Воздействие нестационарной поверхностной нагрузки на упругое моментное полупространство тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

а

На правах руке

005059364

СУВОРОВ ЕВГЕНИИ МИХАИЛОВИЧ

ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА УПРУГОЕ МОМЕНТНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 МАЯ 2013

Москва-2013

005059364

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент,

Федотенков Григорий Валерьевич

Официальные оппоненты: Солдатенков Иван Алексеевич,

Защита состоится «05» июня 2013 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан «0?>» мая 2013 г.

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского

РАН.

Земсков Андрей Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), доцент.

Ведущая организация: ФГБОУВПО "Московский государственный

университет имени М.В.Ломоносова" (НИИ механики МГУ)

Ученый секретарь диссертационного совета

Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время наиболее исследованными являются задачи о распространении нестационарных возмущений в классических упругих средах. При этом практически отсутствуют публикации по проблеме распространения нестационарных волн в упругих средах с учетом внутреннего момента количества движения (моментные среды). Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с микроскопической точки зрения состоит из частиц, обладающих согласованным моментом количества движения даже при нулевой макроскопической скорости. К таким средам относятся гранулированные среды, среды с гиромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и т.д. В последнее время, в связи с бурным развитием технологий, появилась насущная потребность в развитии теорий, которые с большой степенью точности описывают процессы деформирования, проходящие в мелкозернистых и нанораз-мерных средах, волновые процессы в кристаллах и поликристаллических структурах, т.е. в средах, где особенностями строения на кристаллическом и наноуров-не уже нельзя пренебречь. Классическая теория упругости не описывает с необходимой точностью процессы в подобных материалах. Поэтому исследование нестационарных процессов в моментных средах представляет собой актуальную проблему.

Целью диссертационной работы является постановка и построение аналитического решения плоской задачи о распространении нестационарных граничных возмущений в моментной упругой среде - континууме Коссера.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Дана постановка и получено аналитическое решение новой плоской нестационарной задачи типа Лэмба для упругого моментного полупространства;

2. Разработана методика и реализован алгоритм решения задач о распространении поверхностных возмущений при воздействии поверхностной нагрузки на упругое моментное полупространство, заполненное средой Коссера.

Практическое значение работы. Полученные результаты обеспечивают возможность исследования поведения различных конструкций из композиционных

3

материалов при действии на них нестационарных нагрузок, адекватном описании процессов распространения волн в материалах, обладающих микроструктурой. В первую очередь, указанные возможности имеют актуальное значение при создании современных объектов авиационной и ракетно-космической техники (где переход на использование композиционных материалов является критически важным), но, вместе с тем, важны и востребованы и в других отраслях промышленности (в том числе — автомобильной, энергетической, машиностроительной).

Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов подтверждается использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для классической упругой среды.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на

- Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Московская обл., 2011,2012,2013 г.г.);

- X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 23 - 30 августа 2011 г.);

- Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в авиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17 — 20 апреля 2012 г.);

- Ломоносовских чтениях (Москва, МГУ, 16-20 апреля 2012 г.);

- Украинско-российском научном семинаре «Нестационарные процессы деформирования элементов конструкций, обусловленных воздействием полей различной физической природы» (Украина, Львов, 10-15 сентября 2012 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в девяти печатных работах, в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит 117 страниц. Список используемой литературы включает 84 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.

В первой главе приведен обзор литературы, определена проблема получения аналитического решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Отмечено, что наибольшее развитие общей теории несимметричной упругости получили в конце 50-х - 70-х годов прошлого столетия В. Новацкий, В.Т. Костер, Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинский, Р.Д. Миндлин и Г.Ф. Тирстен, P.A. Тупин, И.А. Кунин, В.А.Пальмов, А.И. Лурье и др. Современные исследования задач моментных сред принадлежат следующим авторам: С.М. Белоносову, Г.Л. Бровко, Г.А. Ванину, В.И. Ерофееву, В.В. Корепанову, М.А. Кулешу, В.П. Матве-енко, Б.Е. Победре, А.Г. Угодчикову, Kumar Rajneesh, Liu Jun, Nistor I., Suiker A.S.J. Некоторые нестационарные задачи для моментных сред исследованы в работах A.A. Саркисяна, Birsan Mircea, Gheorghita Vitali, Han S.Y.

Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения. Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера. Построено интегральное представление нестационарного напряженно-деформированного состояния упругого моментного полупространство с использованием функций влияния.

