Редукции плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

#■ у * .

1 ? „ //-// .

¿г Ж) /* да«?-

¿г

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи УДК 539.3

ЖАВОРОНОК Сергей Игоревич

РЕДУКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ К СИСТЕМЕ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Специальность 01.02.04 "Механика деформируемого твердого тела"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -кандидат технических наук,

профессор Елпатьевский А.Н.

Научный консультант -кандидат технических наук, доцент Князев А.А.

Москва -

1999

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание..................................................................................................................2

Введение.......................................................................................................................4

1. Современное состояние проблемы......................................................................11

1.1. Аналитические методы решения плоской задачи теории упругости... 11

1.2. Численные методы решения плоской задачи теории упругости..........23

1.3. Методы построения приближенного решения.......................................25

1.4. Способы редукции краевых задач теории упругости............................28

2. Редукция уравнений плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач..................................................................................36

2.1. Постановка задачи плоской теории упругости для криволинейной неравнобочной анизотропной трапеции.................................................36

2.2. Основные сведения из теории полиномов Лежандра общего вида......39

2.3. Построение редукции соотношений двумерной краевой задачи.........45

2.4. Матрично-векторная форма разрешающих уравнений приближения 1Ч-го порядка.......................................................................57

3. Анализ приближенного решения 1Ч-го порядка.................................................61

3.1. Система разрешающих уравнений тестовой задачи для прямоугольной изотропной полосы........................................................61

3.2. Анализ решения тестовой задачи при заданных на контуре напряжениях и различных геометрических параметрах полосы.........64

3.3. Анализ решения тестовой задачи при заданных на контуре высокоградиентных полях напряжений..................................................73

4. Задачи о криволинейных неравнобочных ортотропных трапециях с произвольными краевыми условиями................................................................79

4.1. Процедура численного решения задачи..................................................79

4.2. Напряженно-деформированное состояние криволинейной трапеции при заданных контурных полях напряжений........................81

4.3. Напряженно-деформированное состояние криволинейной трапеции при заданных на основании однородных

кинематических краевых условиях..........................................................93

Заключение..............................................................................................................111

Список использованных источников....................................................................113

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена разработке методики сведения двумерной краевой задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач путем разложения неизвестных по общего вида полиномам Лежандра. Этот подход является одним из эффективных вариантов решения плоской задачи теории упругости для достаточно широкого класса областей, в том числе неканонических, построение аналитического решения для которых сопряжено с определенными трудностями.

Актуальность работы.

Существующие методы решения плоской задачи теории упругости можно подразделить на две основные группы: аналитические методы математической теории упругости и сугубо численные методы.

Методы математической теории упругости, нацеленные на аналитическое построение точного решения поставленной задачи без применения каких-либо дополнительных гипотез о напряженно-деформированном состоянии, имеют наибольшую научную ценность, так как позволяют анализировать решение, построенное в общем виде, однако их практическое применение существенно ограничено простым видом уравнений состояния - изотропной или ортотропной средой, постоянными по всей области коэффициентами физических соотношений, частными случаями геометрии рассматриваемой области, часто - краевыми условиями определенного типа. Точные решения построены для сравнительно узкого класса задач о плоском напряженном состоянии и плоской деформации и для ряда отдельных задач о трехмерном напряженно-деформированном состоянии. Нахождение точного решения в замкнутой форме весьма затруднительно для анизотропных сред, неканонических контуров областей. Как правило, методы построения точных

решений не являются универсальными в смысле невозможности применения единого подхода для двумерных и трехмерных задач.

Численные методы, такие, как вариационно-разностный метод, метод конечных разностей, метод граничных элементов и особенно широко распространенный на данный момент метод конечных элементов наиболее универсальны с точки зрения практического применения к решению задач для областей со сложными неканоническими контурами, произвольными краевыми условиями и законами состояния среды. Данное преимущество вытекает из универсальности примененных во всех методах данной группы подходов к замене дифференциальных уравнений алгебраическими на основе перехода от континуальных неизвестных к дискретным. В то же время преимущества дискретизации сплошной среды оборачиваются вполне определенными органическими недостатками, например, неточностью удовлетворения условий неразрывности среды на границах элементов в конечно-элементном подходе.

