Нестационарные волны в упругих моментных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАЙ ТХАНЬТУАН

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГИХ МОМЕНТНЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Москва-2012

005053852

005053852

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Тарлаковский Дмитрий Валентинович

Официальные оппоненты: Ерофеев Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор, Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А.Елагонравова РАН, заместитель директора.

Земсков Андрей Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), доцент.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского (НИИ механики)

Защита состоится «09» ноября 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан «08» октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время наиболее исследованными являются задачи о распространении нестационарных возмущений в классических упругих средах. При этом практически отсутствуют публикации по проблеме распространения нестационарных волн в упругих средах с учетом внутреннего момента количества движения (моментные среды). Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с микроскопической точки зрения состоит из частиц, обладающих согласованным моментом количества движения даже при нулевой макроскопической скорости. К таким средам относятся гранулированные среды, среды с гиромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и т.д. Поэтому исследование нестационарных процессов моментных сред представляет собой актуальную проблему.

Целью диссертационной работы является постановка и построение аналитических решений двухмерных задач о распространении нестационарных осе-симметричных граничных возмущений в «неклассической» упругой среде со сферическими границами, в качестве модели которой выбран один из вариантов несимметричной теории упругости - псевдоконтинуум Коссера.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар) и о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера;

2. Разработан и реализован алгоритм обращения преобразований Лапласа для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра в полученных решениях.

Практическое значение работы. Полученные результаты обеспечивают возможность исследования поведения различных конструкций из композиционных материалов при действии на них нестационарных нагрузок, что особенно актуально при создании современных объектов авиационной и ракетно-космической техники.

Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов подтверждается использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для частных случаев.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на

- Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Московская обл., 2011, 2012 г.г.);

- Всероссийской конференции «Механика наноструктурированных материалов и систем» (Москва, Ленинградский проспект, 7, 13 - 15 декабря 2011 года);

- Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в авиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17 - 20 апреля 2012 г.);

- Ломоносовских чтениях. Подсекции: Механика деформируемого твердого тела. (Москва, МГУ, 16-20 апреля 2012 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в девяти печатных работах, в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 111 страниц. Список используемой литературы включает 110 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.

В первой главе преведен обзор литературы, определена проблема получения аналитического решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Отмечено, что наибольшее развитие общей теории несимметричной упругости получили в конце 50-х - 70-х годов прошлого столетия В. Новицкий, В.Т. Костер, Э.Л. Аэроб и Е.В. Кувшинский, Р.Д. Миндлин и Г.Ф. Тирстен, P.A. Тулин, И.А. Купин, В.А.Пальмов, А.И. Лурье и др. Современные исследования задач моментных сред принадлежат следующим авторам: С.М. Белоносову, Г.Л. Бровко, Г.А. Ванину, В.И. Ерофееву, В.В. Корепанову, М.А. Кулешу, В.П. Матвеенко, Б.Е. Победре, А.Г. Угодчикову, Kumar Rajneesh, Liu Jun, Nistor I., Suiker A.S.J. Некоторые нестационарные задачи для моментных

сред исследованы в работах A.A. Саркисяна, Birsan Mircea, Gheorghita Vitali, Han S.Y.

Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения. Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера и псевдоконтинуума Коссера. С использованием представления полей перемещения и угла поворота в виде потенциальной и соленоидальной частей записана система уравнений движения относительно скалярных и векторных потенциалов.

Получены безразмерные уравнения осесимметричного движения относительно скалярного потенциала <р и ненулевой компоненты векторного потенциала у/ для псевдоконтинуума Коссера в сферической системе координат г, в,3 (г>0,0<в <ж ,0<9 <2z):

ф = А(р, Л = —

г"

дг ^ дг) 5\аддв\ дв)_

1

(1)

а таюке соответствующие геометрические и физические соотношения: д(р 1(ду/ Л \(дср Л дц/

£Оа = (0 = -

2 г

<Э(гу) дю ~дг 50

. озв = (йг = 0; Ггг =

дм

ду

Гг0=-2--

дг

у г

(2)

_ Зш _ _ а _ дсо_ _ _ а

Хгв ~ Х$г ~ » Хва ~ ГХ' Хав ~ с*&"-> дг г г да г

У га = Узг ~ Ум = Уав = Х,г ~ Хая ~ Хоо ~ Хн> ~ Хог =

Игз ~ + %-Хэг> №$г=£+Хаг + 1?-Хг$> №оз = Я+Хоз + ъ-Хао>

= У„ + °ео = Уао+кУгг> °аа=к{Угг+Уее)>

(3)

стгв=°(г0) + ащ= 2

1 К{Уге + Увг) + °щ< <*вг=^-у-{Угв+Уег)-с{гву

СТН- 2{ & +г

^ + 2цгЯ + + (мвз + Пае) <ЛВ0

где А - оператор Лапласа; к, г}, ^ - безразмерные параметры, связанные с физическими характеристиками среды; и1 и ш,- (;' = г,0,3) - физические компоненты векторов перемещения и и поворота со; у0, и сг(> (/,_/ = г,0,5) -физические компоненты тензоров деформаций у > изгиба-кручения х, момент-ных напряжений ц и напряжений о.

Рассмотрены два типа волн растяжения-сжатия, распространяющиеся в бесконечном псевдоконтинууме Коссера: плоские и сферические. Показано, что для каждого из них потенциал перемещений есть суперпозиция двух волн: прямой (расходящейся) и обратной (сходящейся), распространяющихся со скоростью, равной единице.

