны напряжения:

ay{x,y)\y=v = /i(z)> rxy{x,y)\y^ = gi(x), °у(х>У)\у=о = /г(®). тф,у)\у=0 = ф), где fj(x), д3{х) € Пц/, j - 1,2, т.е. представимы в виде рядов

. . ОО j * ОО

/,(*) = Ú3) + Е /»^е'Ч ф) = 9Í3) + Е S„ü)e,A-',

n=l !l=l (oj

{/№=о> {<№=о е /ь Ап Ф 0, n = 1,2,...,

причем последовательность чисел {А,,}^ не сгущается к нулю. Найти плоское напряженно-деформированное состояние полосы в классе П^ (у 6 (0;1)).

Решение построено на основе формул Папковича-Нейбера, представляющих общее решение уравнений плоской задачи теории упругости через две гармонические функции. Для получения структуры гармонических функций к уравнению Лапласа применено ОДФ. Показано, что искомые перемещения выражаются через обобщенные ряды Фурье по следующим формулам:

00

2Gu{x, у) = - Е г'Ап + Ьпе~х"у) е'*"1-

п= 1

00

-yT.^nicne^+dne-^e'^,

(4)

2Gv(x,y) = соу(к - 1) - Е (опе^У - Ьпе~^) е'А»*+

п—1

00

+ £ Ык - Xny)ex"v + dn(K + An2/)e-A"f) etA"*,

П=1

где к = 3 — Av. Остальные искомые механические параметры (ах, <ху, тху)

выражаются в виде обобщенных рядов Фурье через те же неизвестные

коэффициенты ¿о и а„, Ь„, с„, dn (п = 1,2,...).

6

Таким образом, задача сведена к нахождению неизвестных коэффициентов рядов в формулах (4). Путем постановки формул (3) и (4) в граничные условия (2) и приравнивания множителей при соответствующих степенях экспоненты получены уравнения относительно неизвестных коэффициентов.

Показано, что

о / - ч

Со = 2(П^Г (о)

Коэффициенты аи, Ьп, с„, Лп (п = 1,2...) находятся из системы линейных алгебраических уравнений четвертого порядка, матричная запись которой имеет вид:

А(Хп)-Хп = В(Хп),

(0)

где

Л(А„) =

—А„еЛ" А„е-А

-А„еА» А„е А"

-А» -А„

-А„ А„

(ап\

ь„

Сп

\ ¿п )

(2-2 и- Л„)еА" (1 - 2и - Ап)ел" 2(1 - и) 1-2 V

— (2 — 2^ + Л„)е~л" \ (1-21, + А„)е"А" —2(1 — г/) 1-21/

В( А„)

/Р/Ап

Показано, что данная система разрешима единственным образом при Ап ф 0 (п = 1,2,...). Приведено доказательство того, что функции и(х, у), у), (гх{х,у), аУ{х,у), тху(х,у), полученные по формулам (4), где а„, Ьп, с„, ¿п определяются из (6) и ¿о по (5), принадлежат классу (у 6 (0; 1)).

Данная задача относилась к случаю плоской деформации. Все использованные формулы справедливы для случая плоского напряженного со-

V

стояния при замене и на-.

Решен конкретный пример о равновесии однородно-изотропнои упругой полосы с упругими постоянными и = 0.37, С? = 7 • 107 Па и при

следующих граничных функциях:

fi{x) = sinx - cos у/5х, д\(х) = —5 cos а; + cosx/3 + - sin VEx,

1и

/г(а;) = -2cosx/3 -I- sin \/5ж, <7г(я) — sin ж + sin ж/3.

Построены графики касательного и нормального напряжений при различных значениях у (рис. 1-2).

Рис. 1.-<7у(х; 0);.....сту(г;0.2);----сга(а:; 0.4); + + + + /2(г);

_1); о о о о <7¡,(z;0.8);-----ít¡,(i;0.6)¡ . . . . fi(x)

Рис. 2.-<Ту(ж;0);.....ег„(х;0.2);----ст„(а:;0.4); + + + + ¡2(х)\

_____ оу(т\ 1); о о о о ау(х;0.8); - • - - - 0-5,(1;0.6); . . . ./1(1)

В §§ 3-5 исследуются почти периодические задачи о равновесии однородно-изотропной упругой полосы, на границе которой заданы условия

второго рода:

"(аг, у)|»=1 = fi(x), v(z,2/)ls,=i = д\{х),

и{х,у)\у=о = /2(2:), v{x,y)\y=0 = ^(z),

третьего рода:

v(?,y)\y=i = fi(x), тху(х,у)\у=1 = gi(x), v{x,v)\u=o = hi*), Ъу{х,у)\у=о = g-2{x), или смешанного вида:

<r!/(x,y)|v=0 = /i(a;), TJV(x,y)\y=0 = 9i{x), u{x,y) |„=i = /2(1), v(x,y)\y=i =

причем все заданные механические параметры принадлежат Пц/, т.е. имеют вид (3).

Аналитические решения задач получены на основе общего решения уравнений плоской задачи теории упругости в форме Б.Г. Галеркина и в форме Папковича-Нейбера. При помощи ОДФ задачи сводятся к нахождению неизвестных коэффициентов обобщенных рядов Фурье из систем линейных алгебраических уравнений четвертого порядка. Доказывается совместность систем и существование единственного решения задачи, принадлежащего классу Пц, (у € (0;1). Представлены числовые расчеты, построены графики искомых напряжений и перемещений.

