Исследование плоской задачи нелинейной упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Постановка статической задачи нелинейной упругости при плоской деформации

§ I. Общая характеристика нелинейной упругости.

§ 2. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в произвольных координатах деформированного состояния.

I.Соотношения пространственной задачи. 2.Соотношения плоской задачи. 3.Представления деформаций через напряжения.

§ 3. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в декартовых координатах деформированного состояния.

I.Представления в декартовых координатах скалярных, векторных и тензорных величин. 2.Соотношения плоской задачи в декартовых координатах.

§ 4. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в комплексных координатах деформированного состояния.

I.Представления в комплексных координатах скалярных, векторных и тензорных величин, 2.Соотношения плоской задачи в комплексных координатах.

§ 5. Условия эллиптичности уравнений равновесия нелинейной упругости при плоской деформации.

I.Достаточные условия эллиптичности. 2.Достаточные условия эллиптичности для изотропного материала.

§ 6. Плоская задача нелинейной упругости в перемещениях и в напряжениях.

I.Задача в перемещениях. 2.Задача в напряжениях. 3.Задача для функции напряжении.

Глава 2.Плоская деформация в нелинейной упругости при линейных связях напряжений с деформациями

§ 7. Плоская деформация при линейной зависимости деформаций от напряжений.

I.Материалы с линейной зависимостью деформаций от напряжений. 2.Соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния. 3.Задача в напряжениях в декартовых координатах и её исследование. 4.Задача в напряжениях в комплексных координатах и сведение её к задаче для потенциалов. 5.Представление перемещений через потенциалы. 6.Исследование потенциалов. 7. Решение краевых задач для потенциалов. 8.Всестороннее растяжение плоскости с отверстием.

§ 8. Плоская деформация при линейной зависимости напряжений от деформаций.

I.Материалы с линейной зависимостью напряжений от деформаций. 2.Соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния. 3.Задача в перемещениях в декартовых координатах и её исследование. 4.Задача в перемещениях в комплексных координатах и сведение её к задаче для потенциалов. 5.Исследование потенциалов. 6.Решение краевых задач для потенциалов. 7.Деформация плоскости с отверстием при заданном смещении границы.

Глава 3. Плоская деформация в нелинейной упругости при малых поворотах, превышающих малые удлинения-сдвиги

§ 9. Соотношения нелинейной упругости при ограничениях на характеристики плоской деформации.

I.Исходные допущения. 2.Соотношения плоской задачи в различных координатах деформированного состояния.

§ 10. Задача о плоской деформации материала в перемещениях.

I,Уравнения равновесия в перемещениях в декартовых координатах и их исследование. 2.Уравнения равновесия в перемещениях в комплексных координатах и их интегрирование.

§ II. Задача о плоской деформации материала в напряжениях и поворотах.

I»Уравнения равновесия в напряжениях и поворотах в декартовых координатах и их исследование. 2.Уравнения в напряжениях и поворотах в комплексных координатах и их интегрирование. 3.Определение перемещений. 4.Формулировка задачи в терминах поворота и функции напряжений. 5.Динамическое условие совпадения данного варианта нелинейной упругости с линейной упругостью.

§ 12. Краевые задачи для потенциалов. Х

I.Исследование потенциалов. 2.Краевые задачи для односвязных областей. 3.Краевая задача для единичного круга. 4.Решение краевой задачи методом Ньютона-Канторовича.

§ 13. Всестороннее растяжение плоскости с отверстием. 194 I.Постановка задачи. 2.Определение напряжении. 3.Исследование решений. 4.Исследование напряжений. 5.Определение и исследование перемещений. 6.Линейное решение.

Глава 4. Плоская деформация несжимаемого материала в нелинейной теории упругости

§ 14. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации несжимаемого материала.

I.Исходные соотношения. 2.Соотношения плоской деформации несжимаемого материала в различных координатах деформированного состояния.

§ 15. Задача о плоской деформации несжимаемого материала в перемещениях.

I. Задача в перемещениях в декартовых координатах деформированного состояния. 2.Задача для начальных декартовых координат. 3.Исследование уравнений для начальных координат. 4.Задача в перемещениях в комплексных координатах деформированного состоянии. 5.Задача для начальных комплексных координат.

§ 16. Задача о плоской деформации несжимаемого материала в напряжениях.

I.Задача в напряжениях в декартовых координатах деформированного состояния. 2.Задача в напряжениях в комплексных координатах деформированного состояния. 3.Задача для функции напряжений в декартовых и комплексных координатах деформированного состояния.

§ 17. Плоская деформация несжимаемого материала Муни в нелинейной теории упругости.

I.Материал Муни. 2, Задача в перемещениях и в начальных координатах для материала Муни. 3.Деформация плоскости с отверстием. 4.Задача в напряжениях для материала Муни. 5. Равновесие кольца. 6.Задача для функции напряжений для материала Муни. 7.Равновесие криволинейного четырехугольника.

Нелинейная теория упругости является одним из актуальных интенсивно развивающихся направлений современной теории упругости. Глубокий интерем к нелинейным проблемам упругости обусловлен как внутренними закономерностями развития этой теории и смежных областей механики деформируемого твердого тела, так и требованиями современной техники, где широко используются традиционные упругие материалы в условиях высоких нагрузок и многочисленные новые конструкционные материалы с разнообразными механическими свойствами.

Многие актуальные проблемы упругости не могут быть описаны линейной упругостью. Дня их исследования потребовалось углубление классических теорий, отказ от ряда упрощающих предположений и построение нелинейных моделей упругости, более полно учитывающих свойства материалов.

В нелинейной теории упругости перемещения и деформации могут быть конечными величинами. В связи с этим, а также в зависимости от рассматриваемых задач в ней практикуются разнообразные способы исследования, связанные с использованием различных характеристик напряжений и деформаций и различных координат начального и деформированного состояний.

Задачи нелинейной теории упругости сводятся в общем случае к начальным и краевым задачам для нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений в частных производных, решение которых связано с преодолением значительных трудностей. Ввиду сложности нелинейных проблем получили распространение исследования различных классов задач. При этом широко применяются приближенные методы, основанные на методе последовательных приближений, методе малого параметра, численном счете с использованием ЭВМ и прочие.

Важное значение имеют точные решения нелинейных задач, позволяющие, с одной стороны, выявить нелинейные эффекты, а с другой стороны - оценить надежность различных приближенных методов.

В диссертации в рамках нелинейной теории упругости исследуется плоская статическая деформация упругого материала. Рассмотрение производится в координатах деформированного состояния. Мерой напряжений служит тензор Коши, а мерой деформаций - тензор Альманси. Эти тензоры связаны между собою законом ВДурнагана, который при плоской деформации допускает квазилинейное представление.

Задача о плоской деформации сжимаемого и несжимаемого материалов формулируется в виде плоской задачи как для перемещения, так и для напряжений, в том числе и в терминах функции напряжений. Устанавливаются условия эллиптичности соответствующих нелинейных уравнений. Краевые условия для них задаются на границе деформированного тела.

Методы теории функций комплексного переменного, широко применяемые в линейной упругости, приводят к плодотворным результатам и при исследовании нелинейных проблем. В работе дано теоретическое обобщение результатов плоской задачи линейной упругости на случай соответствующей задачи нелинейной упругости. Для двух классов материалов, характеризуемых определенными видами упругого потенциала, и для геометрически нелинейной модели упругости, предложенной В.В.Новожиловым [бэ] , напряжения и перемещения представлены через комплексные потенциалы по формулам, обобщающим формулы Колосова - Мусхелишвшш, а задачи о плоской деформации материалов сведены к краевым задачам (вообще нелинейным) для потенциалов, обобщающим соответствующие задачи линейной упругости.

В работе изучается разрешимость этих краевых задач. Последние сводятся к функциональным уравнениям, для которых обосновывается применимость метода Ньютона-Канторовича и дается оценка его сходимости. Рассмотрены также некоторые нетрадиционные краевые задачи для потенциалов. Показывается, что они могут быть сведены к последовательному решению задач Шварца и Гильберта . Обнаруживается характерная особенность ряда задач нелинейной упругости - в них появляются ограничения на краевые условия.

Линейная теория упругости обычно основывается на допущениях геометрического характера. В работе показывается, что при плоской деформации материалов результаты линейной упругости могут быть получены также из соответствующих результатов нелинейной упругости при выполнении некоторых динамических условий.

