Нестационарное движение твердых тел цилиндрической и сферической формы в сжимаемой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫХ

УРАВНЕНИЙ СТОКСА-НАВЬЕ.

§ I. Уравнения движения сжимаемой вязкой среды

§ 2. Представление решений линеаризированных уравнений Стокса-Навье. Постановка задачи о нестационарном движении твердых тел в сжимаемой вязкой среде

ГЛАВА П. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ТВЕРДОГО ЦИЛИНДРА В СЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ СРЕДЕ

§ I. Основные соотношения и постановка задачи для цилиндра.

§ 2. Исследование нестационарного поступательного движения, цилиндра в сжимаемой вязкой среде

§ 3. Исследование предельных случаев

§ 4. Движение цилиндра в начальные моменты времени.

§ 5. Исследование нестационарного поступательного движения цилиндра на конечном временном интервале

§ 6. Численное решение линейного интегрального уравнения Вольтерра П рода для цилиндра

§ 7. Анализ численного исследования нестационарного движения цилиндра

ГЛАВА Ш. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ТВЕРДОЙ СФЕРЫ В СЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ СРЕДЕ

§ I. Основные соотношения и постановка задачи для сферы.

§ 2. Исследование нестационарного поступательного движения сферы в сжимаемой вязкой среде

§ 3. Исследование предельных переходов

§ 4. Движение сферы в начальные моменты времени

§ 5. Исследование нестационарного поступательного движения сферы на конечном временном интервале

§ 6. Численное решение; линейного интегрального уравнения Вольтерра П рода для сферы.

§ 7. Анализ численных результатов

Динамическое взаимодействие твердых и деформируемых тел с различными средами - это распространенные и важные задачи как с точки зрения их математического решения, так и о точки зрения их приложения в инженерной технике. Классические результаты были получены в трудах Буссинеска, Кирхгофа, Лява, Ламба, Стокса, Озеена еще в прошлом веке. Дальнейшее развитие проблем взаимодействия тел со средами связано с работами А.Г.Горшкова, Э.И.Григолюка, А.Н.Гузя, А.А.Ильюшина, В.Д.Кубенко, У.К.Нигула, В.В.Новожилова, Х.А.Рахматулина, Л.И.Седова, Н.А.Слезкина, Л.И.Слепяна, Дж.Хаппеля, и Г.Бреннера и других авторов.

В настоящее время имеется достаточно большое количество работ, посвященных взаимодействию тел о деформируемыми средами. Имеется обширная литература обзорного и обобщающего характера, в которой отражены наиболее интересные и важные результаты исследований, а также приводится обширная библиография. К числу таких работ относятся монографии Э.И.Григолюка и А.Г.Горшкова [23] , А.Н.Гузя, В.Д.Кубенко и М.А.Черевко [28] , А.Н.Гузя и В.Д.Кубенко [Z1] , Б.В.Замышляева и Ю.С.Яковлева [32] , В.Д. КубенкоГ38] , Е.Н.Мнева и А.К.Перцева [4Z] , Х.А.Рахматулина, Я.У.Саатова, П.Ф.Сабодаша, И.Г.Филиппова [46] , И.Т.Селе-зова [56] , Л.И.Слепяна [61] , Л.И.Слепяна и Ю.С.Яковлева[6Z] В.Г.Чебана и И.Г.Филиппова[61] и др., а также статьи А.Э.Бабаева/7,Д7 # А.И.Бабичева [3-У] , В.Д.Кубенко [36,31] , п.Ф. Сабодаша [5f] и др.

Одной из задач, представляющих большой научный и практический интерес, является задача о движении твердых тел в деформируемых средах. Значительная часть исследований, посвященных взаимодействию твердого тела с жидкостью, проводилась в модели идеальной несжимаемой жидкости. Однако при исследовании сопротивления движению твердого тела эта модель становится неприемлемой ввиду существующего парадокса Даламбера. Этот парадокс является следствием пренебрежения силами внутреннего трения между слоями жидкости. Проблему сопротивления движению тела в жидкости решали, исходя из уравнений Стокса-Навье, учитывающих вязкие свойства жидкости, многие авторы.

