Построение и анализ аналитических решений некоторых двумерных статических задач несимметричной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1. Основные уравнения несимметричной теории упруго--сти

1.1. Тензор моментных напряжений.

1.2. Вывод уравнений равновесия и движения для напряжений и моментных напряжений

1.3. Геометрические соотношения.

1.4. Физические уравнения.

1.5. Уравнения движения для векторов перемещения и поворота

1.6. Среда псевдокоссера.

1.7. Частный случай: декартовая система координат

1.8. Частный случай: цилиндрическая система координат

2. Задача о сдвиговом деформировании слоя (пластины)

2.1. Решение в рамках среды Коссера.

2.2. Решение в рамках среды псевдокоссера.

3. Задача о кручении плоского кольца

3.1. Решение в рамках среды Коссера.

3.2. Решение в рамках среды псевдокоссера.

4. Задача о деформировании плоского кольца

4.1. Решение в рамках среды Коссера.

4.2. Решение в рамках среды псевдокоссера

5. Задача Кирша о растяжении бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием

5.1. Решение в рамках среды Коссера.

5.2. Решение в рамках среды псевдокоссера

6. Построение точного аналитического решения для тела вращения в рамках среды Коссера

7. Анализ решений

Задачи о деформировании материала, при котором деформация среды описывается не только вектором перемещения й, но также вектором поворота и, давно привлекают внимание исследователей. Среду, моделируемую таким образом, сегодня часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия мо-ментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости.

В этих моделях, в отличие от классической теории, напряжённое состояние описывается несимметричным тензором напряжений, поэтому упругие тела в несимметричной теории характеризуются большим числом упругих констант. Необходимость подобного усложнения нередко оправдывают тем, что с помощью даваемых в классической теории упругих (и пьезоэлектрических) констант невозможны трактовки, например, аномального пьезоэффекта в кварце, дисперсии упругих волн в сплошной среде, а также упругих свойств кварца, алмаза, дигидрофосфата аммония и других кристаллов [2].

Потеря точности в классической механике континуума может происходить по следующей причине. Если ищется реакция тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы в теле, то зернистые или молекулярные составляющие тела возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься во внимание внутренние движения составляющих. Это становится особенно ярко выражено в связи с распространением волн с большими частотами или с малыми длинами волн.

Истоки микроструктурных теорий восходят к трудам В.Фойхта (W.Voigt [75]), который впервые рассмотрел модель среды с вращательным взаимодействием её частиц при изучении упругих свойств кристаллов.

Первая попытка построения теории упругости с несимметричным тензором напряжений принадлежит, по-видимому, братьям Коссера (E.Cosserat, F.Cosserat, [50]). Согласно концепции братьев Коссера, учитывающей вращательное взаимодействие частиц материала, при изучении напряжённого состояния твёрдого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями (сила на единицу площади) вводить в рассмотрение моментные напряжения (момент силы на единицу площади).

Интерес к несимметричной теории упругости значительно возрос за последнее время и различные её аспекты стали предметом изучения многих авторов. Сегодня можно выделить несколько направлений развития несимметричной теории упругости, отличающихся способом описания поворота частиц:

1) Теория среды со "стестнённым вращением". Такую среду часто называют псевдоупругой средой Коссера или средой псевдокос-сера. В англоязычной литературе для обозначения этой теории используется термин "Couple stress elasticity".

Описание основных положений данной теории можно найти в работах Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинского [1], Р.Д.Миндлина (R.D.Mind-lin [65]), Р.Д.Миндлина и Г.Ф.Тирстена (R.D.Mindlin and H.F.Tier-stin [66]), Ю.Н.Немиша ([31]-[33]), В.Т.Койтера (W.T. Koiter [61]), Н.Ф.Морозова ([27], [28]) Г.Н.Савина ([41], [42]), А.И.Каландии [12] и др.

