Численные алгоритмы расчета краевых задач теории упругости для составных систем специального вида тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I. Решение краевых задач плоской теории упругости 3 4 для кольцевых областей.

1.1 Основные обозначения и соотношения.

1.2 Краевая задача для однородного кругового кольца

1.3 Алгоритм решения задачи упругого равновесия 33 многослойного кольца.

1.4 Пример численного расчета.

ГЛАВА 2. Методы расчета плоских задач теории упругости для областей специального вида.

2.1 Численно-аналитический метод, использующий общее решение.

2.2 Практические вопросы реализации метода.

2.3 Метод конечных элементов применительно к расчету краевых задач в областях специального вида.

2.4 Численные расчеты по методу конечных элементов.

ГЛАВА 3. Решение краевых задач плоской теории упругости для составных систем.

3.1 Итерационный процесс решения задачи сопряжения.

3.2 Сходимость итерационного процесса.

3.3 Общая организация вычислений.

3.4 Численные расчеты составных систем.

Современный уровень развития техники,соображения экономии материалов и оптимальности эксплуатационных характеристик конструкций приводят к созданию сложных, конструктивно-неоднородных изделий типа составных систем, отдельные части которых изготовлены из разных материалов. При проектировании таких систем требуется оценить прочность как отдельных составных частей, так и всей конст-' рукции в целом, при реальных внешних воздействиях.Поэтому в инженерной практике и научных исследованиях приходится рассматривать поля напряжений и деформаций, возникающие при контактном взаимодействии двух или нескольких упруго-деформируемых тел,составляющих рассматриваемую систему. Это, в свою очередь, приводит к необходимости создания новых и адаптации известных эффективных численных алгоритмов решения краевых задач теории упругости для составных систем, что свидетельствует об актуальности темы диссертации.

Для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) составной системы в общем случае необходимо решать трехмерные уравнения теории упругости в сложного вида областях, удовлетворяя соответствующим краевым условиям на граничных поверхностях и условиям сопряжения на поверхностях контакта. Решение этой задачи может быть осуществлено только численными методами, но даже при наличии современных высокопроизводительных ЭВМ представляет известные трудности. Поэтому при практическом решении такого рода задач вместо реальной конструкции часто выбирается упрощенная расчетная система. Выбор её зависит от формы конструкции и составляющих её частей, от вида нагружения и интересующих нас факторов НДС системы. В рамках выбранной расчетной системы задача, как правило, сводится к двумерной или даже одномерной. Правильный учет существен-цых факторов, выбор соответствующей расчетной системы и применение эффективных численных методов позволяют в ряде случаев удовлетворительно определить НДС 'сложных систем.

Будем рассматривать плоские, статические задачи теории упругости, так что под составной системой будем понимать область, состоящую из двух или более подобластей. Подобласти соединяются между собой по линиям, называемым границами сопряжения или кон г-такта. В общем случае каждая из подобластей имеет свои, отличные от других, физико-механические свойства материала, однако разбиение области на подобласти может производиться также из геометрических или каких-либо других соображений. Ограничимся задачами с очевидным характером контакта, так что перед решением задачи можно заранее однозначно указать границы сопряжения и условия, которые должны быть выполнены на этих границах - условия сопряжения. Основным типом условий сопряжения в рассматриваемых задачах является условие идеального механического контакта, состоящее в непрерывности на границе сопряжения векторов смещений и усилий. Иногда, без ограничения общности, могут рассматриваться также условия сопряжения без трения или с учетом трения. Класс рассматриваемых областей образуем из областей, ограниченных замкнутыми достаточно гладкими контурами. ■

Более конкретно, предметом исследования в настоящей работе являются составные, плоские упругие системы специального вида, находящиеся под действием распределенных статических нагрузок. Составными частями рассматриваемых систем являются кольцевые элементы и сопряженные с ними элементы более общего вида. Характерным представителем таких систем является система типа оболочка-наполнитель, применительно к расчету которой, в основном, рассматриваются излагаемые в диссертации методы и алгоритмы. В случае плоской системы под оболочкой понимается кольцевая область, которая может состоять из нескольких концентрических, скрепленных между собой слоев. Наполнитель представляет из себя двусвязную область, ограниченную круговым внешним контуром и внутренним контуром, имеющим несколько радиальных лучей симметрии.

