Применение метода Фурье для решения граничных задач моментной теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ. УНИВЕРСИТЕТ им. И.А.ДОВАШПВШШ .

На правах рукописи

^ ' - ' :'-"-.

* \ . МЯДАДВЗ РЕВАЗ ВАРДАМОВЙЧ

^ . ^ УДС 532.538

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА «УРЬЕ ДНЯ РНПЕНШ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ИОШЯТНОЙ ТВОРИИ УПРЛХХЛЯ

Специальность 01,01.03 - математическая физика

Автореферат

диссертации не созсгание ученой степени кандидата физано-иатематяческих науя

Тбилиси-1991

■ Работ выполнена й Институте правдаой математики иыснк И.Н.Взкус Тбилисского государственного университета.

Научные руководители: доктор физиж-ма.-статических наук, профессор Б/ШЯЙШКиШ М.О., - ■ • кандидат физик--—уатеиатических паук,

' 4 - доцент ШОРШЗЙЙИ Л.Г.

Сфярташше спнонеятк: доктор фкашьттекатиче'скю^иэук, профессор ДОБОРА? ЩЗЕ Л.Г.: кандидат физико-математических йаук. доцент ЧШЖАДЗЕ-Р.К..

Ведущая организация - Киевский государственный университет.

Защита состоится " {$ " £1с(¿■■Ас/?*1991 г, в " /С " часов на раседашш специализированного совета К 057.03.01 по при-сузденпю ученой степени кандидата физико-математических наук в Тбилисском государственном университете им. И.Дкавахишвили -(3800-13, Тбилиси, ул. Университетская, 2, Т1У).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Т1У. Автореферат разослан "/?""" /г&С^'^/'Л' 1991 г.

Ученей секретарь и:анализированного совета кандидат физ.-шт.' неук. ; / ШАРГОРОДСКИЛ Е.М.

-.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Общая теория, несишет'рйчшй ¿упругости была разработана братьями Коссера в 1909 г. В механике сплошной сре-| да материальная частица отождествляется с точкой,' а- деформированное состояние описывается перемещением точки. В отличие от этой модели братья Коссера ставят в соответствие каждой частице дефорг мировалной среды ортогональный 'треугольник. Таким <?бразом частйщ получают ориентирование. Каждая частица среды Коссера является малым абсолютно твёрдым телом. Деформация такой среды описывается не только вектором перемещения Ц, , но и вектором ^вращения Ы.

Теория несимметричной упругости достаточно хброшо развита. Предложено несколько общих теорем,-методов интегрирования и дано, решение ряда задач'. Миндлин- и.Тирстен обобщили представление Поп-ковича-Нейбера для статических задач, а .также получили фундаыен- • тальные решенщпв"'бесконечном упругом пространстве. Линейной теории среды Коссера посвятили интересные' работы также Трусделл и Тулин, Кувшине кий и Аэро, Пальмов, Эринген и Сухубя п др.' '. _

Некоторые авторы развивали упрощенного теорию среда Коссера, теорию так называемого псевдоконтинуума Коссера,"в которой предполагается- зависимость вектора вращения от ротора перемещения ' СЗ подобно тому, как это шеот место в классической

теории упругости. В этом направлении особое внимание-¡заслуживают работы Гриолп, Миндашна и Тирстена.

Один из методов исследования, пространственных задач теории упругости основывается на представлении решений однородных уравнений равновесия в перемещениях с помощью гармонических и бигармони-ческих .функций.Такие решения были предложены Кельвином и Тайт'ом, Буссинеском.Общее решение уравнений равновесия изотропного тела, содержащее три бигармоническиз скалярные функции,принадлежит

1<г-"

Б.Г.Галерклну.Аналогичные представления были получены Попковичем и. Нейбером. . • ■

