Исследование волновых процессов в термоупругой среде Коссера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Кончакова, Наталия Александровна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
КОНЧАКОВА Наталия Александровна
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЕРМОУПРУГОЙ СРЕДЕ КОССЕРА
Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж -1998
Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университет
Научный руководитель - доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков В. А.
Научный консультант — кандидат физико-математических
наук, доцент Бестужева Н. П.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Астафьев В.И.
доктор физико-математических наук, профессор Филатов Г.Ф.
Ведущая организация - Воронежская государственная
архитектурно-строительная академия
Защита состоится ./А миф* 1998г. в на заседани
диссертационного совета К 063.48.13 при Воронежском государственно университете по адресу: г. Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежскчн государственного университета.
Автореферат разослан " Г" 1998г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Ковалев А. Е
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Данная работа посвящена изучению закономерностей распространения лругих волн и решению отдельных краевых задач ударного нагружения грмоупругого полупространства с микроструктурой.
Актуальность темы исследования. Применение композиционных, оликристаллических материалов в технологических задачах, связанных с их аиболее высокими прочностными свойствами, вызывает интерес к изучению эзможностей применения этих материалов в качестве составных частей тел и знструкиий, а значит, и к методике тестирования последних на предмет энаружения внутренних дефектов. Развитие высокочастотных методов ыявления наличия внутренних дефектов в материалах, горных погодах, эстаточно больших инженерных конструкциях делает особенно важными ^следования в области изучения упругих волн в данных телах. С другой гороны, присутствие поликристаллических и композиционных составляющих структуре высоковолоконных соединений, акцентирует внимание на вопросы дтенсивности передачи, глубине проникновения и качественной эсприимчивости описанных материалов к высокочастотным и азкочастотным импульсам. С учетом этого микрополярные среды, как пример )ед с дополнительными степенями свободы, имеют достаточно большой 1ектр применения. В ряде технологических задач обращается особое внимание I степень влияния внешних температурных полей на процесс деформации атериала. Это могут быть проблемы, связанные с появлением дополнительных (ловых характеристик среды или с возникновением новых, не свойственных 1сто упругим материалам, свойств, которые проявляются вследствие :йствия на тело температуры. Рассмотрение моделей термоупругих атериалов позволяет решать некоторые из этих проблем и, в ряде случаев, югнозировать поведение материала при импульсных температурных нрузках. Поэтому вопросы закономерностей и особенностей распространения □личных видов термомеханическнх волн в описанных средах являются ■сьма актуальными. Подтверждением этого может служить активно растущий последнее время поток научных публикаций по данной тематике.
Целью работы является проведение комплексного исследования упругих шновых движений в твердых телах с микроструктурой, а именно:
применительно к модели термоупругой среды Коссера выявить кономерности распространения поверхностей сильного и слабого разрывов, а кже гармонических волн;
оценить влияние упругих параметров среды на основные динамические .рактеристики различных типов волн;
проанализировать влияние микровращений на характер, условия тцествования и изменение величии основных параметров волновых движений шизогропных и изотропных микрополярных средах;
рассмотреть ударно-волновые процессы деформирования твердых тел I примерах решения конкретных краевых задач, использующих модель сред Коссера, как имеющих наиболее частое и значительное практическс применение.
Для достижения поставленной цели в рамках линейной модел термоупругости проведено исследование динамического поведения упруга волн. Проанализировано влияние коэффициентов тензоров термомеханическс связности и модулей тензора механической активности на основнь динамические характеристики монохроматических и ударных волн. Показа} идентичность структуры уравнений, описывающих движение поверхносте сильного и слабого разрывов, а также гармонических волн. Выявлено, что микрополярных средах могут существовать новые типы волн, не имеклщ аналогов в классической теории упругости. В среде Коссера упругие волн обладают дисперсией. Особое внимание уделено анизотропным материалам. К примере кристалла кубической симметрии с микроструктурой выявлен условия существования и сохранения продольных нормалей, найдены скорост распространения гармонических волн вдоль особых направлений, связанных кристаллографической симметрией, указаны значения критических частот, и которых изменяется первоначальный характер волны. Ударно-волновы процессы деформирования рассмотрены для термоупругого изотропног материала. На основе лучевого метода решены некоторые краевые задач ударного нагружения. Приведены численные расчеты задачи о тепловом удар для такого композиционного материала, как алюминиевая дробь в эпоксидно матрице.
Научная новизна настоящей работы заключается в разработке (с учето предложенной темы исследования) линейной теории распространения ударног импульса в микрополярное упругое полупространство, в результате чего:
-найдены скорости распространения ударных волн в микрополярно: термоупругом твердом теле с микроструктурой;
-используя аналитический аппарат условий совместности к-го порядк; впервые получены общие определяющие уравнения высшего порядка дл определения характеристик ударных волн, распространяющихся анизотропной термоупругой среде Коссера;
-лучевой метод решения динамических задач распространен на случа термоупругой среды Коссера;
-решены задачи теплового и силового ударного нагруженю приложенного к границе термоупругого микрополярного полупространства;
-оценено влияние тензоров механической и термомеханическо связности на процесс деформирования и указаны численные значения, пр которых описанные эффекты связности существенно влияют на решение;
-показана возможность существования новых типов волн, не имеющи аналогов в классической теории упругости;
-длт модели линейной анизотропной микрополярнои среды Коссера, обладающей кубической симметрией, получены уравнения движения монохроматических плоских волн, скорости распространения продольных волн вдоль определенных направлений и найдены условия существования и сохранения продольных нормалей;
-определены значения критических частот, на которых возможно изменение первоначального характера волн;
-показано соответствие структуры уравнений движения поверхностей :ильного и слабого разрывов и монохроматических плоских волн для анизотропных микрополярных сред.