В теории среды псевдокоссера сохраняется концепция классической теории упругости, т.е. считается, что перемещения й точек этой среды и их жёсткие малые повороты и связаны зависимостью и = - rot и. 2

Таким образом, для среды псевдокоссера имеется одна независимая кинематическая неизвестная - перемещения и и в рассмотрение вводятся несимметричные тензора напряжений а и мо-ментных напряжений Д. Причём [46] антисимметричная часть напряжения и симметричная часть моментного напряжения не определяются напрямую из физических уравнений, из-за чего А.К.Эринген называет теорию среды псевдокоссера теорией неопределённых моментных напряжений.

Этот вариант несимметричной теории понижает её полноту, так как число физических констант для изотропного упругого тела сокращается до четырёх. Например, часто используются Е - модуль Юнга, 7 - коэффициент Пуассона, / - постоянная, имеющая размерность длины и В - безразмерная постоянная, называемая модулем изгиба ([65], [27], [28], [42], [12], [47]).

Кроме этого, получаемая структура уравнений такова [35], что если, в частности, на поверхности упругого тела заданы перемещения, то не удается произвольно задать нормальную составляющую вектора поворота.

Несмотря на эти недостатки, теория среды псевдокоссера хорошо развита. Предложено несколько общих теорем, методов интегрирования и дано решение ряда задач. Так, Миндлин и Тир-стен [66] обобщили представление Папковича-Нейбера для статических задач, а также получили фундаментальное решение в бесконечном упругом пространстве. Их теоретические выводы были проиллюстрированы несколькими примерами.

Боги и Стернберг (D.В.Bogy and E.Sternberg [48]) занимались задачей плоского деформированного состояния. Были обобщены решения Файлона и задача о штампе на континуум псевдокос-сера. Особенно интересными являются следствия, касающиеся сингулярных решений для плоского деформированного состояния.

Можно отметить также решение задачи об изгибе кругового цилиндра [47], плоской граничной задачи о действии сосредоточенной силы на бесконечной плоскости с круговым отверстием [57], задачи для бесконечной упругой изотропной области, ослабленной конечным числом произвольно расположенных несоприкасающихся круговых отверстий [34], задачи о деформировании плоского кольца [59].

2) Теория среды Коссера. В англоязычной литературе используется термин "Cosserat (micropolar) elasticity". Эта теория была развита в 60-70-х годах независимо несколькими исследователями: В.Новацким (W.Nowacki [35]) и рядом его учеников, В.А.Пальмовым [36], Н. Schaefer [72], Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинским [2] и ДР

В теории среды Коссера для описания перемещения частиц рассматриваемой среды наряду с обычным полем перемещений й вводится кинематически независимое поле векторов й, характеризующих малые повороты частиц. Таким образом, в этой теории присутствуют две независимых кинематических неизвестных, а тензоры напряжений а и моментных напряжений Д являются несимметричными.

В этом варианте упругое поведение изотропной линейной среды характеризуется шестью упругими константами ([35], [36], [37]): две постоянные Лямё и 4 новые константы, характеризующие микроструктуру. В случае квадратично-нелинейной среды количество новых констант увеличивается до 9 [9].

Во многих работах (напр. [37], [71], [70]) отмечается, что среда псевдокоссера является следствием среды Коссера при условии стремления одной из новых упругих констант к бесконечности.

Известны точные аналитические решения ряда задач для среды Коссера, несмотря на значительные трудности при разрешении получающихся дифференциальных уравнений равновесия или движения. Например, найдена концентрация напряжений вблизи кругового отверстия [37], решена задача о действии сосредоточенной силы и сосредоточенного момента в безграничном упругом пространстве ([71], [67]), задача о равновесии полупространства ([64], [51], [52]).