Шжшшпт^ построено решение осес.шметричной задачи о распространении нестационарных возмущений от сферической полоста в псевдоконтинууме Коссера. На поверхности полости г = 1 задано нормальное перемещение, а касательное перемещение и вращение отсутствуют:

В начальный момент времени среда находится в покое, что соответствует однородным начальным условиям. На бесконечности возмущения отсутствуют.

Для решения задачи используется метод неполного разделения переменных, который заключается в представлении потенциалов и компонент напряженно-деформированного состояния среды, а также правых частей граничных условий в ряды по многочленам Лежандра Р„(со80) и Гегенбауэра С3Д(созв). В результате приходим к начально-краевым задачам

фя=\<р. (п> 0), +

2 4' .

=*.и=Ц=0; а. *

дг г ог г

и соответствующим геометрическим и физическим соотношениям относительно коэффициентов рядов.

Для решения задач (5) используется преобразование Лапласа но времени (* - параметр, индекс «I» соответствует изображению):

Общее решение уравнений (6) с учетом ограничения решений в бесконечности записывается в виде:

т=I ^ '

где С^) и С(„1}(з) (ш = 1,2) - постоянные интегрирования; К„(г) - модифицированные функции Бесселя порядка у второго рода; Я, 2 - корни характери-

стического уравнения, которое получается при подстановке Д„Ц/^ (г^) = Лу/^ (гво второе уравнение в (6).

Используя связь модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов для потенциалов перемещений (.?), В„'т (.?) - новые произвольные функции):

(г,,) = (■*)*.. П^К ^ М = (,) Я„0 (г^)е-^, (В)

У ' 7И=1

где

Постановка (8) в преобразованные по Лапласу геометрические соотношения относительно коэффициентов рядов приводит к следующим выражениям для изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота:

^ (Г,,) = -Ц^ И*"1"" + п (п +1 )±В1 (,)«„

* м=м*.. н^-*+¿с

(9)

2г"

где

4=0

Д„2(*) = Л„+2,„ (2) - (2 П + 1)й„+,0 (г) + »(и - 1)Ля0 (г),

п+1

= (*) - (п +1) Д.0 М = ^ = 4»и - (" + 0 4а-Р

А=0

л+2

а (г) = й„+г,0 (г) - (2Л + 3) Д„+1,0 (г) = X V2-*, = Д1+2,, -(2л + 3)

Используя эти соотношения и преобразованные по Лапласу граничные условия (5), получаем следующие представления изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (для краткости приведена формула только для нормального перемещения):

" \ ' ) л+2

(10)

м

Здесь

^ (х.у) = * з (*)& (7) - Л.з (у)0„ (*), 5„2 (х,у) = Л 0 (*)& (у).

Формулы для функций (;•,.?) получаются из соответствующего равенства для И?, (г,*) с помощью умножения на (-1) и перемены местами Л, и Л2.

Структура изображений (10) не позволяет найти оригиналы аналитически ввиду наличия в них слагаемых, содержащих радикалы ^. Поэтому строится асимптотика решений в окрестности начального момента времени, что соответствует разложениям изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. В результате приходим к разложениям всех слагаемых изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота. Например, для нормального перемещения они имеют следующий вид:

= (г),—, гг' (г,^-^ = (ф-

(=3

и=3

Оригиналы коэффициентов рядов (11) находятся с помощью теорем операционного исчисления и следующих табличных соотношений:

■ Пм)

г-й-, ^ (12)

е я'1"12 =■

1

(/<>о);

где Г(ц) - гамма-функция; Д, (х) - функция параболического цилиндра;

Х1 =хаН(х)\ Н[х) - функция Хевисайда.

Приведен пример расчетов. В качестве материала, заполняющего пространство выбран зернистый композит из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице

9.

(А = 7.59ГПа, ¿¿ = 1.89ГПа, у + Е = 2.64кН), что соответствует безразмерным параметрам х-= 0.67, г/ + £ = 0.00232. На поверхности полости заданы перемещения следующего вида:

и>о(0,г)=|(1 + со8 2 0)//(т). (13)

На рисунках 1-2 изображены графики нормального перемещения м>(г,0,г) в зависимости от времени на расстояниях г = 1.01, г = 1.03, г = 1.05 и г = 1.08 от центра полости при значениях угла 6 = 0, 0 - л/А. Все графики построены для четырех членов степенных рядов. При учете еще одного члена результаты практически совпадают.

6 .0 4

Рис. 1 Рис. 2

Во третьей главе решается задача о дифракции нестационарных волн на сферической полости в псевдокоптинууме Коссера. На сферическую полость набегает волна расширения-сжатия одного из двух типов: плоская или сферическая (рис. 3).

Соответствующие потенциалы набегающей волны в безразмерном виде записываются так (индекс «О» соответствует набегающей волне):

% {г,0,г) = /(г + гсозв -\)Н(т + гсоъв-1),

% {г>0,т) = —^ /(т + -1 - /)//(г + с/0 -1-/), ■

гдс 1 = ^г2+с11-2п10со%0\ ¿0 = О0/Я0; /(Г) - произвольная функция, задающая закон изменения потенциала во времени.