Дана постановка плоской задачи типа Лэмба при учете асимметричных свойств сплошной упругой среды (рис. 1). Здесь 5(х), 5(т) - дельта-функции Дирака от пространственной координаты и времени. Для описания движения используется общий случай среды Коссера, уравнения движения которой без учета массовых сил и моментов в безразмерном виде записываются так (1 - г],-2 - a)grad divu + (ti¡"2 + а)Ди + 2arot ю = ü, г|~2Да) + 2aßrotu - 4aßco = со,

где и =(г(,0,и')Г, ш = (0,со,0)? - векторы перемещений и микроповорота; г|,, г\2, а, (3 - безразмерные параметры, зависящие от свойств материала среды. Точками здесь и далее обозначаются производные по безразмерному времени х.

9(*,Т) = 8(*)8(Т)

'2 Рис. 1.

Приведены соответствующие геометрические и физические соотношения:

ди

дм

дм

ди

д(й

дт

ах ог

(2)

ах дг ох дг

= У** + о» = + У«). = У» + 9У**> Иху=Х*у> Э = 1-2л72»

где у^, х4?) а^, = х,у,г) - ненулевые физические компоненты тензоров

деформаций, изгиба-кручения, напряжений и моментных напряжений.

В начальный момент времени полупространство находится в невозмущенном состоянии, что приводит к нулевым начальным условиям

Щ =м =и> „ = НЧ „ =со „=со =0.

1т=0 1т=0 1т=0 !т=0 1т=0 1т=0

(3)

На границе полупространства отсутствуют касательные и моментные напряжения, а нормальные напряжения равны внешней нагрузке

В бесконечно удаленной точке возмущения отсутствуют. Вектор перемещений раскладывается на сумму потенциальной и соленоидальной составляющих. Подстановка этого разложения в уравнения (1)

приводит к трем уравнениям относительно скалярного и векторного потенциалов и ненулевой компоненты вектора микроповорота

Дф - ср = О, Д\|/ - г|?Ч> = -сщ?/, Ага - = 2аРг|*/, (5)

где / = Дц/ + 2а>, Д = д/дх + д/дх; ср, у - скалярный и векторный потенциалы, которые связаны с компонентами вектора перемещений следующими соотношениями:

и = дц>/дх-д\у/д2, w = оф/& + д\у/дх. (6)

Уравнения (5) с начальными условиями

ф|т=0=ч>и=ч>и=Со=4=о=4=о=0 ^

и граничными условиями (4), записанными через потенциалы с помощью соотношений (2) и (6)

гд\ аУ

^ дх дгдх у

Дф-2г)|'

^ ил

(д2ц> д2\у | ^ д2ф ^ дх2 дг2 дхдх

= 0,

= аг1,

2 | дсо

7и'

дг

(В)

= 0,

с учетом отсутствия возмущений в бесконечно удаленной точке составляют замкнутую математическую модель плоской задачи типа Лэмба для упругого мо-ментного полупространства.

Во второй главе для решения поставленной задачи используется метод малого параметра. Для всех известных материалов с найденными упруго моментными механическими характеристиками, значение безразмерного параметра материала а мало по сравнению с единицей, поэтому его можно принять в качестве естественного малого параметра задачи.

Разложим компоненты векторов перемещений и микроповоротов в ряды по параметру а:

и(х,г,х) = ^ит(х,г,т)ат, Цл^т)^^^,!)^

т=0 т=0

00

ю(х,2, т) = (х,2,т)а™.

Скалярный и векторный потенциалы также представим в виде разложений:

со оо

т~ 0 /м=О

Искомые поверхностные функции влияния упругого моментного полупространства являются решениями задачи (5) - (8) на границе г = 0. Для них введены обозначения

и(х,т) = и(х,0,т) = (х,х)ат, Ж(х,х) = м>(х,0,*) = IX

т=О т=О

со

0(х,т) = ю(я:,0,т) =

(П)

Из (9), (10), (5), (7), (8) следует рекуррентная последовательность задач для определения коэффициентов рядов (10): при т = О

Аф0 =ф0. Л^О = ЛУо> А(О0 =^2й0.

ф0(х,г,0) = ф0 (х,г,0) = \4/0(л:,г,0) = ф0 (х.г.О) = О,

гд2% ЗУ<Л

Дф0-2лГ

к дх2 дгдх )

= б(х)5(г),

эУо 5У0|2а2ф0

дх2 522 дгдх

= 0, ^

дг

при т > О

Дф» -ф„ =0. ¿У., -Т1,УМ =-Л?/«-„ -фт =2Рл^/и_1,

Фм (х, 2,0) = фи (х, г, 0) = ут (х, г, 0) = фи (х, г, 0) = О,

Г Ъ 2

Афт-2пГ2

2... Л

д Ф, Э У|/,

йх2 &йс

= 0,

эУ, аУ. | 2дЧ

ск2 йг2 Эгйс

— Л1Х1-1'

5ш„

дг

= 0.