Рассмотрим более подробно составные конструкции, представляющие собой систему типа оболочка-наполнитель. Реальная система является протяженной вдоль одной оси и состоит из осесимметричной оболочки и полого наполнителя с криволинейным, в общем случае, профилем внутреннего канала. Наполнитель и оболочка жестко скреплены между собой.Для оценки .НДС такой конструкции реальная система часто заменяется расчетной. В основе большинства исследований конструкций типа наполнитель-оболочка лежит расчетная система, состоящая из толстостенного полого цилиндра, скрепленного с тон -кой цилиндрической оболочкой [ 17,18,24,34] . Будем называть эту систему основной расчетной системой.

Простейгцую расчетную систему этого типа получают, заменяя упругую оболочку абсолютно жесткой. Такая идеализация очень упрощает решение задачи, так как сводится к расчету одного лишь наполнителя, но является достаточно грубой при некоторых факторах на-гружения и относительно небольшом модуле упругости оболочки. Эта расчетная система использовалась при исследовании НДС конструкций при действии поперечных [ 27,56] и осевых [17,24] массовых сил, внутреннего давления [18 ] и теплового поля [ 24 ] .

В рамках основной расчетной системы отдельно исследуются системы бесконечной длины, рассматриваемые в предположении плоской деформации и называемые далее плоскими, и системы конечной длины. По этому признаку можно условно разделить все многообразие работ, использующих основную расчетную систему. Остановимся на обзоре работ, посвященных расчету плоских систем, основная расчетная система в этом случае имеет вид двуслойного кольца.

Задача о нагружении двуслойного кольца самоуравновешенными внешними нагрузками решена в работах Д.В.Вайнберга [3] , С.Г.Михлина [32 ] .В основе этих работ лежит представление решения плоской задачи теории упругости для однородного кольца через два комплексных потенциала Колосова-Цусхелишвили [35] и удовлетворение условий сопряжения двух однородных, скрепленных между собою колец.

Исследование НДС горизонтально расположенной бесконечной системы, находящейся под действием массовых сил, проводилось в работах [13,24,28,60] . Задача решалась при заданном законе распределении сил реакции опоры [ 28 ] , в предположении о малой толщине оболочки [ 13 ] , для сплошной [60] и равноотстоящих опор [17] . Для того, чтобы решение этой задачи позволяло оценить НДС конст -рукции при длительном хранении, в некоторых работах рассматрива -лись вязко-упругие свойства наполнителя [ 24,28] .

При нагружении рассматриваемой основной расчетной плоской системы равномерными внутренним и внешним давлением и тепловым полем, зависящим только от радиальной координаты, задача по существу становится одномерной. В такой постановке можно провести наиболее полный анализ НДС системы, поскольку решение получается в аналитическом виде. Так например, в [ 34] и в работах американских авторов, объединенных в книге [18] , исследуется влияние различных физико-механических и геометрических параметров, определяющих эту систему, на её НДС. Решение задач с указанными нагрузками для плоских кольцевых систем с произвольным числом слоев дано в работе Ю.В.Немировского и М.Л.Хейнлоо [ 36 ] . Авторы получили решение задачи в замкнутом аналитическом виде, что позволило использовать его для решения задач оптимального проектирования таких многослойных систем. Кроме того, это дало возможность исследования систем, в которых материалы слоев могут обладать как упругими, так и вяз-коупругими свойствами [ 37 ] .