Предполагается, что начальные условия однородные, на бесконечности возмущения отсутствуют, а поверхность полости г = 1 свободна от напряжений при наличии стесненности поворотов, что соответствует следующим граничным условиям:

^и+^и =0, =0, 4=1=0. (15)

Используя метод неполного разделения переменных, преобразование Лапласа по времени для коэффициентов рядов по полиномам Лежапдра и Гегенбау-эра, а также физические соотношения относительно коэффициентов рядов для компонентов возмущенного состояния. В частности, для напряжений они записываются так:

Р, ("К +п(п + 1)±Р„г (г {з)е

¿=1

М = --ЦРпг + ¿Р„з (гШв^ (з)е^

I. Ы1

(16)

где

(4= ^ (г) = Р„з (*) =

*=° Ь.0 ы О

Епк = А„гл -(2п + 2к +1 + +1)(1 -к)АпМ_г,

4,^-2+(2« + 1^/и-з+(«2 -1)0 -

При этом функции и ст^(г,.?) находятся с помощью выражений

(14), геометрических и физических соотношений.

Удовлетворение граничным условиям приводит к следующим окончательным выражениям для изображений коэффициентов рядов для перемещений, угла поворота и напряжений (здесь указаны только нормальные напряжения):

(17)

где

^о М = Р„, („К (*), нпт ы = Р„2 (г 4хт)в1пт (*);

4 {*)2л (*) = П^ , + п{п + (*)¥„2 (Д, Д"),

К (*) = (*,&) + Г£0я

Кг =-[п^, №3 Д)+п^ (,)г„4 )];

п, (*.у)=а (^)^з (я - а (Ж. (*). ъ =р.2 Ш. {у), уп2(х,У)=& (.г)р„2 оо- е, оо^(*), уя4 (*,>о=^(дг)о. 00.

(5) = Рл (.)У„, ) -п(п +1 )Рп2 (*)У„2 (Д, Д");

= П^ (,) = -Ґ )Г{ [Рл (-,) - е*рл (,)], (*) = Коп ) = Ґ [Рп7 Ы - е-2'Рп2 (*)];

2) ' 2Ч 2.

Структура изображений (17) не позволяет найти оригиналы аналитически. Поэтому аналогично главе 2 строится асимптотика решений в окрестности начального момента времени. Окончательно получаем выражения для всех слагаемых изображений коэффициентов рядов для напряжений и угла поворота (здесь приведено только нормальное напряжение):

л- а0

Я'оМ'

(-)Е^1 + п(п + (,)

с,»'/'2

т~5 Я

—гг\

ш= 5 ■>

Оригиналы коэффициентов рядов в (18) находятся с помощью теорем операционного исчисления и формул (12).

Приведены примеры расчетов для указанного выше материала в случае плоской волны. Функция, задающая закон изменения потенциала во времени принимается в виде /(т) = тЦг, что соответствует равенству единице нормальных напряжений на фронте волны в момент г = 0 ее касания поверхности полости:

На рис. 4-5 изображены графики радиального напряжения ап [г,в,т) в зависимости от времени на расстояниях г = 1.01, г = 1.03, г = 1.05, г = 1.08 от центра полости при значениях в = 0, в = л¡2. Все графики соответствуют девя-

Рис. 4 рис. 5

В четвертой главе дано решение задачи о распространении нестационарных возмущений от границы сплошного шара. На поверхности шара заданы граничные условия (4). Начальные условия являются нулевыми. Предполагается, что все компоненты напряженно-деформированного состояния ограничены.

Общее решение системы уравнений (6) с учетом ограничения решения в центре шара имеет следующий вид:

М = (*)1„+ш („), ^ = г-*£спг/ям (19)

№

где /,(г) - модифицированные функции Бесселя порядка у первого рода, а Я12 - корни указанного в главе 2 характеристического уравнения.

Используя связь /л+]/2 (г) с элементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов для потенциалов перемещений:

г

(20)

Аналогичные главе 2 преобразования приводят следующим окончательным выражениям для изображений коэффициентов рядов для компонентов напряженно-деформированного состояния (указано только нормальное перемещение):

2

¿(г

(21)

Здесь

¿Л5)

(22)

иЛх>У) = Сл2(х)Оп3(у)-Сп2{у)Опг{х), ип2{х,у) = Опй(х)Сп,{у),

2П (*)=-<?„, {*)ил ()+«(«+!) с„0 (*)[и„2 .Д") - [/л2 (. А)];

С„о (*) = Я„о Н) - Ко (*) = Д., (-*) - (2)е-2г,

<?„2 (2) = *„э (-2) - Я„з (2)е-2-', С„з (г) = 0я (-2) - а {г)е-2\

Для построения оригиналов решения аналогично главам 2, 3 представляем изображения в виде рядов по степеням .у-"2 в окрестности бесконечно удаленной точки.

Для этого используется следующее разложение функции 1:

л!5/ к~ <>*-+*■+-

К' 0^0+*!+...

Здесь величины с1 и (г = 0,6) есть определители третьего порядка:

яп](х) п(п + 1)11п0(у) и(и+1)/г„0(г) А(х,у,г)= яп0(х) япъ (у) кп3(г) ,

0 в„(у) &(*)

а (К\к0,к1,...,к6) = К\/(к1 \к2 !...к61) - мультииндекс.

Учитывая правила действий со стеленными рядами, для степеней величины с1 и (/ = 0,6) получаем:

¿К (24)

Отсюда находим изображения всех слагаемых для изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (приведено только первое слагаемое для нормального перемещения в (21)):

ч ^(л/^.лАП^Ы™)

^о =-—-X

V У У ) Л2(Ь,...1б)

¿-, ¿-, ыЗ Ь1 £■>

(25)

АГ=0£0+... от=0

М2 ¿0

Здесь

и.