Вместе с вышеперечисленными подходами определенный интерес представляет развитие промежуточного класса - численно-аналитических методов решения задачи теории упругости, идея которых заключается в понижении порядка краевых задач, т.е. редукции, и приведения их к системам уравнений, допускающих эффективное численное решение современными вычислительными средствами. Одним из возможных подходов является замена двумерной краевой задачи системой одномерных краевых задач. Достоинство такого подхода заключается в его универсальности в том смысле, что редукция двумерной задачи к системе одномерных задач и редукция трехмерной задачи к системе двумерных задач осуществляется на основе одних и тех же приемов. Кроме того, редукция двумерной или трехмерной задачи строится на основе строгого математического аппарата без принятия каких-либо гипотез о напряженно-деформированном состоянии среды.

Таким образом, актуальность данной работы состоит в разработке нового способа численно-аналитического решения двумерной задачи теории упругости

для областей неканонического вида в декартовой системе координат на основе редукционного подхода.

Цель работы.

Целью данной работы является разработка способа решения плоской задачи теории упругости для криволинейной неравнобочной трапеции на основе метода редукции двумерных краевых задач к системам одномерных краевых задач путем разложения неизвестных по полиномам Лежандра.

Для реализации сформулированной цели поставлены следующие задачи:

1. Применить ортогональные разложения неизвестных задачи по полиномам Лежандра общего вида, ортогональным на произвольном промежутке [а, Ь], с целью построения системы разрешающих уравнений задачи для неканонической области в декартовой системе координат.

2. На основе ортогональных разложений неизвестных построить процесс замены двумерных соотношений плоской задачи статической теории упругости эквивалентной системой одномерных соотношений.

3. Используя вариационный подход, построить замкнутую конечную систему уравнений приближения произвольного порядка, соответствующего усечению разложений неизвестных задачи некоторым конечным числом N.

4. Разработать алгоритм численного решения двухточечных краевых задач, полученных в результате редукции исходных соотношений, на базе метода ортогональной прогонки С.К. Годунова.

5. Подтвердить достоверность решений, полученных на основе приближения 1Ч-го порядка, путем сравнения с существующими точными решениями тестовых задач.

6. Проанализировать численные решения, полученные при различных порядках приближения 14, и установить оптимальные порядки приближения для областей различной конфигурации.

7. Построить численные решения ряда задач для неканонических областей с ортотропным законом состояния среды и произвольными краевыми условиями.

Научная новизна диссертационной работы.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. В качестве системы функций разложения к редукции двумерных краевых задач для областей, отнесенных к декартовой системе координат, применены полиномы Лежандра общего вида, ортогональные на произвольном промежутке [а, Ь].

2. Построена методика сведения двумерной краевой задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач.

3. Построены решения задач теории упругости для неканонических областей различной конфигурации на основе единого алгоритма.

4. В результате анализа применения построенной методики к решению задач установлены оптимальные порядки приближения для областей различной конфигурации.

Достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы обоснована применением апробированного математического аппарата и подтверждена сравнением построенных приближенных решений с имеющимися точными решениями тестовых задач математической теории упругости.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность работы состоит в возможности применения разработанного способа решения двумерных краевых задач при проведении

прочностных расчетов плоских конструктивных элементов, включая композиционные.

Разработанная методика может быть использована для редукции трехмерных задач теории упругости для построения прикладных теорий расчета нетонких пластин и оболочек, в том числе анизотропных, многослойных, неоднородных, переменной толщины.

Апробация работы.

Результаты работы апробированы на III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Ярополец, 1997 г) и семинарах по механике деформируемого твердого тела при кафедре "Сопротивление материалов, динамика и прочность машин" Московского Государственного Авиационного института (1999) и кафедре "Строительная механика" Московского Государственного Строительного университета (1999 г).

Публикации по теме работы.

По теме диссертации в 1997-1999 г опубликованы 3 печатные работы.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов и списка литературы. Общий объем работы 123 страницы, в том числе 73 стр. машинописного текста, 37 стр. рисунков и 12 стр. списка литературы из 135 наименований.

Первая глава диссертационной работы посвящена обзору и анализу существующих на данный момент основных подходов к решению поставленной задачи.

Вторая глава посвящена построению процесса редукции исходной плоской краевой задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач. Глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе описана постановка плоской задачи статической теории упругости для криволинейной трапеции.

Во втором параграфе приведены основные сведения из теории ортогональных полиномов Лежандра и выведены базовые формулы, используемые в дальнейшем для записи соотношений задачи.

В третьем параграфе на основе вариационного принципа Райсснера осуществлена замена двумерных соотношений системой одномерных соотношений, сформулировано приближение 1М-го порядка, получены системы уравнений и краевых условий I и II основных краевых задач теории упругости для криволинейной трапеции.