Впервые задачу об обтекании неподвижного тела установившимся потоком несжимаемой вязкой жидкости рассматривал Стоке[8Z]* Он получил решение задачи обтекания сферы, полностью отбрасывая в уравнениях Стокса-Навье нелинейные конвективные члены. Этой же задачей занимались Басоет [71] , Озеен [3D] и другие авторы.

Нестационарное движение твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости в приближении Стокса было исследовано многими авторами. Прежде всего необходимо отметить работы Буссинеока£73/ А.И.Лурье [40] , Н.А.Слезкина [69] , Б.В.Русанова /><27 . Эти задачи решены для сферы. Нестационарное вращение цилиндра в несжимаемой вязкой жидкости рассмотрено в работах [67 , 17] Для исследования переходного процесоа здесь применялось интегральное преобразование Лапласа. Рассмотрены задачи вращения цилиндра с постоянной угловой скоростью [Т7] и вращение цилиндра, на единицу длины которого действует постоянный момент внешних сил [57] . Нестационарное движение твердой сферы в нестационарном потоке несжимаемой вязкой жидкости исследовалось CratignoC ом f74j .

Стоке [82] и Кирхгоф [33] рассматривали малые колебания твердого шара в несжимаемой вязкой жидкости.

Как известно, задача стационарного обтекания плоского контура потоком вязкой несжимаемой жидкости в приближении Стоке а вообще не имеет решения. Нестационарная задача для кругового цилиндра была рассмотрена в работах Бассета [7Z] , Н.А.Слез-кина [5в] , Б .В .Русанова [47, 49] , Н.А.Гумерова [Z9] . Было показано, что реакция жидкости на цилиндр, при равномерном поступательном движении последнего, для больших времен стремится к нулю как l/tn-t .

Приближение Озеена, когда в уравнениях Стокса-Навье кроме вязких членов сохраняется еще главная часть инерционных членов, позволило уточнить формулу Стокса для сферы [19] и получить Формулу для силы лобового сопротивления кругового цилиндра [76] при обтекании последнего стационарным потоком несжимаемой вязкой жидкости.

Более подробный обзор, посвященный движению твердых тел неканонической формы в несжимаемой вязкой жидкости можно найти в обзорной статье К.И.Страховича [64] .

Несмотря на значительные результаты, полученные при исследовании движения твердых тел в несжимаемой вязкой жидкости, задачу о движении тел под действием волн в этой модели решить невозможно ввиду бесконечно большой скорооти распространения возмущений в данной среде. Другое, практически важное направление исследований динамического взаимодействия твердых тел со средой связано с моделью идеальной сжимаемой жидкости или акустической среды. В отличие от уравнений Стокса-Навье, записанных для несжимаемой вязкой жидкости, которые не допускают распространения продольных возмущений, уравнение движения акустической среды является волновым.

Для исследования нестационарного движения шара в акустической среде Кирхгоф и Ляв использовали общее решение волнового уравнения в виде расходящихся волн (интеграл Даламбера). Кирхгофом было дано решение задачи определения потенциала скорости акустической среды, пришедшей в движение вследствие прямолинейного бесконечно малого перемещения жесткого шара по произвольному закону. Ляв исследовал нестационарные колебания шарового маятника, на который действует реакция акустической среды и восстанавливающая сила, путем сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Впервые задача о движении погруженных в акустическую среду твердых тел произвольной формы под действием акустической волны давления исследовалась В.В.Новожиловым , который получил точное значение для предельного перемещения тела с двумя плоскостями симметрии. Движение жесткой сферы под действием акуотической волны давления исследовано Э.И.Григолюком и А.Г. Горшковым [Z2 , Z3] 9 А.А.Харкевичем [ 70], Б.В.Замышляевым и Ю«С.Яковлевым [52] . Для сферы получено точное значение суммарной нагрузки для всего диапазона времени.