'=01 т=0

===4в}=о, 4?}=4з}=№=№===0

= = 2До,Л4? - А/И = 2А, м(р = М$ = 2(Д, + А);

Я0(*о...*6) = + *3 + + *6 + 0'- О/2-

Г01(^...А6) = Т2\(к0...к6) = Ь +к3+ к5 + к6, кь) = Тщко кв) =к2+к4+к5+ к6.

У =(К'к() Ь) У^х

п ^/2 2_ !2 х-х /2 / 2. ~~~т/2"

'"=0 5 т=0 ^ п,=0х / т^-5

При этом экспонентная часть в (25) записывается в таком виде (а = 0,2):

-*6)Л>(*0 V) _ -21аа,уЛ6)^ у са(к0...к6)т

$0 Ъ2 '

т=0

т/2

т-0

са(к0...к6)т т/2

Ні-

-271

7Н = 0

„т/2

«> Лт

І"

/и=0

-2 Г

«2 (Ао-ЛО.

„ш/2

Окончательно получаем выражения для всех слагаемых в изображениях коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота. Например, первое слагаемое для нормального перемещения имеет вид:

7 оо

(26)

где

у ™пОі(к0...кь)т (ґ) _ у

Ь тії 2-і'

сО(к0...к6)т

т=О

т=0

„ш/2

т/2

хЕ

л°)

■/ іпт

т=0

=0*

т/2'

И

И =

0(Л0...Аг6)» кО/(*0.А)

Оригиналы коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота находятся с помощью теорем операционного исчисления и формул (12).

Приведен пример расчетов для того же материала, что и в примерах глав 2 и 3. На поверхности шара заданы перемещения вида (13). На рис. 6-7 продемонстрировано нормальное перемещение м>(г,в,т) в зависимости от времени на расстояниях /- = 0.99; 0.95; 0.92; 0.88 от центра шара при 0=0, в = ж/А и К = 1. Они соответствуют четырем членам степенных рядов. При разных значениях К > 1 или учете еще одного члена степенных рядов графики практически совпадают.

Рис. 6 Рис. 7

В главах 2, 3, 4 проведен предельный переход к симметричной теории упругости. Для этого в полученных соотношениях (10), (17), (21) полагается, что 1] 0 и £ —> 0. При этом для \ 2 имеют место следующие соотношения:

Л,-юс, -к).

Полученные результаты показывают совпадают с точностью до обозначений с известными решениями соответствующих задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. С помощью представлешы искомых функций в виде рядов по полиномам Лежандра и преобразования Лапласа получены решегаш новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений в псевдоконтинууме Коссера со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар).

2. Проведено исследование влияния на напряженно-деформированное состояние среды различного типа поверхностных возмущений (кинематических и силовых).

3. С использованием результатов для задачи о распространении поверхностных возмущений построено решение новой задачи о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Косссра.

4. Для изображений преобразования Лапласа, содержащих множители в виде экспонент с радикалами, разработан алгоритм обращения для коэффициентов рядов по полипомам Лежандра, основанный на разложении изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, что соответствует степенным рядам в окрестности начального момента времени. Построена и реализована методика определения коэффициентов этих рядов.

5. Проведено численное исследование сходимости в полученных решениях рядов но полиномам Лежандра и степенных рядов по времени.

6. Выполнен предельный переход в полученных решениях к классической теории упругости. Показано совпадение с известными результатами.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых научных изданиях и журналах:

1. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссе-ра // Механика композиционных материалов и конструкций, 2011. Т. 17, № 2. — С. 184-195.

2. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал «Труды МАИ», 2012, № 53,

г

www.mai.ru/science/trudv/.

В других научных изданиях и журналах:

1. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от сферической полости в упругом момещном пространстве II Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. - Чебоксары: ГУП «ИПК «Чувашия», 2010. - С. 66.

2. Лай Тхань Туан, Дмитрий Тарлаковский. Осесимметричные нестационарные волны в упругой моментной среде со сферической полостью // Матема-

18

тичні проблеми механіки неоднорідних структур / Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача HAH Украіни, 2010. - С. 442-443.

3. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в сфере псевдокоссера // Механика и наноструктуриро-ванных материалов и систем / Труды Всероссийской конференции. Т. I. Москва, 13-15 декабря 2011 г. - М.: Альянстрансатом, 2011. - С. 65-74.

4. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные волны в заполненном упругой средой псевдокоссера шаре // «Механика наноструктурированных материалов и систем». Материалы Всероссийской конференции. Москва, 13 ноября - 15 декабря 2011 г. - М.: ИПРИМ РАН, 2011. - С. 97.

5. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные граничные возмущения от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. -М.: ООО «ТР-принт», 2011. - С. 28 -29.

6. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные возмущения от границы сплошного шара, заполненного упругой моментной средой // Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. - М.: ООО «ТР-принт», 2012. - С. 41 - 43.

7. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция плоских (сферических) волн на сферической полости в псевдоконитууме Коссера // Московская молодежная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике - 2012» 17-20 апреля 2012 года. Москва. Сборник тезисов докладов конференции. - М.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 272-273.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ oiO?..jO 201¿ г. Тираж^О экз.