(12)

(13)

Для решения рекуррентной последовательности задач (12) - (13) используются интегральные преобразования Фурье по координате х и Лапласа по времени т (индексами « F » и « Ь » обозначаются изображения по Фурье и Лапласу соответственно; д - параметр преобразования Фурье, а 5 - преобразования Лапласа).

Тогда в пространстве изображений Фурье-Лапласа аналог системы (12) - (13) приобретает вид: при т = О

Щ К>чС)|г=0 = м2 = о, м3 (ш0га)[=о = о,

(14)

при т > О

(15)

где

А/, (Ф;Ч/) = 0 + ?2 (2^ - 1)Ф - 2/лГ2^,

,, I \ 2 <Э2ш „. 5ф ъ, ( \ дсо

02

Изображения коэффициентов рядов (11) разложений поверхностных функций влияния связаны с решениями задач (14) - (15) следующими соотношениями:

се =

. я.

-т* —-

дг

> т

дГ~тт

QFL

„ =<Вт

т т г=0

(16)

В третьей главе определяются изображения объемных и поверхностных функции Грина задач (12) - (13). Для них введены следующие обозначения: Г^Г^Г^, (Аг = 1,2,3). В соответствии с номером «&» в обозначениях этих функций их изображения являются решениями трех задач:

А/,0, Л/2(Г«,Г-)|г=о=5„ М3(г^о=0.

Здесь 8^. - символ Кронекера, в котором значение индекса « к » соответствует номеру задачи.

Функции Грина с индексом 4 = 1,2 соответствуют решениям задач о воздействии единичных объемных возмущений 8(х)5(т)8(гв точке с координатами х = 0, г = £ при однородных граничных условиях, ас к- 3 - нормальной единичной поверхностной нагрузки 5(лг)5(т) в точке с координатами х = 0, г = 0 при однородных уравнениях. Поэтому для них приняты обозначения: объемные функции Грина первого и второго типа и поверхностные функции Грина соответственно. Изображения функций Грина как решения задач (17) имеют следующий вид.

Объемные функции Грина I типа:

(18)

1

Объемные функции Грина II типа:

(19)

где

Поверхностные функции Грина:

г'1 - rFL p~h'2 - TFL е~к,г Гп = 0 (20)

1 Зф ~~ 1 Зф,1е ' 1 Зч» ~~1 Зч/,1е > 1 Зш

где

t-fl _ 2iqk2 —FL _ къ _ p/L

1 Зф,1 ^ > 1 Зч/Д ^ 1 IV,2-

Используя полученные изображения функций Грина (18) - (20), основываясь на принципе суперпозиции и используя свойства дельта - функции получены интегральные представления для изображений коэффициентов рядов (9) - (10): Ф? (q,s,z) = (q,s, 0,оо)<Г*»2,

у? (q,s,z) = [О;_и(?,5,0,со)е^ +

+rM-u(?»s.°>z)e~M]> (21)

z) = [/"_u (?>S,0,oo)e-^ +

+Гт_ u i, z, oo) е*>г + 2 (<?, 5,0,z)e~k» ],

где

j = 1,2.

a

В четвертой главе построены оригиналы поверхностных функций влияния упругого моментного полупространства в случае плоской постановки задачи. Для этого сначала определяются изображения нулевых коэффициентов рядов (9) как решения задачи (12):

FL 2 kl -I^V)* FL l2i4k o(gV) FL n

Фо =î1i _ / 2 ле '.v|/0 = Л, _Д 24 g ',œ0 =0 (22)

С помощью (16) и метода совместного обращения изображений Фурье-Лапласа [2] построены выражения для оригиналов нулевых членов рядов разложений (11):

^0(х,т)=ХЖ0Дх,т)я(т-л,И), С/0(*,т) = С/00(*,т)я(т-|*|) (23)

*=0

где

РА (х,х) = (^х - 2т)4 - 16т2(т -*)(?- г|?х)

Замечено, что решения (23) совпадают с известным решением плоской задачи Лэмба для линейно упругого полупространства. При этом микровращения в среде отсутствуют: 00(л:,т) = 0. Показано, что на всей искомой области определения искомых оригиналов /^(л-.т), кроме х = 0, имеет один действительный корень х = ск1, где ся - скорость волны Рэлея и решения (23) имеют степенную особенность порядка (-1) на фронтах волны Рэлея: х = ±сят.