Достоверность полученных результатов основана на использовании слассических подходов механики сплошных сред, апробированных численных 1 асимптотических методов решения, определяется строгостью математических !ыкладок и приемов, подтверждается хорошим согласованием полученных >езультатов в предельных случаях с решениями и выводами, известными в штературе, а также с имеющимися экспериментальными данным!!, ^противоречивостью аналитических выводов численным экспериментам и ¡епосредственным следованием из полученных решений результатов лассической теории упругости.
Практическая значимость. Результаты исследований могут быть спользованы как основа для проведения экспериментов, направленных на пределение дефектов горных пород, некоторых видов аморфных тел и ерамик методами волновой диагностики. Скорость распространения ударно-злнового высокочастотного импульса в поликристаллических материалах ожет быть рассчитана на основе формул, приведенных в данной работе. Ьлученные уравнения распространения различных волновых поверхностей эзволяют проследить эволюцию волнового воздействия на материал и трогнозировать его поведение с течением времени. Общие уравнения зижения волновых поверхностей, полученные в данной работе, позволяют доводить исследования не только в анизотропных средах, обладающих •бической симметрией, но и в любой другой анизотропной среде, редставленные расчетные формулы для определения характеристик 'Лнового ударного движения, силовых и тепловых параметров осматриваемой среды в виде лучевых разложений, позволяют решать ярокий спектр краевых задач волновой динамики. Материал исследования >жет быть внедрен в учебный процесс в качестве спецкурса для студентов панический специальностей ВУЗов.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
- обобщение уравнений, определяющих поведение микрополярного нтинуума на случай термоупругой анизотропной среды;
- выявление особенностей распространения монохроматических плоских ш в среде Коссра и указание критических частот, на которых изменяется твоначальный характер волны;
- исследование условий существования и сохранения продольн нормалей, связанных с кристаллографической симметрией, в микрополярн кубическом кристалле;
- вывод полной системы термодинамических уравнений высш< порядка на фронтах ударных волн для определения характеристик удар! волнового движения в среде Коссера;
- построение решения краевых динамических задач ударнс нагружения методом лучевой асимптотики и реализация численного решен на примере такого композиционного материала, как алюминиевая дробь эпоксидной матрице.
Работа выполнялась на кафедре теоретической механики теоретической физики Воронежского государственного техническс университета в рамках госбюджетной темы "Теория физико-механическ свойств твердых тел и твердотельных конструкций" (Государственш регистрационный N 01960006208) и может быть отнесена к теме N2.2 "Механика деформируемых тел, перспективных материалов, конструкций сооружений", вошедшей в перечень приоритетных направлен] фундаментальных исследований, утвержденных Президиумом РАН в 1998г.
Апробация. Отдельные результаты и работа в целом докладывались обсуждались: на Воронежской школе "Современные проблемы механики математической физики" ( Воронеж, 1994); на Белорусском конгрессе 1 теоретической и прикладной механике "Механика-95" (Минск, 1995); 1 региональном межвузовском семинаре "Процессы теплообмена энергомашиностроении" (Воронеж, 1996); на V Международной конференш женшин-математиков "Математика. Экономика." (Ростов-на-Дону, 1997); 1 VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость управление движением " (Казань, 1997); на Международной конференш "Промышленность стройматериалов и стройиндустрия, энергоресурсосбережение в условиях рыночных отношений" (Белгород, 1997); на Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование (Дубна, 1998); на Воронежской школе "Современные проблемы механики прикладной математики" (Воронеж, 1998); на семинарах в Воронежскс государственном университете и в Воронежском государственном техническо университете.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит ( введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 18 наименований, включая публикации по теме диссертации. Объем работы: 17 страниц, из них 131 страница основного текста, 11 рисунков.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается краткий обзор публикаций, отражающих состоят! рассматриваемой проблемы в ее исторической последовательносп
>босновывается актуальность выбранного научного направления, формулирована цель работы, отмечены научная новизна и возможное фнменение результатов.
Впервые вариант теории упругости, учитывающей влияние шкроструктуры на процесс деформирования среды представили E.Cosserat, \Cosserat в 1909г. Это было обусловлено необходимостью внести коррективы i классическую механику континуума, которая в ряде случаев принципиально г.е в состоянии описать некоторые явления, связанные с дискретным строением 1ещества. К примеру, классической теорией не объясняется наблюдаемый кспериментально процесс дисперсии продольных, сдвиговых и поверхностных юлн в композитах, содержащих макромолекулы, волокна и зерна, в юликристаллических и аморфных материалах. Описанные эффекты наиболее аметны при решении прикладных задач, имеющих дело с распространением олн с большими частотами или малыми длинами волн. Дополнительно к казанному - существует обширный класс материалов, в которых шкроматериальные элементы представляют собой гантелевидные молекулы, обственные колебания и вращение которых вносят существенный вклад в бщий процесс деформирования среды. К данной категории относятся ттериалы, состоящие из жестких нитей или вытянутых зерен. Удлиненные юлекулярные элементы содержат, например, полимерные композиты, стекла, ерамики, отдельные виды полупроводников и аморфных тел, древесина, екоторые горные породы и минералы; среди жидкостей такой структурой бладает кровь, молекулы которой имеют гантелезидную форму. Для таких ред вопросы образования и эволюции микротрешин, микроразрушения и акономерности динамического поведения основных характеристик всего [атериала следует рассматривать о рамках теории микроконтинуума, снованной на введении в рассмотрение моментных напряжений. Большую оль в развитии моментных теорий сыграли работы Миндлина Р.Д., ирстенаХ.Ф, Койтера В.Т, Тупина P.A., Кунина И.А., Эрингена А.К., [альмова В.А., Аэро Э.Л. и Кувшинского Е.В. Исходным постулатом является редположение, что частицы' вещества не точки, а пространственные бразования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами. При писании напряженного состояния такой среды, наряду с тензором напряжений водится тензор моментных напряжений. В области исследования поведения других волн в континууме Коссера определенный вклад внесли исследования авина Г.Н., Ерофеева В.И., Потапова А.И., Филатова Г.Ф., Николаевского В.Н.