'Общее лредставление решений однородных уравнений статики и установившихся колебаний моментной теории упругости различными форма!,1ш были получены Э.Л.Лэро и Е.В.Кувшинским,-Д.Г.Натрошвшш, А.Я.Дкагмаидзе и М.Н.Сванадзе. Иные представления получены в предложенной работе /см. формулы (13), (14)/. Эти представления дают возможность решать в элементарных функциях граничные задали для тел, ограниченны^ сферическими поверхностями.- При решении этих задач главной трудностью является удовлетворение граничных условий. Метод удовлетворения граничных условий, который заимствован из работ А.Ф.Улитко, заключается в построении на граничной поверхности тел собственных функций векторной структуры. •

Общее представление решения уравнений равновесия дает возможность доказать более простыл путем теоремы единственности решения для,внешних граничных задач установившихся колебаний моментной теории упругости.

Цель работы. Целью настоящей работы является применение указанных выше представлений (формулы (13), (14)) для исследования напряженного состояния упругих микрополярных-материалов, ограниченных сферическими поверхностями.

Научная"новизна. В диссертации разработан аналитический метод решения гранотных задач для однородной и кусочно-однородной упругой среды, ограниченной сферическими поверхйостями. Построены формулы общих представлений решений однородных систем статики и установившихся колебаний моментной теории упругости. С помощью этих представлений решения рассматриваемых е диссертации граничных задач получены в виде абсолютно и равномерно' сходящихся ря-дор. Дано новое доказательство теоремы единственно'сти граничных рпгпч уг?знор:зшихея колебаний моментной теории упругости.

Достоверность научных результатов, полученных в работе, оп- . ределяется использованием физически обоснованной модели деформи- . рования упругих тел п применением к решению всех рассматриваемых задач строгих математических методов. .

Полученные в работе результаты могут быть использованы в задачах геодезии, горной механики,- в машиностроении и других областях техишш. Методы и способы решения граничных" задач^ приведенные в диссертационной работе,' мояно эффективно использовать и дня решения подобных услолненных задач математической физики и механики, в этом и состоит практическая ценность диссертации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на' семинарах Института прикладной математики ил. акад. И.Ц.Векуа при • Тбилисском государственном университета, на.семинарах отдела теории упругости ИПГЛ Т1У, на Всесоюзном семинаре (г. Тбилиси, 1984 г.),

на расширенных заседаниях семинаров ИШ ТГУ в 1986. и 1991. гг.

Структура и объем работы. Диссертация состоит, из введения, .. ...

' ' - ■ ■ - ' ' 1 . ■ четырех глав и списка литературы. Работа, содержит Ц4 страниц машинописного текста. . '

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

. Во введении даны краткие исторические сведения.

В первой главе приведены некоторые вспомогательные формулы и теоремы из моментной теории упругости, ставятся граничные задачи

статики в установившихся колебаний для шара и.пространства с шаро-.вым отверстием и для кусочно-однородных тел, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.

Уравнение статики моментйой теории упругости при отсутствии объемных сил и объемного момента имеет вид:

а уравнение Колебания имеет вид

гДОх№+ еари = о,

о

(2)

где ¿ТГ.СО} - шестикомпонентный вектор, вектор

смещения, И = (Щ&х,^') - вектор вращения, & ^ частота колебаний, р - диагональная матрица размера бхб

Р =

ехе

О.

причем р.. = 1 щг иЫЯ.Ъ

и, г=¿=4,5.6,

О - момент инерции, ? - плотность среды,

Л (эх)

Л (вх) Л (Эх)

лЪх) Л"Ъх)

„ск) _ ей

зхз

..-и).

Л^Ш = А + (Х+(и.-сс)

(2) 3

= ЛцСЭп) еЬк ,

К=г I О&к

а)

Л - (Зх) = $„[(тгфА-4сс]+(е+тг-р) <£!__ .

Здесь 4 . - оператор Лапласа, 6 - упругие

постоянные, характеризующие физические свойства, упругого тела, - символ Яронекера, 6символ Леви-Чиви^а.