Анализу НДС основной расчетной системы конечной длины при ' различных факторах нагружения посвящено большое количество работ. Упомянем здесь лишь книги М.А.Ильгамова, В.А.Иванова, Б.В.Галина

I?] , В.А.Елтышева [в] , В.В.Москвитина [34] , Г.Б.Кузнецова [ 24 ] , частично или полностью посвященные таким исследованиям и дающие представление о методах решения задач подобного рода. Ре -зультаты расчетов НДС в рамках рассматриваемой основной расчетной системы оболочка-наполнитель позволяют заключить следующее [17] . При правильном выборе приведенного радиуса кругового канала основной расчетной системы общее НДС конструкции наполнитель-оболочка получается достаточно точным везде, за исключением зоны вблизи поверхности канала наполнителя. Таким образом, для правильной оценки НДС конструкций с некруговым сечением канала наполнителя необходимо рассматривать расчетную систему с реальной геометрией канала. Такие системы в случае плоской деформации рассматриваются в насто4 ящей работе.

Целью данной работы является разработка численных методов расчета краевых задач плоской теории упругости как для составных частей системы специального вида, так и для всей системы в целом,создание и реализация на ЭВМ соответствующих алгоритмов и программ, решение конкретных задач, иллюстрирующих применение рассматриваемых методов.

В качестве методов решения краевых задач теории упругости для составных систем используются, как правило, те же методы, что и для однородных тел, либо их модификации и обобщения, поэтому сделаем краткий обзор основных методов решения плоских задач теории упругости. По вопросу решения плоских задач теории упругости в настоящее время накоплен большой научно-практический опыт. Широкое распространение получили методы, основанные на применении ком плексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и развитие в работах их учеников и последователей [35] . Успешно развивается метод интегральных уравнений [41] , который совместно с приближенными методами решения этих уравнений позволяет решать краевые задачи для сложных областей. Большое применение для решения практических за-' дач нашел метод, использующий совместно аппарат интегралов типа Коши и конформного отображения [35] . Однако для двусвязных областей эти методы оказываются менее приспособленными, поэтому разрабатываются различные модификации этих методов. Для специального класса двусвязных областей модификация метода интегральных уравнений предложена в [ 51] . Разработан метод построения функций, приближенно реализующих конформное отображение кругового кольца на заданную двусвязную область типа круга с симметричным гладким внутренним вырезом [20,48] . Этот метод использовался в ряде, работ [2,6916,48] при построении решения граничных задач упругости в двусвязных областях указанного вида на основе различных методов. В связи с появлением быстродействующих ЭВМ, интенсивное развитие и применение для решения задач плоской теории упругости получили численные методы: конечно-разностный метод [21,53] , вариационно-разностный метод [ 39] и метод конечных элементов. Наибольшее распространение в последнее время нашел метод конечных элементов, различные аспекты исследования и применения которого к задачам теории упругости'можно найти в известной монографии 0,Зенкевича [14] и работах многих других авторов. Таким образом, для расчета краевых задач теории упругости в однородных областях разработано много различных методов и применять для решения конкретной задачи нужно тот метод, который наиболее хорошо для зтого приспособлен.

Проведем теперь классификацию и характеристику методов реше -ния краевых задач теории упругости для составных областей. Все имеющиеся подходы к решению таких задач можно разделить на два основных типа: подход, основанный на объединении контактирующих тел и подход, основанный на разъединении контактирующих тел. Методы, базирующиеся на этих подходах, будем называть соответственно методами объединения и разъединения. При этом методы эти, как правило, не являются какими-либо принципиально новыми численнйми методами, они суть некоторые методические и алгоритмические построения, по-' зволяющие решать задачи для составных систем на основе известных, в общем, численных методов.

