Динамика упругого слоя под действием нестационарных поверхностных нагрузок

Кузнецова, Елена Львовна

Динамика упругого слоя под действием нестационарных поверхностных нагрузок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Кузнецова, Елена Львовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамика упругого слоя под действием нестационарных поверхностных нагрузок»

Автореферат диссертации на тему "Динамика упругого слоя под действием нестационарных поверхностных нагрузок"

На правах рукописи

005008625

Кузнецова Елена Львовна

ДИНАМИКА УПРУГОГО СЛОЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ НАГРУЗОК

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ 1 9 ЯН В 2012

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011

005008625

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Научный руководитель: - доктор физико-математических наук, профес-

сор Тарлаковский Дмитрий Валентинович Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук, старший

научный сотрудник Солдатенков Иван Алексеевич;

- доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Евгений Борисович Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики

при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится «¿Г 2012 г. в ¿^часов на заседании дис-

сертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), по адресу: 125871, г.Москва, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

Автореферат разослан^2011г.

Ученый секретарь

диссертационного совета :--- Г.В.Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время нестационарные задачи механики деформированного твердого тела приобретают все большее теоретическое и прикладное значения. Имеется большое количество как отечественных, так и зарубежных публикаций, посвященных этому разделу механики. Однако большинство аналитических исследований посвящено решению статических и квазистатических задач. Это связано со значительными математическими сложностями, возникающими при исследовании нестационарных процессов.

В то же время в связи с бурным развитием ЭВМ многие исследователи отдают предпочтение разработке и применению разнообразных численных методов к решению как статических, так и динамических задач. Однако для получения адекватных результатов решения и контроля точности процесса моделирования применение универсальных численных методов должно быть непосредственно связано с исследованием вопросов точности, устойчивости и сходимости. Строгое доказательство сходимости того или иного метода, как правило, сопряжено с практически непреодолимыми математическими сложностями. Поэтому на практике используется либо исследование практической сходимости, либо сравнение численных результатов с известными аналитическими решениями или с экспериментальными данными. В связи с этим построение аналитических решений нестационарных задач механики приобретает актуальное и важное практическое значение.

С теоретической точки зрения аналитические решения задач позволяют выявить характерные особенности и качественные характеристики нестационарных процессов. Кроме того, получение фундаментальных решений для данной геометрической области дает возможность разработки эффективных численно-аналитических методов решения целого класса практически важных задач, с учетом выявленного в ходе аналитического исследования характера процесса.

Аналитические решения плоской нестационарной задачи о действии поверхностных нагрузок на упругий однородный изотропный слой, которым посвящена диссертация, известны только для некоторых частных случаев. Поэто-

му тема диссертации является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном отношении.

Целью работы является исследование нестационарных задач для упругого слоя под действием поверхностных нагрузок при всех физически возможных сочетаниях граничных условий на граничных поверхностях, в том числе аналитическое построение поверхностных функций влияния, знание которых позволяет с помощью квадратур найти решения для любого вида нагрузок.

Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты.

1. Решены новые нестационарные задачи для однородного упругого слоя при воздействии различных поверхностных возмущений (как силовых так и кинематических).

2. Исследованы все возможные сочетания граничных условий. Выявлены физически реализуемые типы и приведены замкнутые математические постановки соответствующих начально-краевых задач.

3. С помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье и метода их совместного обращения построены аналитические решения задач, в том числе в явном виде найдены оригиналы входящих в изображения функций влияния слагаемых, содержащих одну экспоненту.

4. Модифицирован и реализован численно-аналитический алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье в случае наличия слагаемых, содержащих произведение двух экспонент. Он основан на сведении алгебраического уравнения для определения граничных значений вспомогательной функции к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной плоскости. Приведены результаты расчетов, показывающие эффективность применения этого метода.

5. Исследован предельный переход к упругой полуплоскости и акустической среде. Проведено сравнение с известными результатами.

Практическое значение работы. Полученные аналитические решения применены для построения интегральных представлений и граничных интегральных уравнений для решения нестационарных контактных задач, в которых в качестве основания выступает упругий изотропный слой. Кроме того, они также могут быть использованы при тестировании соответствующих численных алгоритмов.

Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для частных случаев.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на

- Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Московская обл., 2005,2006,2007,2008, 2009 г.г.);

- Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (Нижний Новгород, 2006 г.);

- II Международная конференция «Современные проблемы механики и математики» (Львов, 2008 г.);

- научном семинаре им. А.Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати печатных работах, в том числе в одной статье в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и. содержит 97 страниц. Список используемой литературы включает 117 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а так же сформулирована цель, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность работы, дано краткое содержание работы по главам.

Приведен обзор литературы, определена проблема получения аналитического решения нестационарных задач механики деформированного твердого тела. Отмечено, что фундаментальные исследования нестационарных задач динамики упругого полупространства принадлежат следующим авторам: Н. Lamb, Л.И. Слепян, Ю.С. Яковлев, B.J1. Лобысев, Г.И. Петрашень, Г.И. Марчук, К.И. Огурцов, Е.И. Шемякин, В.З. Партон, П.И. Перлин, В.Б., Поручиков. А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский, Л.М. Флитман, G. Eason, Р.В. Гольдштейн, О.Д. Пряхина, Д.И. Шерман, Л.А. Молотков, К. Watanabe, D.C. Gakenheimer, J. Miklowitz, M. Mitra, К. Wang, Y. Wang, А.Г. Багдоев, B.M. Сеймов и др. Некоторые задачи для упругого слоя исследованы в работах В.Д. Кубенко.

В первой главе приведены уравнения движения однородной изотропной упругой среды в случае плоской постановки задачи. В прямоугольной декартовой системе координат Oxz дана математическая постановка задач об определении поверхностных функций влияния ynpiyroro изотропного слоя толщины h. Его границами являются плоскости z — О и z = h (рис. 1).

а33=8(т)5(х)

Z ▼

Рис. 1.

В начальный момент времени слой находится в невозмущенном состоянии, что соответствует однородным начальным условиям.

Под функциями влияния упругого слоя понимаются перемещения и, м> и напряжения а13, а33 при всех сочетаниях граничных условий. Они указаны соответственно в таблицах 1 и 2. Здесь 8(х) - дельта-функция Дирака; г, к и т -номера граничных условий.

Из всех возможных 32-х вариантов условий исключаются те, которые допускают движение слоя как абсолютно твердого тела. Оставшиеся варианты разбиваются на две группы: группа I и группа II. К последней относятся условия, при которых, как показано ниже, в слое имеют место независимые волны растяжения-сжатия и сдвига. Соответствующие этим группам условия приведены в таблицах 3 и 4. Нумерация вариантов в группе состоит из номера группы и буквенного латинского индекса. Последние два столбца в этих таблицах соответствуют номерам к и т условий в таблицах 1 и 2.

к г = 0

1 а13=0,СТзз=6(т)5(Х)

2 ст,з =8(т)8(х),ст3з =0

3 и = 0, ст33 = 5(т)8(х)

4 и = 8(т)8(х), ст33 = 0

5 ст13 = 0, V/ = §(т)5(х)

6 ст13 =8(т)5(х), м>=0

7 и = 0, м> = 8(т)8(х)

8 и = 8(т)8(х),-^=0

т 2 = И

1 и - н> = 0

2 и = ст33 = 0

3 а13 = м> = 0

4 а13=ст3з=0

Таблица 1. Таблица 2.

№ к т

1а 1 1

16 1 3

1в 2 1

1г 2 2

1д 3 1

1е 4 1

1ж 5 1

1з 6 1

1и 7 1

1к 7 3

1л 8 1

1м 8 2

№ к

Па 3

Нб 4

Ив 5

Пг 6

Таблица 3. Таблица 4.