Обозначил Ч'ерез ■ {хбЕ¡Х1<Л} шар, ограниченный сферической поверхностью! 5>,а й>~ =•

В диссертации рассматриваются' следующие задачи^ ,

Найти в области регулярное решение уравнения

(I), удовлетворяющее на поверхности В одному из следующих усло-т вий:

иг {ЪСг)}*; (з)

(шг . .'.. ' .

(1УГ

' . ' ' (6)

;; - __:

тде^ 12(2.) " - орт нормали ¿) внешней по отношению к /(2)= (А2) ' /= ($*> • К- = 1'2 - шестикомЬонентный

вектор,/^?) и у^(3) - скалярные функции, а ^ (?) и £ (г) ■* трехкомпонентные векторы, которые удовлетворяют условиям (л-/к) =0 у К =3/4. £\]п - означает проекцию наЛ вектора, заключенного в скобки. - вектор напряжения, вектор НЖ имеет вид:

Л(ехМзд) 2%)== •

Граничные задачи установившихся колебаний моментной теории упругости для области ^ сформулированы следующим образом: найти в области регулярное решение системы (2), удовлетворяющее на границе Б одному из условий (3)-(6).

6" в

Задачи колебаний обозначены соответственно, через (1)~, (П) , (ШГ и (1УГ. ■ ■ • ■

Теперь сформулируем граничные задачи статики и установившихся колебаний моментной теории упругости для кусочно-однородных сред,.

тдача А. Обозначим через £>„ сферу с радиусом и центром в начале координат, т.е. €]£г: 1&/Пусть

(яеЯ3--Ш<Я0}, {хсЕ3:Ш>Т?0]. Найти в области йу _____;региЕппое решение__ системы

(61- 1С+ г&;Т01 0.

(р;+Ли -

удовйетворяющее на контактной поверхности В0 условиям

Задача В. Обозначим через ¿0 и сферы с радиусами соответственно Л0 и С^д^хУ и с ЦентР°м в начале координат. Пусть = 1х1<-яв}, 9)х= {хе£3:110<\х\<Кл] .

Найти в области 0=0,1) регулярное решение 11 (я) системы (7), удовлетворяющее на контактной поверхности £0 условиям (8), а на границе одному из следующих условий:

(9)

Вя: (Ю)

¿нЪг.п®) {яЪыШи%Т=Т3Сгхт (9- п{Т ск^соЬГ^Т/^

° В„: / нЪгМ*)) Ъ

{12)

Задача С. С!'озпа'-::1.: через :: сфера с рад:гуса\:;: соот-

ветственно Лд и R¿ и о центром в начале координа,т.

пусть fxeí*: R, < /«/<£„},% Ы>Я0]. Найти

В области Я)i (7=: 0,1) регулярное решение í£ahú системы (7), удовлетворяющее на контактной поверхности условиям <8), а на гранипе JS>¿ аналогичным условиям (9)—(12), где индекс "I" надо заменйгьиндексом JO"^ а.зн^к "+"на "-". __

"Задача & . IXl<R0), Q =

{Х&Е3: R^/xKRj, g{±{x¿E':lxl=Tlil,Í=0.i. Сформулируем следующую гранично-контактную задачу: найти в области Э;,7—0,1; регулярное решение Ж ¿SC) системы (7). удовлетворяющее на контактной поверхности условиям:

f ií^s ^ «^toj;—

{а

a на границе St одному из следующих условий:

СО V/) +

Аналогично формулируются задачи

(!)-, (ПГ, (Ш)-, (£ь~ и i

в

и В 1 для установившихся колебаний.

В этой яе главе доказываются следующие теоремы.

Теорема 1.2.1. Всякое регулярное решение уравнений (I) имеет

вид

Я (я) = - а$гас1г2(.