Введение

Глава 1. Постановка нестационарных осесимметричных задач для моментных сред

§1.1. Современное состояние исследований.

§1.2. Уравнения движения и граничные условия для среды Коссера

§ 1.3. Уравнения движения и граничные условия для псевдоконтинуума Коссера.

§ 1.4. Уравнения осесимметричного движения для псевдоконтинуума

Коссера в сферической системе координат.

§1.5. Плоские и сферические волны расширения-сжатия в псевдоконтинууме Коссера.

Глава 2. Распространение нестационарных возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера

§2.1. Постановка задачи и представления решения в виде рядов.

§2.2. Решение в пространстве преобразований Лапласа.

§ 2.3. Предельный переход к теории упругости.

§ 2.4. Асимптотическое представление решения в окрестности начального момента времени.

§ 2.5. Пример расчетов.

Глава 3. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера

§ 3.1. Постановка задачи и представления решения в виде рядов.

§ 3.2. Решение в пространстве преобразований Лапласа.

§3.3. Предельный переход к теории упругости.

§ 3.4. Оригиналы компонент напряженно-деформированного состояния.

§3.5. Пример расчетов.

Глава 4. Распространение нестационарных возмущений от границы сплошного шара

§4.1. Постановка задачи.

§4.2. Решение в пространстве преобразований Лапласа.

§ 4.3. Предельный переход к теории упругости.

§ 4.4. Асимптотическое представление решения в окрестности начального момента времени.

§4.5. Пример расчетов.

В настоящее время развитие современной науки и техники требует точного знания процессов деформирования не только «традиционных» материалов, но и материалов с усложненной структурой, в том числе таких, для которых деформация среды описывается не только вектором перемещения, но также вектором поворота. Среду, моделируемую таким образом, сегодня часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия моментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости.

Общая теория такой несимметричной упругости впервые была разработана братьями Коссера (Э. и Ф. Коссера) в 1910 г [97]. Согласно концепции братьев Коссера, учитывающей вращательное взаимодействие частиц материала, при изучении напряженного состояния твердого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями вводить в рассмотрение моментные напряжения, образующие, вообще говоря, несимметричные тензоры.

Как отмечено в работе [68], модель классической теории упругости хорошо совпадает с экспериментами, проводимыми для конструкционных материалов (сталь, алюминий, бетон) при напряжениях, остающихся в пределах упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникает в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжения. Это имеет основное значение при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек. Расхождение между экспериментом и теорией появляется также в задачах о колебаниях, при распространении волн и при вынужденных высокочастотных (ультразвуковых) колебаниях.

Это происходит из-за того, что при высокочастотных колебаниях и достаточно малых длинах волн неизбежно сказывается влияние микроструктуры материала. Наконец, теория симметричной упругости не описывает с необходимой точностью явления, происходящие в зернистых 4 средах и при прохождении акустических волн через кристаллы, поликристаллические структуры и полимеры.

В моделях моментной теории упругости напряженное состояние описывается несимметричным тензором напряжений, поэтому упругие тела характеризуются большим числом упругих констант. Необходимость подобного усложнения нередко оправдывается тем, что с помощью констант классической теории упругости (и пьезоэлектрических) невозможны трактовки, например, аномального пъезоэффекта в кварце, дисперсии упругих волн в сплошной среде, а также упругих свойств кварца, алмаза, дигидрофосфата аммония и других кристаллов [4]. Потеря точности в классической механике континуума может происходить по следующей причине. Если ищется реакция тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы в теле, то зернистые или молекулярные составляющие тела возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься во внимание внутренние движения составляющих. Это становится особенно ярко выраженным в связи с распространением волн с большими частотами или с малыми длинами волн. Ограниченность информации о материальных константах сред с микроструктурой является одним из основных факторов, сдерживающих изучение моделей «моментных» сред. А это, в свою очередь, препятствует внедрению таких моделей в практику расчетов динамических и прочностных характеристик композиционных и поликристаллических материалов.

Несмотря на эти трудности, интерес к несимметричной теории упругости значительно возрос за последнее время, и различные ее аспекты стали предметом изучения многих авторов. Можно выделить несколько направлений развития несимметричной теории упругости, отличающихся способом описания поворота частиц: Теория среды со «стесненным вращением» (псевдоконтинуум Коссера), теория среды Коссера, континуум

Леру, микроморфная среда Миндлина-Эрингена и прочие. В теории 5 псевдоконтинуума Коссера предпологается зависимость вектора поворота от ротора перемещения подобно тому, как это имеет место в классической теории упругости [29,36,68]. При этом имеется одна независимая кинематическая неизвестная - перемещения и тензоры напряжений и моментных напряжений остаются несимметричными. Причем антисимметричная часть напряжения и симметричная часть моментного напряжения не определяются напрямую из физических уравнений. Этот вариант несимметричной теории понижает ее полноту, так как число физических констант для изотропного упругого тела сокращается до четырех. Получаемая при этом структура уравнений такова, что если, в частности, на поверхности упругого тела заданы перемещения, то не удается произвольно задать нормальную составляющую вектора поворота. Однако, несмотря на эти недостатки, теория псевдоконтинуума Коссера хорошо развита.

