Удар цилиндрической оболочки по упругой полуплоскости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Постановка нестационарной контактной задачи для упругой цилиндрической оболочки и упругого полупространства.

§ 1.1. Современное состояние исследований.

§ 1.2. Уравнения движения полупространства и оболочки, начальные и граничные условия.

§ 1.3. Функции влияния для полупространства.

Глава 2. Исследование контактного взаимодействия на сверхзвуковом этапе расширения области контакта.

§ 2.1. Система разрешающих уравнений.

§ 2.2. Алгоритм решения задачи на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

§ 2.3. Примеры расчетов.'.:.::.

Глава 3. Исследование контактного взаимодействия на произвольном временном интервале.

§ 3.1. Функция влияния для оболочки.

§ 3.2. Система разрешающих уравнений.

§ 3.3. Алгоритм решения.

§ 3.4. Примеры расчетов.

Глава 4. Исследование контактного взаимодействия с учетом деформации граничных поверхностей.

§ 4.1 Разностная схема и итерационный метод решения.

§ 4.2. Примеры расчетов.

Механика контактного взаимодействия является одним из актуальных разделов механики деформируемого твердого тела. В настоящее время уделяется все большее внимание этому интересному и важному как в теоретическом, так и в прикладном плане направлению. Интенсивное проведение и развитие исследований в области контактных задач стимулируется запросами различных областей науки и техники. Исключительно важное значение эти задачи приобретают для развития промышленности и совершенствования технологий. Экономические потери от износа и разрушения контактирующих элементов машин и оборудования огромны. В этой связи развитие этой области приобретает не только чисто научное, но и большое прикладное и экономическое значение. За последние десятилетия трудами многих ученых создана обширная теоретическая база исследований в области контактных задач. Получены решения широкого круга проблем.

Из всех направлений развития контактных задач в настоящее время наименее изученными являются нестационарные контактные задачи. Это связано, прежде всего, со значительной математической сложностью решения подобных вопросов. Развитие аналитических подходов к их решению представляет огромный научный и практический интерес, т.к. строгое аналитическое решение какого- либо круга этих проблем позволяет выявить основные закономерности протекания процессов нестационарного контактного взаимодействия. Наряду с аналитическими методами интенсивно разрабатываются численные методы, но и в этой области пока не достигнуто достаточно полных результатов.

Данная работа посвящена исследованию нестационарной контактной задачи с подвижной областью взаимодействия об ударе деформируемой цилиндрической оболочки по упругому полупространству. Такие задачи возникают при определении напряженно-деформированного состояния в процессе динамического взаимодействия тел сложной геометрической формы. Решение задач подобного класса осложняется неизвестностью заранее области контактного взаимодействия, которая зависит от времени. Традиционные апробированные методы решения, используемые для задач с фиксированной областью контакта, в этих случаях не применимы.

В главе I приводится обзор публикаций, посвященных изучению контактного взаимодействия деформируемых тонких оболочек с деформируемым полупространством. Он показывает, что задача о динамическом контактном взаимодействии деформируемой цилиндрической оболочки с упругим полупространством исследована недостаточно. Дается общая постановка задачи об ударе деформируемой оболочки по упругому полупространству. Приводятся уравнения движения линейного упругого однородного изотропного полупространства и уравнения плоского движения линейно упругой бесконечно длинной цилиндрической оболочки в форме С. П. Тимошенко. Ставятся начальные и граничные условия. Обсуждаются аспекты линеаризации начально-краевой задачи. - ?

Глава 2 посвящена исследованию процесса нестационарного взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с упругим полупространством на так называемом «сверхзвуковом» этапе взаимодействия. Он характеризуется превышением скорости расширения области контактного взаимодействия скоросрГ^распространения волн растяжения-сжатия в упругом полупространстве. При этом перемещения полупространства не выходят за границу зоны контакта.

Для этого этапа задача сведена к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений относительно коэффициентов рядов Фурье разложения искомых функций. При решении задачи используется интегральная формула связи контактного давления с нормальными перемещениями. Приводятся примеры расчетов.