• /

Oô(o$— gvgdg>é - rot[x(2r <L.+tycp2~] + +j roirot (хФэ~) - (ju+oO [2.1 vot(x psy rot roi

(13)

где

k^jud+ZjuJ1, Л*= édfe+Zvy', 2.г2=

Теорема 1.2.2. Всякое регулярное решение уравнения (2) имеет

вид

Со

U(x) =<jracf<jJ1 +rotroé[x(f3+Tp4)]+ то1[х(к\&+к*<рь)],

(14)"

со (cz) 4- TOi[ voirot[xC^%t^ .

где

СШ ■) « 0, 7=/Тб, К5 аКл, к6 Ш к* „

, . Л+2/и. * -

4«г , к?. 4 = К'- Зб14ос'

. ; ,___га .' .

Во второй главе решены'все основные граничные задачи статики момецтной теории упругости для шара и пространства с шаровым отверстием.

"/ При решении этих задач основную роль играет общее представление (13). Решения рассматриваемых задач получены в виде абсолютно и равномерно сходящихся рядов.

В Третьей главе рассматриваются граничные задачи установившихся колебаний моментной теории упругости для пространства с шаровой полостью. С помощью представлений (14) решения рассматриваемых задач получены в виде абсолютно и равномерно сходящихся рядов.

■ В этой же главе дано новое доказательство теоремы едшствен-

е е

н^сти дпй,эадач (1)~-(1У)-.

В четвертой главе даны эффективные решения гранично-контактных задач статики и установившихся колебаний^ломентной теории упругости. >

Заключение. Основные результаты, полученные в диссертационной /

работе, сводятся к следующему:

■ .I..Получено общее: представление решений однородных уравнений статики моментной теории упругости с помощью гармонических и трех метагармоническлх функций.

• 2. Получено общее представление решений однородных уравнений' --установившихся колебаний моментной теории упругости с помощью ^ шести метагармонических функций.

3. С помощью этих представлений решены основные граничные, гранично-контактные задачи статики и установившихся Колебаний мо- . ментной. теории упругости для областей, ограниченных.сферой и кон-цент риче скими сферами. Решение этих задач сводится к исследованию системы алгебраических уравнений. Разрешимость этих систем доказана. '

4. Доказаны, другим путем., теоремы единственности для внеш- ' них граничных задач установившихся колебаний моментной теории упругости.

■ г

Основные положения диссертационной работы отражены в следующих публикациях: •

1. Решение основных граничных задач статики моментной теории :упругости дая шара // Труды ИШЛ ТГУ, т. 16 (1984), 135-148.

2. Решение основных граничных задач статики моментной теории упругости для пространства с шаровым отверстием // Труды всесоюзного совещ.-семин. в Тбилиси, т. 2 (1984), 217-226.

3. Решение основных граничных задач установившихся колебаний моментной теории упругости для. пространства с шаровым отверстием // Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ Т1У, т. 2,

И 2 (1986), 83-86.

4. Решение Ш и 1У граничных задач статики моментной теории упругости для шара // Труды ИПМ ТГУ, тч 23 (1988), 77-87.

5. Решение основных граничных задач статики моментной теории упругости для сферического слоя // Труды ИПМ ТГУ, т. 39 (1990),

■ 97-109.

^дда'Ь зе^йЗсЬ, ¿д Эд;;йс)д

ОД^ОО'1 Эдош^оЬ ^лЗтмдБдЗй зЛдзск^чйпЬ ЗяЭдСфдйо пдтЛооЬ ЬоЬйЪ^эйт бЗтдлбд&пЬ йЗпи.ъЬЬБз^йц

ог-п^Ьо 1991

Бесплатно

Заказ №|ч Тиран 100

пЬд о.д.ооеД'1^ ЬаЬ. ¿бЭтцдБдЗоао ОгадЭйфг^оЪ

ззоскз, еЗп^оЬо, «опдо<<>Ьп!зд(»рЬ

<з

Ротапринт Института прикладной математики ин.ИгН.Взкуа,ТГУ

З.Я0043, Тбилисй - 43, Унивзрситетскэд 2