Наиболее простыми из рассматриваемого класса задач являются краевые задачи для систем, составленных из "канонических" областей, примером таких систем являются многослойное кольцо, многослойная плита и т.п. В таких случаях решение задачи, как правило, всегда можно построить каким-либо методом объединения. Рассмотрим построение методом объединения решения задачи о нагружении многослойного кольца системой самоуравновешенных внешних нагрузок. Каждый слой однороден и изотропен, все сл£>и жестко сопряжены меаду собой, т.е. имеют место условия идеального механического контакта. Предположим, что внешние нагрузки представимы в виде сходящихся тригонометрических рядов фурье. Тогда решение задачи можно построить, выписав условия удовлетворения общего решения задачи для однородного кольца [35,40] граничным нагрузкам, условия сопряжения на границах контакта слоев и решая полученную систему линейных алгебраических уравнений на коэффициенты. Таким способом построено решение для двуслойного кольца в [28,32] , причем для коэффициентов решения в этом случае получены явные аналитические выражения. Другой вариант реализации метода объединения для аналогичной задачи, с учетом массовых сил, рассмотрен в [ II] . Метод объединения здесь основан на построении рекуррентных соотношений, связывающих коэффициенты в представлении решения на соседних слоях и контурах многослойного кольца. Эти форьоглы удобны для реализации на ЭВМ и позволяют единообразно решать задачу для любого числа слоев. В случае, если внешние нагрузки не зависят от угловой координаты, рассматриваемая задача становится одномерной. В такой постановке методом объединения модно построить решение в замкнутом аналитическом виде для многослойного кольца с любым числом слоев [ 36] .

Очень характерно суть метода объединения проявляется при применении к расчету краевых задач для составных систем метода конечных элементов. Можно выделить два подхода к решению контактных задач теории упругости этим методом, рассматриваемым как метод объединения. В одном случае контактное взаимодействие реализуется непосредственно через узлы конечных элементов, расположенных на границе сопряжения [14,55] , в другом - при помощи промежуточных "контактных" конечных элементов, обладающих определенными свойствами [1,55,57] . Например, в работе [ I] предложено вводить на границе сопряжения двойные узлы и при построении для них уравнений равновесия учитывать влияние только тех элементов, которые лежат по ту сторону границы. Для замыкания системы линейных алгебраических уравнений равновесия используются условия сопряжения. При таком подходе матрица жесткости, получаемая при дискретизации контактной задачи методом конечных элементов, имеет явно выраженную блочно-диагональную структуру, где каждый блок соответствует матрице жесткости подобласти. На фоне этой структуры имеются коэффициенты, лежащие за пределами блоков и представляющие собой жесткост-ные связи между сопряженными точками. Условия сопряжения заложе-' ны здесь в самой матрице жесткости.

Таким образом, методы объединения характеризуются тем, что решение краевой задачи для составной области строится сразу для всей области, являющейся объединением подобластей. При этом в качестве метода объединения может быть использован любой метод, допускающий обобщение на случай расчета краевых задач в составных областях путем учета и реализации условий сопряжения в рамках данного метода.

Во многих практических задачах расчет сложных составных упругих систем на основе применения метода объединения может быть нецелесообразен или просто невозможен. Зто связано со сложностью автоматического удовлетворения некоторых условий сопряжения на границах контакта, с возможной разнородностью геометрической структуры составных частей системы, ограниченным объемом оперативной памяти ЭВМ и прочими факторами. В таких случаях, в противоположность подходу, рассмотренному выше, контактирующие тела целесообразно рассматривать раздельно, решая краевую задачу для составной системы на основе метода разъединения.

Методы разъединения базируются на некотором общем подходе, который можно разделить на два основных этапа. На первом этапе осуществляется функциональная декомпозиция задачи путем разъединения исходной составной области на части и выделения вспомогательных краевых задач для составных частей - подобластей, на втором -решается задача сопряжения подобластей, состоящая в удовлетворении условий сопряжения на основе итерационного процесса, на каждой итерации которого решаются вспомогательные краевые задачи для подобластей.

Одним из первых и наиболее известных подходов, который можно трактовать как метод разъединения, является альтернирующий алгоритм Шварца. Различные модификации этого подхода рассмотрены в работах [ 33,38,43] . Сходимость метода Шварца для задач теории упругости в перемещениях доказана в [ 43 ] , а для постановки в напряжениях - в [ 38 ] . Алгоритм Шварца использует частичное налегание подобластей друг на друга, поэтому он может эффективно применяться лишь для расчета однородных областей, которые можно представить как объединение налегающих подобластей, для каждой из которых применим эффективный метод расчета.