Здесь же приводится решение уравнений в пространстве преобразований Лапласа по времени т и Фурье по координате х (значки I и ^ указывают на соответствующие изображения, а д и ^ - параметры этих преобразований):

а/'^КВ/^'

''-В/

А2,е „2

А2ек^Кв2е-^'

Ае^ г > - В,е

Де

А.е

(2)

Здесь т| - отношение скоростей волн, под квадратным корнем понимается та его ветвь, для которой выполняется условие Яе%/->0; ^{ц^), , А2{ц,$),

В2(д,з) - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.

Во второй главе построены изображения наиболее типичных функций влияния (1а, 16,1в, Па, Иб, Ив и Пг).

Например, для условий 1а изображения функций влияния имеют следующий вид (для краткости приводятся только нормальные перемещения):

+ (3)

где

Я^&.^И 1 + (д,з) + + Д (д,з) + ^2И2 {д,*),

£>0(<м) = (д,*)^ (д,з), £>, (д,5) = Я1+ (д,*)^(д,*), £>2 (дг,5) = -16 (д,з),

Р0 {члЪЛг)= ^ + ^оз + Рм

Р, {д,г&£г) = Рю (?, + Рп + Ри Р2 (д,я;^2) = Р22 (д,*)% + Р2г МЪЪ + ^

) = ^30 (<М) + ¿31 (<7>5)^ + ^33 ^03 = ^3 = -4<7*1

Р04 = ^о(?,*) = -кз 5)Р22а) = -Р,, *) =

^33 М = -^23 (?>*) = К (?,«), = "^30 (<7-0 = Л- (?.*)■

Для последующего вычисления оригиналов используется следующее разложение в степенной ряд по и :

где

РоМ _1_=

1 + + фЬ М + Ъ&Кг М +

п=О

= 1 (-0" I «2,«з.«4

и-0 п1+п2+

+п3+пА=п

КИ1,л{д,Я)=К^{д,5)К?{д,з), (л; л„и2,из,и4) = -

л,!И2!И3!И4!

При этом учитывается, что в некоторой полуплоскости Яе 5 > сх0 имеют место неравенства | < 1, 1 < 1.

Подстановка (4) в (3) приводит к следующему результату:

со

и= О

(я,5,г) = (д,э,г) + м^

(5)

хе б .

'»П1

Здесь

ч*

>s )

+2 q1P22(q,s)e-k^lh-l) + Pm(q,s)ek^^{h-I]ek^'1)h +

В этих выражениях приняты следующие обозначения:

n2iß3 (<7>*) = Ri- {q,s),

Q2 (q,s) = 8(1 + к)?3 + 8ri2 (2 + к )q2s + 8ri >2 + tjV.

Отметим, что функция wj£(q,s,z) является решением соответствующей задачи для полуплоскости. Оно также может быть найдено из формулы (5) с помощью предельного перехода при h <я.

Аналогичный результат для функции влияния IIa имеет следующий вид:

12к2(Я2,зг)(1 + ф

Из него следует, что в этом случае волны растяжения-сжатия и сдвига распространяются независимо.

В этой главе также рассмотрен предельный переход к случаю акустической среды. При этом, согласно ее свойствам (отсутствие касательных напряжений и наличие только одного граничного условия по перемещениям) возможными являются только две функции влияния: а) к = 1,т = 3; (см. табл. 1) и б) к = 5,т = Ъ\ (см. табл. 2). При этом, естественно искать не перемещение, а соответствующую скорость

V(X,Z,x) = W(X,Z,T), (8)

а также считать, что на верхней границе слоя задано давление

р(х,0, т) = -ст33 (хД т) = б(х)5(т). (9)

Тогда в пространстве изображений для варианта а) трансформанта скорости в акустическом слое выглядит так:

(10)

5 I ^ 41

В третьей главе описан алгоритм определения оригиналов поверхностных функций влияния. Как видно из представления (5), они состоят из слагаемых следующей структуры:

= (1 1) где = /^(А.) - рациональная функция от X и корней и А:2(А2,1), а

ш(Х,2,,72)- их линейная комбинация.

и показатель экспоненты однородные функции соответственно степени (-1) и 1.

Для таких функций используется метод совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье, основанный на построении аналитических представлений изображений. Показано, что оригинал функции (12) имеет вид:

—— ю0), С; = л:-ь (12)

-ю0) = ц(&„г2,т), ^±(х,г„г2,г) = Нтц(£,г1гг2,т),

где Н(т) - функция Хевисайда, а - функция, неявно задаваемая

уравнением

+ = т. (13)

В случае наличия в функции ш(Я,,21522) одного корня этот алгоритм позволяет получить оригиналы в явном виде. Например, в случае первого граничного условия в табл. 1 для полупространства изображение нормального перемещения записывается так (формулы для ик(х,г,т) в силу их громоздкости не приводятся):

и(х,г,т)=-{1т(У1 (х,г,т)Я(т - г) + 1тЦ(х,2,т)Я(т - ту) +

71 (14)

+Ц(х,2,т)[я(т-|х| -г^М)- Я(т-ту)]яфс| ^¡М -2),

В этой же главе описан алгоритм вычисления оригиналов изображений, содержащих произведение экспонент. Он основан на сведении уравнения (14) к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной плоскости ц. Интегрирование проводится вдоль прямых с начальной и конечной точками ц.=/>. и ц = х (рис. 2):

1т ц

В четвертой главе получена замкнутая формула для скорости в акустическом слое:

У(т,х, 1) = ^ ^(т,*^) + ¿[>(т,х,2 пЪ -г) + ^(т,х,2и/г +

Р(1,х,2) = ~1[(т2 - г2)(х2 - г2) + г2г2](т2 - г2)'*1, г = Л2+г2.

Соответствующие результаты для варианта 16 при х = 1 и глубине слоя А = 0.5. продемонстрированы на рис. 3.

-70

У(%х,г)

Рис. 3.

Здесь же приведены результаты расчетов для различных вариантов граничных условий в полуплоскости и слое.

На рис. 4 изображен график распределения вертикального перемещения ^„(х.^.т) в полуплоскости при х = 0.1 и г = 0.5. До момента прихода волны среда находится в невозмущенном состоянии. В момент времени т = 0.5 приходит волна растяжения-сжатия, а в момент времени т = 0.88 приходит волна сдвига.

________.__ , ? 1 -

На рис. 5-7 представлены результаты расчетов вертикального перемещения в упругом слое для случая граничного условия (1) при различных значениях координат и времени.

V ..^-ч „ Г.

-1 -2 Э -4

Рис. 5.

^(х.г,!)

Рис. 7.

На рис. 5 показана зависимость перемещения от времени в точке х=0.1 и z = 0.8. Из этого графика видно, что в момент времени т = 0.8 приходит волна растяжения-сжатия. Далее она доходит до границы слоя, и, отражаясь от ее поверхности, приходит в данную точку в момент времени т=1.2. К этому моменту волна сдвига отсутствует, она приходит лишь в момент времени т = 1.38. Далее, так же отразившись от поверхности слоя, волна возвращается к моменту времени т=2.08. Разрыв графика в момент времени т = 2.8 показывает, что вернулась отраженная от верхней границы волна растяжения-сжатия.

На рис. 6 показано распределение вертикального перемещения в зависимости от координаты х при фиксированном т = 2 и глубине z — 0.5. На рис. 7 приведено перемещение в зависимости от координаты z при фиксированных т = 1 и х=0.1.

Основные результаты диссертационной работы.

1. С использованием преобразований Лапласа и Фурье получены решения новых нестационарных задач для однородного упругого слоя при воздействии различных поверхностных возмущений в произвольной точке.

2. Рассмотрены все возможные сочетания граничных условий. Из них выявлены физически реализуемые типы и дана их классификация.

3. Показано, что по типу изображений решений все задачи для слоя разбиваются на два класса: содержащие только одну экспоненту и имеющие произведения двух экспонент с показателями, зависящими от параметров преобразований.