Задача о движении жесткой сферы под действием акустической ударной волны была впервые решена М.Н.Лефоновой [32] операционным методом. Аналогичная задача для бесконечно длинного кругового цилиндра при действии единичной ступенчатой волны была численно решена Ю.В.Горяиновым и Ю.А.Федоровичем [3Z] . Точное решение для сферы было также получено в [83] . Подробный анализ движения твердых тел различной конфигурации в акуотической ореде приводится в монографии [32] .

Таким образом, усложнение модели жидкости шло двумя путями. Во-первых, это переход от модели несжимаемой идеальной жидкости к модели несжимаемой вязкой жидкости; во-вторых, это переход от идеальной неожимаемой жидкости к акустической среде. Обе эти модели имеют недостатки: первая не может исследовать вопросы распространения волн в жидкости; вторая не учитывает вязкость жидкости. В работе А.Н.Гузя [Z4] дано представление решений линеаризированных уравнений Стокса-Навье для сжимаемой вязкой жидкости, выраженных через скалярный и векторный потенциалы, которые определяются из независимых уравнений. Эти потенциалы описывают распространение малых продольных и поперечных возмущений в сжимаемой вязкой жидкости. Как частный случай эти представления включают в себя как модель несжимаемой вязкой жидкости, так и модель акустической среды. В рамках вышеуказанной модели исследовались колебательные движения твердых сферы и цилиндра в сжимаемой вязкой жидкости [Z5] .

Практически важной моделью среды является также упругая среда. В рамках этой модели вопросами движения твердых сферы и цилиндра занимались многие авторы. Поступательное и вращательное движение цилиндра и сферы в упругой среде рассматривали А.И.Бабичев [г-14] , Т.Х.Саидов [!OJft f3,f4] , У. Саримсаков Х.А.Рахматулин [44-46] , П.Ф.Сабодаш^51,52]к многие другие авторы. В работах /"3--5", 7,53] использовалось общее решение в виде расходящихся волн, что позволило определить точные выражения в элементарных функциях для напряжений и перемещений в волновом поле, вызванным поступательным движением шара, и для реакции и реактивного момента упругой среды на шар.

Было рассмотрено два типа граничных уоловий: прилипание [ 7j и отсутствие трения [S3] .

Для исследования нестационарного движения цилиндра и шара в упругой среде использовались также интегральные преобразования Фурье [34] и Лапласа^] . В результате были определены выражения для реакции и реактивного момента упругой среды на шар при его движении по заданному закону [34] , а также изображения для функций сопротивления [9] , которые являют собой реакцию и реактивный момент среды на шар и цилиндр, движущиеся с постоянным ускорением. Для функций сопротивления в пространстве изображений были получены асимптотические разложения, которые соответствуют в пространстве оригиналов разложениям функций сопротивления в ряды Маклорена. Были произведены предельные переходы от упругой среды к акустической [9] .

При исследовании продольного движения цилиндра, поперечного и вращательного движения цилиндра и сферы использовался метод характеристик и приводились результаты расчета на ЭВМ функций сопротивления в виде таблиц и аппроксимаций квадратными функциями [&, 12, ft] .

Ряд работ посвящен движению твердых цилиндра и сферы под действием упругих волн. Задача о стационарном движении цилиндра в упругой среде под действием поперечной и продольной стационарных волн была рассмотрена Mites'QM [7S] . Аналогичные задачи о стационарном движении шара рассматривал SeLaura [8f], Ряд отечественных и зарубежных авторов рассматривали движение цилиндра и шара под действием нестационарных упругих волн. Фор-рестол и Альзхеймер [68\ исследовали движение твердого цилиндра, с которым взаимодействует плоская продольная упругая волна. При помощи преобразования Лапласа получены выражения для скорости и ускорения цилиндра и приведены числовые результаты для конкретных параметров упругой среды. В статье May [4/1 приведено решение задачи о неустановившемся движении твердого шара в упругой среде под действием волны сжатия, в которой скорость частиц затухает по экспоненциальному закону. Для этого частного случая May [4/] имел возможность применить интегральное преобразование Фурье и для перемещения, скорости и ускорения получил выражения через контурные интегралы. Эти же результаты получены в работе [-54] при помощи обыкновенного дифференциального уравнения, приближенно описывающее переходной процесс. В работах [44-, 4S] рассматривается движение жесткого цилиндра под действием ступенчатой волны сжатия, за фронтом которой касательное напряжение постоянно [44], и поперечной волны с аналогичным условием за фронтом волны [4-5J. Получены приближенные аналитические формулы путем решения обыкновенного дифференциального уравнения, действительном для интервалов О^Т^б