Если материал на короткие времена подвергается интенсивному эздействию, то в нем распространяются ударные волны. Аналитический зпарат для изучения разрывов произвольного вида, рассматриваемых как элновые фронты, изложен в работах Адамара Дж., Томаса Т, Хилла Р., русделяа К, Ивлева Д.Д., Коллемана Б.Д. и других авторов. В исследованиях ыковцева Г.И., Бабича В.М., Буренина A.A., Баскакова В.А, Бестужевой Н.П., ервейко Н.Д., Россихина RJ.Ä, Чернышова А.Д., Шитиковой М.В., Шаталова
&
А.Г. и других разработан и развит лучевой метод построения приближенно: решения задач волновой • динамики. Решение краевых задач в средах микроструктурой имеет важное значение в практических приложениях.
Первая глава посвящена анализу моделей микрополярных сре Проведен обзор литературы в контексте математических моделей различив структурно-полярных сред. С помощью вариационного принципа Гамильтон Остр о граде кого получены уравнения движения соответствующе) деформируемого континуума. На примере среды Коссера вводится функщ свободной энергии Гельмгольиа и выписываются основные соотношеш теории термоупругости. Кинематическое поле рассматриваемой среды задает« двумя независимыми векторами: вектором перемещений и векторе микровращений. В качестве мер деформаций структурно-полярно1 континуума Коссера введены: несимметричный тензор деформации
/к! = +Че„И (
и тензор изгиба-кручения, описывающий микроповорот диспергированнь. элементов среды, в форме Хи О
где и,- компоненты вектора перемещений, ш - компоненты вектор микроповорота, е„и - тензор Леви-Чивита, запятая означает дифференцирована по соответствующей координате. Полагается, что функция свободной энерги Гельмгольца, будучи инвариантом, зависит от градиента перемещенш структурного параметра, градиента структурного параметра и температуры может быть представлена в форме: Р = и - Т5, (3
где и.Б - соответственно упругий потенциал и энтропия рассматриваемо механической системы, отнесенные к единице массы, Т - абсолютна
^ о
температура, Б =--. В ряде случаев, например, при рассмотрели
¿ГГ
низкотемпературных процессов деформации или при кратковременны ударных воздействиях и малых временах, следует рассматривать модел термоупругой среды, учитывающую инерцию теплового потока, для которо закон теплопроводности постулируется в форме:
Го<3,+С!,=А„Тя (4
где т0 - время тепловой релаксации; - компоненты вектора потока тепл: отнесенные к элементам площади начального состояния; тензор А являете функцией тех же переменных, что и функция свободной энергии Гельмголый Энергетическое соотношение, связывающее термомеханические параметр! среды, является следствием первого начала термодинамики и имеет вид:
РоТ~ = <2к.к- (5
ас
Здесь ро - плотность среды в начальном состоянии. Следствием из второл начала термодинамики служит соотношение
х.лОДх^О, (6
Л <
<оторое необходимо рассматривать как проверочное условие, подтверждающее правильность проводимых расчетов. Функция И для среды Коссера введена в
виде: Ра? = ^С1>,А, ^у^С^в + ^О1. (7)
Упругие константы, входящие в последнее выражение, характеризуют степень влияния тех или иных физических свойств на процесс деформирования. Усматриваемая функция состояния, как квадратичная форма мер деформаций \ температуры, описывается следующими группами упругих модулей: С^ -/пругие модули первого порядка, отражающие влияние тензора деформации уц га поведение сплошной среды; С;,^ - компоненты тензора констант изгиба-сручения; - тензор механической активности (или механической связности), вписывающий взаимное влияние двух видов деформации на процесс сформирования среды; С','' и С',2' - тензоры термомеханической связности, >ценивающие вклад взаимного влияния полей деформаций и температуры на говедение сплошной среды; С1" - коэффициент тепловой активности, который токазывает насколько интенсивно воздействует температура на изменение юстояния среды. Внесение изменений в тензоры упругих модулей позволяет пучать закономерности проявления определенных свойств материалов, юследовать влияние отдельных упругих параметров на характеристики сформированного состояния среды. Требование положительной тределенности функции Р накладывает ограничения на упругие модули материала. На примере изотропной микрополярной среды и анизотропной :реды, обладающей кубической симметрией, получены условия на упругие юнстанты, следующие из критерия Сильвестра.
Сомпоненты тензоров напряжений и моментных напряжений в линейной ■еории связаны с тензорами деформаций и с температурой следующими сражениями: = ■ Уи + ■ Хы + С'' О, (8)
С^ - г,+ (9)
де в = Т - Т0. Определяющие соотношения имеют вид:
- РА > = Зы,, (Ю)
!десь I - динамическая характеристика среды, представляющая собой средненный распределенный момент инерции микрообъема. Для линейных шкрополярных сред р0 и } являются постоянными величинами.
Во второй главе рассмотрены такие волновые движения, возникающие в еле в результате различных внешних возбуждений, как ударные волны, волны скорений и монохроматические плоские волны. Получены уравнения ;вижения и энергетические соотношения на поверхностях сильного и слабого азрывов, а также соответствующие уравнения, описывающие распространение армонических волн. Рассмотрение случая высокочастотной асимптотики и
исследование условий существования волн сильного и слабого разрыво позволяют выявить соответствия характеристик описанных волновы; движений, при которых определяющие соотношения ударных волн, вол1 ускорений и монохроматических плоских волн имеют один и тот же вид.