3) Континуум Леру (градиентная модель). К понятию моментных напряжений приводит и учёт зависимости энергии деформаций от высших градиентов вектора перемещений. Впервые на целесообразность учёта высших градиентов перемещений указал Леру [63]. Деформированное состояние при этом определяется двумя тензорами: тензором макродеформации второго порядка и градиентом микродистирсии третьего порядка. Градиент'ми-кродисторсии связан с вектором перемещений и не связан с вектором поворота. Следовательно, вращение частиц среды в этом случае является стеснённым [9]. Напряжённое состояние определяется объёмной плотностью внутренней энергии, через которую вычисляются тензор напряжений и тензор третьего порядка "двойных напряжений", антисимметричная часть которого является тензором моментных напряжений Д [43].

В случае физической нелинейности в определяющие соотношения этой модели входят помимо констант Лямё 7 констант Ландау, определяющих нелинейность и 2 новые константы, характеризующие микроструктуру [9]. Для линейной среды общее количество констант сокращается, как и в случае среды псевдокоссера, до 4-х.

4) Микроморфная среда Миндлина-Эрингена ("Microstructure (mi-cromorphic) elasticity"). Данная теория развита Р.Д.Миндлиным в работе [68] и А.К.Эрингеном [46].

В качестве кинематических неизвестных в этой теории в общем случае принимаются вектор перемещения и несимметричный тензор микросмещений, деформированное состояние определяется тензором макродеформаций, характеризующим относительные перемещения центров масс макрообъёмов (он совпадает с тензором деформации Грина), тензором относительной дисторсии, характеризующим перемещения структурных элементов относительно центра масс макрообъёма и градиентом микро-дисторсии третьего порядка, характеризующим относительные перемещения структурных элементов одного и того же макрообъёма. Для описания напряжённого состояния вводятся тензоры напряжений первого и второго порядков и тензор момент-ных напряжений.

Меры деформаций микроморфной среды являются обобщением деформационных характеристик двух вышеназванных моделей -континуума Коссера и континуума Леру.

В этой теории упругое поведение материала характеризуется 18 физическими постоянными. В работе [60] проведено некоторое упрощение этой теории, что допускает сокращение числа констант до 10 и простую трактовку оставшихся.

5) Прочие теории. Среди прочих хотелось бы выделить работу Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинского [2], где развита 45-константная теория. В работе [53] предлагается мультиполярная теория, количество физических констант которой определяется её степенью. Обобщение несимметричной теории на случай анизотропии было сделано Н.КеиЬег [70], где упругое поведение новой анизотропной (в самом общем случае анизотропии) среды будет характеризоваться 171 упругой постоянной.

Различные аспекты моделей несимметричной среды можно найти также в работах [3], [5], [11], [16], [17], [40], [44].

Известны обобщения несимметричной теории на случай термоупругости и больших деформаций. Также известны решения ряда динамических задач, например, систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах с микроструктурой можно найти в работе В.И.Ерофеева [9]. Однако подробное рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данной работы, которая ограничивается областью статического состояния плоских тел в рамках теории среды Коссера.

Трудность отыскания частных решений системы уравнений среды Коссера в перемещениях обусловлена тем, что каждая из шести искомых компонент векторов перемещения и поворота входит во все шесть уравнений. Хочется отметить несколько подходов, используемых для решения этой проблемы:

1) Большинство авторов при отыскании точных аналитических решений используют функции (потенциалы) напряжений Эри, аналогичные функциям Папковича-Нейбера [24] классической теории упругости. Данный метод используется как для среды псев-докоссера ([47], [48], [57], [59]), так и в теории среды Коссера ([37], [71], [67], [69]). При этом подходе достигается возможность использования хорошо известного "каталога" частных решений уравнения Лапласа.

Использование этого метода имеет свои сложности. Выбор функций напряжения неоднозначен, отдельно требуется исследование полноты системы функций, доказывается теорема о классе функций, к которым принадлежат функции напряжений [73].

Иногда вместо функций напряжений используютя аналогичные им функции перемещений, позволяющие делать эффективные замены переменных в дифференциальных уравнениях равновесия относительно векторов перемещения и поворота [30], приводящие к "развязыванию" системы. Однако эта эффективность сохраняется только для декартовой системы координат, в криволинейной же системе за счёт свойств векторного лаплассиана уравнения по-прежнему остаются взаимозависимы [24].