В § 6 решена задача об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости (у > 0). На границе плиты у = 0 известны значения прогиба и углы поворота:

У)1у=0 = ^1у=О = 9(х),

где /(ж), д(х) € IW- Найти прогиб ги(х,у) такой, чтобы w(x,y) и все его частные производные до четвертого порядка включительно принадлежали классу Пцг (у > 0).

После применения ОДФ к неоднородному бигармоническому уравнению относительно прогиба плиты задача сводится к неоднородному дифференциальному уравнению Эйлера четвертого порядка.

Во второй главе исследуются первая, вторая и смешанная почти периодические задачи о равновесии двухслойных кусочно-однородных изотропных упругих полос с различными упругими постоянными, а также первая почти периодическая задача о равновесии кусочно-однородной изотропной упругой области, состоящей из полосы и полуплоскости.

В § 1 решается следующая задача. Горизонтальная полоса —Я < у < 1 (Я > 0), — оо < х < оо, состоящая из двух однородно-изотропных (с модулями сдвига б® и коэфффициентами Пуассона ^ и ) упругих слоев, разделенных прямой у = 0, находится в равновесии. На прямой у = 0 заданы условия жесткого сцепления слоев:

«(1)(*>») 1у=о = п^{х,у) ]у=о , ^Н*.») 1»=о = \у=о .

Vм{х, у) |у=0 = Ъ{2){х,у) |у=0 , т^{х,у) |>=0 = т<${х,у) |у=о ,

где верхний индекс 1 соответствует слою 0 < у < 1, —оо < х < оо, индекс 2 - слою -Я < у < 0, -оо < х < оо. На границе полосы известны значения касательных и нормальных напряжений из класса Пи/:

^1ЧХ>У) 1у=1 = Л (я). тху(х>У) 1»=1 = Л («). 42)(х,у) |в=-я = /г(®), гР)(аг,у) |у=_я = 5а(я?)-

Найти плоское напряженно-деформированное состояние полосы в классе (у £ (0; 1)) и (у 6 (—Я; 0)) в соответствующих слоях.

Для каждого слоя справедливы формулы вида (4), неизвестные коэффициенты в которых находятся из систем линейных алгебраических уравнений 8-го порядка. Доказано, что напряжения и перемещения, полученные по формулам (4), принадлежат классу (у € (0; 1)) в первом слое и Щу {у € (-Я; 0)) во втором слое.

В § 2 рассмотрена вторая основная задача о равновесии двухслойной горизонтальной полосы —Я < у < 1 (Я > 0), -оо < х < оо, состоящей из двух однородно-изотропных (с модулями сдвига С?'2' и коэфффициентами Пуассона ¡/^ и I/'2') упругих слоев, разделенных прямой у = 0, на которой у = 0 заданы условия гладкого контакта:

г>(1)(я, У) |у=о = г>(2)(я, У) 1»=о , ^(ж, у) |„=0 = 0, . ,

^(г- У) 1у=о = <т<2>(*, У) |у=о , тР>(®, у) |у=0 =0. К>

Исследовано плоское напряженно-деформированное состояние полосы в классе П^.

В § 3 изучена смешанная краевая задача о равновесии такой же двухслойной полосы, на общей границе слоев которой известны условия контакта с однонаправленным трением:

vM(x,0) = vW(x,0). аМ(х,0) = ст™(х,0), ri;>(*,0) = r<2>(a-,0), Tiy (я-'О) — Ка§\х,0), [>

где К = const - коэффициент трения. Получено решение в классе почти периодических функций, искомые механические параметры представлены в виде обобщенных рядов Фурье (4), коэффициенты которых находятся из системы линейных уравнений 8-го порядка.

В § 4 решается первая краевая задача о равновесии области, состоящей из однородно-изотропной упругой полосы (у 6 [0; 1], —оо < х < оо) с коэффициентом Пуассона и модулем упругости G< 1) и однородно-изотропной упругой полуплоскости (у € (-оо; 0], -оо < х < оо) с коэффициентом Пуассона ¿/(2) и модулем упругости G(2), на общей границе которых заданы условия контакта с однонаправленным трением (8). Получены формулы, выражающие искомые напряжения и перемещения в полуплоскости, при допущении, что при у -оо искомые механические параметры равномерно стремятся к нулю. Для перемещений эти формулы имеют следующий вид:

2GWUM{x,y) = - £ i\na^eMyelKx - у £

П=1 П=1

00 00

2GV\x,y) = - £ lAnloWeWv*»" + £ («(2) - |A„|y)cf e^^e1^..

n=l n=l

Формулы для напряжений также содержат неизвестные коэффициенты а<*),с<2> (» = 1,2,...).

Получены числовые расчеты для полосы с упругими постоянными i/W = 0.3, G(1) = 7 • Ю10 Па) и полуплоскости при 1/<»> = 0.4, G(1) = 9 • Ю10 Па), на общей границе которых заданы условия контакта с трением (8), где (j, = 1.5. Граничные значения напряжений заданы в следующем виде:

1) = COS 2 — 2 sin ч/2х + C0S7TX,

11

1) = -38шх + 2соз\/2а; + 28т7га:.

Результаты числовых расчетов представлены в виде аналитических выражений искомых механических параметров и их графиков, некоторые

Рис. 4._.....гЙ'^О.Э);.....т^О.в)

В третьей главе исследуются задачи о равновесии многослойных кусочно-однородных изотропных упругих полос, состоящих из слоев с различными упругими постоянными.