С учетом (16), (21) и свойств дельта-функции, получены выражения для изображений коэффициентов рядов (11) при т > О:

Для построения оригиналов (24) использован метод совместного обращения Фурье - Лапласа [2].

Получены следующие выражения для оригиналов первых членов рядов разложений (11):

и? = -О]

(24)

^*,т) = 2УЛ*,т)я(т-тиИ), С/1(*,х) = £/10(х,т)я(т-И) (25)

где

т'х<х<(х2-х2)4^7(2х2-Цу)2

101 ' 71 Р42(Л;2,Т2)

^ы = 2I¿TV(T'-x')y,x')> ^t) = ^м_^{хгт)

Я (* ,Т )

Tt¡2 (х, т) = (ri2x - 2т)2 + 4т>/т-х yft-r^x

/> (х,т) = Т)У -1 бх6 (х2 - 2т2) + 24л?хV (чУ " 2т2) - 8Л,2х4т2 (л?*2 - 2т2)

где

Э (т/|*|<л,)

M

J/¡2(*,/>ft (л2<*/И<Т1О)

VM

^2+ J (*•'># (Ло<т/|*|<Л.)

VW

^¡2+^,3+ {x,t)dt (т/Н>Л,)

лоИ _ ii kl

Fu = \Fu(x,t)dt,Fn= \Fn(x,t)dt

ПгН По H

r\tX -T

Fu(x,x) = -

Афт]*т]1тхЧх2-х2Ръ{х2,х2) 4í^t\22xx2^x2-x2P6(x2,x2)R22(x2,x2)

(л t-^JT^yp^S)

(26)

P}(x,x) = 4xjx-x(т-Tlfje)-^-r&x(2t-T|fx)2, P6(X,X) = yjx-rfx -yjx-422x

Показано, что функции Ж, и £/, имеют степенную особенность порядка (-2) на фронтах волны Рэлея: х = ±скт. Функции 4 = 2,3,4 имеют интегри-

руемые степенные особенности порядка (-1/2) при х = ±т/г|2 и неинтегрируе-мые степенные особенности порядка (-1) на фронтах волны Рэлея д: = ±спх. Других особенностей функции не имеют. При вычислении конечных значений интегралов в (26) применен метод канонической регуляризации [2].

Показано, что построение оригиналов перемещений и микроповоротов при т > 1 сводится к операции предельного перехода и вычислению сверток [2]. Также отмечено, что учет второго слагаемого в частичных суммах рядов (11) не приводит к качественным отличиям, т.к. результат операции свертки есть непрерывная функция. Следовательно, все особенности функции влияния содержат нулевое и первое слагаемые.

На рис. 3 и 4 приведены графики распределения по координате х функций влияния Ж и I/ в моменты времени т = 1,3,5 при учете первых двух членов рядов разложения по малому параметру. Сплошная кривая соответствует моменту времени т = 1, пунктирная - т = 3, штрихпунктирная - т = 5. Из графиков видно, что у функции влияния IV появляется конечный скачок, соответствующий положению фронта волны сдвига. Разрывы второго рода этой функции соответствуют положению фронта волны Рэлея. Функция С/ имеет слабую особенность порядка -1/2 на фронте волны сдвига. На рис. 4 показаны распределения по координате * первого члена ряда функции О в моменты времени т = 0.5, 1, 3, 5. Сплошная кривая соответствует моменту времени т = 0.5, пунктирная - х = 1, точечная -т = 3, штрихпунктирная - т = 5. Из рис. 4 видно, что эта функция является непрерывной. Она имеет изломы, положения которых соответствуют положению фронта волны Рэлея.

Учет второго и последующих слагаемых приводит к результатам, практически совпадающим с приведенными на рис. 2-4.

rr=ir0+afri 2

1

О

-1 -2

-3

-4 -5 -б

Т=1 ¡Г................!( r-3 !¡ ¡Л......... .И т = 5

\Л к i' i « У

Л N "К. 1 i M J Ii i 1.....................Г i 2 3 4 5

.......

1......-.........

Рис. 2

U = U(¡ + aUl

О -0.2 -0.4 -0,6 -0.8

-1 -1.2

/ * Ü2 / ! ЬУ- 3 4 5

т — 1 tr----------Ir—7.............. i ! »—- м J if" IP ! 1 i! IÍ

T = 3 -........................

N ___________________ x = 3

......V

Рис. 3

Рис.4

В пятой главе решена задача об определении перемещений границы полупространства в ответ на воздействие внезапно приложенной внешней нагрузки, распределенной по определенному закону по оси Ох и направленной по нормали к границе полупространства г = 0.