Реакция упругой среды, на неподвижный цилиндр при прохождении волны сжатия рассмотрена в работе [ffl] в предположении постоянства давления за фронтом волны. Реакция упругой среды на цилиндр аппроксимировалась квадратным функциями, которые просчитывались на ЭВМ. Аналогичная задача была решена [ilj для шара путем разложения компонент перемещения по полиномам Лежан-дра. В результате получено выражение для реакции упругой среды на шар при выполнении условий прилипания.

Нестационарное движение твердых тел исследовалось и в случае анизотропной упругой среды. Так, в работе П.Ф.Сабодаша [<&] исследовалось продольное движение кругового цилиндра в среде, свойства которой зависят от радиальной координаты по закону P~PQ Zn » fl-flo^™ (PQ пу т=const) . Было определено волновое поле в области вне цилиндра, а также реакция со стороны среды на цилиндр, движущийся по произвольному закону вдоль образующей. Задача решалась при помощи интегрального преобразования Лапласа. Вращение шара в анизотропной упругой среде рассмотрено в монографии

Вопросам; движения твердой сферы в упругой моментной среде посвящены работы

46 521 . Здесь решается ряд задач о распространении сферических волн в упругой моментной среде, вызванных вращением и поступательным движением жесткого шара.

Небольшое количество работ посвящено нестационарному движении твердых цилиндра и сферы в некоторых вязко-упругих средах. В работах исследуется медленное движение твердой сферы в анизотропной [20] и изотропной [2f ] несжимаемой линейной вязко-упругой жидкости. При помощи интегрального преобразования Фурье задача сводится к соответствующей задаче для вязкой несжимаемой жидкости. В работах А.И.Бабичева [$>9] рассматривается движение твердых цилиндра и сферы в линейной вязко-упругой среде. Для получения функций сопротивления, соответствующих движению шара и цилиндра в линейной вязко-упругой среде используются формулы и разложения, полученные в [Sf9] для случая упругой среды. При помощи указанныхвыражений и принципа соответствия [{$ ] определяются реакции (моменты) вязко-упругой среды на шар или цилиндр при конкретных законах движения последних. сжимаемой вязкой жидкости в рамках линеаризированной теории

В работе постановка задач для полностью аналогична постановке задач для других реологических моделей механики сплошной среды. Эта аналогия следует также из анализа определяющего уравнения. Показано, что в рамках'линеаризированной теории это уравнение соответствует: для шаровой части тензора напряжений телу Фойхта, для девиаторной - телу Ньютона. Здесь же указано на возможность получения результатов для сжимаемой вязкой жидкости (в рамках линеаризированной теории) из соответствующей задачи для упругого тела при помощи принципа соответствия ш.

На основе вышеуказанных работ можно сделать вывод о тоь«, что наиболее изученными являются вопросы взаимодействия твердых тел с классическими моделями сред (несжимаемой вязкой жидкостью, упругой и акустической средой). Значительно меньше работ посвящено неклассическим средам, в частности линейным вязко-упругим средам. Кроме того отметим, что осталиоь фактически неисследованными задачи, посвященные движению твердых тел в сжимаемой вязкой жидкости. Поэтому изучение динамики . твердых тел в этих средах представляет собой дальнейший этап в более адекватном описании процессов, происходящих в реальных средах.

