Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Махов Алексей Викторович

УДК 539 3

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Специальность 01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д ф -м н , с н с А А Светашков

Томск - 2007

□ ОЗОТ' 1080

003071080

Работа выполнена в Томском политехническом университете на кафедре теоретической и прикладной механики машиностроительного факультета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Светашков Александр Андреевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Хорев Иван Ефимович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Барашков Владимир Николаевич

Ведущая организация

Институт архитектуры и строительства ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» (г Красноярск)

Защита состоится «29» мая 2007 г в 1400 на заседании диссертационного совета Д 212 267 13 при Томском государственном университете по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан «27» апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук_Христенко Ю Ф

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Задачи теории упругости - традиционный раздел механики деформируемого твердого тела, имеющий достаточное количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций Задачи проведения анализа прочности материалов и конструкций в подавляющем большинстве опираются на классические математические модели, в основе которых лежат системы дифференциальных уравнений теории упругости, полученные еще в первой половине XIX века Это системы уравнений упругого равновесия в перемещениях (Лямэ) и в напряжениях (Бельтрами-Мичелла) Исходная форма записи данных уравнений преобразованиям практически не подвергалась, по крайней мере, преобразованиям, которые не повышали бы порядок дифференциальных уравнений

В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники наблюдается интерес исследователей к развитию и применению численных методов Проблемы повышения эффективности и быстродействия ЭВМ (как и проблема экономичности расчетов), возникающие при численной реализации решений задач теории упругости, не являются завершенными В то же время хорошо известно, что развитие теоретических методик благотворно сказывается на модификации концепций и технологий вычислительных подходов

В данной диссертации рассматривается возможность использования нового метода решения задач по расчету конструкций на прочность Он основан на преобразовании системы уравнений упругого равновесия к диагональному виду

Актуальность темы Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе В случае аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечно-элементного методов и перехода к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности, приведение к диагональному виду Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализированная система в новых переменных имеет вид п независимых друг от друга уравнений

Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где п — размерность решаемой задачи

Использованный в диссертации подход, основанный на методе диагонализации системы уравнений равновесия, является одним из возможных вариантов решения проблемы повышения эффективности как аналитических методов реализации, так и повышения эффективности и экономичности численных решений на ЭВМ, возникающих при проведении прочностных расчетов в рамках плоской теории упругости

Преимущества метода диагонализации следующие

1) решение системы двух дифференциальных уравнений с частными производными заменяется решением двух независимых друг от друга уравнений Лапласа Математический аппарат решения уравнений Лапласа как аналитическими, так и численными методами является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике,

2) при численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических уравнений уменьшается в несколько раз, что сокращает количество операций по определению численного решения

Актуальность исследований состоит в практическом применении метода диагонализации в решениях ряда задач плоской теории упругости

Цель диссертационной работы - показать применимость метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами, на основе полученных решений оценить точность метода и его практическую применимость

Основные задачи работы заключаются в следующем

1) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах с помощью аналитических методов,

2) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах с помощью аналитических методов,

3) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости с помощью конечно-разное гного подхода

Научная новизна работы заключается в следующем

1) предложены новые алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме,

2) метод диагонализации был использован для решения плоских задач в полярных координатах,

3) предложены новые алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме,

4) экспериментально подтверждена применимость метода диагонализации для численного решения задач

Достоверность результатов исследования подтверждается строгой математической постановкой и использованием математического аппарата теории упругости и математической физики, практически полным совпадением результатов аналитического решения плоских задач с известными в литературе решениями, малой погрешностью результатов численного решения задач при сравнении с известными из литературы аналитическими решениями

Прастическая ценность заключается в том, что результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы

- при решении широкого класса задач плоской теории упругости как аналитическими, так и численными методами,

- в педагогическом процессе — для подготовки курса лекций по теории упругости, основанной на диагональной форме уравнений равновесия, дополненного примерами решения задач,

- в вычислительных технологиях - для проектирования пакетов прикладных программ, использующих модифицированную постановку плоской задачи теории упругости

Основные положения, выносимые на защиту

1) алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме,

2) постановка метода диагонализации для решения плоских задач в полярных координатах,

3) алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г ;

- на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г ,

- на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004, 2007 г г

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять печатных статей

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений Общий объем диссертации составляет 162 страницы, в том числе 152 страницы основного текста, 49 рисунков и 2 таблицы, список литературы содержит 102 наименования работ отечественных и зарубежных авторов, приложения изложены на 10 страницах

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений

Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулирована цель работы и соответствующие ей основные задачи исследования, раскрыты ее научная новизна и практическая значимость, приведены сведения о достоверности результатов работы, ее апробации и публикациях автора, изложены основные положения, выносимые на защиту, описаны структура и объем работы, представлено краткое содержание диссертации

В первой главе рассмотрены наиболее известные подходы к решению плоских задач теории упругости аналитическими и численными методами Приведены методы как аналитического, так и численного решения рассматриваемого круга задач

Далее приведены теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия, применимость которого является объектом исследования данной работы