В § 1 рассматривается первая краевая задача о равновесии бесконечной многослойной упругой полосы -оо < х < оо, у € [Ядг, Но), состоящей из N однородно-изотропных слоев, занумерованных по порядку 3 = 1,2,...,ЛГ сверху вниз. Слои ограничены параллельными прямыми у - Я; [з = 0777), Н) > ортогональными оси Оу. Общая толщина

12

всех N слоев равна Я = Я0 - #дг. Толщины AHj = Н3_i - Hj, модули сдвига G^ и коэффициенты Пуассона изадаются произвольно для каждого слоя. Соседние слои жестко скреплены:

^(я.у)!»-*, =^{x,y)\v=H!, и^(х,у)\у=Н]=и^(х,у)\У=Н),

j = l,N-l.

На границе полосы заданы значения нормального и касательного напряжений в классе Пц/. Требуется найти плоское напряженно-деформированное состояние полосы в классе почти периодических механических параметров, принадлежащих классам П^ (у 6 (Я7;Я;_i)) в соответствующих слоях.

Как и в предыдущих главах, задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов обобщенных рядов Фурье по формулам (4) в каждом слое. Получены системы линейных алгебраических уравнений порядка 4N. Доказано, что механические параметры, найденные по (4) для каждого слоя, принадлежат классу П^ в любой замкнутой полосе, лежащей внутри соответствующего слоя.

Получены числовые расчеты для следующей трехслойной полосы: 0 < у < 1, -оо < х < оо - первый слой, его упругие постоянные v — 0.3, G = 4.6 • 108 Па; -0.1 < у < 0, —оо < х < оо - второй слой, его упругие постоянные v = 0.35, G — 8 • 108 Па; -1 < у < -0.1, -оо < х < оо -третий слой, его упругие постоянные и — 0.39, G = 9 • 107 Па. Граничные значения напряжений следующие:

сг^{х, 1) = cos 1) = -i cos 1.5х,

af\x, -1) = - cos 1.5я + 2cos-x, Txl4xi = 0.5 cos-^г.

Искомые механические параметры представлены в виде абсолютно и равномерно сходящихся внутри заданных слоев почти периодических функций. Графики напряжений и перемещений при различных значениях у представлены на рис. 5-7.

Рис. 6__ríj'fol);.....Tiy (s;0.92); .....т^(ж;0.96)

Рис. 7__u")(i;0);.....u<2>(x; -0.1); .....u<'>(i;0.04)

В § 2 и § 3 рассмотрены вторая и смешанная краевые задачи о равновесии многослойной полосы в классе слои которых взаимодействуют при отсутствия трения (гладкий контакт) или при наличии однонаправленного трения соответственно. Для исследования плоского напряженно-деформированного состояния полосы использованы формулы (4) для механических параметров каждого слоя. Приведено аналитическое решение конкретных задач для трехслойной полосы.

В заключении кратко сформулированы основные результаты исследования, которые выносятся на защиту.

1. Методом обобщенного дискретного преобразования Фурье получены аналитические решения основных задач о равновесии однородно-изотропных упругих полос в классе почти периодических механических параметров.

2. Получено аналитическое решение задачи об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости в классе почти периодических механических параметров.

3. Построено аналитическое решение почти периодической задачи о равновесии кусочно-однородной изотропной области, состоящей из упругой полосы и полуплоскости, на общей границе которых заданы условия контакта с однонаправленным трением.

4. Приведена общая схема решения задач плоской теории упругости в классе почти периодических мехинических параметров для областей, состоящих из конечного числа параллельных полос, на общих границах которых заданы различные условия контакта.

5. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров.

Числовые расчеты при выполнении диссертационной работы проводились с использованием математических пакетов программ MathCad 2001i Pro и Maple v8.0.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Иванова В.И., Кулагина М.Ф. Задача об изгибе упругой полуплос-

"T&iéHT

кости // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. десятой межвуз. конф. 29-31 мая 2000 г. Часть 1. Самара: Самарский гос. технич. ун-т, 2000. С. 55-58.

2. Иванова В.И. Почти периодическое решение" первой краевой задачи теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Том 8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы пятой Казан, междунар. летн. школы-конф. Казань: "ДАС", 2001. С. 109-110.

3. Ivanova V.I. Almost periodic solutions of the first main problem of theory of elasticity for plane domains consisting of parallel strips // 8th International Conférence "Stability, control and rigid bodies dynamics". Book of Abstracts. Donetsk, 2002. P. 113-114.

4. Иванова В.И. Вторая основная задача теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости // Математическое моделирование и краевые задачй. Тр. тринадцатой межвуз. конф. 29-31 мая 2003 г. Часть 1. Самара: Самарский гос. технич. ун-т, 2003. С. 49-52.

5. Иванова В.И. Почти периодические решения основных задач теории упругости для многослойных полос // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Том 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы шестой Казан, междунар. летн. школы-конф. Казань: Изд-во Казан, матем. общ-ва, 2003. С. 108.

6. Иванова В.И. Почти периодическое решение смешанной краевой задачи теории упругости для полосы // Математические модели и их приложения. Сб. науч. тр. Вып. 5. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2003. С. 61-69.

7. Кулагина М.Ф., Иванова В.И. Первая основная задача теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости // Вестник СамГТУ. Серия "Физ.-матем. науки". Самара: Самарский гос. технич. унт 9003 С 45-51. ИМ лиц. J1P № 020300 от 12 02.97. Подписано в печать

' ~ Формат бумаги 60x84 /16. Бумага офсетная.

Усл-печ.л. 0.9Л Уч.-изд.лA9V Тираж 12Р экз. Заказ 767

Тульский государственный университет.

300600, г.Тула, просп Ленина, 92.

Отпечатано в редакционно-издагельском центре Тульского государственного университета 300600, г.Тула, ул Волдина, 151

16

Введение

Глава 1. Почти периодические решения основных задач теории упругости для полосы

§ 1. Некоторые сведения из теории почти периодических функций и обобщенного дискретного преобразования Фурье

§ 2. Почти периодическое решение первой основной задачи для полосы.