В главе 3 рассматривается контактная задача на произвольном временном интервале в нулевом приближении (область контакта определяется из условия пересечения недеформированных границ полупространства и оболочки). Здесь разрешающей является система интегральных уравнений относительно контактного давления, которая решается численно с использованием специальных квадратурных формул, позволяющих учитывать сингулярные особенности ядер интегральных операторов. Построена разностная схема для разрешающей системы уравнений и численный алгоритм решения. Приводятся примеры расчетов.

Глава 4 посвящена исследованию нестационарного контактного взаимодействия на произвольном временном интервале при учете деформируемости граничных поверхностей и возможного их отрыва. Построен и реализован итерационный процесс решения задачи. Решение, полученное с помощью алгоритма, разработанного в главе 3, принимается за нулевое приближение. Далее на каждом временном шаге определяется распределение контактного давления по зоне контакта. По найденному контактному давлению с использованием соответствующих функций влияния находятся перемещения полупространства и оболочки. Для учета возможного выхода упругих перемещений за границу области взаимодействия они вычисляются не только по области контакта, но и за ее границей. Затем производится уточнение границы области взаимодействия. Перемещения полупространства и оболочки сравниваются между собой. Если в некото6 рой области, принадлежащей граничной поверхности полупространства, разность перемещений отлична от нуля, то на следующей итерации эта область исключается из расчета. Таким образом, учитывается возможная многосвязность области взаимодействия.

На каждом временном шаге итерационный процесс приближения продолжается до тех пор, пока не будет достигнута удовлетворительная сходимость по норме. Приводятся примеры расчетов.

Основные результаты диссертационной работы следующие:

1. Дана постановка и получено решение новой плоской нестационарной контактной задачи с подвижными границами о вертикальном ударе тонкой круговой цилиндрической оболочки по упругому полупространству.

2. Для начального сверхзвукового этапа взаимодействия предложен и реализован алгоритм решения, основанный на использовании интегральной связи нормальных перемещений границы полупространства и контактного давления. В результате задача сведена к задаче Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения компонентов напряженно-деформированного состояния в тригонометрические ряды Фурье. Эта система интегрируется численно с использованием метода редукции. Проведено численное исследование сходимости.

3. Подробно исследована функция влияния для оболочки.

4. Дана численно-аналитическая методика решения задачи на произвольном временном интервале в нулевом приближении, под которым понимается определение области контакта из условий пересечения недеформированных граничных поверхностей полупространства и оболочки. Основой разрешающей системы уравнений является двумерное граничное интегральное уравнение типа Воль-терра с ядрами в виде функций влияния для взаимодействующих тел. Построен и реализован основанный на учитывающих особенности ядер квадратурных формулах пошаговый по времени численный

Заключение

1. Абрамовиц М, Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

3. Баженов В. Г., Кочетков А. В., Крылов С. В. Анализ нелинейных эффектов при высокоскоростном проникновении тел в сжимаемую жидкость // Прикл. мех. 1986. Т. 22. № 2. С. 125-127.

4. Баженов В. Г., Кочетков А. В., Крылов С. В. Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии оболочечных конструкций с жидкостью и газом // Взаимодействие тел с границами раздела сплошной среды. Чебоксары, 1985. С. 11-15.

5. Баженов В. Г., Кочетков А. В., Крылов С. В., Угодчиков А. Г. Высокоскоростной удар упругопластических тонкостенных конструкций о поверхность сжимаемой жидкости // Изв. АН. МТТ. 1984. № 5. С. 161-169.

6. Бакулин В. Н., Овчаров П. Н., Потопахин В. А. Экспериментальное исследование деформаций тонких конических оболочек в процессе проникания в грунт //Тр. 14 Всес. конф. по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 1987 г. Т. 1. Тбилиси, 1987. С. 164-169.

7. Бакулин В. Н., Овчаров П. Н., Потопахин В. А. Экспериментальное исследование деформаций тонких конических оболочек впроцессе проникания в грунт // Изв. АН. МТТ. 1988. № 4. С. 188191.