Необходимо отметить, что постановка задач для исследуемой модели сжимаемой вязкой среды (линеаризированные уравнения Сто-кса-Навье) отличается от постановки задач как для несжимаемой вязкой жидкости, так и для акустической среды. Дело заключается в том, что в вышеуказанных моделях движение среды опиоывается одной функцией (тока - для несжимаемой вязкой жидкости, потенциалом продольных волн для акустической среды), в то время как в модели сжимаемой вязкой среды (в рамках линеаризированной теории Стокса-Навье) движение среды опиоывается двумя функциями: скалярным Ф и векторным V" потенциалами, описывающими распространение в сжимаемой вязкой среде продольных и поперечных волн. Указанная ситуация напоминает теорию распространения волн в вязко-упругих и, в частности, упругих средах.

В настоящей диссертационной работе на защиту выносятся постановка и решение задач нестационарного движения твердых тел цилиндрической и сферической формы в сжимаемой вязкой среде, включающие

1) постановку задачи о нестационарном движении твердых тел в сжимаемой вязкой среде на основе линеаризированных уравнений Стокса-Навье ;

2) аналитическое исследование движения твердых цилиндра и сферы в начальные моменты времени, включая предельные переходы к классическим моделям сред;

3) численное исследование нестационарного процесса движения цилиндра и сферы в сжимаемой вязкой среде и его переход к установившемуся.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в настоящей диссертационной работе дана постановка задачи о нестационарном движении твердых тел в сжимаемой вязкой среде и исследованы аналитически и численно задачи о нестационарном поступательном движении твердых цилиндра и сферы в сжимаемой вязкой среде, когда для последней применима линеаризированная теория Стокса-Навье. При этом получены следующие новые результаты:

X. Дана постановка задач о нестационарном движении твердых тел в сжимаемой вязкой среде на основе линеаризированной теории.

2. Аналитически исследовано изменение реакции сжимаемой вязкой среды на цилиндр и сферу в начальные моменты времени для конкретно заданных законов движения последних. Проведено сравнение характера изменения реакции среды на тело для различных моделей сред, и исследованы предельные переходы к акустической среде и несжимаемой вязкой жидкооти.

3. Для описания нестационарного движения и процесса выхода режима движения к установившемуся получены линейные интегральные уравнения Вольтерра П рода, которые являются приближенным для цилиндра и точным для сферы. Эти уравнения решены численно методом последовательных приближений для случаев движения цилиндра и сферы с постоянным ускорением. Реакция сжимаемой вязкой среды на цилиндр и сферу, движущиеся равномерно, найдена численно как производная от реакции среды при равномерном движении цилиндра и сферы. Реакция сжимаемой вязкой среды на цилиндр и сферу для рассматриваемых законов движения последних вычислена при различных значениях параметра, характеризующего размеры тел и свойства среды.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Изменение реакции сжимаемой вязкой среды в случав ускоренного движения цилиндра и сферы в начальные моменты времени происходит нелинейно, в отличие от упругой и акустической среды.

2. Изменение реакции сжимаемой вязкой среды на цилиндр и сферу начинается с нуля, в отличие от несжимаемой вязкой жидкости, для которой указанная величина изменяется от значения присоединенной массы.

3. На примере цилиндра показана применимость принципа соответствия путем получения результатов для сжимаемой вязкой среды из решения соответствующей задачи для упругого тела.

4. Начиная со времени для цилиндра и Т&4 для сферы процесс движения тел в сжимаемой вязкой среде становится установившимся, а реакция среды фактически совпадает с реакцией, определенной в модели несжимаемой вязкой жидкости.

5.На юменение реакции сжимаемой вязкой среды на цилиндр и сферу существенное влияние оказывает параметр, характеризующий размеры тел и свойства среды. С уменьшением этого параметра реакция среды на тело (отнесенная к массе среды, вытесненной телом) отличается от реакции, полученной в модели акустической

CtCto среди тем! болев, чем меньше параметр —рт— , причем это отличие болве существенно для сферических тел при одном и том же значении вышеуказанного параметра.

6. Для случая движения цилиндра и сферы в сжимаемой вязкой среде с постоянным ускорением для значений параметра

7 стационарное решение в исследуемой модели среды не совпадает с решением, полученным в модели несжимаемой вязкой жидкости. Это уменьшение реакции среды на тело проявляется впервые лишь в исследуемой модели среды.