Наряду с проведением общих рассмотрений, в работе указываются некоторые способы отыскания частных решений. На их основе в нелинейной постановке получено точное решение ряда задач и дано исследование нелинейных эффектов. В частности, показана пригодность решения только при специальных ограничениях на приложенные нагрузки, ветвление решений, возможность реализации различных режимов напряженного состояния в зависимости от соотношения между определяющими параметрами и тому подобное.

Работа состоит из четырех глав и семнадцати параграфов,для которых принята сквозная нумерация.

В первой главе дается общая характеристика нелинейной упругости, выводятся основные соотношения плоской деформации, различные форш уравнений равновесия,устанавливаются условия эллиптичности этих уравнений и формулируются постановки краевых задач.

В § I перечислены характерные особенности и основные варианты нелинейной теории упругости, дано обоснование актуальности этой теории и указаны некоторые применения её результатов и методов.

В §§ 2-4 выводятся соотношения нелинейной упругости для плоской деформации при выбранных характеристиках напряжений и деформаций в координатах деформированного состояния. В качестве исходных берутся общие соотношения нелинейной упругости, изложенные в монографии Л.И.Седова [79] , в том числе уравнения равновесия и неразрывности, выражения инвариантов деформации через её компоненты, закон Мурнагана и представления деформаций через перемещения:: d¿v Р + = О , р = р0 ]/1'2е1^62-8&3 } £ = ие, 2& = (Ье)2-Н&2, £ =с1е1ег

7 2 3 (I)

-1 с! Г - - * - - * 2£ = Ч11+(?и) - Vи• (7и) , к ним присоединяются условия на границе деформированного тела (которая считается заданной) - условия для перемещений на одной части поверхности и условия для напряжений - на другой её части: й\ = И , Р-п = р , (2) Р

Закон Мурнагана представляется в виде квадратичной зависимости напряжений от деформаций с коэффициентами упругости -функциями инвариантов деформации

Р-К^'К^ + К^2 , 0,1,2;.(з)

Эти коэффициенты выражаются через упругий потенциал и поэтому должны удовлетворять трем дифференциальным условиям г и, нг-= ° ' (4)

К0+2К,+ К2) о д(УК2) п

-—— - С I = и > дег ди

4) д(2уК1 + (1+2е1)УК2) / д(4К0 + 2К1 + К2) ду де1

Показывается эквивалентность задания упругого потенциала заданию коэффициентов упругости, удовлетворяющих условиям (4). Условия вида (4) рассматривались И.И.Гольденблатом ( [29 ] , с. 234), однако им были взяты иные базисные инварианты и эти условия имели более сложную структуру. Известны также аналогичные соотношения при использовании других мер напряжении (например, А.И.Лурье [59], с. 107-111).

При плоской деформации тела основной является плоская задача, соотношения которой аналогичны (I) и связывают между собою двумерные части рассматриваемых векторных и тензорных величин. В этом случае зависимости меаду двумерными тензорами Коши и Аль-манси придан вид, по форме аналогичный закону 1ука, но в котором в отличие от последнего коэффициенты упругости являются функциями базисных инвариантов и должны удовлетворять одному дифференциальному условию. Граничные условия задаются на контуре плоской деформированной области. Соотношения плоской задачи имеют вид

IV Р, + = о , \/ 1-2е^4е2 ,

Г*гб»> е2=Ые* = -Сщ-Гги); ,(5) дСбА + И-е^М) д СгХМ)

-г—--+ -— = о , дб1 оии* = К , = Р* • (5)

Связь между двумерными тензорами Коши и Альманси можно в общем случае обратить и представить второй из них в виде квазилинейной функции первого с коэффициентами упругости, также удовлетворяющими дифференциальному условию

ЪПСР^иг)!},* 2Я(РГгиг)Р<, Т-П+Я, Р7= ЬгРщ 9 р2= 9 го-'2 = 1-2Р^4Р ,

6) дЯ при этом пары коэффициентов упругости оказываются связанными между собою следующими симметричными соотношениями

4МЯ = 1 , 4НТ- 1 . (7)

Известны также другие формы соотношений плоской задачи,полученные в других переменных и при использовании иных мер напряжений и деформаций. Так, например, А.В.Волковой и В.В.Новожиловым [20 ] они получены в криволинейных координатах, линии которых совпадают с траекториями главных напряжений, А.И.Лурье [59] - в координатах недеформированного состояния, Н.Ф.Морозовым и В.В.Новожиловым [63] - в координатах деформированного состояния для несжимаемого материала, Дж.Адкинсом, А.Грином и Р. Шилдом [100 ] - в координатах начального и деформированного состояний.

Соотношения (5)-(7) в работе представлены в криволинейных, декартовых и комплексных координатах деформированного состояния. Б последних: из них они имеют компактный вид: дР11 дР12 еге129 4е2=(&12)2-е"е22, V-'2 - (г-е12)2-е"е22,

12 О., . р»= р22 = 2М сеиъ)е'\ Р = 2Мсе„ и-)£ , £ - £ ~ ^ д2и 81 ) 1 и дг № 31' дг дг и\/ = , р11п + Р'2п I = 2р($).

Ми I иР

Другая форма закона Мурнагана определяется выражениями е11 = I2* = 2Я (Ри иг)Р11, £ 2ТСР1} иг)Р12,

9) р,р12> Щ = (Р12)2-Р"Р22, иг~2^а-рт2)2-р"р22.

В (8) и (9) коэффициенты упругости удовлетворяют соответственно условию (5) и (6), а контравариантные компоненты двумерных векторов и тензоров в комплексных переменных выражаются через декартовы компоненты соответствующих величин простыми формулами. Например, для вектора перемещений и тензора напряжений они имеют вид ос. у > хх уу ху' XX уу

На связь рассматриваемых комплексных комбинаций декартовых компонентов векторов и тензоров с контравариантными компонентами этих величин в комплексных переменных впервые обратили внимание, по-видимому, А.Грин и В.Церна [Юб] . Комплексная запись различных форм соотношений плоской задачи нелинейной упругости использовалась в работах [59] , [98] ,[100] и других.

В § 5 установлены условия эллиптичности уравнений плоской деформации сжимаемого материала. Из соотношений плоской задачи (5) в декартовых координатах получены уравнения второго порядка для перемещений. Затем, опираясь на взаимно-однозначное соответствие между градиентом перемещений \[¥ и градиентом деформаций С к : и С2~С'Г ♦ ' г г С-Щб.+ Ц

-с/- • ,-и,. иг ' они представлены в виде уравнений первого порядка для компонентов градиента деформаций и вместе с уравнениями совместности для этих величин записаны в виде

• Аке.1т1£,* Ае-0 >

V- НИ; 14 I/, £11- 1К„ си С2/ с»\\ , (П) А = I\А1 А2 лз А+\\ = И РЪ 0 0 II , где по повторяющемуся индексу предполагается суммирование. Достаточные условия эллиптичности - условия сильной эллиптичности получены в виде д^ Г с™п,г^Тс—дй~ > 0 ' (12)

ТдС Л/*

Условия (12) пригодны как для изотропного, так и для анизотропного материалов, если полагать, что упругий потенциал,зависит от компонентов тензора - меры деформации. В работе получены также условия эллиптичности изотропного материала. В этом случае упругий потенциал является функцией инвариантов деформации и его можно представить в виде

Г=Г(В' в') в'=с С в'=С С С С ,(13)

I Г J-Jj , £>2 / } Vj , 2 G-oL ТЫ <TJз T¡з ' а условия эллиптичности принимают вид ограничений на производные от потенциала по инвариантам dF ^п dF п . д2г п д2г d2F f d2F \ Л

Тип уравнений нелинейной упругости исследовался рядом авторов. Например, С.К.Годуновым [28] были установлены условия гиперболичности динамических уравнений, записанных в координатах деформированного состояния. Для статических уравнений в координатах начального состояния, выведенных при использовании в качестве характеристик напряженно-деформированного состояния тензоров Пиола и градиента деформации, условия эллиптичности получены А.И.Лурье [59] , эти условия, записанные с помощью упругого потенциала, согласуются с условиями (12).

В § 6 дается формулировка задачи о плоской деформации материала в перемещениях и в напряжениях (в последнем случае и в терминах функции напряжений) в декартовых и комплексных координатах деформированного состояния. Показано, что при задании на границе области одних перемещений задачу.удобно формулировать в перемещениях. В этом случае соотношения (5) после исключения напряжений,, деформаций и их инвариантов сводятся к системе двух квазилинейных уравнений второго порядка для перемещений и краевым условиям для них. В комплексных переменных задача имеет вид

В *( л ди д2и . г ди д2и , Г(1 ди д2и

ЬСЭ) .