Хорошо приспособлен к расчету краевых задач для кусочно-однородных составных тел другой метод разъединения, названный авторами методом поочередных сопряжений [42,50] . Этот метод, в отличие,от алгоритма Шварца, не требует налегания подобластей. Итерационный процесс организуется так, что на кавдой итерации при решении краевых задач для подобластей на границе сопряжения поочередно ставятся краевые условия в смешениях и в напряжениях. Невязки на границе сопряжения используются для построения последующей итерации. В работе [ 42 ] этот подход применен к решению задачи о контакте соос-ных цилиндров. Аналогичная итерационная процедура для расчета упруго-пластических задач рассмотрена в работе [б] . В качестве при-' мера рассчитана задача об упруго-пластическом взаимодействии штампа с плитой.

Более удобным для реализации на ЭВМ является метод разъединения, предложенный в работе [12] . В.отличие от метода поочередных сопряжений на каждой итерации для каждой из подобластей на границе сопряжения ставятся краевые условия фиксированного типа, для одной - в смещениях, для другой, сопрягаемой с ней, - в напряжениях. С вычислительной точки зрения это является весьма существенным преимуществом, так как для решения краевой задачи в каждой из подобластей можно применять свой специализированный метод расчета, наиболее хорошо адаптирующийся к данному виду подобласти, заданным внешним краевым условиям и фиксированному типу условий на границе сопряжения. Алгоритм решения краевой задачи для составной области этим методом хорошо согласуется с модульным принципом построения программ решения задач механики сплошной среды, сформулированным в работах [22,52] . Одним из основных положений этого принципа является сведение решения исходной задачи к последовательному решению более простых вспомогательных задач. В данном случае вспомог-гательными являются краевые задачи для подобластей, причем каждая такая задача может рассматриваться, как "простая задача" [52,54] с обменными краевыми условиями на границе сопряжения.

Общей характеристикой всех методов разъединения является следующее: решение краевой задачи для составной области строится путем последовательного расчета краевых задач для подобластей на основе некоторого итерационного процесса, в результате чего итерационно, происходит удовлетворение условий сопряжения и решение исходной задачи.

Методика выполнения исследований, проводимых в данной работе, " основана на предложенном варианте метода разъединения для расчета составных систем. Расчет составных частей системы проводится численными методами на ЭВМ. Для расчета многослойной кольцевой оболочки-системы используется разработанный рекуррентный алгоритм, реализующий вариант метода объединения.

Структура диссертации естественно отражает подход к решению задачи определения НДС составной системы методом разъединения. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В первых главах рассматриваются специализированные численные алгоритмы расчета составных частей системы: кольцевой оболочки и наполнителя. Третья глава посвящена решению задачи сопряжения на основе предложенного итерационного процесса. В конце каждой главы содержатся параграфы с результатами расчетов, иллюстрирующими применение изложенных в данной главе методов и алгоритмов. Объем диссертации составляет

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, свбдятся к следующему.

1. Для определения напряженно-деформированного состояния многослойной кольцевой области, нагруженной распределенными внешними усилиями, массовыми силами и стационарным тепловым полем, построен рекуррентный алгоритм типа прогонки, позволяющий эффективно вычислять коэффициенты рядов в представлении I решения задачи для любого числа слоев в кольцевой области.

2. Составлена программа на языке Ф0РТРАН-1У, реализующая построенный алгоритм, получено численное решение задачи о равновесии двуслойного кольца, находящегося под действием массовых сил, уравновешенных заданной распределенной внешней нагрузкой.

3. Для решения краевых задач теории упругости в областях типа криволинейного четырехугольника с различным типом краевых условий на его сторонах разработана модульная структура и осуществлена программная реализация алгоритма метода конечных элементов на языке ЗЮРТРАН-1У. Программа автоматизирует формирование необходимой информации о сеточной расчетной области, что представляет удобства для пользователя. Использование программы произведено при расчете напряженно-деформированного состояния отдельного наполнителя и системы наполнитель-оболочка.