Нормальные перемещения границы полупространства представляют собой свертку поверхностного давления р(х,т) с построенной функцией влияния Г(х, х):

Т 00

Ц*,х)= \Л ¡IV(27)

О -00

Для вычисления интеграла в (27) разработан и реализован численно-аналитический алгоритм, позволяющий учесть степенные особенности функции влияния IV (х,т).

Рассмотрены примеры, когда на границу полупространства действует внезапно приложенная в начальный момент времени нормальная нагрузка. Один из вариантов нагрузки представлен на рис. 5.

р(лс,т) = 10-аЯ(г)Я(1-|д:|)

Рис. 5.

Результаты решения проиллюстрированы на рис. 6. Здесь показаны нормальные перемещения границы полуплоскости в момент времени г = 1, причем сплошная кривая соответствует нормальному перемещению границы полуплоскости с учетом нулевого и первого члена ряда разложения функции влияния, пунктирная кривая соответствует перемещениям при учете только нулевого члена ряда, а штрихпунктирная - с учетом только первого члена. Полученное отличие в решениях с учетом только нулевого (классическая теория упругости) и нулевого и первого слагаемых (среда Коссера) объясняется тем, что при учете моментных эффектов часть работы внешней нагрузки преобразуется в энергию волн кручения, поэтому нормальные перемещения границы полупространства, заполненного средой Коссера, имеют меньшие значения по сравнению с перемещениями границы полупространства, заполненного классической линейно упругой средой.

Рис. 6.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Дана математическая постановка плоской нестационарной задачи типа Лэмба для полупространства, заполненного средой Коссера. Разработан метод решения, основанный на разложении искомых поверхностных функций влияния в ряды по малому параметру. Получена рекуррентная последовательность подзадач относительно коэффициентов рядов разложения по малому параметру.

2. В пространстве изображений Фурье-Лапласа найдены функции Грина для моментно упругой полуплоскости.

3. Разработана и реализована методика определения оригиналов коэффициентов рядов по малому параметру компонентов напряженно-деформированного состояния полуплоскости.

4. Построено интегральное представление с ядрами в виде функций влияния решений задач о действии нестационарных поверхностных возмущений на полуплоскость заполненную средой Коссера. Приведены примеры расчетов.

5. Проведено сравнение полученных результатов с решениями задач для упругой полуплоскости.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых научных изданиях и журналах:

1. Суворов Е.М., Федотенков Г.В. Плоская нестационарная задача о воздействии поверхностной нагрузки на моментно упругую полуплоскость // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. № 4. Ч. 4. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - С. 1794-1796.

2. Суворов Е.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г В. Плоская задача об ударе твердого тела по полупространству, моделируемому средой Коссера // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 5. С. 850-859.

В других научных изданиях и журналах:

3. Суворов Е.М., Федотенков Г.В. Нестационарные одномерные колебания моментноупругого полупространства под действием поверхностной нагрузки // Матер. XVI Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова - М., 2010., том 2 - С. 101.

4. Суворов Е. М., Федотенков Г.В. Нестационарные поверхностные функции влияния полупространства, заполненного средой Коссера // Сборник тезисов докладов конференции «Инновации в авиации и космонавтике - 2012». - С-Пб.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 286-287.

5. Суворов Е. М., Федотенков Г.В. Действие нестационарной сосредоточенной поверхностной нагрузки на упругое полупространство с учетом влияния моментных напряжений // Нестационарные процессы деформирования элементов конструкций, обусловленные воздействием полей различной физической природы. - Львов: ИППММ им. Я.С. Подстригача. - 2012. - С. 192 - 196.

6. Суворов Е. М., Федотенков Г.В., Кубенко В.Д. Плоская задача Лэмба для моментно-упругой среды // Матер. XVII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова - М., 2011., том 2 - С. 5456.

7. Суворов Е. М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Воздействие нестационарной поверхностной нагрузки на моментно-упругую полуплоскость // Им-

пульсные процессы в механике сплошных сред: Матер. IX междунар. научн. конф. - Николаев: КП «Микола1вська областна друкарня», 2011. - С. 147-151.

8. Суворов Е. М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарная задача о воздействии сосредоточенной нагрузки на границу упругой полуплоскости // Ломоносовские чтения - 2012 С. 149.

9. Суворов Е. М., Терлецкий Р.Ф.,Федотенков Г.В. Плоская задача типа Лэмба для моментноупругого полупространства // Матер. XVIII междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред» им. А.Г. Горшкова - М., 2012.,том2-С. 149-161.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ отЗЛ 0^2013 г. Тираж/#£>экз.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ч

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

СУВОРОВ ЕВГЕНИЙ МИХАЙЛОВИЧ

ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА УПРУГОЕ МОМЕНТНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к.ф.-м.н., доцент, Федотенков Г.В.