8. Баландин В. В., Врагов А. М. Экспериментальная методика измерения сил сопротивления при взаимодействии ударника с грунтовой средой // Прикл. пробл. прочн. и пластич.: методы реш. Н.Новгород, 1991.С. 101-104.

9. Бивин Ю. К. Косой вход группы тел в упругопластическую среду // Изв АН. МТТ. № 4. С. 172-173.

10. Бивин Ю. К., Викторов В. В., Коваленко Б. Я. Определение динамических характеристик грунтов методом пенетрации // Изв. АН. МТТ. 1980. №3. С. 105-110.

11. Бивин Ю. К., Глухое Ю. М., Пермяков Ю. В. Вертикальный вход твердых тел в воду // Изв. АН. МЖГ. 1985. № 6. С. 3-9.

12. Бобров А. В. Удар сферической оболочки о грунт // Взаимод. пластин и оболочек с жидкостью и газом. М., 1984. С. 122-127.

13. Богданов В. Р., Попов С. Н. Вертикальный удар сферической оболочки об упругое полупространство //Тр. 17 научн. конф. мол. ученых ин-та мех. АН Украины, Киев, 19-22 мая, 1992 г. Киев, 1992.

14. Богомолов В. Г. Наклонный вход цилиндрической оболочки в жидкость // Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом. М., 1984. С. 83-91.

15. Богомолов В. Г. Об одном случае несимметричного погружения цилиндрической оболочки в несжимаемую жидкость // Прикл. мех. 1987. Т. 23. № 4. С. 99-103.

16. Брычков Ю. А., Прудников А.П., Маричев. О. И. Интегралы и ряды. // М.: Наука, 1991. 797 с.

17. Бухарев Ю. Н., Кораблев А. Е., Хаймова М. И. Экспериментальное определение касательных напряжений на поверхности ударника при динамическом внедрении в грунт // Изв. АН. МТТ. 1995. №2. С. 186-188.

18. Вакалов Г. Н., Горшков А. Г. Проникание двухслойных оболочек вращения в несжимаемую жидкость // Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом. М., 1984. С. 73-82.

19. ВестякА. В., Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мех. деформ. тверд, тела. 1983. Т. 15. С. 69-148.

20. Власова И. П. Взаимодействие пологой сферической оболочки с преградами // Прочн., устойч. и колеб. элементов констр. летат. аппаратов. М., 1986. С. 4-10.

21. Гавриленко В. В. Определение напряженно-деформированного состояния проникающих в сжимаемую жидкость тонких упругих сферических оболочек // Прикл. мех. 1988. Т. 24. № 9. С. 30-37.

22. Гавриленко В. В. Удар тонкой упругой цилиндрической оболочки о поверхность жидкости // Гидромеханика. 1990. № 62. С. 34-39.

23. Горшков А. Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами // Изв. АН. МТТ. 1981. № 4. С. 177189.

24. Горшков А. Г., Богомолов В. Г. Взаимодействие двухслойных цилиндрических оболочек с жидкостью // Задачи мех. тверд, де-формир. тела. М., 1985. С. 55-63.

25. Горшков А. Г., Дробышевский Н. И. Наклонный вход цилиндрических оболочек в жидкость // Изв. АН. МТТ. 1987. № 2. С. 164170.

26. Горшков А. Г., Дробышевский Н. И. Численное исследование процесса входа оболочек вращения в жидкость // Прикл. мех. 1988. Т. 24. №12. С. 39-44.

27. Горшков А. Г., Колодяжный В. А. Нормальный удар конических оболочек о грунт //Тр. 16 междунар. конф. по теории пластин и оболочек, Н-Новгород, 21-23 сент., 1993 г. Т. 1. Н-Новгород, 1994. С. 72-76.

28. Горшков А. Г, Коровайцев А. В., Мартиросов М. И. Расчет оболочек вращения при нестационарном взаимодействии с жидкостью // Динам, и прочн. элементов машин. М., 1987. С. 57-64.

