Решение пространственных задач моментной теории упругости методами многомерного комплексного анализа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Краткий исторический обзор применения теории функций нескольких комплексных переменных и моментной теории упругости.

Глава 2. Алгебраический анализ голоморфного разложения решений комплексифицированных систем линейных дифференциальных уравнений математической физики и теории упругости.

2.1. Классификация комплексифицированных уравнений первого порядка.

2.2. Классификация комплексифицированных уравнений второго порядка.

2.3. Классификация комплексифицированных уравнений n-ого порядка.

2.4. Пример плоской задачи теории упругости.

2.5. Классификация комплексифицированных уравнений первого порядка двух функций двух переменных.

2.6. Классификация комплексифицированных уравнений второго порядка двух функций двух переменных.

2.7. Пример классификации комплексифицированных уравнений Ламе трехмерной теории упругости.

Глава 3. Решения пространственных статических задач теории упругости

Коссера методами многомерного комплексного анализа.

3.1. Комплексификация уравнений трехмерной теории упругости Коссера.

3.2. Получение общего решения комплексифицированных уравнений теории упругости Коссера по степенным функциям.

Глава 4. Примеры, иллюстрирующие применение построенного алгоритма.

4.1. Получение системы частных решений уравнений трехмерной теории упругости Коссера.

4.2. Задача о растяжении конечного цилиндра.

4.3. Задача о кручении конечного цилиндра.

4.4. Задача о растяжении конечного цилиндра с симметричным боковым вырезом.

4.5. Задача о растяжении конечного цилиндра с боковым шаровым вырезом.

Решение плоских задач математической физики с помощью теории функции комплексных переменных известны уже достаточно давно. В последнее время методы комплексного анализа были распространены и на трехмерные задачи классической теории упругости.

В основе использования теории функций двух и более комплексных переменных лежит идея поиска решения в форме голоморфного разложения искомых функций комплексифицированных уравнений математической физики подсказанная известным решением Колосова - Мусхелишвили для плоских задач теории упругости. Переход к трехмерным задачам, как правило, приводит к тому, что голоморфное разложение решения принимает в отличие от трехчленной формулы Колосова - Мусхелишвили форму бесконечного ряда, слагаемые которого выражаются через конечное число голоморфных функций.

В данной работе проведен алгебраический анализ конечности степенного голоморфного разложения для решений комплексифицированных систем линейных дифференциальных уравнений математической физики в частности теории упругости.

Основное внимание в работе уделяется моментной теории упругости или теории упругости Коссера, для которой голоморфное разложение - аналог формул Колосова - Мусхелишвили, бесконечно.

С помощью теории функции двух комплексных переменных получено общее решение трехмерных задач теории упругости Коссера. Возможность применения теории функции двух комплексных переменных к исследованию таких задач основывается на рассмотрении трехмерных тел, как сечений четырехмерных тел гиперплоскостью, что позволяет ввести двухмерную комплексную структуру в пространстве четырех действительных переменных и искать решение уравнений в виде голоморфных разложений, получая систему зацепляющихся дифференциальных уравнений. Получаемая система уравнений имеет общее решение, выражаемое через конечное число голоморфных функций двух комплексных переменных.

В первой главе диссертации проведен краткий исторический обзор применения теории функций нескольких комплексных переменных и моментной теории упругости.

Во второй главе проведен алгебраический анализ конечности голоморфного разложения решений комплексифицированных систем линейных дифференциальных уравнений математической физики. Рассмотрены, как уравнения относительно комплекснозначных функции одной комплексной переменной, так и систем двух таких функций двух комплексных переменных.

В третьей главе рассмотрена постановка трехмерных задач и комплексификация уравнений статической теории упругости Коссера. Получено общее решение комплексифицированных уравнений статической теории упругости Коссера с помощью голоморфного разложения искомых функций по степенным функциям.

В четвертой главе рассмотрен ряд примеров иллюстрирующих применение построенного алгоритма для получения системы частных решений моментной теории упругости для трехмерных тел, у которых соответствующая четырехмерная область имеет оболочку голоморфности в форме бикруга. Построены приближенные решения задачи о растяжении конечного цилиндра, задачи о кручении конечного цилиндра, задачи о растяжении конечного цилиндра с симметричным боковым вырезом, задачи о растяжении конечного цилиндра с боковым шаровым вырезом. Проведена оценка точности построенных решений. Проведен сравнительный анализ решений краевых задач моментной теории упругости и решений аналогичных краевых задач классической теории упругости.