Москва 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение..................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ПЛОСКОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА

УПРУГОЕ МОМЕНТНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО..................................9

§1.2. Общая постановка нестационарных задач механики среды

Коссера..................................................................................................................28

§ 1.3. Интегральное представление напряженно-деформированного

состояния упругого моментного полупространства....................................34

§ 1.4. Постановка плоской нестационарной задачи типа Лэмба для упругого моментного полупространства, заполненного средой

Коссера..................................................................................................................37

§ 1.5. Система разрешающих уравнений для плоской задачи типа

Лэмба.....................................................................................................................44

ГЛАВА 2. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ

ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ.....................................................................................47

§ 2.1. Построение рекуррентной последовательности задач с

применением метода малого параметра.........................................................47

§ 2.2. Алгоритм решения....................................................................................50

ГЛАВА 3. ОБЪЕМНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА

УПРУГОЙ МОМЕНТНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ.......................................54

§ 3.1. Функции Грина.........................................................................................54

§ 3.2. Объемные функции Грина I типа..........................................................56

§ 3.3. Объемные функции Грина II типа........................................................61

§ 3.4. Поверхностные функции Грина............................................................64

§ 3.5. Интегральные представления изображений коэффициентов

рядов разложений функций влияния через функции Грина.....................67

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ РЕКУРРЕНТНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОДЗАДАЧ.....................................................69

§ 4.1. Решения в изображениях Фурье - Лапласа.........................................69

§ 4.2. Получение оригиналов решений рекуррентной

последовательности подзадач...........................................................................70

§ 4.3. Анализ результатов..................................................................................85

ГЛАВА 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УПРУГО МОМЕНТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ОТ ДЕЙСТВИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ

РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ..................................................................93

§5.1. Алгоритм определения перемещений....................................................93

§5.2. Пример решения........................................................................................96

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.........105

Список используемой литературы................................................................106

Введение

Задачи о деформировании материала, при котором деформация среды описывается не только вектором перемещения, но также вектором поворота, давно привлекают внимание исследователей. Среду, моделируемую таким образом, сегодня часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия моментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости.

Первая попытка построения теории упругости с несимметричным тензором напряжений принадлежит Е. Cosserat and F. Cosserat [71]. Изучение вращения в трехмерном пространстве было начато У. Гамильтоном в 1848 году в его фундаментальной работе [73]. Развитие идей Гамильтона нашло отражение в работе Г. Дарбу [72]. А. Клебш и П. Дюгем ввели понятие вращательной меры деформации. О важности учета моментных напряжений говорилось и в работе В.Фойхта 1887 г. [84], который впервые рассмотрел модель среды с вращательным взаимодействием ее частиц при изучении упругих свойств кристаллов. Согласно [26] Э. и Ф. Коссера обобщили и развили работы Г. Кирхгофа, А. Клебша, П. Дюгема и В. Фойхта.

Теория Э. и Ф. Коссера [71] появилась в 1909 г. Согласно концепции братьев Коссера при изучении напряженного состояния твердого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями вводить в рассмотрение моментные напряжения. Появление модели континуума Коссера ознаменовало собой начало перехода в теории сплошных сред от механики Ньютона, исходным объектом которой является материальная точка, к механике Эйлера, имеющей в качестве исходного объекта твердое тело. Согласно [26] модель Коссера - континуальное обобщение уравнений механики Эйлера.

В этих моделях, в отличие от классической теории, напряженное состояние описывается несимметричным тензором напряжений, поэтому упругие тела в несимметричной теории характеризуются большим числом упругих констант. Необходимость подобного усложнения нередко оправдывается тем, что с помощью даваемых в классической теории упругих (и пьезоэлектрических) констант невозможны трактовки, например аномального пьезоэффекта в кварце, дисперсии упругих волн в сплошной среде, а также упругих свойств кварца, алмаза и других кристаллов [6].

Потеря точности в классической механике континуума может происходить по следующей причине. Если ищется реакция тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы в теле, то зернистые или молекулярные составляющие тела возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься во внимание внутренние движения составляющих. Это становится особенно ярко выражено в связи с распространением волн с большими частотами или с малыми длинами.