4. Для первого типа задач точные решения получены с помощью метода аналитических представлений изображений и показано их совпадение с известными результатами. При этом для оригиналов построены замкнутые формулы.

5. Для решения второго типа задач модифицирован и реализован алгоритм вычисления оригиналов, содержащих произведения экспонент. Он направлен на выделение необходимых ветвей граничных значений вспомогательных функций и основан на сведении алгебраического уравнения к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной плоскости с последующим ее численным решением.

6. С помощью предельного перехода получено решение для полуплоскости в любой точке. Показано его совпадение с известными поверхностными функциями влияния - значениями напряжений и перемещений на границе.

7. С помощью предельного перехода построены замкнутые решения новых нестационарных задач для акустического слоя.

Публикации.

1. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Распространение нестационарных волн в упругом слое // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 5. С. 144-152.

2. Кубенко В.Д., Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарная динамика упругого слоя при различных граничных условиях // Матер. XIV Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред», им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М.: «ИД МЕДПРАКТИКА-М», 2008.-С. 133 - 134.

3. Кубенко В.Д., Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Алгоритм вычисления оригиналов поверхностных функций влияния для

упругого слоя. // Матер. XV Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред», им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М.: «Типография «ПАРАДИЗ», 2009. - С. 97 - 98.

4. Кубенко В.Д., Кузнецова ЕЛ., Марченко Т.А., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Распространение нестационарных граничных возмущений в упругом слое // Матер. XIV Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред», им. А.Г. Горшкова. Т. 2. - М.: Изд-во МАИ, 2008,-С. 109-123.

5. Кузнецова Ел. JL, Тарлаковский Д. В. Явная форма решения задачи Лэмба в произвольной точке полуплоскости // Матер. XII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Избр. докл. -М.: Изд-во МАИ, 2006.-С. 104 - 120.

6. Кузнецова ЕЛ., Тарлаковский Д.В. Поверхностные нестационарные функции влияния для упругого слоя // Матер. XI Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Т. 1. - М.: Изд-во МАИ, 2005.-С. 25-26.

7. Кузнецова ЕЛ., Тарлаковский Д.В. Явная форма решения плоской задачи Лэмба // Матер. XII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Тез. докл. - М.: Изд-во МАИ, 2006.-С. 200 - 201.

8. Кузнецова ЕЛ., Тарлаковский Д.В. Плоская нестационарная задача для упругого слоя // Фунд. пробл. машиноведения: Новые технологии и материалы. Всерос. научно-техн. конф., посвящ. 20-летию Нижегор. фил. Ин-та машинов. им. A.A. Благонравова РАН. Тез. докл. - Н. Новгород, 2006. - С. 61.

9. Кузнецова ЕЛ., Тарлаковский Д.В. Плоская задача о нестационарном граничном возмущении в упругом слое // Проектирование и изготовление аэрокосмических аппаратов - М.: Изд-во МАИ, 2007. - С. 102-107.

10. Кузнецова ЕЛ., Тарлаковский Д.В. Представление решения нестационарной плоской задачи для упругого слоя в виде системы элементарных волн // Сучастш проблеми механики та математики Т. 2. - Льв1в, 2008. - С. 146 -147.

11. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Упругий слой под действием нестационарной поверхностной касательной силы // Матер. XIII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Тез. докл. - М.: Изд-во МАИ, 2007.-С. 156.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от:21 201{' г. Тираж%0 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кузнецова, Елена Львовна

Введение

Глава 1 Постановка задачи.

§1.1 Уравнения плоского движения однородной изотропной упругой среды.

§ 1.2 Постановка задач для поверхностных функций влияния и их ^ классификация.

§ 1.3 Решение уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Глава 2 Изображения поверхностных функций влияния для упругого слоя.

§2.1. Функции влияния 1а.

§ 2.2. Функции влияния 16.

§ 2.3. Функции влияния 1в.

§ 2.4. Функции влияния Па.

§2.5. Функции влияния Нб.

§ 2.6. Функции влияния Пв.

§ 2.7. Функции влияния Иг.

§ 2.8. Предельный переход к акустической среде.

Глава 3 Алгоритм определения оригиналов.

§3.1. Метод совместного обращения преобразований Фурье и

Лапласа.

§ 3.2. Оригиналы изображений, содержащих одну экспоненту.

§3.3. Вычисление перемещения для полуплоскости.

§ 3.4. Вычисление оригиналов изображений, содержащих произведение ^ экспонент.

Глава 4 Оригиналы поверхностных функций влияния.

§4.1. Акустический слой.

§ 4.2. Упругая полуплоскость.

§4.3. Упругий слой.

Введение диссертация по механике, на тему "Динамика упругого слоя под действием нестационарных поверхностных нагрузок"

В настоящее время нестационарные задачи механики деформированного твердого тела приобретают все большее теоретическое и прикладное значение. Имеется большое количество как отечественных, так и зарубежных публикаций, посвященных этому разделу механики. Однако, как показывает сделанный аналитический обзор, большинство исследований посвящено решению статических и квазистатических задач. Это связано со значительными математическими сложностями, возникающими при исследовании нестационарных процессов. В связи с бурным развитием ЭВМ многие исследователи отдают предпочтение разработке и применению разнообразных численных методов к решению как статических, так и динамических задач. Среди них такие универсальные и хорошо разработанные методы, как методы конечных и граничных элементов, основанные на вариационных подходах, методы конченых разностей, безэлементные методы и др. Это, с одной стороны, оправдано в связи с потребностями промышленного производства, когда важно быстро рассчитать элемент или конструкцию в целом в условиях ограниченного времени, выделяемого на НИР и ОКР. С другой стороны, для получения адекватных результатов решения и контроля точности процесса моделирования применение универсальных численных методов должно быть непосредственно связано с исследованием вопросов точности, устойчивости и сходимости. На практике эти проблемы зачастую занимают гораздо большее количество как машинного, так и человеческого времени. Строгое доказательство сходимости того или иного метода при расчете сложной конструкции как правило сопряжено с практически непреодолимыми математическими сложностями. Поэтому на практике используется либо исследование практической сходимости, основанное на итерационном процессе, либо сравнение численных результатов с известными аналитическими решениями или с экспериментальными данными. В связи с этим, получение аналитических решений нестационарных задач механики приобретает актуальное и важное практическое значение.

К настоящему времени нестационарные волновые процессы наиболее полно исследованы для канонических областей: полупространство, цилиндр, сфера. Большое число работ посвящено построению так называемых поверхностных функций влияния, т.е. компонент напряженно-деформированного состояния среды при поверхностных нагрузках в виде дельта-функций Дирака. Знание этих функций позволяет представить в виде интеграла по времени и пространственным координатам решение задач с заданными граничными условиями несмешанного характера. Впервые подобную задачу для полупространства при заданном на его поверхности нормальном напряжении рассмотрел Н. Lamb [100].

Решение плоской задачи Лэмба приведено во многих работах. Как правило, для построения решения используются интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по координате х вдоль границы. Различными являются методы построения оригиналов. В монографиях Л. И. Слепяна [61], Л. И. Слепяна и Ю. С. Яковлева [63] совместное обращение преобразований Лапласа и Фурье проведено с использованием однородности изображения и аналитического представления обобщенных функций. Л. И. Слепя-ном [61,62] оригиналы также найдены приближенно с помощью метода асимптотически эквивалентных функций, там же проведено асимптотическое исследование поведения решения в окрестности фронтов упругих волн. В монографиях В. Б. Поручикова [55], В. 3. Партона и П. И. Перлина [53] приведен метод вычисления оригиналов с помощью деформаций контура интегрирования в интегралах обращения (метод Каньяра Де Хупа). Аналогичные 4 методы использованы Г. И. Петрашенем, Г. И. Марчуком и К. И. Огурцовым

54], П. В. Крауклисом и J1. А. Крауклисом [27]. В работе В. Б. Поручикова

55] дано также решение задачи Лэмба с использованием метода функционально-инвариантных решений Смирнова-Соболева. Плоская задача Лэмба рассмотрена также в монографиях А.Я. Сагомоняна [58], Е. И. Шемякина [71], А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [13], а также в книге А. Г. Горшкова, А. Л. Медведского, Л. Н. Рабинского и Д. В. Тарлаковского [14]. В. W. Stump [115], С. С. Chao, Н. Н. Bleich, J. Sackman [81], М. Д. Бородай, В. Н. Сеймов, Е. Д. Шевченко [9] рассматривали модифицированную задачу Лэмба, в которой возбуждение полупространства носит специальный вид.