4. Разработан вариант метода расчета краевых задач теории упругости в составных областях, состоящий в функциональной декомпозиции исходной задачи на вспомогательные задачи для составных частей области, последующем решении задачи сопряжения областей на основе предложенного итерационного процесса, на каждой итерации которого решаются вспомогательные задачи. Выбрана схема рациональной численной реализации метода на основе модульного представления алгоритма.

5. Проведено исследование предложенного итерационного процесса решения задачи сопряжения двух областей. Теоретически и численно обоснована его сходимость, изучено влияние итерационных параметров на скорость сходимости процесса. Проведенные оценки и результаты расчетов показали возможность эффективного применения предложенного подхода к расчету краевых задач для составных областей.

6. Создана специализированная программа для расчета напряженно-деформированного состояния составной плоской упругой системы оболочка-наполнитель, нагруженной внутренним давлением, на основе предложенных алгоритмов. Проведено численное исследование зависимости напряженного состояния наполнителя от геометрических и физико-механических параметров задачи, сравнение некоторых численных результатов с экспериментальными данными. Программа внедрена в практику расчетов проектно-конструкторских организаций.

В целом, результаты проведенных в диссертации исследований позволяют сделать следующие выводы.

Разработанные и реализованные в виде программ на языке Ф0РТРАН-1У численные алгоритмы показали свою работоспособность и практическую эффективность в применении к решению задач по расчету напряженно-деформированного состояния в составных конструкциях.

Модульная структура алгоритма предложенного варианта метода разъединения может быть положена в основу создания пакетов прикладных программ, специализированных для расчета краевых задач теории упругости в определенных типах составных систем, расчет которых в целом представляет сложности, а в составных частях системы можно применить эффективные методы расчета. Возможности создания таких пакетов программ определяются наличием и составом библиотеки программных модулей, предназначенных для расчета краевых задач в однородных областях определенной геометрической конфигурации при соответствующих краевых условиях. Примером такого пакета является созданная специализированная программа расчета составной системы наполнитель-оболочка.

В заключение автор считает своим долгом выразить глубокую искреннюю признательность покойному научному руководителю академику Николаю Николаевичу Яненко за руководство работой, ее обсуждения, внимание и поддержку. Автор благодарен также доктору физико-математических наук Ю.В.Немировскому за полезные рекомендации и консультации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Баранов A.M.,Дайковский А.Г., Португалов Ю.И. Решение контактной задачи теории упругости методом конечных элементов.-М., 1979,-1.с.(Препринт /Ин-та физики высоких энергий).

2. Баженов В.Г., Угодчиков А.Г., Швецов A.B. К решению задачи о концентрации напряжений в области, ограниченной снаружи окружностью, а изнутри кривой сложной формы при силовых и температурных воздействиях.-Тр.Перм.политех.ин-та,I971,№98.

3. Вайнберг Д.В. Напряженное состояние составных дисков и пластин. -Киев :Изд. АН УССР, 1952,-420с.

4. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам.-М.;Изд.иностр.лит., 1959,-349с.

5. Гнучий Ю.Б. К решению контактных задач теории упругости и пластичности.-Проблемы прочности, 1982, №12, с.99-104.

6. Голотина Л.А., Колчанова Е.А., Милякова JI.B. Применение метода конечных разностей к решению плоской задачи теории упругости. -В сб.:Вопросы теории упругости и вязкоупругости. Свердловск, 1978,с.39-44.

7. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построений разностных сеток. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1967,7, №5, с.1031-1059.

8. Елтышев В.А. Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций с наполнителем. -М.,Наука, I98I,-I20c.

9. Зайков Г.А. Расчет напряженно-деформированного состояния полого цилиндра со сложной внутренней геометрией.-Численные методы механики сплошной среды.-Новосибирск,1977,т.8,№3,с.80-90.