2) Некоторые авторы успешно используют различные методы интегральных преобразований. Например, в работах [51] и [52] задача о равновесии полупространства решается методом интегрального преобразования Хенкеля. В работе [64] методом интегральных преобразований Фурье (с использованием аппарата обобщённых функций) для упругой полуплоскости построены фундаментальные решения второй основной задачи применительно к случаю, когда в произвольной точке границы заданы сосредоточенные смещения или повороты.

3) Известны попытки построения решения в виде рядов. В работе [58] в полярных координатах построено решение уравнений несимметричной теории упругости, которое приводит к определению коэффициентов разложения по некоторой системе неортогональных функций. С использованием метода ортогонализации можно получить выражения, определяющие искомые коэффициенты в виде рядов. В работах [49], [7] точное аналитическое решение для кольцевой области представлены в виде разложений Фурье по периодическим функциям азимутального угла. В работе [56] решения для задачи о круговом включении в бесконечную плоскость строятся в виде бесконечного ряда по бесселевым функциям второго рода, а коэффициенты ряда вычисляются из удовлетворения граничным условиям.

4) Имеются работы (напр. [14]), где решения представляются в комплексном виде по аналогии с методом комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [29] классической теории упругости. Однако данный метод имеет серьёзное ограничение - он применим только для двумерных задач.

В рамках подхода несимметричной теории для среды Коссера получено множество результатов, более физически правдоподобных по сравнению с классической теорией упругости. Однако все эти решения носят лишь теоретический и качественный характер, в большинстве случаев они не могут претендовать на количественное сравнение с классической теорией из-за отсутствия значений материальных констант или параметров, определяющих вклад моментных составляющих. Скудность информации о материальных константах сред с микроструктурой является одним из основных факторов, сдерживающих изучение моделей "моментных" сред [35]. А это, в свою очередь, препятствует внедрению таких моделей в практику расчётов динамических и прочностных характеристик композиционных и поликристаллических материалов.

В литературе удалось найти несколько свидетельств о реализации процедур идентификации моделей такого типа для нескольких конкретных материалов. Измерение констант упругости на основе статических экспериментов производилось в работе [54]. Более точные динамические (в частности, ультразвуковые) эксперименты использовались в работах: [10], [43], [45] для идентификации моделей Леру и среды псевдокоссера, [55], [8], [62], [38] для идентификации линейной среды Коссера и в [39] для нелинейной среды Коссера (для смеси).

Такое незначительное количество экспериментальных работ связано с тем, что для практического подтверждения теории среды Коссера необходимы экспериментальные исследования локальных характеристик напряжённо-деформированного состояния образцов материала в условиях нагружения с обязательным наличием градиентов напряжений.

Необходимым компонентом идентификации являются также решения (предпочтительно аналитические) краевых задач, соответствующих экспериментально реализуемым условиям нагружения образцов. Именно поэтому в данной работе внимание фокусируется на построении точных аналитических решений статических задач, которые являются, с точки зрения построения возможных схем экспериментальных исследований, достаточно актуальными.

Целью работы является построение точных аналитических решений некоторых одномерных и двумерных статических краевых задач в рамках среды Коссера; качественный и количественный анализ этих решений на предмет их сравнения с решениями аналогичных краевых задач для симметричной среды и среды псевдокоссера; определение и анализ поведения экспериментально измеряемых макровеличин, несущих в себе эффекты "моментного" поведения материала.