§ 3. Почти периодическое решение второй основной задачи для полосы.

§ 4. Почти периодическое решение третьей основной задачи для полосы.

§ 5. Почти периодическое решение смешанной основной задачи для полосы

§ 6. Почти периодическое решение задачи об изгибе упругой тонкой плиты в форме полуплоскости.

Глава 2. Почти периодические решения основных задач теории упругости для двухслойной полосы

§ 1. Почти периодическое решение первой основной задачи для двухслойной полосы со скрепленными слоями.

§ 2. Почти периодическое решение второй основной задачи для двухслойной полосы при гладком контакте слоев

§ 3. Почти периодическое решение смешанной основной задачи для двухслойной полосы при контакте слоев с трением

§ 4. Почти периодическое решение первой основной задачи для полосы и полуплоскости, взаимодействующих при наличии трения.

Глава 3. Почти периодические решения основных задач теории упругости для многослойной полосы

§ 1. Почти периодическое решение первой основной задачи для многослойной полосы со скрепленными слоями.

§ 2. Почти периодическое решение второй основной задачи для многослойной полосы при гладком контакте слоев

§ 3. Почти периодическое решение смешанной основной задачи для многослойной полосы при контакте слоев с трением

Задачи теории упругости для многослойных сред, составленных из различных по упругим свойствам полос, рассматривались многими авторами. Подробный обзор таких работ можно найти, например, в монографии Я.С. Уфлянда [63], в работах В.М. Александрова, Е.В. Коваленко, С.М. Мхитаряна [5], [7] и др. Основными методами решения большинства указанных задач являются методы интегрального и дискретного преобразование Фурье, с помощью которых решаемые задачи, как правило, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, задаче линейного сопряжения, интегральным уравнениям и т.д. Воз можность применения этих методов накладывает определенные условия на поведение как исходных, так и искомых параметров (напряжений, перемещений) задачи на бесконечности. Они должны иметь конечные пределы при стремлении к бесконечности. Решения задач в большинстве случаев выражаются через несобственные интегралы от осциллирующих функций (интегралы Фурье), вычисление которых таит в себе немалые трудности. Если исходные и искомые механические параметры задачи лишь ограничены и не имеют определенных конечных пределов, то использование указанных методов для решения задачи невозможно. В связи с этим представляет научный интерес и является актуальной разработка методов решения задач теории упругости для многослойных сред в новых классах исходных и искомых механических параметров.

Первым решением из области теории упругости, связанным с аппаратом интегралов Фурье, согласно [63], следует считать исследование JI. Файлона [68] напряженного состояния в бесконечной полосе, по кромкам которой заданы внешние усилия. В дальнейшем этим же вопросом занимались многие авторы, которые либо видоизменяли и усовершенствовали решение Файлона, либо применяли его к конкретным задачам. Большинство работ по применению интегральных преобразований в задачах теории упругости основаны на возможности представления бигар-монической функции (или двух гармонических функций), через которую выражается решение плоской задачи теории упругости, в виде интеграла по параметру Л от частных решений бигармонического уравнения

А) + г/В(А)]еЛ* + [С(А) + г/0(А)]е-Л")е£}, А > О, в пределах рассматриваемой полосы —оо < х < +оо, \у\ < а. Если заданные внешние нагрузки разложить в соответствующие интегралы Фурье, то можно найти коэффициенты А, В, С, D. Изложение этой методики дано П.Ф. Папковичем в его курсе теории упругости [46].

И. Снеддон [61] рассмотрел упругое равновесие бесконечной полосы и, в частности, полуплоскости (у > 0), причем в последнем случае следует, очевидно, положить А = В = 0.

Интегральное преобразование Фурье дает возможность получить точное решение плоской задачи теории упругости для бесконечной полосы при заданных на ее границе перемещениях (вторая основная задача), а также смешанной задачи, когда на одной кромке заданы усилия, а на другой - перемещения. Точное решение смешанной статической задачи теории упругости для бесконечной полосы приведено в работе Н.И. Сомова [62].

В работе Д.Г. Хлебникова [64] с помощью интегрального преобразования Фурье решен ряд плоских задач о деформации полуплоскости и полосы с подкреплениями в виде стержней или тонких плит.

Наряду с плоскими задачами теории упругости интегральное преобразование Фурье широко применяется также к вопросам поперечного изгиба упругих тонких плит, имеющих форму бесконечной плоскости, полуплоскости и бесконечной полосы при различных краевых условиях. Отдельные частные случаи таких задач рассматривались во многих работах. Например, B.C. Никишиным и Г.С. Шапиро в [44] с помощью интегрального преобразования Фурье построены общие решения задач теории упругости о сжатии (растяжении) и изгибе многослойных полос путем сведения к системам функциональных уравнений. Решение задачи о плоской деформации многослойной среды при произвольном нагружении ее границы сводится к рассмотрению двух случаев, когда функция интенсивности нормальной нагрузки четная, а касательной нагрузки нечетная и, наоборот, когда нормальное напряжение на границе полосы представляет собой нечетную функцию, а касательное - четную. Заданные граничные функции являются финитными, т.е. отличными от нуля на отрезке произвольной длины и равными нулю вне этого отрезка. Теми же авторами в работе [43] с помощью интегрального преобразования Ханке-ля решены пространственные задачи о локальном сжатии многослойных плит со скрепленными и свободными краями, а также задачи об изгибе многослойных плит.

Систематическое изложение методов расчета ленточных плит дано в монографии П.Ф. Папковича [47]; им же рассмотрены некоторые случаи изгиба плиты в виде полуполосы.