Третья глава посвящена изучению некоторых особенносга распространения гармонических волн в микрополярных упругих средах бе учета теплового воздействия на процесс деформации. Исследование проведен! для изотропных сред и анизотропных сред, обладающих кубическо) симметрией. Показано, что в анализируемой среде могут распространятьс: следующие виды волн: квазипродольная волна, квазипродольная волн кручения и квазипоперечные волны. Найдены скорости этих волн и отмечено что волны в среде Коссера обладают дисперсией. В связи с этим, н; определенной критической частоте может изменяться первоначальный тш волны. Анализ найденных значений критических частот позволяет выписат] условия существования каждой группы волк и получить ограничения к; упругие коэффициенты среды, которые допускают возможность зарождения I распространения различных типов волн. Для кристаллов кубической симметрш найдены скорости распространения волн вдоль направлений, совпадающих < осями координат, и указаны значения критических частот, на которы; возможно изменение первоначального характера волны. Исследован вопро« существования и сохранения продольных нормалей, связанных ( кристаллографической симметрией в среде Коссера. Найдены величинь скоростей распространения чисто продольных волн вдоль особых направленш и дана оценка влияния тензора механической связности на положенш продольных нормалей.
В четвертой главе описывается методика построения решенш граничных задач волновой динамики. Для этого принимаются основньи положения лучевого метода, которые распространяются на случа{ термоупругой среды Коссера. Привлекая аналитический аппарат условщ совместности высшего порядка, которые в общем случае могут быть записань
строятся коэффициенты лучевого ряда. Здесь латинские индексы после запятой принимающие значения 1, 2, 3, означают частные производные пс соответствующим декартовым пространственным координатам х,, х2, х,, г греческие индексы после запятой, принимающие значения 1, 2, означают ковариантное дифференцирование по соответствующим криволинейны,\
& 6 поверхностным координатам у', у' ;--производная по Томасу; х, „ = —%; и -
3\ дуР '
компоненты вектора нормали к волновой поверхности; - контравариантньк компоненты метрического тензора волновой поверхности. Лучевое разложение для некоторого решения динамической задачи имеет вид:
в форме
f (s- о = ¿г&ч1 .«..>(»" H(t - ф)), (12)
k.O K!
~де квадратные скобки обозначают разность величины непосредственно перед
, , V ds
i за поверхностью разрыва, f(l)= —; r(s)= -; s - длина дуги,
at ¿G(s)
отсчитываемая вдоль нормальной траектории к волновому фронту от некоторой запальной волновой поверхности, t - время, H(t) - единичная функция Кевисайда, G(s) - нормальная скорость волновой поверхности. В линейной теории скорость ударной волны при переходе через фронт разрыва остается юстоянной. В зависимости от сложности решаемой задачи и требуемой точности нахождения искомых величин используются как одночленные, так и хвучленные или многочленные лучевые разложения. В некоторых важных для трактики случаях, например, при учете физической или геометрической «линейности, анизотропии тел, а также при решении задач ударного ишамического воздействия различного характера (теплового или механического) приходится ограничиваться двумя первыми членами лучевых )ядов для искомых величин. Это касается и настоящего исследования. ~1олучены реккурентные уравнения для определения коэффициентов лучевых )ядов путем применения к уравнениям движения микрополярной «симметричной упругой среды операции дифференцирования по времени, а
K,(k>j=Pobvtw.oJ' ....
;атем операции разрывов: г ir ir ■> (13)
■де V, и í, - соответственно компоненты скоростей и скоростей микровращений истиц среды. Энергетическое соотношение на поверхности сильного разрыва
финимает вид: k0(r0T0 )"'[т]+ G:
= 0, (14)
зт
^ - коэффициент теплопроводности. Условие возрастания энтропии при юреходе через ударную волну, реализующее в себе второй закон ермодинамики, записывается в форме
р/зйфдтг1],,. (15)
Трименяя соотношение (11) к системе уравнений (13-15) и, тем самым, аписывая его для величин напряжений, моментных напряжений, скоростей, :коростей микровращений, перемещений и микроповоротов, выписаны шределяющие уравнения к-го порядка для анизотропной термоупрутой среды Соссера. Задавая последовательно значения параметра к, равные -1, 0, 1, ..., из тих уравнений получены соотношения для определения скоростей >аспространения ударных волн, разрывов ускорений частиц среды и юследующих коэффициентов лучевых рядов. Общность записи тензоров т1ругости приводит к тому, что в конкретном случае задания какой либо имметрии среды, можно записать соотношения на ударной волне, юзволяющие определять характеристики волнового движения. Рассмотрены
процессы ударного нагружения изотропной среды Коссера. Найдены скорое« распространения ударных волн. Скорость квазитепловой волны составляет
С; =-
, Ц»)*
, = ■
к0Ро
готД-с^с:1
скорости квазипродольной волны кручения и квазипродольной волны равны
о- -_Ы^м) + 2у) + - аО? +2г))г + 4р,л(т?+2ф)2
I 2а, 21 ' 2рА
(16;
)
к ..I РоЁс»
(с',")г а,х„я> -ьЬ,
х„ = —+
(17;
(знак "+" соответствует первой из описанных волн, знак "-" - второй); скорости распространения квазипоперечных волн имеют вид:
О' - с," , С',;' ч /рсу -рА2>] + '■2 2р, 21 ~ 2р0;
В (16-28)
(18)
крРо
- -! --
)_ \ 2)
г0т0с(|)£с:" .
» Ь| =
1 |.[ '-•4___1«!__^"Ч) \ 4 )
¿. " -
¿с:» .(¿с;» Дс-)2
1 + АЙ
. ФЛ
, ь0 =
А 1с:2'
к0 р,
( ' \ я,1с«> 1+—*—
V 1-1
Ро
2 \
^ 1С
С = а, С«»=д-а, С«>=/| + в, С«>=/*, с'11» = у-е, С'2>=Г + г,
с(23' =ф-о~, С + X и ц - коэффициенты Ламе классической теории упругости, а, р, у, т], е, ф,о -дополнительные упругие константы, описывающие микроструктуру материала. Рассмотрена задача о тепловом ударе (ударный импульс направлен ортогонально плоской границе тела (х, х2)). В результате в полупространстве распространяются квазитепловаяая волна, квазипродсгльная волна кручения и квазипродольная волна (вкладом волн (18) в решение данной задач« после соответствующей оценки пренебрегается). На рисунке 1 показано разбиение
I-
/
полупространства на зоны ударного воздействия. Принятая очередность распространения волн обоснована в диссертации.