Система уравнений равновесия плоской теории упругости в перемещениях (система Лямэ) имеет следующий вид

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

где — компоненты вектора перемещений, р - плотность, Х,У -объемные силы, Л-1-2У, где у - коэффициент Пуассона, О - модуль сдвига

Доказано что систему (1) с помощью

преобразований (определения собственных значений и векторов) можно представить в виде

(г*

Ай =

собственных собственных

dA

dA d\ + ЛД

Y"1 [>, 0 1 (рх)

V А / 0 Ау2 \ 1J [ру]

(2)

где dg, (cc,ß = l,2) - сокращенный символ операции дифференцирования

d, = -

<1Ы-

4

d\d2 =-

ах' 2~Э/ 1 ~~ дх2 ' 2 Эу2' 12 дхду' При этом связь новых переменных уа (а = 1,2), входящих в диагональное представление (2), и переменных и,у имеет вид

¿1Уг ~ dlУx = 2Ла>

где в - объемная деформация, со - компонента элементарного вращения

Реализация граничной задачи для системы уравнений равновесия в форме (2) осуществляется с помощью задания двух вариантов граничных условий

(А) классических граничных условий в напряжениях (в форме

Коши),

(Б) граничных условий для двух функций в,к, гармонических в

области

Во второй главе представлены алгоритмы решения плоских задач теории упругости аналитическими методами в декартовых и полярных системах координат Целью представленных аналитических расчетов является апробация метода решения плоских задач, основанного на диагонализации системы уравнений равновесия, теоретические основы которого изложены в предыдущей главе Круг решаемых задач определялся наличием уже имеющихся решений, которые были получены на основе классического подхода

1 Светашков А А О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду //

Известия высших учебных заведений Физика -2005 -№11 -С 116-120

(4)

В первом параграфе представлен алгоритм реализации граничной задачи в диагонализированной постановке с классическими граничными условиями (вариант (А)), согласно которому, напряжения в области могут быть определены путем решения краевой задачи

Дв(х,3/)=0, Дк"(х,у) = 0 (3)

с граничными условиями

аут + тху1 = УП,

и связью напряжений ох,ау,тху с гармоническими функциями в,к,х

ах=в-Х-{ах(хв)-аг{уВ)Ук, (5)

ау=в + ^{с1х{хд)-с1г(ув))-к, (6)

(7)

(ху)

х= | (8)

о

Э2 Э2

где Д = —-+■—- - оператор Лапласа или гармонический оператор, 1,т -дх2 ду2

косинусы углов, которые образует внешняя нормаль к граничному контуру тела, А'„, Уп - проекции поверхностных нагрузок на оси координат

Представлено решение задачи с наиболее простыми граничными условиями - задачи о растяжении полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону Согласно рассматриваемому методу, для решения данной задачи необходимо сначала задаться (в данном случае — с точностью до констант, значение которых определяется потом) видом гармонических функций в и к, на основании которых далее по (8) находится вид функции X После этого находятся напряжения а1,а ,т через функции их связи с в, к и х (5) - (7) Далее из граничных условий (4) определяются значения констант, входящих в аналитические выражения гармонических функций в, к и х • которые изначально были не определены Так как после определения значений констант вид функций в, к и х тоже полностью определен, находится окончательный вид напряжений (71С,ау,т Полученное решение полностью совпадаете классическим

Далее аналогичным образом решается задача о простом растяжении полосы, две задачи с различными видами нормальных и сдвиговых напряжений, задача об изгибе моментами, приложенными к боковым граням Далее приводится решение задачи о нагружении пластины сложной нагрузкой В таких задачах наибольшую сложность вызывает подбор вида гармонических функций в и к. Их вид определяется из условия гармоничности с учетом особенностей задания граничных условий в напряжениях для каждой конкретной задачи Как и в предыдущих случаях, определение изначально не определенных значений констант приводит к видам функций напряжений, полностью совпадающих с известным классическим решением, которое можно найти с помощью функции напряжений Эри

Для решения следующей задачи - о расчете плотины треугольного профиля, используется алгоритм, аналогичный предыдущим задачам Далее рассмотрим задачу Файлона (рис 1)

"У

—рта:

о

I

У

Л--

Рис. 1 Задача Файлона

Решение данной задачи сложнее предыдущих, так как используются бесконечные суммы как следствие разложений граничной нагрузки и искомых гармонических функций в ряды Фурье

Ход решения следующий нагрузка, приложенная на границах пластины, раскладывается в ряд Фурье Вид функций в и к задается тоже в виде двух гармонических функций, заданных бесконечной суммой с неизвестными константами С,„, ,С4п Значения этих констант необходимо найти из граничных условий Через в, к выражается функция X > а затем и напряжения &Х,(Т ,тху В итоге, подставляя значения найденных констант в

выражения для напряжений, получаем решение данной задачи Сравнение данного решения с классическим показывает полное их совпадение

Во втором параграфе описывается алгоритм решения, основанный на связи решений плоских задач, полученных с помощью функции напряжений Эри (р с постановкой задачи в диагонализированном виде

Доказано 2, что существует по крайней мере один вид функции напряжений, который соответствует диагональному представлению уравнений равновесия Данная функция была получена Лявом