Научная новизна работы состоит в том, что:

1) Получены и приведены решения нескольких задач в рамках теории среды Коссера: а) Задача о сдвиге плоского бесконечного слоя (пластины), закреплённой по обоим краям под действием силы тяжести. б) Задача о кручении жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт поворота внутреннего контура на фиксированный угол. в) Задача о деформировании жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт сдвига внутреннего контура на фиксированную величину. г) Задач Кирша об одноосном растяжении бесконечной пластины, ослабленной одним центральным круговым отверстием. д) Задача о деформировании тела вращения, испытывающего воздействие осесимметричной (или неосесимметричной) нагрузки. Предполагается, что напряжённо-деформированное состояние такого тела в цилиндрической системе координат (/>, (р1 z) зависит только от координат рж (р. Данный класс задач характеризуется тем, что решение для него можно представить в виде отрезка ряда Фурье: й(р, (р) = {ир(р, (р), и^р, <р), 0}, ир{р, if) = U^(p) + UW(p) cos (ip) + Е U^n\p) cos (пр), п=2 и (р, ip) = V№(p) + V^(p) sin (ip) + E V^(p) sin (n<p), n=2 {0,0, u;z (p, tp) = (p) Wx) (p) sin (<p) + E í» (/>) sin (n<p). n=2

Решения всех вышеперечисленных задач являются точными, представлены в безразмерной форме с использованием функций Бесселя различных порядков. При построении решений использовался подход, не применявшийся ранее для решения подобного класса задач.

2) Анализ полученных решений позволил определить соответствующие макровеличины, несущие в себе информацию о "моментном" поведении материала. Особо необходимо отметить, что все эти макровеличины могут быть экспериментально измерены.

3) Приведён анализ степени "отклика" введённых макровеличин на "моментное" поведение материала в зависимости от физико-механических и геометрических параметров задач.

Достоверность основных научных положений и результатов подтверждается точным характером полученных аналитических решений и сравнением этих решений в частном случае среды псевдо-коссера с ранее полученными результатами других авторов (напр., Р. Д. Мин длин, В. А. Пальмов).

Практическая значимость полученных результатов состоит в том, что они позволяют определить возможные схемы натурных экспериментов для фиксации эффектов "моментного" поведения материала.

На защиту выносятся: точные аналитические решения указанных выше одномерных и двумерных краевых задач для несимметричной среды Коссера, а также подход к их получению, качественный и количественный анализ полученных решений, демонстрирующий отклик "моментного" поведения среды на внешние воздействия.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на: VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001 г.), У-ой Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП-2000, Пермь, 24 июня - 1 июля 2000 г.), Областной конференции молодых учёных "Молодёжная наука Прикамья" (Пермь, 2000 г.), Научных семинарах ИМСС УрО РАН (2000 г.) и кафедры "Математическое моделирование систем и процессов" Пермского Государственного технического университета (2001 г.), Научно-практической конференции "Прикладные пакеты программ в инженерных расчётах" (ППП-99, Пермь, 23-24 ноября 1999 г.). Результаты работы освещены в б публикациях [18]-[23].

Структура работы. Кроме введения работа содержит семь глав и заключение.

В первой главе приведены основные положения теории сред Кос-сера и псевдокоссера - уравнения равновесия и движения относительно динамических характеристик поведения материала, геометрические и определяющие соотношения, уравнения равновесия и движения для векторов перемещения и поворота. Кроме этого, в данной главе взамен новых размерных физических констант материала среды Коссера авторами вводятся три безразмерных константы, которые в дальнейшем будут использоваться при записи точных решений.

В главах со второй по пятую изложены пути получения решений соответствующих краевых задач и выписан явный вид всех характеристик напряжённо-деформированного состояния в безразмерном виде с использованием функций Бесселя нулевого и первого порядков.

В шестой главе приведено обобщение решений краевых задач (гл. 3-5) на случай тела вращения, для которого напряжённо-деформированное состояние в цилиндрической системе кооридинат зависит от радиальной и угловой координат и решение для него можно представить в виде отрезка ряда Фурье. Приведён явный вид для безразмерных кинематических характеристик и и ш также с использованием функций Бесселя нулевого и первого порядков.

В седьмой, заключительной главе приведены графические зависимости для решённых краевых задач, введены макропараметры, характеризующие проявление "моментного" эффекта и для них также построены графики.