Для пространственной задачи Лэмба в силу осесимметричного характера деформаций используется преобразование Лапласа по времени и двойные преобразования Фурье по пространственным переменных х и у (или эквивалентное ему преобразование Ханкеля). Этот подход использовали В. Л. Файншмидт и Е. И. Шемякин [68], Л. И. Слепян [62], U. Aulenbacher и К. J. Langenberg [77], а также Р. G. Richards [111]. В монографии В. Б. Поручикова [55] для построения решения использована связь плоской и осесиммет-ричной задачи. D. Kosloff, М. Reshef и D. Loewenthal [99] использовали численный метод, основанный на аппроксимации производных по пространственным переменным с помощью быстрого преобразования Фурье. Теорема умножения для преобразования Ханкеля использована в работе Б. Л. Абрамяна [1].

Различные аспекты решения задачи Лэмба, связанные в основном с законом изменения во времени поверхностного воздействия, рассмотрели М. Д. Бородай, В. М. Сеймов и Е. Д. Шевченко [9], С. С. Chao, Н. Н. Bleich и J. Sackman [81], J. S. Kim и W. Soedel [97,98], С. L. Pekeris [110], B. W. Stump [115]. В работе Л. И. Слепяна и Ю. С. Яковлева [63] найдены функции влияния при заданных перемещениях. Приближенное решение задачи Лэмба для несжимаемой среды дано в работе Д. Н. Климова и К. И. Огурцова [22]. Эта же задача для магнитоупругой среды рассмотрена Г. Е. Багдасаряном и 3. Н. Данояном [5].

Другой класс задач для упругого полупространства связан с движущейся по некоторому закону сосредоточенной поверхностной нагрузкой. В имеющихся публикациях, как правило, рассматривается силовое возбуждение, что соответствует заданию на границе нормальных напряжений.

Наиболее просто решаются стационарные задачи этого типа, когда нагрузка движется равномерно и сосредоточенная сила предполагается постоянной. При этом начальные условия отсутствуют. Задача становится автомодельной, размерность ее понижается на единицу с помощью перехода к подвижной системе координат. Эти вопросы рассматривали, например, А. Бар-пиев [7], J. Cole и J. Huth [82], J. Mandell и A. Avramesco [103].

N. Higuchi и K.-I. Hirashima [92], D. D. Ang [76], M. Mitra [107] исследовали нестационарные задачи при равномерном движении сосредоточенной нагрузки. При этом удается использовать фактически тот же математический аппарат, что и для неподвижной нагрузки. В этих работах отмечается существенная зависимость решения от диапазонов скорости движения нагрузки (дозвуковая скорость, трансзвуковая, сверхзвуковая скорость) и наличие разрывов при движении со скоростью распространения волн Рэлея. R. С. Payton [109] в аналогичной задаче использовал в пространстве преобразований Лапласа теорему взаимности Бетти—Релея.

Учет подвижности сосредоточенной нагрузки на поверхности полупространства приводит к новому классу нестационарных задач. Оказывается, что решение соответствующей задачи существенным образом зависит от скорости движения сосредоточенной нагрузки. В работе Ю. Д. Каплунова [21] построено общее решение задачи о действии вертикальной сосредоточенной силы, перемещающейся по произвольному закону по поверхности полупространства. Исследован случай движения нагрузки с постоянной скоростью. Изучен вопрос о возможности стационарных режимов и выявлены случаи бесконечных разрывов вертикальных перемещений, соответствующие движению поверхностной нагрузки с постоянной скоростью. Изучен вопрос о возможности стационарных режимов и выявлены случаи бесконечных разрывов вертикальных перемещений, соответствующие движению поверхностной нагрузки со скоростью волн Релея, а так же напряженно-деформированное состояние в окрестности приложения нагрузки, возникающее в момент достижения последней скорости поверхностных волн Релея. Рассмотрен также равноускоренный закон движения нагрузки при малых значениях ускорений.

Аналогичные подходы, связанные с переходом к подвижной системе координат и равномерным движением сосредоточенной нагрузки, использовали N. Ь^исЫ и К. I. ИгаэЫта [92], Э. Аг^ [76].

А. Н. Мартиросян [44] рассмотрел задачу о движении изотропного упругого тела, занимающего полупространство, на границе которого вдоль движущейся полуплоскости заданы перемещения, а вне нее граница свободна от напряжений. Решение ищется методом интегральных преобразований Лапласа и Фурье и приводится к системе уравнений Винера-Хопфа, которая решается методом циркулянтов. Дается обращение интегральных преобразований с приведением решения к форме Смирнова-Соболева. Вычисляется коэффициент интенсивности напряжения около границы полуплоскости.

Следующим шагом в решении указанного типа задач является учет распределенного характера нагрузки. Принципиально решение подобных задач есть свертка нагрузки с соответствующей функцией влияния. В этом случае в граничные условия входят функции, носитель которых не является точечным. Здесь, на границе полупространства возможно задание различных комбинаций перемещений и напряжений, допускаемых теоремами существования и единственности. Однако, как указал Л. М. Флитман [69], при некоторых комбинациях, начально-краевая задача для полупространства может распадаться на две независимые. Решение задач с распределенными нагрузками (кинематическими или силовыми) может быть получено с использованием 7 принципа суперпозиции для линейных задач (теорем умножения) и функций влияния. С другой стороны в этих задачах для конкретного вида нагрузок и их носителей иногда удобно использовать те же методы, что и для сосредоточенных нагрузок: метод запаздывающих потенциалов, интегральные преобразования с различными методами обращения, численные методы. В монографии Г. М. Мюнтца [47] дано построение интегральных уравнений для упругого полупространства с помощью последнего метода.

В некоторых случаях для исключения возможных сложностей с вычислением интегралов типа свертки решение может быть получено непосредственно без использования функции влияния. В работах А. Г. Багдоева [6], М. А. Белецкого и В. М. Сеймова [8] с помощью интегральных преобразований дано решение задачи о действии на граничную полуплоскость нормальных напряжений, сосредоточенных на отрезке. Ю. С. Яковлев и В. JT. Лобы-сев [73] в случае задания смещения точек свободной поверхности полуплоскости нашли оригиналы преобразования Лапласа с помощью метода асимптотически эквивалентных функций. Случай периодического изменения перемещений или напряжений в граничных условиях исследован О. Жарием [16]. Вариант гипотетической среды, описываемой одним волновым ' уравнением, рассмотрен Д. Н. Климовой и К. И. Огурцовым [23], С. Г. Михлиным [45]. В последней работе использована формула Грина. Численный конечно-разностный метод в случае сосредоточенных на отрезке граничных условий применен Л. И. Дятловицким, В. М. Сеймовым, А. И. Ермоленко и Н. П. Кукленко [15], H. Н. Сергеевым-Альбовым [60]. С. А. Brebbia [78], W. J. Mansur и С. A. Brebbia [104] использовали метод граничных элементов. Дано сравнение с решением, полученным конечно-разнос^ншфсипмщдштаой задаче в большинстве работ нагрузка на поверхности полупространства задается через нормальные напряжения. Решение задачи такого типа с использованием интегральных преобразований получили Л. Н. Сретенский [66], М. Mitra [106], К. Wang и Y. Wang [116].G. Eason [85] рассмотрел различные варианты функции влияния (в том числе задачу 8