Многочисленные приложения преобразование Фурье находит при расчетах тонких плит, лежащих на упругом основании, например, в работах Г.С. Шапиро [65], [66], Б.Г. Коренева [26], [27], Г.Я. Попова [50], С.С. Го-лушкевича [16] и др.

В связи с развитием методов Н.И. Мусхелишвили [39], [40] решения задач плоской теории упругости ряд авторов обратились к исследованию напряженного состояния в балках бесконечной длины при задании нагрузки на продольных сторонах. Так, в работе С.Е. Бирмана [12] решение JI. Файлона [68] преобразовано к виду, весьма удобному для практических целей, а также даны многочисленные приложения этой методики. Применение аналогичных методов к задачам о равновесии балок служило и позднее предметом многих работ.

Методы теории функции комплексной переменной дали возможность получить - в виде интегралов Фурье - решения ряда более сложных смешанных задач теории упругости для бесконечной полосы. В работе И.Г. Альперина [9] рассмотрена полоса, сжатая по половине длины, причем задача сведена к парным интегральным уравнениям специального вида, разрешимым по методу факторизации. М.Я. Беленьким [10] исследовалась плоская контактная задача для жесткого штампа, вдавливаемого в упругую полосу.

Среди большого количества работ, связанных с применением интегрального преобразования Фурье к плоским задачам теории упругости в прямоугольных координатах, отметим монографию Я.С. Уфлянда [63], в которой исследован широкий круг задач теории упругости, решаемых с помощью интегральных преобразований.

Интегральные преобразования находят применение и в контактных задачах теории упругости. Плоские контактные задачи теории упругости для полуплоскости при наличии сцепления или трения по области контакта достаточно хорошо изучены, обзор работ по теории контактных задач можно найти в работе ([53]). Соответствующие контактные задачи для упругих тел, отличных по форме или своим механическим свойствам от изотропной упругой полуплоскости, первыми начали разрабатываться в работах Г.Я. Попова [51], [52]. В.М. Александровым в работе [1] дан общий анализ структуры решения неклассических задач при наличии сцепления или трения, указаны возможные способы их эффективного решения.

Широкий круг плоских контактных задач для линейно деформированных полуограниченных тел в работах В.М. Александрова [5], [8], а также в его совместной с И.И. Ворович и В.В. Бабешко [15] работе сводится к решению интегральных уравнений первого рода с разностным ядром посредством интегрального преобразования Фурье или иного интегрального преобразования. В статье В.М. Александрова [2] рассматриваются типичные интегральные уравнения, возникающие при решении линейных плоских контактных задач для полуограниченных тел. На основе специального представления ядра этого уравнения развит приближенный метод решения, эффективный в широком диапазоне изменения входящего в ядро безразмерного геометрического параметра.

В работе В.М. Александрова и С.М. Мхитаряна [7] получены решения контактных задач для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В частности, с помощью интегрального преобразования Фурье получено решение задачи о равновесии бесконечной упругой полосы, находящейся под действием произвольных нормальных и касательных усилий. Найденное решение асимптотически упрощено с учетом того, что упругая полоса является относительно тонкой (длина участка ее активного на-гружения велика по сравнению с толщиной).

В работе B.C. Саркисяна [57] исследованы контактные задачи для полос и полуплоскостей с упругими накладками. Рассмотрена контактная задача для упругой полосы, усиленной бесконечным стрингером. При помощи интегрального преобразования Фурье построены функции влияния для защемленной одной гранью упругой бесконечной полосы от приложенного на ее другой грани единичной сосредоточенной нормальной или касательной силы. На основе предположения, что для стрингера, нагруженного одновременно горизонтальными и вертикальными силами, справедлива модель изгиба балки в сочетании с моделью одноосного напряженного состояния стержня, задача математически сформулирована в виде системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений, и при помощи интегрального преобразования Фурье последняя система решена в замкнутой форме. Выражения контактных напряжений представлены интегралами Фурье.

В.М. Александровым, JI.A. Галиным, Н.П. Пирцевым и Е.В. Коваленко [3], [4] рассмотрены контактные задачи при учете износа путем сведения к своеобразным интегральным уравнениям, содержащим фредгольмовский оператор по пространственной координате и вольтеровский оператор по времени.

В данной диссертации рассматриваются почти периодические задачи плоской теории упругости. Частными случаями почти периодических задач являются периодические задачи, которым посвящено огромное число работ, подробный обзор которых имеется в монографиях JI.T. Бережниц-кого, В.В. Панасюка, Н.Г. Стащука [11], Э.И. Григолюка, JI.A. Фильштин-ского [18], В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышина [45], М.П. Са-врука [54], в статьях А.П. Дацышина, М.П. Саврука [19], A.M. Линькова [38], Н.Н. Поляхова [49], М.П. Саврука, В.М. Зеленяка [55], М.П. Саврука, Н.В. Тимошука [56] и др. Для решения этих задач применяются методы сопряжения, интегральных уравнений, "обобщенных" степенных рядов и другие. В работе Ю.А. Антипова [67], а также в работах [71], [72], [73], [74] и других разными методами решаются периодические задачи теории упругости для однородных и анизотропных сред. Периодическая контактная задача для упругого слоя при учете износа для случая, когда износостойкость поверхности одного из взаимодействующих тел меняется по пространственной переменной периодическим образом (двумерный случай), решена В.М. Александровым и Ф.В. Кудровой [6] путем сведения к системе последовательно решаемых интегральных уравнений.