В настоящее время обобщенные континуумы вызывают как теоретический, так и практический интерес и заслуживают внимания не только теоретиков, но и экспериментаторов, специализирующихся в различных отраслях механики и физики. Актуальность исследований повышает и то обстоятельство, что, в сущности, у всех природных и искусственных материалов и систем проявляются взаимодействия механических процессов различного пространственного масштаба. Эти обобщенные континуумы применяются при разработке новых металлургических технологий, позволяющих синтезировать искусственные материалы с управляемой микроструктурой. Они помогают прогнозировать поведение таких хрупких материалов, как

бетон или лед. Некоторые методы технической диагностики и неразрушающего контроля основываются на усредненных материальных свойствах обобщенных континуумов. На моделирование, базирующееся на концепциях обобщенных континуумов, возлагаются большие надежды для успешного и скорейшего развития нанотехнологий. Обобщенные континуумы, такие как микрополярные или ориентированные материалы, микроморфный континуум, высокоградиентные материалы, тела со слабыми или сильными нелокальными взаимодействиями, также привлекаются при разработке интегральных многомасштабных вычислительных процедур. Подобные компьютерные технологии имеют целью объединение различных пространственных масштабов в одной численной схеме. Начало берется в квантомеханическом описании, затем осуществляется моделирование процессов на атомарном, молекулярном, микроскопическом и, наконец, на континуальном масштабе.

В настоящее время, несмотря на то, что общая теория моментных сред достаточно развита, имеется лишь ограниченный круг решенных практически важных задач. Наиболее полные результаты получены для частного случая - среды Коссера. Практически отсутствуют публикации, посвященные нестационарным задачам механики моментных сред, т.е. задачам с начальными условиями. Тематика исследований, которым будет посвящена диссертационная работа, как раз направлена на решение нестационарных задач и призвана заполнить этот пробел. В этой связи тематика исследований по данному направлению является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном значении.

В первой главе приведен обзор литературы, определена проблема получения аналитического решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят

линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения. Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера. Построено интегральное представление нестационарного напряженно-деформированного состояния упругого моментного полупространство с использованием функций влияния. Приведена постановка плоской задачи типа Лэмба при учете асимметричных свойств сплошной упругой среды. Получена система разрешающих уравнений.

Во второй главе для решения задачи типа Лэмба используется метод малого параметра. Построена рекуррентная последовательность задач для определения коэффициентов рядов разложений искомых поверхностных функций влияния. Приведен алгоритм решения, основанный на применении интегральных преобразований Лапласа по времени и Фурье по пространственной координате.

Во третьей главе определяются объемные и поверхностные функции Грина как решения задач о воздействии сосредоточенных и объемных сил. Функции Грина определены в пространстве изображений Фурье-Лапласа. Построены интегральные представления коэффициентов рядов разложений функций влияния через функции Грина.

В четвертой главе дано решение рекуррентной последовательности подзадач для определения коэффициентов рядов разложений функций влияния. Для построения оригиналов изображений использован метод совместного обращения Фурье - Лапласа. Замечено, что решение в нулевом приближении совпадает с известным решением плоской задачи Лэмба для линейно упругого полупространства. При этом микровращения в среде отсутствуют. Показано, что построение оригиналов перемещений и микроповоротов сводится к операции предельного перехода и вычислению сверток. Также отмечено, что учет второго и последующих слагаемых в частичных суммах рядов не

приводит к существенным отличиям, т.к. результат операции свертки есть непрерывная функция. Следовательно, все особенности функций влияния содержат нулевые и первые слагаемые.

В пятой главе построен численно-аналитический алгоритм для определения перемещений границы полуплоскости в ответ на воздействие внешней нестационарной поверхностной нагрузки. Получены решения нескольких задач о воздействии нормальной поверхностной нагрузки на упругое моментное полупространство. Приведено сравнение результатов с решениями задач классической теории упругости для упругой полуплоскости.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ПЛОСКОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА УПРУГОЕ МОМЕНТНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

§ 1.1. Современное состояние исследований.

Отдельные работы по моментной теории упругости публиковались в 20-е, 30-е, 40-е годы прошлого столетия, однако наибольший интерес к несимметричной теории упругости был проявлен лишь в 50 - 70-е года. В это время выходят работы В. Новацкого [42], Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского [6, 7], Р.Д. Миндлина и Г.Ф. Тирстена [37,39] и многих других авторов.