Лэмба), a A. Roy [112] исследовал решение в окрестности волновых фронтов. В работах К. И. Огурцова и Г. И. Петрашеня [52], В. С. Никифоровского [51] в качестве функции влияния . использованы члены дельта-последовательности. F. G. Laturelle [101] провел сравнение решений, полученных методом интегральных преобразований и методом конечных элементов. В работе А. И. Бабичева, Р. С. Кадырова и У. Саримсакова [4] предложен приближенный метод определения параметров упругих волн в полупространстве. G. Eason [86] и А. К. Mitra [105] исследовали крутильные колебания полупространства, что соответствует заданию на плоскости касательных напряжений. G. Eason [87], К. Watanabe [117], D. С. Gakenheimer и J. Mi-klowitz [91], D. С. Gakenheimer [90] учли трехмерный характер возмущений, вносимых движущейся нагрузкой. В последней работе показано, что при отсутствии скорости получается как частный случай решение задачи Лэмба. Л. А. Молотковым [46] решена осесимметричная задача о равномерном расширении окружности, на которой сосредоточены нормальные напряжения. Обращение преобразований Лапласа и Ханкеля проведено асимптотическими методами. Выделены основные компоненты поля упругих смещений.

Некоторые результаты были получены и для трехмерной задачи. Этому случаю соответствует несимметричная относительно начала координат нагрузка. Одним из первых подобную задачу с помощью интегрального преобразования Фурье по всем переменным исследовал Д. И. Шерман [72]. В работах Л. А. Назарова [50], Т. Jingu и Е. Tsuchida [93] с помощью методов, используемых в осесимметричных задачах, рассмотрев специальный вид граничных условий. В работе Т. Jingu, Н. Matsumoto и К. Nezu [94] носителем напряжений в граничных условиях является положительная полуось. Нагрузка в виде нормальных напряжений, сосредоточенных на границе в полуплоскости, четвертьплоскости, полуполосе или прямоугольнике, рассмотрена Т. Jingu, Н. Matsumoto и К. Nezu [95, 96], F. R. Norwood'oM [108]. Для обращения интегральных преобразований использован трехмерный вариант метода

Каньяра. Асимптотическое представление решения в случае задания нор9 мальных перемещений в прямоугольной области получено в работах Н. А. Лаврова и Л. И. Слепяна [43], Н. А. Лаврова [42]. А. Roy [113] построил решения для варианта «равномерного» распределения нормальных напряжений по эллиптической области. Численное обращение интегральных преобразований использовано в статье О. Д. Пряхиной и А. В. Смирновой [56]. F. Abramovici, Е. R. Kanasewích и P. G. Kelamis [75] исследовали задачу о колебаниях упругого полупространства применительно, к вопросам сейсмологии.

Дополнительные сложности в решении задач с распределенными нагрузками вносит учет зависимости от времени носителя нагрузки. Непосредственное применение преобразования Лапласа при произвольном законе изменения носителя затруднено. Поэтому в имеющихся в настоящее время публикациях в основном рассмотрены случаи его расширения. Р. В. Гольд-штейн [12] и J. W. Craggs [83] рассмотрели для плоской задачи вариант задания поверхностных напряжений, сосредоточенных на полуоси с равномерно движущейся границей. Показано, что вид решения существенно зависит от диапазона, в котором находится скорость движения нагрузки. В первой из этих двух работ решение построено с использованием метода Винера-Хопфа. Проведено сравнение со стационарным решением. Существенное отличие заключается в том, что решение стационарной задачи при скорости изменения границы, совпадающей со скоростью волн Рэлея, не существует. Качественно проанализирована форма свободной поверхности в различных диапазонах скорости движения нагрузки.

L. М. Brock [79] исследовал плоскую стационарную задачу при задании нормальных перемещений на равномерно расширяющемся отрезке. Ав-томодельность задачи достигается не только за счет постоянства скорости, но также и вследствие однородности степени функции, задающей закон распределения перемещений. Для примера последняя выбрана в виде однородного многочлена двух переменных.

G. Eason [86], S. К. Singh, J. Т. Kuo [114] рассмотрели осесимметрич-ную задачу при заданных нормальных напряжениях внутри равномерно рас

10 ширяющегося круга. Последнее условие позволяет использовать для решения соответствующие интегральные преобразования. Во второй работе в дозвуковом режиме решение представлено в виде двух слагаемых, выраженных через гипергеометрические функции и представляющих статическую и динамическую часть. Аналогичную задачу для двух частных случаев распределения напряжений и закона расширения границы круга исследовал L. М. Brock [80]. В работе А. С. Быковцева и Д. Б. Крамаровского [10] для пространственной задачи нормальное перемещение задано на граничной чет-вертьплоскости, граница которой равномерно перемещается вдоль прямой. Такую же задачу, где вместо перемещений задаются нормальные напряжения, рассмотрел К. Fujii [88].В обоих случаях применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье с последующим обращением методом Ка-ньяра.

Так же имеются публикации посвященные нестационарным контактным задачам. В работе В. А. Свекло [59] методами функционально-инвариантных решений исследована задача для упругой полуплоскости, на одной половине которой равны нулю нормальные перемещения, а на другой отсутствуют нормальные напряжения при отсутствии касательных напряжений на границе.

Л. М. Флитман [70] рассмотрел плоскую нестационарную задачу о колебаниях упругого полупространства при задании на отрезке границы поверхности вертикальных перемещений. Методами функционально-инвариантных решений исследован случай полубесконечного штампа. Для штампа конечной ширины результат получен как суперпозиция решений для полубесконечного штампа. Исследованы особенности в перемещениях и напряжениях, а также их производных на фронтах упругих волн и в окрестности границы штампа.

Е. В. Коваленко, В. Б. Зеленцов [24] в своей работе рассмотрели динамические контактные задачи об антиплоском сдвиге штампом упругого полупространства, а так же плоскую задачу о вдавливании штампа в упругую

11 полуплоскость. При этом считалось, что в момент времени 1=0 к штампу прикладывается усилие, изменяющееся достаточно произвольным образом по времени. Для решения этих неустановившихся динамических задач применялись преобразования Лапласа-Карсона по времени и Фурье по пространственной координате. В результате задачи относительно трансформированных по Лапласу-Карсону контактных напряжений сводились к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода типа свертки на конечном интервале, ядра которых зависят от безразмерного параметра лямбда связанного со временем. В. Б. Зеленцов [17] на основе специальной аппроксимации в комплексной плоскости символа ядра интегрального уравнения контактной задачи построил асимптотическое его решение, которое является основой решения нестационарной динамической плоской контактной задачи об ударе жестким штампом по упругой полуплоскости при малых временах их взаимодействия. Предложенная аппроксимация символа ядра позволяет аппроксимировать его в комплексной плоскости с любой наперед заданной точностью. В отличие от известных подходов данная аппроксимация позволила получить решение рассматриваемой задачи в виде простых формул, не содержащих сингулярных квадратур. В. Б. Зеленцовым предложен ряд асимптотических методов решения нестационарных контактных задач для упругого полупространства [17,18,19,20].Основная идея предлагаемого метода заключена в специальной аппроксимации в комплексной плоскости символа ядра интегрального уравнения контактной задачи, справедливой при малых временах взаимодействия. С использованием указанного подхода автором решены задачи для упругой полуплоскости и абсолютно жесткого плоского и круглого штампов. Динамику сдвиговых волн в упругих слоях упругих полупространств в своей работе исследовал Матес^аБапоуЕНсИап в. [102]

Задачу о вдавливании (без трения) абсолютно твердого тела в упругий слой исследовал И. И. Аргатов [3], который предположил, что диаметр априори неизвестной площадки контакта мал в сравнении с толщиной слоя. При помощи метода сращиваемых асимптотических разложений автор вывел

12 модельную задачу одностороннего контакта о давлении на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду. Асимптотическое решение модельной задачи и асимптотика границы области контакта строятся по методу С. А. Назарова. Для плотности контактных давлений было найдено равномерно пригодное асимптотическое давление. В явном виде выписано асимптотическое решение осесимметричной задачи.