Коэффициенты этого уравнения и свободный член известным образом выражаются через компоненты градиента перемещений и коэффициенты упрутости, а последние полагаются заданными функциями инвариантов, удовлетворяющими условию (5).

При задании на границе области одних напряжений плоская задача формулируется в напряжениях. Для этого выводятся уравнения совместности деформаций и напряжений. Показано, что следуя методу, изложенному в работе автора [7 ] , первое из них устанавливается исключением перемещений из выражений для деформаций и для первых и вторых производных от них по координатам, а второе - путем подстановки в найденное уравнение выражений деформаций через напряжения: согласно (6).

Уравнение совместности напряжений является квазилинейным уравнением второго порядка. Вместе с линейными уравнениями равновесия и краевыми условиями в напряжениях оно составляет задачу в напряжениях. В комплексных координатах эта задача имеет вид

Т- ЧРУ гмглйГ.¿Г <ю дтр'2 л?р221 . зар" дяр21л\ х \2 ~1Г ' ~дГ ) ~ 2 ~дГ Л '

ЗР11 дР}г (=>2 о

7Г+ Ж* = р2 -и-2ТР12)2-4й2Р"рг2, г° (16) с/5 * с/5 21р (в)

Фигурирующие здесь коэффициенты упругости полагаются заданными функциями инвариантов, удовлетворяющими условию (6).

При потенциальных силах задача в напряжениях сведена к краевой задаче для функции напряжений: последняя должна удовлетворять квазилинейному уравнению четвертого порядка, а её первые производные по координатам - принимать на границе области заданные значения. Соотношения задачи в комплексных переменных соответственно будут

Ши, дТСУ+2Цй) дпи-п \(9Т(У+2ия). 2Яигг) . дйии ВЯЩА + ( ц *—ьГА п-* 1ГГ2-9Г-ЗГ-Г

17) 16Кв [рип(Ш^АМиК Ш?). (Щг1)2)}} •

С - [1-4Т(У+2ип)]2- 64В* ии игг, 211-1 = 2и{* ¡(¿р-у£)Л.

I о 0

Общие задачи (15) - (17) далее рассматриваются применительно к материалам, обладающим некоторыми характерными свойствами.

Уравнения равновесия сжимаемого материала в перемещениях известны в литературе. Например, в координатах деформированного состояния они рассматривались Х.Валиджановым [19] , а в координатах недеформированного состояния - Л.А.Толоконниковым [82] , А.И.Лурье [59 ] .

Во второй главе изучается плоская деформация упругих материалов с линейными связями между напряжениями и деформациями.

В § 7 рассматриваются материалы, для которых двумерный тензор Альманси является линейной функцией двумерного тензора Коши. Показано, что они содержатся в классе материалов, определяемых упругим потенциалом

F'ce^v)**-^ [>£угг-vr/-ef) *п ^З*- fir С/- е,)] (18) с произвольной гладкой функцией (р , и характеризуются следующими условиями, накладываемыми на эту функцию: при = / , } (f'cj)-* cp'(i)=°om( 19)

Для таких материалов без учета массовых сил функция напряжений определяется из краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка, главная часть кторого является бигармоническим оператором

1-2nA(J)AAU +Sn(AU). (АС/) =0 , s (20)

2U- I = 2 Ul + М PCS) ¿s . 4L * j

Показывается, что функция напряжений, а вслед за нею напряжения и плотность, представляются через два комплексных потенциала, а условие на границе сводится к краевому условию для потенциалов; эти выражения нелинейны и обобщают соответствующие формулы Колосова-Мусхелишвили линейной теории:

2U= ъ <p(z)+ z cpTz) t J (pcz)dz + fe a) ds-4 Пера) у a) , p"= P22=-2[z<rm + V^)] + 8nycz)y7rcF), (2I) s 0

Демонстрируется также, что при условии ограниченности в рассматриваемой области самих потенциалов и их производных и при • малом сравнительно с единицей характерном безразмерном напряжении G"= ПР0 задача (20) и формулы (21) нелинейной упругости переходят в соотношения линейной упругости.

Краевая задача для потенциалов (21) в односвязной области (для определенности бесконечной) с помощью конформного отображения z- W (£) сведена к краевой задаче для единичного круга с окружностью £ , а последняя - к нелинейному функциональному уравнению для потенциала (J? , содержащему параметр б- :

Р рг вг) = ТСЦ) + PR (tР) = О ,

Т«р)=ч>Ст ) + ^-ш Г N (Т Г) у'ст) с/т - А (Т0) } (22)

2 7tl J Г

2 Г <Р(т)-уст0) <Р'(т)

R Гф)=--— --= с/т ,

А ЪгРп J г- Т w'CV о f О где Т(Ц) - оператор линейной упругости. Это уравнение решается методом Ньютона-Канторовича ( [37 ] , с. 683-692). В предположениях per) е CZ(f), W(T)€CJcp, w'(T)f ore f) (23) показывается, что (22) имеет решение <f¥ и к нему сходится по следоват ельно с ть

Vn+1 = 1Тс%)]1СР(?п)) (П = 0,1 ?.; % = (24) еоли параметр б" удовлетворяет неравенству

5-4 В4 (а + , (25) где в правой части стоят положительные величины, определяете исходными данными. Приведены также условие единственности решения и оценка быстроты сходимости последовательности.

Показано, что для данных материалов перемещение выражается через один потенциал и является аналитической функцией и = 4П (рСЕ) . (26)

Рассмотрены некоторые нетрадиционные краевые задачи для потенциалов, одна из которых ставится следующим образом.

Пусть заданы на всей граничной окружности относительная плотность материала и нормальное напряжение и в двух граничных точках - соответственно перемещение и тангенциальное напряжение: р/Ро= ут)ес2<г)> = %ег> (27)

Рг* РггСТ)ес1сГ} > Рго(Т1^ ^ > е Г , ^8) а отображающая функция обладает свойствами (23). Тогда потенциал (р (£) определяется из краевой задачи Шварца

Не [6г (1-4/1 Ф(т))] - | €п с^ст) } те (29) и последующей квадратуры в виде т° (30) о т- ? г ' т ° 4П |И,'(Т)1 Г

Задача разрешима при ограничении на краевые значения плотности:

2 тс с^ = £с / ^ %С9) 0 • (з1)

Для потенциала ф' ) имеем краевую задачу Гильберта с нулевым индексом ре (т) ф'(т)}= те г, уст),

32) откуда он определяется в виде Г($)т / Г $СТ) -ГСт)Т+$ с1т п-[

Г (33) 2

Г „ г г , Т+ £ ¿Т Г ггл- Г ЪУ''(Т) Г($)= г— \ О (Т)-> Су СТ) =------ >

4ти Л 0 т т2 и/'ст)

-г где С - постоянная, определяемая по точечному условию (28).

Вместо (28) на граничной окружности можно задавать касательное напряжение и в одной граничной точке - нормальное напряжение, а вместо (27) - нормальное или тангенциальное перемещение.

В конце параграфа дано точное решение задачи о всестороннем растяжении упругой плоскости с отверстием, имеющим в деформированном состоянии форму эллипса, при растяжении на бесконечности Ро и при свободном от напряжений контуре отверстия. Полагается, что плоскость изготовлена из материала рассматриваемого класса. Решение обладает следующими свойствами. Решение справедливо только для ограниченных растяжений, для которых р ^ 1 /4/7 • На контуре отверстия напряжения и плотность определяются формулами р' = о , - , (34)

72 гв вв с2 1+т2-2т СОВ26 / с ^ + т - 2тсг со$>20 2 < , „ , (смл

7 С2 и т2 - 2т соб 2в 0

Они существенно зависят от режима равновесия, определяемого соотношением между растяжением Р0 и величиной р^ = (1-т2)/4П. При "слабом" растяжении (Р ^ Р ) контур отверстия

О & также растянут, а относительная плотность в его точках меньше единицы. При "нейтральном" растяжении СРо — р^) . контур отверстия находится в нейтральном состоянии, а относительная плотность в его точках равна единице. Наконец, при "сильном" растяжении СРо > Р^) контур отверстия сжат и относительная плотность в его точках больше единицы.