В четвертом параграфе система уравнений приближения Ы-го порядка приведена к векторно-матричным обыкновенным дифференциальным уравнениям, пригодным для численного интегрирования.

Третья глава диссертации посвящена сравнению решений, получаемых на основе приближения 1чГ-го порядка, с имеющимися точными решениями плоской задачи теории упругости для прямоугольной ортотропной полосы. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе описаны постановка тестовой задачи для прямоугольной ортотропной полосы и приведение уравнений приближения 14-го порядка к последовательности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Во втором и третьем параграфах приведено решение двух тестовых задач, сравнение полученных приближенных решений 1Ч-го порядка с соответствующими точными решениями и проведен анализ сходимости приближенных решений к точным для различных геометрических параметров области.

Четвертая глава посвящена решению задач для неравнобочных криволинейных трапецеидальных ортотропных областей с произвольными краевыми условиями. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе вкратце описано построение численного процесса интегрирования векторно-матричных обыкновенных дифференциальных уравнений задачи на базе метода ортогональной прогонки.

Во втором и третьем параграфах приведены результаты решения поставленных задач и анализ сходимости численных решений.

На защиту выносятся:

1. Построение регулярного процесса замены двумерных соотношений плоской задачи статической теории упругости эквивалентной системой одномерных соотношений на основе разложения исходных неизвестных функций двух аргументов в ряды полиномам Лежандра по общего вида.

2. Построение замкнутых конечных систем уравнений приближения Ы-го порядка I и II основных краевых задач плоской теории упругости с их естественными краевыми условиями, аппроксимирующих исходную систему уравнений, на основе вариационного принципа Райсснера.

3. Сопоставление решений, полученных на основе приближения 1чГ-го порядка, с существующими точными решениями тестовых задач методами математической теории упругости и численный анализ сходимости приближенных решений к точным.

4. Решение задач для ортотропных трапецеидальных областей с произвольным контуром боковых сторон и произвольным контурным нагружением и анализ устойчивости процесса численного интегрирования уравнений приближения ТЧ-го порядка.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

Плоская статическая задача является одной из наиболее развитых областей теории упругости. Количество работ по данной теме чрезвычайно велико, поэтому ниже рассматриваются в основном работы, посвященные решению плоской задачи теории упругости для прямоугольной или трапецеидальной области. Кроме того, исследуемый метод редукции краевой задачи является универсальным и широко применяется и в теории пластин и оболочек, и значительная часть цитируемых ниже работ посвящена применению редукционного подхода в теории нетонких оболочек.

Как отмечено выше, методы решения плоской задачи теории упругости можно подразделить на аналитические, численно-аналитические и численные.

1.1. Аналитические методы решения плоской задачи теории упругости

Аналитические методы предусматривают решение бигармонического уравнения совместности деформаций относительно функции Эри

при построении решения в напряжениях либо уравнений равновесия Ламе

при построении решения в перемещениях. Как правило, решение строится способом разделения переменных (Фурье), при этом выбираются функции, тождественно удовлетворяющие уравнениям задачи, а неизвестные константы определяются из краевых условий.

Первая группа методов имеет целью нахождение решения бигармонического уравнения совместности (1.1). Наиболее простым является точное решение бигармонического уравнения, построенное Менаже (Mesnager) путем представления функции Эри полиномами различного порядка ([1]).

У2У2ф = 0

(1.1)

+цим.=0, У = 1,2

(1.2)

Такое решение, естественно, может быть найдено только для частных случаев статических краевых условий и оказаться весьма громоздким.

Более широкому классу краевых условий отвечает решение, построенное Файлоном (Filon L.N.G) в работе [2] и Рибьером (Ribière M.) в работе [3]. Тем и другим был предложен, по сути, редукционный способ решения бигармонического уравнения, основанный на разложении функции Эри в одинарный тригонометрический ряд Фурье по синусам (решение Файлона) или косинусам (решение Рибьера). Компоненты статического контурного воздействия также представляются рядом Фурье, и бигармоническое уравнение сводится к последовательности независимых обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно коэффициентов разложения срк(х2) с биквадратными характеристическими уравнениями. Такое решение свободно от ограничений по краевым условиям при x2=±h/2; вместе с тем очевидным недостатком метода Файлона и Рибьера является ограничение класса краевых условий на торцах полосы Xj = 0, Xj = L определенными условиями, названными