Р = -2/ + 1(*£ + Я7), (9)

где f - произвольная гармоническая функция,

2Л

^ d-j] - в, -d1^ = díTj = aa>, а = -

1+Л

Легко показать, что напряжения в виде (5) — (7) можно рассчитать, пользуясь функцией Эри (9)

ах = d¡<p, сту = d\(p, т^ = -dtd2(p (10)

В силу единственности краевой задачи можно утверждать о соответствии решения в диагонализированной постановке, даваемого (3), (5) - (7), и решения, которое можно получить с помощью функции Эри (9) Отсюда вытекает алгоритм построения решений в рамках метода диагонализации Данный алгоритм в случае известной функции напряжений можно формализовать следующим образом

1) определение в по формуле

20 = hep,

2) определение асо (со - компонента элементарного вращения,

а = ) как гармонически-сопряженной функции 0 1+ Л

асо= | {-d16dx + dfidy\ о

3) определение функций £,,ц по формулам

¿; - jodx-afwdy, rj = jffdy+afcodx,

4) определение гармонической функции / из (9)

2 Светашков А А О решении плоских задач теории упругости с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Вычислительные технологии -2007 -Т. 12 -№3 С 110-115

5) определение к,х по (10)

С использованием указанного алгоритма в данном параграфе решается три задачи

- задача об изгибе консоли силой, приложенной на конце (рис 2),

- задача об изгибе двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой,

- задача об изгибе консоли равномерно распределенной нагрузкой

ЬУ

Pi

Рис. 2 Изгиб консоли силой, приложенной на конце Решение всех трех задач производится по указанному выше алгоритму Полученные решения полностью совпадают с классическими решениями

В третьем параграфе рассматривается постановка метода диагонализации для решения задач в полярных координатах Сначала приводится процесс преобразования исходных формул из предыдущего параграфа для использования их в случае полярных координат Изменения затрагивают все формулы, начиная с самой первой Оператор Лапласа, используемый в ней, в полярных координатах г,Р имеет вид

дгг + г дг + г2 д/31 С учетом этого, в находится из функции напряжений <р по формуле

26 = h(p = +

1 д(р 1 Э>

дг7 г дг г2 д/31 Для нахождения компоненты элементарного вращения асо для случая полярных координат необходимо воспользоваться формулами замены переменных в дифференциальных и интегральных выражениях В итоге получаем

асо

r 1 дО , дв п

причем здесь, как и в случае декартовых координат, интеграл от полного дифференциала

Функции ¡f, r¡ для использования в случае полярных координат будут иметь вид

4 = J ((eos {Р)9- sin (0)aco)dr - г (sin (Р)в + eos (P)aco)dp},

о

* у

ij= J ((sin(j3)e + cos(/3)aco)dr + r(cos(fi)e-sm(0)aco)d/3)

о

Интеграл правых частей не зависит от пути интегрирования

Формула для нахождения функции / преобразуется к виду

2f=l(cos(fi)S+sm(/3)fi)-V

Для нахождения к можно вывести две различных формулы - через вторую производную по х (см ниже) и через вторую производную по у

v yjdr2 г дгд/3 s\n2(P)d2f sm2(/3)df sm(20)df , r2 ЭP2 г Эr r1 ЪР ' Для нахождения аналога функции % для случая полярных координат используется следующая формула

sin (/?)eos {р) э/ eos (2Р) э/ . г Ъг г2 ЪР ' Компоненты тензора напряжений в случае полярных координат находятся по формулам

к дО

стг =0 + Arcos(2/?) + 2'sin(2/J)-———,

2 ог

г д9

сг„ =f-/rcos(2yff)-^sin(2/?) + -—,

¿ or

Тгя,=-КМ(2Р) + Хсо*{2Р)-Щ

Представленный набор формул далее используется для решения трех задач в полярных координатах- задачи Митчелла,

- задачи об изгибе кривого бруса (рис 3),

- задачи Кирша

Рис. 3 Изгиб кривого бруса узкого прямоугольного сечения силой, приложенной к незакрепленному концу

Решение этих трех задач производится с использованием указанных выше формул, и полученные решения полностью совпадают с классическими

В четвертом параграфе рассматривается случай, когда граничные нагрузки можно представить как заданные функции координат граничного контура В этом случае можно использовать вторую форму граничных условий (Б)

Алгоритм следующий

1) Находится вид функций 11х, Ку по формулам

5 I

Ях =\х„сЬ,Ку =|У„А, (11)

о о

рассчитывая по участкам граничной поверхности 5

2) Определяется вид функции в на границе

(12)

3) Находится вид функций к, % согласно граничным условиям

вида

К = - {хахв - уагв) - в 2 - тг + IX - тУ,

2, (13) Х = -(хс/2е + ус110)-21тв + тХ+1Г,

где 1,т, как и в предыдущих формулах - направляющие косинусы внешней нормали к граничному контуру

4) Далее, аналогично схеме из первого параграфа, <?х,сгу,Тху выражаются на основе уже вычисленных 0, к и %