1. Бабаев А.Э., Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Волновое движение вязкой сжимаемой жидкости между эксцентричными цилиндрическими оболочками. - Математическая физика, вып. 32, 1982, с. 91 -99.

2. Бабаев А.Э., Кубенко В.Д. Взаимодействие нестационарных волн с оболочками. В кн.: Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т.5. Механика элементов конструкций. Киев: Наук.думка, 1983. - с. 431 - 450.

3. Бабичев А.И. Поступательное движение шара в упругой среде. Изв. АН Уз ССР, оер. техн. наук, 1966, №4, с. 35 - 40.

4. Бабичев А.И. Вращательное движение шара в упругой среде. -Изв. АН Уз ССР, сер. техн. наук, 1966, № 6, с. 55 59.

5. Бабичев А.И. Движение твердых тел в упруго-вязкой среде. В кн.: Проблемы механики горных пород. Алма-Ата: Наука, 1966, с. 23 28.

6. Бабичев А.И. Определение реакции упругой среды на шар при выполнении условий прилипания. В сб.: Вопросы кибернетики и вычислительной математики. Ташкент: Фан, 1968, вып. 14, с. 106 115.

7. Бабичев А.И. Определение реакции упругой среды на движущееся жесткое тело. В сб.: Динамика оснований и фундаментов. Т. П. М., 1969. - с. 20 - 25.

8. Бабичев А.И. Плоскопараллельное движение жесткого шара в упругой среде. В кн.: Распространение упругих и упругоплас-тических волн. Ташкент: Фан, 1969, с. 29-41.

9. Бабичев А.И. Движение шара и цилиндра в линейной вязко-упругой среде. В кн.: Волны в неупругих средах. Кишинев, Изд-во АН МССР, 1970, с. 12 - 20.

10. Бабичев А.И., Саидов Т.Х. Определение реакции волны сжатия на неподвижный жесткий цилиндр. В сб.: Вопросы кибернетики и вычислительной математики. Ташкент: Фан, 1967, вып. 8, с« 127 - 134.

11. Бабичев А.И., Саидов Т.Х., Сарымсаков У. Определение реакции упругой среды на неподвижный шар при прохождении ступенчатой волны сжатия. В сб.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Фан, 1976, вып. 44, с. 167 -175.

12. Бабичев А.И., Сарымсаков У. Расчет движения жесткого цилиндра под действием ступенчатой упругой волны сжатия при помощи обыкновенного дифференциального уравнения. Докл. АН Уз ССР, № 4, 1975. - с. 13 - 15.

13. Бабичев А.И., Хидоятов К., Саидов Т.Х., Шибанова В.П. Расчет нестационарного движения цилиндра и шара в упругой среде при помощи метода характеристик. В сб.: Вопросы кибернетики и вычислительной математики, Ташкент: Фан, 1966, вып. 3, с. 66 81.

14. Басмат А.С. Нестационарное движение твердых тел в сжимаемой вязкой жидкости. Докл. АН УССР, Сер. А, 1983, № 4, с. 36 -40.

15. Баемат А.С. Нестационарное движение твердой сферы в сжимаемой вязкой жидкости. Прикл.механика, 1983, 19, №8, с. 118 - 121.

16. Баомат А.С., Жук А.П. Нестационарное движение твердых телв сжимаемой среде. Прикл.механика, 1984, 20, № 3, с. 114116.

17. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М., Мир, 1965. -428 с.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений на ЭВМ. Киев: Наук, думка, 1977. - 292 с.

19. Волков B.C. Медленное движение сферы в анизотропной вязко-упругой жидкости. ПММ, 1982, т. 46, вып. 2, с. 248 - 253.

20. Городцов В.А. Медленные движения жесткого шара в несжимаемых упруговязких жидкостях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1976,2, с. 9 16.

21. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Перемещение жесткой сферы под действием- акустической волны давления. Докл. АН СССР, 1.967, 177, №3, с. 539 - 541.