Рис. I
Буквой Т обозначен фронт квазитепловой волны, R - фронт квазипродольной волны кручения, Р - фронт квазипродольной волны; цифрами отмечены зоны ударного нагружения; дуговая координата s в каждой зоне обозначена соответствующей буквой. Построены аналитические решения задач, в которых на границе полупространства заданы: скорости точек среды, скорости микровращений и температура
v,(0,t)=xi-nktk ,^(0,0 = 2^1.«'. 0 = Т-Т0=:£1тк1ь; (19)
к-о К. ь-о К. к_о к.!
напряжения, моментные напряжения и температура
«ММ = ¿¿¿^ , /,„(0,t) = ¿ifttk, 9 = £Vt", ' (22)
ык-о К! о К!
где nk, Ik, dk, fk, mk - известные функции координат х, ,х,. Для реализации численного эксперимента создан программный комплекс, позволяющий вычислять решения описанных задач. Численный анализ проведен для такого композиционного материала, как алюминиевая дробь в эпоксидной матрице,
, не2
цля которого термоупругие модули имеют вид: а =2.7-10 ——,
м
Нг- Н ! 3 ТГ
; = 52.9-10"5 Ус!" = 14.04-109 ~, Ус;21 = 38-Ю2 Н, Ус,5, = 104—,
М" ТгГ м" м ' м
С14" = 5.25-106 г0 = 10"" с, к0 = 237 —, С'" =-6.35-Ю3-^—, Т0=ЗООК; на
м-К 0 0 сК м К
ранице задана величина ударного теплового импульса в = т„ = 300 К. В этом
7 М2
;лучае скорости ударных волн составляют: GT = 12460027.960
с
З2 = 7202483.200-^-, G; = 5219047.780-^. Заметим, что для данных параметров
реды скорость квазипродольной волны оказывается меньше скорости [родольной волны в линейной теории упругости. На основе полученных езультатов построены графики зависимости напряжений, моментных
напряжений и температуры от координаты в фиксированный момент времениI- = (с,3(-С(|))т0(к0)-' = 0.15-10': <*'» Аз
0.15 0,183 0.23 •
где введены безразмерные величины х' = ^(-С'УгДк,,)"', ст,, = о-ц^'Т,)"1
Рз'з =/'зз(С4>ТоГ > в' -^(тоГ (с^ = (Д -<- 2м)Ро1)- Сплошной линией изображень кривые изменения силовых и тепловых характеристик среды Коссера пр] задании величины коэффициента тензора термомеханической связности С./' порядка 106 Н/(мК.), штриховая линия показывает зависимость искомы: величин при С4 порядка 103 Н/(мК). Оценено также влияние тензор механической связности и параметра тепловой релаксации на процес деформирования и указаны численные значения, при которых данны коэффициенты существенно влияют на решение. В частности показано, что пр: г0 —> 0 скорость квазитепловой волны неограниченно возрастает, а пр: увеличении г0 д6 значений 10"8с -10 6 с эта скорость уменьшается и взаимно расположение зон ударного нагружения (рис. 1) может измениться.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ
Исследование влияния структурных факторов на характеристик волновых процессов в линейных микрополярных термоупругих средах и анали различных подходов к построению динамических моделей моментных теори позволяет выбрать адекватное математическое представление для ряд композиционных, поликристаллических и других перспективны конструкционных материалов. В связи с этим в работе:
- предложена и обоснована динамическая модель термоупругого :онтинуума с микроструктурой, в которой учитываются эффекты тепловой и 1еханической связности, а также влияние инерции теплового потока;
- определены условия существования гармонических волн, волн :ильного и слабого разрывов, а также степень влияния структурных свойств :реды Коссера на характер поведения волновых фронтов;
- выявлены новые типы волн, не имеющие аналогов в классической •еории;
- исследованы особенности диспергирующих монохроматических волн в тизотропной среде Коссера, обладающей кубической симметрией, /становлены условия существования и сохранения продольных нормалей в ткрополярном кубическом кристалле;
- используя аналитический аппарат условий совместности к-го порядка, юлучены общие термодинамические уравнения высшего порядка для »пределения характеристик ударных волн, распространяющихся в [низотропной среде Коссера;
- методом лучевой асимптотики применительно к модели изотропной ермоупругой среды Коссера построено аналитическое решение краевых задач ■дарного нагружения полупрустранства. Найдены скорости ударных волн и гроведен численный эксперимент задачи о тепловом ударе применительно к :омпозиционному материалу, состоящему из алюминиевой дроби в эпоксидной 1атрице.
Основное содержание работы изложено в следующих публикациях: Баскаков В.А., Кончакова H.A., Россихин Ю.А. Нелинейные волны деформаций для модели связанной термоупругости с учетом конечной скорости распространения тепла // Тез. докл. Воронежской школы "Современные проблемы механики и математической физики"- Воронеж, 1994.-С. 13.
Баскаков В.А., Кончакова H.A. Определяющие соотношения лучевого метода для среды Коссера // Тез. докл. Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике "Механика-95" - Минск, 1995. -С.36-37. .
Баскаков В.А., Кончакова H.A. Приближенный метод определения термоупругих характеристик ударных волн в твердых телах II Тез. докл. Регионального межвуз, семинара "Процессы теплообмена в энергомашиностроении" - Воронеж, 1996. -С.10.
Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. Особые частоты плоских волн в несимметрично упругой среде //: Тез. докл. Регионального межвуз. семинара "Процессы теплообмена в энергомашиностроении" - Воронеж, 1996.-С.51.
Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. О характеристиках упругих волн в микрополярных анизотропных средах // Тез. докл. V междунар. конф.
женщин-математиков "Математика. Экономика." - Ростов-на-Дону, 1997. С.82.
6. Баскаков В.Л., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. О характеристиках упруп волн в микрополярных анизотропных средах // Труды V международн. кон женщин-математиков "Математика. Экономика." Том 5. Выпуск 1 / Спе вып. журн. "Известия высших учебных заведений. Радиофизика Н.Новгород: НИРФИ, 1998. - 96-101с.
7. Кончакова H.A. Высокочастотные колебания и волны в несимметричж термоупругой среде // Тез. докл. VII Четаевской конференщ "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением " Казань, 1997.-С. 145.
8. Кончакова H.A. О распространении плоских волн в несимметричж упругой среде // Труды Международн. конф. "Промышленное стройматериалов и стройиндустрия, энерго- и ресурсосбережение в услови: рыночных отношений" Том 4,- Белгород, 1997,- 42-45с.
9. Баскаков В.А., Кончакова H.A. Сильные разрывы и ударные волны несимметричной термоупругой среде // Теплоэнергетика. Межвуз. сб. науч трудов. - Воронеж, 1997. - 22-30с.
10. Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. О свойствах упругих волн микроструктурных анизотропных средах // Деп. в ВИНИТИ 1998, N 18 В98.
11. Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. О нелинейных уравнени: динамики термоупругих микрополярных сред // Деп. в ВИНИТИ 1998, 185-В98.
12. Баскаков В.А., Кончакова H.A. К теории разрывных решений динамических процессах деформирования моментно-полярнь термоупругих сред // Тез. докл. V Международн. конф. "Математик Компьютер. Образование." - Дубна, 1998.-С.20.
13. Баскаков В.А., Кончакова H.A. Применение лучевого метода к задачг ударно-волнового деформирования структурно-полярных сред // Тез. док Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикладш математики" - Воронеж, 1998. - С.38.
14. Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A., Легеня Ю.Б. Динами разрывных волн в моментно-полярных термоупругих средах // Тез. док Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикладш математики" - Воронеж, 1998. — С.37.
15.Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. О некоторых свойств, сингулярных поверхностей слабых разрывов в динамике термоупруп микроструктурных сред // сб. "Современные методы статического динамического расчета сооружений и конструкций" изд-во ВГАСА, вып. Воронеж, 1998.-С. i 32-13 8.
Заказ № 55£ отfMf 1S98 г. Тир 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ
Воронежский государственный технический университет
На правах рукописи
КОНЧАКОВА НАТАЛИЯ АЛЕКСАНДРОВНА
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЕРМОУПРУГОЙ СРЕДЕ КОССЕРА
Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Владимир Александрович
Научный консультант -кандидат физико-математических наук, доцент
Бестужева Наталья Петровна
Воронеж - 1998
Содержание
Ведение_
Глава I. Модели структурно-полярных сред
1. Принцип Гамильтона-Остроградского и уравнения Лагранжа в механике деформируемых структурных сред_19
2. Определяющие соотношения термодинамики структурно-полярных сред _24
3. Уравнения движения структурно-полярных термоупругих сред первого порядка_32
4. Упругие модули_37
Глава II. Волновые поверхности, различные виды уравнений
1. Сильные разрывы, ударные волны_44
2. Поверхности слабого разрыва_49
3. Монохроматические плоские волны _52
4. О соответствии структуры уравнений _55
Глава III. Особенности распространения плоских упругих волн в твердых телах с микроструктурой
1. Особые частоты гармонических волн в микрополярных средах первого порядка_58
2. Критические частоты гармонических волн в анизотропных средах с кубической симметрией_69
3. Продольные нормали плоских волн в анизотропной среде Коссера с кубической симметрией_74
Глава IV. Лучевой метод исследования ударных волн в термоупругой среде
Коссера
1. Лучевые ряды, определяющие уравнения высшего порядка_78
2. Скорости распространения ударных волн,
коэффициенты лучевых рядов_
3. Термомеханический удар по полупространству_83
3.1 Задача для скоростей
3.1.1 Постановка краевой задачи и метод решения_96
3.1.2 Дополнительные предположения _107
3.1.3 Некоторые частные граничные задачи_115
3.2 Задача для напряжений
3.2.1 Постановка задачи _120
3.2.2 Ограничения на фронтах ударных волн_127
3.2.3 Частные примеры решения краевых задач для напряжений_140
Заключение_151
Приложение_152
Литература__160
Введение
В 1909 Е. СоББега!, Б. Сенега! [1] впервые представили вариант теории упругости, учитывающей влияние микроструктуры на процесс деформирования среды. Это было обусловлено необходимостью внести коррективы в классическую механику континуума, которая в ряде случаев принципиально не в состоянии описать некоторые явления, связанные с дискретным строением вещества. К примеру, классической теорией не объясняется наблюдаемый экспериментально процесс дисперсии продольных, сдвиговых и поверхностных волн в композитах, содержащих макромолекулы, волокна и зерна, в поликристаллических и аморфных материалах. Описанные эффекты наиболее заметны при решении прикладных задач, имеющих дело с распространением волн с большими частотами или малыми длинами волн. Другой пример [2] - аномальное поведение крови, протекающей через капилляры, диаметры которых сравнимы с размерами диспергированных микроэлементов среды (кровяных шариков). В этом случае свойства течения отличаются от тех, которые характерны для больших сосудов. Подобные факты имеют место, поскольку любой реальный материал обладает некоторой дискретной зернистой и волокнистой структурами различных форм и размеров. Если изучаемое физическое явление включает определенную характерную длину (например, длина волны или величина микротрещины), сравнимую с размером зерна в теле, необходимо принимать во внимание микроструктуру материала. Дополнительно к сказанному -существует обширный класс материалов, в которых микроматериальные элементы представляют собой гантелевидные молекулы, собственные колебания и вращение которых вносят существенный вклад в общий процесс деформирования среды. К данной категории относятся материалы, состоящие из жестких нитей или вытянутых зерен. Удлиненные молекулярные элементы содержат, например, полимерные композиты, стекла, керамики, отдельные виды полупроводников и аморфных тел, древесина, некоторые горные породы и минералы; среди жидкостей такой структурой обладает кровь, молекулы которой имеют гантелевидную форму. Для таких сред вопросы образования и эволюции микротрещин, микроразрушения и закономерности динамического поведения основных характеристик всего материала следует рассматривать в рамках теории микроконтинуума, основанной на введении в рассмотрение моментных напряжений.