На деформированной плоскости можно указать эллипс ,софокусный граничному эллипсу Ь , который подобно последнему испытывает только растяжение-сжатие, но противоположного ему знака. При Р ^ Р^ контур /, содержит ¿^ , при Р = Р^ эти контуры совпадают друг с другом, а при Р > Р - Ь со

0 « держится в

При малом безразмерном напряжении СГ= ПР0 « 1 нелинейное решение совпадает с линейным решением. Показывается,что этот случай соответствует "слабому" растяжению и что учет нелинейности уменьшает величину граничных растяжений.

Найдено поле перемещений. Перемещения на бесконечности неограниченно возрастают, а на контуре отверстия принимают значения г^- Сс-т)со$9 , и^ = п (с+ т) 0 . (35)

Установлено, что до деформации отверстие также имело форму эллипса Ь0 , софокусного граничному эллипсу Ц . Эллипс Ь0 оказывается совпадающим с рассмотренным выше эллипсом Ь , а его расположение относительно граничного эллипса при различных режимах равновесия указано выше.

В § 14 исследуется плоская деформация материалов с линейной зависимостью тензора напряжений Коши от тензора деформаций Аль-манси и показывается, что эти материалы характеризуются упругим потенциалом /

F MvCh t^t const , M = const

36)

Для них уравнение в перемещениях при отсутствии сил тлеет вид 2М (1- й) и - - 2Ми~ = 0 (37)

Н £ г Е ' что позволяет представить перемещения, а вслед за ними напряжения и плотность, через два комплексных потенциала по формулам, линейным для первых из них и нелинейным для остальных

СРС2)

2 Ми = ~2Р[- >

СЖ) Л п«л (38)

Соответственно этому краевое условие для потенциалов линейно при задании граничных перемещений и нелинейно при задании напряжений: h0cs)) (s) = 2М h(s) f

39) s i\ pes) ds , с = const .

Показывается, что соотношения (38), (39) также представляют собою некоторое обобщение формул линейной упругости: при ограниченных потенциалах и их производных и при весьма малом сравнительно с единицей характерном безразмерном напряжении 6* =Р0/М они совпадают с формулами линейной упругости при равенстве нулю одного из потенциалов.

Дяя односвязных областей краевые задачи (39) с помощью конформного отображения Z = W($) сведены к краевой задаче для единичного крута. В предположениях

ZCs)eC2(L)} h0CS)eH(L); czo) = О f zo=w(o) первая из них принимает вид

Jjj срет) - ~фсг) = h0CT) , hQ CT) е H(f) (40) и с учетом условия ф СО) = 0 определяет потенциалы через интегралы типа Коши

Уф 1 г ho (?) с/т $ \ hoCT) dr (4I)

2М 2Jii о ' Y 2KiiT-$ т

Г Г 2

Вторая краевая задача при условия г (s) с с [¿), pes) еИ (L )

22 формулируется для аналитической функции Р :

92 I Р(S)

Р W\L = P,cs) , 21-р^ = p,(s)gH(L)

42)

Р22СТ) = Р*ст) 9 Р^СТ) еНсу) . В этом случае определяется поле напряжений

Р7^ Р22= 1 [ Р*(Т) с/Т р12 = 0 я (43)

27П ^ $ «Г при этом граничные напряжения р* ст) , будучи предельными значениями аналитической функции, должны удовлетворять ограничительному условию

L [ A£EL dr = P22co) = const . (44)

27ui \ v- s Г

В последнем седьмом пункте параграфа дано точное решение задачи о деформации плоскости с вырезом, имеющем в деформированном состоянии форму эллипса, при заданном смещении его границы:

Vtj= + ' ref

2М пт где о£ , - параметры. Установлены выражения комплексных потенциалов и соответствующие им поля перемещений, напряжений и плотности в комплексных и эллиптических координатах. Условие положительности плотности приводит к ограничению на параметры' k+t < п , k>i>0; /с= /77/7- — , -JL . (45) ' 4М2 2Мп

Показано, что до деформации отверстие также имело эллиптическую форму, но с иными размерами и ориентацией осей, чем у отверстия после деформации. При вырождении эллиптического отверстия в круговое, поля перемещений, напряжений и плотности определяются форлулами f = 2 о¿cos29 f 4 п2оС2-4М2?2

0 2М2П 16М4п* 1

2Muz=~~ J^ cos 29 , 2Mu9 = -±(rj$ *п2в)

46) освг вг* осг р„ = -р ---Ц— sin 29 , Д (п + -„ cos 29) гг xQe 4м2пз ' ге пъ L7i г J

Когда б~ = Р0 / М 1 из нелинейного решения вытекает линейное решение, содержащее, в частности, решение задачи о деформации плоскости с круговым вырезом танценциальной нагрузкой постоянной интенсивности, если представить параметр р через крутящий момент 1Л. формулой р = М /20С

В третьей главе плоская деформация упругого материала рассматривается в рамках модели геометрически нелинейной упругости, предложенной В,В.Новожиловым ( [б9] , с. 50).

В § 9 в соответствии с моделью В.В.Новожилова принимается, что повороты и удлинения-сдвиги элементов материала малы сравнительно с единицей, но первые из них могут значительно превосходить вторые ы а

21 ,2 с l |о) ' ii, \е~Р\ — (со

47)

На основе этих допущений связи деформаций с перемещениями представляются в специальной нелинейной форме

2е = 2 2 + со- а) ; (48) занимающей промежуточное положение между представлениями в линейной упругости и в общей нелинейной упругости. В этом случае деформации также малы сравнительно с единицей, что позволяет воспользоваться известной аппроксимацией закона Мурнагана законом 1*ука ( [28] , с. 102; [112] ):

P = A61Q + 2jj6} b=const, const. (49)

Для данной модели при потенциальных силах установлены соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния. В комплексных координатах они имеют вид дР11 d(P12-2Pov) ди 12 ди ди 21 дй е -е -2п , с --fi + w * - WIT )

P"=P22= 2yu£f\ pr2= 2a^/u)ef2, e" , e,2= er2+ ¿(co»f, (so)

U\ = he S), Pnn+P12n\. = 2P(S)

I и ¡j I L p

11 - , n 12

•p

В § 10 принимается, что на границе деформированной области, занятой упругим телом, заданы одни перемещения и рассматривается задача в перемещениях. Выводятся уравнения для перемещений в декартовых и комплексных координатах деформированного состояния. Уравнения в декартовых координатах используются для установления эллиптичности этой системы. С этой целью они представляются в виде, разрешенном относительно старших производных от перемещений по координате х. : а'и'г Л у м ъ2и'т (si) и показывается, что соответствующее им характеристическое уравнение имеет только мнимые корни

III л2 п - II Z А *т л * III = а-г+ 1Л о, л, « ±«; а ш* i ,(52)

Задача в перемещениях в комплексных координатах имеет вид о/. I, д*и д \ди ^ дс7 / ,ди дй\2 1-20Ллп , х

2(М)Ш + + + тт'дт)-po-p-vH.m u\L = h (S) .

Демонстрируется , что в (53) уравнение допускает полное интегрирование и дает для перемещений, а вслед за ними и для напряжений и поворота нелинейные представления через два комплексных потенциала и^эеусг)-2(р'(2)-Фсг)-[¿у Сё) -2<ри)у'(2) + 3<Р'2сг)с/2 ] + с 1М , рг2=2[(Р/(г) + (р'сг)] + 2о1 [<р'Гг;, (54)

Ро 1-24

21 г- , —7--/-1? Го /-г-/ , Го л а граничное условие сводится к нелинейному краевому условию для потенциалов

2 у- а) <р'сг) а) ,

55)

Ь^св) = 2^. И Св)- с Жс5; .

Соотношения (54) и (55) обобщают формулы Колосова-Мусхелишвили линейной упругости. Показывается, что они совпадают с последними при малом по сравнению с единицей характерном безразмерном напряжении б" = Р /^и

В § II излагается альтернативный способ изучения плоской деформации - задача рассматривается в напряжениях и поворотах, а также в терминах функции напряжений и поворота. Здесь выведено уравнение совместности напряжений и поворотов и указана полная система уравнений для этих величин в декартовых и комплексных координатах деформированного состояния. В частности, в комплексных координатах система имеет вид эр" д(Р'г-2РоГ) дг +-п- = 0 ' (56)

31 П - ■ (56) p,z3Í~p"£\r2tpcs)

Показывается, что этот способ изучения приводит к результатам, аналогичным предыдущим: рассматриваемая здесь система уравнений также эллиптического типа, а напряжения и поворот, а вслед за ними и перемещения, представляются через комплесные потенциалы формулами (54). Получены выражения через аналитические функции главного вектора и главного момента сил, распределенных вдоль кривой, а также показано, что силовое краевое условие (56) можно представить в виде краевого условия для потенциалов такого же типа, что и условие (55).