22. Григолюк З.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л., Судостроение, 1974. 208 с.

23. Гузь А.Н. 0 представлении решений линеаризированных уравнений Стокса-Навье. Докл. АН СССР, I960, 253, № 4, о. 825 -827.

24. Г'узь А.Н. Динамика твердых тел в снимаемой вязкой жидкости /покоящаяся жидкость/. Прикл. механика, 1981, 17, № 3,с. 3 22.

25. Гузь А.Н. Об одной аналогии в механике сплошной среды. -Докл. АН СССР, 1982, 263, № 3, с. 563 565.

26. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Методы расчета оболочек. Т. 5. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев: Наук, думка, 1982. - 400 с.

27. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук, думка, 1978. - 308 с.

28. Гумеров И.А. Обтекание цилиндра неустановившимся потоком вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса. -Вест. Моск. ун-та. Сер. I, 1983, № 2, с. 79 83.

29. Диткин В.А., Прудников А.II. Справочник по операционному исчислению. М.: Высш. школа, 1965. - 468 с.

30. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высш. школа, 1966. - 406 с.

31. Замышляэв Б.В., Яковлев Ю.С. Динамичеокив нагрузки при подводном взрыве. -Л., Судостроение, 1967. 388 с.

32. Кирхгоф Г. Механика, М., 1962. 404 о.

33. Ковшов А.Н., Симонов Н.В. 0 некоторых движениях жесткой сферы, впаяной в безграничную упругую среду. МТТ, 1967, $ 5, с. 155 - 162.

34. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: ГИФМЛ, 1963, Ч. 2. - 728 с.

35. Кубенко В.Д. Смещение в цилиндрической оболочке под действием цилиндрической волны в акустической среде. Изв. АН СССР, МТТ, 1972, № 6, о. 67 - 72.

36. Кубенко З.Д. Деформирование сферической оболочки под действием нестационарной сферической гидроакустической волны.

37. Прикл. механика, 1972, 8, №10, с. 106 НО.

38. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наук, думка, 1979. - 184 с.

39. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М., ГИФМЛ, 1951. -524 с.

40. Лурье А.И. Некоторыэ случаи движения твердого тела в вязкой жидкости. Вестник механики и прикладной математики, I, Л., Х929.

41. May Неустановившееся движение твердой сферы в упругой срв-де. Прикл. механика, 1965, № 3, с. 183 - 188. (Тр. амер. о-ва инж.-мех.).

42. Мнев Е.Н., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. Л., Судостроение, 1970. - 365 с.

43. Новожилов 13.В. О перемещении абсолютно твердого тела под действием акустической волны давления. ПММ, 1959, 23, вып. 4, с. 794 - 796.

44. Рахматулин Х.А., Бабичев А.И., Саримсаков У. Движение жесткого цилиндра, впаяного в упругую среду под действием поперечной волны. ДАН Уз ССР, 1976, № 5, с. 20 21.

45. Рахматулин Х.А., Бабичев А.И., Саримсаков У. Расчет поступательного и вращательного движения жесткого цилиндра при воздействии поперечной упругой волны. Изв. АН Уз ССР, сер. техн. наук, 1979, № I, с. 29-36.

46. Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Сабодаш П.Ф., Филиппов И.Г. Двумерные задачи по неустановившемуся движению сжимаемых сред. Ташкент: Фан, 1969. 287 с.

47. Русанов Б.В. Медленное неустановившееся обтекание кругового цилиндра вязкой жидкостью. Докл. АН СССР, 1953, 89, № 6,о. 983 986.

48. Русанов Б.В. Медленное неустановившееся обтекание шара вязкой жидкостью. Докл. АН СССР, 1953, 90, № I, с. 41 44.

49. Русанов Б.З. Медленное неустановившееся обтекание кругового цилиндра вязкой жидкостью. Вест. Ленингр. ун-та, сер. матем., физики и химии, № 2, 155. - с. 81 - 106.