В работах МЛ. Бурышкина, Н.М. Сироткиной [13], [14], Г.А. Ка-мышевой, Б.М. Нуллера, ЕЛ. Нахмейна, М.Б. Рывкина [25], [41], [42], В.В. Сильвестрова [58]—[60] строятся непериодические решения плоских задач теории упругости для тел периодической структуры, названные квазипериодическими. Для этой цели используется метод дискретного преобразования Фурье, теория представлений групп симметрии, метод краевой задачи Римана. Так, в работе М.Б. Рывкина и Б.М. Нуллера [70] представлена общая схема решения квазипериодической задачи теории трещин, основанная на применении дискретного преобразования Фурье. Получено численное решение задачи об антиплоской деформации полосы, ослабленной периодической системой произвольно нагруженных краевых трещин.

Метод, примененный в данной диссертации, предполагает непрерывность всех граничных функций. Ввиду изменения класса граничных условий приходится менять также и класс решений. Использованнный метод решения плоских основных задач теории упругости для одно- и многослойных полос основан на обобщенном дискретном преобразовании Фурье, разработанном М.Ф. Кулагиной [29]—[32]. Ею же было предложено использование указанного преобразования к решению некоторых интегро-дифференциальных уравнений [34], задач о распространении поверхностных волн [35] и к решению задач плоской теории упругости для многослойных полос [33].

В диссертации используются классические постановки задач теории упругости для одно- и многослойных полос, такие же, как и в работах В.М. Александрова и С.М. Мхитаряна [7], B.C. Никишина и Г.С. Шапиро [44], Я.С. Уфлянда [63] и др. В этих работах большинство задач решаются с помощью интегрального преобразования Фурье, которое предполагает существование интегралов Фурье от всех заданных и искомых функций. Для этого необходимо исчезновение этих функций на бесконечности или существование определенного конечного предела на концах полосы. Решения задач выражаются через обратные интегральные преобразования Фурье, которые представляют собой несобственные интегралы от колеблющихся функций, вычисление этих интегралов представляет большие трудности. Так, П.Ф. Папковичем в [46] для расчета напряжений в полосе были составлены таблицы значений некоторых трансцендентных функций. Все имеющиеся в указанных работах примеры предполагают, как правило, равенство нулю заданных функций вне некоторого конечного интервала или на луче (—оо,0), результаты записаны в виде интегралов. Графики напряжений и перемещений по таким формулам трудны для построения и, как правило, отсутствуют.

В диссертации заданные функции представлены в виде сходящихся рядов Фурье с произвольными показателями: оо апе*АпХ, {ап}~ ! 6 1г. п= 1

Такие функции не могут быть представлены в виде интегралов Фурье, и поставленные задачи не могут быть решены с помощью интегрального преобразования Фурье. Решения построены в классе почти периодических функций и представлены в виде обобщенных рядов Фурье, которые сходятся абсолютно и равномерно внутри заданных полос. Преимущество использованного метода состоит в том, что задачи теории упругости для многослойных полос сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений конечного порядка относительно неизвестных коэффициентов обобщенных рядов Фурье искомых механических параметров. Решенные задачи проиллюстрированы конкретными примерами, в которых заданные функции определены на границе полосы и не обращаются в нуль на бесконечности, построены графики искомых напряжений и перемещений. Во всех рассматриваемых в данной работе задачах заданные почти периодические механические параметры непрерывны. Использованный метод, к сожалению, не дает возможность рассматривать задачи с разрывными граничными условиями, а также задачи с дискретными сингулярностями (трещинами, включениями и т.д.).

В первой главе приводятся почти периодические решения основных задач о равновесии бесконечных горизонтальных однородно-изотропных упругих полос. На основе общего решения уравнений плоской задачи теории упругости в форме Галеркина [44] и в форме Папковича-Нейбера [63] при помощи обобщенного дискретного преобразования Фурье задачи сводятся к системам алгебраических уравнений четвертого порядка. Доказывается совместность систем и существование единственного решения. Представлены числовые расчеты, построены графики искомых напряжений и перемещений. Также решена задача об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости. После применения обобщенного дискретного преобразования Фурье к бигармоническому уравнению относительно прогиба задача сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения Эйлера.

Во второй главе исследуются почти периодические задачи о равновесии двухслойных однородно-изотропных упругих полос с различными упругими постоянными со следующими условиями на общей границе слоев: в § 1 - жесткое сцепление, в § 2 - гладкий контакт, в § 3 - контакт с однонаправленным трением. Получены аналитические решения в классе почти периодических функций, искомые механические параметры представлены в виде обобщенных рядов Фурье, коэффициенты которых находятся из систем линейных алгебраических уравнений 8-го порядка.

В § 4 получено аналитическое решение почти периодической задачи о равновесии кусочно-однородной изотропной упругой области, представляющей собой полосу и полуплоскость, на общей границе которых заданы условия контакта с однонаправленным трением. Получены формулы, выражающие искомые механические параметры в полосе и полуплоскости. Результаты числовых расчетов представлены в виде аналитических выражений искомых механических параметров и их графиков.

В третьей главе исследуются следующие задачи. Рассматривается равновесие бесконечной многослойной упругой полосы —оо < х < оо, у 6 [Нн,Но], состоящей из N однородно-изотропных слоев, занумерованных по порядку ] = 1,2,., N сверху вниз. Слои ограничены параллельными прямыми у = Н) у = О, ./V), Hj > ортогональными оси Оу. Общая толщина всех N слоев равна Н = Щ—#лг- Толщины = Н^^—Н^ модули сдвига и коэффициенты Пуассона и^ задаются произвольно для каждого слоя. На прямых у = Ну совмещения слоев рассматриваются различные условия контакта слоев (контакт с трением, гладкий контакт или жесткое сцепление). На границе полосы заданы значения напряжений и/или перемещений в классе Т1\у- Требуется найти плоское напряженно-деформированное состояние полосы в классе почти периодических параметров внутри заданных слоев.