Приводится решение задачи о пластине, нагруженной нормальными и касательными напряжениями, и задачи Файлона с граничными условиями в виде (12), (13), В итоге получены результаты, полностью совпадающие с классическими,

Таким образом, во второй главе на примере решения целого ряда задач показана применимость метода для решения плоских задач теории упругости аналитическими методами

В третьей главе представлено исследование применимости метода диагонализации для решения задач численными методами

В первом параграфе представляются цели и средства исследования Необходимо показать применимость метода диагонализации для решения задач плоской теории упругости численными методами Для решения задач выбран метод конечных разностей (МКР) (рис 4), который сводит задачу поиска неизвестной функции в области к поиску значений этой функции в отдельных точках - на сетке

Рис. 4 Алгоритм расчета по МКР

МКР применим к областям с различными особенностями (форма, отверстия) и прост в реализации, поэтому в данной работе используется именно этот метод Кроме того, программная реализация МКР включает в себя подзадачи численного дифференцирования, интегрирования, а также

решения системы линейных алгебраических уравнений В качестве среды реализации решения выбран пакет МаМетаНса, предоставляющий все возможности для решения подобного рода задач

Во втором параграфе представлена общая постановка задачи цель - определить напряженное состояние пластины, нагруженной по контуру, при этом известны геометрические характеристики пластины (ширина а и высота Ь ) и нагрузка, распределенная по контуру пластины с проекциями Хп и У„ на оси координат (рис 5)

Рис. 5 Исходные данные для постановки задачи

Нагрузки уравновешены + = 0 Требуется найти

распределения напряжений ах (х,_у), ау (х,у), Тху (х,у) в данной пластине

Алгоритм решения задач теории упругости при помощи метода диагонализации с использованием метода конечных разностей, рассматриваемый в третьем параграфе, показан на рис 6

Рис. 6 Алгоритм метода диагонализации с использованием МКР В четвертом параграфе описываются шаги по численной процедуре решения, основанной на указанном алгоритме

Сначала производится нанесение сетки на пластину При этом определяются параметры сетки - шаг вдоль оси х (Ах и, соответственно, пх = а/Ах - число узлов сетки по горизонтали) и оси у (Ду и, соответственно, пу = Ь/Ду - число узлов сетки по вертикали), размещение относительно начала отсчета и границ пластины

Выбор шага сетки определяется в существенной мере видом функций внешних нагрузок Хп и Уп при переносе нагрузок на узлы сетки нагрузки фактически аппроксимируются кусочно-постоянными функциями (рис 7)

узлах

Законтурные точки (серые кружки на рис 7) нужны для конечно-разностной аппроксимации производных функций 0(х,у), к(х,у), входящих в граничные условия

Далее необходимо произвести численное дифференцирование Простейший подход к численному дифференцированию состоит в прямом использовании определения производной, как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, при этом сетку рационально нанести так, чтобы производные в граничных точках по нормали к границе выражались через центральные разности узловых значений функции

Последовательность действий по аппроксимации граничных условий выглядит, как показано на следующей схеме (рис 8)

Конечно-разностные аппроксимации всех величин, показанных на схеме, находятся только для верхней и правой границы прямоугольника Аналогичная работа для оставшихся границ опускается, так как рассматривается осесимметричная задача

Расчет граничных условий

а.

{'.У)

Х~ | (с12Кс1х - (¡¡/(¿у). Ц

дк дх

\bntJ

ду ,

Рис. 8 Промежуточные величины для аппроксимации граничных

условий

Линейная аппроксимация вш показана на рис 9 Из рисунка видно, что значение в'""1 в помеченной точке границы может быть аппроксимировано суммой значений 9 в указанных узлах, взятых с указанными коэффициентами

1 1у ... . .0,5

......0 5-

. . . . •

1——►

Рис. 9 Шаблон для вм

В остальных узлах верхней границы вш аппроксимируется аналогично — в этом смысле рисунок является шаблоном для определения

ш

Шаблону соответствует выражение

в'Г"* н+0,,™-о5)' <14>

где 7тах = иу/2

Аналогично

0ГЫЬп" в,(15)

где /тах = их/2

В уравнениях (13) на момент составления граничных условий не известны ни 6>ута^05, ни ни оУравнения (14) и (15) служат

для связывания значения функции в в узлах сетки с граничными значениями в, которые, в свою очередь, связаны с заданными на границах нагрузками - через (4) - (8) Такие и другие связи между переменными образуют систему уравнений, из которой можно будет определить узловые значения 9 и к, а затем - все производные от них величины

Аналогичным формулам (14) и (15) образом определяются конечно-разностные аппроксимации производных функций в я к ни границах, а также интеграла (8) (с помощью формулы прямоугольника) Подставляя полученные аппроксимации в (5) - (7), получаем конечно-разностные граничные условия для напряжений ох,оу,тху

Конечно-разностная аппроксимация уравнения Лапласа (3) основана на аппроксимации второй производной и производится аналогично перечисленным выше аппроксимациям первых производных с единственным отличием в самой формуле вычисления