Задача (56) в терминах функции напряжений и поворота представляется в комплексных координатах в виде

О Г . -.г ёъ щ 2U¡ * ¡cip-p.V£)</s

L Z .

Отсюда устанавлявается, что для поворота справедлива формула (54), а функция напряжений и граничное условие для неё представляются через комплексные потенциалы выражениями, обобщающими соответствующие выражения линейной упругости (например, Н.И. Мусхелишвили [ 64"] , с. 108 )

58) Z [ r2C¿)cf¿ -2 cpcz) фЩ- 2cK , рсг)+г(р'(1) ~ <рсг) + о( [гс?'2(1) - 2ц>(г) +

Формулы линейной упругости следуют из (58) при характерном напряжении (Г = Р0 //л- , весьма малом по сравнению с единицей.

В рассматриваемом варианте нелинейной упругости, как и в линейной упрутости, краевые задачи для потенциалов (55) и (58) однотипны, причем учет массовых сил не влияет на их вид. Для одно-связных областей задача (58), например, с помощью конформного отображения: приводится к краевой задаче для единичного круга. Последняя в случае односвязной бесконечной области сведена к нелинейному функциональному уравнению для одного из потенциалов, содержащему парат,тетр перед нелинейными членами: р С(р/СгС) = Т С(р) + Г! сер; = О ,

ТС<р) = \М(Т0,г)<р'ст) </т - А СТ0) г

С1 Г (59)

Jal(T0iT) M (т)ср/2(т) dr-jL \мст)

Lt t Ч* ^ M(i)4>'2ct) df , в котором T (.<$ ) является оператором линейной упругости. Уравнение решается упоминавшимся выше методом Ньютона-Канторовича.

4 2

В предположениях ics)eC (L) p(s)eC (L) доказывается, что (59) имеет решение ср^ и к нему сходится модифицированный процесс Ньютона

Т'С<Р.)]' (Р(9„)) m * о, i,. если параметр удовлетворяет неравенству

Bifi + \Î2rjds) oL = -1 , . (61)

Фигурирующие в правой части неравенства величины определяются исходными данными. Указаны также условия единственности решения и оценка быстроты сходимости последовательности.

В § 13 в раджах рассматриваемой нелинейной модели дано точное решение задачи о всестороннем растяжении усилием Р плоскости с отверстием, имеющем в деформированном состоянии форму эллипса, при отсутствии усилий на контуре отверстия, поворота на бесконечности и массовых сил.

Показывается, что условиями задачи определяется два решения, поведение которых существенно зависит от соотношения между характерным напряжением (Г = Ц /ju и величиной СГ = 1 /2 (1- Я), определяемой упругими свойствами материала. Эти решения различны при "слабом" {<э б^ ) растяжении, совпадают друг с другом при "критическом" (6~ = ) растяжении и утрачивают физический смысл при "сильном" (ЧГ >б£) растяжении. Устанавливается,что исходным допущениям модели отвечает только одно из них и это решение при весьма малом харктерном напряжении переходит в линейное решение.

Показывается также, что для вытянутых эллиптических отверстий имеется примыкающая к границе область, в которой выполнены все исходные допущения модели, что оправдывает её использование при решении данной задачи.

Распрделение напряжений на контуре отверстия в эллиптических координатах г , & дается формулами (отверстию отвечает Z = 1 ): р'=р'=0 Р1- 2Р° П'т2)2)

22 Z0 > бб 1-2т cos 29 + т2 (1~2т cos 2в tm2 )2

Качественно распределение растяжения Р1 существенно зависит в в от формы отверстия: для слабо вытянутых эллипсов оно аналогично линейному решению - контур растянут, а для сильно вытянутых эллипсов - сложнее линейного решения, в этом случае на растянутом контуре могут появляться области сжатия.

Установлены выражения для перемещений. Показано, что они конечны на контуре отверстия и неограниченно возрастают на бесконечности., Отверстие до деформации было также эллиптическим и соосным деформированному, а их размеры мало отличаются между собою.

Приведение нелинейной плоской задачи к различным краевым задачам для аналитических функций возможно и для других классов материалов и моделей, отличных от рассмотренных в предыдущих двух глава:?:. Известна, например, серия работ, реализующих эту идею для гармонических (полулинейных) материалов в координатах недеформированного состояния: Л.И. Лурье [58] , А.С.Овсянников [74] , К. Ф. Черных [98 ] , Л.Г.Доборджгинидзе [33] - [35 ] и другие.

К содержанию второй и третьей глав примыкают также работы [59] с. 244-249 , [102] , [Ю4] , [114] , [Пб]и другие, рассматривающие эффекты второго порядка. В них компоненты градиента перемещений полагаются малыш величинами и в законе поведения материала сохраняются только слагаемые первой и второй степени по этим величинам. Полученные на этой основе уравнения позволяют установить отклонения от предсказаний линейной теории упругости.

Известны исследования по так называемой квадратичной теории упругости, использующей квадратичную зависимость компонентов напряжений от компонентов деформаций. В рамках этой теории, например, В.Ф.Леньков и В.М.Собин [55] дали анализ напряжений в клине в условиях плоского напряженного состояния, а С.Я.Барская и И.Н.Слезингер [5] - анализ деформаций пространства с полостью в условиях плоской деформации.

Заключительная четвертая глава посвящена рассмотрен™ плоской деформации несжимаемых материалов.

В § 14 общие уравнения движения несжимаемых материалов,приведенные в монографии Л.И.Седова |?9^ , специализируются применительно к плоской деформации. Для несжимаемых материалов закон Мурнагана содержит наперед неизвестное гидростатическое давление, а к основным уравнениям добавляется условие несжимаемости. Показывается, что при плоской деформации упомянутые соотношения даются формулами

Р = (Г-2 ег2е=о <ез) с[е1 г и на их основе при потенциальных силах устанавливаются соотношения плоской задачи в различных координатах деформированного состояния. В комплексных координатах уравнения имеют вид:

1£+й(г££Ют0., е-2е = о ,

01 дг 12 е= б12, = (£12)2 - а" а22 ,

64) р"= р22=-2Г'а" , РТ2= 2Г/(/-е/2)-2? , а -е -2д1 и 1а -(/ дг —

Щ ^Ьсв), р11п + р12п\ =2рсв).

В §§ 15,16 рассматриваются различные постановки задач о плоской деформации несжимаемых материалов. В § 15 показывается, что при задании на всей границе перемещений, плоская задача может быть сформулирована для перемещений или для начальных коор

65) динат. Эти величины должны определяться из нелинейной системы уравнений и принимать заданные значения на границе. Гидростатическое давление определяется через них квадратурой с точностью до аддитивной постоянной. Такую же постоянную будут содержать и напряжения. Последняя находится по силовому условию, задаваемому в одной точке.

Система уравнений для начальных декартовых координат , ? : у (А д; Л -1?2—)+т-а д§ дч П дч 1= Q дос ду дч дао используется для установления условий эллиптичности. Показывается, что системе (65) соответствует характеристический определитель 2

F\c*2+<?2)(B<>L2-2CJ.<?+AG2)-F"lC(*2-(>2)+(B-C)diG] <66) и что положительно определена фигурирующая в нем квадратичная форма В<*2 ~ 2С&-& + А<з2 > о . Это позволяет формулировать достаточные условия эллиптичности системы (65) в терминах упругого потенциала:

67) f'> о о

F + о . о или

Задача для начальной комплексной координаты £ = £ + г ^ в комплексных переменных деформированного состояния имеет вид l т dl dFce,) u dz dz }\ di 2 dz dz e=-2 dl 1 , z es)- h(s) .

Постановка задачи в напряжениях дается в § 16. Здесь для несжимаемого материала выводятся уравнения совместности деформаций и напряжений (они оказываются квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка). Показывается, что последнее из них вместе с линейными уравнениями равновесия и краевыми условиями в напряжениях, задаваемыми на- границе деформированной области, и составляют задачу в напряжениях.