Задачи сводятся к нахождению неизвестных коэффициентов обобщенных рядов Фурье, через которые представлены искомые напряжения и перемещения. Приведено доказательство существования решения в классе почти периодических функций. Получены решения конкретных примеров, искомые механические параметры в которых представлены в аналитическом и графическом виде.

Числовые расчеты при выполнении диссертационной работы проводились с использованием математических пакетов программ MathCad 2001i Pro и Maple v8.0.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: [20]—[24], [36],

69].

Основные результаты исследований и работа в целом докладывались:

- на пятой и шестой Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2001, 2003);

- на тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003);

- на научном семинаре им. JI.A. Толоконникова по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2003, руководитель - профессор A.A. Маркин);

- на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2000-2003, руководитель - профессор В.В. Сильвестров).

Основная часть результатов, отраженных в диссертационной работе, выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-01-00720).

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, выносимые на защиту:

1. Методом обобщенного дискретного преобразования Фурье получены аналитические решения основных задач о равновесии однородно-изотропных упругих полос в классе почти периодических механических параметров.

2. Получено аналитическое решение задачи об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости в классе почти периодических механических параметров.

3. Построено аналитическое решение почти периодической задачи о равновесии кусочно-однородной изотропной области, состоящей из упругой полосы и полуплоскости, на общей границе которых заданы условия контакта с однонаправленным трением.

4. Приведена общая схема решения задач плоской теории упругости в классе почти периодических механических параметров для областей, состоящих из конечного числа параллельных однородно-изотропных упругих полос, на общих границах которых заданы различные условия контакта.

5. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров.

Заключение

1. Александров В.М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или трения // ПММ. 1970. Том 34. Вып. С. 246-257.

2. Александров В.М. Об одном методе решения интегральных уравнений плоских контактных задач для полуограниченных тел // ПММ. 2002. Том 66. Вып. 5. С. 874-879.

3. Александров В.М., Галин Л.А., Пириев Н.П. Плоская контактная задача при наличии износа для упругого слоя большой толщины // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 4. С. 60-67.

4. Александров В.М., Коваленко Е.В. Математические методы в контактных задачах с износом // Нелинейные модели и задачи механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1984. С. 77-89.

5. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 334 с.

6. Александров В.М., Кудрова Ф.В. Точное решение периодической контактной задачи для упругого слоя при учете износа // ПММ. 2002. Том 66. Вып. 4. С. 647-653.

7. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литры, 1983. 483 с.

8. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 174 с.

9. Альперин И.Г. Напряжения в бесконечной полосе, равномерно сжатой по половине длины // Зап. Научно-исслед. инст. матем. и механики ХГУ и Харьк. матем. общ. 1950. № 20. С. 107.

10. Беленький М.Я. Смешанная задача теории упругости для бесконечной полосы // ПММ. 1952. Том 16. Вып. 3. С. 283-290.

11. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук. думка, 1983. 288 с.

12. Бирман С.Е. Задача об упругом равновесии бесконечной полосы и ее приложения. Автореф. дисс. . докт. техн. наук. Л., 1950.

13. Бурышкин М.Л. Обобщенная периодическая задача теории упругости // ПММ. 1978. Том 42. Вып. 3. С. 521-531.

14. Бурышкин М.Л., Сироткина Н.М. О численном решении плоской задачи теории упругости для изотропной среды, ослабленной периодической системой эллиптических полостей, при нерегулярной нагрузке // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. № 2. С. 131-137.

15. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

16. Голушкевич С.С. О некоторых задачах теории изгиба ледяного покрова. Л., 1947.

17. Гохберг И.П., Крупник Н.Л. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Штиинца, 1973. 423 с.

18. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1976. 556 с.

19. Дацышин А.П., Саврук М.П. Периодическая задача теории трещин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974. № 5. С. 136-143.

20. Иванова В.И. Почти периодическое решение смешанной краевой задачи теории упругости для полосы // Математические модели и их приложения. Сб. науч. тр. Вып. 5. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2003. С. 61-69.

21. Иванова В.И., Кулагина М.Ф. Задача об изгибе упругой полуплоскости // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. десятой межвуз. конф. 29-31 мая 2000 г. Часть 1. Самара: Самарский гос. технич. ун-т, 2000. С. 55-58.

22. Камышева Г.А., Нуллер Б.М. Квазипериодическая задача для упругого трещиноватого скального основания // Известия ВНИИ гидротех. 1985. Том 182. С. 3-7.

23. Коренев Б.Г. Об изгибе плиты, лежащей на упругом основании, нагрузкой, распределенной по прямой и прямоугольнику // ДАН СССР. 1951. 79. № 3. С. 411-422.

24. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1954.

25. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М: Физматлит, 1994. 320 с.

26. Кулагина М.Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами // Изв. ВУЗов. Математика. 1992. № 3. С. 18-23.

27. Кулагина М.Ф. Об интегральных уравнениях в средних значениях в пространствах почти-периодических функций // Изв. ВУЗов. Математика. 1993. № 8. С. 19-29.

28. Кулагина М.Ф. Обобщенное дискретное преобразование Фурье и его приложения // Сборник научных статей Российской ассоциации "Женщины-математики". Вып. 1. Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. С. 79-83.

29. Кулагина М.Ф. Построение почти-периодических решений основных задач теории упругости для полосы и полуплоскости // Вестник Чувашского университета. Чебоксары. Изд-во при Чуваш, гос. ун-те, 1996. № 2. С. 126-137.