50. Саатов Я.У., Сабодаш П.Ф., Филиппов И.Г. 0 движении цилиндров в упругой среде. 1У Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и упруго-пластических волн. Тезисы докладов. Изд-во АН МССР, Кишинев, 1968.

51. Сабодаш П.Ф. Некоторые автомодельные задачи динамики и сжимаемой среды. В сб.: Труды Гидропроэкта, сборник двадцатый. Сейсмическое воздействие на гидротехнические сооружения. М., 1971. о. 219 224.

52. Сабодаш П.Ф., Филиппов И.Г. 0 вращательном и поступательном движении шара в упругой моментной среде. В сб.: Механические процессы в горном массиве. Алма-Ата: Наука, 1969.с. 43 49.

53. Саидов Т.Х., Хидоятов К. Реакция упругой среды на поступательно движущийся гладкий шар. В сб.: Вопросы кибернетикии вычислительной математики. Ташкент: Фан, 1968, вып. 14, с. 141 - 157.

54. Саримсаков У. Движение жесткого шара под воздействием, упругой волны сжатия. ДАН Уз ССР, 1976, № 6, с. 13-15.

55. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. -Т. 2. - 576 с.

56. Селе зов К.Т., Яковлев З.В. Дифракция волн на симметричных неоднородностях. Киев: Наук, думка, 1978. - 148 с.

57. Сенницкий 8.Л. Нестационарное вращение цилиндра в вязкойжидкости. ПМТФ, 1980, № 3, с. 66 - 69.

58. Слезкин Н.А. Неустановившееся движение цилиндра в вязкой жидкости. Уч. зап. МГУ, 1940, 46, с. 19 37.

59. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., Гостехиздат, 1955. 520 с.

60. Слепян Л.И. О перемещении деформируемого тела в акустической среде. ПММ, 1963, 27, № 5, с. 918 - 923.

61. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л., Судостроение, 1972. - 375 с.

62. Слепян Л.И., Яковлев 10.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л., Судостроение, 1980. - 344 с.

63. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М.: Наука, 1979. - 832 с.

64. Страхович К.И. Гидромеханика вязкой жидкости. ПММ, 1935, II, № 2, с. 287 - 303.

65. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М., Изд-во иностр. лит., I960. 299 с.

66. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустической и упругой средах. М., Машиностроение, 1977. - 304 с.

67. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Неустановившиеся движения сплошных сжимаемых сред. Кишинев, Изд-во Штиинца, 1973. -436 с.

68. Форрестол, Альзхеймер. Неустановившееся движение жесткого цилиндра под действием упругих и акустических волн. Прикл, механика, 1968, № 3. с. 278 - 283. (Тр. амер. о-ва инж.-мех.).

69. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидромеханика при малых числах Рейнольдеа. М.: Мир, 1976. - 632 с.

70. Харкевич А.А. Неустановившиеся волновые явления. М., Гос-техтеориздат, 1950. 202 с.

71. Basset А.В. Trans, fioy. Soc. London Л. 179, 1888, р.43.

72. Basset А.В. A treatise on hydrodynamics with numerous examples, vol.2. Cambridge, 1888, 275-282.

73. Boussinesq J. Theorie de la chaleur. t.2.74.. G-atignol R. The Non-Uniform Motion of a Sphere in an Unsteady Non-Uniform Stream of Viscous Incompressible Fluid. -ZAMM, 1983, Bd 63, N'4, s.252-254.

74. Hitchcock A. J. M. Polynomial approximations to Bessel function of order zero and one and to related functions. -M.T.A.C., v.11, 1957, pp.86-88.

75. Lamb H. Phil; Mag.(6), 21, 1911.

76. Mallick D.D. Nonuniform Rotation of an Infinite Circular Cylinder in an Infinite Viscous Liquid.-ZAMM, 1957, Bd 37, N 9/10, s.385-392.

77. Oseen C.W. Hydrodynamik. Leipzig, 1928.

78. Sezawa K. Scattering of Elastic V/awes and some Applied Problems. Bulletin of the Earthquaque Research Institute, Tokyo, Imperial University, Japan, vol.3, 1927, P*19«