10. Зайков Г.А. Модульный анализ алгоритма решения плоской статической задачи теории упругости методом конечных элементов. -Численные методы механики сплошной среды.-Новосибирск,1978,т.9,И,с.39-46.

11. Зайков Г.А. Равновесие многослойного упругого цилиндра под действием массовых сил.-В еб.:Механика сплошных сред.Тез. докл. Уральской зональной конф. Пермь,1980,с.47-49.

12. Зайков Г.А. Об итерационном удовлетворении контактных условий при решении задач сопряжения деформируемых твердых тел.-Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: (Материалы УН Всес.конф.)-Новосибирск,1982,с.262-267.

13. Зарипов Р.М.,Иванов В.А. Контактные усилия между цилиндрической оболочкой с заполнителем и упругим основанием.-Труды семинара по теории оболочек-Казань,физ-техн.ин-т АН СССР,1976, вып.6.

14. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике.-М.,Мир,1975, -541с.

15. Иванов В.Н., Соколкин Ю.В. Сходимость метода конечных элементов при решении плоских краевых задач упругости в естественных криволинейных координатах.-В кн.Вопросы теории упругости и вяз-ко-упругости. Свердловск,1978,с.54-59.

16. Иванов В.Н. Исследование линейных и нелинейных пространственных краевых задач теории упругости методом конечных элементов в естественных криволинейных координатах с применением конформных отображений.:Автореф.Дис.канд.физ.-мат.наук.-Новосибирск, 1977.ч

17. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивостьи динамика оболочек с упругим заполнителем.-М.:Наука,1977,-331с.

18. Исследование ракетных двигателей на твердом топливе/Ред.М.Сам-мерфельд.-М.:Изд.иностр.лит.,1963,-440с,

19. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости.-Новосибирск: Изд. НГУ, 1968.-127с.

20. Коновалов .А.Н., Яненко H.H. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды.-В сб.:Комплексы программ математической физики. Новосибирск, 1972,. с.48-54.

21. Корнишин М.С.,Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения.М.:Наука,1964,-192с.

22. Кузнецов Г.Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. М.:Наука,1979,-112с.

23. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.-М.:Физмат-гиз,1961,-524с.

24. Лейсса А.,Клаузен В. Сравнения приближенных методов решения задач об изгибе пластин.-Ракетная техника и космонавтика,1969, T.7,ifö, с .152-163.

25. Матвеенко В.П.,Шевелев H.A. Равновесие упругого и вязкоупругого-горизонтального тяжелого цилиндра.-В сб.:Прикладные задачитеории упругости.Свердловск, 1976;с.77-83.

26. Мацокин A.M. Автоматизация триангуляций областей с гладкой границей при решении уравнений эллиптического типа.-Новосибирск, 1975, -Ile. (Препринт/ВД СО АН СССР:15).

27. Мелан Э.,Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стационарными температурными полями.-М.:Физматгиз,1958,-167с.- 115

28. Мещеряков Ю.П. О геометрическом методе построения разностных сеток.-Новосибирск,1978,-16с.(Препринт/ИТПМ СО АН СССР).

29. Михлин С.Г. Некоторые случаи плоской задачи теории упругости для неоднородной среды.-Прикл.математика и механика,1934,т.2, вып.I,с.80-90.

30. Михлин С.Г. Метод последовательных приближений в применении к бигармонической проблеме.-Тр.Сейсмологического ин-та,1934, №39,-14с.

31. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топтиве.М.: Наука,1972,-327с.

32. Мусхелишвили М.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.-М.:Наука,1956,-708с.

33. Немировский Ю.В.Дейнлоо М.Л/ Напряженное состояние в многослойных цилиндрических трубах из упруго сжимаемого линейного вязко-упругого материала.-Механика полимеров,1974,^1,с.66-74.

34. Никольский E.H. Алгоритм Шварца в задаче теории упругости о напряжениях.-Докл.АН СССР,i960,т.135,№3,с.549-552.