В публикации Кубенко В. Д., Марченко Т. А. [28,29] представлено решение осесимметричной задачи об ударе жестким телом о поверхность упругого слоя. Авторы исследовали влияние многократных отражений волн на деформирование слоя с учетом распространения волновых возмущений как в поперечном, так и в продольном направлениях. Плоскую задачу нестационарного вдавливания затупленного жесткого индентора в поверхность упругого слоя рассмотрели Кубенко В. Д., Марченко Т. А. [30]. В данной работе было получено точное решение, позволяющее определить характер развития и распределения нормального напряжения при заданной постоянной скорости вдавливания индентора в поверхность упругого слоя.

Обзор публикаций, посвященных нестационарным контакным задачам с подвижными границами, а также математические постановки и методы решения можно найти в монографии А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [13].

Вследствие возникающих сложностей, связанных с учетом дополнительной границы, для решения задач о действии нестационарных поверхностных нагрузок на плоский слой, как правило, используются численные или асимптотические методы. Задача об ударе клином по упругому однородному или кусочно-однородному упругому слою сеточно-характеристическим методом решена в работах И. К. Навала и В. К. Римского [48,49], В. К. Римского [57]. В работе Э. В. Ярве [74] исследованы вопросы об ударе гладким цилиндром по кусочно-однородному слою конечной ширины. Численное решение строится на основе вариационного метода с использованием неопределенных множителей Лагранжа для учета условий контакта. Применяется сплайн-аппроксимация по пространственным переменным.

В работе DingHaojiang, LiangJian [84] с помощью матрицы перехода из основных уравнений теории упругости для трансверсально-изотропной среды получены разрешающие уравнения в смешанной форме относительно напряжений и перемещений для слоистых конструкций. Далее, с использованием преобразования Фурье и общих решений Zhou и др. авторами найдено решение для слоя при действии на него сосредоточенной силы. В частном случае из этого решения следует решение для изотропной среды. Л. Ю. Кос-сович, А. Н. Кушеккалиев [25] провели детальный анализ различных составляющих решения для нестационарных волн в бесконечном слое при ударном сосредоточенном силовом воздействии нормального типа на лицевые поверхности. Авторами были выявлены асимптотически главные составляющие решения и определены границы их применимости.

Поле Релея в бесконечном упругом слое так же исследовали Л. Ю. Коссович, А. Н. Кушеккалиев [26]. В статье рассматривается нестационарное НДС полосы, возникающее при действии сосредоточенных сил на лицевых поверхностях. Для решения задачи используется метод двойного интегрального преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Решение анализируется на примере перерезывающего усилия. Приводится формула точного решения для изображения перерезывающего усилия в рамках трехмерной теории упругости. Исследуется волновая составляющая решения, обусловленная поверхностными волнами Релея. Обращение изображения приводится асимптотическими методами.

В работе GaiBing-zheng [89] исследовалось распространение упругих сдвиговых волн в системе, образованной двумя полупространствами, между которыми располагался интерфейсный слой. Задача решалась путем разложения неизвестных функций в ряд Тейлора. Показано, что отраженные и преломленные волны испытывают при распространении в такой среде фазовый сдвиг, а амплитуда этих волн сильно зависит от толщины слоя, свойств

14 среды и угла падения волны. Найдены условия, при которых преломленные волны в верхнем полупространстве становятся поверхностными волнами. Приведен пример расчета волновых полей в интерфейсном слое и в верхнем полупространстве для случая, когда монохроматическая волна, приходящая из нижнего полупространства, падает на нижнюю интерфейсную поверхность под углом 30 градусов.

Плоская задача при гармоническом и нестационарном воздействии на упругий слой, контактирующий через периодическую систему жестких прямоугольных накладок с упругим полупространством была рассмотрена Т. В. Суворовой [67]. Поставленная краевая задача сводилась к бесконечной системе алгебраических уравнений, через решения которой определяется НДС в описанной системе. Предложенный метод решения может быть распространен на более сложные модели, включающие в себя подмодели движущегося транспорта как системы с сосредоточенными параметрами со многими степенями свободы.

В работе Ю. А. Созоненко [64] было исследовано распространение акустических волн в плоском слое методом интегральных преобразований. В результате применения преобразований Лапласа по времени и пространственным координатам задача о распространении акустических волн в плоском слое конечной толщины была сведена к решению системы алгебраических уравнений. Найдены общие зависимости между изображениями искомых функций на поверхностях слоя. Эти зависимости позволяют решать задачи о распространении волн при различных граничных условиях.

Целью данной работы является построение поверхностных функций влияния для упругого изотропного слоя. Как следует из приведенного обзора, аналитические решения плоской нестационарной задачи о действии поверхностных нагрузок на упругий однородный изотропный слой получены только для некоторых частных случаев. Поэтому тема диссертации является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном отношении. С теоретической точки зрения актуальность заключается в получении аналитического реше

15 ния ряда новых задач. В практическом отношении полученные результаты представляют интерес при использовании в качестве эталонных для проверки работы численных алгоритмов, а также они могут быть применены для построения интегральных представлений и граничных интегральных уравнений для решения нестационарных контактных задач, в которых в качестве основания выступает упругий изотропный слой.

В главе I дана математическая постановка задач об определении поверхностных функций влияния упругого изотропного слоя. Приведены уравнения движения однородной изотропной упругой среды в случае плоской постановки задачи. Рассмотрены все возможные сочетания граничных условий, из которых исключаются те, которые допускают движение слоя как абсолютно твердого тела. На основании этого составлена классификация задач об определении поверхностных функций влияния.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты диссертационной работы следующие.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Кузнецова, Елена Львовна, Москва

1. Абрамян Б. Л. Об одной задаче распространения упругих волн в полупространстве // Докл. Ан Арм.ССР. 1985. - Т.81, № 3. - С.118-122.

2. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. -272 с.

3. Бабичев А. И., Кадыров Р. С., Саримсаков У. Распространение упругих волн в полупространстве // Докл. АН Уз.ССР. 1983. - № 2. - С. 1215.

4. Багдасарян Г. Е., Даноян 3. Н. Плоская магнитоупругая задача Лэмба,- В сб.: Механика (Ереван), 1983, №3, 68 76.

5. Багдоев А. Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1961, 276 с.

6. Барпиев А. Распространение волн в полупространстве, возбужденных подвижной нагрузкой, бегущей по его границе со сверхзвуковой скоростью В сб.: Динам. Жидкости, газа и плазмы. Фрунзе, 1982, 30-32.

7. Белецкий М. А., Сеймов В. М. Динамические поля напряжений в упругой полуплоскости при нагружении на части границы. Прикл. мех., 1985,21, 112-115.

8. Быковцев А. С., Крамаровский Д. Б. О распространениисложной площадки разрушения. Точное трехмерное решение // Прикл. матем. и мех. 1987. -Т.51, № 1. - С. 117-129.

9. Вестяк В.А., Садков A.C., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных объемных возмущений в упругой полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 130-140.

10. Гольдштейн Р. В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах. Прикл. мат. и мех., 1965, 29, № 3, 516 - 525.

11. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука. ФИЗМАТ ЛИТ, 1995. - 352 с. ISBN 5-02-014700-1

12. Горшков А. Г., Медведский А. JL, Рабинский Л. Н., Тарлаковский Д. В. Волны в сплошных средах: Учебное пособие для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 632 с

13. Жарий О. Закономерности формирования волн Релея при нестационарных колебаниях полуплоскости. Акуст. ж., 1988, №4, 633 - 637.

14. Зеленцов В. Б. Об одном асимптотическом методе решения нестационарных динамических контактных задач // Прикл. Мат. И мех. (Москва). 1999. 63, N2, с. 303-311. Рус.

15. Зеленцов В. Б. Об одном асимптотическом методе решения плоских и пространственных осесимметричных нестационарных динамических контактных задач /В. Б. Зеленцов // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. № 3. С. 20-33.

16. Зеленцов В. Б. О нестационарных динамических контактных задачах теории упругости с изменяющейся шириной зоны контакта /В. Б. Зеленцов // Прикл. мат. и мех. Москва, 2004. Т. 68, № 1. с. 119-134.

17. Зеленцов В. Б. Асимптотические методы в нестационарных дина87мических контактных задачах / В. Б. Зеленцов // Механика контактных взаимодействий. М.:Физматлит., 2001. С. 30-54.

18. Каплунов Ю. Д. Нестационарная динамика упругой полуплоскости при действии подвижной нагрузки. Препр. Ин-т пробл. мех. АН СССР, 1986, №277, 54 с.

19. Климова Д. Н., Огурцов К. И. Уточнение модели несжимаемости в некоторых задачах динамики деформируемых сред.- Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела, 1986, №4, 106 110.

20. Климова Д. Н., Огурцов К. И. О поведении упругого поля за фронтом плоской нестационарной волны. В сб.: Аналит. методы и применение ЭВМ в мех. горн, пород. Новосибирск, 1982, 167 - 169.

21. Коваленко Е. В., Зеленцов В. Б. Асимптотические методы в нестационарных динамических контактных задачах для упругого полупространства //Прикл.мех. и техн.физ. 1997. 38, N1, с. 111-119. Рус.

22. Коссович Л. Ю., Кушеккалиев А. Н. Анализ приближений в задаче Лэмба для бесконечного упругого слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. Прил. 2003, N 5, с. 10-22, 94. Библ. 6. Рус.; рез. англ.

23. Коссович Л. Ю., Кушеккалиев А. Н. Поле Релея в бесконечном упругом слое // Мат. Мех. 2003, N 5, с. 159-161. Библ. 4. Рус.

24. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. К вопросу о существовании предвестника в нестационарной задаче Лэмба. В сб.: Вопр. динам, теории рас-простр. сейсмич. волн (Ленинград), 1984, № 24, 122-128.

25. Кубенко В. Д. Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя. Доп. Нац. АН Украши. 2008, N 1, с. 58-67. Библ. 11. Рус.;рез.англ.

26. Кубенко В. Д., Марченко Т. А. Осесимметричная задача нестационарного вдавливания тупого твердого тела в упругий слой. Прикл. мех. 2008. 44 N 7, с. 35-46. Библ. 14. Рус.; рез.укр., англ.

27. Кубенко В. Д., Марченко Т. А. Плоская задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого индентора в поверхность упругого слоя. Прикл. мех. 2008. 44 N 3, с. 55-65. Библ. 17. Рус.; рез.укр., англ.

28. Кубенко В.Д., Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков

29. Г.В. Алгоритм вычисления оригиналов поверхностных функций влияния для упругого слоя. // Матер. XV Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред», им. А.Г. Горшкова. Т. 1. М.: «Типография «ПАРАДИЗ», 2009. - С. 97 - 98.

30. Кузнецова Ел. Л., Тарлаковский Д. В. Явная форма решения задачи Лэмба в произвольной точке полуплоскости // Матер. XII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Избр. докл. -М.: Изд-во МАИ, 2006.-С. 104 120.

31. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Поверхностные нестационарные функции влияния для упругого слоя // Матер. XI Междунар. симп. «Динам. и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Т. 1. М.: Изд-во МАИ, 2005.-С. 25-26.

32. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Явная форма решения плоской задачи Лэмба // Матер. XII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Тез. докл. М.: Изд-во МАИ, 2006.-С. 200 - 201.

33. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Плоская задача о нестационарном граничном возмущении в упругом слое // Проектирование и изготовление аэрокосмических аппаратов М.: Изд-во МАИ, 2007. - С. 102-107.

34. Кузнецова E.JL, Тарлаковский Д.В. Представление решения нестационарной плоской задачи для упругого слоя в виде системы элементарных волн // Сучастш проблеми механики та математию. Т. 2. Льв1в, 2008. -С. 146 - 147.

35. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Упругий слой под действием нестационарной поверхностной касательной силы // Матер. XIII Междунар. симп. «Динам, и технолог, пробл. мех. констр. и сплош. сред». Тез. докл. -М.: Изд-во МАИ, 2007.-С. 156.

36. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Распространение нестационарных волн в упругом слое // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 5. С. 144-152.

37. Лавров Н. А. Колебания протяженного сооружения на упругом грунте // Прикл. пробл. прочн. и пласт. 1985 - № 29. - С.55-59.

38. Лавров Н. А., Слепян Л. И. Модифицированная плоская задача для упругого полупространства // Докл. АН СССР. 1984. - Т.276, № 1. - С.83-87.

39. Мартиросян А. Н. Решение смешанной динамической граничной задачи для упругого полупространства // Инф. тенхнол. и упр. 2003, N 3, с. 66-81. Библ. 8. Рус.; рез.англ.

40. Михлин С. Г. Некоторые элементарные задачи для волнового уравнения. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, 1940, № 101, 18 с.

41. Молотковым Л. А. О колебаниях однородного упругого полупро90странства под действием источника, приложенного к равномерно расширяющейся окружности // Прикл. матем. и мех. 1967. - Т.31, №2. - С.211-221.

42. Мюнтц Г. М. Интегральные уравнения. 4.1: Линейные уравнения Вольтерра. Л.; М.: ГТТИ, 1934. - 330 с.

43. Навал И. К., Римский В. К. Динамическая реакция слоистой полосы на упругое соударение с жестким штампом // Числ. методы решения задач теории упругости и пластич.: Материалы 6 Всес. конф., Ташкент, 1979. Новосибирск, 1980. С. 126-131.

44. Навал И. К., Римский В. К. Численное исследование напряженного состояния кусочно-однородного слоя // Куйбышев, 1981. С. 77-83.

45. Назаров Л. А. Исследование поля напряжений в упругом полупространстве при касательной динамической нагрузке на его поверхности // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. ископаемых. 1982. - № 3. - С.41-46.

46. Никифоровский В. С. Исследование динамического поля напряжений в окрестности точки приложения нагрузки // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1962.-№2.-С.85-94.

47. Огурцов К. И., Петрашень Г. И. Динамические задачи для упругого полупространства в случае осевой симметрии // Уч. зап. ЛГУ. 1951. - № 149.-С.З-117.

48. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981, 688 с.

49. Петрашень Г. И., Марчук Г. И., Огурцов К. И. О задаче Лэмба в случае полупространства, уч. зап. ЛГУ, 1950, №135, вып. 21, 71-118.

50. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: наука, 1986, 328 с.

51. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. К расчету напряженно-деформированного состояния упругой среды при нестационарном нагруже-нии // Изв. Сев.-Кавказ. научн. центра высш. шк. Естеств. науки. 1983. - № 1. - С.38-40.

52. Римский В. К. Сравнительная характеристика численных методов решения контактных задач динамической теории упругости // Матем. исслед. 1980. №57. с. 98-110.

53. Сагомонян А. Я. Удар и проникновение тел в жидкость. М.: МГУ, 1986, 172 с.

54. Свекло В. А. Некоторые вопросы соударения упругих тел // Контактные задачи и их инженерные приложения (Доклады конференции). М., 1969. - С.182-186.