Задача в напряжениях для несжимаемого материала формулируется также в терминах функции напряжений: эта функция должна в рассматриваемой области удовлетворять квазилинейному уравнению четвертого порядка, а её первые производные по координатам - принимать на границе области заданные значения.

Общие соотношения, установленные в §§ 14-16 для плоской деформации несжимаемого материала, конкретизируются в § 17 для материала Муни. Этот материал в определенной мере отражает поведение резиноподобных несжимаемых материалов при конечных деформациях ( А.Грин и Дж. Адкинс [107 ] с. 37 ) и характеризуется в случае" плоской деформации упругим потенциалом с одной постоянной: Г = - С £ 1 . алу отвечает линейный закон поведения.

Показало, что для материала Муни выполнены условия (67), поэтому равновесие этого материала описывается эллиптической системой уравнений. Для материала Муни задача для начальных координат (68) не содержит упругой постоянной поэтому поле начальных координат (а также перемещений) не зависит от его упругих свойств.

Указано два решения уравнения (69), содержащие свободный

2 / - 1/2 параметр: = ± 2 (1* а / гг ) , на основе которых дано решение задачи о равновесии плоскости с вырезом, имеющем в деформированном состоянии форму круга радиуса Я при различных условиях. Показано, что граничными перемещениями и точечным условием для напряжений поле перемещений и напряжений определяются полностью аг,, а\, аг г2 г а2 '/г ? , (71) иг= г~г0+ Т2 ) , = о , а2=у(2Я + У)9 что до деформации отверстие также, было круговым и имело больший радиус Я > Я и что при малом безразмерном смещении Т нелинейное решение (70) дает известное линейное решение (И.Н.Снеддон, Д.С.Берри [81] , с. 102).

Показано также, что по заданным граничным напряжениям перемещения однозначно не определяются: краевым условиям г= Я , Р = р > 0 Р= 0 ; ?=оо

1 гг о > гв 3 > гг ге ов отвечает поле напряжений (70) и два поля перемещений: (71) и иг = г + г (1+ а2/гг)1/2 , ид =о , (72) в которых параметр определяется уравнением а2 у. Ро . — = 2 я2 / Я2 с

Физические соображения позволяют выбрать поле (71). Решение (70),

71) при малом характерном напряжении 6~=Ро/с ^^ 1 также переходит в упоминавшееся выше линейное решение.

Для материала Муни плоская задача в напряжениях в комплексных координатах деформированного состояния имеет вид

А(4с2+Р"Р22)Ие{У4с2+Р"Р22 = по ии2ЧдР"дР'\ А 2дР"дР22 2 п^дР" др22 С73) 2И(Р } Л 1Т Г дТТг ^ ж' д(Р -2У)0 } п^г 2 /рСв)

81 д1 с/э с/в

При отсутствии массовых сил найдено следующее решение этих уравнений, содержащее два свободных параметра:

I2 а2+н ^ а а2+а /

На его основе дано решение задачи о равновесии кольца, ограниченного в деформированном состоянии двумя концентрическими окружностями, при заданных радиальных сжатиях г=г, , Ри~-Р, , Ргв'0-, г=гг, Ргг — рг, Рге = о в виде а2\ О2-7 , „ п т * п2 га2 а2 + 3г2 г* а*, г* )-сг> р™=0 ■ (74)

Решение обладает следующими свойствами: оно существует при ограничении на сжатия: Р2 > и переходит в известное линейное решение (И.Н.Снедщон, Д.С.Берри [^81 ] с. 103) при малом характерном безразмерном напряжении €Г = (р^-р^/с << 1 .

Установлено, что для материала Муни задача в напряжениях (73) эквивалентна следующей краевой задаче для функции напряжений , уЦгг З4 и й д'и ,/ГТЖЩ 3*1/ Л

8„виЧи]^ (75) г с ¡йгЯгг д1Ъ I С2 9гз д1ъ ^ с2 1 д! д!2 дг2 д!

Показывается, что при малом характерном напряжении <5~=^/с

1 и при ограниченных производных от функщш напряжений уравнение (75) допустимо заменить бигармоническим уравнением, совпадающим с соответствующим уравнением линейной упругости и сохраняющим эллиптический тип исходного уравнения. Упрощение же уравнения (75) при большом характерном напряжении 6* >> / . в предположении ограниченности производных от функции напряжений, по-видимому, некорректно, ибо приводит к квазилинейному уравнению четвертого порядка, которое утрачивает эллиптический тип исходного згравнения.

Предлагается определенный способ нахождения решений некоторых классов нелинейных задач. Уравнение (75) с помошыо конформного преобразования та) = ы + г {3 записывается в новых комплексных переменных Т , т • Затем, задав подходящим образом преобразование, отыскиваются решения преобразованного уравнения как функции, например, одной вещественной переменной ос или |3 или же их вещественной комбинации. Этим методом решена задача о равновесии криволинейного четырехугольника, ограниченного отрезками логарифмических спиралей при специальных граничных напряжениях, содержащих свободные параметры. Найденное решение содержит в качестве частного случая решение задачи о равновесии части кругового кольца, ограниченной двумя радиусами, под действием нормальных граничных нагрузок, постоянных на криволинейных участках границы и переменных на прямолинейных участках.

Плоская деформация несжимаемых материалов рассматривалась во многих исследованиях. Отметим характерные аспекты некоторых из них. Соотношения плоской деформации в комплексных координатах деформированного состояния в иной форме установили Дж.Ад-кинс, А.Грин и Р.Шилд [юо] . Н.Ф.Морозов и В.В.Новожилов [бз] другим путем получили нелинейную плоскую задачу для функции напряжений в декартовых координатах деформированного состояния. В координатах недеформированного состояния плоскую деформацию рассматривали Л.А.Толоконников [87] , А.Й.Лзфье [58] , с. 767-769, К.Ф.Черных [98] и другие.

Большое число работ посвящено решению плоской задачи методом последовательных приближений с использованием комплексных переменных, например, В.Г.Громов [зо] , В.Г.Громов и Л.А.Толоконников [31] , Ю.И.Койфман [43 ] , [44] и друтие. Вопросы концентрации напряжений в различных нелинейных задачах рассматривали С.Н.Бабюк и И.А.Цурпал [4] , Л.М.Варданян [21] , С.М. Клойзнер [40] , А.Ш.Ланглейбен [53] , Л.М.Нечаев и Г.С.Тарасьев [67] , Г.И.Савин [77] , Г.Н.Теличко [85] , А.Г.Угодчиков [91] , И.А. Цурпал [93] и другие.

Вслед за монографией Г.Каудерера [38 ] получили распространение работы, относящиеся к физически нелинейной теории упругости, в том числе Ю.А. Амензаде и М.А.Бабаев [2.], Л.М.Варданян и И.А.Цурпал [22] , Н.Т.Глазунова и Н.Д.Скомаха [27] , Р.Ю. Керимов и Л.П.Хорошун [зэ] , В.В. Колокольчиков [45] , В.Б.Логвинов [56*] » А.А.Туаев [90 ]и другие. Критика исходных посылок этой теории содержится в монографии А.И.Лурье [59] .

Плоская задача упругости развивается во многих направлениях. Можно указать исследования по упруго-пластическим задачам (например, Б.Д.Аннин [з]), устойчивости упруго-пластических систем (например, В.Д.Клюшников [42 ), применению вычислительных методов (например, А.Н.Коновалов [ 48] ) и другие. Оригинальный подход к исследованию некоторых классов нелинейных задач указан А.В.Бвдадзе[ б] .

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [ 8] -[18] . Список литературы содержит 119 работ отечественных и зарубежных авторов.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах академика Ю.Н.Работнова (Московский государственный университет), академика Н.Н.Яненко (Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР), члена-корр. АН СССР А.В.Бицадзе (Институт прикладной математики АН ГрузССР), члена-корр. АН СССР А.А.Поз-деева (Институт механики сплошной среды УНЦ АН СССР), члена-корр. АН СССР Е.И.Шемякина (Институт горного дела СО АН СССР), профессора Э.Э.Лавендела (Рижский политехнический институт), профессора В.Н.Монахова (Новосибирский государственный университет)»профессора О.В.Соснина (Институт гидродинамики СО АН СССР).

В заключение автор выражает глубокую благодарность руководителям и членам упомянутых научных семинаров, а также сотрудникам кафедры теоретической механики Н1У, за полезное обсуждение данной работы.