Выводы по работе

В данной работе получены следующие новые результаты:

1) Предложен подход к построению точных аналитических решений некоторых одномерных и двумерных статических краевых задач в рамках несимметричной теории упругости для среды Коссера.

2) С использованием данного подхода получены точные аналитические решения ряда задач, записанные в безразмерной форме через функции Бесселя.

3) На основе анализа поведения полученных решений введены экспериментально измеряемые макропараметры, откликающиеся на "моментное" поведение среды.

Качественный и численный анализ аналитических решений и введённых макропараметров позволяет сделать ряд выводов:

1) Безразмерная форма записи полученных аналитических решений позволяет наглядно установить принципиальное различие безразмерных "моментных" и классических решений. А именно, безразмерное "моментное" решение зависит от характерного геометрического размера, а классическое - нет.

2) Все введённые относительные макропараметры (7.1)-(7.4) возрастают по мере уменьшения характерного геометрического размера. В задаче о кручении кольца наблюдается неограниченное возрастание этой степени различий. В остальных задачах степень различия, при фиксированных материальных константах, видимо имеет конечный предел при неограниченном уменьшении толщины слоя за счёт уменьнения характерного геометрического размера.

3) Наибольшая степень возрастания имеет место для величины ¿2, соответствующей задаче о кручении. Однако, с точки зрения простоты экспериментальной схемы и надежности измерений, более привлекательной является величина £4 задачи Кирша. В задачах о сдвиге плоского слоя и деформировании плоского кольца несимметричные эффекты поведения материала проявляются, по-видимому, незначительно.

4) Полученные решения и введённые макропараметры (7.1)-(7.4) в значительной степени позволяют определить схему эксперимента и необходимую точность измерений, а также методы обработки экспериментальных данных с целью обнаружения эффектов поведения материала, предсказываемых несимметричной теорией упругости для среды Коссера.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 99-01-00240 и 01-0106001).

1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц. // ФТТ. 1960. т.2, вып. 7. С. 1399-1409.

2. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Учет внутреннего вращения. // ФТТ. 1964. т.6. вып. 9. С. 2689-2699.

3. Белоносов С.М. Моментная теория упругости. Владивосток: Дальнаука, 1983.

4. Башелейшвили М.О., Натрошвили Д.Г. О единственности решения задачи Коши в моментной теории упругости. // В сб. "Не-котор. задачи теории упругости". Тбилиси: Тбилис. ун-т, 1975, с. 21-27.

5. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости. // Изв. РАН. МТТ, 1999, №1. С. 46-53

6. Введение в нелинейную механику. 4.1. Необходимые сведения из тензорного исчисления. Сост. проф. П.В.Трусов, проф. Ю.И.Няшин. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1992. 104 с.

7. Гиоргашвили Л.Г. Эффективные решения граничных задач статики моментной теории упругости для круга и бесконечной области с круговым отверстием. //В сб. "Исслед. некотор. уравнений мат. физ". Тбилиси: Тбилис. ун-т, 1974, с. 29-42.

8. Динамика и устойчивость слоистых композитных материалов. Киев: Наук, думка, 1992.

9. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микров-структурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.

10. Ерофеев В.И. Редюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для ее описания. // Акуст. журнал, 1992, Т. 38, №6. С. 1116-1117.

11. Ильюшин A.A. Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел. // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 54-61.

12. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973, 303 с.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

14. Кордзадзе М.А. Интегрирование неоднородной системы уравнений плоской моментной теории упругости. // "Сакартвелос ССР Мецниеребата Академиис моамбе, Сообщ. АН ГрузССР". 1978. Т.89, вып. 1. с. 45-48.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и ин-женеров). М.: Наука, 1973. - 831 с.

16. Короткина М.Р. Моментные теории упругости и их связь с полевыми теориями, построенными на дискретных структурах. // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. №4. С. 225-240.

17. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.

18. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитического решения некоторой двумерной задачи несимметричной теории упругости // Вестник ПГТУ. Вычислительная математика и механика. Пермь: ПГТУ, 2000. № 1. С. 55-60.

19. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Известия РАН, Механика твердого тела. М: Наука, 2001. (в печати).

20. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера. // ПМТФ. Новосибирск, 2001. Т. 42. №4. С. 145-154.

21. Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера. // Вестник ПГТУ. Математическое моделирование. Пермь: ПГТУ, 2001. №9. С. 187-201.

22. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

23. Маисаиа О.И. Теоремы существования в моментной теории упругости. // "Сакартвелос ССР Мецниеребата Академиис моамбе, Сообщ. АН ГрузССР". 1974. Т.75, вып. 2. с. 293-296.

24. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. - 408 с.

25. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

26. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 182 с.

27. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

28. Натрошвили Д.Г., Джагмаидзе А.Я. Общее представление решения уравнений статики моментной теории упругости и некоторые его приложения. // В сб. "Некотор. задачи теории упругости". Тбилиси: Тбилис. ун-т, 1975, с. 93-112.

29. Немиш Ю.Н. Плоская задача моментной теории упругости для области с круговым отверстием. // Прикл. мех. 1965. т. 1, вып. 5.

30. Немиш Ю.Н. Концентрация напряжений около криволинейных отверстий в несимметричной теории упругости. // Прикл. мех. 1966. т. 2, вып. 4.

31. Немиш Ю.Н. Подкрепленное круговое отверстие в упругом поле несимметричным тензором напряжений. // Прикл. мех. 1966. т. 2, вып. 7.

32. Немиш Ю.Н., Третяк В.П. К решению плоской задачи моментной теории упругости для многосвязных областей. // В сб. "Концентрация напряж. Вып. 3". Киев: Наук, думка, 1971, с. 94-100.

33. Новаций В. Теория упругости. Пер. с польск. Победря Б.Е. М.: Мир, 1975. 872 с.

34. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости. // Прикладная математика и механика. 1964. т. 28, вып. 3. С. 401-408

35. Пальмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости. // Прикладная математика и механика. 1964. т. 28, вып. 6. С. 1117-1120

36. Рущицкий Я.Я. Элементы теории смесей. Киев: Наук, думка, 1991.

37. Рущицкий Я.Я. Взаимодействие волн сжатия и сдвига в композитном материале с нелинейно-упругими компонентами в микроструктуре. // Прикл. механика. 1993. т. 29, №■ 4. С. 23-30

38. Сабодаш П.Ф. Филиппов И.Г. О воздействии подвижной нагрузки на упругое полупространство с учетом моментных напряжений. // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С.317-321.

39. Савин Г.Н. Механика деформируемых тел. Киев: Наук, думка, 1979. 465 с.

40. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968.

41. Савин Г.Н. Лукашов A.A. Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой. // Прикл. механика. 1970. т. 6. №7. С. 48-52.

42. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. // ПММ, 1968. Т. 32. №5. С.771-785

43. Савин Г.Н. Лукашов А.А. Лыско Е.М. Времеенко С.В. Агасьев Г.Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением. // Прикл. механика. 1970. т. 6. № 6. С. 37-41.

44. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости. //В сб. Разрушение. Т.2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. С.646-751.

45. Anthonie A. Effect of couple-stress on the elastic bening of beams. Int. J. of Solid and Structures. 2000. V. 37. P.1003-1018.

46. Bogy D.B. Sternberg E. The effict of couple-stress on the corner singularity due to an asymmetric shear loading. // Int. J. of Solid and Structures. 1968. V. 4. P. 159-174.

47. Chiu B.M., Lee James D. Gn the plane problem in micropolar el'stic-ity. // Int. J. Eng. Sci. 1973. V. 11. No. 9. P. 997-1012

48. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables, Paris, 1909.

49. Dhaliwal Ranjit S., Chowdhury Kashmiri L. The axisymmetric Reissner-Sagoci problem in the linear micropolar elasticity. // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci techn. 1971. V. 19. No. 9. P. 661-668.