Следующим шагом решения задачи является решение полученной системы линейных алгебраических уравнений Аппроксимация граничных условий и уравнений Лапласа на предыдущем шаге дала (га: + 1) (пу +1)-4

конечно-разностных линейных уравнений Данная система уравнений решается с помощью пакета МаМетаНса

Дальнейшая обработка решения заключается в определении напряжений в области согласно (5) - (8) Конечно-разностные аппроксимации напряжений в области строятся по тому же принципу, как и на границе - используя выражения, подобные (14) - (15)

В пятом параграфе рассмотренный алгоритм решения применяется к задаче о пластине с линейно распределенной нагрузкой д = х/2 Преимущество данного примера в том, что, поскольку заранее известен линейный характер искомых функций в,к,сгх,ау,тху, то можно составить

уравнения на очень грубой сетке, не теряя точности Решение задачи производится согласно рассмотренному выше алгоритму Полученное решение сравнивается с известным из классической литературы аналитическим решением и данное сравнение показывает их практически точное совпадение - абсолютные значения погрешности имеют порядок 10""

Вывод как и ожидалось, решение по МКР в задачах с линейными 9,к,ах,ау,гху дало точный ответ

В шестом параграфе рассматривается задача с квадратичной функцией нагрузки Здесь при редкой сетке (пх - пу = 2) погрешность определения напряжений составила 5,6% Функция в определена с близкой к нулю погрешностью, а функция к, которая должна быть всюду равной нулю, определилась из системы уравнений как константа, равная -0,375, что и повлекло за собой погрешность в определении напряжений Погрешность объясняется неточностью линейной аппроксимации парабол, однако она уменьшается со сгущением сетки При сгущении сетки в 2 раза максимальная погрешность определения напряжений убывает в 4 - 5 раз и составляет 0,11% при сетке 24 24 (их = 12), что свидетельствует о сходимости решения (рис 10)

10 41) АО 8.0 1(Ш 120

Рис. 10 Сходимость решения для ох,ау со сгущением сетки

Таким образом, расчеты позволяют сделать вывод о применимости рассматриваемого метода к граничной задаче в напряжениях для прямоугольной полосы при линейных и нелинейных функциях нагрузок

В седьмом параграфе рассматривается вариант решения для случаев, когда граничные нагрузки можно представить, как заданные функции координат граничного контура Как уже упоминалось во второй главе, в этом случае целесообразно использовать граничные условия для искомых функции в в виде (12) В этом варианте процедура решения краевой задачи должна состоять из следующих этапов (рис 11)

Рис. 11 Алгоритм решения с использованием граничных условий для функций в,к,х

В восьмом параграфе указанным выше алгоритмом решается задача с тригонометрической функцией нагрузки К прямоугольной полосе приложена нагрузка, представляющая собой один член тригонометрического ряда Размеры полосы 8 8 Рассчитывается симметричная четверть

Система линейных алгебраических уравнений построится сначала для в, затем для к и, наконец, для % В остальном процедура решения аналогична предыдущей задаче

им

\ • ♦ ♦ . .

6 1 -1 - " 1 ) 12 14 16 IS ~ f i i '-f * -.

10 12 14 If

Рис. 12 Сходимость решения со сгущением сетки

Погрешность определения напряжений сгх,ау на редкой сетке 8 8

составляет 6,2 % Со сгущением сетки погрешность уменьшается (см рис 12)

На рис 12 также показана относительная погрешность определения т двумя различными способами в первом случае тх) определено по

функции %(х,у), найденной путем численного решения уравнения &%{x>y)-Q с граничными условиями (13), во втором случае (соответствующий рисунок прокомментирован «Х~ integral») тху определено по функции %(х,у), выраженной как интеграл (8) Видно, что на густых сетках погрешности отличаются почти вдвое интегральная формула, аппроксимированная методом прямоугольников, менее точна В целом видна достаточно быстрая сходимость численного решения к известному аналитическому решению

Таким образом, в третьей главе показана применимость метода для решения плоских задач теории упругости численными методами

В заключении сформулированы основные результаты работы и

выводы

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Разработан ряд алгоритмов применения метода диагонализации для аналитического решения задач плоской теории упругости в декартовых координатах

2) Получено преобразование метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах

3) Разработан алгоритм применения метода для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах

4) Разработаны алгоритмы применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости.

5) С использованием указанных алгоритмов получены

- аналитические решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах;

- аналитические решения плоских задач теории упругости в полярных координатах,

- численные решения плоских задач теории упругости

6) На основе полученных решений показана применимость метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Светашков А А, Махов A.B. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Коши-Римана // Известия Томского политехнического университета - 2005 — № 6 -С 136-140

2 Махов А.В. Светашков А А Решение задачи о нагружении полосы сложной нагрузкой с помощью метода преобразования системы уравнений равновесия к диагональному виду // Прогрессивные технологии и экономика в машиностроении Труды IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием В 2-х т - ЮТИ ТПУ, Т II -Юрга Изд-во ТПУ, 2006 - С 81-84

3 Махов A.B.. Светашков А А Метод решения задач теории упругости на основе приведения системы дифференциальных уравнений равновесия к диагональному виду // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов Т III -Нижний Новгород Изд-во ННГУ, 2006 - С 143

4 Махов A.B. Решение задачи Файлона для диагонализованной системы уравнений равновесия и его оптимизация для вычисления результатов на компьютере // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики Доклады V Всероссийской научно-технической конференции - Томск Изд-во ТГУ, 2006 - С 181-182

5 Замятин В М , Махов A.B.. Светашков А А Решение плоских задач теории упругости для полосы с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Известия Томского политехнического университета. - 2006 - № 6. - С 135-139.