Известно [2,3], что идеи, приводящие к моментной теории упругости, высказывались и до Коссера в работах Мак-Куллага [4] в связи с исследованиями по оптике, а также в работах Кельвина [5] и Пуассона [6] в связи с попытками построения механических моделей "квазижесткого" эфира и с исследованием структуры анизотропных упругих тел. На существование моментных напряжений еще в 1839 году было указано Фойхтом [7,8] при построении его теории, в которой были получены статические уравнения моментной теории упругости.
Вопрос учета зависимости энергии деформации от высших градиентов перемещений поднимался в работах Леру [9] и получил свое разрешение при введение в рассмотрение понятия моментных напряжений.
Однако, после Коссера, в течение почти полувека теория моментных напряжений оставалась практически незамеченной и лишь во второй половине 20-го века в связи с развитием континуальной теории дислокаций [10], теории пластин и оболочек и так далее появилась необходимость пересмотра основных, исходных для механики, фундаментальных представлений и понятий, относящихся к силовым и кинематическим характеристикам, параметрам состояния среды и к структуре исходного континуума. На теорию Коссера было вновь обращено внимание [11-13] и она получила бурное развитие.
Большую роль в развитии моментных теорий сыграли работы Миндлина [15-17] и Койтера [18], где в рамках линейной теории рассмотрены некоторые эффекты, связанные с учетом моментных напряжений, дано решение задач о распространении волн, вибрациях, концентрации напряжений и центров деформации в идеально упругих изотропных материалах с центральной симметрией. Обратив особое внимание на тот факт, что действительная прочность некоторых материалов зависит от градиента деформаций, а хрупкое разрушение и начало пластической деформации при наличии концентрации напряжений происходят при нагрузках, больших, чем вычисленные при помощи коэффициента концентрации согласно классической теории упругости, Миндлин [16], опираясь на [1], построил теорию определения напряжений, где учитывается влияние градиентов деформаций и вводятся дополнительные силовые характеристики, зависящие от градиентов деформаций. Такими новыми силовыми характеристиками напряженного состояния являются моментные напряжения. При этом каждая точка рассматриваемого континуума представляет собой деформируемую среду. Основные уравнения моментной теории были получены Тру с делом и Тупиным [13]. Миндлин [16] и Тупин [19] рассмотрели специальный континуум Коссера и сформулировали теорию неопределенных моментных напряжений. Тупиным [20] и Триоли [14] были получены определяющие уравнения для конечных деформаций идеально упругих материалов - в равной мере корректные, однако имеющие различную форму. В линеаризированном виде эти уравнения совпадают с уравнениями, полученными Раджагопалом [21] и Аэро и Кувшинским [22].
В серии публикаций [22-24] с целью объяснения некоторых аномалий динамической упругости пластиков авторы развивают феноменологическую теорию упругости сплошной среды, учитывающую вращательное взаимодействие частиц, которую называют континуальной теорией асимметрической упругости. Исходным постулатом этой теории является предположение, что частицы вещества не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами. В этом случае действие одной частицы на другую определяется целой системой сил и моментов. Особо следует от-
метить, что поле перемещений и поле микровращений, возникающие в результате взаимодействия частиц, считаются независимыми. Таким образом, при описании напряженного состояния рассматриваемой среды, наряду с тензором напряжений вводится тензор микромоментов. В работе [23] установлен вид упругого потенциала, получены обобщенные законы Гука и показана связь рассматриваемой теории с 45-константной теорией Лаваля-Ле Корра [25,26]. В случае изотропной среды получено решение уравнения равновесия, приведены различные типы граничных условий, исследованы условия минимума упругого потенциала, накладывающие определенные ограничения на характер решений [24].
Дальнейшее развитие моментная теория упругости получила в работах Эрингена [2, 27-28]. Для различных типов микрополярных упругих материалов получены уравнения совместности микрополярных деформаций, постулируются основные законы движения: сохранения массы, баланса количества движения, баланса момента количества движения, сохранения энергии и приведены их локальные выражения [2]. Основной вклад этих работ состоит в том, что не только находятся определяющие соотношения линейной теории микрополярной упругости, даются основные уравнения поля, начальные граничные условия, но и для наглядной демонстрации новых физических явлений, характерных для моментной теории, решается несколько статических и динамических задач. Эринген распространил теорию микрополярной упругости на класс микрополярных жидкостей, к которым относятся жидкий кристалл, полимерные жидкости, содержащие определенные добавки, кровь животных и доказал несколько теорем единственности [27,28].