29. Горшков А. Г., Лобода А. И. Вертикальный удар цилиндрической оболочки о грунт // Взаимод. пластин и оболочек с жидк. и газом. М., 1984. С. 128-135.

30. Горшков А. Г., Лобода А. И. Удар цилиндрических оболочек о деформируемые преграды //13 Всес. конф. по теории пластин и оболочек, Таллинн, 1983 г. Ч. 2. Таллинн, 1983. С. 18-22.

31. Горшков А. Г., Лобода А. И., Смелянский С. В. Динамическое поведение оболочек вращения при взаимодействии со сплошной средой // Колеб. упруг, констр. с жидк.: Сб. науч. докл. 5 Всес. симп., Новосибирск, 1982 г. М., 1984. С. 90-94.

32. Горшков А. Г., МартиросовМ. И. Динамика и прочность элементов тонкостенных конструкций при нестационарном взаимодействии с жидкостью // Современ. пробл. строит, мех. и прочности ЛА: Тр. 11 Всес. конф., Куйбышев, 1986 / Тез. докл. Куйбышев, 1986. С. 37.

33. Горшков А. Г., Медведский А. Л. Тарлаковский Д. В., Федотенков Г. В. Нестационарные контактные задачи с подвижными границами для деформируемого тела и полупространства // Известия высших научных заведений Северо-Кавказский регион, 2000. №3 С. 41-46.

34. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамика абсолютно твердой сферической оболочки с заполнителем при ударе по упругому полупространству // II Всес. конф. по мех. неоднор. структур, Львов, 1987: Тез. докл. Т. 1. Львов, 1987. С. 74-75.

35. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства // Прочность пластин и оболочек при комбинированных воздействиях. М.: МАИ, 1987. С. 16-25.

36. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука. Физматлит, 1995. 352. с.

37. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Нестационарная аэрогидроуп-ругость тел сферической формы. М.: Наука, 1990. 264 с.

38. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Удар цилиндрической оболочкой по упругому полупространству // Тр. XVI Гагаринских научн. чтений по космонавтике и авиации, Москва, 1986. М., 1987. С.165.

39. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В., Федотенков Г. В. Вертикальный удар цилиндрической оболочкой по упругой полуплоскости // Акт. пробл. разв. трансп. систем: Тез. докл. междунар. научн,-тех. конф. Гомель: БелГУТ, 1998. С. 194-195.

40. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В., Федотенков Г. В. Плоская задача о вертикальном ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству//Изв. РАН. МТТ№ 5, 2000. С. 151-158.

41. Григолюк Э. К, Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. Л.: Судостроение, 1976. 200 с.

42. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Погружение упругих оболочек вращения в жидкость // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мех. де-формир. тверд, тела. 1977. Т. 10. С. 63-113.

43. Епифанов В. П. Разрушение льда при контактных взаимодействиях//Изв. АН. МТТ. 1986. № б. С. 177-185.

44. Епифанов В. 77., Кузьменко В. 77. Механика разрушения снега // Изв. АН. МТТ. 1986. № 4. С. 190-197.

45. Ерошин В. А., Константинов Г. А, Романенков Н. И., Якимов Ю. Л. Распределение давления по поверхности сферического сегмента при погружении в сжимаемую жидкость // Изв. АН. МЖГ. 1986. №2. С. 9-14.

46. Ершов Н. Ф., Шахверди Г. Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: Судостроение, 1984. 240 с.

47. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике // М.: Мир, 1978. 518с.

48. Кочетков А. В., Крылов С. В. О влиянии нелинейных эффектов в задаче удара сферической оболочки о поверхность жидкости // Колебания упруг, конструкций с жидкостью: Сб. науч. докл. 5 Всес. симп., Новосибирск, 1992. М., 1984. С. 150-155.

49. Кочеулов Ю. В., Шуршалов А. И. Удар цилиндрических оболочек о жидкость // Расчет на прочн. и оптим. проектир. элем, авиац. констр.М., 1988. С. 46-51.