1. Амандосов A.A.,Шаги-Султан Н.З. Проблемы нелинейной теории упругости. В сб. Исследования по теории пластин и оболочек. № 9. Казан, университет., 1972, с. 168-189.

2. Амензаде Ю.А.,Бабаев М.А. Равновесие кусочно-однородных физически нелинейных упругих составных тел. Прикладная механика,59, 1969, с. 62-68.

3. Аннин Б.Д. Двумерные упруго-пластические задачи. Новосибирск, изд-во НГУ, 1968. 120 с.

4. Бабюк С.Н. ,Цурпал И. А. Нелинейные задачи концентрации напряжений для пластин с криволинейными отверстиями. Известия Арм. ССР, Механика, 23, Jfe 6, 1970, с. 24-31.

5. Баярская С.Я. ,Слезингер И.Н. Нелинейная плоская деформация упругого пространства с эллиптической полостью. Динамика и прочность машин . Респ. межвед. научн.-техн. сб., в. 10,1969, с. 27-34.

6. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука, Гл. ред. ФМ, 1981. 448 с.

7. Бондарь В.Д. Об уравнениях совместности деформаций и напряжений. ПММ, т. 33, в. 6, 1969, с. I094-II04.

8. Бондарь В.Д. Плоская задача одного варианта геометрически нелинейной упругости. В сб. :Динамика сплошной среды, в. 2, Новосибирск, 1969, с. 178-186.

9. Бондарь В.Д. 0 плоской статической задаче нелинейной упругости. В сб.: Динамика сплошной среды, в. 6, Новосибирск, 1970, с. 7-18.

10. Бондарь В.Д. Обобщение формул Колосова-Мусхелишвили на геометрически нелинейную упругость. В сб.:Динамика сплошной среды:в. 7, Новосибирск, 1971, с.146-153.

11. Бондарь В.Д. Некоторые решения плоской задачи нелинейной упругости. В сб.:Дннамика сплошной среды, в. 19-20.Новосибирск, 1974, с. 34-39.

12. Бондарь В.Д. Плоская задача нелинейной упругости при шаровом тензоре деформаций. В сб.:Математические вопросы механики, в. 22, Новосибирск, 1975, с. 175-187.

13. Бондарь В.Д. Деформация плоскости с эллиптическим вырезом при учете геометрической нелинейности. В сб.:Численные методы механики сплошных сред.,т.7,Л2, Новосибирск,1976, с. 5-7.

14. Бондарь В.Д. Плоская деформация несжимаемого материала в нелинейной теории упругости. В сб.:Математические проблемы механики, в. 43, Новосибирск, 1979, с. 45-57.

15. Бондарь В. Д. Задача о плоской деформации в одном варианте нелинейной упругости. В сб.:Динамика твердого тела,в. 45, Новосибирск, 1980, с. 24-36.

16. Бондарь В.Д. Плоская задача геометрически нелинейной упругости. Новосибирск, НГУ, Учебное пособие, 1980, 70 с.

17. Бондарь В.Д. Об условиях эллиптичности статических уравнений нелинейной упругости при плоской деформации. В сб.:Неклассические задачи упругости и пластичности,в. 49, Новосибирск, 1981, с. 3-8.

18. Бондарь В.Д. Об одной краевой задаче нелинейной упругости при плоской деформации. В сб.:Упруго-пластические модели и задачи, в. 55, Новосибирск, 1982, с. 32-44.

19. Валиджаиов X. 0 нелинейных уравнениях теории упругости в эйлеровых переменных, Докл. АН УзССР, JS 11,1973, с. 11-13.

20. Волкова A.B.»Новожилов В.В. Плоская задача теории упругости изотропных тел в криволинейных координатах, линии которых совпадают с траекториями главных напряжений. Известия АН СССР, Механика твердого тела, $ 4, 1973, с. 178-180.

21. Варданян Л.М. Концентрация напряжений возле отверстия общего вида в нелинейной упругой пластинке. Прикладная механика, 6,Ш 5, 1970, с. 125-130.

22. Варданян Л.М.,Цурпал И.А. Задачи концентрации напряжений для односвязных и многосвязных областей с учетом физической нелинейности материала. Труды УП Всесоюзн. конференции по теории оболочек и пластин 1969. М.: Наука, 1970,с. 134-141.

23. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.,Гос.изд.ФМЛ, 1959. 628 с.

24. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.М.-Л, ОГИЗ, Гос.изд. ТТЛ, 1948. 296 .

25. Галимов К.З. Уравнения равновесия теории упругости при конечных перемещениях и их приложение к теории оболочек. Изв. Казанского филиала АН СССР, сер.физ.-мат. и технич.наук,в.1, 1948, с. 25-46.

26. Галимов К.З. К теории конечных деформаций. Уч.зап.Казанского университета им. Ленина,т. С9, 1,1949, с.35-71.

27. Глазунова Н.Т.,Скомаха Н.Д. О расчете физически нелинейного клина переменной толщины. Строит.механика и расчет сооружений, № I, 1970, с. 74-76.

28. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.:Наука,Гл. ред. ФШ, 1978. 304 с.

29. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М.,Гостехиздат, 1955. 272 с.

30. Громов В.Г. О влиянии физической нелинейности на концентра- ;цию напряжений возле кругового отверстия при больших дефор-^7 мациях. Прикладная механика, 1,1$ 10,1965, с. 15-20.

31. Громов В.Г.,Толоконников Л.А. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала. Изв. АН СССР, 0ТН, 2, 1953,с. 81-87.

32. Доборджгинидзе Л.Г. Плоская задача нелинейной теория упругости при заданных на границах смещениях. Сообщ. АН ГрССР,2, 1973, с. 317-320.

33. Доборджгинидзе Л.Г. Решение некоторых плоских задач для полулинейного упругого материала. Сообщ. АН ГрузССР, 74, В 3, 1974, с. 569-572.

34. Доборджгинидзе Л.Г. Плоская задача нелинейной теории упругости при заданных внешних силах. Сообщ. ГрузССР, 75, й I, 1974, с. 58-60.

35. Доборджгинидзе Л.Г. К задаче равновесия нелинейно-упругой пластинки с криволинейным отверстием. Сообщ. АН ГрузССР, 99, ЙЗ, 1980, с. 574-576.

36. Иванов Ю.И. Тяжелая полуплоскость с круговым отверстием в условиях плоской деформации. В сб. Механика сплошной среды,в. I, Тула, 1973, с. 91-94.

37. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука, 1977. 744 с.

38. Каудерер Г. Нелинейная механика. Перевод с немецкого. М., Изд-во ИЛ, 1961. 778 с.

39. Керимов Р.Ю., Хорошун Л.П. Комплексное представление плоских физически нелинейных задач механики твердого тела. Изв. АН АзССР, серия физ.-техн. и матем. н., JS 2, 1971 , с. 120-127.

40. Клойзнер С.М. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной неодинаковыми отверстиями. Механика твердого тела. Респ. Межвед. сб., в. 2, 1970, с. 130-135.

41. Клойзнер С.М., Космодиамский A.C. Нелинейные задачи плоской теории упругости для многосвязных сред. Прикладная механика. № 5, № 8, 1969, с. 63-70.

42. Кшошников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем, М.: Наука,, Гл. ред. ФМЛ, 1980. 240 с.

43. Койфман Ю.И. Решение плоской задачи нелинейной теории упругости для бесконечной пластинки с криволинейным отверстием.- 267 Изв. высш. учебы, зав., Строит, и архитект. № 1,1, Новосибирск, 1961, с. 44-51.

44. Кожрман Ю.И. Плоские нелинейные задачи упругого равновесия многосвязных тел. Прикладная механика, 6, № 2, 1970, с. 5865.

45. Колокольчиков В.В. Точное решение некоторых одномерных задач физически нелинейной квадратичной теории упругости. Прикладная механика, 6, № 9, 1970, с. 95-101.

46. Колосов Г.В. Од одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, 1909.

47. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М., ОНТИ, 1935. 224 с.

48. Коновалов А.Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. Учебное пособие. Новосибирск, НГУ, 1979. 92 с.

49. Коротких Ю.Г., Паутов А.И. Вариационно- разностный метод решения первой основной плоской задачи для физически нелинейных материалов. Ученые записки Горьковского университета,в. 89, 1969, с. 104-107.

50. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

51. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., Гос. издат. ФМЛ, 1963. 472 с.

52. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, Гл. ред. ФМЛ, 1973. -736 с.