Тираж 100 Заказ №535 Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г Томск, пр Ленина, 40

Оглавление.

Введение.

ГЛАВА 1. Обзорная часть. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия.

1.1. Краткий обзор методов решения задач теории упругости.

1.1.1. Аналитические методы.

1.1.2. Численные методы.

1.2. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия.

1.2.1. Уравнения равновесия в напряжениях.

1.2.2. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями.

1.2.3. Система уравнений граничных условий.

1.2.4. Граничные условия в перемещениях.

1.2.5. Матричная форма физических соотношений.

1.2.6. Постановка задач теории упругости в перемещениях.

1.2.7. Преобразование системы уравнений равновесия.

1.2.8. Выражения собственных векторов через перемещения.

1.2.9. Об эквивалентности диагонализированной системы уравнений равновесия и системы Коши-Римана.

ГЛАВА 2. Решение задач аналитическими методами.

2.1. Решение задач в декартовых координатах.

2.1.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону.

2.1.2. Простое растяжение полосы.

2.1.3. Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения.

2.1.4. Другой способ задания растягивающих и сдвиговых напряжений.

2.1.5. Изгиб моментами, приложенными к боковым граням.

2.1.6. Задача о нагружении пластины сложной нагрузкой.

2.1.7. Расчет плотины треугольного профиля.

2.1.8. Задача Файлона.

2.2. Решение задач с использованием функции напряжений.

2.2.1. Расчет функций в, со, к, х по известной функции напряжений (р.

2.2.2. Изгиб консоли силой, приложенной на конце.

2.2.3. Изгиб двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой.

2.2.4. Изгиб консоли равномерно распределенной нагрузкой.

2.3. Решение задач с использованием функции напряжений в полярных координатах.

2.3.1. Преобразование метода для решения задач в полярных координатах.

2.3.2. Задача Митчела.

2.3.3. Изгиб кривого бруса.

2.3.4. Задача Кирша.

2.4. Решение задач с использованием граничных условий для 6,к,%.

2.4.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону.

2.4.2. Расчет пластины, нагруженной нормальными и касательными усилиями.

2.4.3. Задача Файлона.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. Решение задач численными методами.

3.1. Цели и средства исследования.

3.1.1. Методика исследования.

3.2. Общий вид постановки задачи.

3.3. Обобщенный ход решения. Вариант А.

3.4. Численная процедура решения.

3.4.1. Нанесение сетки на пластину.

3.4.2. Применение численного дифференцирования.

3.4.3. Решение СЛАУ и обработка результатов.

3.5. Тестовая задача.

3.5.1. Постановка задачи.

3.5.2. Решение.

3.5.3. Результаты.

3.6. Задача с квадратичной функцией нагрузки.

3.6.1. Постановка задачи.

3.6.2. Решение.

3.6.3. Результаты.

3.7. Обобщенный ход решения. Вариант Б.

3.8. Задача с тригонометрической функцией нагрузки.

3.8.1. Постановка задачи.

3.8.2. Решение.

3.8.3. Результаты.

Выводы по главе.

Задачи теории упругости - традиционный раздел механики деформируемого твердого тела, имеющий достаточное количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций. Задачи проведения анализа прочности материалов и конструкций в своем подавляющем большинстве опираются на классические математические модели, в основе которых лежат системы дифференциальных уравнений теории упругости, полученные еще в первой половине XIX века. Это системы уравнений упругого равновесия в перемещениях (Лямэ) и в напряжениях (Бельтрами-Мичелла) [83]. Исходная форма записи данных уравнений преобразованиям практически не подвергалась, по крайней мере, преобразованиям, которые не повышали бы порядок дифференциальных уравнений.

В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники наблюдается интерес исследователей к развитию и применению численных методов. Проблемы повышения эффективности и быстродействия ЭВМ (как и проблема экономичности расчетов), возникающие при численной реализации решений задач теории упругости, не являются завершенными. В то же время хорошо известно, что развитие теоретических методик благотворно сказывается на модификации концепций и технологий вычислительных подходов.

В данной диссертации рассматривается возможность использования нового метода решения задач по расчету конструкций на прочность. Он основан на преобразовании системы уравнений упругого равновесия к диагональному виду.

Актуальность темы. Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами, сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе [52], [77]. В случае аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечно-элементного методов и перехода к решению системы алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) хорошо известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности - ее приведение к диагональному виду [97]. Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме [84], [86] на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализированная система в новых переменных имеет вид п .независимых друг от друга уравнений Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где п -размерность решаемой задачи. Сведение к гармонической проблеме облегчает процедуру интегрирования и удовлетворения граничным условиям, поскольку аппарат решения краевых задач для уравнения Лапласа является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике. Здесь следует назвать аналитические методы, включая методы теории функций комплексного переменного [47], [61], численные методы, в том числе методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, а также итерационные методы [101].