В настоящее время обобщенные континуумы вызывают как теоретический, так и практический интерес и заслуживают внимания не только теоретиков, но и экспериментаторов, специализирующихся в различных отраслях механики и физики. Актуальность исследований повышает и то обстоятельство, что, в сущности, у всех природных и искусственных материалов и систем проявляются взаимодействия механических процессов различного пространственного масштаба. Эти обобщенные континуумы применяются при разработке новых металлургических технологий, позволяющих синтезировать искусственные материалы с управляемой микроструктурой. Они помогают прогнозировать поведение таких хрупких материалов, как бетон или лед. Некоторые методы технической диагностики и неразрушающего контроля основываются на усредненных материальных свойствах обобщенных континуумов. На моделирование, базирующееся на концепциях обобщенных континуумов, возлагаются большие надежды для успешного и скорейшего развития нанотехнологий. Обобщенные континуумы, такие как микрополярные или 6 ориентированные материалы, микроморфный континуум, высокоградиентные материалы, тела со слабыми или сильными нелокальными взаимодействиями, также привлекаются при разработке интегральных многомасштабных вычислительных процедур. Подобные компьютерные технологии имеют целью объединение различных пространственных масштабов в одной численной схеме. Начало берется в квантомеханическом описании, затем осуществляется моделирование процессов на атомарном, молекулярном, микроскопическом и, наконец, на континуальном масштабе.

Из приведенного в § 1.1 обзора современного состояния исследований в этой области следует, что к настоящему времени недостаточно изучен ряд нестационарных задач для моментных сред (особенно для моментных сред со стесненным вращением) в случае сферических границ раздела, в том числе задачи о распространении нестационарных возмущений от сферической полости, от границы сплошного шара и о дифракции нестационарных волн на сферической полости и т.д.

Целью работы являются постановка и построение аналитических решений двухмерных задач о распространении нестационарных осесимметричных граничных возмущений в «неклассической» упругой среде со сферическими границами, в качестве модели которой выбран один из вариантов несимметричной теории упругости - псевдоконтинуум Коссера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. С помощью представления искомых функций в виде рядов по полиномам Лежандра и преобразования Лапласа получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений в псевдоконтинууме Коссера со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар).

2. Проведено исследование влияния на напряженно-деформированное состояние среды различного типа поверхностных возмущений (кинематических и силовых).

3. С использованием результатов для задачи о распространении поверхностных возмущений построено решение новой задачи о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера.

4. Для изображений преобразования Лапласа, содержащих множители в виде экспонент с радикалами, разработан алгоритм обращения для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра, основанный на разложении изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, что соответствует степенным рядам в окрестности начального момента времени. Построена и реализована методика определения коэффициентов этих рядов.

5. Проведено численное исследование сходимости в полученных решениях рядов по полиномам Лежандра и степенных рядов по времени.

6. Выполнен предельный переход в полученных решениях к классической теории упругости. Показано совпадение с известными результатами.

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. - 830 с.

2. Адамов А. А. О гипотезе однородности, масштабных параметрах длины и краевом эффекте для изотропного континуума Коссера // Мех. композиц. матер, и конструкций. 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 329-346.

3. Атоян А. А., Саркисян С. О. Задача динамики тонкой пластинки на основе несимметричной теории упругости // Изв. АН Армении. Мех. 2004. - Т. 57. - № 2. - С. 18-33.

4. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Учет внутреннего вращения // ФТТ. 1964. - Т. 6. - Вып. 9. - С. 2689-2699.

5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. - Т. 2. - Вып. 7. - С. 1399-1409.

6. Баскаков В. А., Бестужева Н. П., Кончакова Н. А. О нелинейных уравнениях динамики термоупругих микрополярных сред // Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж. 1998. - С. 5.

7. Белоносов С. М. Моментная теория упругости: (Статика). Владивосток: Дальнаука, 1993.- 148 с.

8. Большаков В.И., Андрианов КВ., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. -Днепропетровск: "Пороги", 2008. 196 с.

9. Бояндин В. С., Козак А. Л. Моментная теория деформирования железобетона с трещинами. Киев: Киев, инж.-строит. ин-т, 1989. - 50 с.

10. Бровко Г. Л., Иванова О. А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2008. - № 1. - С. 22-36.

11. Бровко Г. Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2002. - № 1. - С. 75-91.

12. Бурак Ярослав, Мороз Галина. Краевые задачи локально-моментной теории упругости. Вариационные формулирования. Крайов1 задач1 локально-моментно! теорн пружность Вар1ацшш формулювання // Ф1з.-мат. моделюв. шф. технол. 2004. - № 1. - С. 9-19.

13. Бытев В. О., Слезко И. В. Решение задач асимметричной упругости // Вестн. СамГУ. 2008. - № 6. - С. 238-243.

14. Ванин Г. А. Концентрация напряжений в моментной теории упругости // Прикл. механика. 2007. - Т. 43. - № 1. - С. 66-76.

15. Ванин Г. А. Моментная механика и обобщения // Проблемы механики: Сборник статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит.-2003.-С. 156-170.

16. Ванин Г. А. Моментная термодинамика неоднородных сред // Достижения и задачи машиноведения: К 70-летию академика Константина Васильевича Фролова. М.: Ин-т машиновед. УрО РАН, 2006. - С. 192-206.

17. Варыгина М.П., Садовская О.В. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости // Весник КрасГУ. "Физико-математические науки". 2005. - № 4. - С. 211-215.

18. Васильев А. А. Структурные и обобщенные континуальные модели тел

19. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Механика Коссера для наук о земле // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 4. - С. 44-66.

20. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах: Учеб. пособ.: Для вузов . М.: Физматлит, 2004. - 472с.

21. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошных среды: Учебник для вузов М.: Наука, 2000. -214 с.

22. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1990. - 264 с.

23. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. 1108 с.

24. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о равновесии прямоугольника в моментной теории упругости // Вестн. Якут. гос. ун-та. -2007. Т. 4. - № 4. - С. 19-26.

25. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. - 467 с.

26. Ерофеев В.И. Братья Коссера и механика обобщенных континуумов // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т. 2. - № 4. - С. 5-10.

27. Ерофеев В.И. Волновые прцессы в твердых телах с микроструктурой. -М.: Изд-во МГУ, 1999. 328с.

28. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стесненным вращением // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 4. -С. 67-75.

29. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Макромеханическое моделирование упругой и вязкоупругой сред Коссера // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 2. - С. 40-47.

30. Ерофеев В. И., Потапов А. И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями // Акуст. ж. 1991. - Т. 37. - № 3. - С. 477-483.

31. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикл. механика (Киев). 1993. - Т. 29. - № 4. -С. 18-22.

32. Зеленина А. А., Зубов Л. М. Одномерные деформации нелинейно упругих микрополярных тел // Известия РАН. Мех. тверд. Тела. 2010. - № 4. - С. 97106.

33. Илюхин А. А., Тимошенко Д. В. Построение основных соотношений одномерной микрополярной теории упругих стрежней // Изв. Сарат. гос. унта. Н. Сер. Мат. мех. информат. 2008. - Т. 8. - № 4. - С. 52-61.

34. Койтер В.Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика: Период, сб. перев. иностр. статей. 1965. - № 3. - С.89-112.

35. Корепанов В. В., Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 5. -С. 77-90.

36. Корепанов В. В., Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Экспериментальные исследования «моментных» эффектов придеформировании упругих тел // Молодеж. наука Прикамья. 2004. - № 4. -С. 122-130.

37. Кулеш М. А., Грекова Е. Ф., Шардаков И. Н. Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде коссера // Акуст. ж. 2009. -Т. 55.-№2.-С. 216-225.

38. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Улитин М. В., Шардаков И. Н. Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды коссера в случае плоских объемных волн // Прикл. мех. и техн. физ. 2008. - Т. 49. - № 2. - С. 196-203.

39. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2007. - № 4. - С. 100-113.

40. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Докл. РАН. 2005. - Т. 405. -№2.-С. 196-198.

41. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О свойствах поверхностных волн в упругой среде Коссера // Математическое моделирование систем и процессов: Сборник научных трудов. Пермь: ПГТУ. -2006.-Вып. 14.-С. 109-113.

42. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера // Прикл. мех. и техн. физ. 2007. - Т. 48. - № 1. - С. 143-150.

43. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2002. - № 5. - С. 69-82.

44. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. - Т. 46. - № 4. - С. 116-124.

45. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. М.: Наука, 1975. - 416 с.

46. Лай Тханъ Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. -Т. 17. -№ 2. - С. 184- 195.

47. Лай Тханъ Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал "Труды МАИ". -2012. -№ 53. Интернет-адрес: www.mai.ru/science/trudy/.

48. Леонов А.В. Асимптотический подход к осреднению неоднородной среды Коссера // Современные наукоемкие технологии. 2010. - № 9 - С. 106-107.

49. Леонов А. В. Нахождение определяющих соотношений несимметричной теории упругости путем осреднения неоднородного упругого материала // Вестн. ТГТУ. 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 625-631.

50. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

51. Матвеенко В. П., Кулеш М. А., Улитин М. В., Шардаков И. Н. Волновая динамика упругой линейной среды Коссера // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г. Г. Черного: Сборник. -М.: МГУ; М.: Омега-Л, 2008. С. 307-322.

52. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: Сборник переводов. 1964. - Т. 85. - № 4. - С. 115128.

53. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика: Сборник переводов. 1964. - Т. 86. - № 4. - С. 129-160.

54. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика: Сборник переводов. 1964. - Т.86. - № 4. - С. 80-114.

55. Мутафян М. Н., Саркисян С. О. Асимптотические решения краевых задач тонкого прямоугольника по несимметричной теории упругости // Известия АН Армении. Мех. 2004. - Т. 57. - № 1. - С. 41-58.

56. Николау В. И. Моментная теория упругости (Развитие, анализ, приложения). Одесса: Астропринт, 2006. - 352 с.

57. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872с.

58. Омаров С. Е. Способ определения материальных функций в линейной моментной теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. - 2009 - № 5. - С. 3741.

59. Палъмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. - Т.28. - Вып.З. - С. 401-408.

60. Палъмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. - Т.28. - Вып. 6. - С.1117-1120.

61. Палъмов В.А. Приложение теории обобщенного континуума к проблеме пространственного затухания в сложных механических системах // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 4. - С. 105-110.

62. Победря Б. Е. О моментной статической задаче в напряжениях // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2011. - № 1. - С. 96-98.

63. Победря Б. Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды // Вестн. МГУ. Сер. 1. - 2005. - № 1. - С. 54-59, 73.

64. Победря Б. Е., Леонов А. В. Новая постановка задачи несимметричной теории упругости // Вестн. ТГТУ. 2010. - Т. 16. - № 1. - С. 108-118.

65. Победря Б. Е., Омаров С. Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. - 2007. - № 3. - С. 56-58.

66. Садовская О. В. Численное решение пространственных динамических задач моментной теории упругости с граничными условиями симметрии // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 2009. - Т. 49. - № 2. - С. 313-322.