Заключение.

1. Проведен алгебраический анализ конечности голоморфного разложения решений комплексифицированных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами математической физики. Рассмотрены уравнения относительно комплекснозначных функции одной комплексной переменной, систем двух комплекснозначных функций двух комплексных переменных. Показано, что разложение решения уравнений Ламе для плоских задач теории упругости имеет три слагаемых, что в точности совпадает с результатом, полученным Колосовым [1] и Мусхелишвили [2], разложение решения уравнений Ламе пространственных задач теории упругости имеет бесконечное число слагаемых.

2. Проведена комплексификация уравнений трехмерной статической теории упругости Коссера. Получено решение этих уравнений в виде голоморфных приближений. Получена бесконечная система зацепляющихся дифференциальных уравнений относительно голоморфных функций, входящих в голоморфное приближение. Показано, что система уравнений моментной теории упругости имеет общее решение, выражаемое через шесть голоморфных функций двух комплексных переменных.

3. Получена система частных решений моментной теории упругости для трехмерных тел, у которых соответствующая четырехмерная область имеет оболочку голоморфности в форме бикруга.

4. Построены приближенные решения задачи о растяжении конечного цилиндра, задачи о кручении конечного цилиндра, задачи о растяжении конечного цилиндра с симметричным боковым вырезом, задачи о растяжении конечного цилиндра с боковым шаровым вырезом. Проведена оценка точности построенных решений. Проведен сравнительный анализ решений краевых задач моментной теории упругости и решений аналогичных краевых задач классической теории упругости. Показано, что концентрация напряжений в решении задачи с симметричным боковым торообразным вырезом в среде Коссера меньше концентрации напряжений в классической среде. Концентрация напряжений в решении задачи о растяжении конечного цилиндра с боковым шаровым вырезом в среде Коссера больше концентрации напряжений в классической среде. Т.е. концентрация напряжений зависит от формы бокового выреза цилиндра.

1. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. M.-J1. ОНТИ, 1935.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М: Наука, 1966.

3. Мусхелишвили Н.И. Приложение теории функции комплексного переменного в теории упругости. // Сб. «Приложения теории функций в механике сплошной среды». Труды Международного симпозиума в Тбилиси, 1963. М: Наука, 1965, 32-55.

4. Векуа И.Н., Мусхелишвили Н.И. Методы аналитических функций в теории упругости. Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. 1960 (обзорные доклады). Изд-во РАН СССР. Москва, 1962, 310-338.

5. Александров А.Я., Соловьев Ю.И., Пространственные задачи теории упругости. М: Наука, 1978.

6. Александрович А.И. Применение теории функции двух комплексных переменных к теории упругости. //ДАН, 1977, Т.232, №3.

7. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных к решению пространственных задач теории упругости. Известия АН СССР, МТТ, 1977, №2.

8. Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф., Решение уравнений трехмерной теории упругости методами комплексного анализа // Препринт ВЦ РАН. 1998.22 стр.

9. Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф., Построение систем частных неполиномиальных решений трехмерной задачи теории упругости методами комплексного анализа. // Тезисы докладов 12-ой Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, 1999. С. 67.

10. Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф., Построение приближенных решений краевых задач теории упругости методом аналитических элементов. // Журнал "Математическое Моделирование", том 13, №4, 2001 г. С. 109-116.

11. Семов A.M. Исследование задач теории упругости и термоупругости методами многомерного комплексного анализа. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1980.

12. Н.Александрович А.И., Семов A.M. Применение теории функций двух комплексных переменных к решению некоторых краевых задач пространственной теории упругости. //Сборник. Избранные вопросы, М: Изд-во МОИП, 1979.

13. Родионов А.Ю. Исследование задач теории упругости и термоупругости методами многомерного комплексного анализа. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, 1988.