55. Сергеев-Альбов Н. Н. Приближенно-аналитический алгоритм расчета динамических задач теории упругости. В сб.: Числ. методы и пакеты прогр. для решения уравнений мат. физ. Новосибирск, 1985, 104 - 116.

56. Слепян JI. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981, 296 с.

57. Слепян JI. И. Нестационарные упругие волны. Д.: Судостроение, 1972,351 с.

58. Слепян JI. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980, 344 с.

59. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовича М., Стиган И. М.-.Наука. - 1979. - 830 с.

60. Сретенский Л. Н. Распространение упругих волн от круглого диска, обладающего данным вращением // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., мех. -1985. № 4. - С.63-67.

61. Суворова Т. В. Особенности напряженно-деформированного состояния упругого слоя и полупространства, контактирующих через периодическую систему накладок при гармоническом и нестационарном воздействии

62. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. Прил. 2003, N 11, с. 28-34, 86.921. Библ. 5. Рус.; рез. англ.

63. Файншмидт В. JL, Шемякин Е. И. Распространение волн в упругом полупространстве, возбуждаемом поверхностной касательной силой // Уч. зап. ЛГУ. 1954. № 177. - С. 148-179.

64. Флитман JI. М. Об одной краевой задаче для упругиги полупространства // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. - № 1. - С.105-106.

65. Флитман JI. М. Динамическая задача о штампе на упругой полуплоскости // Прикл. матем. и мех. 1959. - Т.23, № 4. - С.697-705.

66. Шемякин Е. И. Динамические задачи теории упругости и пластичности,- Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1968, 337 с.

67. Шерман Д. И. Колебание упругого полупространства при заданных смещениях или внешних силах на границе // Тр. сейсмол. ин-та АН СССР. -1946. -№ 118.-47 с.

68. Яковлев Ю. С., Лобысев В. JI. Взаимодействие сейсмической волны с сооружением. Тр. Всес. проектно-изыск. и НИИ Гидропроект, 1971, №20, 87 - 93.

69. Ярве Э. В. Расчет многослойной ортотропной пластины при поперечном ударе жестким телом // Тр. XI конф. молод, ученых ин-та машиновед. АН, Москва, 1987 г. М., 1987. С. 55.

70. Abramovici F., Kanasewich Е. R., Kelamis P. G. Seismic waves from a horizontal stress discontinuity in a layered solid // Bull. Seismol. Soc. Amer. -1982. V.72, N 5. -P.1483-1498.

71. Ang D. D. Transient motion of a line load on the surface of an elastic half-space. Quart. Appl. Math., 1960, 18, №3, 251 - 256.

72. Techn. 2002. 9, N 3, с. 229-233. Библ. 15. Англ.

73. Gakenheimer D. С. Numerical results for Lamb's point load problem // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1970. - V.37, N 2. - P.552-524.

74. Gakenheimer D. C., Miklowitz J. Transient excitation of an elastic half space by a point load traveling on the surface // Trans. ASME: J. Appl. Mech. -1969. V.36, N 3. - P.505-515.

75. Higuchi N., Hirashima K.-I. Unsteady stress produced in an elasticthhalf-plane by moving loads. Theor. and Appl. Mech. V. 27. Proc. 27 Jap. Nat. Congr. Appl. Mech., Tokyo, 1977. Tokyo, 1979, 353 - 370.

76. Jingu Т., Tsuchida E. Transient analysis of shear impact of an elastic half space //Bull. JSME. 1981. - V.24, N 194. -P.1346-1353.

77. Jingu Т., Matsumoto H., Nezu K. The transient stress in an elastic halfspace subjected to a semi-infinite line load varying as unit step function on its surface // Bull. JSME. 1986. - V.29, N 247. - P.35-43.

78. Jingu Т., Matsumoto H., Nezu K. Transient stress of an elastic half space subjected to a uniform impulse load in a rectangular region of its surface // Bull. JSME. 1985. - V.28, N 246. - P.2881-2889.

79. Jingu Т., Matsumoto H., Nezu K. The transient stress in an elastic halfspace excited by impulsive loading over one quarter of its surface // Bull. JSME. -1986. V.29, N 247. - P.44-51.

80. Kim J. S., Soedel W. On the response of three-dimensional elastic bodies to distributed dynamic pressures. Part 1. J. Sound and Vibr. 1988, 126, №2, 279-308.

81. Kim J. S., Soedel W. On the response of three-dimensional elastic bodies to distributed dynamic pressures. Part II. J. Sound and Vibr. 1988, 126, №2, 279-308.

82. Kosloff D., Reshef M., Loewenthal D. Elastic wave calculations by the Fourier method // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1984. - V.74, N 3. - P.875-891.

83. Lamb H. On the propagation of tremors over the surface on an elastic solid. Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A, 1904, 203, 1-42.

84. Laturelle F. G. Finite element analysis of wave propagation in an elastic half-space under step loading // Comput. and Struct. 1989. - V.32, N 3-4. -P.721-735.

85. MamedgasanovElkhan G. Динамика сдвиговых волн в упругих слоях упругих полупространств. Transient SH waves in elastic layer lying, on elastic half-space Trans. Nat. Acad. Sei. Azerb. Ser. Phys.-Techn. And Math. Sei.2007. 27, N7, с. 167-176. Англ.

86. Mandel J., Avramesco A. Deplacements produits par une charge mobile a la surface d'un semiespace elastique. C. r. Acad. Sei., 1961, 252 №24, 3730 -3732.

87. Mansur W. J., Brebbia C. A. Transient elastodynamic using a time-stepping technique. Boundary Elem. Proc. 5th Int. Conf., Hiroshima, 1983. Berlin e. a., 1983,677-698.

88. Mitra A. K. Distrubance produced in a semi-infinite elastic medium by an impulsive twist applied on the plane surface // Proc. Nat. Inst, of Sei. of India. -1961. V.A27, N 5. - P.470-475.

89. Mitra M. Disturbance produced in an elastic half space by impulsive normal pressure // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1964. - V.60, N 3. - P.683-696.

90. Mitra M. Note on the disturbance produced in an elastic half-space by transient pressure applied over a portion of the boundary. Proc. Nat. Inst. Sei. India, 1962, A28, №1, 199-205.

91. Norwood F. R. Exact transient response of an elastic half space loaded over a rectangular region of its surface // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1970. -V.37, N 2. - P.552-524.

92. Payton R. C. An application of the dynamic Betti-Rayleigh reciprocal theorem to moving-point loads in elastic media. Quart. Appl. Math., 1964, 21, №4, 299-313.

93. Pekeris C. L. The seismic surface pulse.- Proc. Nat. acad. Sei. USA, 1955, 41, №7, 469-480.

94. Richards P. G. Elementary solutions to Lamb's problem for a point96source and their relevance to three-dimensional studies of spontaneous crack propagation // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1979. - V.69. N 4. - P.947-956.

95. Roy A. Pulse generation in an elastic half space by normal pressure // Int. J. Eng. Sei. 1975. -V. 13, N 7-8. - P.641-651.

96. Roy A. Response of an elastic half-space to normal pressure over an elliptic aree//Int. J. Eng. Sei. 1981.- V.19,N 1.-P.129-136.

97. Singh S. K., Kuo J. T. Response of an elastic half-space to uniformly moving circular surface load // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1970. - V.37, N 1. -P.109-115.

98. Stump B. W. Stress waves in anelastic half-space: single and multiple surface sources. J. Sound and Vibr., 1984, 92, №2, 181 - 201.

99. Wang K., Wang Y. Displacement of the surface of an elastic half-space due to a non-uniformly distributed circular dynamic load // Acta Mech. Solida Sun. 1984. - N 4. - P.619-627.

100. Watanabe K. Transient response of an elastic half-space to moving loads // Bull. JSME. -1981.- V.24, N 192. P.913-919.