35. Оганесян- Л.А.,Ривкинд В.Я.,Руховец л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.Часть I.-B кн.: Дифференциальные уравнения и их применение.-Вильнус,1973,вып. 5,с.1-385.

36. Папкович П.Ф. Теория упругости.-Л.-М.:0боронгиз,1939,-639с.

37. Партон В.З.,Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости.-М. :Наука,1977,-311с.

38. Погодин В.К.,Двик Л.Б. Принцип поочередной непрерывности в задаче о контакте соосных цилиндров.-Изв.АН СССР,Механика твердого числа,1979,№5,с.72-81.

39. Соболев С.Л. Алгоритм Шварца в теории упругости.-Докл.АН СССР, т.4,№6,с.235-238.

40. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-Новосибирск, 1962,-255с.

41. Тимошенко С.П. Курс теории упругости.-Киев:Наукова думка, 1972,-501с.

42. Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач -М.:Наука,1979,-285с.

43. Треффц Е. Математическая теория упругости.-Л.-М.:Гостехиздат, ' 1932,-148с.

44. Угодчиков А.Г.,Коротких Ю.Г. Некоторые методы решения на ЭЦВМ физически нелинейных задач теории пластин и оболочек.-Киев.: Наукова думка,1971.

45. Ушаков Б.Н.,Фролов К.П. Напряжения в композитных конструкциях. -М.¡Машиностроение,1979,-134с.

46. Двик Л.Б. Обобщение алгоритма Шварца на случай областей, сопряженных без налегания.-Докл.АН СССР,1975,т.224,№2,с.309-312.

47. Шерман Д.И. Об одном методе решения некоторых задач теории упругости для двухсвязных областей.-Докл.АН СССР,1947,т.55,№8, с.701-704.

48. Яненко H.H. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики.-В сб.¡Комплексы программ математической физики.-Новосибирск,1980,с.3-12.

49. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.-Новосибирск,Наука,1967.

50. Michell J.H. On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates.

51. Proc-. London Math. Soc., 1899, v.31» p.100-124.

52. Timpe A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, enfacht gelost mit Hilfe der Airyschen Functionen.

53. Z. Math, und Physic, 1905» Bd. 52, s.348-383.

54. Настоящий акт составлен, в том,что работа по создании •программы выполнена полностью и на высоком научно-техническом уровне. Программа прошла испытания на рабочих Массивах и внедрена в п/я Г-4725 на ЭШ БЗСМ-6,

55. Расчетный экономический аффект достигнут.1. Представители заказчика:

56. Начальник отдела 12 /^ъХ. « В.И.Феофилактов

57. Начальник группы ц В.И.Савченков1. Представитель НГ7- итвэтетвенннй исполнитель ^1. С, к. с. Г.А.Ьайков1. Утверждаю

58. Зам. главного конструктора предприятия п/я М-5373 „Л^ ^ 1-4 А.ФДадисонд, 1980 г.1. АКТприемки работ по договору В-57-77

59. Ио договору В-57-77 иекду Новосибирским государственным университетом и предприятием п/я И-5373 проводится научно-исследовательская работа.по созданию комплекса программ расчета основных характеристик изделий.

60. Лабораторией "Вычислительных методов" НЙО НГ'У согласно "Техническому заданяю^разработана программа расчета НДС систеин наполнитель-оболочка (автор Г.А.Зайков/». Программа ориентирована на расчет систем, имеющих сложную геометрию капала наполнителя.

61. По данной задаче представлен научно-исследовательский отчет Синв. 489.НГУ) и техническое.описание программы ишв. 492.НГЛ. Программа прошла производственные испытания и зиздрена на ИБП заказчика на ЭВМ Ео-1022.

62. Настоящий акт составлен в том, что работа по созданию /1ро:.з!/иы выполнена в полном объеме и на требуемом техническое уровне. Расчетный годовой экономический эффектдостигнут.

63. Данный акт не является основанием для взаимных цшзнсовы* расчетов.

64. Представитель исполнителя Представители заказчикая. с. а- , -Цч- ГД.З-а^-ов1. Старший иниенер