14. Александрович А.И., Родионов А.Ю. Исследование анизотропных и термоупругих задач методами комплексного анализа. //Сборник. Вопросы механики твердого и деформируемого тела, М: Изд-во МОИП, 1987.

15. Voigt W. Theoretische studien uber die Elasticitatsverhalnisse der Kristalle. Abh. Der Konigl. Ges. Wiss., Gottinden. 34. 1887.

16. Cosserat E., Cosserat F. Sur les equation de la theorie de elasticite. C. R. Acad. Sci., Paris 126, 1898, 1129-1132.

17. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Herman, Paris, 1909.

18. Аэро Э. JI., Кувшинский E. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц. Физика твердого тела 2, №7, 1960, 1399-1409.

19. Аэро Э. JL, Кувшинский Е. В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела. Физика твердого тела 6, № 9, 1964, 2689-2699.

20. Кувшинский Е. В., Аэро Э. Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет «внутреннего» вращения. Физика твердого тела 5, № 9 (1963), 2591-2598.

21. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости. ПММ28, №3, 1964, 401-408.

22. Новацкий В. В. Теория упругости. М: Мир, 1975.

23. Grioli G. Mathematical theory of elastic equilibrium. Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidenberg, 1962.

24. Койтер B.T. Моментные напряжения в теории упругости. Механика, сб. перев., 3 (91), 1965,89-112.

25. Teodorescu P.P. Probleme spatiale in teoria elasticitatii. Edit. Academiei, Bucuresti, 1970.

26. Teodorescu P.P. Dinamica corpurilor liniar elastice. Edit. Academiei, Bucuresti, 1972.

27. Кунин И.А. Теория упругой среды с микроструктурой. //Сб. «Прочность и пластичность», М: Наука, 1971, 65-70.

28. Напетваридзе О.И. О граничных задачах моментной теории упругости // Аннотации докладов Семин. Института прикладной математики Тбилисского университета, № 5. 1971. С. 53-67.

29. ЗЗ.Чичинадзе Р.К. Теоремы единственности упруго-динамического состояния моментной теории. // Аннотации докладов семинаров Института прикладной математики Тбилисского университета, № 5, 1971, С. 47-52.

30. Башелейшвили М.О., Гегелиа Т.Г., Маисаиа О.И. Некоторые граничные задачи моментной теории упругости. // Аннотации докладов семинаров Института прикладной математики Тбилисского университета, № 2, 1970, С. 43-47.

31. Lakes R. S. Cosserat micromechanics of structured media experimental methods. //Third technical conference. Integrated composites technology. September 25-29, p. 505-516, 1988.

32. Anderson W. В., Lakes R. S. Size effects due to Cosserat elasticity and surface damage in closed-cell polymethacrylimide foam, Journal of Materials Science, 29, p. 6413-6419, 1994.

33. Lakes, R. S., Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua, in Continuum models for materials with micro-structure, ed. H. Mtihlhaus, J. Wiley, N. Y. Ch. 1, p. 1-22, 1995.

34. Михайлов Д. Н. Теоретические модели нелинейных волновых процессов в геофизических средах. //Автореферат на соискание ученой степени кандидата технических наук, Москва.

35. Илюшин А.А. Несимметрия тензоров деформаций и напряжений в механике сплошной среды. // Вестник Московского университета. Серия математика, механика. № 5. 1996.

36. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитического решения некоторой двумерной задачи несимметричной теории упругости // Вестник ПГТУ. Вычислительная математика и механика. Пермь: ПГТУ,2000. № 1.С. 55-60.

37. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Известия РАН, Механика твердого тела. М: Наука, 2001.

38. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // ПМТФ.- Новосибирск, 2001. Т.42. № 4. С. 145-154.

39. Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера // Вестник ПГТУ. Математической моделирование. Пермь: ПГТУ,2001. №9. С. 187-201.

40. Корепанов В.В. Конечноэлементарная реализация двумерных задач нессиметричной теории упругости // Тезисы докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 354.

41. Кулеш М. А. Построение и анализ аналитических решений некоторых двумерных статических задач несимметричной теории упругости. Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Пермь.

42. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М: Наука, 1976.

43. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. Часть 1. М: Наука, 1976.57.1Иабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. Часть 2. М: Наука, 1976.