30. Кулагина М.Ф. Построение почти-периодических решений второй основной задачи теории упругости для двухслойной полосы // Известия Национальной академии наук и искусств Чувашской Республики. 1996. № 6. С. 48-55.

31. Кулагина М.Ф. Построение почти-периодических решений линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 4. С. 33-38.

32. Кулагина М.Ф. Построение почти-периодических решений некоторых краевых задач о распространении поверхностных волн// Изв. вузов. Математика. 2001. № 9. С. 38-42.

33. Кулагина М.Ф., Иванова В.И. Первая основная задача теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости // Вестник СамГТУ. Серия "Физ.-матем. науки". Самара: Самарский гос. технич. ун-т. 2003. С. 45-51.

34. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953. 396 с.

35. Линьков A.M. Задачи теории упругости для плоскости с периодическими системами разрезов // Исслед. по упруг, и пластич. Сб. 11. Л.: Ленинград, ун-т, 1976. С. 11-18.

36. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1949. 635 с.

37. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

38. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М., Рыбкин М.Б. Деформация составной упругой полуплоскости, ослабленной периодической системой произвольно нагруженных щелей // ПММ. 1981. Том 45. Вып. 6. С. 10881094.

39. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. О квазипериодических краевых задачах и их приложениях в теории упругости // ПММ. 1982. Том 46. Вып. 5. С. 821-830.

40. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. М.: Вычисл. центр АН СССР, 1970.

41. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред. М.: Наука, 1973. 131 с.

42. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинках и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 444 с.

43. Папкович П.Ф. Теория упругости. М: Оборонгиз, 1939.

44. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. Ч. II. JL: Судпромгиз, 1941.

45. Петришин В.И., Приварников А.К. Основные граничные задачи теории упругости для многослойных оснований // Прикл. механика. 1968. 1. № 4. С. 58-72.

46. Поляхов H.H. Решение одной плоской периодической задачи теории упругости методом особенностей // Вестник. Ленинград, ун-та. Сер. матем., мех., астрон. 1983. № 19. Вып. 4. С. 103-105.

47. Попов Г.Я. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на линейно деформируемом основании.// ПММ. 1961. 25. № 2. С. 342-349.

48. Попов Г.Я. К решению плоской контактной задачи теории упругости при наличии сил сцепления или трения // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-матем. н. 1963. Том 16. № 2. С. 57-62.

49. Попов Г.Я. Плоская контактная задача теории упругости при наличии с учетом сил сцепления или трения // ПММ. 1966. Том 30. Вып. 3. С. 122-131.

50. Развитие теории контактных задач в СССР. / Под ред. Галина Л.А. М.: Наука, 1976.

51. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. 324 с.

52. Саврук М.П., Зеленяк В.М. Периодическая задача продольного сдвига бесконечного кусочно-однородно го тела с трещинами / / Физ.-хим. механика материалов. Том 22. № 4. 1986. С. 115-118.

53. Саврук М.П., Тимошук Н.В. Периодическая задача плоской теории упругости для кусочно-однородной плоскости с трещинами // Прикладная механика. 1986. Том 22. № 6. С. 125-128.

54. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1983. 260 с.

55. Сильвестров В.В. Основные задачи теории упругости для плоскости и многолистных поверхностей с разрезами. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Чебоксары: ЧГУ. 1991. 222 с.

56. Сильвестров В.В. Квазипериодическая контактная задача для упругой полуплоскости // Прикладная механика. 1992. Том 28. № 6. С. 2228.

57. Сильвестров В.В. Эффективное решение основных квазипериодических задач теории упругости для плоскости с разрезами по прямой // ПММ. 1992. Том 56. Вып. 3. С. 519-531.

58. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955.

59. Сомов Н.И. Решение смешанной статической задачи теории упругости для бесконечной полосы // Изв. АН СССР. ОТН, сер. мех. и маш. 1958. Kq 2. С. 136-140.

60. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. JI.: Наука, 1968. 406 с.

61. Хлебников Д.Г. Некоторые задачи об упругом равновесии подкрепленных пластинок в виде полосы и полуплоскости с круговым отверстием. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Львов, 1966.

62. Шапиро Г.С. О расчете плиты, имеющей вид бесконечной ленты, лежащей на упругом основании // ДАН СССР. 1942. 37. Кй 7-8. С. 230235.

63. Шапиро Г.С. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на упругом основании // Прикл. матем. и механика. 1943. Том 7. Вып. 4. С. 316-323.

64. Antipov Y.A. Galin's problem for a periodic system of stamps with friction and adhesion // Int. J. of Solids and Structures. 2000. 37. № 15. P. 2093-2125.

65. M. Ryvkin, B. Nuller. Solution of quasi-periodic fracture problems by the representative cell method // Computational Mechanics. 1997. № 20. P. 145-149.

66. Hu Yiantai, Zhao Xinghua. Collinear periodic cracks in an anisotropic medium // Int. Journal of Fracture. 1996. Vol. 76. № 3. P. 207-219.

67. Hu Yiantai, Huang Yu Ying, Zhong W.F. Collinear periodic cracks in an anisotropic bimaterials // Int. Journal of Fracture. 1997. Vol. 85. № 1. P. 69-80.

68. Hu Yiantai, Huang Yu Ying. Periodic inclusions in anisotropic elasticity // Int. Journal of Engineering Science. 1996. V. 34. P. 1623-1630.

69. Schulze Gary W., Erdogan F. Periodic cracking of elastic coatings // Int. Journal Solids and Struct. 1998. V. 35. № 28-29. P. 3615-3634.