50. Dyszlewicz J. Stress formulation of the "second" axially symmetric problem of micropolar theory of elasticity. // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci techn. 1973. V. 21. No. 2. P. 87-97.

51. Eringen A.G. Suhubi E.S. Nonlinear theory of micro-elastic solids-II. // Int. J. Engng. Sci. 1964. V.2. P.389-404.

52. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants // Trans. ASME. 1975, V. E42. No. 2. P. 369-374

53. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants. Part 2. // Arch. Mech. 1981, V. 33. No. 5. P. 717-737

54. Gupta S.С. An inhomogenety problem in couple stress theory. // Proc. Indian. Acad. Sci. 1976. V. A84. No. 5. P. 181-193.

55. Hsu Y.C., Wang W.J. Couple-stress effects near an interior hole of an infinite elastic plane subjected to a concentated force. //J. Franklin Inst. 1973. V. 295. No. 5. P. 411-421.

56. Itou S. The effect of couple-stress on the stress concentration arround an elliptic hole. // Acta. Mech. 1973. V.16. No. 3-4. P. 289-296.

57. Kobayashi Shoichi, Fukui Takio. Effects of couple stresses on stress distribution in a ring test specimen. // Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ. 1971. V. 33. No. 4. P. 233-242.

58. Koh Severino L. A special theory of micro elasticity. / / Int. J. Eng. Sci. 1970. V. 8. No. 7. P. 583-593.

59. Koiter W.T. Couple-stress in the theory of elasticity // Proc. Koenicl. Acad. Wet. 1964. V. B67. No. 17. Русск. перевод, в- кн. "Механика", 1965, вып.З (91), С. 89-112.

60. Lakes R. Cosserat micromechanics of structured media experimental methods. // Third technical conference "Proceedings of the American society for composites". September 25-29, Seatle, Washington. P. 505-516.

61. Le Roux. Etude géométrique de la torsion et de la flexion // Ann. . Scient, de L'École Normale Sup., Paris, 1911, V. 28

62. Marinescu С. О problema la limita deelasticitate asimetrica plana. // Bul. Univ. Brasov. 1972. V. C14. P.25-28.

63. Mindlin R.D. Influence of couple-stress on stress concentrations // Experimental Mechanics, 1963. V. 3. No. 1. P. 1-7. Русск. перевод, в кн. "Механика", 1964, вып.4 (86), С. 115-128.

64. Mindlin R.D. Tierstin H.F. Effects of couple-stress in linear elasticity. // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1962. V. 11. No. 5. P. 415-488. Русск. перевод, в кн. "Механика", 1964, вып.4 (86), С. 80-114.

65. Mindlin R.D. Stress function for a cosserat continuum. // Int. J. Engng. Sci. 1965. V.l. P.265-271.

66. Mindlin R.D. Microstructure in Linear Elasticity. // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. V. 16. P.51-78.

67. Mindlin R.D. Galerkin stress function for non-local theories of elasticity. // Int. J. of Solid and Structures. 1972. V. 8. No. 12. P.1407-1411.

68. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. // Lecture at the 11-th International congress of Applied Mechanics. Munchen: Technical University of Munich, 1964.

69. Sandru N. On some problems of the linear theory of the asymmetric elasticity. Int. J. Engng. Sci. 1966. V.4. P.81-94.

70. Schaefer H. Das Cosserat-Kontinuum. // ZAMM. 1967. V.47. No. 8. P. 485-498

71. Suchar M. Stress function for the "second" plane problem of micropolar elasticity. // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci techn. 1972. V. 20. No. 11. P. 831-840.

72. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stress. // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1962. V. 11. No. 5. P. 385-413.

73. Voigt W. Theoretische Studien ueber die Elastizitaetsverhaeltnisse der Kristalle. // Abh., Gess. Wiss. Goettingen 34, 1887.