В настоящее время можно утверждать, что несимметричная теория упругости хорошо развита. В монографии [26] Ерофеев В.И. приводит следующие основные модели упругих сред с микроструктурой, отличающихся способом описания поворота частиц:

1. Микроморфная среда Миндлина - Эрингена. Предполагается, что каждый физически малый объем (макрообъем), по которому производится усреднение свойств среды, содержит в себе дискретные материальные микрообъемы (структурные элементы). Предполагается, что для достаточно малого макроэлемента его движения состоят из параллельного переноса, вращения около центра масс и афинной деформации. Кинематика рассматриваемого континуума описывается в общем случае двенадцатью переменными (три компоненты вектора смещения и девять компонент несимметричного тензора микросмещений). Деформированное состояние определяется тензором макродеформаций, характеризующим относительные перемещения центров масс макрообъемов, тензором относительной дисторсии,

характеризующим перемещения структурных элементов относительно центра масс макрообъема, градиентом микродисторсии, характеризующим относительные перемещения структурных элементов одного и того же макрообъема. Для описания напряженного состояния вводятся тензоры напряжений первого и второго порядков и тензор моментных напряжений. Упругое поведение характеризуется 18 физическими постоянными. В работе [25] проведено некоторое упрощение этой теории, что допускает сокращение числа констант до 10 и простую трактовку оставшихся. Меры деформации микроморфной среды являются обобщением деформационных характеристик двух описываемых ниже моделей - континуума Коссера и континуума Леру.

2. Континуум Леру (градиентная модель). К понятию моментных напряжений приводит и учет зависимости энергии деформации от высших градиентов вектора перемещений. Впервые на целесообразность учета высших градиентов перемещений указал Леру [79]. Деформированное состояние при этом определяется двумя тензорами: тензором макродеформации и градиентом микродисторсии. Градиент микродисторсии связан с вектором перемещений и не связан с вектором поворота. Напряженное состояние определяется объемной плотностью внутренней энергии, через которую вычисляются тензор напряжений и тензор третьего порядка «двойных напряжений», антисимметричная часть которого является тензором моментных напряжений. В случае физической нелинейности в определяющие соотношения этой модели помимо констант Ляме входят 7 констант Ландау, определяющих нелинейность и 2 новые константы, характеризующие микроструктуру. Для линейной среды общее количество констант сокращается, как и в случае среды псевдокоссера, до 4 - х.

3. Теория среды со "стестнённым вращением". Такую среду часто называют псевдоупругой средой Коссера или средой псевдокоссера. В

англоязычной литературе для обозначения этой теории используется термин "Couple stress elasticity". В теории псевдоконтинуума Коссера предпологается зависимость вектора поворота от ротора перемещения подобно тому, как это имеет место в классической теории упругости [38, 40, 44]. При этом имеется одна независимая кинематическая неизвестная - вектор перемещений, а тензоры напряжений и моментных напряжений остаются несимметричными. Причем антисимметричная часть напряжения и симметричная часть моментного напряжения не определяются напрямую из физических уравнений. Этот вариант несимметричной теории понижает ее полноту, так как число физических констант для изотропного упругого тела сокращается до четырех. Получаемая при этом структура уравнений такова, что если, в частности, на поверхности упругого тела заданы перемещения, то не удается произвольно задать нормальную составляющую вектора поворота. Однако, несмотря на эти недостатки, теория псевдоконтинуума Коссера хорошо развита.

4. В среде Коссера каждая частица имеет шесть степеней свободы абсолютно твердого тела, наряду с обычным полем перемещений вводится кинематически независимое поле векторов микроповоротов, характеризующих малые повороты частиц. Взаимодействие частей микрополярного тела осуществляется не только обычными (силовыми), но и моментными напряжениями. Поведение упругой изотропной среды без учета температурных эффектов характеризуется восемью константами: две постоянные Ламе, четыре упругие константы, характеризующие микроструктуру, а также плотность и параметр, отвечающий за меру инерции среды при вращении (плотность момента инерции). Однако скудность информации по значениям этих констант для реальных материалов является основным сдерживающим фактором в развитии и применении данной теории на практике.

За последние 10 лет наблюдается сильнейший интерес к несимметричной теории упругости. В работах [26, 30, 65] представлены краткие обзоры публикаций по тематике упругих сред с микроструктурой. В данном обзоре рассмотрим наиболее интересные работы за последние 15 лет.

В настоящий момент решено множество статических задач моментной теории упругости. Необходимо выделить работы [12, 17, 30, 45, 49, 50, 51, 68], в которых решаются статические задачи сред с микроструктурой. В работе [12] показано, что в общем случае изотропного упругого тела имеются четыре характеристики материала: кроме модуля Юнга и коэффициента Пуассона необходимы и достаточны еще два параметра моментной теории упругости. Построена замкнутая система дифференциальных соотношений и впервые установлены граничные условия основных задач моментной теории упругости. Найдено интегральное представление вектора перемещений, приводящее к теории по