50. Кубенко В. Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость. Киев: Наук, думка, 1981. 160 с.

51. Кубенко В. Д., Богданов В. Р. Плоская задача удара оболочки об упругое полупространство // Прикл. мех. 1995. Т. 31. № 6. С. TS-SS. 16.

52. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В. Осесимметричная задача проникания тонких упругих сферических оболочек в сжимаемую жидкость // Прикл. мех. 1988. Т. 24. № 4. С. 63-74.

53. Лобода А. И. Проникание в жидкость оболочек вращения // Динам. упруг, и тверд, тел, взаимодейств, с жидкостью. Томск, 1984. С. 83-87.

54. Ломакин А. Н., Любомудров А. В. Измерение параметров ударного взаимодействия конструкций с жидкостью // Динам, упруг, и тверд, тел, взаимодейств, с жидкостью. Томск, 1984. С. 88-90.

55. Любин Л. Я., Повицкий А. С. Косой удар твердого тела о грунт // Ж. приют, мех. и техн. физ. 1966. № 1. С. 83-92.

56. Максимова Е. А., Петухова В. И., Шахверди Г. Г. Численное моделирование погружения тел и конструкций в жидкость // X Дальневосточ. научно-техн. конф., Владивосток, 1987: Тез. докл. Владивосток, 1987. С. 89-90.

57. Мартиросов М. И. Динамика деформируемых систем при несимметричном входе в жидкость // Прочн. пластин и оболочек при комбинир. воздействиях. М., 1987. С. 41-49.

58. Мартиросов М. И. Динамическое поведение оболочечных конструкций при нестационарном взаимодействии с границей раздела двух сред // II Всес. конф. по механике неоднород. структур, Львов, 1987: Тез. докл. Т. 1. Львов, 1987. С. 168.

59. Мартиросов М. И. Численное исследование динамического поведения сферической оболочки, связанной с твердым телом, при наклонном погружении в жидкость // Тр. XVI Гагаринских научн. чтений по космон. и авиации, Москва, 1986. М., 1987. С. 175.

60. Мартиросов М. И., Рабинский Л. Н. Численное исследование нелинейных эффектов при проникании в жидкость тонкостенных оболочечных конструкций с внутренними массами // Температур, задачи и устойч. пластин и оболочек. Саратов, 1988. С. 66-67.

61. Мартиросов М. И., Шуршалов А. И. Поведение сферических оболочек при ударе о жидкость // Эксплуатац. и конструктивная прочн. судовых констр: VIII Бубновские чтения, Горький, 1988: Тез. докл. Горький, 1988. С. 71.

62. Мартиросов М. И., Шуршалов А. И. Погружение в жидкость цилиндрических оболочек из композиционных материалов // Де-формир. и разруш. элем, констр. летат. аппаратов. М., 1989. С. 81-88.

63. Мартиросов М. И., Шурмалов А. И. Ударное взаимодействие трехслойной сферической оболочки с жидкостью // Вопр. прочн. тонкостей, констр. М., 1989. С. 16-20. 57.

64. Парышев Э. В., Воронин В. В., Тормахов А. Ю. Устройство для исследования процесса удара о поверхность жидкости // Авт .с-во СССР. 01 № 13/00, № 1242765. Заявл. 3.01.85, опубл. 7.07.86.

65. Попов С. Н., Богданов В. Р. Вертикальный удар цилиндрической оболочки об упругое полупространство // Тр. 16 научн. конф. мол. ученых ин-та мех. АН Украины, Киев, 21-24 мая, 1991 г. Ч. 2. Киев, 1991. С. 332-337 (Рук. деп. в ВИНИТИ 12.11.91, 4260-В91).

66. Сагомонян А. Я. Проникание (проникание твердых тел в сжимаемые сплошные среды). М.: МГУ, 1974. 299 с.

67. Сагомонян А. Я. Удар и проникание тел в жидкость М.: МГУ, 1986. 172 с.

68. Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах.- М.: МГУ, 1963. 356 с.