53. Ланглейбен А. III. Нелинейные эффекты напряженно- деформированного состояния пластин, ослабленных двумя круговыми отверстиями. Динамика и прочность машин. Респ. межвед. научн.-техн. сб. в. 12 , 1975, с. 24-30.

54. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М., Гостехиздат, 1943. 286 с.

55. Леньков В.Ф.,Собин В.М. Изгиб нелинейного упругого клина в квадратичной упругости. В сб.:Технология машиностроения ,в. 14, Тула, 1969, с. II3-II6.

56. Логвинов В.Б. Об одной плоской физически нелинейной задаче для клиновидной пластинки. Изв. высш.уч.заведений. Строит, и архит., 16 12, 1970, с. 48-55.

57. Лурье А.И. Теория упругости для полулинейного материала.ПММ, т. 32, $ 6, 1968, с. 1053-1069.

58. Лурье А.И. Теория упругости. М.:Наука, 1970, 940 с.

59. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М. :Наука, Гл. ред. ФМЯ, 1980, 512 с.

60. Макунян Э.А.,Сеченков A.B. Представление смещений и напряжений через функцию перемещений в плоской задаче теории упругости. Сборник аспирантских работ Казанского университета. Точн.науки. Мех. ,физ. Казань, 1973, с. 7-И.

61. Маркушевич В.И. Теория аналитических функций.М., Наука, Гл. ред. ФМЯ, т.1, 1967. -486 е., т.2, 1968. 624 с.

62. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, Наука, Сиб. отд. 1977. 424 с.

63. Мусхелшшвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Изд.З, М., :Наука, Гл.ред. ФМЛ, 1968, 512 с.

64. Нечаев Л.М. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными деформациями. В сб.: Работы по механике сплошных сред. Тула, 1975, с. 103-107.

65. Нечаев Л.М.,Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений вокруг круглого в промежуточном состоянии туннеля в нелинейном упругом теле. Докл. АН СССР, 215, JS 2, 1974, с. 301-304.

66. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.,Гостех-издат. 1948. 211 с.

67. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.,Судпромгиз, 1958, 370 с.

68. Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругих телах. ЛММ, т. 15,в.2, 1951, с.183-194.

69. Новожилов В.В., Толоконников Л.А.,Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. (Обзор) В сб.: Механика в СССР за 50 лет,т. 3, М.: Наука, 1972, с. 71-78.

70. Новожилов В.В. »Черных К.Ф. Нелинейная плоская задача теории упругости (плоская деформация) Вестник Ленинградского университета , В I, 1975, с. 122-129.

71. Оболашвили Е.И. Преобразование Фурье и его применение в теории упругости. Тбилиси, изд-во "Мецниереба", 1979. 232 с.

72. Овсянников A.C. К решению задач плоской деформации полулинейной упругой среды. Прикладная механика, 8, $ 10, 1972, с. 4751.

73. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд. 3., М., 1ИФМЛ, 1961. 400 с.

74. Поздеев A.A. Напряженно-деформированное состояние цилиндра с криволинейными торцами. Ж. Механика полимеров. Изд. АН Латв. ССР, 1976, с. 17-23.

75. Савин Г.И. Концентрация напряжений около отверстий. М., Гос-техиздат, 1951. 496 с.

76. Савин Г.И.Дойфман ГО.И. Общая нелинейная теория упругости (Обзор), Прикладная механика,6, Ш2, 1970, с.3-26.

77. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.,Физматгиз, 1962.- 284 с.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, Гл. ред. ФМЛ, т. I, 1970. 492 с. , т.2, 1970. - 568 с.

79. Снедцон И.Н.,Берри Д.С. Классическая теория упругости. Перевод с английского. М., ГИФМЛ, 1961. 220 с.

80. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.,ГИФМЛ,1958. 468 е.,

81. Тарасьев Г.С. Конечные плоские деформации улрутого изотропного тела. Докл. АН СССР, 194, JM, 1970, с. 790-793.

82. Тарасьев Г.С. Конечные упругие деформации тонкой пластинки. Прикладная механика, 7, 1Ю, 1971, с. II5-II9.

83. Теличко Г.Н. Концентрация напряжений около кругового в начальном состоянии отверстия в тонкой пластинке из идеально-упругого физически нелинейного материала. В сб.: Механика сплошной среды, в. I, Тула, 1973, с. 169-176.

84. Толоконников Л.А. 0 связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ, 20, 3, 1956.

85. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала. Докл. АН СССР, 119, JÊ 6, 1958, с. II24-II26.

86. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. ПММ, 21, JS6, 1957, с. 815-822.

87. Треффтц Э. Математическая теория упругости. Перевод с немецкого. М., Гостехиздат, 1934. 172 с.

88. Туаев А.А. Некоторые физически нелинейные задачи плоской теории упругости. Труды Азерб. института нефти и химии, в. 28, 1970, с. 179-186.

89. Угодчиков А.Г. Исследование двумерных задач теории упругости для тел сложной формы. В сб. Симпозиум по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. 1971, Анн. докл.Тбилиси, 1971, с. 42-44.

90. Угодчиков А.Г. Дуторянский Н.М. О квазирегулярности бесконечной системы в задачах плоской теории упругости для двухсвязных областей. Прикладная механика, 8, $5, I972,c.II3-II7.

91. Цурпал И.А. Определение напряженного состояния толстостенного пологого цилиндра при нелинейном законе упругости. Прикладная механика, 8, № 2, 1962, с. 215-219.

92. Цурпал И.А. Некоторые плоские задачи физически нелинейной теории упругости. В сб.: Теория пластин и оболочек, Киев, АН УССР, 1962, с. 213-218.

93. Цурпал И.А.,Кулиев Г.Г. Задачи концентрации напряжений с учетом физической нелинейности материала (Обзор). Прикладная механика, 10, JP7, 1974, с. 3-22.

94. Черных К.Ф. О формах связи между симметричными тензорами в механике сплошных сред. Инжен. ж."Механика твердого тела" , № 3, 1967, с. 42-51.

95. Черных К.Ф. Большие деформации твердого тела. В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций.( К 60-летшо акад. Ю.Н. Работнова), М., Машиностроение, 1975, с. 508-516.

96. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости. Прикладная механика, 13, JS I, 1977с. 3-20.

97. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, Гл.ред. ФМ1, 1969. 576 с.

98. Adkins J.E., Green А.Е.,Shield R.T. Finite Plane Strain. Phil. trans., Ser. A, 246, 1955» P« 181-215»

99. Adkins J.E., Green A.E., Nikolas G.C. Two-dimensional Theory of Elasticity for Finite Deformations. Phil. Trans.Roy. Soc., London, Ser. A, 247, 1954, p. 279-506.

100. Bhargava R.D., Pande D. Second, order elastic effects in a homogeneous isotropic comprassible infinite medium with elliptic hole and actid upon by a tensible fors at infinity. Iut. J. Non-Linear Mech., 1971, 6, N 3, p.527-336.

101. Biricikoglu V. Finite stretching of a circular plate of neo-Hookean material. Trans. ASME, 1971, E 38, n 4,p.1095" 1097.

102. Green A.E. and Zerna W. Theoretikal Elasticity, Second Edition, Clarendon Press, Oxford, 1968. 458 p.107* Green A.E. and Adkins J.E. Large elastic deformations and nonlinear continuum mechanics. Clarendon Press, 1960. -348 P*

103. Grioli S. Mathematical Theory of Elastic Equilibrium.- Ergebnisse angew. Math., N 7» Springer-Verlag, 1962.109* Hill James M. A note on plane strain of incompressible materials. J. Elast, 1973, 3, N 1, p. 63-66.

104. Hill James M. Partical solutions of finite elasticity-plane deformations. Z. agew. Math, and Phys., 1973, 24, N 3, p. 401-408.

105. Knesl Z., Semela F. Die Versetzungen in der Physikalich nichtlinearen Elastizitatstheorie. Z. angew. Math, and Mech. 52, N 8, p. 381-388.

106. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elasfic solid. New Jork, 1951.- 140 p.

107. Ogden R.W.i Chadwick P. On the deformation of solid and tubular cylinders of incompressible isotropic elastic material. J. Mech. and Phys., solids, 1972, 20, N 2, p. 7790.

108. Selvadurai A.P. Plane strain problems in second-order elasticity theory. Iut. J. Non-Linear Mech., 1973» 8» N 6, p. 551-563.

109. Signorini A. Question! di Elasticita non Linearezzata., Roma, 1960.