67. Садовский В. М., Садовская О. В., Варьггина М. 77. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. - Т. 2. - № 4. - С. 111-121.

68. Саркисян A.A. Свободные колебания микрополярных упругих тонких балок // Известия национальной академии наук Армении. 2010. - Т. 63. - № 3.-С.41-51.

69. Смолин И.Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Математическое моделирование систем и процессов. 2006. - № 14. - С. 189-205.

70. Смолин И.Ю. Численное решение некоторых двумерных задач для упругопластической микрополярной среды // Весник ПГТУ. Математическое моделирование систем и процессов. 2007. - №15. - С. 142-155.

71. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики: Учебное пособие. М: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

72. Тупин P.A. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения // Механика: Сборник переводов. 1965. - № 3. - С. 113-140.

73. Угодчиков А. Г. Моментная динамика линейно-упругого тела // Докл. АН (Россия). 1995.-Т. 340.-№ 1.-С. 56-58.

74. Улуханян А. Р. Динамические уравнения теории тонких призматических тел с применением разложения по системе полиномов Лежандра // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2011. - № 3. - С. 161-177.

75. Хмиадашвили М. А., Схвитаридзе К М., Бицадзе Р. Г. Краевые задачи моментной теории упругости для шара // Пробл. мех. 2005. - № 3. - С. 7479.

76. Чкадуа О. О., Хамза Ф. Исследование основных задач моментной теории упругости для анизотропных сред // Сообщ. АН ГССР. 1987. - Т. 128. - № 3.-С. 469-472.

77. Шардаков И.Н., Кулеш М.А. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера // Вестник ПГТУ. Математическое моделирование. Пермь: ПГТУ. -2001.-№ 9.- С. 187-201.

78. Birsan Mircea. Некоторые результаты исследования задач динамики термоупругих оболочек Коссера с полостями // Mech. Res. Commun. 2006. -V. 33.-№2.-P. 157-176.

79. Birsan Mircea. Температурные напряжения в цилиндрических упругих оболочках Коссера // Eur. J. Mech. А. 2009. - V. 28. - № 1. - P. 94-101.

80. Cao D. Q., Tucker Robin W. Нелинейная динамика упругих стержней на основе модели Коссера: Теория и численное моделирование // Int. J. Solids and struct. 2008. - V. 45. - № 2. - P. 460-477.

81. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909.-226 p.

82. Das T. K, Sengupta P. R. Влияние моментных напряжений на распространение волн в вязкоупругом слое // Rev. roum. sei. techn. Ser. Mec. appl. 1991. - V. 36. - № 1-2. - P. 49-59.

83. Gheorghita Vitali. Фундаментальные решения в линейной микрополярной теории упругости // Bui. Inst, politehn. Iasi. 1985. - supl.sec. 1. - P. 263-268.

84. Han S. Y., Narasimhan M. N. L., Kennedy T. С. Динамическое распространение трещины конечной длины в микрополярной упругой среде //Астамесн. 1990.-V. 85.-№3-4.-Р. 179-191.

85. Kumar Rajneesh, Gupta Rajani Rani. Распространение волн в трансверсально-изотропной моментно-термоупругом пространстве // Int. Commun. Heat and Mass Transfer. 2010. - V. 37. - № 10. - P. 1452-1458.

86. Kumar R., Sharma J. N. Отражение плоских волн от границы термоупругого полупространства, моделируемого моментной упругой средой без диссипации энергии // Int. J. Appl. Mech. and Eng. 2005. - V. 10. - № 4. -P. 631-645.

87. Kumar Rajneesh, Singh Ranjit, Chadha Т. К. Метод собственных значений для второй динамической задачи теории микрополярных упругих тел // Indian J. Pure and Appl. Math. 2003. - V. 34. - № 5. - P. 743-754.

88. Liu Jun, Huang Ming, Ge Xiu-run. Решение задачи о концентрации напряжений, учитывающее влияние моментных напряжений // Shanghai jiaotong daxue xuebao J. Shanghai Jiaotong Univ. 2001. - V. 35. - № 10. - P. 1421-1425.

89. Muhlhaus H.-B., Triantafyllidis Th. Поверхностные волны в слоистом полупространстве с изгибной жесткостью // Ground Motion and Eng. Seismol. Amsterdam e. a. 1987. - P. 277-290.

90. Nistor I. Обобщенная теория термоупругих сред Коссера // Bui. Inst, politehn. Iasi. Sec. 1. 1991. - T. 37. - № 1. - C. 89-96.

91. Saxena Hirdeshwar S., Dhaliwal Ranjit S. Приложение метода собственных чисел к осесимметричной связанной микрополярной термоупругости // Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci. 1990. - T. 38. - № 1. - C. 7-18.

92. Shanjie Zhang, Jianming Jin. Computation of special functions. New York: John Wiley & Sons, 1996. - 740 p.

93. Suiker A. S. J., Metrikine A. V., De Borst R. Сравнение характеристик распространяющейся волны в модели континуума Коссера с соответствующими величинами в модели дискретной решетки // Int. J. Solids and Struct. 2001. - V. 38. -№ 9. - P. 1563-1583.

94. Tomar S. К. Распространение волн в моментно-упругом слое между жидким и моментно-упругим полупространствами // Int. J. Appl. Mech. and Eng. 2007. - V. 12. - № 1. - P. 255-262.i