Независимо от Эрингена для объяснения закономерностей распространения коротких акустических волн в кристаллах, поликристаллических материалах и высоких полимерах Пальмовым [29] была предложена теория упругости, учитывающая дискретный характер структуры вещества, состоящего из отдельных частиц, связанных силами взаимодействия. Напряженное состояние в каждой точке рассматриваемой среды, в отличии от классической теории [31], характеризуется диадой напряжений и диадой моментных напряжений. Это положение позволяет построить математическую модель несимметричной упругости и лежит в основе последующих исследований автора. Для модели изотропной упругой среды рассмотрен процесс распространения плоских монохроматических волн и показано, что в отличии от классической теории упругости [32], наряду с известными распространяются новые типы волн - "бегущие волны вращения" и "бегущая волна искажения" - фазовые скорости которых зависят от частоты. В [30] рассмотрено упругое тело в условиях плоской деформации согласно несимметричной теории упругости. Выписаны условия совместности деформаций и предложено решение задачи о концентрации напряжений вблизи кругового отверстия в поле простого растяжения.
Изучая модели сред с микроструктурой, которые характеризуются наличием элементарной единицы длины (масштабного параметра), Кунин [33-36] предложил ввести понятие сред с пространственной дисперсией, которую, в свою очередь, разделил на среды простой и сложной структуры. В первом случае единственной кинематической переменной является вектор смещения, а силовой переменной плотность объемных сил [36]. Для описания среды сложной структуры дополнительно вводится набор микродеформаций и силовых микромоментов. Модель среды со слабой пространственной дисперсией при некоторых дополнительных ограничениях [35] соответствует так называемой моментной теории упругости со стесненным вращением [15,19].
В области исследования поведения упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением частиц большой вклад внесли работы [37,38], где рассмотрен нелинейный бесконечный материал в условиях гидростатического и одноосного сжатия. Показано, что в случае плоской волны скорость звука зависит от давления, как и в нелинейной упругой модели [39,40], а учет несимметричности тензора напряжений (учет моментных напряжений) приводит к появлению зависимости скорости поперечных волн от частоты. Получены новые упругие постоянные, имеющие размерность длины и определяющие различия между теорией упругого континуума Коссера и классической теорией упругости.
Некоторые задачи деформирования нелинейной упругой среды Коссера со стесненным вращением приведены в [41]. Решена задача об устойчивости сжатой между двумя жесткими плитами упругой полосы из изотропного материала Коссера. Приведен характеристический определитель, из которого было найдено критическое значение внешней нагрузки. Рассмотрена также задача о поверхностной неустойчивости полуплоскости со свободной от напряжений плоской границей.
Элементы теорий моментных напряжений можно найти в работах по нелокальной теории упругости, где из соображения присутствия характерного размера в материале предлагается описывать микронеоднородную среду как моментную [42,43]. Следует заметить, что эффекты микронеоднородности изучаются и в рамках статистического подхода к решению задач механики твердых деформируемых тел [44]. Здесь также прослеживается связь с моментной теорией упругости [45].
Ряд экспериментальных работ по изучению акустических свойств композиционных и слоистых материалов [46-51] обусловил повышенный интерес исследователей к процессу распространения волн в микрополярных средах, как изотропных, так и имеющих слабую анизотропию [52-55]. Вопросам волновой динамики посвящены работы [56,57]. Подробно теория упругости анизотропных тел представлена в монографии [58], теория упругих волн в кристаллах - в [59]. Попытка наиболее обобщенного изложения теории упругости Коссера была предложена Новацким [60].
Особый интерес для исследования представляют нелинейные среды [61,62] и закономерности распространения волн в них [63,64]. Нелинейные волновые процессы в рамках модели континуума Коссера исследовались в работах [65-76]. В частности, некоторые особенности распространения плоских периодических волн рассмотрены в [65]; нелинейным динамическим задачам в поликристаллах и композиционных материалах уделено внимание в [66]. Вопросы резонансного взаимодействия квазигармонических волн поднимались в [67,68], исследовались трехволновые резонансные взаимодействия квазигармонических продольных волн и волн вращения. В [75] приведены соотношения между характерными скоростями различных типов упругих волн для частного композита (алюминиевая дробь в эпоксидной матрице) и показано, что для различных материалов эти соотношения могут быть различными. Подробно описан эффект распадной неустойчивости, который может быть положен в основу метода измерения модулей упругости материалов. Отмечено, что продольные волны и волны сдвига-вращения связаны между собой за счет квадратичной нелинейности, причем рассматриваемая нелинейность такова, что энергетически реализуемыми могут быть лишь тройки волн, две из которых являются волнами сдвига-вращения и одна - продольной волной [73]. Для материалов, в которых волны сдвига-вращения распространяются быстрее, чем продольные волны, могут реализовываться четыре качественно различных типа трехволно-вых резонансных взаимодействий.
В [68] был выделен и исследован новый класс волновых движений - спиральные сдвиговые волны, рассмотрено их нелинейное взаимодействие с продольными волнами и показано, что в упругих средах с моментными напряжениями должна наблюдаться модуляционная неустойчивость таких волн, приводящая к формированию нелинейных волн огибающих.
Акцент на поведение нелинейных стационарных плоских волн и квазиплоских волновых пучков в нелинейно-упругих средах с микроструктурой делался в [69]. Выявлены отличия этих типов волн от стационарных волн в стержнях и пластинах, где дисперсия обусловлена геометрией тела. В частности показано, что в континууме Коссера могут существовать связанные продольно-спиновые волны. Подобный эффект может быть обнаружен на магни-тоупругих волнах в ферромагнетиках, если учесть связь между магнитным моментом атомов и механическим моментом количества движения микрочасктиц среды [71].
Распространение плоских сдвиговых волн в изотропном нелинейно-упругом теле рассмотрено в [70], где для систем с кубической нелинейностью определено изменение ширины спектра шумовой сдвиговой волны и получено выражение, позволяющее решить обратную задачу - по изменению ширины спектра шумовой сдвиговой волны вычислить коэффициент кубической нелинейности материала.
В [72] были получены соотношения для плотностей потоков энергии и волнового импульса в среде с моментными напряжениями, которые в случае плоской деформации совпадают с аналогичными выражениями для изгибных колебаний тонких пластин [77].
В [74] исследовались некоторые особенности динамического