69. Сагомонян А. Я., Моргунов М. Н. Проникание упругой цилиндрической оболочки с жестким срезом в грунт // Газ. и волнов. динам. 1979. №3. С. 138-141.

70. Смелянский В. А. Методика и экспериментальное исследование взаимодействия оболочечных конструкций с различными средами и полями // VI Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Ташкент, 1986: Аннот. докл. Ташкент, 1986. С. 572-573.

71. Тарлаковский Д. В. Вертикальный удар абсолютно твердой сферы с заполнителем по упругому полупространству // Расчет на прочн. и оптим. проектир. элементов авиац. конструкций. М.: МАИ, 1988. С. 41-46.

72. Тарлаковский Д. В. Плоская задача об ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству // Тр. 14 Всес. конф. по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 20-23 окт., 1987 г. Т. 2. Тбилиси, 1987. С. 471-476.

73. Тарлаковский Д. В. Удар абсолютно жесткой оболочки с заполнителем по упругому полупространству // Деформир. и разруш. элементов конструкций летат. аппаратов. М.: МАИ, 1989. С. 129138.

74. Тарлаковский Д. В. Удар цилиндрической оболочки с акустическим заполнителем по упругому полупространству // Совр. пробл. строит, мех. и прочн. летат. аппаратов: Тез. докл. III Всес. конф., Казань, 1988 г. Казань, 1988. С. 142.

75. Тарлаковский Д. В., Федотенков Г. В. Удар цилиндрической оболочки по упругому полупространству // Матер. IV междунар. симп. «Динам, и технол. пробл. мех. констр. и сплош. сред». М.: из-во ГРАФРОС, 1998. С.130-134.

76. Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Контактное взаимодействие цилиндрической оболочки и упругой полуплоскости //1 Всерос. конк. курсовых и дипломных проектов студ. по спец. «Технология и качество авиац. техники.». М.: изд-во «МАИ», 1999. С. 4043.

77. Федотенков Г.В. Ударное взаимодействие тонкого цилиндра с упругим полупространством // Проблемы перспективной авиационной техники: Сб. статей науч.-исслед. работ студ., аспир. и мол. ученых. М.: изд-во «МАИ» 1999. С. 97-103.

78. Ы.Фшяков А. Б., Коган В. В., Выходцев В. Н. Распределение давлений на поверхностях деформатора при его внедрении в сыпучую среду // Горн., строит, дор. машины. 1991. № 44. С. 13-24.

79. Шахверди Г. Г. Исследование по МКЭ проникания твердых и деформируемых тел в сжимаемую жидкость // Соверш. и опти-миз. констр., изготавл. с примен. мягк. оболочек: Дальневост. конф. по мягк. оболочкам / Тез. докл. Владивосток, 1983. С. 8991.

80. Шахверди Г. Г. Исследование проникания деформируемых тел в жидкость методом конечных элементов // Всес. конф. «Пробл. динам, взаимод. деформ. сред, Горис (АрмССР), 1984: Тез. докл. Ереван, 1984. С. 312-314.

81. Шуршалов А. И. Поведение ортотропных цилиндрических оболочек при нестационарном нагружении // Взаимод. пластин и оболочек с жидк. и газом. М., 1984. С. 60-72.

82. Bateman V. /., Came Т. G., McCau D. М. Force reconstruction for impact tests of an energyabsorbing nose // Int. J. Anal, and Exp. Modal Anal. 1992. V. 7. No 1. P. 41-50.

83. Hirano S., Yoshikawa S., Himeno Y. Pressure measurement on the bottom of a wedge-form planing plate // J. Kansai Soc. Nav. Archit. Jap. 1988. No 208. P. 45-52.

84. Hirano S., Yoshikawa S., Himeno Y. Pressure measurement on the bottom of a wedge-form planing plate // J. Kansai Soc. Nav. Archit. Jap. 1988. No 208. P. 45-52.

85. Watanabe Shouhei Modulus of deformation and Poisson's ratio of soils obtained by plate loading tests using two cylindrical pits // Trans. JSIDRE. 1996. No 184. P. 641-648.