Использованный в диссертации подход, основанный на методе диагонализации системы уравнений равновесия, является одним из возможных вариантов решения как проблемы повышения эффективности аналитических методов реализации, так и проблемы повышения эффективности и экономичности численных решений на ЭВМ, возникающих при проведении прочностных расчетов в рамках плоской теории упругости [85].

Актуальность исследований состоит в практическом применении метода диагонализации в решениях ряда задач плоской теории упругости.

Преимущества метода диагонализации следующие:

1) Решение системы двух дифференциальных уравнений с частными производными заменяется решением двух независимых друг от друга уравнений Лапласа. Математический аппарат решения уравнений Лапласа как аналитическими, так и численными методами, является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике.

2) При численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями. Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру. В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических уравнений уменьшается в несколько раз, что сокращает количество операций по определению численного решения.

Цель диссертационной работы - показать применимость метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами; на основе полученных решений оценить точность метода и его практическую применимость.

Основные задачи работы заключаются в следующем:

1) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах с помощью аналитических методов;

2) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах с помощью аналитических методов;

3) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости с помощью конечно-разностного подхода.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) предложены новые алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) метод диагонализации был использован для решения плоских задач в полярных координатах;

3) предложены новые алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

4) экспериментально подтверждена применимость метода диагонализации для численного решения задач.

Достоверность результатов исследования подтверждается: строгой математической постановкой и использованием математического аппарата теории упругости и математической физики; практически полным совпадением результатов аналитического решения плоских задач с известными в литературе решениями; малой погрешностью результатов численного решения задач при сравнении с известными из литературы аналитическими решениями.

Практическая ценность заключается в том, что результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы:

- при решении широкого класса задач плоской теории упругости как аналитическими, так и численными методами;

- в педагогическом процессе - для подготовки курса лекций по теории упругости, основанной на диагональной форме уравнений равновесия, дополненного примерами решения задач;

- в вычислительных технологиях - для проектирования пакетов прикладных программ, использующих модифицированную постановку плоской задачи теории упругости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) постановка метода диагонализации для решения плоских задач в полярных координатах;

3) алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;

- на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г.;

- на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004,2007 г.г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять статей.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Выводы по главе

Программно реализовано решение граничной задачи в напряжениях методом конечных разностей на основе метода диагонализированной системы уравнений равновесия. Получена серия численных решений (прямоугольная полоса с линейной, квадратичной и тригонометрической функциями нагрузки), совпадающих с известными аналитическими решениями. Установлена хорошая сходимость решений при сгущении сетки.

Таким образом, экспериментально подтверждается применимость метода решения задач теории упругости с помощью диагонализированной системы уравнений равновесия к граничной задаче в напряжениях для прямоугольной полосы при линейных и нелинейных функциях нагрузок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе была решена научно-техническая проблема, заключающаяся в разработке алгоритмов применения метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами.

Сформулируем полученные в работе результаты:

1. Разработан ряд алгоритмов применения метода диагонализации для аналитического решения задач плоской теории упругости в декартовых координатах.

2. Получено преобразование метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

3. Разработан алгоритм применения метода для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

4. Разработаны алгоритмы применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости.

5. С использованием указанных алгоритмов получены: a. аналитические решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах; b. аналитические решения плоских задач теории упругости в полярных координатах; c. численные решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах.

6. На основе полученных решений показана применимость метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 287 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Учебное пособие. -Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986.-384 с.

3. Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев: Изд-во АН УкрССР, 1963. - 201 с.

4. Аладьев В.З., Шишаков M.JI. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. -М: Филинъ, 1997. 368 с.

5. Александров А.В., Потапов А.В. Основы теории упругости и пластичности: Учебник для строительных специализированных вузов. -М.: Высшая школа, 1990. 400 с.

6. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. /Пер. с англ. М.: Мир, 1969. - 368 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 598 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-640 с.

9. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 511 с.

10. Ю.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Изд-е 11-е. М.: Физматлит, 2007. - 312 с.

11. П.Бенержи Б., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 494 с.

12. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

13. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. 524 с.

14. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. /Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -248 с.

15. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Изд-во Технико-теоретической литературы, 1955. - 607 с.

16. Бугров Я.С., Никольский С.Н. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1984. - 192 с.

17. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Методы численного анализа в теории упругости // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической м прикладной механике. 1964, С. 83-94.

18. Верижский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978. - 183 с.

19. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы программы. Киев: Наука думка, 1986. - 544 с.

20. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. - 223 с.

21. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 254 с.

22. Воробьев Е.М. Введение в систему символьных, графических и численных вычислений «Математика-5». -М.: Диалог-МИФИ, 2005. -368 с.

23. Воробьев Н.Н. Теория рядов. 5-е изд. - М.: Наука, 1986. - 408 с.

24. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд. 12-е, стереотипное. М.: Наука, гл. ред. Физ-мат литературы, 1977. - 870 с.

25. Галлагер Р. МКЭ: Основы. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 215 с.

26. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1977.-440 с.

27. Давыдов Е.Г. Введение в интегрированную систему Mathematica 2. Технология работы и практика решения задач. М.: Радио и связь, 1997. -72 с.

28. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1979.-432 с.

29. Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы высоких порядков // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск: КИСИ, 1994.-С. 133-143.

30. Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы на основе сверхсходимости // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады IV-ro Всероссийского семинара. Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2002. - С. 118130.

31. Дьяконов В.П. Системы .символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. Справочное издание. М.: СК ПРЕСС, 1998. - 328 с.

32. Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс. СПб: Питер, 2001. - 656 с.

33. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: Нолидж, 2000.-608 с.

34. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М.: Госстройиздат, 1957.-256 с.

35. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986. - 182 с.

36. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 для пользователей. М: СОЛОН, 1999. - 240 с.

37. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.

38. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. Изд. 2-е, нспр. М.: Едиториал УРСС, 2004. -272 с.

39. Кирпичев B.J1. Беседы о механике. M.-JL: Гостехиздат, 1951. - 360 с.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1973. 832 с.

41. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия: Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, перераб. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 304 с.

42. Кулиев В.Д. Некоторые математические вопросы плоской теории упругости // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина. М.: Физматлит, 2006.-864 с.

43. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

44. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов. Новосибирск: НГУ, 1999. -166 с.

45. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ ГТТЛ, 1942.-304 с.

46. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.-492 с. •

47. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

48. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.-674 с.

49. Маделунг Э. Математический аппарат физики: Справочное руководство. -М.: Наука, 1968.-620 с.

50. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.-216 с.

51. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 384 с.

52. Мищенко П.Д., Терновской Б.П. Решение плоской задачи теории упругости методом последовательных приближений. Учебное пособие. -Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1975. 47 с.

53. Муравьев В.А., Бурланков Д.Е. Практическое введение в пакет Mathematica. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. - 124 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1956. - 708 с.

55. Мэтыоз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972. - 396 с.

56. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

57. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. /Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-304 с.65.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

58. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. - 640 с.

59. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.-312 с.

60. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.-688 с.

61. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Изд-е 2-е. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 366 с.

62. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. -М.: Физматлит, 2001. 576 с.

63. Понтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953. - 420 с.

64. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.-328 с.

65. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Наука, 1978. -392 с.

66. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. -М.: Изд-во Высшая школа, 1966. 228 с.

67. Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. -М.: Изд-во Высшая школа, 1973, 384 с.

68. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-418 с.

69. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

70. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -459 с.

71. Самарский А.А. Теория разностных схем. Изд. 2-е, перераб. М: Наука, 1983.-616 с.

72. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

73. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

74. Светашков А.А. Диагональная форма уравнений теории упругости в перемещениях // Международная конференция по матемтике и механике: Избранные доклады. Томск: Изд-во ТГУ, 2003. - С. 188-192.

75. Светашков А.А. О преобразовании системы уравнений Бельтрами-Мичелла к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика. 2006. - № 6. - С. 124-127.

76. Светашков А.А. О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика.-2005.-№ 11.-С. 116-120.

77. Светашков А.А. О решении плоских задач теории упругости с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Вычислительные технологии.-2007.-Т. 12.-№2.-С. 110-114.

78. Светашков А.А. Собственные преобразования системы уравнений теории упругости // Известия высших учебных заведений. Физика. 2004. - № 10.-С. 98-101.

79. Светашков А.А., Махов А.В. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Коши-Римана // Известия Томского политехнического университета. 2005. - № 6. - С. 136-140.

80. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. /Пер. с англ. М.: Мир, 1979.-392 с.

81. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. - 208 с.

82. Смолянский M.JI. Таблицы неопределенных интегралов. Изд. 2-е, испр. -М.: Главное издательство физико-математической литературы, 1963. -112 с.

83. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. -870 с.

84. Тимошенко С.П. Теория упругости. M.-JL: ОНТИ 1934.-451 с.

85. Турчак Л.И. Основы численных методов. -М.: Наука, 1987. 320 с.

86. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского университета, 1986. - 296 с.

87. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Изд. 2-е, доп. Л.: Наука, 1967. - 402 с.

88. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. -Л.: Наука, 1977.-220 с.

89. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1969. 168 с.

90. Хазанов Х.С., Савельев Л.М. Метод конечных элементов в приложении к задачам строительной механики и теории упругости. Конспект лекций. -Куйбышев: Куйбышевский авиационный институт, 1975. 128 с.

91. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. /Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1968. - 400 с.

92. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров: Справочное пособие. -М.: Машиностроение-1,2004. 512 с.

93. Шешенин С.В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых задач механики деформируемого твердого тела // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. - № 2. - С. 21-26.

94. Benthem J.P. A Laplace transform method for the solution of semi-infinite and finite strip problems in stress analysis // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1963, - № 4. - p. 413-429.